Конструювання ліній та поверхонь переміщенням відрізка за заданими диференціальними умовами руху

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Конструювання ліній та поверхонь переміщенням відрізка за заданими диференціальними умовами руху

Бабка Віталій Миколайович

КИЇВ-2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті біоресурсів і природокористування України.

Науковий керівник:

доктор технічних наук, професор Обухова Віолетта Сергіївн

доктор технічних наук, професор

Пилипака Сергій Федорович,

завідувач кафедри нарисної геометрії, комп'ютерної графіки та дизайну, Національний університет біоресурсів і природокористування України (м. Київ);

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор

Корчинський Володимир Михайлович,

завідувач кафедри електронних засобів телекомунікацій,

Дніпропетровський національний університет (м. Дніпропетровськ)

кандидат технічних наук, доцент

Сименко Олена Василівна,

доцент кафедри інженерної механіки,

Красноармійський індустріальний інститут

Донецького національного технічного університету (м. Красноармійськ

Захист відбудеться «16» червня 2010 р. о 13.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою:

03680, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, ауд. 466.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою:

03680, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, КНУБА.

Автореферат розісланий "12" травня 2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої радиО.А. Бондар

Размещено на http://www.allbest.ru//

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження кінематичних характеристик точок геометричних елементів та ланок механізмів (особливо траєкторій їх руху) нерозривно зв'язано із графічними методами досліджень. Це зумовлено тим, що при роботі механізму можна змоделювати послідовні положення окремих його ланок. Якщо взяти на одній із ланок точку, то її послідовні положення будуть розташовані на певній кривій - траєкторії руху цієї точки. У свій час конструювалися механізми для викреслювання найбільш поширених плоских кривих та їх супутніх ліній (подер, еволют і ін.). Були розроблені різні конструкції еліпсографів, параболографів, гіперболографів для викреслювання відповідних кривих, а також конікографів - узагальнених механізмів для відтворення конічних перерізів. В наш час розвитку комп'ютерних технологій викреслювання будь-якої кривої, заданої аналітично, не є проблемою, однак це не означає, що задача побудови і дослідження траєкторних ліній та поверхонь є вичерпаною.

Відомо, що у всіх плоских шарнірних механізмах з одним ступенем свободи всі точки стержнів (рухомих ланок) описують алгебраїчні криві. Справедливе і зворотне твердження: для всякої будь-якої складності алгебраїчної кривої можна підібрати таке шарнірне з'єднання, з допомогою якого дана крива може бути побудована (принаймні по кусках). З наслідку цього твердження випливає можливість конструювання та дослідження властивостей алгебраїчних кривих різних порядків та закономірності побудови механізмів для їх відтворення із зростанням порядку кривої.

Велике значення має дослідження траєкторних кривих руху окремих складових механізмів або точок їх ланок. До задач цієї групи відноситься створення механізмів, які змогли б відтворювати наперед задані криві. Траєкторні криві руху мають практичне застосування при переміщенні центра ваги об'єкта, для розрахунку оптимального руху переміщення інструмента при обробці поверхонь тощо.

Розрахунок траєкторних кривих потрібен при створенні роботів і маніпуляторів. В прикладній геометрії цій тематиці приділено мало уваги. В свій час в Ленінграді (Санкт-Петербурзі) існувала школа проф. Ананова Г.Д., під чиїм керівництвом випускався збірник праць з геометрії маніпуляторів. За його авторством випущено монографію, присвячену кінематиці просторових механізмів сільськогосподарських машин.

Траєкторію точки ланки механізму можна побудувати, якщо відомий закон її руху. Складнішою є обернена задача: знайти такий закон руху ланки, щоб її задана точка описала потрібну траєкторію. Як пряму так і обернену задачі в деяких випадках досить ефективно можна розв'язувати із застосуванням супровідного тригранника Френе траєкторії однієї із точок рухомої ланки. Теоретичні підходи такого способу розроблені проф. Пилипакою С.Ф. як для руху відрізка у площині, так і у просторі. На основі цього підходу були розв'язані деякі задачі, пов'язані із знаходженням траєкторії точки і відрізка за заданими диференціальними умовами їх руху.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами, планами. Дисертаційна робота виконувалась у Національному університеті біоресурсів і природокористування України за планом наукових досліджень кафедри нарисної геометрії, комп'ютерної графіки та дизайну «Конструювання поверхонь технічних форм та їх автоматизоване проектування» у відповідності з галузевими НДР.

Мета і задачі дослідження. Метою досліджень є знаходження траєкторних ліній, поверхонь та тіл при визначеному законі руху ланки механізму або прямолінійного відрізка постійної або змінної довжини та знаходження закону переміщення цих елементів за заданими диференціальними характеристиками траєкторій руху окремих точок.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати такі задачі:

виконати огляд існуючих методів побудови траєкторних ліній, поверхонь та тіл рухомих ланок механізму та відрізків;

розробити спосіб побудови абсолютної траєкторії за заданою траєкторією переносного руху тригранника Френе і відносною траєкторією руху точки в ньому;

знайти плоскі і просторові криві, по яких кінці відрізка сталої довжини рухаються із рівними швидкостями, причому одна із кривих задана;

розробити способи побудови шатунних кривих і кривих ковзання точок ланки механізму з допомогою чисельних методів та із застосуванням тригранника Френе;

дослідити траєкторні тіла, поверхні і траєкторії окремих точок прямолінійних ланок дволанкового механізму при поєднанні різних шарнірів на кінцях однієї ланки і можливою траєкторією руху другої ланки;

побудувати математичні моделі руху відрізка сталої або змінної довжини за заданими диференціальними характеристиками траєкторій руху його кінців; траєкторія рух поверхня

використати результати виконаних досліджень для вдосконалення конструкції машин відцентрової дії за рахунок уточнення в них траєкторій руху частинок технологічного матеріалу.

Об'єктом дослідження є ланки механізмів та прямолінійні відрізки постійної і змінної довжини із визначеним законом руху.

Предметом дослідження є закономірності утворення траєкторних ліній, поверхонь та тіл при заданому законі руху ланки механізму або відрізка постійної або змінної довжини.

Методи дослідження. Поставлені у роботі задачі розв'язувались на основі методів аналітичної та диференціальної геометрії, комп'ютерної графіки з використанням системи AutoCAD, середовища програмного продукту MatLab, супровідного тригранника траєкторних ліній та формул Френе.

Теоретичною базою даних досліджень були наступні роботи вітчизняних вчених:

в галузі конструювання кривих ліній і поверхонь та їх математичного описання: Бадаєва Ю.І., Балюби І.Г., Ваніна В.В., Верещаги В.М., Власюк Г.Г., Грибова С.М., Гумена М.С., Дворецького О.Т., Дорошенка Ю.О., Ковальова С.М., Мартина Є.В., Михайленка В.Є., Надолинного В.О., Найдиша В.М., Несвідоміна В.М., Обухової В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Підкоритова А.М., Пилипаки С.Ф., Пугачова Є.В., Пустюльги С.І. Скідана І.А. та ін.;

в галузі геометричного моделювання та комп'ютерної графіки: Борисенка В.Д., Браїлова О.Ю., Дехтяря А.С., Ковальова Ю.М., Корчинського В.М., Куценка Л.М., Лі В.Г., Малкіної В.М., Найдиша А.В., Плоского В.О., Сазонова К.О., Тормосова Ю.М., Юрчука В.П., Шоман О.В. та ін.

Найбільш близькими до досліджень обраного напрямку в прикладній геометрії є роботи проф. Бергера Е.Г., доцентів Табацкова В.П., Зубащенка Г.П., Потишка А.В. та учнів проф. Куценка Л.М.

При роботі над дисертацією використовувались класичні праці відомих вітчизняних і закордонних вчених із теоретичної механіки і теорії механізмів: Артоболевського І.І., Геронімуса Я.Л., Добровольського В.В., Кільчевсько-го М.О., Кожевнікова С.М. та ін.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

вперше з'ясовано закономірності утворення траєкторних тіл, заповнених прямолінійною ланкою механізму при поєднанні різних шарнірів на кінцях ланки і заданою траєкторією руху одного із її кінців;

розроблено способи побудови шатунних кривих та кривих ковзання як з допомогою комп'ютерних методів, так і при застосуванні супровідного тригранника Френе траєкторії одного із кінців ланки;

вперше отримано диференціальні рівняння відносного руху точки в системі тригранника Френе, у якого переносною траєкторією руху є плоска або просторова крива, за умови, що швидкість руху вершини тригранника і абсолютна швидкість точки рівні між собою;

з'ясовано закономірності утворення абсолютних траєкторій в складному русі точки, коли кривою переносного руху тригранника Френе і кривою відносного руху точки в стичній площині тригранника є кола різних радіусів, причому обертання по них здійснюється із різними кутовими швидкостями;

дістав подальшого розвитку спосіб побудови погонних ліній до плоских кривих з допомогою тригранника Френе.

Обґрунтованість і достовірність результатів. Достовірність одержаних наукових результатів забезпечується математичними доведеннями та візуалізацією тестових прикладів засобами комп'ютерної графіки.

Наукове значення роботи полягає в розвитку методів побудови траєкторних тіл, поверхонь та траєкторій окремих точок ланки механізму та знаходження закону переміщення ланки за заданими диференціальними характеристиками траєкторій руху її кінців.

Практичне значення одержаних результатів полягає в розробці способів знаходження потрібного закону переміщення ланки механізму за заданими траєкторіями руху окремих її точок. Впровадження результатів роботи здійснено:

- у відкритому акціонерному товаристві «Завод «Ніжинсільмаш» при конструюванні машини відцентрової дії для подрібнення або лущення частинок відповідного технологічного матеріалу;

- в навчальний процес Національного університету біоресурсів і природокористування України.

Особистий внесок здобувача. Усі положення, що виносяться на захист і складають наукову новизну виконаних досліджень, отримані особисто здобувачем. У публікаціях, які підготовлені за участю співавторів, результати, що належать здобувачеві, вказані у списку опублікованих праць за темою дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційних досліджень доповідались на:

- міжнародних науково-практичних конференціях „Сучасні проблеми геометричного моделювання”: Харків (1998, 2007, 2009 р.р.), Мелітополь (2007, 2008 р.р.);

- V Кримській науково-практичній конференції „Геометричне та комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн” (м. Сімферополь, 2008 р.);

- щорічних наукових семінарах кафедри нарисної геометрії, комп'ютерної графіки та дизайну Національного університету біоресурсів і природокористування України (1997 - 2010 р.р.).

Публікації. Результати досліджень висвітлено у 12 наукових працях, опублікованих у фахових виданнях, затверджених ВАК України, 2 праці одноосібні.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків, додатку, списку використаних джерел із 130 найменувань. Робота містить 147 сторінок основного тексту, 1 таблицю та 73 рисунки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику роботи. В ньому розкрито сутність обраного напрямку досліджень, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі досліджень, показано наукову новизну та практичне значення отриманих результатів. Наведено відомості про апробацію та публікації результатів досліджень.

У першому розділі коротко показано обумовленість розв'язання задач на побудову траєкторій окремих точок рухомої ланки а також опис такого її переміщення, щоб можна було отримати необхідні траєкторії за заданими диференціальними умовами руху на аналізі виникнення і розвитку перших механізмів і машин. Дослідження проводилися на прикладі прямолінійної ланки у вигляді відрізка постійної або змінної довжини. Значна частина досліджень виконана із застосуванням супровідного тригранника напрямної кривої - траєкторії руху одного кінця відрізка. Якщо рух відрізка АВ відбувається у площині, то його можна інтерпретувати як складний рух, що є сумою двох рухів: переносного руху супровідного тригранника Френе по напрямній кривій (траєкторія точки А відрізка) і відносний рух точки В в системі тригранника (

Відносний рух точки В в системі тригранника Френе опишеться параметричними рівняннями у функції довжини дуги s напрямної кривої:

- полярна система (рис. 1,а) -;(1)

- декартова система (рис. 1,б) -.(2)

Абсолютна траєкторія руху точки В може бути знайдена за допомогою параметричних рівнянь, запропонованих проф. Пилипакою С.Ф. Якщо відносний рух точки В описано у формі (1), то параметричні рівняння абсолютної траєкторії мають вигляд:

(3)

Для рівнянь (2) параметричні рівняння абсолютної траєкторії запишуться:

(4)

Залежність k=k(s) в рівняннях (3) і (4) є натуральним рівнянням напрямної кривої. Величина абсолютної швидкості точки В у проекції на орти тригранника визначиться відповідно із виразів:

(5)

,(6)

де vA - швидкість руху вершини тригранника по напрямній кривій.

Якщо с - const, то всі наведені рівняння опишуть рух відрізка сталої довжини. В наступних розділах роботи багато уваги приділено дослідженню такого руху відрізка сталої довжини, у якого точки А і В рухаються по плоских або просторових кривих із рівними за величиною швидкостями. Виходячи із теореми про рівність проекцій швидкостей кінців відрізка на сам відрізок, зроблено висновок, що для переміщення відрізка у площині можливі два варіанти руху , а в просторі - безліч

У розділі наведено також відповідні рівняння і вирази для просторового руху відрізка.

У другому розділі розглянуто комп'ютерні і аналітичні моделі побудови траєкторних ліній, поверхонь та тіл. Досліджено траєкторні тіла як частину простору, який може займати ланка при її русі за заданими умовами. Зокрема, розглянуто дволанковий механізм при різних поєднаннях шарнірів на кінцях ланок. Якщо в нерухомій точці О ланка ОМ має сферичний шарнір і з'єднана з ланкою MN в точці М циліндричним шарніром, то множина положень ланки MN займе об'єм частини кулі, обмежений двома сферичними поверхнями

В розділі показано побудову траєкторій точок ланки на прикладі деяких плоских механізмів, причому зроблено це як графічними методами з допомогою вмонтованої мови AutoLisp системи AutoCAD без аналітичних виразів, так і з допомогою рівнянь, отриманих із (3) і (4). Наприклад, для кривошипно-шатунного механізму графічними методами було побудовано траєкторії точок, розташованих безпосередньо на шатуні, а також на певній відстані по перпендикуляру від нього (рис. 4). Для тригранника Френе знайдена залежність кута ц=ц(s), якою задається положення шатуна в його системі:

, (7)

де L - довжина шатуна АВ=L;

k - кривина кола - траєкторії точки А.

В свою чергу, до шатуна АВ була жорстко прив'язана місцева система координат АXшYш, яка дозволяє задати будь-яку точку Е відповідними координатами

Із врахуванням кута між осями двох систем знайдені параметричні рівняння абсолютної траєкторії будь-якої точки шатуна (при хш=0), так і точки, жорстко прив'язаної до шатуна з координатами хш і yш:

(8)

За рівняннями (8) було побудовано траєкторії точок, віддалених по перпендикуляру від кінців шатуна на задану відстань хш

Третій розділ присвячено конструюванню плоских кривих як геометричної суми двох заданих рухів: переносного руху тригранника по напрямній кривій і відносного руху точки В в системі самого тригранника. Зокрема, розглянуто випадок, коли траєкторії обох рухів є конгруентними кривими. При суміщенні тригранника Френе із нерухомою системою координат вони можуть збігатися. Подальший рух по переносній і відносній траєкторіях відбувається одночасно: тригранник рухається по переносній траєкторії і змінює своє положення в нерухомій системі координат разом із відносною траєкторією, а точка В з такою ж швидкістю рухається по відносній траєкторії в тому ж або протилежному напрямі. Побудовано криві для конгруентних ланцюгових ліній, які збігаються на початку руху або ж зміщені між собою на певну величину. Для конгруентних кіл з'ясовано наступні випадки:

- по обох не зміщених траєкторіях точка рухається в однаковому напрямі - абсолютною траєкторією є коло, конгруентне заданим;

- по переносній і відносній не зміщених траєкторіях точка рухається в протилежних напрямах - абсолютною траєкторією є точка (в абсолютному русі точка нерухома);

- траєкторії зміщені на величину а і точка рухається по них в однаковому напрямі - абсолютною траєкторією є крива конхоїдального перетворення кола. Зокрема, при a=r, де r - радіус кіл, абсолютною траєкторією буде равлик Паскаля, a=2r - кардіоїда;

- траєкторії зміщені на величину а і точка рухається по них в протилежних напрямах - абсолютною траєкторією є коло, радіус якого залежить від величини зміщення а.

Розглянуто також схему утворення кривих (абсолютних траєкторій) додаванням двох обертальних рухів: відрізок ОА обертається навколо нерухомої точки О із кутовою швидкістю щА і одночасно відрізок АВ обертається навколо рухомої точки А із кутовою швидкістю щВ в однакові або протилежні сторони Знайдені параметричні рівняння абсолютної траєкторії точки В та вираз для знаходження кривини:

,(9)

де n - відно-шення кутових швидкостей обертання ла-нок АВ і ОА;

k - кривина кола- траєкто-рії точки А;

с - довжина ланки АВ.

Вираз криви-ни (9) значно спрощується у двох випадках: при n=-1 і n=-2 (напрями обертання ланок протилежні). Стосовно другого випадку сформульоване наступне.

Твердження. Якщо в плоскому механізмі, що складається із двох прямолінійних ланок, перша ланка ОА довжиною R обертається навколо нерухомої точки О з постійною кутовою швидкістю , а ланка АВ довжиною обертається навколо рухомої точки А з постійною кутовою швидкістю 2 в протилежному напрямі, то абсолютною траєкторією точки В буде еліпс із осями величиною і Якщо ланки поміняти місцями, то при вказаному способі їх руху траєкторія руху точки В не зміниться.

Наслідок. При рівній довжині ланок еліпс вироджується у пряму лінію, вздовж якої точка В здійснює зворотно-поступальний рух.

Досліджено випадки утворення абсолютних траєкторій, коли точка В у відносному русі здійснює переміщення по орту дотичної або головної нормалі. Якщо точка В буде рухатися вздовж орта дотичної в протилежну від його напряму сторону так, що відстань від початку координат буде рівною довжині дуги, на яку перемістився тригранник, то абсолютною траєкторією точки В буде евольвента. Якщо точка В буде рухатися вздовж головної нормалі так, що весь час буде знаходитися в центрі кола кривини напрямної кривої, то абсолютною траєкторією буде еволюта цієї кривої (рис. 8,б). Знайдено параметричні рівняння цих кривих, причому вихідна крива задана натуральним рівнянням.

Для евольвенти:

Для еволюти:

У четвертому розділі розглянуто рух відрізка сталої або змінної довжини в площині за заданими диференціальними умовами руху. Щоб відносний рух точки В у системі тригранника був визначений, необхідно задати два рівняння у формі (1) або (2). Отже необхідно задати дві умови. Однією із них нехай буде рівність абсолютних швидкостей точок А і В, тобто кінців відрізка. За другу умову поставимо вимогу переміщення точки В по орту дотичної, отже відрізок за таких умов буде мати змінну довжину. Така постановка задачі може бути застосована для знаходження погонних ліній, коли траєкторія “жертви” задана натуральним рівнянням kВ=kВ(s). Показано, що вирішення задачі зводиться до розв'язування системи диференціальних рівнянь першого порядку:

, (10)

де невідомі функції k=k(s) і с=с(s) - відповідно натуральне рівняння траєкторії “хижака” і змінна відстань між “жертвою” і “хижаком”. На рис. 9,а чисельними методами побудовано погонну лінію до заданих кіл. Якщо в рівняннях (10) перед знаком кореня взяти знак “-”, то отримана лінія не буде погонною в тра-диційному розумінні, оскільки “жертва” не втікає, а рухається назустріч “хижаку” і після зустрічі вони продовжують рух, віддаляючись один від одного (рис. 9,б). Оскільки підкореневий вираз в (10) не може бути меншим нуля, сформульовано наступне твердження.

Твердження. Якщо відрізок дотичної змінної довжини рухається по кривій так, що обидва його кінці мають однакову швидкість, то довжина відрізка в будь-якій точці цієї кривої не може бути більшою від радіуса кривини кривої в цій точці.

Досліджено рух відрізка за умови, коли його кінці мають однакові швидкості і сам відрізок має сталу довжину с. Розглянуто деякі випадки такого руху. Якщо відносна траєкторія точки В задана у формі (1), то розв'язок задачі зводиться до інтегрування диференціального рівняння:

(11)

Для k=сonst (коли траєкторією точки А є коло), існує аналітичний розв'язок:

(12)

Один із варіантів траєкторії точки В показано на рис. 10. При належному співвідношенні k і с крива замкнена, в інших випадках вона незамкнена.

Для траєкторії точки В, заданої у формі (2), досліджено залежності, задані гіперболічними функціями, геометричною сумою яких є стала величина с:

.(13)

Диференціальне рівняння, отримане прирівнюванням швидкостей точок А і В у виразі (6), неможливо проінтег-рувати для заданих функцій (13). Відслідковуючи поетапно рух відрізка АВ, можна побачити, що він переходить від обертання по одному до обертання по конгруентному колу радіуса с/2 в протилежну сторону. При цьому траєкторія середини відрізка є пряма лінія і її довжина визначає міжцентрову відстань, яка залежить від значення сталої а в рівняннях (13).

При залежностях, заданих тригонометричними функціями

(14)

отримуємо криві, побудовані на рис. 12. Форма кривих залежить від співвідношення сталих а і с в рівняннях (14).

П'ятий розділ присвячено просторовому переміщення відрізка сталої або змінної довжини за заданими диференціальними умовами руху. Щоб відносний рух точки В в системі тригранника був визначений, необхідно задати певні обмеження, причому їх буде більше, ніж для руху у площині. Зокрема, знайдено диференціальні умови руху, коли точка В здійснює відносне переміщення по одному із ортів тригранника, причому її абсолютна швидкість рівна швидкості вершини тригранника, тобто кінці відрізка АВ змінної довжини мають рівні швидкості. Такими умовами є:

- для руху по орту дотичної:; (15)

- для руху по орту головної нормалі: ; (16)

- для руху по орту бінормалі:. (17)

Аналіз наведених диференціальних рівнянь дозволив зробити наступні висновки. Розв'язок рівняння (15) не залежить від скруту у напрямної кривої. Це дає можли-вість, наприклад, перетво-рити плоску задачу погонної лінії у просто-рову, надавши погонній лінії скруту. Розв'язок рівняння (17) взагалі неможливий для просторової кривої, а для плоскої (у=0) розв'язком є с=const. Далі в розділі розглянуто задачі просторового руху відрізка сталої довжини (с=const) і рівними швидкостями його кінців. Умовою такого руху є векторне диференціальне рівняння:

(18)

Для заданої натуральними рівняннями k=k(s) і у=у(s) напрямної кривої рівняння (18) має безліч розв'язків, в залежності від того, яким чином зв'язані між собою кути г і е, що задають положення відрізка в триграннику. Зокрема, з'ясовано, що при г=900 і напрямною кривою буде сферична, розташована на сфері радіуса с/2, а відрізок АВ=с рухається так, що його середина перетинає центр сфери, а кінці описують конгруентні криві на її поверхні.

Якщо в рівнянні (18) надати значення у=0, то після перетворень отримаємо:

(19)

Диференціальне рівняння (19) описує просторовий рух відрізка з рівними швидкостями його кінців, коли один з них рухається по плоскій кривій, заданій натуральним рівнянням k=k(s). Для його розв'язання застосовувалися чисельні методи.



а	б
в	г	д

Рис. 1. Лінійчаті поверхні рівних відрізків, утворені рухом відрізка, що описується диференціальним рівнянням (19) при k=const:

а) г=const, е=const;б) г=const, е=var;в) г=900, е=var, с>2/k;

г) г=900, е=var, с=2/k;д) г=900, е=var, с<2/k.

В залежності від співвідношення діаметра кола і довжини відрізка, останній може плавно переходити від однієї поверхні в іншу. Якщо відрізок більший діаметра, то здійснюється перехід від конуса до циліндра (рис. 14,в); рівний діаметру - перехід від руху в площині кола до руху по бічній поверхні циліндра; менший діаметра - здійснюється рух по бічній поверхні циліндра при зміні напряму відрізка.

В розділі також знайдено аналітичні умови і побудовано поверхню, утворену рухом відрізка з рівними швидкостями його кінців таким чином, щоб кінці відрізка під час руху ковзали по бічній поверхні циліндра

У шостому розділі здійснено вдосконалення лущильної машини відцентрової дії на основі уточнення траєкторій руху частинок технологічного матеріалу. Принцип роботи машин відцентрової дії базується на тому, що частинка в них обертається разом із робочим органом і під дією відцентрової сили починає відносний рух по поверхні. Такі машини широко розповсюджені в різних областях господарської діяльності. В сільськогосподарському виробництві вони представлені, зокрема, апаратами для розсіювання мінеральних добрив та лущення зернових і олійних культур. Для їх конструювання важливим є теоретичний розрахунок кінематичних параметрів частинки, зокрема траєкторії її руху. В роботі розглядається рух частинки по диску із прикріпленими до нього в радіальному напрямі прямолінійними лопатками.

Диференціальне рівняння руху частинки розшукується за формулою:

(20)

де m - маса частинки;

- вектор абсолютного прискорення;

- вектор рівнодіючої прикладених сил.

На частинку В діють наступні сили:

сила її ваги P=mg (g=9,81 м/с2), спрямована вниз;

сила тертя Fт, спрямована в протилежну сторону відносного руху;

сила N реакції поверхні горизонтального диска і прямолінійної лопатки.

До диска в точці попадання на нього частинки умовно прикріплюється тригранник Френе так, щоб орт головної нормалі був спрямований до центра обертання, а орт бінормалі був перпендикулярний до площини диска. При обертанні диска тригранник обертається разом із ним, отже його вершина описує коло, яке є напрямним для тригранника. Вздовж орта головної нормалі прикріплена лопатка, отже відносний рух частинки відбувається по ній в протилежну сторону від напряму орта. Векторне рівняння (20) розписується в проекціях на орти тригранника і після інтегрування набуває вигляду:

(21)

де сn - залежність відносного руху частинки вздовж лопатки;

k - кривина напрямного кола тригранника;

f - коефіцієнт тертя частинки по диску і по лопатці;

щ - кутова швидкість обертання диска;

с1, с2 - постійні інтегрування, які знаходять за умови, що при попаданні частинки на диск в початковий момент при s=0, відстань відносного переміщення сn=0 і її відносна швидкість vB=0.

Підстановкою (21) у формули (4) (при цьому сф=0) були знайдені абсолютні траєкторії руху частинки, в залежності від величини кутової швидкості обертання диска. На рис. 16,а вони побудовані з різних точок попадання частинки на диск. В точках перетину із осями координат можна візуально оцінити величину кута між траєкторією і радіальним напрямом.

Знайдено залежність зміни цього кута від довжини лопатки. З'ясовано, що в момент сходу із диска (при радіусі диска R=0,3 м) він мало залежить від величини кутової швидкості його обертання .Оскільки для процесу лущення бажано, щоб частинка після сходу із диска зустрічалася із кожухом (декою) під прямим кутом, було запропоновано виготовляти її циліндричною із перерізом у вигляді евольвенти кола, до рівняння якої входить кут .

За результатами формальної експертизи отримано позитивне рішення про видачу деклараційного патенту на корисну модель МПК В02В3/00 «Пристрій для лущення зерна» (заявка № u 2009 12940 від 14.12.2009), авторами якої є Пилипака С.Ф., Бабка В.М.

ВИСНОВКИ

Дисертаційну роботу присвячено розробці способів знаходження траєкторних ліній, поверхонь та тіл при визначеному законі руху відрізка постійної або змінної довжини та знаходження закону переміщення відрізка за заданими диференціальними характеристиками траєкторій руху окремих точок.

Значення для науки полягає у вивченні закономірностей утворення траєкторних ліній, поверхонь та тіл при заданому законі руху відрізка постійної або змінної довжини на основі використання супровідного тригранника Френе траєкторії одного із кінців відрізка.

Значення для практики полягає в розробці способів знаходження потрібного закону переміщення ланки механізму за заданими траєкторіями руху окремих її точок.

При вирішенні поставлених задач отримано наступні результати, що мають науково-практичну цінність.

1. Побудовано траєкторні тіла, що їх утворюють рухомі прямолінійні ланки дволанкового механізму при поєднанні різних шарнірів на кінцях однієї ланки (сферичний і сферичний, сферичний і циліндричний, циліндричний і циліндричний) при заданому русі однієї ланки і можливих траєкторіях руху другої ланки. Розглянуто випадок, коли траєкторним тілом, в якому рухається одна із ланок, є сфера.

2. На прикладі кривошипно-шатунного механізму побудовано шатунні криві і криві ковзання чисельними методами як послідовність виконання команд системи AutoCAD, запрограмованих у вмонтованій мові AutoLisp. Розроблено аналітичні способи опису траєкторій точок прямолінійної ланки у системі супровідного тригранника траєкторії одного її кінця. При порівнянні способів показано зручність побудови траєкторій точок аналітичним способом. Розглянуто окремі випадки, зокрема, коли шатуном умовно є круг або прямокутник.

3. Розроблено спосіб конструювання плоских і просторових кривих як абсолютної траєкторії руху точки в системі тригранника Френе напрямної лінії. Крива є результатом додавання двох рухів: переносного руху тригранника по напрямній кривій і відносного руху точки в системі тригранника, причому спільним параметром, який узгоджує ці рухи, є довжина дуги напрямної кривої. Розглянуто окремі випадки такого руху, зокрема, коли траєкторіями переносного і відносного рухів є кола. Показано, що при різних напрямах обертання і кутовій швидкості обертання відносного руху удвічі більшою від кутової швидкості обертання переносного руху абсолютною траєкторією буде еліпс. Сформульовано твердження, згідно якого велика і мала осі еліпса визначаються із виразів і , де R і с - радіуси кіл переносного і відносного руху. Якщо вони рівні, то еліпс вироджується у пряму.

4. Розглянуто рух відрізка в площині заданої траєкторії одного його кінця з допомогою супровідного тригранника цієї траєкторії. При цьому:

- розв'язано задачу відшукання траєкторії руху другого кінця відрізка за умови рівності їх швидкостей;

- знайдено такий рух відрізка по колу, коли його кінці обертаються навколо середини з постійною кутовою швидкістю, при якому можна поміняти напрям кутової швидкості без зупинки руху. При цьому кінці відрізка рухаються по знайдених траєкторіях, а центр обертання зміщується в прямолінійному напрямі на певну величину;

- доведено твердження про те, що відрізок дотичної змінної довжини, який рухається по погонній кривій так, що обидва його кінці мають однакову швидкість, за своєю довжиною не може бути більшим від радіуса кривини погонної кривої в кожній точці;

- показано, що існує крива і погонна до неї лінія, для яких у всіх точках погонної лінії довжина дотичного відрізка дорівнює радіусу кривини погонної лінії. Такою кривою і погонною лінією до неї є конгруентні логарифмічні спіралі, при цьому одна спіраль (погонна лінія) є еволютою для іншої спіралі.

5. Розглянуто просторове переміщення відрізка сталої довжини, кінці якого рухаються з рівними швидкостями по траєкторіях, одна з яких є задана плоска або просторова крива. Виведено диференціальні рівняння, що описують такий рух. Знайдено умови, за яких кінці відрізка рухаються по сферичних кривих, а центр сфери розташований на середині відрізка.

6. Розглянуто просторовий рух відрізка змінної довжини з рівними швидкостями його кінців, коли один кінець рухається по заданій просторовій напрямній кривій, а сам відрізок збігається із одним із ортів тригранника Френе. З'ясовано наступне:

- для орта дотичної це можливо тільки за умови, що точка здійснює відносний рух вздовж орта дотичної за законом, заданим диференціальним рівнянням . До рівняння не входить скрут вихідної кривої, отже можна розв'язувати задачу для руху відрізка, дотичного до плоскої кривої, а потім перетворити його у просторовий, задавши певний скрут у для вихідної кривої;

- для орта головної нормалі це можливо за умови, що точка здійснює відносний рух вздовж орта головної нормалі за законом, заданим диференціальним рівнянням При фіксованій точці (відстань від точки до початку координат стала) це можливо за умови певного взаємозв'язку між кривиною і скрутом кривої;

- для орта бінормалі просторової кривої це неможливо ні за яких умов.

7. Розглянуто рух матеріальної частинки по шорсткому горизонтальному диску без лопаток і з лопатками, що обертається із постійною кутовою швидкістю навколо вертикальної осі. З'ясовано, що вектор абсолютної швидкості частинки при її русі по диску складає певний кут із радіальним напрямом. Цей кут зменшується по мірі віддалення частинки від осі обертання, але ніколи не наближається до нуля. В момент сходу частинки із диска він має певне значення, яке можна знайти теоретично.

8. На основі одержаних теоретичних результатів запропоновано вдосконалити лущильну машину відцентрової дії таким чином, щоб зустріч частинок із відбиваючою декою відбувалася під прямим кутом. Для цього розраховано параметр форми і величину дуги евольвенти, яка є ортогональним перерізом циліндричної поверхні відбиваючої деки.

9. Здійснено впровадження отриманих результатів у ВАТ „Завод „Ніжинсільмаш” (м. Ніжин, Чернігівської області) та у навчальний процес Національного університету біоресурсів і природокористування України.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Обухова В.С. Моделирование траекторных тел. и поверхностей, создаваемых звеньями пространственных механизмов / В.С. Обухова, В.Н. Бабка // Сучасні проблеми геометричного моделювання. Збірка праць міжнародної науково-практичної конференції. -Харків: ХІПБ, 1998. - Ч. 2. - С. 57 - 61.

Особистий внесок здобувача: визначив об'єм і форму траєкторного тіла, в якому ланка чотириланкового просторового механізму може виконувати функцію перемішування матеріалу.

2. Бабка В.М. Побудова траєкторій точок ланок плоских механізмів з допомогою ПЕОМ / В.М. Бабка // Прикл. геометрія та інж. графіка.- К.: КДТУБА, 1998. - Вип. 63. - С. 233 - 235.

3. Обухова В.С. Конструювання сферичних кривих як траєкторій точок кола, яке переміщується по сфері / В.С. Обухова, В.М. Бабка // Прикл. геометрія та інж. графіка.- К.: КДТУБА, 1998. - Вип. 64. - С. 25 - 30.

Особистий внесок здобувача: розробив модель перетворення сферичної кривої у плоский аналог за допомогою суміщення кіл сфери із розгорткою конуса, який є обвідною поверхнею множини площин кіл.

4. Пилипака С.Ф. Дослідження абсолютної траєкторії точки, яка рухається в системі супровідного тригранника плоскої кривої / С.Ф. Пилипака, В.М. Бабка // Геометричне та комп'ютерне моделювання. -Харків: Харківський державний університет харчування та торгівлі, 2007. -Вип. 18. - С. 18 - 23.

Особистий внесок здобувача: знайшов натуральне рівняння кривої за умови, що кінці дотичних сталої довжини, проведених до неї, лежать на колі заданого радіуса.

5. Пилипака С.Ф. Кінематика відрізка, кінці якого описують задані лінії у площині / С.Ф. Пилипака, В.М. Бабка, Т.С. Пилипака // Прикл. геометрія та інж. графіка. -К.: КНУБА, 2007. -Вип. 77. -С. 36 - 42.

Особистий внесок здобувача: виведено параметричні рівняння кривої за заданою довжиною відрізка при умові, що один його кінець рухається по колі, а другий по знайденій кривій із однаковими швидкостями.

6. Бабка В.М. Аналітичне конструювання погонних ліній до плоских кривих / В.М. Бабка // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. -Вип. 4. Прикл. геометрія та інж. графіка. -Том 36. -Мелітополь: ТДАТА, 2007. - С. 117 - 121.

7. Пилипака С.Ф. Абсолютні траєкторії точки, яка перебуває у переносному і відносному обертальних рухах із постійними кутовими швидкостями / С.Ф. Пилипака, В.М. Бабка // Прикл. геометрія та інж. графіка. -К.: КНУБА, 2008. -Вип. 79. -С. 28 - 33.

Особистий внесок здобувача: знайшов умову, за якої абсолютною траєкторією точки, яка перебуває в переносному і відносному обертальних рухах, буде пряма лінія.

8. Пилипака С.Ф. Дослідження абсолютної швидкості точок, розташованих на ортах супровідного тригранника плоских і просторових кривих / С.Ф. Пилипака, В.М. Бабка // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. -Вип. 4. Прикл. геометрія та інж. графіка. -Том 38. -Мелітополь: ТДАТУ, 2008. - С. 44 - 51.

Особистий внесок здобувача: з'ясував випадки плоских і просторових кривих, для яких точка, закріплена нерухомо на одному із ортів супровідного тригранника Френе, буде рухатися із такою ж швидкістю, що і вершина тригранника.

9. Пилипака С.Ф. Побудова еволют і евольвент плоских кривих, заданих натуральним рівнянням / С.Ф. Пилипака, В.М. Бабка // Прикл. геометрія та інж. графіка. -К.: КНУБА, 2008. -Вип. 80. -С. 25 - 30.

Особистий внесок здобувача: вивів параметричні рівняння еволюти і евольвенти для плоскої кривої, заданої натуральним рівнянням.

10. Пилипака С.Ф. Переміщення відрізка, кінці якого рухаються по просторових кривих з рівними швидкостями / С.Ф. Пилипака, В.М. Бабка // Геометричне та комп'ютерне моделювання. -Харків: Харківський державний університет харчування та торгівлі, 2009. -Вип. 22. - С. 53 - 57.

Особистий внесок здобувача: розглянув випадки, коли відрізок сталої довжини збігається із ортом головної нормалі супровідного тригранника вихідної просторової кривої.

11. Пилипака С.Ф. Плоска крива як сума траєкторій переносного і відносного руху точки по заданих кривих / С.Ф. Пилипака, В.М. Бабка // Геометричне та комп'ютерне моделювання. -Харків: Харківський державний університет харчування та торгівлі, 2009. -Вип. 23. - С. 55 - 60.

Особистий внесок здобувача: розглянув випадки, коли траєкторіями переносного і відносного рухів точки є конгруентні криві.

12. Пилипака С.Ф. До визначення траєкторій руху частинок у машинах відцентрової дії / С.Ф. Пилипака, В.М. Бабка // Прикл. геометрія та інж. графіка. -К.: КНУБА, 2009. -Вип. 81. -С. 31 - 38.

Особистий внесок здобувача: знайшов вирази для визначення абсолютних траєкторії і швидкості частинки, яка здійснює відносний рух вздовж прямолінійної лопатки на диску.

АНОТАЦІЇ

Бабка В.М. Конструювання ліній та поверхонь переміщенням відрізка за заданими диференціальними умовами руху. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ, Україна. 2010.

Дисертацію присвячено дослідженню переміщення відрізка на площині і в просторі за допомогою супровідного тригранника Френе напрямної кривої. Початок А відрізка знаходиться у вершині тригранника, який рухається по плоскій або просторовій кривій - заданій траєкторії його руху. Відносний рух кінця В відрізка описується рівняннями в системі тригранника в прямокутній або полярній системах координат. Абсолютна траєкторія точки В визначається як геометрична сума двох рухів - переносного руху тригранника і відносного руху точки в ньому. За заданими диференціальними умовами руху (змінна або стала довжина відрізка, рівність швидкостей кінців відрізка, рух точки В по одному із ортів тригранника) знаходиться залежність відносного руху точки В в системі тригранника, а тоді абсолютного в нерухомій системі координат. На основі уточнення траєкторій руху частинок технологічного матеріалу по робочій поверхні відцентрового лущильного апарата здійснено обґрунтування форми його деки.

Ключові слова: тригранник Френе, натуральне рівняння, траєкторія,

швидкість.

Бабка В.М. Конструирование линий и поверхностей перемещением отрезка по заданным дифференциальным условиям движения. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - прикладная геометрия, инженерная графика. -Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, Украина, 2010.

Диссертация посвящена исследованию перемещения отрезка на плоскости и в пространстве с помощью сопровождающего трехгранника Френе направляющей кривой. Начало А отрезка находится в вершине трехгранника, который движется по плоской или пространственной кривой - заданной траектории его движения. Относительное движение конца В отрезка описывается уравнениями в системе трехгранника в прямоугольной или полярной системах координат. Абсолютная траектория точки В определяется как геометрическая сумма двух движений - переносного движения трехгранника и относительного движения точки в нем. По заданным дифференциальным условиям движения (переменная или постоянная длина отрезка, равенство скоростей концов отрезка, движение точки В по одному из ортов трехгранника) находится зависимость относительного движения точки В в системе трехгранника, а затем абсолютного в неподвижной системе координат.

В работе построены траектории отдельных точек движущегося звена некоторых плоских механизмов графическими способами с помощью системы АutoCAD и с помощью полученных равнений с использованием трехгранника Френе. Определены траекторные тела, которые занимает звено пространственного механизма при рассмотренных некоторых шарнирах соединения звеньев.

Построены погонные линии к некоторым кривым. Получен результат, который отличается от традиционного понимания погонной линии - когда «жертва » не убегает, а движется навстречу «хищнику».

Найдены траектории движения концов отрезка с равными скоростями, которые позволяют осуществить переход от вращения отрезка вокруг его средины в одну сторону к вращению отрезка в противоположную сторону при не изменяющихся скоростях его концов.

На основе уточнения траекторий движения частиц технологического материала по рабочей поверхности центробежного шелушительного аппарата осуществлено обоснование формы его деки.

Ключевые слова: трехгранник Френе, натуральные уравнения, траектория, скорость.

Babka V. Designing of lines and surfaces segment transition on the set differential conditions of driving. - The Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science, on a speciality 05.01.01 - applied geometry, engineering graphics. - Kiev National University of Building and Architecture, Kyiv, Ukraine, 2010. траєкторія рух поверхня тригранник френе

Dissertation is devoted to researching of transition of a segment on planes and in space by means of three - edge of Frenet of a directing curve. The segment beginning A is at an apex of a trihedral which moves on flat or a space curve - a prescribed trajectory of its driving. The relative motion of the extremity B of a segment is presented by the equations in three - edge system in the right-angled or polar axes. The absolute trajectory of a point B is defined as a geometrical sum of two movements - transportation of a three - edge and of relative motion point in it. On the set differential conditions of driving (the variable or constant length of a segment, equal velocities of the extremities of a segment, point B driving on one of three -edge thirls) is association of relative motion of a point B in three - edge system, and then absolute in motionless axes. On the basis of refinement of mechanical trajectories of parts of a technological material on a working surface of the centripetal hulling unit the form substantiation of its deques is realised.

Keywords: three - edge of Frenet, the natural equations, the trajectory, velocity.

Размещено на Allbest.ru

...