Визначення динамічних характеристик обмеженого об’єму в’язкої рідини проекційними методами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут гідромеханіки

УДК 532.59; 532.65

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Спеціальність 01.02.05 - Механіка рідини, газу та плазми

Визначення динамічних характеристик обмеженого об'єму в'язкої рідини проекційними методами

Лещук Олег Петрович

Київ - 2010

Дисертація є рукописом

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Барняк Михайло Якимович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент НАН України, Нікішов Володимир Іванович, Інститут гідромеханіки НАН України, заступник директора з наукової роботи; кандидат фізико-математичних наук Крук Леся Анатоліївна, Національний транспортний університет, доцент кафедри теоретичної та прикладної механіки.

Захист відбудеться “08” квітня 2010 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України за адресою: 03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України за адресою: 03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

Автореферат розісланий “ 02 ” березня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01 доктор технічних наук, професор Криль С.І.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Задачі динаміки твердого тіла з порожнинами, частково заповненими рідиною з вільною поверхнею, є важливими з огляду на їх інженерне і технічне значення. Зокрема, такі задачі виникають в ракетній техніці (рух рідкого палива в баках), в суднобудуванні (коливання рідини в танкері), у вагонобудуванні, при проектуванні різних об'єктів у сейсмічно небезпечних районах тощо.

Крім інженерного застосування, такі задачі мають також і важливе теоретичне значення. При математичній постановці цих задач виникає ряд цікавих математичних проблем, розв'язання яких стимулювало розвиток цілих напрямків у теоретичній механіці і математичній фізиці і яким присвячено роботи багатьох вчених.

Деякі аспекти динаміки тіла з рідиною можна дослідити лише при врахуванні сил в'язкості. Це приводить до розгляду крайових задач для рівняння Нав'є-Стокса. У випадку малих рухів рідини рівняння Нав'є-Стокса можна лінеаризувати. Незважаючи на те, що розглядувані у представленій роботі задачі є лінійними, побудова їх розв'язків є складною і недостатньо вивченою проблемою. Порівняння даних експериментальних досліджень та теоретичних розрахунків частот і декрементів власних коливань рідини вказує, що теоретичні значення частоти мало відрізняються від їх експериментальних значень. Одночасно значення аналітично обчислених декрементів коливань при застосуванні спрощеної моделі примежевого шару є значно меншими, ніж експериментальні. Тому виникає необхідність будувати більш точні розв'язки задачі.

Складності задачі насамперед пояснюються тим, що для малов'язкої рідини крайові задачі, завдяки наявності малого параметру при старшій похідній, є сингулярно збуреними. Значні математичні труднощі при побудові розв'язків виникають в околі лінії контакту трьох середовищ: рідини, повітря і твердої стінки порожнини. Там змінюється характер крайових умов, причому межа області є негладкою, оскільки рідина утворює з твердою стінкою певний кут. Внаслідок цього розв'язки крайових задач мають особливості в околі лінії контакту трьох середовищ. Це спричиняє додаткові проблеми при побудові наближеного розв'язку, оскільки неможливо ефективно апроксимувати шуканий негладкий розв'язок лише гладкими координатними функціями. Для врахування таких характерних особливостей доцільно вносити дані особливості в координатні функції при реалізації проекційних методів.

Отже, актуально створювати і розвивати такі проекційні методи, які були б ефективними в широкому діапазоні співвідношень між величинами масових сил і силами в'язкого тертя. Також актуально, щоб ці методи давали наближений розв'язок в аналітичній формі, дозволяли будувати тензор напружень в рідині і давали можливість визначати динамічні характеристики даної механічної системи з точністю, адекватною експериментальним даним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у відділі динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України згідно із загальним планом науково-дослідних робіт в рамках держбюджетної теми № І-13-06 "Розробка методів дослідження некласичних задач динаміки та стійкості складних механічних систем" (номер держ. реєстрації 0106U000282), а також в межах науково-дослідної теми № ІІ-23-07 "Сучасні математичні моделі динаміки та стійкості фізичних процесів в складних механічних, гідродинамічних та біомеханічних структурах" (номер держ. реєстрації 0107U002198) за програмою "Сучасні методи дослідження математичних моделей в задачах природознавства та суспільних наук".

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

1. Визначення динамічних характеристик ( форм, власних частот, логарифмічних декрементів власних коливань, головного вектору і головного моменту гідродинамічних сил, які діють на порожнину ) механічної системи в'язка рідина з вільною поверхнею - нерухома посудина, частково заповнена цією рідиною.

2. Покращення ефективності наближених методів побудови розв'язку задач динаміки обмеженого об'єму ідеальної та в'язкої рідини за рахунок врахування особливостей у кутових точках.

Об'єктом дослідження є механічна система, яка складається з нерухомої твердої порожнини, частково заповненої рідиною.

Предметом дослідження є визначення динамічних характеристик даної механічної системи. Крайові задачі, які описують динаміку обмеженого об'єму в'язкої рідини в порожнині твердого тіла. Проекційні методи побудови наближених розв'язків цих крайових задач. Математичні особливості розв'язків задач в околі лінії контакту рідини, повітря і твердої стінки порожнини. Способи побудови високоточних наближених розв'язків, які б враховували ці особливості.

Методи дослідження. В роботі використано методи математичної фізики, теоретичної механіки, гідромеханіки, обчислювальної математики, програмування, а також проведено чисельну реалізацію на комп'ютері запропонованих алгоритмів побудови розв'язку.

Поставлена мета зумовлює розв'язання таких завдань:

1. Побудувати проекційним методом наближені аналітичні розв'язки крайових задач, які описують власні коливання в'язкої рідини з вільною поверхнею, у циліндричній та наполовину заповненій сферичній порожнинах.

2. Знайти частоти і логарифмічні декременти власних коливань рідини. Порівняти обчислені значення з експериментальними даними і теоретичними розрахунками інших авторів.

3. Розв'язати першу основну задачу динаміки для власних коливань в'язкої нестисливої рідини з вільною поверхнею в нерухомій прожнині, тобто знайти головний вектор і головний момент сил, які діють на порожнину під час власних коливань.

4. Вивчити залежність частоти і логарифмічного декремента власних коливань від числа Галілея для різних мод коливань.

5. Дослідити, як впливають особливості шуканих розв'язків в околі лінії контакту рідини, повітря і твердої стінки порожнини на стійкість проекційних методів і точність наближених розв'язків, побудованих проекційними методами.

6. Довести ефективність застосування негладких координатних функцій, які повторюють особливості шуканого розв'язку, при реалізації проекційних методів розв'язування задач обмеженого об'єму рідини.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи полягають у такому:

1. Запропоновано метод визначення динамічних характеристик обмеженого об'єму в'язкої рідини з вільною поверхнею.

2. З цією метою проведено дослідження та практична реалізація проекційного методу розв'язування задачі про власні коливання в'язкої рідини для випадків циліндричної та наполовину заповненої сферичної порожнин.

3. Запропоновано проекційний метод розв'язування задачі при врахуванні сил поверхневого натягу.

4. Одержані в даній дисертації чисельні результати добре узгоджуються з експериментальними даними і теоретичними розрахунками інших авторів.

5. Вивчено силову взаємодію між твердою порожниною і в'язкою рідиною, яка її заповнює.

6. Побудовано високоточні розв'язки деяких крайових задач гідродинаміки обмеженого об'єму ідеальної та в'язкої рідин шляхом вивчення і врахування їх особливостей у кутових точках.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані при дослідженні впливу сил в'язкості на динаміку твердого тіла з рідиною.

Особистий внесок здобувача. Представлені до захисту результати отримані здобувачем самостійно. В роботах, опублікованих у співавторстві, особистий внесок автора полягає в обговоренні постановок задач, розробці методів їх розв'язання, проведенні розрахунків, складанні комп'ютерних програм, формулюванні висновків. Науковому керівнику М.Я. Барняку належать постановки задач та ідеї щодо методів їх розв'язання.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на:

· Дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука, 15-17 травня 2008р., Київ.

· IX Міжнародній науковій конференції студентів та молодих учених "ПОЛІТ-2009. Сучасні проблеми науки", 8-10 квітня 2009 р., Київ.

· International Conference Dynamical System Modelling and Stability Investigation, 27-29 травня 2009р., Київ.

· Семінарі “Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика” в Інституті математики НАН України.

· Семінарі в Інституті гідромеханіки НАН України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 8 роботах. Серед них 5 статей [1-5] - в наукових періодичних фахових виданнях та 3 [6-8] - це тези доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи складає 165 сторінок. Робота містить 18 рисунків та 33 таблиці. Список використаних джерел нараховує 94 найменування.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і завдання досліджень, висвітлено зв'язок дисертації з науковими програмами, описано наукову новизну і практичне значення отриманих результатів, дано загальну характеристику всіх розділів дисертації, наведено дані про апробацію результатів і публікації.

У першому розділі описано математичні моделі руху ідеальної та в'язкої нестисливої рідини з вільною поверхнею в нерухомій порожнині. Відмічено, що розв'язки крайових задач, які описують рух рідини, мають особливості в околі лінії контакту рідини, повітря і твердої стінки. Наведено задачу без врахування сил поверхневого натягу

(1)

,

та задачу з поверхневим натягом

(2)

Побудова розв'язків задач (1), (2) є основним об'єктом дослідження дисертаційної роботи.

Задачу (1) називають задачею С.Г. Крейна. Питання існування розв'язків і властивостей спектру (1) з'ясовано в [С.Г. Крейн, 1964; Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан, 1989]. Аналогічні питання для задачі (2) описано в [В.Г.Бабский, H.Д.Копачевский, А.Д.Мышкис и др., 1976].

При побудові наближених розв'язків задач (1), (2) найбільше розповсюдження отримав асимптотичний метод [K.M. Case, W.C. Parkinson, 1957; G.H. Keulegan, 1959; Е.Д. Викторов, 1965; Н.Н. Моисеев, 1965; Ф.Л. Чорноусько, 1967; J.W. Miles, 1967; Н.Г. Микишев, Б.И. Рабинович, 1968; D.M. Henderson, J.W. Miles, 1994; C. Martel, 1998]. Згідно з цим методом розв'язки (1), (2) подавали у вигляді ряду за степенями малого параметру . У всіх відомих автору роботах враховували лише два члени ряду, тобто доданки при і . Винятком є робота [C. Martel, 1998], де врахувались три доданки при , , . В роботах [И.Б. Богоряд, 1980; И.Б. Богоряд, 1999] застосовували різницеві методи до нестаціонарного варіанта задачі (1) з умовою проковзування на твердій стінці. Також існують нечисленні роботи [J.A. Nicolas, 2002; R. Kidambi, 2007], де розв'язки (2) шукають у вигляді лінійної комбінації координатних функцій, які задовольняють рівняння руху і частину крайових умов (2). Окрему увагу звернемо на роботу [М.Я. Барняка, 2001], де були закладені теоретичні основи проекційного методу. Саме цей метод побудови наближеного розв'язку розвинено і реалізовано у представленій дисертації. В роботах [K.M. Case, W.C. Parkinson, 1957; Н.Г. Микишев, Н.Я. Дорожкин, 1961; H.N. Abramson, 1966, Н.Г. Микишев, 1979] логарифмічні декременти і власні частоти коливань рідини визначалися експериментально. В експериментах [D.M. Henderson, J.W. Miles, 1994, D.R. Howell, 2000] визначали ті самі величини, але фіксували лінію , а незбурену вільну поверхню рідини робили плоскою, що максимально наближало умови експерименту до крайових умов задачі (2).

У другому розділі за допомогою проекційного методу побудовано розв'язки крайових задач (1), (2) у циліндричній та наполовину заповненій сферичній порожнинах. На основі цих розв'язків знайдено динамічні характеристики обмеженого об'єму в'язкої нестисливої рідини з вільною поверхнею, яка запонювала ці порожнини.

У першому параграфі другого розділу подано загальний опис проекційного методу. Вказано заміну, яка дозволяє отримати крайові задачі, що містять спектральний параметр лише в одній крайовій умові. Для задачі без поверхневого натягу (1) наведено теорему 2 [М.Я. Барняк, 2001], яка зводить побудову розв'язку (1) до відшукання функцій, які надають стаціонарні значення функціоналу К на класі соленоїдальних вектор-функцій та скалярних функцій, і , які задовольняють рівняння задачі (1) всередині області та крайові умови відсутності дотичних напружень на вільній поверхні.

Доведено теорему 1, яка зводить побудову розв'язку (2) до відшукання функцій, які надають стаціонарні значення функціоналу Q.

Згідно з проекційним методом наближений розв'язок задачі (2) потрібно шукати у вигляді лінійної комбінації координатних функцій , , , які повинні належати області визначення функціонала Q. Невідомі коефіцієнти , і число H визначаються із умов стаціонарності функціонала Q, тобто з умов

Наближений розв'язок задачі (1) шукається аналогічно, тільки замість функціонала Q треба використовувати функціонал K.

У другому параграфі другого розділу розв'язано задачу без поверхневого натягу (1) у циліндричній порожнині описаним вище проекційним методом. Викладки і обчислення проводилися в циліндричній системі координат. Кругова координата була відокремлена.

Побудовано системи координатних функцій, які належать області визначення функціонала K. При побудові координатних функцій використано представлення розв'язків системи рівнянь задачі (1) через гідродинамічні потенціали [О.М. Гузь, 1999].

Шукане поле швидкості подано у вигляді суми трьох доданків, один з яких є потенціальним, а інші два - вихрові. При наближенні потенціальної складової використано три підсистеми гармонічних функцій, одна з яких є розв'язком задачі про власні коливання ідеальної рідини з вільною поверхнею.

При наближенні вихрових складових використано розв'язки рівняння Гельмгольца, частина з яких мала характер примежевого шару біля вільної поверхні рідини, а інша частина - в околі твердої стінки порожнини.

Для циліндричної порожнини при великих значеннях Н вдалося побудувати координатні функції, які задовольняють частину крайових умов задачі (1). Решта крайових умов задачі (1) задовольнялася за допомогою проекційного методу. При апроксимації відхилення вільної поверхні використано многочлени Лежандра.

Особливістю проекційного методу є те, що в результаті його реалізації число Галілея визначається, як функція від власного значення . Для того, щоб, навпаки, знайти власне значення при заданому значенні числа Галілея , застосовувався метод хорд.

Вивчено характер збіжності наближень до власних значень задачі (1) при збільшенні кількості координатних функцій у проекційному методі. Отримані у дисертації чисельні значення логарифмічних декрементів і власних частот коливань рідини порівняювалися з результатами, які дають асимптотичні формули з робіт [K.M. Case, W.C. Parkinson, 1957; Ф.Л. Чорноусько, 1968], з даними, знайденими за допомогою закону збереження енергії [М.Я. Барняк, 2004], а також із експериментальними значеннями [K.M. Case, W.C. Parkinson, 1957].

На основі цих порівнянь встановлено, що запропонований проекційний метод дає достовірні результати і добре узгоджується з попередніми методами розрахунку [K.M. Case, W.C. Parkinson, 1957; Ф.Л. Чорноусько, 1968; М.Я. Барняк, 2004] власних значень задачі (1). Крім того, показано, що отримані у представленій дисертації значення логарифмічних декрементів уточнюють результати інших робіт і є найбільш близькими до експериментальних даних.

У третьому параграфі другого розділу побудовано розв'язок задачі (1) для наполовину заповненої сферичної порожнини. Викладки і обчислення здійснювалися у сферичній системі координат. Кругова координата була відокремлена. рідина коливання в'язкість поверхня

Використано два різних представлення розв'язків рівнянь задачі (1) через гідродинамічні потенціали.

За допомогою цих представлень знайдено чотири системи координатних функцій належать області визначення функціонала Q. При відшуканні цих систем частину вектор-функцій, побудованих на основі розв'язків рівнянь Лапласа і Гельмгольца у сферичній системі координат, замінено на вектор-функції, побудовані з використанням розв'язків відповідних рівнянь у циліндричній системі координат. Показано, що така заміна не звужує набір координатних функцій, оскільки гармонічних координатних функцій, які наближають потенціальну складову поля швидкостей , досить для того, щоб розв'язати задачу Неймана, і серед розв'язків рівняння Гельмгольца, які наближають вихрові складові, є функції, які мають характер примежевого шару як біля вільної поверхні, так і в околі твердої стінки порожнини.

Використовуючи ці чотири системи вектор-функцій побудовано у вигляді рядів одну координатну сиcтему, яка задовольняє майже всі, крім однієї, що містить спектральний параметр, крайові умови задачі (1). Відхилення вільної поверхні рідини подано у вигляді лінійної комбінації многочленів Лежандра.

Відзначимо, що для напівсферичної порожнини за допомогою вдало побудованої системи координатних функцій вдалося отримати розв'язок задачі (1), який точно задовольняє рівняння руху всередині області і з високою точністю задовольняє крайові умови.

У четвертому параграфі другого розділу розв'язано задачу (2) із врахуванням поверхневого натягу у циліндричній порожнині. При наближенні поля швидкостей і тиску застосовувалися ті ж самі координатні функції, що і у другому параграфі другого розділу. При наближенні відхилення вільної поверхні замість многочленів Лежандра використано функції, в які входять многочлени Якобі.

Значна увага була приділена порівнянню отриманих чисельних результатів з експериментальними даними [D.R. Howell, 2000], оскільки порівняно недавно у [D.R. Howell, 2000] проведено високоточне експериментальне дослідження задачі (2), в якому умови експерименту максимально було наближено до крайових умов задачі (2). Знайдені власні частоти коливань майже у всіх випадках відрізнялися від експериментальних менше ніж на 1%. Відхилення логарифмічного декременту коливань від експериментальних даних не перевищило 7,9% і в середньому для всіх експериментів склало 2,3%. Це свідчить про достовірність отриманих результатів і про високу точність проекційного методу. Зауважимо, що в роботах [K.M. Case, W.C. Parkinson, 1957; J.W. Miles, 1967; Н.Г. Микишев, 1978] теоретично обчислені логарифмічні декременти були значно меншими ніж експериментальні.

Отримані у дисертації чисельні значення добре узгоджуються із розрахунками попередніх дослідників [C. Martel, 1998; J.A. Nicolas, 2002], і запропонований проекційний метод при невеликих і середніх значеннях числа Галілея Н є більш точним, ніж асимптотичний метод [C. Martel, 1998].

При розв'язуванні задач (1), (2) проекційним методом одночасно із наближеним розв'язком будується тензор напружень у рідині. На основі тензора напружень можна шляхом інтегрування компонент тензора визначати силові характеристики розглядуваної механічної системи тверда порожнина - рідина з вільною поверхнею, що заповнює цю порожнину. Це є істотною перевагою проекційного методу порівняно з методами робіт [K.M. Case, W.C. Parkinson, 1957; G.H. Keulegan, 1959; Е.Д. Викторов, 1965; Ф.Л. Чорноусько, 1967; J.W. Miles, 1967; D.M. Henderson, J.W. Miles, 1994; C. Martel, 1998; J.A. Nicolas, 2002; М.Я. Барняк, 2004; R. Kidambi, 2007], де побудовано лише наближений розв'язок. Оскільки, без додаткових зусиль і викладок вдається визначати силову взаємодію між порожниною і рідиною.

У п'ятому параграфі другого розділу представлено формули для обчислення головного вектору і головного моменту гідродинамічних сил. Показано, як знайти головний вектор і момент, якщо розв'язок побудовано у декартовій, циліндричній або сферичній системі координат.

У шостому параграфі другого розділу на основі порівняння чисельних даних, отриманих при розв'язуванні задач (1) і (2) проекційним методом, досліджено вплив сили поверхневого натягу на величини частот і логарифмічних декрементів власних коливань рідини.

Оскільки на твердій стінці порожнини та вільній поверхні задаються різні типи крайових умов, а область, яку займає рідина в незбуреному стані, має ребро, то виникають додаткові математичні труднощі, пов'язані з особливостями шуканих розв'язків. Тому третій розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню особливостей розв'язків задачі про власні коливання ідеальної рідини і дослідженню особливостей розв'язків двовимірної задачі про власні коливання в'язкої рідини

(9)

в околі лінії контакту рідини, повітря і твердої стінки порожнини, тобто в околі кутових точок.

Задача (9) є двовимірним аналогом задачі (1), вісь напрямлена вертикально вгору.

У першому параграфі третього розділу розв'язано задачу (9) у півкруговій області з урахуванням особливостей у кутових точках. Векторну задачу (9) за допомогою функції току зведено

до одного рівняння четвертого порядку, яке, в свою чергу, зведено до системи двох рівнянь Лапласа і Гельмгольца.

Для того, щоб визначити, яку головну особливість у кутовій точці має функція току згідно з методикою [В.А. Кондратьев, 1967] з головних частин операторів складено допоміжну задачу.

Після відшукання частинного розв'язку допоміжної задачі встановлено, що функція току у півкруговій області повинна мати особливість типу , де - відстань до кутової точки. Інші особливості розв'язків (9) мають більший порядок гладкості.

По аналогії з роботою [М.Я. Барняк, 1990] побудовано системи гладких координатних функцій, які є розв'язками рівнянь Лапласа і Гельмгольца. Координатні функції, які є розв'язками рівняння Гельмгольца, задавалися аналітично.

Для знаходження координатних функцій, які є розв'язками рівняння Лапласа, було необхідно розв'язувати допоміжні задачі Діріхле. При розв'язуванні цих допоміжних задач використано гармонічні функції з логарифмічними особливостями

,

завдяки яким вдалося узгодитити крайові умови в кутовій точці і прискорити збіжність рядів, за допомогою яких будувалися розв'язки допоміжних задач.

Це дозволило з високою точністю задовольнити частину крайових умов задачі (9) на твердій стінці.

У даній роботі функцію току представлено у вигляді суми розв'язків рівнянь Лапласа і Гельмгольца, які пов'язані між собою через крайові умови. Тому якщо необхідно отримати наближення до функції току з особливістю типу , то треба, щоб розв'язки рівнянь Гельмгольца і Лапласа, кожен окремо, мав особливість типу . Саме таку особливу пару координатних функцій було знайдено в дисертації. Особливий розв'язок рівняння Гельмгольца виражено через функцію Беселя з дробовим індексом -0,4054, а особливий розв'язок рівняння Лапласа побудовано у вигляді ряду гармонічних функцій зі степеневими особливостями. Разом у сумі і дають функцію з особливістю типу .

Функцію току знайдено двома способами: 1) з використанням лише гладких координатних функцій; 2) з використанням як гладких, так і особливих координатних функцій , , . В результаті порівняння наближених розв'язків, отриманих цими двома способами, приходимо до висновку:

1) застосування особливих координатних функцій дозволяє задовольнити крайові умови задачі з точністю, яка на декілька порядків більша, ніж тоді, коли користуватися лише гладкими координатними функціями;

2) лише одним збільшенням кількості гладких координатних функцій у першому способі неможливо одержати настільки точний розв'язок, як у другому способі, оскільки нарощування кількості гладких координатних функцій без врахування особливостей розв'язку у кутових точках призводить до втрати стійкості обрахунків.

Отже, вдалося показати необхідність та ефективність застосування негладких координатних функцій.

У другому параграфі третього розділу розв'язано задачу про власні коливання ідеальної рідини в півпросторі з круговим отвором. Відокремлено кругову координату, і завдяки перетворенню інверсії задачу в необмеженій області зведено до задачі в одиничному півкрузі причому вісь направлена вертикально вгору.

(10)

,

де

,

,

причому вісь направлена вертикально вгору.

Спираючись на попередні дослідження [О.Н. Комаренко, 1980], встановлено, що шукані розв'язки (10) мають логарифмічну особливість у першій похідній в околі кутової точки. Задачу (10) розв'язано варіаційним методом. Тобто, побудова розв'язку крайової задачі (10) зведена до відшукання мінімума деякого функціоналу.

Описано інтегральне перетворення, яке перетворює розв'язки двовимірного рівняння Лапласа у розв'язки рівняння

,

яке випливає з тривимірного рівняння Лапласа після відокремлення кругової змінної в циліндричній системі координат і яке фігурує в задачі (10). Встановлено деякі властивості цього перетворення.

Використовуючи інтегральне перетворення, побудовано координатну функцію , яка повторює особливість шуканого розв'язку. Для цього перетворено гармонічну функцію і показано, що (співпадає із перетворенням від ) дійсно має логарифміч-ну особливість у першій похідній.

Побудовано наближений розв'язок задачі (10) з використанням лише гладких координатних функцій, а також із використанням як гладких, так і особливої координатної функцій . В результаті встановлено, що застосування дозволяє в десятки разів покращити точність виконання крайових умов задачі (10) не тільки в середньоквадратичному сенсі, але і поточково. Найбільш важливо, що таке покращення отримано на всій межі області, в тому числі, в як завгодно малому околі кутової точки. Крім того, застосування дає можливість зменшити у методі Рітца в декілька разів кількість координатних функцій, не втрачаючи при цьому точності.

В дисертаційній роботі аналітичні викладки було перевірено за допомогою системи комп'ютерної алгебри Maple. Чисельні обрахунки проведено з використанням мов програмувань MatLab і Fortran.

Висновки

В роботі розроблено проекційні методи розв'язування задачі про власні коливання обмеженого об'єму в'язкої рідини з вільною поверхнею, яка є основною складовою частиною задачі дослідження руху твердого тіла з порожнинами, частково заповненими в'язкою рідиною.

Основна увага приділена вибору і побудові спеціальних систем координатних функцій, які мають характерні властивості шуканих розв'язків. Проекційним методом побудовано розв'язки задачі про власні коливання в'язкої рідини в циліндричній посудині.

Шляхом побудови спеціальних розв'язків лінеаризованих рівнянь Нав'є-Стокса з високою точністю розв'язана задача для сферичної наполовину заповненої порожнини. Здійснено узагальнення проекційного методу розв'язування задачі при врахуванні сил поверхневого натягу.

Одержані в дисертації чисельні значення власних частот і логарифмічних декрементів уточнюють розрахунки попередніх робіт і добре узгоджуються з експериментом. При реалізації проекційного методу одночасно з розв'язком будується тензор напружень у рідині, що дає можливість визначати силові характеристики механічної системи рідина-тверда порожнина. Досліджено вплив поверхневого натягу на значення лога-рифмічних декрементів і частот власних коливань рідини. Досліджено тип особливостей, які мають розв'язки задач в околі лінії перетину рідини, повітря і твердої стінки порожнини у випадку ідеальної рідини для півпростору з круговим отвором, та у випадку в'язкої рідини для нескінченного півкругового канала. Побудовано спеціальні координатні функції, які мають ті самі особливості, що і шукані розв'язки задач. Використання цих координатних функцій суттєво підвищує точність наближених розв'язків і покращує стійкість наближених методів побудови розв'язку.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Барняк М.Я. Побудова розв'язків задачі про власні коливання рідини в півпросторі з круговим отвором із врахуванням особливостей у кутових точках / М.Я. Барняк, О.П. Лещук // Наукові вісті НТУ України "КПІ". - 2006. - №1. - С.115-125.

2. Барняк М.Я. Вивчення нормальних поперечних коливань в'язкої рідини в горизонтальному півкруговому каналі з урахуванням особливостей у кутових точках / М.Я. Барняк, О.П. Лещук // Зб. Праць Ін-ту математики НАН України. - 2007. - Т.4, № 2. - С.29-57.

3. Барняк М.Я. Дослідження власних коливань в'язкої рідини з вільною поверхнею у прямому круговому циліндрі / М.Я. Барняк, О.П. Лещук // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2008. - Т.5, № 2. - С.41-60.

4. Барняк М.Я. Побудова розв'язків задачі про власні коливання в'язкої рідини у наполовину заповненій сферичній порожнині / М.Я. Барняк, О.П. Лещук // Нелінійні коливання. - 2008. - Т.11, №4. - С.439-461.

5. Барняк М. Я. Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу / М.Я.Барняк, О.П.Лещук // Акустичний вісник. - 2008. - Т.11, № 3. - С.3-12.

6. Лещук О.П. Дослідження нормальних коливань в'язкої рідини в півкруговому каналі з урахуванням диференціальних властивостей розв'язків у кутових точках / О.П. Лещук // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 15-17 травня 2008р., Київ: Матеріали конф. - Київ.: Національний технічний університет України “КПІ”, 2008. - С.242.

7. Лещук О.П. Розв'язування задачі про власні коливання в'язкої рідини з вільною поверхнею в циліндрі / О.П. Лещук // IX Міжнародна наукова конференція студентів та молодих учених "ПОЛІТ-2009. Сучасні проблеми науки", 8-10 квітня 2009 р., Київ: Національний авіаційний університет, 2009. - C.90.

8. Лещук О.П. Вивчення власних коливань в'язкої рідини з вільною поверхнею в напівсферичній порожнині / О.П. Лещук // International Conference Dynamical System Modelling and Stability Investigation, 27-29 травня 2009р., Київ, Тези доповідей конф. - Київ: Нац. ун-т ім. Тараса Шевченка, 2009. - С.225.

Анотації

Лещук О.П. Визначення динамічних характеристик обмеженого об'єму в'язкої рідини проекційними методами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми. - Інститут математики НАН України, Київ, 2009.

Запропоновано проекційний метод розв'язування задачі про власні коливання в'язкої нестисливої рідини з вільною поверхнею в нерухомій посудині.

Для циліндричної та наполовину заповненої сферичної порожнин за допомогою представлень через гідродинамічні потенціали побудовано координатні функції, які задовольняють рівняння руху всередині області і частину крайових умов задач.

Проведено чисельну реалізацію проекційного методу для цих порожнин як з урахуванням, так і без врахування поверхневого натягу.

Обчислені значення логарифмічних декрементів і власних частот добре узгоджуються з експериментальними даними і уточнюють розрахунки попередніх авторів.

Запропоновано спосіб знаходження головного вектора і головного момента гідродинамічних сил, які діють на посудину.

Для деяких конкретних порожнин досліджено тип особливостей у кутових точках розв'язків двовимірної задачі із в'язкою рідиною та просторової задачі з ідеальною рідиною.

Побудовано координатні функції, які повторюють ці особливості.

Продемонстровано, що застосування цих особливих координатних функцій дозволяє отримувати на порядки точніші розв'язки порівняно з випадком, коли використовуються лише гладкі координатні функції.

Ключові слова: рух рідини з вільною поверхнею, в'язка рідина, головний вектор і момент гідродинамічних сил, логарифмічні декременти, власні частоти, особливості розв'язків у кутових точках, проекційний метод.

Лещук О.П. Определение динамических характеристик ограниченного объема вязкой жидкости проекционными методами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2009.

В диссертации предложен проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жидкости со свободной поверхностью в неподвижном сосуде. Для некоторых конкретных задач исследованы и учтены особенности решения в окрестности линии контакта жидкости, газа и твердой стенки сосуда.

Диссертация состоит из вступления, трех разделов, выводов и библиографии.

В первой главе приведена постановка задач, которые решаются в работе, представлен обзор и анализ литературы.

Во второй главе описан проекционный метод для задач с и без поверхностного натяжения. Согласно этому методу построение решения краевой задачи, которая описывает движение жидкости, сводится к нахождению стационарных значений некоторого функционала. Найдены приближенные решения для цилиндрической и наполовину заполненной сферической полостей.

Большое внимание уделено процессу построения координатных функций, поскольку от них в основном зависит успех реализации проекционного метода. Координатные функции представлялись через гидродинамические потенциалы в виде суммы потенциальной и вихревой составляющих. Они удовлетворяли уравнениям движения внутри области. Потенциальная составляющая координатных функций аппроксимировалась гармоническими функциями, часть из которых являлась решениями задачи о собственных колебаниях идеальной жидкости. Вихревая составляющая выражалась через решения уравнения Гельмгольца. Одни из них имели характер пограничного слоя в окрестности твердой стенки, а остальные - в окрестности свободной поверхности. Для полусферической полости построена система координатных функций, удовлетворяющих почти всем, кроме одного, краевым условиям задачи. Таким образом, для полусферы удалось получить высокоточное решение.

Найденные в работе численные значения логарифмических декрементов и собственных частот колебаний жидкости сравнивались с экспериментальными данными и с расчетами предыдущих авторов. Эти сравнения позволяют утверждать, что в диссертации получены достоверные результаты, которые уточняют результаты других работ и хорошо согласуются с экспериментом.

Особенностью и преимуществом проекционного метода является то, что при нахождении приближенного решения одновременно строится тензор напряжений в жидкости. Это позволяет, интегрируя компоненты тензора, определять силовые характеристики рассматриваемой механической системы. Описан способ вычисления главного вектора и главного момента гидродинамических сил, которые действуют на сосуд. Для цилиндрической полости представлены графики зависимости компонент і от времени.

В третьей главе для плоской задачи с вязкой жидкостью в полукруговой области и для задачи с идеальной жидкостью в полупространстве исследуется характер особенностей решений в окрестности линии контакта жидкости, газа и твердой стенки. Построены координатные функции, которые повторяют особенности искомого решения. Продемонстрировано, что использование этих особых функций при реализации проекционных методов решения задач позволяет на порядки повысить точность выполнения краевых условий. Также показано, что достичь подобной точности решения, используя только гладкие координатные функции, невозможно из-за потери устойчивости расчетов.

Ключевые слова: движение жидкости со свободной поверхностью, вязкая жидкость, главный вектор и момент гидродинамических сил, логарифмические декременты, собственные частоты, особенности решений в угловых точках, проекционный метод.

Leshchuk O.P. Determination of dynamical characteristics of bounded volume of viscous fluid by projection method. - Manuscript.

The thesis for the candidate of physical and mathematical sciences degree in speciality 01.02.05 - fluid, gas and plasma mechanics. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2009.

Projection method for solving the problem about eigenvibration of viscous incompressible fluid with free surface in stationary vessel is presented. For cylindrical and hemispherical vessels by means of hydrodynamical representations coordinate functions were built. These functions satisfy the equations of motion into a region and a part of boundary conditions. Numerical realization of the projection method for these types of vessels with and without surface tension was held. Computed values of damping rates and eigenfrequencies define more precisely calculations of previous authors and are found to be in good agreement with experimental data. A technique for determination of main vector and main moment of hydrodynamical forces which act on the vessel are described.

For some specified vessels a type of singularities of solutions in corner points for two-dimensional problem with viscous fluid and for spatial problem with ideal fluid are investigated. The coordinate functions which repeat these singularities are built. It is shown that the application of these special coordinate functions allows to increase greatly a precision of desired solution as compared with situation if we use only smooth coordinate functions.

Keywords: motion of fluid with free surface, viscous fluid, main vector and moment of hydrodynamical forces, logarithmic decrements, eigenfrequencies, singularities of solutions in corner points, projection method.

Размещено на Allbest.ru

...