Деякі класи рухів важкого гіростата зі змінним гіростатичним моментом

10

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

01.02.01 - Теоретична механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Деякі класи рухів важкого гіростата зі змінним гіростатичним моментом

Волкова Ольга Сергіївна

Донецьк - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник

член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Ковальов Олександр Михайлович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор

Лесіна Марія Юхимівна,

Донецький національний технічний універ-ситет; професор кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор

Харламов Михайло Павлович,

Волгоградська академія державної служби (Росія); професор кафедри інформаційних систем і математичного моделювання.

Захист відбудеться “14” вересня 2010 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “ ” серпня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.В. Краснощок

Размещено на http://www.allbest.ru//

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження задач динаміки твердого тіла і систем твердих тіл має важливе теоретичне і практичне значення. Математичною моделлю руху багатьох технічних об'єктів, деформацією яких можна знехтувати, можуть служити диференціальні рівняння руху абсолютно твердого тіла. Урахування деяких конструктивних недосконалостей реальних механічних систем можливе в рамках моделі гіростата зі змінним гіростатичним моментом.

В загальній постановці задача про обертання твердого тіла навколо нерухомої точки в потенціальному полі сил вперше з'явилася в роботі Л. Ейлера в 1758 р. Рівняння руху ним були записані у найбільш зручній для аналізу формі - у пов'язаних з тілом головних осях еліпсоїда інерції. Пер- ший випадок інтегрованості цієї системи також був знайдений Л. Ейлером. У 1788 р. Ж.Л. Лагранж і у 1889 р. С.В. Ковалевська вказали ще два випадки інтегрованості, в яких обмеження накладаються тільки на розподіл мас тіла. З робіт С.В. Ковалевської, А. Пуанкаре, О.М. Ляпунова, Е. Гюссона, Р. Ліувілля, В.В. Козлова, С.Л. Зігліна та інших випливає неінтегровність рівнянь руху твердого тіла за виключенням трьох класичних випадків, тому актуальною є проблема знаходження частинних розв'язків.

Окрім Л. Ейлера, Ж.Л. Лагранжа і С.В. Ковалевської побудовою розв'язків, а також дослідженням їх властивостей та геометричною інтерпретацією займалися Л. Пуансо, С.Д. Пуассон, М.Є. Жуковський, В. Гесс, О. Штауде, Б.К. Млодзєєвський, Д.К. Бобильов, В.А. Стєклов, Д.Н. Горячєв, С.О. Чаплигін, Н. Ковалевський, Дж. Гріолі, Л.М. Сретенський, П.В. Харламов та багато інших відомих вчених. Незважаючи на більш ніж два з половиною століття, що минули з моменту постановки класичної задачі, інтерес до неї та її узагальнень не слабшає і досі. Сформувалися перспективні наукові напрямки у вивченні різноманітних задач динаміки твердого тіла: в Росії - В.В. Бєлецький, В.Ф. Журавльов, В.В. Козлов, Ф.Л. Черноусько, М.П. Харламов; в Україні - І.О. Луковський, А.А. Мартинюк, О.М. Ковальов, О.Я. Савченко, О.І. Харла-мова, Г.В. Горр, М.Ю. Лесіна та інші.

Методи дослідження руху твердого тіла можуть бути застосовані і для системи тіл, якщо під час руху розподіл мас в ній не змінюється, зокрема, коли система є гіростатом. Можливі конструкції гіростатів наведено у роботах М.Є. Жуковського⁾ Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью / Н.Е. Жуковский // Собр. соч.: В 7 т. - М.; Л.: Гостехиздат, 1949. - Т. 2 - С. 152-310.), В. Вольтерра, К. Магнуса, Т. Леві-Чівіта і У. Амальді, А.І. Лур'є, П.В. Харламова, Й. Віттенбурга. Наприклад, гіростатом є тілоносій із закріпленими на ньому симетричними маховиками або тіло із порожнинами, заповненими ідеальною рідиною, що не стискається.

Майже всі отримані раніше результати з динаміки твердого тіла з нерухомою точкою так чи інакше узагальнені на гіростат зі сталим гіростатичним моментом. Відомі розв'язки П.В. Харламова, О.І. Харламової, Л.М. Сретенського, Х.М. Ях'ї, А.Й. Докшевича, Г.В. Мозалевської; для деяких з них аналогів в класичній задачі про рух твердого тіла не існує. Для гіростата зі сталим гіростатичним моментом повністю вивчено найважливіші класи рухів. П.В. Харламов довів, що рівномірні обертання гіростата можливі тільки навколо вертикалі і знайшов геометричне місце осей рівномірних обертань. Знайдена ним конічна поверхня детально досліджена О.М. Ковальовим. Перманентні вісі обертання важкого гіростата також вивчали В.В. Рум'янцев, А. Анчев, В.М. Рубановський та інші. І.М. Гашененко дослідив топологію інтегральних многовидів і множину припустимих швидкостей гіростата. Г.В. Горром та його учнями проведено дослідження прецесійних та ізоконічних рухів гіростата під дією загальних потенціальних та гіроскопічних сил.

Рух гіростата зі змінним гіростатичним моментом вперше розглянули В. Вольтерра і М.Є. Жуковський. В. Вольтерра⁾ Volterra V. Sur la thйorie des variations des latitudes // Acta math. - 1899. - 22. - Р. 201-357.) вперше відмітив, що у випадку, коли рух відомий, рівняння руху гіростата дозволяють визначити компоненти відповідного гіростатичного момента. Різними аспектами задачі про рух гіростата зі змінним гіростатичним моментом займалися П.В. Харламов, В.В. Рум'янцев, О.М. Ковальов, Е.Й. Дружинін, М.Ю. Лесіна, Л.М. Ковальова та інші. Введення до розгляду змінного гіростатичного момента суттєво розширює клас допустимих рухів: наприклад, за допомогою маховика можна реалізувати деякі рівномірні обертання твердого тіла навколо похилої осі. Для врівноваженого гіростата Е.Й. Дружиніним⁾ Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиростата

/ Э.И. Дружинин // Прикл. матем. и механика. - 1999. - 63, вып. 5. - С. 825-826.) знайдено всі можливі перманентні вісі обертань. При цьому припускалося, що напрямна вісь гіростатичного моменту фіксована у відносному базисі, а компоненти цього вектору - обмежені разом зі своїми похідними функції часу.

Важливою практичною задачею є стабілізація реалізованого програмного режиму руху твердого тіла за допомогою зворотного зв'язку. У випадку, коли незалежних керувань менше, ніж фазових змінних, проблемою стабілізації положення рівноваги вільного твердого тіла, що рухається навколо центру мас, займалися такі відомі зарубіжні вчені як Р. Брокетт, E. Зонтаг, Г. Суссман, A. Астолфи, A. Рапапорт, Д. Касагранде, Т. Парізіні та багато інших. Серед робіт радянських та вітчизняних вчених відмітимо розв'язання В.І. Зубовим задачі орієнтації твердого тіла за допомогою маховиків та дослідження О.М. Ковальова і В.І. Воротнікова щодо стабілізованості рівномірних обертань твердого тіла навколо головної та вертикальної осі відповідно.

Отже, дослідження класів допустимих рухів гіростата і можливості їх стабілізації є актуальним та привертає увагу багатьох фахівців.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з Планами наукових досліджень відділів прикладної і технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 2005-2010 роки за бюджетними темами «Математичні методи дослідження задач стійкості і керування динамічних систем та їх застосування у динаміці систем твердих тіл» (номер держ. реєстрації 0101U001094), «Керування і стійкість гібридних систем та сучасні проблеми робототехніки» (номер держ. реєстрації 0106U000044) та «Якісні методи дослідження нелінійних механічних систем, їх розвиток та застосування до задач динаміки твердого тіла» (номер держ. реєстрації 0106U000045).

Об'єкт, предмет і методи дослідження. Об'єктом дослідження є важкий гіростат зі змінним гіростатичним моментом. Предмет дослідження - диференціальні рівняння руху гіростата з закріпленою точкою та описання на їх основі класів можливих рухів гіростата; умови існування точних розв'язків та стабілізованість стаціонарних рухів. Методи дослідження: методи аналітичної механіки, теорії звичайних диференціальних рівнянь, теорії керування, теорії стійкості

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є визначення умов існування рівномірних обертань, маятникових рухів та регулярних прецесій важкого гіростата з нерухомою точкою, вичерпний опис таких рухів та вивчення їх основних характеристик. Для досягнення цієї мети розв'язано такі задачі: рух гіростат маса

визначено загальний вигляд залежності гіростатичного момента, що реалізує заданий тип рухів, від часу чи фазових змінних;

отримано обмеження на розподіл мас гіростата та напрямок гіростатичного момента, при яких система рівнянь руху допускає розв'язки спеціального вигляду;

знайдено всі допустимі рухи заданого типу, проведено їх повне дослідження, виписано явні розв'язки рівнянь руху .

Наукова новизна одержаних результатів.

Для важкого гіростата з фіксованим у рухомому базисі напрямом гіростатичного моменту:

1. Доведено теорему про необхідні та достатні умови існування рівномірних обертань гіростата навколо похилої осі. Вперше обчислена залежність кута нахилу осі обертання від розподілу мас та кутової швидкості гіростата. Знайдено та проаналізовано умови допустимості рівномірних обертань; отримано обмеження на абсолютну величину кутової швидкості.

2. Вперше отримано необхідні та достатні умови існування маятникових рухів. Показано, що такі рухи можливі навколо вертикальної, горизонтальної (як головної, так і не головної) та похилої осі. Досліджено множину допустимих перманентних осей. Наведено описання можливих маятникових рухів; вказано явні залежності від часу фазових змінних та гіростатичного моменту.

3. Отримано критерій існування регулярних прецесій гіростата навколо вертикалі. Показано, що центр мас гіростата повинен знаходитися на вісі власного обертання, яка разом з гіростатичним моментом належить одній з головних площин еліпсоїда інерції. Записано явні розв'язки рівнянь руху; отримано та проаналізовано співвідношення між швидкостями прецесії і власного обертання.

4. Вперше отримано необхідні та достатні умови існування регулярних прецесій навколо похилої осі. Доведено, що вісь прецесії повинна бути ортогональною до осі власного обертання, якій належить центр мас гіростата. Також показано, що швидкість прецесії m та швидкість власного обертання n пов'язані співвідношеннями m=n або m=2n. Виписано залежність кута нахилу осі прецесії від параметрів гіростата та напрямку осі власного обертання.

5. В явному вигляді наведено розв'язок рівнянь руху гіростата, який узагальнює відомий розв'язок Дж. Гріоли. Знайдено новий клас регулярних прецесій, таких, що площина, якій належать вісь власного обертання і гіростатичний момент, не є головною.

Для гіростата зі змінним напрямком гіростатичного моменту:

6. Вивчено умови існування рівномірних обертань навколо похилої осі важкого твердого тіла с трьома маховиками. Показано, що кінетичні моменти маховиків, що реалізують задане рівномірне обертання, будуть обмеженими у часі тільки тоді, коли центр мас гіростата належить прямій, що проходить через нерухому точку ортогонально до осі обертання.

7. Розв'язана задача асимптотичної стабілізації заданого рівномірного обертання твердого тіла навколо похилої (не горизонтальної) осі за допомогою трьох маховиків. Відповідне керування знайдено у вигляді лінійного зворотного зв'язку.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення. Вони можуть бути використані для досліджень допустимих рухів систем твердих тіл; для вивчення властивостей таких рухів, їх стійкості та стабілізованості, а також при конструюванні гіроскопічних приладів.

Особистий внесок здобувача. Результати, що представлені до захисту, отримані здобувачем самостійно. У спільних публікаціях [4, 10] співавтору належить постановка задачі та аналіз результатів дослідження.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на таких конференціях і семінарах:

Міжнародна конференція «Класичні задачі динаміки твердого тіла», присвячена 300-річчю з дня народження Л. Ейлера, Донецьк, 2007 р.;

Міжнародні науково-технічні конференції «Моделювання, ідентифікація, синтез систем керування», Донецьк, 2007, 2008, 2009 рр;

Десята міжнародна конференція «Стійкість, керування та динаміка твер-дого тіла», Донецьк, 2008 р.;

Український математичний конгрес, Київ, 2009 р.;

Наукові семінари відділів прикладної і технічної механіки ІПММ НАНУ, керівник - член-кор. НАНУ О.М. Ковальов (Донецьк, 2007-2010 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 роботах, серед яких 4 статті [1-4] у фахових наукових журналах і 6 робіт [5-10] у збірниках тез доповідей конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, основної частини з п'яти розділів, висновків та списку літератури. Загальний обсяг дисертації складає 131 сторінку, з яких 14 сторінок займає список використаної літератури, що складається з 114 джерел. Дисертація містить 7 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність досліджуваної проблеми, сформульовано мету роботи, розкрито її наукову новизну, визначено практичне значення, надано інформацію щодо апробації результатів та публікацій за темою дисертації.

У першому розділі наведено огляд робіт, пов'язаних з темою дисертації. У підрозділі 1.1 особливу увагу приділено результатам П.В. Харламова щодо узагальнення поняття гіростата. Нехай механічна система складається з тіла-носія закріпленого в точці , та декількох приєднаних тіл Зв'яжемо з точкою абсолютну систему координат та введемо позначення:

- вектор, що з'єднує т. та центр мас тіла ; - орт спільної осі тіл та , яка є головною центральною віссю тіла ; - момент інерції i-го приєднаного тіла відносно осі, направленої вздовж , а - момент інерції відносно двох інших головних осей; - тензор інерції носія в т. , - тензор інерції в т. ; - маса ; - кут повороту тіла відносно носія ; -кутова швидкість тіла ; - момент відносно осі сил, що діють на з боку . Таку систему назвемо гіростатом. Для технічних застосувань важли-вими є такі випадки:

I) кутові швидкості приєднаних тіл відносно носія відомі;

II) проекція моменту сил, що діють на з боку , на їх спільну вісь є заданою функцією часу.

Нехай тіл стиснені реономними в'язами, що забезпечують задану залеж-ність , а для інших відомі функції . Тоді момент кількості руху відносно точки може бути записаний у вигляді , де

Тут - узагальнений тензор інерції, а - гіростатичний момент. Вважаємо,

що компоненті векторів і - неперервні обмежені функції. У відносній системі координат, яка обертається разом з тілом , компоненти тензору не залежать від часу. Тому рівняння руху гіростата з закріпленою точкою в полі сили тяжіння, які записані у відносному базисі, мають вид

де - одиничний вектор вертикалі, а - вектор, що направлений з т. до центру мас системи, причому дорівнює добутку відстані між цими точками і ваги гіростата. Далі будемо вважати, що тензор записано у головних осях, тобто = diag. При система (1) допускає перші інтеграли

У підрозділі 1.2 наведено огляд випадків інтегрованості в задачі про рух гіростата зі сталим гіростатичним моментом. Перелічено розв'язки, що характеризуються наявністю лінійного інваріантного співвідношення виду , де - деякий сталий вектор. Підрозділ 1.3 присвячено аналізу відомих результатів з динаміки гіростата зі змінним гіростатичним моментом. У підрозділі 1.4 викладено основні результати щодо стабілізації стаціонарних рухів твердого тіла, здобуті вітчизняними та зарубіжними авторами.

У другому розділі викладено загальну методику дисертаційних дослід-жень. Підрозділ 2.1 містить опис методу інваріантних співвідношень П.В. Хар-ламова. Всі типи рухів, що розглядаються в дисертації, допускають щонай-менше одне лінійне інваріантне співвідношення. У підрозділі 2.2 викладено методику вивчення рухів гіростата, які відбуваються без зміни кута нутації. У підрозділі 2.3 введено основні означення теорії стійкості за частиною змінних; сформульовано основні теореми цієї теорії.

У третьому розділі вивчаються допустимі рівномірні обертання навколо похилої вісі гіростата зі змінним гіростатичним моментом.

Означення 1. Рівномірним обертанням гіростата називають рух тіла-носія з постійною кутовою швидкістю .

Зрозуміло, що вектор кутової швидкості одночасно є сталим і у відносній, і в абсолютній системах координат. Відмітимо, що рівномірні обертання вичерпують собою клас розв'язків системи (1) з трьома незалежними лінійними інваріантними співвідношеннями вигляду .

У підрозділі 3.1 проведено загальне дослідження рівномірних обертань важкого гіростата з фіксованим у рухомому базисі напрямком гіростатичного моменту . Отримано критерій реалізованості такого обертання.

Теорема 1. Гіростат з гіростатичним моментом може здій-снювати рівномірне обертання зі швидкістю навколо нерухомої осі, що складає з вертикаллю кут , тоді і тільки тоді, коли одночасно виконуються умови:

- гіростатичний момент направлений вздовж осі обертання, яка ортогональна прямій, що містить центр мас та нерухому точку;

- вісі обертань належать конусу Штауде;

кут нахилу осі визначається рівністю причому обов'язковою умовою допустимості заданого обертання буде виконання нерівності .

Вказано залежність від часу відповідного гіростатичного моменту :

де - розв'язок лінійної автономної системи . Детально проаналі-зовано умови Теореми 1. Вказано випадки, в яких модуль можливої кутової швидкості обмежений розподілом мас гіростата:

a) а вектори і належать одній з головних площин еліпсоїда інерції. Нехай, наприклад, . Тоді виконується нерівність

b) жоден з векторів і не належить головній площині. Нехай . Тоді абсолютна величина також обмежена зверху:

де - корінь квадратного рівняння



дискримінант якого є додатним при довільному взаємному розміщенні . Якщо умови a) і b) не виконуються, то обертання може відбуватися з наскільки завгодно великою кутовою швидкістю.

У підрозділі 3.2 вивчено умови існування рівномірних обертань гіростата зі змінним напрямком гіростатичного моменту. В якості механічної моделі прийнято тверде тіло з трьома маховиками, вісі обертання яких співпадають з головними осями тіланосія. Вздовж цих осей направлено керуючі моменти. Отримано наступний результат:

Твердження 1. Компоненти гіростатичного моменту, що реалізує рівно-мірне обертання з кутовою швидкістю , будуть обмеженими (і періодичними) тоді і тільки тоді, коли виконується хоча б одна з умов:

центр мас системи співпадає з нерухомою точкою ();

обертання відбувається навколо вертикальної осі ();

центр мас належить прямій, що проходить крізь нерухому точку орто-гонально до осі обертання ().

В третьому випадку вектор гіростатичного моменту , необхідний для реалізації обертання навколо похилої осі, яка складає з вертикаллю кут має вигляд

де компоненти постійних векторів і визначаються рівностями

Тут - вільні параметри, залежить від а - матриця переходу від головних осей до ортонормованого базису

З результатів підрозділів 3.1 і 3.2 випливає, що умова є необхідною для реалізації рівномірного обертання важкого гіростата навколо похилої осі незалежно від напрямку гіростатичного момента, якщо він обмежений у часі.

У підрозділі 3.3 розв'язано задачу стабілізації зворотним зв'язком рівномірних обертань навколо похилої (негоризонтальної) осі твердого тіла з трьома маховиками. Нехай - керування, що реалізує задане рівномірне обертання . Підключимо додатково стабілізуюче керування . Система рівнянь (1) у відхиленнях має вигляд

де та - відхилення траєкторії від заданого обертання по і відповідно, а . Останній інтеграл з (2) має геометричний сенс і повинен бути збережений у відхиленнях, тобто . Показано, що лінійний зворотний зв'язок

забезпечує для замкненої неавтономної системи (3) стійкість за усіма змінними ; асимптотичну стійкість відносно змінних та пряму- вання при , якщо у початковий момент часу виконується умова Доведення спирається на узагальнення теореми Ляпунова - Малкіна про критичний випадок з нульовим характеристичним показником⁾ Румянцев В.В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части пере-менных / В.В. Румянцев, А.С. Озиранер. - М.: Наука, 1987. - 256 с.). Показано, що для розв'язків нелінійної системи (3) виконується причому коефіцієнт залежить від початкових умов:

де

Очевидно, що при , і у такому випадку .

У четвертому розділі отримано критерій існування маятникових рухів важкого гіростата за умови, що гіростатичний момент зберігає напрямок у рухомому базисі, тобто знову вважаємо, що .

Означення 2. Маятниковим рухом називають таке обертання гіростата навколо нерухомої осі, яке не є стаціонарним рухом та не наближається до нього асимптотично. При цьому кутова швидкість змінюється за законом де - вектор, незмінний у відносному та абсолютному базисах.

У такому разі вісь, направлену вздовж , називають перманентною віссю обертання. У підрозділі 4.1 наведено постановку задачі про знаходження допустимих перманентних осей. Система рівнянь руху (1) записана у вигляді

.(4)

Функції вважаємо неперервно диференційованими, обмеженими для усіх разом зі своїми похідними. Нехай . В іншому випадку вико-нання цієї умови забезпечується перетворенням . Заміна на кожному інтервалі знакозбереження функції дозволяє проінтегрувати кінематичні рівняння системи (4): , де

(5)

Тоді і маємо Покладемо початкову фазу

У підрозділі 4.2 отримано необхідні умови існування маятникових рухів. Показано, що задовольняє неоднорідному диференціальному рівнянню

(6)

де штрих означає диференціювання по а параметри і введено таким чином: Припу-стимо, що Загальний розв'язок рівняння (6) запишемо у вигляді . (7)

Проекціями рівняння (4) на вектори і є відповідно співвідношення

Користуючись тотожністю з них можна виключити . Підстановка в отриманий вираз з (7) і підрахунок коефіцієнта при у припущенні дає умову Звідси маємо, що окремо повинні бути розглянуті випадки і виродження рівняння (6) та його частинний розв'язок. Сформулюємо основну лему підрозділу 4.2:

Лема 1. Гіростат зі змінним гіростатичним моментом може здійснювати маятниковий рух тільки у випадку, коли перманентна вісь є твір-ною конуса .

У підрозділі 4.3 проведено розгорнуте дослідження трьох різних випадків виродження рівняння (6):

в кожному з них систему (4), що зв'язує функції і , при виконанні (6) перевірено на сумісність та знайдено набір найслабших додаткових умов, які забезпечують можливість маятникового руху.

Підрозділ 4.4 містить повне описання класів маятникових рухів гіростата:

I) Обертання навколо вертикальної головної осі, якій належить центр мас. Параметри гіростата і початкові дані задовольняють умовам . Сумарний кінетичний момент залишається незмінним як в абсолютному, так і у відносному базисах: де - константа інтегралу (2).

II) Обертання навколо горизонтальної головної осі. Вісь, що містить центр мас, ортогональна перманентній осі, а гіростатичний момент направлений вздовж неї: . Вісь обертання однозначно задається параме-трами гіростата, а - довільна функція. Нехай тоді залежність з точністю до константи визначається інтегруванням

.

Сумарний кінетичний момент направлений вздовж , але його абсолютна величина змінюється у часі. Константа

III) Обертання навколо похилої осі. Маятникові рухи можливі навколо неголовної похилої осі, яка складає з вертикаллю менший кут, ніж з віссю, що містить центр мас, тобто . Окрім того, повинні задовольнятися умови і . Очевидно, що тоді . Кінетичний момент . Залежності задано співвідношеннями

,

Після введення нової змінної рівняння інтегрується:

, де(8)

Рівність (8) неявно задає періодичну залежність з періодом Оскільки не змінює знака, то гіростат весь час буде обертатись в одному напрямку, що визначений початковими умовами руху.

Показано, що у випадках I)-III) завжди існують допустимі перманентні вісі; виписано їх напрямні вектори.

IV) Обертання навколо неголовної горизонтальної осі. і компла-нарні, але серед них немає колінеарних; центр мас належить осі, що ортого-нальна осі обертання, тобто . Вектор і система (4) допускає інваріантне співвідношення , де константа визначена початковими умовами руху. Оскільки , то

.

Залежно від розв'язки рівняння можна записати у вигляді:

Зауважимо, що є обмеження: при завжди , а при . Рух гіростата, що відповідає першому розв'язку, є маятниковим коливанням. Другий розв'язок визначає нерівномірне обертання в одному напрямку. При рух відбувається по сепаратрисі: гіростат при асимптотично наближається до стану спокою, причому вектор прагне зайняти вертикальне положення. У випадку IV), на відміну від I)-III), допустимі перманентні вісі існують не завжди: параметри гіростата повинні задовольняти умові , де

Отже, доведено наступну теорему про необхідні та достатні умови існування маятникових рухів гіростата з закріпленою точкою:

Теорема 2. Маятникові рухи важкого гіростата зі змінним гіростатичним моментом можливі тоді і тільки тоді, коли параметри, що характеризують розподіл мас гіростата та початкові умови руху, задовольняють хоча б одному з наступних наборів умов:

;

, ().

Розв'язки системи (1), що у випадках I)-IV) відповідають допустимим маятниковим рухам гіростата, належать класу розв'язків з двома лінійними відносно інваріантними співвідношеннями.

У п'ятому розділі розв'язана задача існування регулярних прецесій гіростата з навколо довільно розташованої у просторі осі. В підрозділі 5.1 наведено постановку задачі.

Означення 3. Регулярною прецесією гіростата називають безнутаційний рух з постійними швидкостями прецесії та власного обертання. Тоді вектор миттєвої кутової швидкості допускає розклад , де і - напрямні вектори осей прецесії і власного обертання відповідно;

Вважаємо, що За таких умов система (1) допускає інваріантне спів-відношення де - постійний кут нутації. Динамічне рівняння системи (1) записується у вигляді

(9)

Нехай орт вертикалі складає з віссю прецесії кут . Для сталих у просторі векторів і у відносному базисі маємо рівняння

(10)

З урахуванням (2) і (10) розкладається за векторами ,, таким чином:

(11)

де - довільна стала, що визначиться з умов існування регулярних прецесій.

Розв'язок рівняння запишемо у вигляді , де озна-чена в (5), а

Підрозділи 5.2, 5.3 присвячено регулярним прецесіям навколо вертикалі. В підрозділі 5.2 доведено лему про необхідні умови їх існування.

Лема 2. Виконання умов і є необхідним для існування регулярних прецесій важкого гіростата навколо вертикалі.

У підрозділі 5.3 доведено критерій існування регулярних прецесій:

Теорема 3. Якщо важкий гіростат зі змінним гіростатичним моментом здійснює регулярну прецесію навколо вертикалі, то його центр мас

належить вісі власного обертання і виконуються умови

.

При цьому тільки у трьох наступних випадках

(I) :

(II) , :

(III) :

існує неперервна періодична з періодом функція , така, що задовольняє рівнянню (9) при деяких додаткових умовах на співвідношення між швидкостями і .

У випадках (I) і (II) залежність має вигляд

,

а швидкості і зв'язані між собою квадратним рівнянням

,

яке проаналізовано в дисертаційній роботі. Залежність константи від пара-метрів задається рівністю . Останній випадок (III) відповідає умовам Гріолі, які для гіростата з забезпечують можливість прецесії навколо похилої осі. Якщо ж , то

У підрозділах 5.4, 5.5 розглядаються регулярні прецесії гіростата навколо похилої осі, тобто і . У підрозділі 5.4 отримано необхідні умови існування таких рухів. Доведено ряд лем, результати яких можна об'єднати:

Лема 3. Якщо важкий гіростат здійснює регулярну прецесію навколо

похилої осі, то і відношення швидкості прецесії до швидкості власного обертання є цілим числом; а саме, . При цьому функція , що визначає вектор , є тригонометричним поліномом степеня не вище .

В підрозділі 5.5 наведено достатні умови існування регулярних прецесій навколо похилої нерухомої осі, обчислено кут її відхилу від вертикалі, виписано відповідні розв'язки рівнянь (9), (10).

Теорема 4. Важкий гіростат зі змінним гіростатичним моментом може здійснювати регулярну прецесію навколо похилої осі тільки за умови

.

Допустимі швидкості прецесії та власного обертання пов'язані співвідношенням , причому рівність можлива тоді і тільки тоді, коли . Абсолютна величина гіростатичного моменту при цьому - поліном відповідно 1-го чи 2-го степеня відносно .

Спочатку розглянемо випадок , Прецесію реалізує функція

де

.

Якщо виконуються умови і , то гіростат може здійснювати регулярну прецесію навколо похилої осі, кут нахилу якої задається рівністю Швидкість прецесії залежить від параметрів гіростата і напрямку :

.

Обмеження, які накладаються на вектори сумісні з умовою Теореми 4:

А) При отримано розв'язок, який при співпадає з відомим розв'язком Дж. Гріолі рівнянь руху твердого тіла. Нехай . Тоді . Якщо і , то можлива регулярна прецесія з параметрами

,

.

При цьому ,

В) При також існують регулярні прецесії. Наприклад, нехай Періодична функція

реалізує регулярну прецесію гіростата, яка характеризується параметрами

Система (1) перетворюється на тотожність при підстановці

і вигляду (11) з =0, де .

Розглянемо останній випадок , При таких умовах система (1) з точністю до перестановки індексів допускає єдиний розв'язок:

С) Нехай . Відповідне значення

На відміну від А) та В), при умовах С) швидкість може бути довільною, а величина кута залежить від : Тоді в

(10) ,

Таким чином, у п'ятому розділі знайдено всі можливі регулярні прецесії важко-го гіростата з нерухомою точкою навколо похилої осі, якщо

ВИСНОВКИ

В дисертації повністю вивчено найбільш важливі класи рухів гіростата, який обертається навколо нерухомої точки в полі сили тяжіння. У припущенні, що компоненти змінного гіростатичного момента є неперервно диференційовними, обмеженими разом зі своїми похідними функціями часу, отримано нові сімейства точних розв'язків задачі про рух гіростата. Наведемо перелік основних результатів роботи.

1. Для гіростата з фіксованим у рухомому базисі напрямом гіростатичного моменту отримано повний перелік можливих рівномірних обертань навколо похилої осі, обчислена залежність кута нахилу осі обертання від розподілу мас та кутової швидкості гіростата; виписано та проаналізовано умови допусти-мості обертання; наведено значення абсолютної величини відповідного гіро-статичного момента.

2. Вперше знайдено необхідні та достатні умови існування маятникових рухів. Показано, що такі рухи можливі навколо вертикальної, горизонтальної (як головної, так і не головної) та похилої осі. Отримано явні залежності від часу фазових змінних та модуля гіростатичного моменту. На основі цих залеж-ностей маятникові рухи розділено на коливання та нерівномірні обертання.

3. Доведено теорему про необхідні та достатні умови існування регулярних прецесій навколо вертикальної осі. Виписано розв'язки рівнянь руху; отримано і проаналізовано співвідношення між швидкостями прецесії та власного обертання.

4. Вперше знайдено необхідні та достатні умови існування регулярних прецесій навколо похилої осі. Показано, що швидкість прецесії може бути не тільки рівною швидкості власного обертання, як у випадку сталого гіростатичного моменту, але і вдвічі більшою за неї. В явному вигляді виписано відповідний точний розв'язок рівнянь руху.

5. Знайдено новий клас регулярних прецесій, при яких вісь власного обертання та вектор гіростатичного моменту не належать жодній головній площині, що неможливо для звичайного гіростата. Отримано розв'язок рівнянь руху, який при відсутності гіростатичного моменту перетворюється на відомий розв'язок Гріолі.

6. Для гіростата зі змінним напрямком гіростатичного моменту вказано всі рівномірні обертання, які можуть бути реалізовані у випадку обмежених за часом компонент гіростатичного моменту. Розв'язана задача асимптотичної стабілізації заданого рівномірного обертання твердого тіла навколо похилої (не горизонтальної) осі за допомогою трьох маховиків. Відповідне керування знайдено у вигляді лінійного зворотного зв'язку.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Волкова О.С. О стабилизации равномерных вращений вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховики / О.С. Волкова // Труды ин-та прикл. математики и механики. - 2007. - Т. 14 - С. 41-51.

2. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик / О.С. Волкова // Механика твердого тела - 2008. - Вып. 38. - С. 80-86.

3. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси / О.С. Волкова // Труды ин-та прикл. математики и механики. - 2009. - Т.19 - C. 30-35.

4. Волкова О.С. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом / O.C. Волкова, И.Н. Гашененко // Механика твердого тела. - 2009. - Вып. 39. - С. 42-49.

5. Волкова О.С. Стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг наклонной оси с помощью трех маховиков / О.С. Волкова // Международная конференция «Классические задачи динамики твердого тела», посвященная 300-летию со дня рождения Л.Эйлера. Тезисы докладов. - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2007. - С. 17.

6. Волкова О.С. Задача реализации и стабилизации равномерных вращений твердого тела округ наклонной оси с помощью маховиков / О.С. Волкова // 10-я международная научно-техническая конференция «Моделирование, идентификация, синтез систем управления». Тезисы докладов. - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2007. - С. 117.

7. Волкова О.С. Реализация равномерных вращений твердого тела вокруг наклонной оси с помощью ротора / О.С. Волкова // 10-я международная конференция «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». Тезисы докладов. - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2008. - С. 15-16.

8. Волкова О.С. Описание классов равномерных вращений твердого тела вокруг наклонной оси, реализуемых одним маховиком / О.С. Волкова // 11-я международная научно-техническая конференция «Моделирование, иденти-фикация, синтез систем управления». Тезисы докладов. - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2008. - С. 75.

9. Волкова О.С. Точные решения задачи о движении твердого тела с маховиком / О.С. Волкова // 12-я международная научно-техническая конфе-ренция «Моделирование, идентификация, синтез систем управления». Тезисы докладов. - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2009. - С. 78.

АНОТАЦІЇ

Волкова О.С. Деякі класи рухів важкого гіростата зі змінним гіростатичним моментом. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2010.

В дисертаційній роботі вивчено найбільш важливі класи рухів важкого гіростата при умові, що напрямок гіростатичного моменту фіксовано у рухомому базисі. Доведено теореми про необхідні та достатні умови існування рівномірних обертань, маятникових рухів та регулярних прецесій гіростата з нерухомою точкою, знайдено та проаналізовано умови допустимості заданого руху. Для кожного класу рухів наведено значення відповідного гіростатичного моменту. Отримано явні розв'язки системи диференціальних рівнянь, що описують обертання гіростата навколо нерухомої точки.

Показано, що маятникові рухи гіростата зі змінним гіростатичним моментом можуть відбуватися навколо горизонтальної, вертикальної та похилої осі. Для рівномірних обертань обчислено залежність кута нахилу осі обертання від розподілу мас та кутової швидкості гіростата. Досліджено регулярні прецесії гіростата навколо вертикальної та похилої осі. Показано, що при умовах Гріолі гіростат зі змінним гіростатичним моментом може здійснювати регулярну прецесію тільки відносно вертикалі. В явному вигляді отримано розв'язки рівнянь руху, що відповідають прецесіям гіростата навколо похилої осі.

Вивчено умови існування рівномірних обертань навколо похилої осі і для гіростата зі змінним напрямком гіростатичного моменту. Показано, що модуль відповідного гіростатичного моменту буде обмеженим у часі тільки тоді, коли центр мас гіростата належить прямій, що проходить через нерухому точку ортогонально до осі обертання. Розв'язана задача асимптотичної стабілізації зворотним зв'язком рівномірного обертання твердого тіла навколо похилої (не горизонтальної) осі за допомогою трьох маховиків.

Ключові слова: гіростат, гіростатичний момент, рівномірне обертання, маятниковий рух, регулярна прецесія, перманентна вісь, інваріантне співвідношення, стабілізація, зворотний зв'язок.

Волкова О.С. Некоторые классы движений тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2010.

В диссертационной работе изучены наиболее важные классы движений тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом, направление которого фиксировано в подвижном базисе. Доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях существования равномерных вращений, маятниковых движений и регулярных прецессий такого гиростата. Для каждого класса движений указано значение соответствующего гиростатического момента. Получены явные решения системы дифференциальных уравнений, описывающих вращение гиростата вокруг неподвижной точки. Выписаны и проанализированы условия допустимости заданного движения; получены ограничения на абсолютную величину угловой скорости гиростата. Проведено полное описание всех маятниковых движений и регулярных прецессий, изучены их основные характеристики, указаны соответствующие начальные условия.

Показано, что гиростат с переменным гиростатическим моментом может совершать маятниковые движения вокруг вертикальной, горизонтальной (как главной, так и не главной) и наклонной оси, если она составляет с вертикалью меньший угол, чем с осью, содержащей центр масс. Для равномерных вращений вычислена зависимость угла наклона оси вращения от распределения масс и угловой скорости гиростата. Регулярные прецессии гиростата вокруг вертикальной и наклонной оси исследованы отдельно. Показано, что при условиях Гриоли гиростат с переменным гиростатическим моментом может совершать регулярную прецессию только вокруг вертикали. В явном виде получено решение уравнений движения, соответствующее прецессии гиростата вокруг наклонной оси, которое при отсутствии гиростатического момента вырождается в решение Гриоли. Получено также новое решение, соответствующее регулярной прецессии гиростата со скоростью, вдвое большей, чем скорость собственного вращения.

Изучены условия существования равномерных вращений вокруг наклонной оси и для гиростата с переменным направлением гиростатического момента. Показано, что реализующий заданное равномерное вращение гиростатический момент будет ограничен во времени только тогда, когда центр масс гиростата лежит на оси, ортогональной оси вращения. Решена задача асимптотической стабилизации заданного равномерного вращения твердого тела вокруг наклонной (не горизонтальной) оси с помощью трех маховиков. Стабилизирующее управление найдено в виде линейной обратной связи.

Ключевые слова: гиростат, гиростатический момент, равномерное вра-щение, маятниковое движение, регулярная прецессия, перманентная ось, инвариантное соотношение, стабилизация, обратная связь.

Volkova O.S. Some classes of motions of a heavy gyrostat with variable gyrostatic momentum. - Manuscript.

Thesis for a candidate degree (physical and mathematical sciences) by specialty 01.02.01 - theoretical mechanics. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2010.

The thesis gives a complete investigation of the most significant classes of motions of a heavy gyrostat with variable gyrostatic momentum whose direction is fixed in a gyrostat reference frame. The theorems on necessary and sufficient conditions of permanent rotations, pendulum motions and regular precessions of such gyrostat have been proved; the admissibility conditions of a given motion are obtained and analyzed. For each class of motions the value of correspondent gyrosta-tic moment has been determined. Explicit solutions of a system of differential equa-tions, which describe the rotation of a gyrostat about a fixed point, have been found.

The gyrostat with variable gyrostatic moment has been shown to be able to perform pendulum motions about a vertical, horizontal axis (it being both principle and arbitrary), and inclined axis. For steady rotations the inclination angle of rotation axis dependence on inertia distribution and angle velocity of the gyrostat have been computed. Regular precessions of the gyrostat about a vertical and inclined axis have been studied separately. It has been shown that under the Grioli conditions a gyrostat with variable gyrostatic moment can perform regular precession only about a vertical. The concrete solutions of the motion equations, correspondent to regular precession of a gyrostat about an inclined axis, have been explicitly found.

The realizability conditions for permanent rotations about an inclined axis for a gyrostat with the variable direction of gyrostatic moment have been investigated. It has been shown that gyrostatic moment effecting a given regular rotation is limited in time only if the gyrostat's centre of inertia lies on the axis, orthogonal to the rotation axis. The problem of asymptotic stabilization of a given regular rotation of a rigid body about an inclined (non-horizontal) axis by means of three flywheels has been solved. A stabilizing control has been found in the form of linear feedback.

Key words: gyrostat, gyrostatic momentum, steady rotation, pendulum motion, regular precession, permanent axis, invariant relation, stabilization, feedback law.

Размещено на Allbest.ru

...