Напружено-деформований стан пружно-пластичної ортотропної оболонки довільної кривини з тріщинами

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНИЙ СТАН ПРУЖНО-ПЛАСТИЧНОЇ ОРТОТРОПНОЇ ОБОЛОНКИ ДОВІЛЬНОЇ КРИВИНИ З ТРІЩИНАМИ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Гордієнко Микола Миколайович

Донецьк - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної механіки і комп'ютерних технологій Донецького національного університету Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Довбня Катерина Миколаївна, Донецький національний університет Міністерства освіти і науки України, професор кафедри прикладної механіки і комп'ютерних технологій

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Николишин Мирон Михайлович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України (м. Львів), завідувач відділу механіки деформівного твердого тіла

доктор фізико-математичних наук, професор Чехов Валерій Миколайович, Таврійський національний університет ім. В.І. Вернадського завідувач кафедри прикладної математики

Захист відбудеться 20 травня 2010р. о 14.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: вул. Університетська 24, головний корпус ДонНУ, ауд. 603, м. Донецьк, 83055.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Донецького національного університету за адресою: вул. Університетська 24, головний корпус ДонНУ, м. Донецьк, 83001.

Автореферат розісланий 20 квітня 2010р. Вчений секретар спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 Мисовський Ю.В.

АНОТАЦІЯ

Гордієнко М.М. Напружено-деформований стан пружно-пластичної ортотропної оболонки довільної кривини з тріщинами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Донецький національний університет, Донецьк, 2010.

У дисертаційної роботі розв'язані задачі дослідження напружено-деформованого стану пружно-пластичної ортотропної оболонки довільної кривини з наскрізними і ненаскрізними тріщинами. Для розв'язання задач була використана методика, заснована на побудові інтегральних подань переміщень, кутів повороту та зусиль і моментів для ортотропних оболонок з розрізами у поєднанні з аналогом - моделі, в рамках якої були отримані системи сингулярних інтегральних рівнянь для випадку однієї та двох колінеарних тріщин в оболонці. Системи СІР розв'язувалися методом механічних квадратур для функцій, обмежених на кінцях проміжку інтегрування.

Також отримані замкнені формули для значень розміру пластичної зони для однієї та двох тріщин різного типу в пластині. Знайдені значення для пластини дозволили більш точно визначити відповідне значення для оболонки. Вперше використаний числовий метод знаходження розміру пластичної зони тріщин в оболонці, який дозволяє знаходити шукане значення з будь-якою точністю. Розв'язки знайдені цим методом добре узгоджуються з розв'язками, знайденими раніше для оболонок певної кривини з тріщинами.

Встановлено нові залежності між характеристиками напружено-деформованого стану і довжиною, типом тріщин, відстанню між ними, кривиною оболонки, рівнем навантаження і ортотропією матеріалу. Показано істотний вплив глибини і ексцентриситету тріщини, ортотропії матеріалу на і .

Ключові слова: пружно-пластична оболонка, аналог - моделі, наскрізна тріщина, поверхнева тріщина, внутрішня тріщина, система сингулярних інтегральних рівнянь, система двох колінеарних тріщин.

АННОТАЦИЯ

Гордиенко Н.Н. Напряжено-деформированное состояние упруго-пластической ортотропной оболочки произвольной кривизны с трещинами. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Донецкий национальный университет, Донецк, 2010.

В диссертационной работе решены задачи исследования напряженно-деформированного состояния упруго-пластической ортотропной оболочки произвольной кривизны со сквозными и несквозными трещинами. Для решения задач была использована методика, основанная на построении интегральных представлений перемещений, углов поворота и усилий и моментов для ортотропных оболочек с разрезами в сочетании с аналогом - модели, в рамках которой были получены системы сингулярных интегральных уравнений (СИР) для случая сквозной, поверхностной и внутренней трещин в оболочке. Системы СИР решались методом механических квадратур для функций, ограниченных на концах промежутка интегрирования.

Также получены аналитические значения размера пластической зоны для одной трещины разного типа в пластине. Найденное значение для пластины позволило более точно определить соответствующее значение для оболочки. Впервые использован числовой метод нахождения размера пластической зоны трещин в оболочке, позволяющий находить искомое значение с любой точностью. Решения найденные этим методом хорошо согласуются с решениями, найденными ранее для оболочек определенной кривизны с трещинами.

Установлены новые зависимости между характеристиками напряжено-деформированного состояния и длиной, типом трещин, кривизной оболочки, уровнем нагрузки и ортотропией материала. Показано существенное влияние глубины и эксцентриситета трещины, ортотропии материала на и .

Также решены задачи исследования на прочность ортотропных оболочек с системой двух коллинеарных трещин (сквозных, поверхностных или внутренних), перемычка между которыми находятся в пластическом течении. Для пластины с двумя трещинами было определено аналитически значение размера внешней пластической зоны, что ускорило процесс нахождения соответствующего значения в оболочке.

Исследовано влияние расстояния между трещинами или размера перемычки на размер внешней пластической зоны и раскрытие в вершине трещин. Получен ряд закономерностей между геометрическими и механическими параметрами оболочки и и . Показано, что при одних и тех же геометрических и упругих параметрах, в случае системы сквозных трещин характеристики напряжено-деформированного состояния оболочки имеют наибольшее значения, а в случае внутренних - наименьшее.

В среде Visual Fortran для рассмотренных задач было разработано программное обеспечение, которое позволило провести расчеты для широкого диапазона изменения параметров.

Ключевые слова: упруго-пластическая оболочка, аналог - модели, сквозная трещина, поверхностная трещина, внутренняя трещина, система сингулярных интегральных уравнений, система коллинеарных трещин.

SUMMARY

Gordienko N.N. Deflected mode of elastic-plastic orthotropic shells of arbitrary curvature with cracks. - Manuscript.

Thesis for candidate's degree of physical and mathematical sciences on specialty 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solid, Donetsk National University, Donetsk, 2010.

In dissertational work solved the problem of stress-deformed state of elastic-plastic orthotropic shells of arbitrary curvature of the trough and part-trough cracks. To solve the problems we used the technique based on constructing integral representations displacement, rotation angle and efforts and moments for orthotropic shell cuts in combination with an analog -model in which received system of singular integral equations (SIE) for one case and two collinear cracks in the shell. Systems SIE dealt by mechanical quadratures method for functions bounded at the ends of the interval of integration.

We also obtain formulas for the values of the size of plastic zone for one and two different types of cracks in the plate. The values for the plates allowed to more accurately determine the appropriate value for the shell. For the first time used a numerical method for finding the size of the plastic zone of cracks in the shell, which allows you to find the unknown value with any precision. Junctions found this method agree well with interchanges found earlier for a curvature of the shell cracks.

Established a new relationship between stress-deformed state characteristics and length, type of cracks, the distance between them, shell curvature, the level of stress and orthotropy of material. Shown significant effects of depth and eccentricity cracks, orthotropy of material and .

Keywords: elastic-plastic shell, analogue of - model, trough crack, surface crack, internal crack, system of singular integral equations, system of collinear cracks.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

ортотропія оболонка навантаження деформований

Актуальність роботи. Руйнування більшості конструкційних матеріалів супроводжується значною пластичною деформацією та розвинутою зоною передруйнування. В першу чергу областями локалізації пластичних деформацій є дефекти (порожнини, отвори, включення та ін.) які майже завжди містяться у реальних конструкціях. Відповідно до критерію руйнування для визначення критичного розміру дефекту типу тріщина, досить провести аналіз поля напружень і деформацій в її околі. Пластична деформація в околі тріщини враховується обумовленими експериментально сталими матеріалу, які входять у критерій локального руйнування.

Визначення розміру області пластичних деформацій в околі тріщини та її критичної довжини викликає математичні труднощі навіть у випадку ідеалізованого ізотропного однорідного матеріалу. Але процес значно ускладнюється, якщо матеріал анізотропний та в тілі наявні ненаскрізні тріщини або системи тріщин будь-якого типу (наскрізні, поверхневі або внутрішні).

Вивчення впливу цих факторів на руйнування матеріалів та міцність конструкцій потребує побудови нових моделей або вдосконалення вже існуючих у рамках механіки суцільного середовища. Одним з методів розрахунку розміру областей пластичних деформацій є аналог - моделі, який дозволяє аналізувати напружено-деформований стан в околі концентратора напружень з наступним використанням критерію міцності, що в ряді випадків дозволяє одержати адекватний висновок про несучу здатність конструкції.

Дана дисертаційна робота присвячена вдосконаленню математичних моделей пружно-пластичної поведінки ортотропних оболонок з тріщинами будь-якого типу, які б враховували їхні характерні особливості, та розробці аналітико - числових методів розв'язання статичних задач для тонкостінних елементів конструкцій під дією силових полів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації виконувалися в рамках держбюджетної теми “Розробка методів дослідження тіл з композитних матеріалів з отворами, тріщинами та включеннями під дією механічних сил, температурних і електромагнітних полів” (2007-2009рр., номер державної реєстрації 0107U001459).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвиток методики розв'язання задачі про напружено-деформований стан пружно-пластичних ортотропних оболонок з наскрізними, поверхневими і внутрішніми тріщинами, розв'язування на цій основі низки нових задач, визначення основних закономірностей впливу геометричних і механічних параметрів на збурений напружений стан оболонок в околі тріщин.

Для досягнення мети потрібно було вирішити такі завдання:

- побудувати системи граничних інтегральних рівнянь (ГІР), які описують напружений стан пружно-пластичних оболонок з тріщинами;

- розробити модифікований числовий алгоритм, який з заданою наперед точністю, знаходить розмір пластичної зони;

- дослідження механічної поведінки ортотропних оболонок довільної кривини, зумовленої наявністю наскрізних чи ненаскрізних тріщин, з урахуванням пластичного деформування.

Об'єктом дослідження є напружено - деформований стан пружно-пластичної ортотропної оболонки довільної кривини з різним типом тріщин.

Предметом дослідження є вплив навантаження, ортотропії, та геометричних параметрів оболонки і тріщин на основні характеристики напруженого стану пружно-пластичної ортотропної оболонки з тріщинами (розмір пластичної зони і розкриття тріщини).

Методи дослідження. Використовується методика визначення напруженого стану пружних ортотропних оболонок з наскрізними тріщинами, яка базується на двовимірному інтегральному перетворенні Фур'є в рамках теорії узагальнених функцій, в поєднанні з аналогом моделі Леонова-Панасюка-Дагдейла для ортотропних оболонок. Поєднання цієї методики і аналогу - моделі дає змогу отримати систему сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) для дослідження пружно-пластичної оболонки довільної кривини з різними типами тріщин. Система СІР розв'язується числовим методом, а саме методом механічних квадратур із використанням квадратурних формул для невідомих функцій, що обмежені на кінцях проміжку інтегрування.

Наукова новизна одержаних результатів:

· методику дослідження напруженого стану ортотропних оболонок довільної кривини з наскрізними тріщинами поширено на пружно-пластичні ортотропні оболонки з ненаскрізними та наскрізними тріщинами;

· в рамках запропонованої методики отримано аналітично замкнутий розв'язок для визначення розміру пластичної зони в пластині з наскрізною, поверхневою та внутрішньою тріщиною;

· отриманий розв'язок для пластини використано для побудови розв'язку системи ГІР, що описує ортотропну оболонку довільної кривини з наскрізною або ненаскрізною тріщинами;

· досліджено напружений стан пружно-пластичної оболонки з системою двох колінеарних наскрізних, поверхневих або внутрішніх тріщин;

Достовірність наукових положень забезпечується строгістю постановки задачі і використаного математичного апарату, застосуванням для розв'язання системи інтегральних рівнянь теоретично обґрунтованих чисельних методів, порівнянням результатів із відомими розв'язками, отриманими різними авторами іншими методами.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати мають теоретичне і прикладне значення і можуть бути використані в НДІ і КБ, що займаються проектуванням оболонкових конструкцій з ортотропних матеріалів. Вони дозволяють оцінити вплив різних механічних і геометричних параметрів на міцність оболонок з тріщинами.

Апробація результатів дисертації. За результатами дослідження по темі дисертаційної роботи було зроблено доповіді на:

Ш Міжнародній конференції «Компьютерная математика в образовании и научных исследованиях» (м. Феодосія, 2007р.);

Ш VII Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки та математики» (м. Львів, 2008р.);

Ш XVIII Міжнародній науковій школі ім. академіка С.А. Христиановича “Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках” (м. Алушта, 2008р.);

Ш конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я.С. Підстригача (м. Львів, 2009р.);

Ш Міжнародній науково-технічній конференції «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (м. Ялта, 2009р.);

Ш 4-й Міжнародній конференції "Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій" (м. Львів, 2009р.);

У повному обсязі результати дисертаційної роботи доповідалися на науковому семінарі кафедри прикладної механіки і комп'ютерних технологій Донецького національного університету під керівництвом академіка НАН України В.П. Шевченка і на науковому семінарі відділу механіки деформівного твердого тіла Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом професора М.М. Николишина (м. Львів).

Публікації і особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковані в 9 наукових працях [1-9], з яких 3 статті - у наукових журналах, затверджених ВАК України фаховими виданнями з фізико-математичних наук [1-3], 2 статті [4, 5] та 4-ох матеріалів наукових конференцій [6-9].

Основні результати роботи отримані здобувачем самостійно. У працях [1-9] науковому керівнику К.М. Довбні належить участь у постановці розглянутих задач, виборі методу дослідження і обговоренні отриманих результатів; у праці [7] співавтору В.В. Яртемик належить дослідження напруженого стану ізотропної оболонки з внутрішньою тріщиною в рамках моделі лінійних пружин.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, 4 розділів, висновків, списку літератури, що містить 205 джерел, і чотирьох додатків. Загальний обсяг дисертації становить 149 сторінок, 84 рисунка і 2 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету досліджень, вказано методи розв'язання поставлених задач, охарактеризовано наукову новизну та достовірність отриманих результатів, їх практичне та теоретичне значення, наведено відомості про апробацію результатів роботи, її зв'язок із науковими темами, подано кількість опублікованих праць за темою дисертації та висвітлено особистий внесок здобувача в рамках роботи зі співавторами, коротко подано опис структури дисертації.

У першому розділі наведено огляд наукових досліджень за тематикою дисертації. Проведено аналіз праць, в яких розглянуті і розв'язані задачі дослідження на міцність пружних і пружно-пластичних ізотропних та ортотропних оболонок з наскрізними та ненаскрізними тріщинами, і з системами тріщин. А також приведено огляд аналітичних та числових методів розв'язання цих задач.

Вперше в працях В.П. Вітвіцького, М.Я. Леонова, В.В. Панасюка, D. Dugdale та A. Wells для плоских задач були запропоновані основні положення, на яких базується - модель. Огляд досліджень по цій тематиці наведений у працях і монографіях В.П. Вітвіцького, М.Я. Леонова, В.В. Панасюка, У. Холла, C. Atkinson, R.S. Barsoum, R.W. Loomis, B.D. Stewart, E.S. Folias, A. Wells.

Для дослідження оболонок з тріщинами F. Erdogan, E.S. Folias запропонували аналог - моделі, що дозволяє звести розв'язок тривимірної задачі для пружно - пластичної оболонки із наскрізними тріщинами заданих розмірів до задачі про напружено - деформований стан пружної оболонки з тріщинами невідомої довжини.

За допомогою аналогу - моделі було розв'язана велика кількість задач львівськими вченими, а саме Р.М. Кушніром, М.М. Николишиним, В.А. Осадчуком та їхніми учнями для ізотропних і ортотропних, неоднорідних за товщиною оболонок, та оболонок, виготовлених з функціонально градієнтних матеріалів певної кривини (циліндричних і сферичних) з одною тріщиною та системами тріщин різного типу (наскрізні, поверхневі і внутрішні).

В донецькій школі механіків в працях К.М. Довбні, О.А. Корохіної була досліджена ізотропна оболонка довільної кривини з однією і з двома колінеарними наскрізними тріщинами, перетинка між якими знаходиться в пластичній течії.

Як видно з аналізу літературних джерел, на сьогодні відомі розв'язки отримані або для ізотропних оболонок довільної кривини, або для ортотропних оболонок певної кривини (циліндричних і сферичних).

У другому розділі наведено основні гіпотези та співвідношення теорії пружних ортотропних оболонок і аналог - моделі, за допомогою яких тривимірна задача про напружений стан пружно-пластичної ортотропної оболонки довільної кривини сформульована у двовимірній постановці; також одержано систему сингулярних інтегральних рівнянь для двовимірної задачі.

Розглянуто тонку пружну оболонку сталої товщини , виготовлену з ортотропного матеріалу так, що в кожній її точці лінії головних кривин серединної поверхні збігаються з головними напрямками пружності матеріалу. Оболонка послаблена наскрізними, поверхневими або внутрішніми тріщинами довжини .

Рівняння контурів розрізів мають вигляд:

, , , (2.1)

де - півдовжина контуру.

Оболонка знаходиться під дією симетричного зовнішнього навантаження. Передбачається, що в процесі деформації оболонки береги розрізів вільні від навантаження і не контактують між собою.

При розв'язанні задачі використано аналог - моделі, суть якого для оболонок полягає в тому, що на продовжені існуючих тріщин розвиваються зони пластичних деформацій, які поширюються тонким шаром по усій товщині оболонки, тобто оболонка пружно-пластична. Розв'язання задач про визначення напруженого стану вищезгаданих оболонок ускладнюється:

· через явну тривимірність задачі;

· при розв'язанні цих задач необхідне розв'язання сумісно двох різних систем рівнянь: одну у пружній області, другу у пластичній, при цьому розмір пластичних зон наперед не відомий.

Аналог - моделі дозволяє ці проблеми розв'язати. Отже, зони пластичних деформацій моделюються поверхнями розриву пружних переміщень серединної поверхні та кутів повороту, тобто фіктивною тріщиною, а реакція матеріалу пластичної зони на пружний об'єм моделюється невідомими нормальним зусиллям та згинним моментом , які протидіють розкриттю тріщини і задовольняють умові пластичності Треска для ортотропних матеріалів:

, (2.2)

де () - головні значення тензора напружень, - границя текучості матеріалу. Під фронтом поверхневих (над і під фронтом внутрішніх) тріщин діють сталі напруження .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Після цього постановку тривимірної задачі для пружно - пластичної оболонки із тріщинами заданих розмірів можна звести до двовимірної задачі про напружений стан пружної оболонки з наскрізними тріщинами невідомої довжини.

Тоді на берегах фіктивної тріщини виконуються граничні умови:

, , (2.3)

де , () - характеристики зовнішнього навантаження, і визначаються за формулами:

, , (2.4)

де , - товщина верхнього та нижнього шарів, які визначають розташування внутрішньої тріщини по товщині оболонки (рис.2.1). Якщо або , то тріщина вважається поверхневою. Якщо та , то тріщина вважається наскрізною.

Для розв'язання поставленої задачі у двовимірній постановці, використаємо основні співвідношення теорії пологих оболонок у випадку ортотропного матеріалу:

1.Рівняння рівноваги

; ; ;

; , (2.5)

де - проекції зовнішнього навантаження на вісі координат; та - головні кривини оболонки; - мембранні зусилля; - згинальні моменти; та - перерізуючі сили та крутячий момент на площинках, зумовлених нормаллю і дотичною до кривої (контуру тріщини).

2. Геометричні співвідношення

; ; ; ;

; ; ; , (2.6)

де - координати вектора переміщень, - кути повороту, - компоненти тангенціальної деформації серединної поверхні оболонки; - компоненти згинної деформації.

3. Рівняння нерозривності деформації

. (2.7)

4. Співвідношення пружності

; ; ;

; ; , (2.8)

де , , - модулі Юнга; , , - коефіцієнти Пуассона. Співвідношення (2.5) - (2.8) складають повну систему рівнянь, що описує напружено-деформований стан тонкої пологої ортотропної оболонки.

Використовуючи співвідношення (2.6) з урахуванням (2.8), отримаємо внутрішні зусилля та моменти, які діють у оболонці без тріщин через переміщення , , :

,

, (2.9)

де , - радіуси головних кривин оболонки. Скористаємося двовимірним інтегральним перетворенням Фур'є в рамках узагальнених функцій, яке дозволяє замінити операцію диференціювання у просторі оригіналів на операцію множення у просторі трансформант.

З урахуванням симетрії задачі і елементів з теорії узагальнених функцій співвідношення (2.9) отримаємо в такому вигляді:

,

, (2.10)

де - сингулярна узагальнена функція, зосереджена на контурі , - стрибок функції при переході через лінію контуру з боку вектора зовнішньої нормалі.

У роботах В.П. Шевченка, В.К. Хижняка з рівнянь статики пологих оболонок отримано інтегральне подання переміщень для оболонки, обмеженої кусково-гладким контуром . Застосовуючи двовимірне інтегральне перетворення Фур'є, знайдемо у просторі трансформант інтегральне подання переміщень:

. (2.11)

Застосовуючи інтегральне двовимірне інтегральне перетворення до (2.10), отримаємо систему інтегральних рівнянь у просторі трансформант:

,

. (2.12)

Підставивши в систему (2.12) вирази (2.11), після відповідних перетворень отримано систему ГІР відносно невідомих похідних , . Застосувавши обернене перетворення Фур'є до системи (2.12), отримано систему ГІР в просторі оригіналів. Застосовуючи аналог - моделі та задовольняючи граничним умовами (2.3), отримуємо систему СІР для дослідження напружено-деформованого стану ортотропних оболонок довільної кривини з наскрізними, поверхневими чи внутрішніми тріщинами.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В третьому розділі одержано систему сингулярних інтегральних рівнянь для пружно - пластичної ортотропної оболонки довільної кривини з наскрізною, поверхневою або внутрішньою тріщиною. Для кожного з трьох випадків досліджено вплив навантаження, механічних і геометричних параметрів оболонки на розмір пластичної зони та розкриття тріщини.

Розглянуто пружно-пластичну ортотропну оболонку довільної кривини, послаблену тріщиною довжини , орієнтованою вздовж вісі (рис.3.1), яка знаходиться під дією симетричного навантаження: розтягуючого зусилля (, ) або згинального моменту (, ).

Вважаємо, що на подовжені тріщини під дією навантаження виникли зони пластичних деформацій , які поширилися вузькими смугами по всій товщині оболонки. Для розв'язання задачі застосуємо описаний в розділі ІІ аналог - моделі.

Аналітичне розв'язання задачі. Згідно припущень розділу ІІ далі введено фіктивну тріщину довжини , де , і задачу розв'язано в пружній постановці. Система СІР, отримана в розділі ІІ, з граничними умовами (2.3) є ключовою системою. Але її розв'язання аналітично було неможливе через складний вигляд ядер. Числове розв'язання було ускладнене, оскільки праві частини і - розривні функції. Представимо невідомі функції у вигляді суми двох функцій:

(3.1)

де , ,

, - модуль зсуву для площин, паралельних серединній поверхні оболонки, , , функція - аналітичний розв'язок рівняння:

, (3.2)

де , .

Для розв'язання рівняння (3.2), необхідне виконання додаткової умови - умови існування розв'язку. Константа визначається з цієї умови і дорівнює:

. (3.3)

Вигляд функції отримано, розв'язавши рівняння (3.2) за допомогою формули оберненого перетворення Коші:

. (3.4)

Слід відмітити, що рівняння (3.2) з граничними умовами (2.3) характеризує напружений стан пружно-пластичної пластини () із однією тріщиною будь-якого типу. Тоді з додаткової умови та умови пластичності отримано відносний розмір тріщини в пластині:

, (3.5)

де константу можна отримати з умови пластичності (2.2). Розмір пластичної зони тріщини з (3.5) дорівнює:

.

Одержане значення співпадає зі результатами, наведеними в роботах В.В. Панасюка, F. Erdogana для пластини з наскрізною тріщиною.

Отже, підставивши вирази (3.1) в ключову систему, після відповідних перетворень отримаємо систему СІР для пружно-пластичної оболонки довільної кривини з однією тріщиною будь-якого типу:

,

, (3.6)

де , , , ,

,

, ,

; , . Вигляд усіх ядер наведено в розділі ІІ.

Спеціальна функція має вигляд:

, ,

де - функція Бесселя другого роду порядку .

Числове розв'язання системи СІР. Праві частини системи (3.6) - неперервні функції, тому її числове розв'язання не викликає труднощів. Отже для числового розв'язання системи СІР типу Коші застосуємо метод механічних квадратур для функцій, обмежених на кінцях проміжку інтегрування. Використання цього методу зводить систему СІР до сумісної системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно - невідомих вузлових значень функцій , та невідомих і .

Для розв'язання отриманої системи розроблений модифікований числовий алгоритм, який з заданою наперед точністю, знаходить . Точність регулюємо за допомогою виконання умови пластичності (2.2) для знайдених після розв'язання системи та .

На рис. 3.2 штриховою лінією зображено результати для ізотропної сферичної оболонки з повздовжньою поверхневою тріщиною, які одержані після розв'язання системи СІР (3.6), при використанні умови пластичності пластичного шарніру. Суцільна лінія відображає результати, одержані в роботі М.М. Николишина.

Відносне розкриття було обчислене в точці на глибині за формулою:

, (3.7)

де , .

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис.3.2 криві 1, 2 відповідають . При розрахунках вважалося, що , . Як видно з рисунку, результати, отримані за допомогою різних методик і з використанням різних числових методів, узгоджуються між собою.

На рис. 3.3 - 3.4 наведено залежність і для наскрізної тріщини в псевдосферичній оболонці в залежності від довжини тріщини. Відносне навантаження . На рис. 3.2-3.6 вважалося, що .

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 3.5-3.6 відображено залежність і для внутрішньої тріщини від кривини оболонки. На рис. 3.5-3.6, припускалося, що , , , .

Криві 1-5 відповідають матеріалам І - V:

І - ізотропний матеріал ();

ІI - , , , ;

ІІI - , , , ;

ІV - , , , ;

V - , , , .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отже з наведених вище рисунків випливає, що рівень навантаження, довжина і тип тріщини, кривина оболонки та ортотропія матеріалу мають суттєвий вплив на характеристики напруженого стану і для тріщини будь-якого типу.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В четвертому розділі побудовано систему СІР для задачі про напружений стан оболонки з системою колінеарних наскрізних і ненаскрізних тріщин, у випадку, коли перетинка між тріщинами знаходиться цілком в пластичній течії. Проведені числові розрахунки, які дозволили встановити нові закономірності між механічними і геометричними властивостями оболонки, тріщин та характеристиками напружено-деформованого стану.

Оболонка послаблена наскрізними, поверхневими, або внутрішніми тріщинами завдовжки , орієнтованими вздовж осі (рис.4.1). Оболонка знаходиться під дією розтягуючого зусилля або згинального моменту .

Вважаємо, що рівень навантаження такий, що на подовженні тріщин вузькими смугами по всій товщині оболонки поширюються зони пластичних деформацій. Перетинка між тріщинами знаходиться цілком в пластичній течії. Згідно з аналогом - моделі (розділі ІІ) пружно-пластична задача про напружений стан оболонки з двома тріщинами зводиться до пружної задачі для усієї оболонки з однією тріщиною подвійної довжини. На берегах виконуються граничні умови:

,

, (4.1)

де - довжина зовнішньої пластичної зони, і - зусилля і момент, що діють над і (або) під фронтом внутрішніх (поверхневих) тріщин.

Введемо фіктивну тріщину довжини , де . Застосуємо систему СІР з розділу ІІ для розв'язування задачі про напружений стан пружної ортотропної оболонки довільної кривини з наскрізними тріщинами.

Функція є аналітичним розв'язком рівняння:

, , (4.2)

де , , .

Константа визначається з умови існування розв'язку рівняння (4.2):

. (4.3)

З цієї ж умови можна отримати відносний розмір тріщини в пластині:

,

Константа визначається з (2.2). Якщо довжина перемички дорівнює нулю, тобто , то одержуємо значення для однієї тріщини.

Розв'язок рівняння (4.2) має вигляд



Размещено на http://www.allbest.ru/

. (4.4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Система СІР для поставленої задачі, враховуючи вигляд константі (4.3) і функції (4.4), має вигляд (3.6). Числовий алгоритм знаходження аналогічний знаходженню для однієї тріщини.

Рис.4.2-4.3 відповідають випадку поверхневих тріщин (,) в псевдосферичній оболонці, а на рис.4.4-4.5 відповідають випадку внутрішніх тріщин (,).

На рис. 4.3 відносне розкриття обчислювалося в на верхній поверхні оболонки (), а на рис. 4.4-4.5 - . На рис. 4.2 - 4.5 кривим 1-5 відповідають матеріали І - V, а відносне навантаження дорівнювало , . На рис. 4.2-4.3 вважалося, що , а на рис. 4.4-4.5 - .

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено наукове завдання - розвинути підхід до розв'язування задач про напружено-деформований стан пружно-пластичних ортотропних оболонок довільної кривини з наскрізними, поверхневими або внутрішніми тріщинами;

· вперше за допомогою формули оберненого перетворення Коші отримано розв'язок задачі про напружений стан пружно-пластичної пластини з тріщиною та значення розміру пластичної зони для наскрізної, поверхневої та внутрішньої тріщини;

· побудовано систему ГІР для пружно-пластичної ортотропної оболонки з наскрізною чи ненаскрізною тріщинами;

· побудовано систему ГІР для пружно-пластичної ортотропної оболонки з двома колінеарними наскрізними чи ненаскрізними тріщинами;

· аналітично отримано замкнену формулу розміру пластичної зони в ортотропній пластині з двома наскрізними, поверхневими або внутрішніми тріщинами;

· проведені числові розрахунки, на базі яких можна зробити наступні висновки щодо характеру поведінки основних характеристик напруженого стану оболонки з тріщинами:

v для оболонки з однією тріщиною:

- при збільшенні довжини тріщини , та збільшуються для наскрізної тріщини в оболонках будь-якої кривини і матеріалу. Наприклад, в псевдосферичній оболонці при збільшені довжини в 4 рази, збільшується в 1,2-1,7 раз, а - в 1,1-4,4 рази;

- для поверхневої тріщини та зменшуються. Для внутрішньої тріщини зменшуються, в сферичних і псевдосферичних оболонках зменшується, а в циліндричних - збільшується.

- В псевдосферичній оболонці при збільшені довжини в 4 рази, зменшується в 1,5-1,8 раз, а - в 1,6-1,8 раз;

- в оболонках з поверхневою або внутрішньою тріщинами досягає найбільшого значення в циліндричних оболонках, найменше - в псевдосферичних. Відносне розкриття досягає найбільшого значення в циліндричних або в оболонках з додатною кривиною;

v для оболонки з двома колінеарними тріщинами:

- при збільшенні відстані між тріщинами , обидві характеристики і зменшуються в оболонках будь-якої кривини і матеріалу;

- для системи поверхневих і внутрішніх найбільше значення та досягається в циліндричних оболонках, а найменше - в оболонках з від'ємною кривиною;

- найбільші значення та в оболонках з наскрізними тріщинами, а найменші - з внутрішніми, при одних і тих же умовах і рівні навантаження, довжині тріщин, відстані між ними;

v загальні висновки для оболонок з однією та двома колінеарними тріщинами:

- зі збільшенням відносного рівня навантаження збільшуються відносний розмір пластичної зони і відносне розкриття тріщини . В циліндричній оболонці з поверхневими тріщинами при збільшенні на 75% , збільшується в 3,3-3,7 раз, а - в 5,8-8,7 раз.

- величини і залежать від ексцентриситету поверхневих і внутрішніх тріщин за таким принципом: чим більше значення , тим більше і ;

- найбільше значення і змінюється разом із величиною ексцентриситету тріщини: зі зменшенням до нуля (симетрична тріщина) найбільше значення, яке досягалося в циліндричних оболонках, буде прямувати до відповідного значення в сферичних оболонках;

- спостерігається значний вплив ортотропії матеріалу та рівню навантаження: зі збільшенням збільшуються і . Зі зміною параметру від 0,99 до 4,38, збільшується в 1,3-4,5 рази в псевдосферичній оболонці, в 1,2-6,9 раз - в циліндричній оболонці та в 1,5-5,4 раз - в сферичній оболонці з поверхневими тріщинами.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Довбня К.М. Напружено-деформований стан пружно-пластичної ортотропної оболонки довільної кривини з внутрішньою тріщиною / Довбня К.М., Гордієнко М.М. // Труды ИПММ. - 2008. - Т. 17. - С. 36-41.

2. Довбня К.М. Дослідження міцності пружно-пластичної ортотропної оболонки довільної кривини з поверхневою тріщиною / Довбня К.М., Гордієнко М.М. // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 2009.- № 3. - С. 103-108.

3. Довбня К.М. Пружна-пластична ортотропна оболонка довільної кривини з двома тріщинами / Довбня К.М., Гордієнко М.М. // Доповіді НАН України. - 2009.- № 10. - С. 65-70.

4. Довбня Е.Н. Моделирование напряженного состояния упруго-пластической ортотропной оболочки произвольной кривизны со сквозной трещиной / Довбня Е.Н., Гордиенко Н.Н. // Вестник Херсонского национального технического университета. - 2007. - Вып. 2(28). - C. 109 - 113.

5. Довбня К.М. Пружна-пластична ортотропна оболонка довільної кривини з системою двох колінеарних внутрішніх тріщин / Довбня К.М., Гордієнко М.М. // Методи розв'язування прикладних задач механіки деформівного твердого тіла. - 2009. - Вип. 10. - С. 109-115.

6. Довбня К.М. Пружно-пластичні ортотропні оболонки довільної кривини з наскрізною тріщиною / Довбня К.М., Гордієнко М.М. // Сучасні проблеми механіки та математики: В 3-х т. - Львів, 2008. - Т. 2.- С. 35-37.

7. Довбня Е.Н. Внутренняя трещина в упругой и упруго-пластической оболочке произвольной кривизны / Довбня Е.Н., Гордиенко Н.Н., Яртемик В.В. // Труды XVIII Международной научной школы им. академика С.А. Христиановича “Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках”. - Алушта, 22-28 сентября 2008р. - Симферополь, 2008. - С.79-81.

8. Довбня К.М. Визначення пружно-деформованого стану ортотропної оболонки з системою поверхневих тріщин / Довбня К.М., Гордієнко М.М. // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я.С. Підстригача / Тези доповідей. - Львів, 2009. - С. 55-56.

9. Довбня К.М. Напружений стан пружно-пластичної ортотропної оболонки довільної кривини з наскрізними і ненаскрізними тріщинами / Довбня К.М., Гордієнко М.М. // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій. - Львів, 2009. - С. 107-108.

Размещено на Allbest.ru

...