Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел

Диапазон частот, применяемых в технике. Мгновенное значение переменной величины. Действующие значения электродвижущей силы и напряжения. Изображение напряжений и токов на плоскости декартовых координат. Определение амплитуды и начальной фазы тока.

Рубрика Физика и энергетика
Вид лекция
Язык русский
Дата добавления 27.06.2015
Размер файла 197,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися - переменными - токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для периодического тока имеем

, (1)

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

, (2)

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01ё 10 Гц - в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) - до сверхвысоких (3000ё 300000 МГц - миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц.

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i - мгновенное значение тока ;

u - мгновенное значение напряжения ;

е - мгновенное значение ЭДС ;

р - мгновенное значение мощности .

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m).

- амплитуда тока;

- амплитуда напряжения;

- амплитуда ЭДС.

Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

, (3)

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют уравнения:

.

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени (t=0): и - начальной фазой ( ).

Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть

,

где f - частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз:

.

Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:

.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

и.

Результирующий ток также будет синусоидален:

.

Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

.

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты:

.

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:

показательной

тригонометрической или

алгебраической - формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

.

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

.

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

, (4)

Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

, (5)

Параметр , соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр - комплексом мгновенного значения.

Параметр является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±a.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :

.

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

, (6)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

,

- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:

.

Тогда мгновенное значение напряжения:

,

.

При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)

, (7)

а при (третий квадрант)

(8)

или

(9)

Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

.

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:

;

.

Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

.

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:

. (10)

Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

.

Литература

напряжение ток амплитуда

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. -5-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1989. -528 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. -7-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1978. - 528 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Величины, характеризующие синусоидальные ток. Мгновенное значение величины. Диапазон частот, применяемых на практике синусоидальных токов и напряжений. Явление электромагнитной индукции. Закон Джоуля-Ленца, формула Эйлера. Модули комплексных чисел.

    презентация [966,7 K], добавлен 25.07.2013

  • Основные величины, характеризующие синусоидальные ток, напряжение и электродвижущую силу. Мгновенное значение величины. Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений. Изображение токов, напряжений и ЭДС комплексными числами и векторами.

    презентация [967,5 K], добавлен 22.09.2013

  • Метод комплексных амплитуд. Напряжение на активном сопротивлении. Применение комплексных величин для расчётов цепей переменного тока. Отношение комплексной амплитуды напряжения к амплитуде силы тока. Определение комплексного сопротивления участка цепи.

    реферат [280,7 K], добавлен 20.03.2016

  • Принцип получения переменной ЭДС. Действующие значение тока и напряжения. Метод векторных диаграмм. Последовательная цепь, содержащая активное сопротивление, индуктивность и емкость. Проводимость и расчет электрических цепей. Резонанс напряжений и токов.

    реферат [1,3 M], добавлен 19.02.2009

  • Связь комплексных амплитуд тока и напряжения в пассивных элементах электрической цепи. Законы Кирхгофа для токов и напряжений, представленных комплексными амплитудами. Применение при расчёте трёхфазных цепей.

    реферат [48,4 K], добавлен 07.04.2007

  • Условия существования разности потенциалов (напряжения) между полюсами источника тока. Понятие и методика определения электродвижущей силы (ЭДС) источника. Измерение и сравнение ЭДС двух батарей с помощью компенсационной схемы, проверка их исправности.

    лабораторная работа [346,3 K], добавлен 13.01.2013

  • Мгновенное значение напряжения, определение действующей силы тока с учетом данных о ее амплитудном значении. Амплитудное значение общего напряжения цепи. Характер нагрузки ветвей сети. Коэффициент полезной мощности цепи, реактивное напряжение участков.

    контрольная работа [313,0 K], добавлен 11.04.2010

  • Расчет токов и напряжений симметричного КЗ. Расчет токов и напряжений несимметричного КЗ, вид указывается в задании. Расчет токов симметричного КЗ с использованием ПК. Значения периодической составляющей тока и напряжения в месте несимметричного КЗ

    методичка [1,5 M], добавлен 05.10.2008

  • Применение метода комплексных амплитуд к расчёту цепей гармонического тока, особенности построения векторных диаграмм. Расчет методом контурных токов мгновенного значения токов в ветвях, проверка баланса мощностей, векторной диаграммы токов и напряжений.

    курсовая работа [160,3 K], добавлен 19.12.2009

  • Параметры синусоидальных токов. Алгебра комплексных чисел и законы цепей в символической форме. Фазовые соотношения между напряжением и током. Векторные и топографические диаграммы, передача мощности от активного двухполюсника в цепи синусоидального тока.

    реферат [1,3 M], добавлен 24.11.2010

  • Прямые и косвенные измерения напряжения и силы тока. Применение закона Ома. Зависимость результатов прямого и косвенного измерений от значения угла поворота регулятора. Определение абсолютной погрешности косвенного измерения величины постоянного тока.

    лабораторная работа [191,6 K], добавлен 25.01.2015

  • Понятие негармонических периодических напряжений и токов как функции времени, их представление в виде тригонометрического ряда Фурье. Значения и коэффициенты негармонических периодических напряжений и токов, оценка их отличия от гармонических функций.

    презентация [432,2 K], добавлен 28.10.2013

  • Расчет и выбор элементов выпрямителя с LC-фильтром. Определение действующего значения напряжения на вторичной обмотке трансформатора, значения тока вентиля, амплитуды напряжения, сопротивления конденсатора. График внешней характеристики выпрямителя.

    контрольная работа [28,4 K], добавлен 21.09.2012

  • Понятие и сущность классической теории о коммутации. Особенности влияния электродвижущей силы. Экспериментальная проверка настройки коммутации. Определение и уменьшение реактивной электродвижущей силы. Исследование коммутации датчиком тока разрыва.

    презентация [784,7 K], добавлен 21.10.2013

  • Определение аналитическим путём и методом расчетных кривых начального значения периодической составляющей тока. Расчет величины тока при несимметричном коротком замыкании. Построение векторных диаграммы токов и напряжений в точке короткого замыкания.

    практическая работа [2,5 M], добавлен 20.10.2010

  • Составление математических моделей цепи для мгновенных, комплексных, постоянных значений источников напряжения и тока. Расчет токов и напряжений на элементах при действии источников напряжения и тока. Входное сопротивление относительно источника сигнала.

    курсовая работа [818,5 K], добавлен 13.05.2015

  • Метод контурных токов и узловых потенциалов. Составление баланса электрических мощностей. Построение потенциальной диаграммы для контура, который включает источники электродвижущей силы. Нахождение тока в ветви с помощью метода эквивалентного генератора.

    контрольная работа [730,5 K], добавлен 27.03.2013

  • Свойства монохроматического электромагнитного поля. Нахождение токов на верхней стенке волновода. Определение диапазона частот, в котором поле является волной, бегущей вдоль оси. Нахождение комплексных амплитуд векторов с помощью уравнения Максвелла.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 20.12.2012

  • Изучение неразветвленной цепи переменного тока, построение векторных диаграмм. Определение фазового сдвига векторов напряжений на активном и емкостном сопротивлении. Подключение к генератору трёхфазного напряжения и подача синусоидального напряжения.

    лабораторная работа [164,3 K], добавлен 12.01.2010

  • Анализ режимов работы для комплексов действующих значений напряжений и токов; определение сопротивления нагрузки. Коэффициенты отражения и затухания волн от согласованной нагрузки для напряжения. Мгновенные значения тока, напряжения, активной мощности.

    презентация [292,2 K], добавлен 28.10.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.