Дифракція пружних SH-хвиль на міжфазних тріщинах

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКPАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

УДК 539.3

ДИФРАКЦІЯ ПРУЖНИХ SH-ХВИЛЬ НА МІЖФАЗНИХ ТРІЩИНАХ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ВОЙТКО Мирон Васильович

ЛЬВІВ - 2010



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-механічному інституті ім. Г.В. Карпенка НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Куриляк Дозислав Богданович, Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, завідувач відділу фізичних основ діагностики матеріалів.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Меньшиков Василь Олександрович, Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жу-ковського “Харківський авіаційний інститут”, професор кафедри теоретичної механіки та машинознавства;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Михаськів Віктор Володимирович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу обчислювальної механіки деформівних систем.

Захист відбудеться “27” грудня 2010 року о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.95.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: вул. Наукова, 3-б., м. Львів, 79060. З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: вул. Наукова, 3-б., м. Львів, 79060.

Автореферат розіслано “26” листопада 2010 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук, професор О.В. Максимук



АНОТАЦІЯ

Войтко М.В. Дифракція пружних sh-хвиль на міжфазних тріщинах. - Рукопис. спектр асимптотичний високочастотний

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2010.

У дисертаційній роботі досліджено дифракцію пружних SH-хвиль на міжфазних тріщинах. Зондувальне поле моделювалося полем плоскої хвилі та джерела зосередженої сили. Використовуючи метод Вінера-Хопфа отримано ефективні асимптотичні розв'язки задачі у високочастотній області спектра, придатні для довільних кута зондування, координат точки прикладання зосередженої сили та механічних характеристик матеріалів з'єднання. Проведено аналіз впливу параметрів задачі на формування діаграм спрямованості та поведінку КІН. Вивчено особливості поведінки характеристик розсіяного поля та КІН за критичних та ковзних кутів зондування і спостереження та запропоновано схему їх використання для визначення розмірів тріщини. Виведено співвідношення, що зв'язує КІН в околі вершини напівнескінченної міжфазної тріщини з дифрагованим полем зміщень в зоні випромінювання. Побудовано наближений розв'язок задачі про дифракцію SH-хвиль на системі скінченних міжфазних тріщин та досліджено особливості поведінки діаграм спрямованості для двох міжфазних тріщин.

Ключові слова: дифракція, SH-хвиля, метод Вінера-Хопфа, динамічні коефіцієнти інтенсивності напружень, міжфазна тріщина.



АННОТАЦИЯ

Войтко М.В. Дифракция упругих sh-волн на межфазных трещинах. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины. Львов, 2010.

Диссертационная робота посвящена изучению задач дифракции упругих SH-волн на межфазных трещинах при их зондировании плоской волной и полем источника сосредоточенной силы. Трещина моделируется поверхностью свободной от напряжений. Используя преобразование Фурье, смешанная краевая задача дифракции упругих волн сводится методом Джонса к функциональному уравнению Винера-Хопфа. После процедуры факторизации, из этого уравнения получено систему интегральных уравнений второго рода. Подынтегральные функции рассматриваются на листах римановой поверхности, образованных разрезами комплексной плоскости и проходящими от точек ветвления к бесконечности, параллельно мнимой оси. Листы римановой поверхности выбрались так, чтобы обеспечить выполнения условия граничного поглощения.

Решение интегральных уравнений получено в высокочастотном приближении. При построении решения учитывали экспоненциальное затухание ядер вдоль контура интегрирования, а подынтегральные функции заменяли первыми членами их разложения в ряды Тейлора в окрестности точек ветвления. Решение задачи сведено к функциональным соотношениям, в которых искомые функции выражаются через их значения в точках ветвления, а известные коэффициенты содержат слабосингулярные интегралы. Предложено регуляризирующую процедуру их вычисления. С помощью полученных функциональных соотношений приближенное решение уравнения Винера-Хопфа свели к решению системы линейных алгебраических уравнений четвертого порядка. Используя полученные решения, выведены выражения для поля смещений в зоне излучения.

Исследовано особенности распределения поля излучения в области критических углов, эффекты многократной дифракции волн на вершинах трещины и их вклад в формирование рассеянного поля смещений, а также образование боковой волны.

На основании полученных решений выведены асимптотические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений (КИН). Исследованы зависимости КИН от безразмерной длины трещины, угла падения плоской волны, механических и физических свойств материалов. Выявлены особенности поведения КИН для дальней вершины трещины при касательных и критических углах облучения. Показано, что эти эффекты обусловлены дифракционным взаимодействием SH-волны с вершинами трещины. Для полубесконечной межфазной трещины получены соотношения, которые связывают поле излучения в фиксированных направлениях и КИН в зависимости от угла падения и частоты зондирующей волны.

Исследовано влияние координат точки приложения сосредоточенной силы, механических характеристик материалов и частоты на формирование диаграмм направленности при зондировании трещины SH-волной, возбуждаемой линейным источником. Установлены параметры, при которых эти диаграммы совпадают с диаграммами, полученными для плоской волны. Получено приближенное решение задачи дифракции SH-волн на системе конечных межфазных трещин и исследовано особенности поведения поля излучения для двух трещин.

Ключевые слова: дифракция, SH-волна, метод Винера-Хопфа, динамические коэффициенты интенсивности напряжений, межфазная трещина.



ABSTRACT

Voytko M.V. Diffraction of elastic SH-waves on interface cracks. - Manuscript.

Thesis for a degree of a Candidate of Scicences in Physics and Mathematics (speciality 01.02.04 - Mechanics for Deformable Solids). - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NAS of Ukraine, Lviv, 2010.

The thesis is focused on study of elastic SH-waves diffraction by interface cracks. Incident field has been modelled by either plane wave field or concentrated force source. Efficient asymptotic solutions for high-frequency range of spectrum were obtained with the use of Wiener-Hopf method. These solutions are suitable for arbitrary values of incident angle, coordinates of point of concentrated force application and mechanical properties of joint materials. The influence of problem parameters and effects of diffraction edge interaction on the formation of radiation patterns and on the behaviour of SIF dependencies has been analysed. Peculiarities of behaviour of characteristics of scattered field and SIF under critical and sliding angles of incident and observation angles were studied in detail. The scheme of their application for the determination of crack sizes has been proposed. Formulae for the calculation of SIF in vicinity of the semi-infinite interface crack tip on the basis of diffracted far field displacement were derived. Approximate solution for the problem of SH-wave diffraction on the finite interface cracks was found. Peculiarities of behaviour of radiation pattern for two interface cracks were studied.

Keywords: diffraction, SH-wave, Wiener-Hopf method, dynamic stress intensity factors, interface crack.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасні засоби забезпечення безаварійної роботи відповідальних конструкцій, надійності з'єднань та захисних покриттів передбачають їх технічне діагностування за результатами зондування різними типами пружних хвиль. Існуючі технології діагностування, як правило, фіксують виникнення дефекту за зміною розсіювальних властивостей досліджуваної структури, а висновок про небезпечність пошкодження здебільшого приймають на основі оцінок експертів. На сьогодні практично не існує достовірних методів інтерпретації даних зондування через використання для цього занадто спрощених моделей, які або не відображають усі суттєві особливості взаємодії полів з дефектами, або, у зв'язку з використанням надто загальних методів аналізу, не завжди вловлюють інформаційно важливі механічні ефекти. Також відкритим залишається питання про достовірне встановлення параметрів дефектів та місць ушкодження матеріалів. Застосування для діагностування сучасних ультразвукових дефектоскопів, робоча частота яких знаходиться у межах 0,8-15 МГц, не вирішує цієї проблеми, оскільки навіть за максимальної частоти довжина пружної зондувальної хвилі у металах може суттєво перевищувати розміри дефектів. Тому оцінка пошкодженості матеріалів за допомогою хвиль такого діапазону носить якісний характер, а отже, перехід до вищих частот і, як наслідок, підвищення роздільної здатності діагностування є актуальною задачею. Особливо це стосується діагностування з'єднань матеріалів, де методи діагностики суттєво ускладнюються.

Розв'язання цієї науково-технічної проблеми вимагає розвитку методів, які давали б можливість вивчати хвильові процеси в з'єднаннях матеріалів з міжфазними тріщинами у широкому діапазоні значень параметрів досліджуваних моделей. Для цього важливо є розробити математичні підходи спеціально орієнтовані на певний клас структур з дефектами. Такі підходи максимально враховують специфіку досліджуваної структури, а отже, дають можливість отримати достовірні результати у традиційно складних для досліджень резонансному та перехідному від резонансного до високочастотного діапазонах довжин хвиль, за мінімальних обмежень на кут опромінення та реєстрації розсіяних хвиль. Розвиток таких підходів та вивчення на їх основі взаємодії пружних хвиль з міжфазними дефектами є актуальною задачею механіки деформівного твердого тіла і є необхідною складовою розвитку сучасних технологій діагностування.

У дисертаційній роботі ці задачі розв'язано на основі вивчення взаємодії пружної горизонтально-поляризованої хвилі (SH-хвилі) з тріщинами, що знаходяться на межі з'єднання двох різних ізотропних пружних півпросторів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертаційної роботи виконувались у відповідності з планами підготовки аспіранта, державних бюджетних науково-дослідних тем Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України: “Розвиток математичних методів теорії дифракції для інтерпретації результатів вихрострумового та радіохвильового неруйнівного контролю матеріалів” (2003-2005 рр., № держреєстрації 0103U003319), “Дослідження дифракційної взаємодії близько розташованих тріщиноподібних дефектів і створення методів та засобів неруйнівного контролю з підвищеною роздільною здатністю” (2006-2008 рр., № держреєстрації 0106U004811), “Виявлення ознак дефектності плоскошаруватих з'єднань з тріщинами на основі нових моделей їх динамічного зондування” (2007-2008 рр., № держреєстрації 0107U009830), “Розроблення теорії неруйнівного контролю з'єднань пружних шаруватих структур з тріщинами за умов їх динамічного зондування” (2007-2010 рр., № держреєстрації 0107U004071).

Метою роботи є вивчення закономірностей формування пружних полів зміщень і динамічних коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) у з'єднаннях матеріалів з міжфазними тріщинами за умов їх гармонічного навантаження.

Для досягнення поставленої мети потрібно було вирішити такі завдання:

· розв'язати задачі дифракції пружних хвиль на скінченній тріщині, розміщеній на плоскій межі поділу двох пружних однорідних ізотропних півпросторів за гармонічного антиплоского навантаження полем плоскої хвилі та полем зосередженої сили;

· отримати та дослідити асимптотичні розв'язки і вирази для дифрагованого поля зміщень та КІН;

· розв'язати задачу про наближене знаходження поля зміщень, дифрагованого на системі зі скінченної кількості міжфазних тріщин;

· дослідити поля зміщень, розсіяні міжфазними тріщинами у з'єднаннях різних матеріалів за їх опромінення полем SH-хвилі, та виявити ознаки їх ідентифікації.

Об'єктом досліджень є з'єднання пружних матеріалів з міжфазними тріщинами під дією гармонічного навантаження.

Предмет дослідження - закономірності формування хвильової картини розсіяного поля зміщень та напружено-деформованого стану, коли задані динамічні навантаження.

Методи досліджень. Для розв'язування рівняння Гельмгольца у декартовій системі координат використано метод розділення змінних. Зведення змішаної крайової задачі дифракції пружних SH-хвиль на міжфазних тріщинах до функціональних рівнянь Вінера-Хопфа базується на застосуванні інтегрального перетворення Фур'є та методу Джонса. Для розв'язання рівнянь Вінера-Хопфа використано метод факторизації та теорему Ліувілля. Однозначне подання розв'язку досягається завдяки застосуванню умов граничного поглинання і скінченності енергії поля. Асимптотичні оцінки інтегралів отримано методом сідлової точки. Використано методи регуляризації під час обчислення слабо сингулярних інтегралів. Для вивчення механічних властивостей використано методи чисельного моделювання.

Наукова новизна роботи полягає у наступному:

· розвинуто асимптотичний метод розв'язування рівняння Вінера-Хопфа для задач дифракції пружних SH-хвиль на міжфазній тріщині у високочастотній області;

· отримано наближені аналітичні формули для знаходження динамічних КІН в околі вершин міжфазної тріщини та дифрагованого поля зміщень у дальній зоні за довільних кутів падіння плоскої хвилі, координат точки прикладання зосередженої сили та механічних характеристик матеріалів з'єднання;

· виведено співвідношення, яке встановлює залежність між полем зміщень у зоні випромінювання, дифрагованим на напівнескінченній міжфазній тріщині, та КІН в околі вершини цієї тріщини;

· виявлено нові закономірності формування просторового розподілу поля зміщень та динамічних КІН, а також вивчено ефекти, за якими можна визначити розмір тріщини на межі з'єднання двох пружних однорідних півпросторів;

· запропонована модель дифракційно невзаємодіючих міжфазних тріщин та обґрунтовано умови її застосування.

Обґрунтованість і достовірність наукових результатів забезпечується коректністю та строгістю математичних постановок задач, адекватною фізичною інтерпретацією розв'язків, використанням апробованих математичних підходів, узгодженістю отриманих в роботі результатів з результатами інших авторів, які є частковими випадками даної роботи.

Теоретичне та практичне значення одержаних у роботі результатів полягає у можливості використання отриманих закономірностей поведінки розсіяного міжфазною тріщиною пружного поля для ідентифікації тріщини та КІН для оцінки напружено-деформованого стану шаруватого з'єднання з міжфазними тріщинами. Виявлені маркери утворення бокової хвилі та монотонна залежність амплітуди розсіяного поля від ширини тріщини за малих і критичних кутів опромінення можна використати для визначення ширини міжфазної тріщини. Отриманий зв'язок між розсіяним полем у зоні випромінювання та КІН в околі вершини напівнескінченної міжфазної тріщини можна застосувати для оцінки впливу параметрів динамічного навантаження на КІН. Розв'язок задачі про дифракцію на міжфазній тріщині поля лінійного джерела дає можливість уточнити область застосування загально відомої моделі плоскої хвилі. Побудовані наближені розв'язки дифракційної задачі для системи скінченних міжфазних тріщин можна використати для роздільного виявлення двох тріщин.

Апробація результатів роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на ІХ, Х Міжнародних семінарах “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory” (Львів-Тбілісі, 2004, 2005), відкритій науковій конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (Львів, 2005, 2007, 2009); ХІ Міжнародній конференції “Mathematical methods in electromagnetic theory” (Харків, 2006), IV Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2008), ІХ Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 2009); конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я.С. Підстригача (Львів, 2009), IV Міжнародній конференції “Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (Львів, 2009), VIII Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2010).

У повному обсязі результати дисертаційної роботи доповідалась та обговорювались на науковому семінарі відділу фізичних основ діагностики матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України; кваліфікаційному семінарі “Проблеми механіки крихкого руйнування” Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України під керівництвом акад. НАН України, д.т.н., проф. В.В. Панасюка; науковому семінарі відділу обчислювальної механіки деформівних систем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д.ф.-м.н. В.В. Михаськіва; кваліфікаційному семінарі “Математичні проблеми механіки руйнування та контактних явищ” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом чл.-кор. НАН України, д.ф.-м.н., проф. Г.С. Кіта; науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Г.Т. Сулима; науковому семінарі кафедри методів математичної фізики Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Г.Я. Попова; науковому семінарі в Інституті гідромеханіки НАН України.

Публікації та особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковані у 17 працях, з них 5 статей [1-5] у рецензованих наукових журналах із Переліку ВАК України на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук, які перекладені на англійську мову у видавництві Springer.

Основні результати роботи отримані автором самостійно. Праці [9, 12, 14-16] опубліковані без співавторів. У публікаціях [1, 7, 8, 10, 11], написаних у співавторстві, автор брав участь у зведенні крайової задачі до рівняння Вінера-Хопфа та його факторизації, отриманні та аналізі числових результатів; у працях [2, 17] досліджував асимптотичну поведінку розв'язків; у праці [3] досліджував ефекти взаємодії пружних хвиль з вершинами міжфазної тріщини; у [4] досліджував інтегральні рівняння; у [5] брав участь в отриманні співвідношень між полем зміщень та КІН; у [6] виводив інтегральні рівняння; у праці [13] брав участь у наближеному знаходженні спектра коливань тріщини в однорідному середовищі. У всіх працях автору належить розробка числових алгоритмів розв'язування задач на мові програмування FORTRAN.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, які містять 43 рисунки, висновків та списку використаних джерел із 219 найменувань. Загальний обсяг роботи викладено на 160 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та задачі досліджень, розкрито наукову новизну та практичне значення роботи, наведено інформацію про апробацію отриманих результатів і публікації, які відображають основний зміст роботи.

У першому розділі на основі огляду літературних джерел проаналізовано сучасний стан проблеми дифракційної взаємодії пружних хвиль з дефектами типу тріщин. Показано місце дисертаційного дослідження серед відомих результатів у цій науковій тематиці.

Розглянуто основні математичні підходи, які використовуються для вивчення поля зміщень, розсіяного тріщиною, та оцінки напружено-деформованого стану в околі вершин тріщини. Зазначено, що загальні методологічні засади, які використовуються для теоретичних досліджень проблем збудження, розповсюдження та дифракції пружних (електромагнітних) хвиль у твердих деформівних тілах з тріщинами в основному викладені у працях В.М. Александрова, О.Є. Андрейківа, В.А. Бабешка, В. Г. Борисковського, М.М. Бородачова, Н.Д. Вайсфельд, Й.І. Воровича, Р. В. Гольдштейна, В.Т. Грінченка, О. М. Гузя, В.Ф. Ємця, Г.С. Кіта, В.Д. Кубенка, Д.Б. Куриляка, В.В. Мелешка, В.О. Меньшикова, О.В. Меньшикова, В.В. Михаськіва, З.Т. Назарчука, В.В. Панасюка, В. З. Партона, В.Г. Попова, Г.Я. Попова, М.П.Саврука, І.Т. Селезова, А.Ф. Улітка, Л.А. Фильштинського, М.В. Хая, М.О. Черевка, Г.П. Черепанова, J.Achenbach, A. Bostrцm, M. Ghosh, K. Kobayashi, A. Maue, A. Norris, S. Pal, G. Sih, Ch. Zhang та інших вчених.

Показано, що у більшості праць автори обмежувались вивченням взаємодії пружних хвиль з напівнескінченними або скінченними тріщинами, розміри яких набагато менші, ніж довжина хвилі. Крім того, переважна більшість публікацій стосувалася випадку, коли тріщини знаходилися в однорідному середовищі. Встановлено, що взаємодія пружних хвиль з дефектами, розташованими на межі з'єднання двох пружних півпросторів, вивчена недостатньо, зокрема, практично не досліджена у високочастотній області. На цій підставі обґрунтовано доцільність передбачених у дисертації досліджень.

У другому розділі сформульовано задачу дифракції плоскої пружної SH-хвилі на скінченній міжфазній тріщині, яка у декартовій системі координат займає область:

і розташована на межі двох однорідних, жорстко з'єднаних пружних ізотропних середовищ. Покладаємо, що тріщину опромінює плоска монохроматична SH-хвиля, яка описується компонентою зміщення

,

Залежність від часу описується множником . Верхній і нижній півпростори характеризуються відповідно густинами , та параметрами Ламе ,. Хвильові числа для областей і задають співвідношення

, де для , для .

Дифраговане поле зміщень знаходимо з розв'язку крайової задачі



, (1)

,(2)

. (3)

Тут - поле, розсіяне бездефектним з'єднанням. Крайові умови (3) забезпечують ідеальний механічний контакт півпросторів. Крім того, функція повинна задовольняти умову граничного поглинання на нескінченності та умову Мейкснера біля вершин тріщини.

Розв'язок крайової задачі (1)-(3) подаємо у вигляді інтегралу Фур'є

,(4)

де - невідомі спектральні густини;

Вважатимемо, що , , , , а перехід до дійсних проводиться в кінцевих формулах.

Застосовуючи перетворення Фур'є до крайової задачі (1)-(3) і враховуючи подання (4), приходимо до функціонального рівняння Вінера-Хопфа, яке отримуємо методом Джонса і записуємо так:



.(5)

Тут , де , , , ; , - невідомі трансформанти Фур'є поля напружень на межі з'єднання поза тріщиною, через які виражаються спектральні густини . Ці функції регулярні відповідно у

півплощинах та , за винятком точки , де має простий полюс у відомому сингулярному доданку. В областях регулярності , , коли , де ; - невідома ціла функція, яка є трансформантою Фур'є скачка зміщень на берегах тріщини.

Характеристична функція

(6)

регулярна в і допускає факторизацію у вигляді

, (7)

де функції регулярні і не мають нулів відповідно у півплощинах , , а в областях регулярності , коли .

Функціональне рівняння (5), використовуючи метод факторизації, зведено до системи інтегральних рівнянь другого роду з інтегралами по контурах, що проходять паралельно уявній осі, уздовж розрізів комплексної площини , від точок галуження підінтегральних функцій при до нескінченності.

Необхідний лист ріманової поверхні вибрано з умови , коли . Ці рівняння в остаточному вигляді записується так:

Тут , - відомі функції.

Інтегральні рівняння (8), (9) розглянуто у високочастотній області (). За цієї умови обмежившись першими членами розкладу в ряд Тейлора функцій , , в точках . В результаті від інтегральних рівнянь перейдено до наступних співвідношень:

(10)

.(11)

, (12)

де - узагальнена гамма-функція, - відомі сталі ();

, … . (13)

Високочастотне наближення розв'язку рівняння (5) розглядали також у праці¹, де використали наближення орієнтоване на дослідження КІН за нормального опромінення тріщини.

Щоб знайти дифраговане поле і КІН за довільних кутів зондування та спостереження запропоновано регуляризаційну процедуру обчислення функцій (12) при довільному , яка коректно враховує особливості в точках .

Невідомі у (10), (11) отримуються із розв'язку системи лінійних алгебричних рівнянь

,(14)

де ,, , ,, , , - відомі величини.

Для зручності інтерпретації ефектів взаємодії пружних SH-хвиль з міжфазними тріщинами, коли у середовищі є втрати деформаційної енергії (), розв'язок системи (14) можна подати у наближеному вигляді:

(15)

Оцінку точності наближених формул (15) показано на рис. 2, де проілюстровано залежність модуля максимальної відносної похибки як функції безрозмірної ширини тріщини за різних кутів зондування з'єднання залізо-цинк (, ). Як видно із рис. 2, коли ( - довжина зондувальної хвилі), то не перевищує 1%. Для тріщин рівної ширини точність формул (15) зростає зі збільшенням уявних частин хвильових чисел.

Співвідношення (10), (11) сумісно з (14) та (15) дають наближений розв'язок рівняння Вінера-Хопфа (5).

Поле зміщень подане інтегралом (4) у зоні випромінювання (), знайдено методом сідлової точки, і у полярній системі координат з початком у вершині тріщини (, ) має вигляд:

Тут , коли , і , коли . Доданок описує вклад бокової хвилі у дифраговане поле і відмінний від нуля у середовищі з меншою швидкістю поширення поперечних хвиль. Показали, що у випадку напівнескінченної міжфазної тріщини, яка займає область (), вираз для бокової хвилі має вигляд

,(17)

де , - критичний кут (, ), , - відома величина. Модуль комплексної амплітуди (17) за фіксованих характеристик середовища та умов зондування досягає максимуму при .

У третьому розділі вивчено особливості взаємодії SH-хвиль з міжфазними тріщинами у широкому діапазоні зміни ширини тріщини, кута зондування плоскої хвилі та механічних характеристик середовищ з'єднання. Показано, що зміна цих параметрів адекватно впливає на зміну форми нормованих діаграм спрямованості полів зміщення, дифрагованих на міжфазній тріщині. Зокрема, зі зростанням ширини тріщини (частоти) відбувається формування дзеркально відбитих і заломлених за законом Снеліуса полів, а також зростання числа осциляцій, обумовлених інтерференцією крайових хвиль.

Виявлено “впадини” на нормованих діаграмах спрямованості тріщини, коли кут спостереження близький до критичного (див. обведення на рис. 3,4; з'єднання залізо-цинк). Розташування впадин залежить від механічних характеристик матеріалів з'єднання і не залежать від кута зондування та частоти.

Цей ефект можна пояснити трансформацією енергії поля крайових хвиль, що випромінюють вершини тріщини у бокову хвилю.

Запропоновано схему його використання для визначення ширини тріщини на основі визначення положень “впадин” за формулою:

, (18)

де - відстань між “впадинами” на поверхні паралельній до площини з'єднання, - відстань між поверхнями.

Досліджено вклад у дифраговане поле ефектів взаємного перевідбивання хвиль вершинами міжфазної тріщини, які на даний час практично не досліджені. Для цього поле крайових хвиль подано так:

Тут , () - трансформанти Фур'є розв'язків дифракційної задачі для напівнескінченних міжфазних тріщин, які займають відповідно області , ; - вклад у дифраговане поле багатократного перевідбивання крайових хвиль між вершинами скінченної тріщини.

Виявлено, що ефекти обумовлені багатократним перевідбиванням є визначальними за малих () і критичних кутів () опромінення, що показано на рис. 5, 6, де наведено нормовані діаграми спрямованості тріщини на межі з'єднань відповідно титан-свинець та свинець-титан. Криві 1 відповідають випадку, коли врахували тільки доданки , ; криві 2 - зберігали усі доданки; криві 3 - враховували тільки . При збільшенні кута зондування домінують доданки ,

Встановлено, що за малих та критичних кутів зондування існують області спостережень, де суттєво зменшується амплітуда осциляцій поля, а характеристики поля практично монотонно залежать від ширини тріщини.

Ця властивість проілюстрована на рис. 8, 9, де наведено залежність модуля розсіяного поля при (крива 1) і (крива 2) за опромінення з'єднання свинець-титан з тріщиною відповідно під малим та критичним кутами. Такі залежності можна використати, щоб однозначно знайти ширину тріщини за значенням модуля поля зміщеннь у фіксованій точці для достатньо широкого діапазону зміни . Зі збільшенням кута опромінення тріщини та віддаленні точок реєстрації від межі з'єднання осциляції модуля поля, як функції ширини тріщини зростають.

Отримано наближені вирази для поля напружень в околі вершин міжфазної тріщини:

де , -комплексні КІН відповідно для ближньої і дальньої вершин за довільного кута зондування (рис.1). Показано, що і осцилюють, як функції параметрів і . Осциляції відбуваються відносно монотонних кривих, які відповідають аналогічним залежностям для напівнескінченних тріщин, а отже характер осциляцій визначається дифракційною взаємодією SH-хвилі з вершинами міжфазної тріщини.

Встановлено, що для , і виконуються відповідно нерівності , і , а для малого і критичного кутів зондування визначаються формулами:

де . Формули (20), (21) відповідно допускають особливості типу та , що можна пояснити концентрацією потоку деформаційної енергії уздовж лінії з'єднання матеріалів та дифракційною взаємодією між вершинами тріщини. Ці властивості проілюстровані на рис. 10, 11, де представлено нормовані КІН

, .

Показано збіжність отриманих в дисертації результатів із визначення КІН з відомими, отриманими як близькими, так і незалежними методами, за умови нормального падіння SH-хвилі на міжфазну тріщину.

Далі використали зв'язок між поведінкою розв'язку задачі дифракції плоскої SH-хвилі на напівнескінченній міжфазній тріщині в околі вершини та асимптотикою його Фур'є перетворення і отримано подання комплексної амплітуди поля крайових хвиль через КІН, яке для верхнього півпростору має вигляд:



.

Показано, що при вираз допускає факторизацію у вигляді добутку функцій, залежних тільки від одного з таких факторів: частота, кут зондування, характеристики матеріалів з'єднання. Далі у дисертації доведено теорему.

Теорема. Коефіцієнт інтенсивності напружень в околі вершини напівнескінченної міжфазної тріщини, обумовлений дифракцією плоскої SH-хвилі, однозначно визначається за амплітудою дальнього поля, розсіяного у напрямі , коли відомі частота , кут опромінення та фізико-механічні характеристики з'єднання;

,

де , - швидкості SH-хвилі відповідно у верхньому і нижньому середовищах;

структурний фактор.

Із формули (23) випливає, що у відношеннях між , визначених при різних кутах або частотах зондування, вилучається структурний фактор, тобто справедливо:

Наслідок 1: відношення за зондування міжфазної тріщини на фіксованій частоті під різними кутами , визначається відношенням комплексних амплітуд розсіяних полів при і косинусів кутів зондування:



.(24)

Наслідок 2: відношення за різних частот , і фіксованого кута зондування пропорційне відношенню комплексних амплітуд розсіяних полів, визначених на цих частотах при та відношенню коренів частот:

.(25)

Формули (24), (25) дозволяють прогнозувати зміну КІН зі зміною умов опромінення.

У випадку однорідного середовища розв'язок задачі дифракції SH-хвилі на напівнескінченній тріщині можна виразити через інтеграли Френеля. Показано, що асимптотичні формули (22), (23) для однорідного середовища збігаються з точними.

У четвертому розділі, для вивчення впливу на дифраговане поле віддалі між джерелом випромінювання і тріщиною розв'язано задачу дифракції SH-хвилі на скінченній міжфазній тріщині за її збудження гармонічною зосередженою силою, прикладеною у точці , ( - полярні координати). Розв'язок подано сумою полів - дифрагованого на тріщині і лінійного джерела у бездефектному з'єднанні. Крайову задачу для визначення поля лінійного джерела у бездефектному з'єднанні зведено до знаходження функції Гріна рівняння Гельмгольца. Отриманий розв'язок цієї задачі записано так:

,

, (26)

де , - поля зміщень розсіяні відповідно у верхній і нижній півпростори

Крайову задачу для знаходження поля дифрагованого на міжфазній тріщині зведено, з урахуванням (26), до рівняння Вінера-Хопфа:

.

Тут , ; , - невідомі функції, що містять у собі відомі доданки, які мають відповідно таке інтегральне подання:

, ,

де , , .

Методи факторизації рівнянь Вінера-Хопфа, які містять інтеграл по контуру, у літературі відображені недостатньо. Тому спочатку досліджено частковий випадок, що відповідає задачі дифракції на напівнескінченній міжфазній тріщині. Отримано її точний розв'язок, і на цьому прикладі розвинуто необхідну техніку факторизації. Далі використано цю методику для зведення рівняння (27) до системи інтегральних рівнянь ІІ-го роду, для яких застосовне високочастотне наближення, розвинуте у розділі 2. Використовуючи отримані розв'язки, досліджено вплив координат точки прикладання зосередженої сили на характеристики розсіяного поля і встановлено умови застосовності моделі плоскої хвилі. Показано, що з віддаленням точки прикладання зосередженої сили від тріщини, форми її діаграм спрямованості прямують до діаграми спрямованості за опромінення плоскою хвилею при довільних кутах зондування і матеріалах з'єднання. При фіксованій віддалі між джерелом і тріщиною кращу збіжність до діаграм за опромінення плоскою хвилю спостерігаємо у випадку скінченних тріщин, що проілюстровано діаграмами на рис. 13, 14 відповідно для скінченної міжфазної і напівнескінченної в однорідному просторі: ; криві 1 - плоска хвиля; 2 - ; 3 - ; 4 - .

У п'ятому розділі запропоновано наближену схема аналізу поля, розсіяного скінченною кількістю міжфазних тріщин за їх опромінення плоскою SH-хвилею під кутом . За цієї умови припустили, що кожна тріщина дифракційно не взаємодіє з сусідами. Це припущення обґрунтовано тим, що при таких кутах зондування тріщини () основний внесок у дифраговане поле дають крайові хвилі, розсіяні незалежно кожною вершиною (розділ 3). В рамках цього наближення поле в зоні випромінювання, розсіяне системою із міжфазних тріщин записали у вигляді:

де - кількість тріщин; , - розв'язок рівняння Вінера-Хопфа для задачі дифракції на снінченній міжфазній тріщині (розділ 2). На відміну від відомих наближень, вираз (29) враховує дифракційну взаємодію між вершинами кожної з тріщин і не враховує цю взаємодію між вершинами сусідніх тріщин.

Наближену формулу (29) використано для аналізу поля двох міжфазних тріщин. Дослідили можливість їх роздільного виявлення, зокрема, коли ці тріщини суттєво відрізняються розмірами, за відмінністю розподілу полів, дифрагованих на двох окремих тріщинах і на одній, яка утворюється із них при злитті сусідніх вершин. У випадку, коли тріщини знаходяться на межі з'єднання залізо-цинк, відповідні діаграми спрямованості за кута зондування близького до прямого () показані на рис.15, 16. Збіжність форм діаграм спрямованості для двох і однієї тріщин зі зменшенням відстані між ними підтверджує правомірність використання наближення (29). Показано також можливість застосування цього наближення і у випадку косого падіння SH-хвилі на дві міжфазні тріщини, що проілюстровано діаграмами спрямованості на (рис.17).



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню взаємодії пружних SH-хвиль зі скінченними тріщинами, розташованими на межі з'єднання двох пружних однорідних ізотропних середовищ. У результаті виконання роботи встановлені закономірності та вияснені особливості формування дифрагованого поля зміщень та КІН у широкому частотному діапазоні, залежно від кута опромінення, механічних характеристик матеріалів та поля зондувальної хвилі, що дало можливість виявити нові ознаки дефектності з'єднань.

Найважливіші результати виконаного дослідження полягають у наступному:

1. Модифіковано асимптотичний підхід розв'язування рівняння Вінера-Хопфа для задачі дифракції пружних SH-хвиль на міжфазній тріщині, який базується на його зведенні до інтегральних рівнянь другого роду, виділенні особливостей поведінки ядер в околі точок галуження та процедурі регуляризації. Це дало можливість вперше у широкому частотному діапазоні () дослідити діаграми спрямованості дифрагованого на міжфазній тріщині поля зміщень та динамічні КІН за опромінення плоскою SH-хвилею за довільного кута падіння та лінійним джерелом зосередженої сили за його довільної локалізації.

2. Показано, що опромінення вершин міжфазної тріщини SH-хвилею призводить до збудження бокової хвилі. Виявлено незалежні від частоти і кута опромінення ознаки формування бокової хвилі на діаграмах спрямованості крайових хвиль, розсіяних міжфазною тріщиною у напрямах, що відповідають критичним кутам. Пояснено цей ефект і запропоновано схему його використання для визначення ширини тріщини.

3. Показано, що за зондування міжфазної тріщини пружною SH-хвилею під малими та критичними кутами основним механізмом формування розсіяного поля є дифракційна взаємодія між її вершинами; за цих умов, модуль поля зміщень в області, близькій до площини з'єднання, монотонно залежить від ширини тріщини. Запропоновано цю властивість використати для знаходження розміру міжфазної тріщини.

4. Встановлено, що осциляційна залежність модуля КІН від кута опромінення та ширини міжфазної тріщини обумовлена взаємодією пружного поля між її вершинами. Показано, що в околі “дальньої” вершини міжфазної тріщини залежність модуля КІН від кута опромінення допускає особливості за ковзного () та критичних кутів опромінення.

5. Досліджено вплив координат лінійного джерела випромінювання, частоти і механічних характеристик матеріалів з'єднання на формування діаграм спрямованості модуля поля зміщень, дифрагованого на міжфазній тріщині. Встановлено умови їх збіжності до діаграмам спрямованості за опромінення тріщини плоскою SH-хвилею. Обґрунтовано на цій основі умови застосовності моделі плоскої хвилі для опису поля локальних джерел. Для напівнескінченної міжфазної тріщини отримано точний розв'язок задачі.

6. Встановлено зв'язок між полем зміщень SH-хвилі, дифрагованої на напівнескінченній міжфазній тріщині, та обумовленим цим полем КІН за довільного кута опромінення, частоти зондувальної хвилі та механічних характеристик матеріалів з'єднання. Показано, що відношення полів зміщень SH-хвиль, розсіяних тріщиною у площині, перпендикулярній до її вершини за фіксованих кутів та частот зондування, пропорційне відношенню відповідних значень динамічних КІН і не залежить від фізико-механічних характеристик середовищ.

7. Побудовано наближений розв'язок дифракційної задачі для скінченної кількості невзаємодіючих міжфазних тріщин. Досліджено поведінку поля зміщень, розсіяного двома тріщинами та вияснено умови, за яких можливе їх роздільне виявлення.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Куриляк Д. Б. Аналіз поля плоскої SH-хвилі, розсіяної скінченною тріщиною на межі поділу матеріалів / Д. Б. Куриляк, З. Т. Назарчук, М. В. Войтко // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2006. - Т. 42, № 6. - С. 5-16.

2. Куриляк Д. Б. Поле напружень за опромінення плоскою SH-хвилею тріщини на межі поділу матеріалів / Д. Б. Куриляк, З. Т. Назарчук, М. В. Войтко // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2007. - Т. 43, № 4. - С. 18-30.

3. Войтко М. В. Взаємодія поля плоскої SH-хвилі з вершинами міжфазної тріщини / М. В. Войтко, З. Т. Назарчук, Д. Б. Куриляк // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2008. - Т. 44, № 2. - С. 92-98.

4. Куриляк Д. Б. Дифракція SH-хвилі на міжфазній тріщині під дією зосередженої сили / Д. Б. Куриляк, З. Т. Назарчук, М. В. Войтко // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2008. - Т. 44, № 6. - С. 67-77.

5. Куриляк Д. Б. Про зв'язок коефіцієнтів інтенсивності напружень з дальнім полем SH-хвилі, дифрагованої на міжфазній тріщині / Д. Б. Куриляк, З. Т. Назарчук, М. В. Войтко // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2009. - Т. 45, № 3. - С. 5-12.

6. Kuryliak D.B. Wiener-Hopf analysis of the elastic wave diffraction by the finite crack located at the plane interface between the elastic isotropic slab and half-space medium / D.B. Kuryliak, M.V. Voytko // Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory” (DIPED): procceding of IXth international seminar/workshop (Tbilisi, Georgia October 11-14, 2004). - Lviv-Tbilisi. - P. 22-25.

7. Kuryliak D.B. Wiener-Hopf analysis of the elastic wave diffraction by the finite crack located at the plane interface between two perfectly welded materials / D.B. Kuryliak, M.V. Voytko // Акустичні та електромагнітні методи неруйнівного контролю матеріалів та виробів / Серія “Фізичні методи та засоби контролю середовищ, матеріалів та виробів”: збірник наукових праць / НАН України, ФМІ НАН України. ? Львів: ФМІ НАН України, 2005. - вип. 10. - С. 159-165.

8. Kuryliak D.B. Wiener-Hopf analysis of the elastic wave diffraction by the finite crack located at the plane interface between the elastic isotropic half-space medium / D.B. Kuryliak, M.V. Voytko // Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory (DIPED): proceeding of Xth international seminar/workshop (Lviv, September 12-15, 2005.). - P. 143-147.

9. Voytko M.V. Diffraction of antiplane shear waves by a finite crack at the interface of two bonded dissimilar elastic solids / M.V. Voytko // Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи: матеріали відкритої наукової конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (Львів, 21-23 вересня, 2005.) / НАН України, ФМІ НАН України. -Львів: ФМІ НАН України, 2005. - C. 216-219.

10. Kuryliak D.B. Diffraction of horizontal shear waves by a finite crack at the interface of two joined dissimilar elastic solids / D.B. Kuryliak, Z.T. Nazarchuk M.V. Voytko // Електромагнітний, ультразвуковий та оптичний неруйнівний контроль матеріалів / Серія “Фізичні методи та засоби контролю середовищ, матеріалів та виробів”: збірник наукових праць / НАН України, ФМІ НАН України. - Львів: ФМІ НАН України, 2006. - вип. 11. - С. 134-137.

11. Voytko M. SH-wave scattering by the finite crack at the plane interface of two dissimilar elastic solids: application for non-destructive analysis / M. Voytko, D.B. Kuryliak, K. Kobayashi, Z.T. Nazarchuk // Mathematical methods in electromagnetic theory” (MMET): procceding of 11th international conference (Kharkiv, Ukraine June 26-29, 2006.). - P. 455-457.

12. Войтко М.В. Дифракція плоскої SH-хвилі, розсіяної двома тріщинами на межі поділу матеріалів / М.В. Войтко // Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи: матеріали відкритої наукової конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (Львів, 3-4 жовтня, 2007 р.) / НАН України, ФМІ НАН України. - Львів: ФМІ НАН України, 2007. - C. 192-195.

13. Войтко М.В. Про визначення асимптотичних значень резонансних частот SH-коливань міжфазної тріщини / М.В. Войтко, Д.Б. Куриляк // Нелінійні проблеми аналізу: тези доповідей IV всеукраїнської наукової конференції (Івано-Франківськ, 9-12 вересня, 2008). - Івано-Франківськ: Прикарпатський національний університет. - C. 16.

14. Войтко М.В. Дифракція циліндричної SH-хвилі на міжфазній тріщині / М.В. Войтко // Дев'ятий міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові: праці (Львів, 20-22 травня 2009 р.) / М-во освіти і науки України, Національний університет “Львівська політехніка” [та ін.]. - Львів: КІНПАРТІ ЛТД, 2009. - С. 78-80.

15. Войтко М.В. Взаємодія циліндричної SH-хвилі з міжфазною тріщиною / М.В. Войтко // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки та математики імені академіка Я.С. Підстригача: тези доповідей (Львів, 25-27 травня 2009 р.) / НАН України, ІППММ НАН України. - Львів: ІППММ НАН України, 2009 - С. 51-52.

16. Войтко М.В. Зв'язок коефіцієнтів інтенсивності напружень з полем SH-хвилі, дифрагованої на напівнескінченній тріщині / М.В. Войтко // Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи: матеріали відкритої наукової конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (Львів, 28-30 жовтня, 2009 р.) / НАН України, ФМІ НАН України. - Львів: ФМІ НАН України, 2009. - C. 69-71.

17. Назарчук З. Динамічне зондування міжфазної тріщини SH-хвилею / З. Назарчук, М. Войтко, Д. Куриляк // 4-а Міжнародна конференція “Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (Львів, 23-27 червня 2009 р). - Львів, 2009 - С. 211-216

Размещено на Allbest.ru

...