Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ НАУКОВИЙ ЦЕНТР

“ХАРКІВСЬКИЙ ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

УДК 536.758, 537.611.2

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Випадкові динамічні системи з далекими кореляціями

Мельник Сергій Сергійович

Харків - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті радіофізики та електроніки імені О.Я. Усикова Національної академії наук України

Науковий керівник:кандидат фізико-математичних наук, доцент, Усатенко Олег Вікторович, Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України, старший науковий співробітник відділу теоретичної фізики.

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник Яновський Володимир Володимирович, НТК «Інститут монокристалів» НАН України, завідувач відділом теорії конденсованого стану речовини.

доктор фізико-математичних наук, професор Булгаков Олексій Олександрович, Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України, старший науковий співробітник відділу радіофізики твердого тіла.

Захист відбудеться 21.09. 2010 р. о 14-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.845.02 у Національному науковому центрі «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України за адресою:

61108, м. Харків, вул. Академічна, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України за адресою:

61108, м. Харків, вул. Академічна, 1.

Автореферат розісланий 03.08.2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

канд. фіз.-мат. наук Кірдін А. І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задачі, пов'язані з поширенням порушень у випадкових середовищах, інтенсивно вивчаються сучасною фізикою, теорією динамічних систем і теорією ймовірностей. Звичайно ці системи характеризуються складною структурою та складаються з великої кількості взаємодіючих підсистем.

Системи з далекими кореляціями широко розповсюджені в фізиці. Це гравітаційні сили, кулонівські сили у глобально заряджених системах, магнетики з дипольною взаємодією, та ін. Часто системи такого типу характеризуються негибсоновськими розподілами, наприклад розподіл Ципфа у лінгвістиці, розподіл нуклеотидів в молекулах ДНК, комп'ютерні коди, розподіли фінансових показників, різні розподіли в соціології, фізіології, сейсмології, та багатьох інших науках. Особливістю подібних систем є далекі кореляції: кожний елемент системи статистично зв'язаний з великою кількістю сусідніх елементів (просторові кореляції), або стан системи у певний момент залежить від її еволюції за великий проміжок часу (часові кореляції). Наприклад, кореляційна функція між нуклеотидами послідовності ДНК може виявитися ненульовою на відстанях, які відповідають сотням тисяч нуклеотидів.

Далекі кореляції у випадкових динамічних системах можуть істотно впливати на їх фізичні властивості. Наприклад, модель Андерсона [4*-6*] описує рух квантової частинки в одномірному випадковому потенціалі, що являє собою систему глибоких вузьких потенційних ям. Відомо, що випадковість потенціалу приводить до локалізації порушень у системі. В борнівському наближенні парний корелятор розсіючого потенціалу визначає розташування зон прозорості й не пропускання для хвиль різної частоти [1*,5*-7*].

Одну з основних задач теорії випадкових одномірних потенціалів можна сформулювати наступним чином: якими повинні бути значення випадкового дискретного одномірного потенціалу, щоб хвиля, яка розповсюджується в системі, мала певну залежність коефіцієнту прозорості від частоти? На практиці ця задача зводиться до побудови числової послідовності певної довжини, яка має необхідну кореляційну функцію [1*,8*,9*].

Відомі до теперішнього часу методи розв'язання цієї задачі мають істотне обмеження. Побудований з їхньою допомогою потенціал може бути тільки безперервно-розподіленим. Такі методи не дозволяють конструювати потенціал, який приймав би значення, що належать до деякого дискретного набору. Таке обмеження на клас створюваного потенціалу пов'язано з тим, що навіть у випадку системи, яка характеризується бінарним простором станів кожного елемента, кількість параметрів повинна бути не менше, ніж 2^N, де N - характерна довжина кореляцій. При великій довжині кореляцій це число стає астрономічно великим, і вирішити таку задачу стає практично неможливо. Це обмеження значно ускладнює конструювання реальних фізичних пристроїв, що мають потрібні властивості.

Розроблений у дисертації метод зменшує кількість параметрів моделі до N, що дозволяє вирішувати задачі побудови випадкових корельованих дискретних систем із потрібними транспортними властивостями.

Зараз інтенсивно вивчаються різні типи джозефсонівських структур, в яких можуть розповсюджуватися суб-терагерцеві електромагнітні хвилі (джозефсонівські плазмені хвилі). Можливість керувати розповсюдженням цих хвиль дозволяє конструювати різні терагерцеві пристрої: датчики, фільтри, перетворювачі частоти, підсилювачі.

Подібні прилади можуть знайти своє застосування у фізиці, астрономії, хімії, біології й медицині, зокрема в спектроскопії, томографії, медичній діагностиці, хімічній і біологічній ідентифікації.

Тому тема дисертації є актуальною як із загально фізичної точки зору, так і для технічних застосувань.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках наступних НДР, що проводилися на замовлення Президії НАН України Інститутом радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України, в яких автор був виконавцем: «Дослідження взаємодії електромагнітних та акустичних полів, а також електронних пучків з біологічними та твердотільними структурами», номер державної реєстрації 0102U003139, термін виконання 2002 - 2006, шифр: «Структура»; «Дослідження лінійних та нелінійних властивостей твердотільних структур із застосуванням електромагнітних хвиль НВЧ діапазону і заряджених часток», номер державної реєстрації 0106U011978, термін виконання 2007 - 2011, шифр: «Кентавр-4»; а також згідно з особистим планом аспіранта.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методу побудови одномірного випадкового дискретного потенціалу із заданою залежністю довжини локалізації хвиль від частоти. Для досягнення поставленої цілі вирішуються наступні задачі:

1. побудова математичної моделі, яка дозволяє ефективно конструювати бінарну числову послідовність із заданою парною кореляційною функцією;

2. розробка методу побудови бінарного андерсонівського потенціалу із потрібною конфігурацією вікон прозорості й відбиття для хвиль різної частоти;

3. побудова ланцюгу джозефсонівських контактів бінарного типу, який має потрібну межу рухливості.

Об'єкт дослідження - розповсюдження порушень в одномірних системах, які характеризуються випадковим потенціалом, зв'язок локалізаційних процесів в цих системах з їх кореляційними властивостями.

Предмет дослідження - рух квантової частинки в одномірному дискретному потенціалі в наближенні сильного зв'язку, поширення електромагнітних хвиль в ланцюгах джозефсонівських контактів.

Метод дослідження - побудова багатошагового марківського ланцюгу із заданими кореляційними властивостями. Вважаючи функцію умовної ймовірності адитивною, отримуємо аналітичний зв'язок функції пам'яті марківського ланцюга з кореляційною функцією. Цей зв'язок має вигляд системи N лінійних рівнянь, яка розв'язується чисельно, методом Гауса. У рамках моделі Андерсона довжина локалізації хвиль певної частоти пов'язана із Фур'є перетворенням корелятора потенціалу за узагальненою формулою Талеса. Розв'язуючи це рівняння та обчислюючи зворотне перетворення Фур'є, знаходимо потрібну кореляційну функцію потенціалу. В чисельних прикладах довжина локалізації в потенціалі обчислюється розв'язанням дискретного рівняння Шредингера ітераційним методом. Достовірність отриманих результатів забезпечується використанням добре відомих математичних методів розв'язання лінійних систем рівнянь. Розрахунок локалізаційних властивостей об'єктів що вивчаються відбувається на основі добре вивчених положень теорії розповсюдження порушень у випадкових системах. Вірність отриманих аналітичних результатів перевіряється чисельними експериментами.

Наукова новизна отриманих результатів. Наукова новизна результатів дисертації полягає у наступному:

1. Розвинено новий математичний апарат адитивних бінарних багатошагових ланцюгів Маркова. Детально вивчені основні властивості цих об'єктів та отримано аналітичні вирази для їх статистичних характеристик.

2. Уперше запропоновано метод, що дозволяє створювати випадкові бінарні корельовані послідовності із заздалегідь заданою парною кореляційною функцією.

3. В рамках моделі Андерсона на основі запропонованої моделі адитив-них марківських ланцюгів розроблено новий метод побудови одномірних дискретних випадкових систем, які мають довільну заздалегідь задану залежність довжини локалізації хвиль, що поширюються в них, від їх частоти. Відомі на даний час методи дозволяють конструювати тільки системи безперервно-розподілених елементів.

4. Уперше продемонстровано можливість створення дискретного бінарного потенціалу, який характеризується необхідним розташуванням вікон прозорості в смузі частот. На конкретному прикладі побудовано потенціал такого виду, який має границю прозорості, розташовану на заданій частоті.

5. З урахуванням взаємної відповідності моделі Андерсона й випадкової послідовності джозефсонівських контактів, запропоновано метод створення джозефсонівського ланцюга з необхідною межею рухливості, і побудовано приклад такого об'єкту. На відміну від відомих методів, в цьому випадку параметри джозефсонівських контактів можуть належати бінарному простору станів.

Наукове та практичне значення одержаних результатів. Отримані результати являють собою кількісний і якісний опис ефектів локалізації і границі рухливості у випадкових дискретних системах з далекими кореляціями. Вони поглиблюють розуміння фізики випадкових динамічних систем та впливу далеких кореляцій на їх фізичні властивості. Результати проведених досліджень можуть бути використані при розробці нових видів електронних пристроїв і хвилеводів, які могли б використатися як віконні фільтри (фільтри, що пропускають випромінювання в певних смугах частот) з новими провідними властивостями.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковані в статтях [1-8] і тезах доповідей наукових конференцій [9-12]. Здобувач брав участь у проведенні всіх аналітичних і чисельних розрахунків, а також у постановці задач, розв'язаних в дисертації. В роботі [1] здобувачем проаналізована статистика підпослідовностей довжини, меншої за довжину пам'яті ступіневого багатошагового марківського ланцюга. Отримано розподіл підпослідовностей за числом символів. Проаналізовано особливості цього розподілу при слабкій персистентності і показано, що на малих відстанях дисперсія кількості символів у підпослідовності має квадратичний вид. В роботі [2] здобувачем запропонована модель адитивного багатошагового марківського ланцюга. Для цієї моделі отримано основне рівняння, що зв'язує кореляційну функцію і функцію пам'яті. Проведено чисельний розрахунок функції пам'яті реальних корельованих об'єктів. У роботі [3] здобувачем виведено рівняння для функції пам'яті і проведена чисельна перевірка якості відновлення функції пам'яті і кореляційної функції модельних послідовностей. У роботі [4] здобувачем отримане рівняння для "складної" кореляційної функції і чисельно побудований приклад дискретного потенціалу, який має межу рухливості в заданій точці спектру. В роботі [5] здобувачем запропоновано альтернативний метод пошуку функції пам'яті (ітераційна процедура) за кореляційною функцією. В роботі [6] здобувачем знайдені вирази для функції пам'яті в таких випадках, як ближні кореляції, експоненційні і гармонічно-експоненційні кореляції. У роботі [7] здобувачем чисельно побудовані приклади корельованих послідовностей джозефсонівських контактів і багатошарових надпровідників, що мають необхідні властивості фільтрів терагерцевих частот. У роботі [8] здобувачем проведена перевірка ефективності запропонованого методу.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах відділу теоретичної фізики ІРЕ ім. О. Я. Усикова НАН України, на семінарі теоретичної фізики ФТІНТ ім. Вєркіна НАН України, семінарі відділу теоретичної фізики Інституту Монокристалів НАН України, а також на наступних наукових конференціях: 4th international workshop on disordered systems (Madrid, Spain, 2004); International conference on theory and modelling. “Physics and biology: bringing the gap” (Vadstena, Sweden, 2004); XXV dynamics days Europe (Berlin, Germany, 2005); International conference “Modern stochastics: theory and applications” (Kyiv, Ukraine, 2006); Condensed matter: theory and applications (Kharkiv, Ukraine, 2006); П'ята конференція “Застосування персональних комп'ютерів у наукових дослідженнях і навчальному процесі” (Харків, Україна, 2002); 4th international coference “Physical phenomena in the solid state” (Kharkov, Ukraine, 2003); Студентська наукова конференція фізичного факультету ХНУ (Харків, Україна, 2004); Сьома міжнародна конференція фізичного факультету “Фізичні явища в твердих тілах” (Харків, Україна, 2005).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 12 наукових публікаціях: серед них 8 статей [1-8] у спеціалізованих наукових виданнях, які задовольняють вимогам ВАК України і 4 тез [9-12] доповідей на наукових конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків, трьох додатків та списку використаних джерел із 76 найменувань на 8 сторінках. Робота викладена на 134 сторінках і включає 23 малюнки у тексті.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У першому розділі дисертації представлено огляд літератури. Описується коло завдань, пов'язаних з темою дисертації. Наведено короткий опис робіт, присвячених системам з далекими кореляціями і транспортним властивостям таких систем. Описуються основні моделі, методи й результати досліджень.

В другому розділі вивчається одна з ефективних моделей випадкових корельованих систем - модель багатошагових марківських ланцюгів. Бінарний марківський ланцюг - це послідовність символів (чисел) a_i двох типів (наприклад, “0” і “1”). Вірогідність того, що символ a_i приймає значення “1”, залежить тільки від N попередніх елементів, і задається функцією умовної ймовірності,

,(1)

яка визначає всі статистичні характеристики марківського ланцюга.

Вводяться визначення цієї моделі, функції умовної ймовірності і основних статистичних характеристик послідовностей такого виду: імовірності b_i реалізації різних N-слів, кореляційна функція

,(2)

розподіл W_L(k) ймовірностей слів довжини L за кількістю k символів “1” в слові, , і дисперсія цього розподілу . Обговорюється властивість однорідності багатошагового ланцюга Маркова й доводиться його ергодичність.

Для розглянутої моделі наведені два різних способи побудови випадкової послідовності. Обговорюються різні способи опису марківського ланцюга, що випливають із цих методів.

В третьому розділі вводиться модель адитивного марківського ланцюга. Для такої випадкової послідовності функція умовної ймовірності має лінійний вигляд:

.(3)

Таке спрощення дозволяє знизити число параметрів багатошагової моделі з 2^N до N. Величина F(r), яка описує вплив попереднього елементу a_i-r на елемент a_i, називається функцію пам'яті марківського ланцюга. Вона повністю задає статистичні властивості адитивної моделі.

Далі викладається основний результат дисертації - виводиться система рівнянь, яка однозначно поєднує функцію пам'яті F(r) адитивного багатошагового ланцюга Маркова і його кореляційну функцію K(r).

,(4)

.

Рівняння (4) дозволяє вирішувати задачі двох типів:

1) “Пряма задача”. Знаходження кореляційної функції K(r) адитивного марківського ланцюга з певною функцією пам'яті F(r).

2) “Зворотна задача”. Знаходження функції пам'яті F(r) ланцюга з відомою кореляційною функцією K(r).

Іншими словами, за допомогою співвідношення (4) можливо за даною випадковою послідовністю (або її кореляційною функцією) знаходити функцію пам'яті, за допомогою якої ця послідовність була побудована. Таким чином, рівняння (4) визначає метод побудови багатошагових марківських ланцюгів з даними кореляційними властивостями.

На основі системи рівнянь (4) пропонується метод побудови випадкової бінарної послідовності з необхідним корелятором. Доводиться важлива властивість “оптимальності прогнозування” адитивного марківського ланцюга, яка полягає в мінімізації “відстані” між його елементами та їхніми прогнозованими значеннями . Ця властивість демонструє можливість використання функції пам'яті для знаходження найбільш імовірного значення елемента марківського ланцюга за відомими попередніми елементами і тому дозволяє ефективно використовувати її при розв'язуванні задач прогнозування випадкових процесів, стискання інформації та інших подібних задач. В цьому розділі також отримано зв'язок функції пам'яті з дисперсією D(r) розподілу слів довжини L.

Ефективність використання запропонованого методу ілюструється прикладами побудованих з його допомогою бінарних числових послідовностей, які мають корелятор заданого виду.

В четвертому розділі аналізується аналітичний розв'язок основного рівняння. У першій частині розділу досліджується адитивний багатошаговий марківський ланцюг зі ступеневою функцією пам'яті,

.(5)

Ця модель характеризується двома параметрами: довжиною пам'яті N і параметром персистентності м, який задає значення функції пам'яті F(r) при r < N. Такий марківський ланцюг (на відміну від випадку функції пам'яті довільного виду) дозволяє одержати аналітичні результати для основних статистичних характеристик.

Отримано вираз для ймовірностей b(a₁…a_N) послідовності N певних символів. З умови погодженості рівняння Чепмена-Колмогорова для цієї моделі випливає система рівнянь, яка зв'язує ймовірності b. Із системи випливає незалежність цих ймовірностей від порядку символів a₁ … a_N та властивість “ізотропії” марківського ланцюга.

Отримано просте рекурсивне співвідношення для ймовірностей b(k) появи слів довжини N, які містять у собі k символів “1”:

.(6)

Із цього співвідношення виводиться вираз для функції b(k), залежної від параметрів моделі:

,(7)

, .

Досліджується функція розподілу W_L(k) слів довжини L за числом k одиниць в них. У випадку L = N вираз для функції W_L(k) прямо випливає з функції b(k):

.(8)

Розглядається вид функції розподілу при різних значеннях параметра персистентності м (слабка, проміжна і сильна персистентність). Отримано формули для дисперсії D(N) цього розподілу. У випадку слабкої персистентності функція W_N(k) є гаусовою, і її дисперсія

.(9)

При збільшенні персистентності функція розподілу змінює свою форму від гаусової до U-подібної. В наближенні сильної персистентності функція дисперсії має вигляд:

.(10)

Зміну функції розподілення W_N(k) від гаусівського, колоколоподібного розподілення до U-подібного, зі зменшенням параметру n. Значення довжини пам'яті N дорівнює 20, значення параметру n показані біля графіків. В інтервалі ln^-1N < n < 1 відбувається перехід функції W_N(k) від гаусівської форми до U-подібної, і максимум функції W_N(k) переходить у мінімум. При N >> 1 та ln^-1N < n < 1 графік залишається гладкою функцією аргументу k, при n = 0.5.

Детально аналізується ситуація, коли розмір слів менший за довжину пам'яті (L<N). З використанням отриманих раніше формул для величин W_N(k) і D(N) одержано вирази для W_L(k) і D(L):

,(11)

.

Розглядається так звана властивість “самоподоби” марківського ланцюга, яка полягає в тому, що після регулярного або випадкового видалення з марківського ланцюга певної частини символів, функція дисперсії отриманої послідовності D'(L) збігається з вихідною дисперсією D(L) на відстанях L < N. Крім того, отримана послідовність має ті ж статистичні властивості, що й вихідна, але характеризується перенормованими параметрами (N*, м*) замість (N, м):

N*=лN,(12)

.

При L > N статистика марківського ланцюга вивчається в наближенні середнього поля й слабкої персистентності, коли n >> 1. У цьому наближенні отримано вираз для кореляційної довжини l_c, а з нього отримані формули для кореляційної функції і дисперсії,

(13)

.

Аналітичні результати у випадках слабкої та сильної персистентності перевірено за допомогою чисельних розрахунків. У другій частині розділу розглядається перетворення Фур'є основного рівняння. В результаті одержуємо інтегральне рівняння для спектра функції пам'яті F(k),

.(14)

Для демонстрації того, яким способом вирішується рівняння, наводиться приклад некорельованої послідовності (білий шум). Аналізується марківський ланцюг з ближніми кореляціями. Він характеризується швидко спадаючою кореляційною функцією, характерний масштаб якої R_c набагато менший за одиницю. У цьому випадку отримано явний вираз для функції пам'яті. Проводиться аналіз деяких особливостей рішення основного рівняння у випадках експоненційно-осцилюючого корелятора, а також корелятора, який має “ступеневий” і “узагальнено-ступеневий” спектр.

В п'ятому розділі вивчається поширення порушень в одномірних випадкових корельованих системах. Випадковість у таких системах призводить до локалізації хвиль у них (локалізація Андерсона), а наявність далеких кореляцій впливає на їхні транспортні властивості. Зокрема, кореляційна функція визначає розташування вікон відбиття й прозорості в спектрі системи.

Тому задача про побудову потенціалу із заданими областями прозорості й відбиття може бути розв'язана за допомогою розробленої в дисертації моделі.

Розділ починається з розгляду одномірної моделі Андерсена, тобто рівняння Шредингера для частинки в одномірному потенціалі в наближенні сильного зв'язку,

.(15)

Для простоти ми обмежуємося випадком бінарного потенціалу (який приймає два можливих значення). Розглядаються два види випадкових дискретних потенціалів, які характеризуються різним поводженням хвильових функцій:

1. Системі з регулярним потенціалом відповідають делокалізовані стани з довжиною локалізації l = ?.

2. Системі з випадковим, некорельованим потенціалом відповідають стани з експоненційно локалізованими хвильовими функціями, які характеризуються скінченою довжиною локалізації l (ефект локалізації Андерсона).

В цьому розділі ставиться задача побудови бінарного випадкового корельованого потенціалу, в якому співіснують два таких типи спектру. В борнівському наближенні довжина локалізації залежить від Фур'є-образу корелятора,

.(16)

З урахуванням цього, розробляється метод конструювання потенціалу із заданими областями прозорості, обмеженими набором хвилевих чисел (k_i1, k_i2) або відповідних частот (щ_i1, щ_i2). Кореляційна функція потенціалу такого типу повинна мати вигляд:

, .(17)

Розв'язуючи чисельно рівняння (4), знаходимо функцію пам'яті F(r) і отримуємо функцію умовної ймовірності P(a_i = 1|a_i-N, … , a_i-1). За її допомогою конструюється послідовність значень е₀ та е₁ потенціалу.

Для перевірки запропонованого методу будується чисельний приклад дискретного потенціалу е_n, який має необхідну область прозорості.

Результат чисельного розрахунку нормованого показника Ляпунова Л'(E) = 8 sin²(k)Л(E) для побудованої системи, яка має делокалізовані стани з енергією 0 < E < 0.39 і локалізовані з 0.39 < E < 2.

Суцільна лінія відповідає заданій характеристиці системи зі ступеневим показником Ляпунова Л'.

Точки відповідають результату обчислення показника Ляпунова послідовності е_n, побудованої за допомогою функції пам'яті F(r), яка була отримана чисельним розв'язанням основного рівняння при кореляційній функції K(r)=sin(1.37r)/1.37r, яка відповідає ступеневому показнику Ляпунова. Розрахунок залежності довжини локалізації від частоти ілюструє ефективність описаного методу.

Далі розглядається поширення суб-терагерцевих хвиль у ланцюжку джозефсонівських контактів.

Різниця фаз на n-му контакті відповідає дискретному рівнянню sine-Гордона,

.(18)

щ_J - джозефсонівська плазменна частота,

a = d / л_J - параметр дискретності,

d - період структури,

л_J - джозефсонівська глибина проникнення,

щ_R - частота дисипації,

J_c⁽ⁿ⁾ / J_c - відношення критичного току в n-му контакті до середнього критичного току, j_n = J_n / J_c - нормований зовнішній струм через n-й контакт.

Проводиться аналогія між рухом квантової частинки у випадковому потенціалі і поширенням суб-терагерцевих хвиль в одномірних джозефсонівських ланцюгах. При достатньо низьких температурах та не дуже високих амплітудах джозефсонівських плазмених хвиль рівняння їх руху може бути лінеаризовано:

Ш_n-1 + Ш_n+1 + U_n Ш_n = E Ш_n,(19)

U_n = a²д_n , E(щ) = 2 - a²(щ²/ щ_J² - 1).

Рівняння (19) має такий же вигляд, як і рівняння в моделі сильного зв'язку Андерсона для руху квантової частинки в одномірному дискретному потенціалі U_n.

З урахуванням цього довжину локалізації в ланцюгах джозефсонівських контактів за відсутності кореляцій можна записати у вигляді

.(20)

Кореляції у такій системі призводять до збільшення довжини локалізації, l^JPW(щ) = l₀^JPW(щ) / ж(2q). ж(2q) - Фур'є-спектр нормованої кореляційної функції послідовності параметрів j_n джозефсонівського ланцюга. В якості транспортної характеристики розглядається відношення коефіцієнту проходження хвилі певної частоти до її коефіцієнту проходження за відсутності флуктуацій у системі,

.(21)

За допомогою методу адитивних багатошагових марківських ланцюгів було побудовано трельовані випадкові бінарні послідовності довжиною 10⁵ символів, обчислення коефіцієнту проходження T / T₀ для побудованих джозефсонівських ланцюгів. Цей результат демонструє ефективність розробленого методу і можливість керувати локалізацією терагерцевих і суб-терагерцевих електромагнітних хвиль і прозорістю джозефсонівських ланцюгів, контролюючи кореляції в них.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі на основі розробленого математичного апарату адитивних багатошагових марківських ланцюгів досліджено ряд фізичних проблем, пов'язаних із явищем локалізації порушень у випадкових корельованих системах. Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1. Розроблено теорію бінарних адитивних марківських ланцюгів. Виведено рівняння зв'язку кореляційної функції і функції пам'яті, яке дозволяє ефективно знаходити функцію умовної ймовірності і дає можливість будувати числову послідовність із заданим корелятором.

2. На основі цієї теорії розроблено метод чисельної побудови одномірного дискретного випадкового потенціалу, який має певні транспортні характеристики. Порушення, які розповсюджуються в цій системі мають задану залежність довжини локалізації від їх частоти.

3. Запропоновано метод побудови випадкової системи з дискретним потенціалом, яка проявляє властивості віконного фільтра. Отримано зв'язок параметрів моделі адитивних марківських ланцюгів з розмірами й розташуванням вікон прозорості й областей відбиття в смузі частот хвиль, що поширюються в системі. Аналітичні результати підтверджені чисельними розрахунками, які демонструють наявність границі прозорості на заданій частоті.

4. Встановлено взаємно однозначну відповідність між розповсюдженням порушень в моделі Андерсона й характером джозефсонівських плазмених хвиль у випадковій послідовності джозефсонівських контактів. На основі цього зв'язку запропоновано метод побудови ланцюга джозефсонівських контактів з необхідним розташуванням межі прозорості.

5. Проведено аналітичне дослідження окремого випадку адитивного бінарного марківського ланцюга - а саме марківського ланцюга зі ступеневою функцією пам'яті.

Отримано вирази для її основних статистичних характеристик. Виведено рівняння Фокера-Планка, яке описує властивість самоподоби випадкового процесу зі ступеневою функцією пам'яті. Аналітично досліджені властивості адитивного марківського ланцюга у випадку малої довжини пам'яті, при експоненційній та експоненційно-осцилюючій кореляційній функції, а також у випадку ступіневого спектру корелятора.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Symbolic stochastic dynamical systems viewed as binary N-step Markov chains / [O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii, K. E. Kechedzhy, S. S. Melnyk] // Phys. Rev. E. - 2003. - V. 68. - P. 061107-1 - 061107-14.

2. Competition between two kinds of correlations in literary texts / [S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii, V. A. Golick] // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 72. - P. 026140-1 - 026140-7.

3. Melnyk S. S. Memory functions of the additive Markov chains: applications to complex dynamic systems / S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii // Physica A. - 2006. - V. 361. - P. 405-415.

4. Three types of spectra in one dimensional system with random correlated potential / [O. V. Usatenko, S. S. Melnyk, V. A. Yampol'skii et al.] // Радиофизика и электроника. - 2006. - V. 11, 1. - P. 96-100.

5. Memory functions and correlations in additive binary Markov chains / [S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii et al.] // J. Phys. A. - 2006. - V. 39. - P. 14289-14301.

6. Memory function versus binary correlator in additive Markov chains / [F. M. Izrailev, A. A. Krokhin, N. M. Makarov et al.] // Physica A. - 2006. - V. 372. - P. 279-297.

7. Controlled terahertz frequency response and transparency of Josephson chains and superconducting multilayers / [V. A. Yampol'skii, S. Savel'ev, O. V. Usatenko et al.] // Phys. Rev. B. - 2007. - V. 75. - P. 014527-1 - 014527-7.

8. Additive N-step Markov chains as prototype model of symbolic stochastic dynamical systems with long-range correlations / [Z. A. Maiselis, S. S. Apostolov, S. S. Melnyk] // Chaos, Solitons and Fractals - 2007. - V. 34. - P. 112-128.

9. Mарковские цепи и генетические тексты / О. В. Усатенко, В. А. Ямпольский, С. С. Мельник, М. Е. Сербин, // Применение персональных компьютеров в научных исследованиях и учебном процессе, Харьков, 30-31 октября 2002 г.: материалы конференции. - Х. - 2002. - С. 13.

10. Функция памяти бинарных многошаговых марковских цепей / С. С. Мельник, З. А. Майзелис // студенческая научная конференция физического факультета ХНУ, Харьков, 19 апреля 2004 г.: материалы конференции. - Х., - 2004. - С. 16.

11. Три вида спектров в бинарных одномерных системах с коррелированным беспорядком / О. В. Усатенко, С. С. Мельник, В. А. Ямпольский, М. Йоханссон, Л. Крун, Р. Риклунд // Физические явления в твердых телах: 7-я международная конференция, Харьков, 14-15 декабря 2005 г.: тезисы докладов. - Х., - 2005. - С. 12.

12. Three types of spectra in 1D random correlated binary potential / O. V. Usatenko, S. S. Melnyk, V. A. Yampol'skii, M. Johansson, L. Kroon, R. Riklund // Сondensed matter: theory and applications: international conference, September 12-15, 2006: book of absatracts. - Kharkiv, 2006. - P. 109.

Список цитованої літератури

1*. Izrailev F.M. Localization and the Mobility Edge in One-Dimensional Potentials with Correlated Disorder / F. M. Izrailev, A. A. Krokhin // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V. 82. - P. 4062-4065.

2*. Tessieri L. Delocalization phenomena in one-dimensional models with long-range correlated disorder: a perturbative approach / L. Tessieri // J. Phys. A.: Math. Gen. - 2002. - V. 35. - P. 9585-9600.

3*. Izrailev F. M. Anomalous transport in low-dimensional systems with correlated disorder / F. M. Izrailev, N. M. Makarov // J. Phys. A.: Math. Gen. - 2006. - V. 38. - P. 10613-10637.

4*. Anderson P. Absence of Diffusion in Certain Random Lattices / P. Anderson // Phys. Rev. - 1958. - V. 109. - P. 1492-1505.

5*. Flores J. C. Transport in models with correlated diagonal and off-diagonal disorder / J. C. Flores // J. Phys. Condens. Matter. - 1989. - V. 44, N. 1. - P. 8471-8479.

6*. Bovier A. Perturbation theory for the random dimer model / A. Bovier // J. Phys. A. - 1992. - V. 25. - P. 1021-1029.

7*. Kosterlitz J. M. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems / J. M. Kosterlitz, D. J. Thouless // J. Phys. C. - 1973 - V. 6. - P. 1181-1203.

8*. Griniasty M. Localization by pseudorandom potentials in one dimension / M. Griniasty, S. Fishman // Phys. Rev. Lett. - 1988. - V. 60. - P. -1334-1337.

9*. Luck J. M., Cantor spectra and scaling of gap widths in deterministic aperiodic systems / J. M. Luck // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 39. - P. 5834-5849.

10*. Experimental observation of the mobility edge in a waveguide with correlated disorder / [U. Kuhl, F. M. Izrailev, A. A. Krokhin, H. J. Stockmann,] // Appl. Phys. Lett. - 2000. - V. 77. 5 - P. 633-635.

АНОТАЦІЯ

Мельник С. С. Випадкові динамічні системи з далекими кореляціями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.04.02 - теоретична фізика. - Національний науковий центр “Харківський фізико-технічний інститут”, Харків, 2010.

Побудовано теорію поширення збуджень в одномірних випадкових системах, які характеризуються дискретністю потенціалу і наявністю далеких кореляцій. Розвинено математичну модель адитивних багатошагових марківских ланцюгів, що дозволяє ефективно описувати кореляційні властивості дискретних числових послідовностей і конструювати послідовності із заданими статистичними характеристиками. На основі запропонованої моделі розроблено метод побудови одномірного дискретного випадкового потенціалу, який в рамках моделі Андерсона має задану залежність довжини локалізації збуджень, що в ньому розповсюджуються, від їхньої частоти. Проаналізована можливість створення дискретних потенціалів, які мають необхідне розташування вікон прозорості і областей відбиття в смузі частот. Розроблено метод побудови джозефсонівського ланцюга із необхідною границею прозорості.

Ключові слова: далекі кореляції, марківський ланцюг, модель Андерсона, довжина локалізації, джозефсонівський ланцюг, границя прозорості.

кореляція електронний гравітаційний

АННОТАЦИЯ

Мельник С.С. Случайные динамические системы с дальними корреляциями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Национальный научный центр “Харьковский физико-технический институт”, Харьков, 2010.

Дальние корреляции в случайных динамических системах могут существенно влиять на их физические свойства. Известно, в частности, что случайность потенциала в модели Андерсона (описывающей движение квантовой частицы в одномерном случайном потенциале, представляющем собой систему глубоких и узких потенциальных ям) приводит к локализации возбуждений при сколь угодно слабой степени беспорядка потенциала. В борновском приближении парный коррелятор рассеивающего потенциала определяет расположение зон прозрачности и отражения для волн различной частоты.

Одной из основных задач теории случайных систем с дальними корреляциями является проблема построения системы с требуемыми спектральными свойствами. На практике эта задача сводится к построению случайной числовой последовательности, имеющей требуемую корреляционную функцию.

Известные к настоящему времени методы решения этой задачи обладают существенным ограничением. Так, например, метод Райса позволяет строить случайные последовательности, каждый элемент которой принадлежит непрерывному множеству числовой оси (??, ?). Это ограничение на класс конструируемого потенциала значительно усложняет построение реальных физических устройств с заданными спектральными характеристиками. Предложенный в диссертации метод позволяет решить задачу построения случайных коррелированных систем, характеризующихся дискретным пространством состояний случайной величины и обладающих требуемыми транспортными свойствами.

Для разработки этого метода в диссертации изучается одна из эффективных моделей случайных коррелированных систем - модель многошаговых марковских цепей. Рассматривается бинарная марковская цепь, статистические характеристики которой определяются функцией условной вероятности. В первом приближении функция условной вероятности считается аддитивной и определяется более простой характеристикой - функцией памяти. Это позволяет получить один из основных результатов диссертации - систему уравнений, однозначно связывающую функцию памяти аддитивной многошаговой цепи Маркова и ее корреляционную функцию. Развитая теория аддитивных многошаговых марковских цепей эффективно описывает корреляционные свойства дискретных числовых последовательностей и позволяет конструировать последовательности с предписанными статистическими характеристиками.

В работе доказано, что аддитивная марковская цепь обладает свойством “оптимальности предсказания”. Это свойство позволяет использовать функцию памяти для нахождения наиболее вероятного значения элемента марковской цепи по известным предшествующим элементам и, следовательно, позволяет эффективно решать задачи прогнозирования случайных процессов, сжатия информации и других подобных задач. Получено аналитическое выражение, связывающее функцию памяти с дисперсией подпоследовательностей. Эффективность использования предложенного метода аддитивных многошаговых марковских цепей иллюстрируется примерами построения бинарных числовых последовательностей, обладающих парной корреляционной функцией заданного вида.

В общем случае свойства аддитивных марковских цепей исследуются численными методами. Однако в некоторых частных случаях модель допускает аналитическое решение. С целью демонстрации эффективности метода исследуется аддитивная марковская цепь со ступенчатой функцией памяти, для которой найдены ее основные статистические характеристики, такие как корреляционная функция и функции распределения подпоследовательностей. Для экспоненциальной и экспоненциально-осциллирующей корреляционной функции получено аналитическое решение основной системы уравнений.

Разработанный математический аппарат применяется для исследования свойств возбуждений в случайных одномерных коррелированных системах. Даже в простейшем случае бинарного потенциала (принимающего два возможных значения) в модели Андерсона проявляются ее основные локализационные свойства. На основе связи корреляционной функции потенциала и длины локализации волн различной частоты разрабатывается общий метод построения потенциала с заданными частотными областями прозрачности.

Для проверки предложенного метода построен численный пример дискретного потенциала, обладающего требуемой областью прозрачности. Расчет зависимости длины локализации от частоты иллюстрирует эффективность описанного метода.

Далее рассматривается распространение суб-терагерцевых волн в цепочке джозефсоновских контактов. Отмечается аналогия между распространением суб-терагерцевых волн в одномерных джозефсоновских цепочках и движением квантовой частицы в случайном потенциале. При достаточно низких температурах и не очень высоких амплитудах джозефсоновских плазменных волн их динамика описывается уравнениями того же вида, что и в модели Андерсона. С учетом этой связи разрабатывается метод построения цепочки джозефсоновских контактов с требуемой границей прозрачности. Продемонстрирована возможность управления локализацией терагерцевых и суб-терагерцевых электромагнитных волн и прозрачностью джозефсоновских цепей, за счет контроля их корреляционных свойств.

Таким образом, с помощью разработанных в диссертации методов решена задача о построении потенциала с заданными областями прозрачности и локализации.

Ключевые слова: дальние корреляции, марковская цепь, модель Андерсона, длина локализации, джозефсоновская цепь, граница прозрачности.

ABSTRACT

Melnik S.S. Random dynamic systems with long-range correlations. - Manuscript.

Thesis for a degree in physics and mathematics, specialty 01.04.02 - theoretical physics. - National Scientific Center “Kharkiv Physical-Technical Institute”, Kharkiv, 2010.

A theory for propagation of excitations in one-dimensional random systems, characterized by discreteness of potential and long-range correlations is evolved. A mathematical model of additive many-step Markov chain, that allows one to describe efficiently correlation properties of discrete numerical sequences and to construct sequences with predefined statistical characteristics, is developed. Based upon the proposed model a method is worked out to construct a one-dimensional discrete random potential, which (in the framework of Anderson model) is characterized by a preset dependence of the localization length of excitations upon their frequency. An ability to construct the discrete potentials possessing the required arrangement of transparency and reflection windows at a frequency band is analyzed. A method of constructing the Josephson chain with a required transparency edge is developed.

Key words: long-range correlations, Markov chain, Anderson model, localization length, Josephson chain, transparency edge.

Размещено на Allbest.ru

...