Дослідження стійкості руху і оцінка областей притягання механічних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дослідження стійкості руху і оцінка областей притягання механічних систем

01.02.01 Ї теоретична механіка

Суйков Олексій Сергійович

Донецьк Ї 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Ковальов Олександр Михайлович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Вербицький Володимир Григорийович,

Донецький інститут автомобільного транспорту,

завідувач кафедрою основ проектування машин;

доктор фізико-математичних наук, професор

Кононов Юрій Микитович,

Донецький національний університет, професор кафедри прикладної механіки та комп'ютерних технологій

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Метод функцій Ляпунова являє собою один з основних інструментів сучасної теорії стійкості руху. Знання функції Ляпунова для конкретної системи дозволяє не тільки зробити висновки про стійкість систем, але також отримати суттєву інформацію про поведінку фазових траєкторій системи. Функції Ляпунова дозволяють розв'язувати задачі пов'язанні з притяганням рішень, давати оцінки часу перебування розв'язків в деякій області. В теорії керування знання функції Ляпунова дає можливість в деяких випадках безпосередньо записати вигляд керуючого сигналу, що здатен стабілізувати систему. За більш ніж сторіччя з моменту виходу дисертації О.М. Ляпунова метод функцій Ляпунова було розповсюджено далеко за межі початкових визначень, зокрема на розривні системи, дискретні системи, задачі керування тощо.

Незважаючи на широке застосування функцій Ляпунова як в теоретичних дослідженнях, так і на практиці, деякі ключові питання метода не мають на сьогоднішній день повноцінної відповіді. До таких питань відноситься, зокрема, задача побудови функції Ляпунова.

Основні теореми методу функцій Ляпунова мають по суті достатній характер, і передбачають апріорне знання функції, що задовольняє деяким умовам. Відомо, що для досить широкого класу систем такі функції напевне існують; проблему існування функцій Ляпунова, або інакше проблему обернення теорем Ляпунова, розглядали І.Г. Малкін, К.П. Персидський, Х. Массера, J. Kurzweil, E. Sontag, H. Sussmann та ін. Водночас універсальних способів побудови функцій Ляпунова для конкретної системи невідомо.

Задача побудови відповідних функцій, завдяки своєму практичному значенню, активно досліджувалась впродовж всього терміну існування поняття функції Ляпунова. Зокрема, для автономних систем з фіксованими параметрами було розроблено способи побудови функції Ляпунова у вигляді деякого ряду з невизначеними коефіцієнтами. Для некритичних систем, тобто таких що є асимптотично стійкими за першим наближенням, результат у вигляді квадратичних функцій отримав О.М. Ляпунов. Критичними випадками займались В.І. Зубов, К.П. Персидський, І.Г. Малкін, В.М. Матросов, Л. Сальвадорі, С. Лефшец, В.В. Рум'янцев, В.А. Плісс, В.С. Калітін, О.О. Мартинюк, О.О. Ігнатьєв, О.Я. Савченко.

Складність застосування такого підходу до систем зі змінними параметрами та неавтономних систем викликають інтерес до більш загальних методів побудови функцій Ляпунова. До таких, зокрема, відноситься відомий метод інтегральних зв'язок (М.Г. Четаєв та ін.), а також запропоновані в останні роки методи, що ґрунтуються на теорії інваріантних співвідношень (F. Mazenc, D. Neљiж, О.М. Ковалев). В свою чергу, роз

виток обчислювальної техніки та використання функцій Ляпунова за ме-жами традиційних задач стійкості забезпечують підвищений інтерес до наближених методів побудови функцій Ляпунова, зокрема оптимізаційних (A. Packard, A. Papachristodoulou).

Інтерес до задач побудови функцій Ляпунова, на противагу припущенням щодо їх існування, зумовлено не тільки безпосередньо практичними вимогами. Концепція «конструктивної математики», що була відома ще з часів Гільберта, набула певного розповсюдження останнім часом у зв'язку з розвитком методики символьних обчислень та потреби у відповідних алгоритмах, не приймає чистих теорем існування в класичному вигляді і вимагає знання конкретних процедур, які б дозволяли побудову відповідного об'єкта. З цієї точки зору проблема обертання теорем Ляпунова зводиться по суті до побудови таких функцій, і розробка загальних методів побудови стає першоплановою.

Застосування функцій Ляпунова за межами власне задач стійкості руху, таких як оцінка області притягання, або задач керування, також вимагає специфічного підходу до побудови цих функцій. Неоднозначність вибору функцій Ляпунова, що не є принциповою при розв'язанні задач стійкості, може суттєво впливати на результат в цих суттєво нелокальних задачах. Незважаючи на розповсюдженість цих задач, такі питання досить слабо висвітлені в літературі. Отже, актуальним представляється дослідження критеріїв вибору функцій Ляпунова для нелокальних задач теорії стійкості.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з планом наукових досліджень відділу технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України в рамках теми «Керування і стійкість гібридних систем та сучасні проблеми робототехніки» (номер теми за перспективним тематичним планом III-5-06, державний реєстраційний номер теми 0106U000044).

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є отримання нових форм функції Ляпунова для певного класу динамічних систем, зокрема рівнянь руху механічних систем, в критичних випадках, а також оцінка деяких аспектів впливу вигляду функції Ляпунова на результати її застосування до задач оцінки областей притягання.

Об'єктом дослідження є системи звичайних диференціальних рівнянь, що моделюють рух механічних систем.

Предметом дослідження є задачі стійкості таких систем та функції Ляпунова, що використовуються для розв'язання цих задач.

Методи дослідження. Робота присвячена розвитку окремих питань методу функцій Ляпунова в теорії стійкості. Для побудови функції Ляпунова використовується метод інваріантних співвідношень. При дослідженні областей притягання конкретних систем використовуються чисельні методи.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації отримано такі нові результати:

1. вказано спосіб побудови функції Ляпунова зі знаковизначеною похідною для автономних динамічних систем, що задовольняють умовам теореми Барбашина - Красовського;

2. показано суттєву залежність результатів оцінки областей притягання динамічних систем за допомогою функції Ляпунова від способу вибору цієї функції; розглянуто критерії вибору функції Ляпунова виходячи з вимог задач оцінки області притягання;

3. запропоновано спосіб чисельної оцінки області притягання автономної системи при заданій функції Ляпунова;

4. отримано оцінки областей притягання для автономного (однорідного) рівняння Дуффінга, рівняння Ван дер Поля та системи Лоткі - Вольтерра у вигляді ліній рівня поліноміальних функцій Ляпунова різного степеня, максимальних функцій Ляпунова та функцій Ляпунова спеціального виду;

5. отримано оцінки областей практичної стійкості для рівнянь руху важкого твердого тіла з нерухомою точкою та неповною дисипацією енергії.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Запропоновані методи побудови функцій Ляпунова та оцінки областей притягання можуть бути використані при дослідженні руху конкретних механічних систем, а також динамічних систем загального виду. Наведений в дисертації підхід до чисельної побудови оцінок областей притягання може знайти застосування в загальній інженерній практиці.

Особистий внесок здобувача. Всі результати отримані здобувачем особисто. Визначення загального плану діяльності та постановка задач належить науковому керівнику. В роботах [1, 2] співавтору О.М. Ковальову належать результати щодо випадку однієї множини та ненульової першої похідної відповідної функції. В роботі [3] співавтору В.Є. Пузирьову постановка задач та аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на семінарах відділів технічної та прикладної механіки Інституту прикладної механіки НАН України, а також на конференціях:

* міжнародна конференція «Классические задачи механики твердо-

го тела», Донецьк, 2007

* 10 міжнародна конференція «Устойчивость, управление и динами-

ка твердого тела», Донецьк, 2008

* XV міжнародна конференція з автоматичного керування

«Автоматика-2008», Одесса, 2008

* XII міжнародна научно-технічна конференція «Моделювання, ідентифікація, синтез систем управління», Канака, 2009

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-8] (4 статті в виданнях за списком ВАК України та 4 публікації в збірниках тез доповідей).

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку літератури. Обсяг дисертації складає 133 сторінки тексту. Дисертація містить 20 малюнків. Список літератури містить 90 джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

В розділі 1 подано огляд літератури за темою дослідження. В розділі 2 наведено основні визначення, що використовуються в роботі, та описано методи досліджень.

Розділ 3 присвячено побудові функції Ляпунова для систем, що задовольняють умовам теореми Барбашина - Красовського.

Розглядаються системи звичайних диференціальних рівнянь

(1)

для яких відома функція Ляпунова V, така, що

* при

* при

причому множина

не містить цілих напівтраєкторій системи, тобто

Тут через позначено розв'язок (1), що проходить через точку , тобто . За таких умов ставиться задача отримати функцію Ляпунова зі знаковизначеною похідною, тобто таку що

* , при

* , при

Функція записується у вигляді , де -- деяка додаткова функція, обрана таким чином, щоб задовольняла умовам теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість. Таким чином, задача зводиться до знаходження функції , яка в достатньо малому околі нуля має задовольняти на такі умови:

* при

* при

* при

Функція будується на базі деяких результатів, що стосуються інваріантних співвідношення системи (1).

Означення 1. Нехай є деяка функція; тоді можна записати її похідні в силу системи (1)

,

де приймається . Якщо множина

непорожня, то вона зветься інваріантною множиною системи (1), а рівняння -- інваріантним співвідношенням цієї системи.

Для систем розмірності в послідовності (2) може бути лише функціонально незалежних членів. Згідно результатів П.В. Харламова, функціонально незалежними будуть, зокрема, перші членів послідовності (2), тобто

Розглядаючи множину як можливо інваріантну для систем (1), в дисертації доводиться наступна

Лема 1 Якщо множина не містить цілих напівтраекторій, а множина визначається функцією , тобто , то для будь-якої точки знайдеться таке що.

Для побудови додаткової функції w множина M представляється у вигляді

за деяких умовах на , і розглядається як можливе інваріантне співвідношення. Оскільки за умовами теореми Барбашина - Красовського множина не має містити цілих напівтраекторій окрім нуля, для всіх ненульових точок в послідовності , , , ..., має знайтись ненульова в цій точці функція.

Побудова додаткової функції проводиться послідовно. Спочатку розглядається простіший випадок, коли множину можна представити у вигляді

, , при

Для такої множини додаткова функція записується у вигляді

Її похідна в силу системи (1) на множині має значення

Доведено, що можна обрати так, що решта вимог до додаткової функції також будуть виконані.

Наступним розглядається випадок, коли множина представляється у вигляді

, ,

причому

при .

Такий випадок відповідає множині , яку можна представити у вигляді

(4)

Використовувати вираз в якості додаткової функції для кожної множини в такому випадку не можна, оскільки взагалі не є знаковизначеною на .

В такому випадку для кожної множини будується окрема функція , а функція обирається у вигляді їх лінійної комбінації:

.

Для забезпечення знаковизначенності на всій множині на функції накладаються додаткові умови:

* в околі нуля

* коли

* при

* при ,

Остаточний вираз для має вигляд

,

Нарешті, розглядається випадок коли множину можна представити у вигляді

але умови

1. при та

2. при

можуть не виконуватися. Показано що додаткову функцію в такому випадку можно побудувати у вигляді

де функції , , будуються послідовно для кожного з особливих випадків у вигляді

* для випадку 1

* для випадку 2

Доведено що загальна кількість функцій , яка потрібна для завершення побудови, завжди буде скінченною.

Таким чином, основним результатом розділу є

Теорема 1. Якщо система (1) та функція задовольняють на умови теореми Барбашина - Красовського, а множину можна представити у вигляді (4), то можна побудувати функцію

яка буде задовольняти на умови теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість.

Розглянуто декілька динамічних систем, що задовольняють на умови теореми Барбашина - Красовського. Для них запропонованим методом будуються функції Ляпунова зі знаковизначенною похідною.

Розділ 4 присвячено задачі оцінки області притягання системи диференціальних рівнянь (1) за допомогою функцій Ляпунова. Досліджується вплив виду функції Ляпунова на якість оцінки, що можна отримати за допомогою цієї функції.

Означення 2. Областью притягання називається множина

де -- розв'язок системи (1) що проходить через точку .

Означення 3. Оцінкою області притягання (нульового розв'язку системи (1) вважається будь-яка множина , що є зв'язною та включає нуль.

Оцінки області притягання будуються за методом Ла Салля з модифікованими умовами на область :

Твердження 1. Якщо область задовольняє на наступні умови:

* зв'язна підмножина , 0?S

* для всіх , ; для всіх

* для всіх ,

то вона є оцінкою області притягання, тобто .

Константа обирається найбільшою можливою за виконання умови при , .

Розглядаються параметричні функції зі скінченним числом параметрів , що при всіх залишаються функціями Ляпунова для наведеної системи. Ставиться задача при заданій функції знайти параметри та відповідну функцію Ляпунова так щоб

(5)

де -- функціонал, що визначає якість функції та відповідної оцінки. Передбачається що при заданій функції Ляпунова оцінка будується вказаним вище способом, і число обирається максимально можливим.

Критерій якості оцінки обирається, виходячи з умови неспадання для вкладених оцінок, що формулюється наступним чином. Нехай та -- дві оцінки, яким відповідають функції та . Якщо , то має виконуватись нерівність

(6)

ляпунов диференціальний рух притягання

За основний критерій якості оцінки в дисертації обрано міру множини . Такий критерій задовольняє на умову (6) та є досить природнім.

Оскільки аналітичне обчислення та особливо , за виключенням найпростіших випадків, не представляється можливим, дослідження проводяться чисельними методами в два етапи: на першому обчислюється наближене значення , на другому будується сама область та обчислюється значення . Для знаходження виконання умов

, при

вимагається лише на вузлах сітки

заданого шагу ; значення обчислюється ітераційно шляхом послідовного звуження інтервалу , так, що на кожній ітерації для точного значення c має місце нерівність .

Нарешті, маючи змогу обчислити наближене значення для заданої , тобто при фіксованих значеннях , оптимізаційна задача (5) розв'язується градієнтним методом Нелдера - Міда.

Для контроля результатів обчислень проводиться візуалізація загального вигляду області притягання розглянутих систем шляхом безпосереднього чисельного інтегрування систем (1) та контроля збіжності траєкторій. Для цього обиралась довільна скінченна множина точок і для кожної методом Рунге - Кутта будувалась чисельна траєкторія . Якщо для деякого і всіх t: мало місце , вважалось что . Точки множини позначені точками на відповідних графіках.

Розглянуті системи рівнянь. Оцінки області притягання отримано для трьох динамічних систем.

1. Автономне рівняння Дуффінга з м'якою жорсткістю

, ,

що після відповідних замін записується у вигляді

(7)

де -- характерний параметр, який приймався рівним одиниці всюди де не вказано інакше. Область притягання цієї системи є необмеженою.

2. Рівняння Ван дер Поля з обернутим часом, що у вигляді нормальної системи записується як

(8)

3. Система Лоткі - Вольтерра

(9)

для якої розглядається стійкість стаціонарного розв'язку , з відповідною заміною координат , .

Функції Ляпунова. Розглядаються два типа параметричних функцій Ляпунова:

1. Поліноміальні функції

при різних значеннях k?2. Припускаючи що права частина системи (1) є також поліномом, похідна записується у вигляді

Для некритичних випадків множина визначається умовою знаковизначенності

в критичних випадках також додаються відповідні умови на коефіцієнти при старших степенях x.

Побудовано оцінки для рівняння Дуффінга (7) за допомогою функцій від 2-го до 10-го порядку ( до ), для рівняння Ван дер Поля та системи Лоткі - Вольтерра.

Побудова поліноміальних функцій високих степенів проводиться послідовним збільшенням степеня, при цьому в якості початкового наближення для функції d+1 порядку береться оптимальна функція d порядку, доповнена відповідними нульовими коефіцієнтами. Таким чином забезпечується стійкість алгоритму в тому сенсі що , де оцінки та відповідають функціям та .

Оцінки області притягання для рівняння Дуффінга поліноміальною функцією Ляпунова 8-го порядку та максимальною функцією Ляпунова 4-го порядку

Відмічено що зростання якості оцінки при збільшенні степеня швидко зупиняється, водночас обчислювальна складність задачі зростає, що пов'язано зі швидким зростанням кількості вільних коефіцієнтів (тобто параметрів оптимізації) та локальних максимумів функції .

2. Максимальні функції Ляпунова

Максимальні функції Ляпунова були запропоновані в статті спеціально для дослідження областей притягання; ці ж автори запропонували метод побудови дробно-раціональних наближень до цих функцій у вигляді

,

де та -- однорідні поліноми степеня i, коефіцієнти та яких задовольняють системі рівнянь

:

:

при k від 2 до d. Ця система є недовизначеною і дозволяє виразити, зокрема, як функції та розглядати як параметри оптимізації. Додаткових умов на параметри не накладається, оскільки функція є функцією Ляпунова для системи (1) за будь-яких значень .

Побудовано оцінки функціями для рівняння Дуффінга (7), рівняння Ван дер Поля (8) та системи Лоткі - Вольтерра (9) при d=4 та d=6. Незважаючи на те, що максимальні функції Ляпунова вводились саме для оцінки областей притягання, ці функції звичайно дають меншу оцінку, ніж поліноміальні функції того ж порядку. В той же час менша кількість параметрів значно зменшує обчислювальну складність оптимізаційної задачі.

Досліджено вплив матриці Q на оцінки областей притягання. Відмічено що цей вплив є суттєвим; зокрема, вибір Q такою, що відповідає оптимальній поліноміальній функції 2-го порядку, забезпечую близьку до оптимальної оцінку.

3. Функції Ляпунова спеціального виду.

Для рівняння Дуффінга побудовано функцію Ляпунова, близьку до зв'язки інтегралів, у вигляді

де , , та розглядаються як параметри оптимізації. Незважаючи на простий вид функції, невисокий степень та невелику кількість параметрів, така функція дає оцінку, що лише незначно меньша за кращій результат за поліноміальними функціями.

Змінні параметри системи. Для рівняння Дуфінга (7) та поліноміальних функцій проведено аналіз залежності оптимальної (в сенсі критерію Q) функції Ляпунова від параметрів системи. Відмічено що при a?1 інтерполяція як параметрів функції Ляпунова, так і числа c дає прийнятні результати. Показано, що в загальному випадку ці залежності можуть не допускати інтерполяцію (зокрема, бути розривними).

В п'ятому розділі досліджується рух важкого твердого тіла навколо нерухомої точки з неповною дисипацією енергії, що описується рівняннями

,

, (10)

Нульовий розв'язок системи є стійким відносно усіх трьох змінних, та асимптотично стійким відносно . Для цієї системи будується функція Ляпунова у вигляді

Ця функція дозволяє отримати асимптотичні оцінки поведінки траєкторій системи:

Твердження 2. За будь-яких початкових збурень траєкторії змінні системи задовольняють на умову

де вигляд , , та залежить від параметрів системи та початкових збурень.

З використанням чисельних методів проведено також дослідження деяких аспектів притягання траєкторій до вісі . Так, було розглянуто так звану внутрішню зону

: якщо , то

що гарантує притягання для траєкторій, що мають хоча б одну точку в цій області. Проведено дослідження області звичайної стійкості, тобто

що для розглянутої системи має секторний характер. Розглянуто питання про залежність граничного режиму руху тіла , де

,

від початкових збурень , що вважаються довільно великими. Відмічено наявність фазових траєкторій, для яких

,

що відповідає зміні напряму обернення тіла навколо третьої осі. Незважаючи на те, що не є константою для довільної траєкторії, виконання умови (11) має місце лише для початкових збурень з певних областей фазового простору. Досліджено області переходу від траєкторій, для яких виконується

(11)

до траєкторій типу (11). Відмічено існування збурень , що повністю зникають в процесі руху, тобто

множина таких збурень являє собою поверхню в фазовому просторі системи (10).

ВИСНОВКИ

Таким чином, основними результатами дисертаційної роботи є:

1. отримано явний вираз функції Ляпунова для автономним систем, що задовольняють умовам теореми Барбашина - Красовського;

2. розглянуто задачу оцінки області притягання автономної для динамічної систем при заданій функції Ляпунова; Вказано спосіб отримання такої оцінки, що дозволяє використовувати функції Ляпунова високих порядків, які не є глобально знаковизначеними;

3. поставлено задачу отримання оптимальної оцінки області притягання шляхом вибору параметрів функції Ляпунова. Критерієм якості оцінки обрано міру оцінки;

4. оцінки області притягання для двох систем 2-го порядку отримано з використанням поліноміальних функцій Ляпунова різного степеня, максимальних функцій Ляпунова та функцій Ляпунова типу зв'язки інтегралів;

5. для задачі руху твердого тіла навколо нерухомої точки с неповною дисипацією енергії за допомогою функцій Ляпунова отримано оцінки областей притягання.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В НАСТУПНИХ РОБОТАХ

1. А.М. Ковалев. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих условиям теоремы Барбашина-Красовского / А.М. Ковалев, А.С. Суйков // Проблем управления и автоматики 6, 2008. Ї С. 5-15

2. А.М. Ковалев. Построение функций Ляпунова при выполнении условий теоремы Барбашина-Красовского / А.М. Ковалев, А.С. Суйков // Доповіді Національної академії наук України, No.12, 2008. Ї С. 22-27

3. В.Е. Пузырев. О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии / В.Е. Пузырев, А.С. Суйков // Механика твердого тела, вып. 39, 2010. Ї С. 157-166

4. А.С. Суйков. Оценка области притяжения для однородного уравнения Дуффинга / А.С. Суйков // Вестник Донецкого националь-

ного университета 1, 2010. Ї С. 89-94

5. А.М. Ковалев. Использование метода инвариантных соотношений для построения функций Ляпунова / А.М. Ковалев, А.С. Суйков // Международная конференция «Классические задачи динамики твердого тела», 9-13 июня 2007. Сборник тезисов. Ї Донецк: ИПММ НАН Украины, 2007

6. А.М. Ковалев. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих условиям теоремы Барбашина-Красовского / А.М. Ковалев, А.С. Суйков // Сборник тезисов десятой международной конференции «Устойчивость, управления и динамика твердого тела». Ї Донецк: ИПММ НАН Украины, 2009. Ї С. 43

7. А.М. Ковалев. Построение функций Ляпунова со знакоопределенной производной при выполнении условий теоремы Барбашина - Красовского / А.М. Ковалев, А.С. Суйков // XV международная конференция по автоматическому управлению «Автоматика-2008», сборник тезисов. Ї Одесса: ОНМА, 2008. Ї С. 99-101

8. В.Е. Пузырев. О построении области притяжения для автономных систем с использованием функций Ляпунова / В.Е. Пузырев, А.С. Суйков // Сборник тезисов XII международной научно-технической конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления». Ї Донецк: ИПММ НАН Украины, 2009.

АНОТАЦІЇ

Суйков О.С. Дослідження стійкості руху і областей притягання меха-нічних систем Ї Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 Ї теоретична механіка. Ї Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2010. Дисертація присвячена дослідженню стійкості руху механічних систем за допомогою функцій Ляпунова. Розглянуто задачу побудови функції Ляпунова зі знаковизначеною похідною для систем, що задовольняють на умови теореми Барбашина - Красовського. Наведено вид такої функції, досліджено можливі варіанти структури множини нулів похідної функції Ляпунова. З позиції застосування функцій Ляпунова розглянуто задачу оцінки області притягання динамічної системи. Для функцій Ляпунова з параметрами поставлено задачу оптимізації оцінки за деяким критерієм. За критерій якості обрано міру оцінки. Розглянуто оцінки, що відповідають поліноміальним функціям Ляпунова та максимальним функціям Ляпунова. Побудовано оцінки області притягання для рівнянь Дуффінга, Ван дер Поля та системи Лоткі - Вольтерра. Для рівняння Дуффінга побудовано функцію Ляпунова спеціального виду, отримано відповідну оцінку. Також, розглянуто задачу про рух твердого тіла з нерухомою точкою при неповній дисипації енергії, для цієї задачі за допомогою функцій Ляпунова побудовано асимптотичні оцінки кількісних характеристик руху. Крім того, проведено моделювання поведінки системи при значних початкових збуреннях та дано класифікацію характеру можливих фазових траєкторій.

Ключові слова: стійкість, функції Ляпунова, область притягання, механічні системи.

Суйков А.С. Исследование устойчивости движения и оценка областей притяжения механических систем.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-мате-матических наук по специальности 01.02.01 Ї теоретическая механика. Ї Институт прикладной математики и механики НАН Украины,

Донецк 2010.

Диссертация посвящена исследованию устойчивости движения механических систем с использованием функций Ляпунова. Особое внимание уделяется методам построения этих функций и их влиянию на результаты решения нелокальных задач теории устойчивости движения.

Рассмотрена проблема построения функции Ляпунова со знакоопределенной производной для систем, удовлетворяющих условиями теоремы Барбашина - Красовского. Приведено явное выражение для такой функции в виде суммы исходной функции Ляпунова и некоторой дополнительной функции вид которой определяется множеством Для построения дополнительной функции

используется метод инвариантных соотношений.

Рассмотрена задача оценки области притяжения динамических систем

с помощью функции Ляпунова. Использовались оценки в виде множеств, ограниченных поверхностями уровня Поставлена задача о получении оптимальной оценки на множестве параметрических функций Ляпунова рассмотрены требования, предъявляемые к критериям оптимальности. В качестве критерия оптимальности выбрана мера получаемой оценки области притяжения.

Также, рассмотрена задача о движении твердого тела около неподвижной точки с неполной диссипацией энергии, допускающая устойчивые решения, соответствующие равномерным вращениям тела около фиксированной оси. Для этой задачи получены асимптотические оценки поведения траекторий с использованием функций Ляпунова. Рассмотрены задачи по оценке областей практической устойчивости, а также областей начальных значений, соответствующих особым типа движения, в частности смене направления вращения.

Ключевые слова: устойчивость, функции Ляпунова, области притяжения, механические системы.

A. Suykov Stability of motion and estimation of attraction domains of mechanical systems. Ї manuscript.

The dissertation is dedicated to investigation of stability of mechanical systems by Lyapunov's direct method. Firstly, the problem of strong Lyapunov function construction for systems satisfying the conditions of Barbashyn - Krasovskii theorem is considered. Such function is obtained by means of invariant set theory. Then the problem of obtaining an estimate of attraction domain is investigated. The estimates are built using polynomial Lyapunov functions of varying degrees, maximal Lyapunov functions and Lyapunov function of special form. The estimates were obtained for unforced Duffing equation, Van der Pol equation and Lotka - Volterra equation. Finally, the problem of rigid body motion around a fixed point was considered, and for that system asymptotic estimates of trajectory behaviour were obtained using Lyapunov functions. Also, phase trajectory classification for large initial disturbances by means of numeric modelling is provided.

Keywords: stability, Lyapunov functions, regions of attraction, mechanical systems.

Размещено на Allbest.ru

...