Нелінійні математичні моделі середовищ з часовою та просторовою нелокальностями

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

НЕЛІНІЙНІ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ СЕРЕДОВИЩ З ЧАСОВОЮ ТА ПРОСТОРОВОЮ НЕЛОКАЛЬНОСТЯМИ

01.04.01 - фізика приладів, елементів і систем

Даневич Тетяна Борисівна

Одеса - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Даниленко В'ячеслав Андрійович, Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України, заступник директора, завідувач Відділення геодинаміки вибуху

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Макаренко Олександр Сергійович, „Інститут прикладного системного аналізу” при Національному технічному університеті України (КПІ), завідувач відділом прикладного нелінійного аналізу

доктор фізико-математичних наук, професор Новіков Віталій Володимирович, Одеський національний політехнічний університет, завідувач кафедрою вищої математики і комп'ютерного моделювання

Захист відбудеться “ 3 ” вересня 2010 р. о 13:30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.052.06 в Одеському національному політехнічному університеті за адресою: 65044, м. Одеса, пр. Шевченка, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського національного політехнічного університету за адресою: 65044, м. Одеса, пр. Шевченка, 1.

Автореферат розісланий “ 19 ” липня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради д.т.н., проф. Зеленцова Т.М.

АНОТАЦІЯ

Даневич Т.Б. Нелінійні математичні моделі середовищ з часовою та просторовою нелокальностями - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.01 -- фізика приладів, елементів і систем. Одеський національний політехнічний університет, Одеса, 2010.

Дисертація присвячена побудові та дослідженню континуальних моделей нелінійних середовищ з внутрішніми змінними з урахуванням часової та просторової нелокальностей. Виведені нелінійні динамічні рівняння стану, які описують макроскопічні прояви структури. Побудована ієрархія вкладених нелінійних модельних рівнянь: рівняння Тета, рівняння стану Ляхова з релаксацією, рівняння стану високих порядків з часовою та просторовою нелокальностями, узагальнені нелокальні рівняння стану.

В рамках одержаних моделей досліджено вплив просторової нелокальності на характеристики лінійних і нелінійних хвильових процесів. Методом пограншарних функцій Люстерніка-Вішика побудований асимптотичний розв'язок рівняння для потенціалу акустичних хвиль у випадку малого параметра просторової нелокальності . Показана суттєва відмінність цього розв'язку від розв'язку „незбуреної” задачі для малих довжин кореляції .

У побудованих моделях з використанням редуктивної теорії збурень досліджено еволюцію біжучих хвиль, що повільно змінюються. Одержане сімейство диференціальних рівнянь еволюції у частинних похідних 2-го, 3-го, 4-го порядків із нелінійністю КдВБ. Знайдено умови на параметр просторової нелокальності, при яких існують точні аналітичні (в тому числі солітонні) розв'язки узагальненого рівняння Курамото-Сівашинського. Для моделей з часовою нелокальністю одержана ієрархія вкладених нелінійних рівнянь еволюції: рівняння Бюргерса, рівняння Бюргерса-Кортевега-де Вріза, узагальнене рівняння Курамото-Сівашинського, рівняння високих порядків (5-ого та вище), рівняння порядку.

Ключові слова: моделі середовищ з внутрішніми змінними, нелінійні рівняння, динамічні рівняння стану, релаксація, часова та просторова нелокальності, асимптотичні розв'язки, рівняння еволюції, узагальнене рівняння Курамото-Сівашинського.

АННОТАЦИЯ

Даневич Т.Б. Нелинейные математические модели сред с временной и пространственной нелокальностями - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.01 - физика приборов, элементов и систем. Одесский национальный политехнический университет, Одесса, 2010.

В диссертации разработаны нелокальные континуальные модели структурированных сред с временной и пространственной нелокальностями в длинноволновом приближении. В рамках этих моделей исследовано влияние пространственной нелокальности на линейные и нелинейные волновые процессы.

Для случая быстропротекающих высокоградиентных процессов для сред с внутренними переменными предложены новые феноменологические соотношения различных порядков между обобщенными термодинамическими потоками и силами вблизи локального равновесия. В результате применения метода индукции найдены обобщенные феноменологические соотношения с высокими производными. Известные феноменологические соотношения Онзагера и Лыкова являются частным случаем полученных в диссертационной работе обобщенных соотношений. Для сред с временной и пространственной нелокальностями построена иерархия феноменологических соотношений, включающая нелокальные обобщения известных соотношений Онзагера и Лыкова, нелокальные соотношения высоких порядков и их обобщение.

С использованием методов неравновесной термодинамики и нелокальных феноменологических соотношений выведены нелинейные динамические уравнения состояния, описывающие макроскопические проявления структур. В данных уравнениях содержатся временные и пространственные производные до второго и третьего порядка включительно, учтены температурные члены в динамической части, а также упругая и термическая составляющие давления в квазистационарной части. Полученные уравнения являются нелинейным пространственно-нелокальным обобщением известных уравнений Ляхова, Олдройта, Кельвина-Фойгта, Максвелла, Тета и уравнения, полученного Даниленко для сред с временной нелокальностью. С применением метода индукции получены обобщенные нелинейные динамические уравнения состояния высоких порядков для сред с временной и пространственно-временной нелокальностями. Построены иерархии вложенных моделей нелокальных сред с нелинейными уравнениями состояния: уравнение Тета; динамические уравнения Ляхова, нелокальные динамические уравнения высоких порядков, обобщенные нелокальные динамические уравнения. Использование динамических уравнений высоких порядков дало возможность построить нелинейные нелокальные модели при более высокой степени отклонения от локального равновесия.

В рамках нелинейной модели с часовой и пространственной нелокальностями со вторами производными исследовалось влияние пространственной нелокальности (при условии малости параметра пространственной нелокальности) на распространение линейных (акустических) волн. Получено уравнение на потенциал с малым параметром при старшей производной. С использованием метода погранслойных функций Вишика-Люстерника найдено асимптотическое разложение поля скоростей в задаче про вынужденные нерезонансные колебания. Показано, что решение „возмущенной” краевой задачи существенно отличается от решения „невозмущенной” задачи только для малых длин корреляции .

В полученных моделях методами редуктивної теории возмущений и многих масштабов исследовалась эволюция нелинейных волн на примере бегущих медленно меняющихся волн. Получено семейство нелинейных дифференциальных уравнений эволюции в частных производных с нелинейностью Кортевега-де Вриза-Бюргерса 2-го, 3-го, 4-го порядков. С использованием методов сингулярных многообразий для уравнения Курамото-Сивашинского найдены точные аналитические решения (в том числе, солитонные). Показано, что параметр пространственной нелокальности играет роль управляющего параметра, а образование солитонных решений, как определенных подвижных диссипативных структур, иллюстрирует наличие самоорганизации, (малые возмущения разрастаются в макроструктуры). Таким образом, в рамках полученных нелинейных нелокальных математических моделей исследовано влияние пространственной нелокальности на процессы самоорганизации. Для моделей с временной нелокальностью построена иерархия вложенных нелинейных эволюционных уравнений: уравнение Бюргерса, уравнение Бюргерса-Кортевега-де Вриза, обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского, уравнения высоких порядков (5-ого и выше), обобщенное уравнение порядка.

Ключевые слова: модели сред с внутренними переменными, нелинейные уравнения, динамические уравнения состояния, релаксация, временная и пространственная нелокальности, асимптотические решения, уравнения эволюции, обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского.

ABSTRACT

Danevych T.B. Nonlinear mathеmatical media models with temporal and spatial non-localities. - Manuscript.

Thesis for candidate's degree by spеciality 01.04.01 - physics of devices, elements and systems. - Odessa National Polytechnic University, Odessa, 2010.

The dissertation is devoted to construction and investigation of continual non-linear media models with intrinsic variables taking into account the temporal and spatial non-localities. There are obtained non-linear dynamical equations of state, describing the structure manifestation on macrolevel. The hierarchy of nested non-linear model equations: the Tate equation, the Lyakhov equation of state with relaxation, the high orders equations of state with spatial and temporal non-localities, the generalized non-local equations of state is built.

There is investigated influence of a spatial non-locality on the characteristics of linear and non-linear wave processes in the context of constructed models. The asymptotic solution of the acoustic wave potential equation in the case of a small parameter spatial non-locality is constructed by means of the Lusternik-Vishick method. The essential distinction of this solution from solution of the “non-excited” problem for small correlation length is shown.

The evolution of traveling waves with slowly varying characteristics is investigated with the help of reductive perturbation theory. A family of 2-nd, 3-rd, 4-th order partial differential evolution equations with KdVB non-linear terms is obtained. Conditions on the parameter of spatial non-locality, leading to the exact analytic (including solitons) solutions of the generalized Kuramoto-Sivashynsky equation are found. The hierarchy of nested non-linear evolution equations: the Burgers equation, the Burgers-Korteveg-de Vrese equation, the generalized Kuramoto-Sivashynsky equation, the high order (5-th and more) equations, - order equation is built for the models with temporal non-locality.

Keywords: media models with intrinsic variables, non-linear equations, dynamical equations of state, relaxation, temporal and spatial non-localities, asymptotic solutions, evolution equations, generalized Kuramoto-Sivashynsky equation.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В наш час застосування математичного моделювання в наукових дослідженнях стає все більш поширеним та ефективним. Математичне моделювання фізичних систем розвивалось від побудови моделей рівноважних систем до локально-рівноважних і далі до локально-нерівноважних. Із застосуванням принципу локальної рівноваги стало можливим вивчати різні явища переносу, а також хвильові процеси. Якщо в реальному середовищі відбуваються процеси, що не відрізняються суттєвою нерівноважністю, то таке середовище можна описувати за допомогою локально-рівноважної континуальної моделі. Існує цілий ряд моделей, що описують динамічну поведінку таких середовищ (це відомі лінійні моделі Максвела, Кельвіна-Фойгта, Олдройта, нелінійна модель Ляхова тощо). Першим кроком на шляху побудови локально-нерівноважних моделей стала побудова моделей, у яких відхилення від рівноваги незначне. В роботах А.Л. Полякової, С.И. Солуяна, Р.В .Хохлова, О.В. Руденко, М.А. Бісярина та ін. були побудовані динамічні рівняння стану релаксуючих середовищ поблизу локальної рівноваги.

У випадку сильнонерівноважних процесів (високоградієнтних, швидкоплинних), як було доведено експериментально, реальні середовища проявляють ефекти своєї внутрішньої структури. За таких умов виникає проблема побудови математичних моделей структурованих середовищ або середовищ з часовою та просторовою нелокальностями. При цьому особливого значення набуває перехід до нелінійних моделей. У роботах В.А. Даниленка зі співавторами було побудовано інтегральне рівняння стану середовища з пам'яттю, що описувало сильнонерівноважні процеси горіння та вибуху, де враховувалась тільки часова нелокальність, а просторовою нелокальністю нехтували. За умови малих параметрів просторової та часової нелокальностей ефекти просторової та часової нелокальності розщеплюються, і від інтегральної моделі можна перейти до слабко нелокальної за простором та часом моделі (в диференціальній формі). В роботі В.А. Даниленка була побудована диференціальна модель нелінійного середовища з часовою нелокальністю. Подальший розвиток цього підходу потребував врахування крім часової також і просторової нелокальності. Тож особливої актуальності набула проблема, що полягає в розробці нових нелінійних диференціальних математичних моделей з часовою та просторовою нелокальностями.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась в рамках планових НДР відділення геодинаміки вибуху Інституту геофізики НАН України за держбюджетними темами: „Дослідження деформування геофізичного середовища і розробка методів видобутку енергоносіїв” (2000-2004 рр.). № ДР 0100U000057; „Створення геомеханічної моделі літосфери в зв'язку з розвитком мінерально-сировинної бази України” (2002-2006 рр.). № ДР 0102U002241; „ Розробка наукових основ деформування нелінійних, нерівноважних геофізичних середовищ та технологій видобутку енергоносіїв” (2005-2009 рр.). № ДР 0105U000045.

При виконанні цих науково-дослідних робіт роль автора дисертації полягала в розробці нелінійних нелокальних математичних моделей геофізичного середовища, в яких враховувалися осциляції структурних елементів, термічні процеси та нелокальності. В рамках одержаних моделей структурно-неоднорідних геосередовищ досліджувався вплив на рівняння еволюції лагранжевого та ейлеревого методу опису динаміки геофізичного середовища, пружної та термічної складових тиску.

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є розробка математичних моделей нелінійних середовищ з часовою та просторовою нелокальностями. Для цього необхідно було вирішити такі задачі:

· одержати нелінійні динамічні рівняння стану з просторовою та часовою нелокальностями з високими похідними;

· побудувати асимптотичний розклад поля швидкостей при дослідженні поширення акустичних коливань в нелінійному середовищі з просторовою та часовою нелокальностями з другими часовими похідними;

· дослідити поширення нелінійних хвиль в нелінійних середовищах з часовою та просторовою нелокальностями на прикладі еволюції біжучої хвилі, що повільно змінюється;

· одержати точні аналітичних розв'язки нелінійних рівнянь еволюції.

Об'єкт досліджень - нелінійні нелокальні моделі структурованих середовищ.

Предмет досліджень - нелінійні нелокальні динамічні рівняння стану середовищ з внутрішніми змінними та нелінійні рівняння еволюції.

Методи досліджень: У дисертаційній роботі із застосуванням феноменологічного підходу та методів нерівноважної термодинаміки побудовано нелінійні динамічні рівняння стану нелінійних нелокальних середовищ. За допомогою методу пограншарних функцій Люстерніка-Вішика досліджено поширення акустичних (лінійних) хвиль в нелінійному нелокальному середовищі за умови малого параметра просторової нелокальності. З використанням редуктивної теорії збурень та методу багатьох масштабів одержано нелінійні нелокальні рівняння еволюції в частинних похідних різних порядків. Використання методу сингулярних многовидів дало можливість одержати точні аналітичні розв'язки рівнянь еволюції. Із застосуванням методу індукції одержані узагальнені феноменологічні співвідношення, узагальнені динамічні рівняння стану та для нелінійних моделей з часовою нелокальністю - узагальнене рівняння еволюції.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Запропоновано нові узагальнені феноменологічні співвідношення високого порядку для середовищ з часовою та просторовою нелокальностями поблизу локальної рівноваги.

2. Вперше для середовищ із часовою та просторовою нелокальностями аналітично одержані нелінійні динамічні рівняння стану різних порядків та зроблено їх узагальнення.

3. Вперше аналітично одержані нелінійні просторово-нелокальні узагальнення рівнянь Олдройта, Кельвіна-Фойгта, Максвела, Ляхова та рівняння Тета.

4. Вперше в рамках побудованих нелокальних моделей досліджено розповсюдження акустичних хвиль у нелінійному середовищі з часовою та просторовою нелокальностями (з малим параметром просторової нелокальності) та знайдено асимптотичний розклад поля швидкостей у випадку вимушених нерезонансних коливань.

5. Вперше в задачах про поширення біжучих хвиль, що повільно змінюються, у нелінійних середовищах із часовою та просторовою нелокальностями одержані нелінійні рівняння еволюції третього та четвертого порядків і їх аналітичні (в тому числі солітонні) розв'язки та знайдені просторові масштаби, на яких утворюються дисипативні структури.

6. Вперше для середовищ з часовою нелокальністю одержане нелінійне узагальнене рівняння еволюції малого збурення.

Практичне значення отриманих результатів. Оскільки врахування просторової та часової нелокальностей еквівалентне врахуванню масштабів внутрішньої структури середовища, тому з використанням побудованих моделей можна описувати різні струкуровані середовища як в живій, так і в неживій природі (зокрема, геофізичне середовище). Результати дисертаційній роботі можуть бути застосовані в навчальних університетських курсах з теоретичної фізики та нерівноважної термодинаміки, при розробці теоретичних основ самоорганізації в різних областях науки. Із застосуванням моделі нелінійного середовища з просторовою та часовою нелокальностями були виконані чисельні дослідження побудови солітоноподібних розв'язків та їх біфуркаційних діаграм. Результати роботи покладено в основу розробки теоретичних основ імпульсних технологій інтенсифікації видобутку корисних копалин, які впроваджені на підприємствах НАК „Нафтогаз України”.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що складають основний зміст дисертації, автор одержав самостійно, а саме:

· запропоновано феноменологічні співвідношення між потоками та силами з часовою та просторовою нелокальностями з високими похідними;

· одержано нелінійні динамічні рівняння стану середовищ з просторовою та часовою нелокальностями з першими часовими похідними; похідними за часом та простором включно до другого та третього порядків;

· показано, що одержані динамічні рівняння стану є нелінійним нелокальним узагальненням рівнянь Максвела, Кельвіна-Фойгта, Олдройта, Ляхова, Тета.

· запропоновано узагальнені нелокальні динамічні рівняння стану нелінійних середовищ з високими похідними;

· побудований алгоритм знаходження асимптотичний розкладу поля швидкостей, за допомогою якого досліджено розповсюдження акустичних хвиль у нелінійному середовищі з часовою та просторовою нелокальностями (з малим параметром просторової нелокальності) у випадках вимушених і власних коливань;

· одержано нелінійні рівняння еволюції в частинних похідних: другого порядку (рівняння Бюргерса), третього порядку (рівняння КдВБ) та четвертого порядку (узагальнене рівняння Курамото-Сівашинського);

· досліджено вплив квазістаціонарної і динамічної частин нелінійних рівнянь стану на рівняння еволюції і їх коефіцієнти;

· знайдено точні аналітичні (в тому числі солітонні) розв'язки нелінійного рівняння еволюції четвертого порядку та умову на параметр просторової нелокальності, при якій мають місце ці розв'язки;

· для середовищ з часовою нелокальністю запропоноване узагальнене нелінійне рівняння еволюції.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на українській конференції „Моделювання та дослідження стійкості систем” (Київ, 1996), на міжнародній конференції „Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань” (Треті Боголюбовські читання) 18-23 серпня 1997 р., на наукових семінарах Інституту геофізики ім. С.І Субботіна НАН України (Київ, 1994-2009), на науковому семінарі науково-навчального комплексу „Інституту прикладного системного аналізу” НАН України (Київ, 2008).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 1 монографії та 5 статтях у наукових журналах.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і 2 додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи 138 сторінок, із яких 123 сторінки основного тексту (включно з 2 рисунками), 7 сторінок додатків. Список використаної літератури на 8 сторінках включає 76 найменувань.

нелінійний середовище рівняння релаксація

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі до дисертації розкрито актуальність та значущість теми роботи, сформульовано мету та задачі дослідження, зазначено об'єкт, предмет та методи досліджень. Стисло подано анотацію основних наукових результатів, їх наукове та практичне значення, наукову новизну, зв'язок із держбюджетними темами. Також сформульовано особистий внесок автора, представлено апробацію результатів дисертації та відомості про публікації.

Перший розділі містить короткий огляд літератури за темою дисертації. При цьому висвітлено основні етапи розвитку проблеми побудови математичних моделей структурованих середовищ та її сучасний стан. Зокрема відмічено, що для побудови замкнутої математичної моделі крім рівнянь, які виражають основні закони збереження (рівняння балансу), потрібне ще рівняння стану. Рівняння стану є необхідним доповненням до основних термодинамічних законів, яке робить можливим їх застосування до реальних речовин. Рівняння стану не можуть бути виведені за допомогою одних тільки законів термодинаміки, а визначаються з досліду (постулюються) або розраховуються теоретично з використанням методів кінетичної теорії, статистичної фізики або феноменологічної теорії термодинаміки незворотних процесів. У випадку середовищ з внутрішніми процесами (до яких належать релаксаційні процеси) в рівнянні стану з'являється внутрішня змінна. Вона в загальному випадку якимось чином визначає внутрішню структуру речовини, а у випадку релаксуючого середовища характеризує відхилення середовища від термодинамічної рівноваги. Цю додаткову змінну виключають за допомогою рівняння релаксації або реакції, яке ще називають рівнянням кінетики або феноменологічними співвідношенням між узагальненими термодинамічними потоками та силами. При цьому одержується динамічне рівняння стану, яке й використовують для побудови замкнутої математичної моделі.

Відмічено також, що поступовий розвиток та ускладнення математичних моделей відбувалися шляхом ускладнення феноменологічних співвідношень, в той час, як для досить широкого кола задач рівняння балансу використовувались у класичній формі. Математичні моделі, що описували стаціонарні процеси переносу та нестаціонарні явища невисокої інтенсивності з рівнянням релаксації у вигляді співвідношення Онзагера, розглядались ще в роботах Мандельштама, Леонтовича, Зельдовича, Степанова, Д'якова, а пізніше в роботах Полякової, Руденко, Солуяна, Хохлова та інших.

У випадку інтенсивних нестаціонарних процесів, як відмічав А.В. Ликов, узагальнені термодинамічні потоки та сили пов'язані деякими нелінійними рівняннями, вигляд яких, власне кажучи, невідомий. Проте, якщо відхилення від локальної рівноваги незначне, ці нелінійні закони наближено виражаються лінійними нестаціонарними визначальними співвідношеннями. На сьогоднішній день існує ряд математичних моделей, за допомогою яких можна описувати динамічну поведінку та релаксаційні властивості таких середовищ (лінійні моделі Олдройта, Кельвіна-Фойгта, Максвела, Ніколаєвського; нелінійні моделі Ляхова тощо). Слід відмітити, що динамічні рівняння стану в цих моделях постулювалися.

В умовах суттєвої нерівноважності (швидкоплинні та високоградієнтні процеси), як зауважував В.А. Даниленко, реальні середовища виявляють ефекти своєї внутрішньої структури. В цьому випадку проявляється нелокальний характер взаємодії збурення з середовищем. Відповідна математична модель побудована в роботі В.А. Даниленка, де з використанням визначального співвідношення Онзагера та співвідношення, запропонованого Ликовим, виведені нелінійні динамічні рівняння стану середовищ з часовою нелокальністю поблизу локальної рівноваги.

Також у даному розділі наведено огляд робіт, які розкривають суть методів, що їх застосовано в наступних розділах роботи при дослідженні лінійних та нелінійних хвильових процесів у середовищах з часовою та просторовою нелокальностями.

У другому розділі запропоновані нові феноменологічні співвідношення, за допомогою яких із використанням методів нелінійної нерівноважної термодинаміки одержана низка нелінійних динамічних рівняння стану середовищ із часовою та просторовою нелокальностями з першими та другими похідними за часом, похідними за часом та координатою до третього порядку включно. Крім того одержані динамічні рівняння стану, що враховують як пружну, так і термічну складові внутрішньої енергії, температурні члени та можливу нестаціонарність термодинамічних сил. Результатом цих досліджень стали узагальнені нелінійні динамічні рівняння стану нелокальних середовищ.

У п. 2.1 наведене узагальнене феноменологічне визначальне співвідношення поблизу локальної рівноваги, яке враховує наявність в середовищі як внутрішніх осциляторів, так і високих градієнтів, і має такий вигляд:

 (1)

де - час релаксації (параметр часової нелокальності); - внутрішня змінна; - кінетичний параметр; - спорідненість до релаксаційного процесу середовища з часовою нелокальністю; - параметр просторової нелокальності, [1], (- масштаб, пов'язаний із просторовою нелокальністю; - внутрішня енергія на одиницю маси); -питомий об'єм.

Вибір визначає порядок похідних за простором та часом у феноменологічних співвідношеннях, що одержуються із співвідношення (1). Так при маємо феноменологічне співвідношення

що запропоновано в роботі [6] для побудови математичних моделей нелінійних нелокальних середовищ з внутрішніми осциляторами. При , було одержане просторово-нелокальне узагальнення співвідношення Онзагера (випадок стаціонарних узагальнених потоків та сил) [1]

(2)

Частинним випадком співвідношення (1) при є просторово-нелокальне узагальнення співвідношення, запропонованого А.В. Ликовим при розгляді інтенсивних нестаціонарних процесів переносу



При з (1) одержується феноменологічне співвідношення з роботи [5]

(3)

Для співвідношення (1) буде таким [4]:

(4)

При одержане співвідношення з роботи [3]

(5)

Якщо ж маємо співвідношення

(6)

Узагальнене співвідношення для середовищ з часовою нелокальністю для випадку стаціонарних термодинамічних сил таке:

(7)

У випадку із співвідношення (7) одержане феноменологічне визначальне співвідношення 4-ого порядку середовища з часовою нелокальністю

(8)

Співвідношення (2) - (6), (8) використовувались для виводу нелінійних динамічних рівнянь стану, що враховують вплив часової та просторової нелокальностей на зміну основних термодинамічних параметрів середовища. Так із застосуванням методів нелінійної нерівноважної термодинаміки, розклавши функції та в ряд Тейлора біля рівноваги, після виключення внутрішньої змінної за допомогою співвідношення (5) та врахування пружної і термічної складових тиску одержане нелінійне динамічне рівняння стану другого порядку

(9)

де - тиск; - адіабатична рівноважна швидкість звуку; - рівноважний показник політропи; - коефіцієнти теплового розширення; -температура; - ентропія на одиницю маси; - часи релаксації; - ізотермічні коефіцієнти стиснення; - коефіцієнт Грюнайзена.

В динамічних рівняннях стану різних порядків при знехтуванні пружною складовою в порівнянні з термічною, тобто за умови квазістаціонарна частина буде такою, як у рівнянні

(10)

При виключених просторовій нелокальності та других часових похідних рівняння (10) переходить у динамічне рівняння стану середовища з часовою нелокальністю першого порядку

(11)

У п. 2.6 показано, що окремими випадками моделі нелінійного релаксуючого середовища (11) будуть: модель Г.М. Ляхова для нелінійного рідкого багатокомпонентного середовища з об'ємною в'язкістю та нелінійне узагальнення моделі Максвела. А окремим випадком моделі нелінійного середовища з часовою нелокальністю (11) є нелінійне узагальнення моделі Кельвіна-Фойгта. При з рівняння (11) одержане рівняння Г.М. Ляхова для середовища з об'ємною в'язкістю, яке можна розглядати як нелінійне узагальнення відомого рівняння Олдройта

 (12)

Просторово-нелокальне узагальнення рівняння (12), одержане при відповідних умовах з рівняння (10),

(13)

При з рівняння (11) одержане просторово-нелокальне узагальнення рівняння, що постулювалося Г.М. Ляховим для релаксуючої компоненти в багатокомпонентному середовищі

При та виключених других часових похідних рівняння (10) дало просторово-нелокальне нелінійне узагальнення рівняння Максвела

При з рівняння (10) одержане нелінійне просторово-нелокальне узагальнення рівняння Кельвіна-Фойгта:



При виключеній просторовій нелокальності, коли стан розглядуваного середовища змінюється повільно, тобто , для випадку з рівняння (10) маємо рівняння Тета

При (10) зводиться до рівняння для миттєвих („заморожених”) процесів

У п. 2.8 - 2.10 наведені нелінійні динамічні рівняння стану з похідними за часом до третього та похідними за координатою до другого порядку, наприклад,

(14)

і нелінійне динамічне рівняння стану з похідними за часом та координатою до третього порядку при врахуванні нестаціонарності термодинамічних сил. Нелінійне рівняння (10) одержане з рівняння (9) у випадку, коли пружною складовою тиску в порівнянні з термічною можна було знехтувати. Коли ж пружна складова превалює над термічною, маємо лінійне динамічне рівняння стану

 (15)

У граничному випадку адіабатичного квазістатичного процесу при і відсутності просторової нелокальності з нелінійного рівняння (10) одержуємо або Лінійне рівняння (15) у граничному випадку квазістатичного процесу за відсутності просторової нелокальності має вигляд Ці рівняння постулювались у роботах Г.М. Ляхова.

У п. 2.11 наведено узагальнені нелінійні динамічні рівняння стану нелокальних середовищ. При врахуванні як пружної складової тиску, так і термічної, за умови визначального співвідношення (1) узагальнене динамічне рівняння стану середовищ з часовою та просторовою нелокальностями таке:

Для середовищ з часовою нелокальністю у випадку стаціонарних термодинамічних сил , коли мало місце узагальнене феноменологічне співвідношення (7), відповідне узагальнене нелінійне динамічне рівняння стану -ого порядку

(16)

У п. 2.12 показано, що, виходячи з умов термодинамічної стійкості, одержується повне квазістаціонарне рівняння стану

яке в першому наближенні за умови переходить у квазістаціонарну частину нелінійного рівняння стану (9)

(17)

Рівняння стану з часовими та просторовими похідними до третього порядку включно при врахуванні пружної та термічної складових тиску розглядалися в п. 2.14. Для визначального співвідношення (6) рівняння було таким:



Одержані в цьому розділі нелінійні динамічні рівняння стану дали можливість побудувати математичні моделі нелінійних середовищ з часовою і просторовою нелокальностями та дослідити в них лінійні й нелінійні хвильові рухи.

У третьому розділі в рамках математичної моделі з нелінійним динамічним рівняння стану з похідними за часом та координатою до другого порядку включно досліджувалось поширення звуку в нев'язкому нетеплопровідному релаксуючому середовищі з малим параметром просторової нелокальності. Знерозмірений параметр просторової нелокальності відігравав при цьому роль малого параметра при старшій похідній у диференціальному рівнянні з частинними похідними. Це дало можливість застосувати метод пограншарних функцій Люстерніка-Вішика для асимптотичного розрахунку полів швидкостей.

У п. 3.1. було знайдено алгоритм побудови асимптотики розв'язку. Нехай у довільній області розглядуваного середовища, що обмежена достатньо гладкою поверхнею , мають місце акустичні гармонічні коливання (з частотою ); це еквівалентне наявності малих збурень, які поширюються як лінійні (звукові) хвилі. Для вивчення хвильових рухів у такому середовищі була побудована тривимірна математична модель

(18)

де

Ввівши в розгляд потенціал : та поклавши, що параметр просторової нелокальності малий (~), зі знерозміреної та лінеаризованої системи (18), було одержане таке рівняння:

(19)

де

У випадку вимушених коливань акустичне поле частоти збуджувалось на границі і неоднорідна гранична умова для рівняння (19) на поверхні була такою:

(20)

де задана функція.

Асимптотичний розклад розв'язку крайової задачі (19), (20) шукався у вигляді суми регулярної та пограншарної частин за методом Люстерніка-Вішика

 (21)

де для побудови функції в околі були введені нові (локальні) координати причому ця система координат також була ортогональна. Підставивши (21) у рівняння (19) і розділивши рівняння для регулярних та пограншарних членів одержали

(22)

(23)

Здійснивши розтяг та записавши оператор Лапласа в нових координатах , ( - лінійні диференціальні оператори другого порядку), одержали з (23) таке рівняння на пограншарну частину:

(24)

де .

Гранична умова (20) у нових координатах мала такий вигляд:

(25)

де , - коефіцієнти Ламе.

Крім того, покладали вимогу, що всі - функції мають прямувати до нуля при :

(26)

Таким чином, було одержано алгоритм побудови асимптотичного розв'язку, який привів до крайової задачі (22), (24), (25), (26).

У п. 3.2. розглянуто випадок нерезонансних вимушених коливань. Нехай на границі збуджується акустичне поле частоти , яка не близька до жодної з власних частот області . Скористаємося одержаним алгоритмом для побудови розкладу:

(27)

Знайдемо нульове наближення, тобто знайдемо функції, що задовольняють (27) з точністю . Для регулярної частини маємо таку крайову задачу:



З наближень , знаходимо, що Наближення побудоване повністю. Наступні наближення будуються аналогічно. Одержуємо, що всі функції > 0.

В результаті ітераційної процедури одержимо для регулярної частини таке рівняння

Ітераційна процедура для пограншарної частини приводить до звичайного диференціального рівняння, де права частина рекурентно виражається через пограншарні функції, знайдені в попередніх наближеннях

Результат побудови асимптотичного розкладу (27) такий. Основний внесок у розв'язок крайової задачі (22), (24), (25), (26) дають функції . Щоб з'ясувати головні риси поведінки розв'язку, достатньо дослідити властивості цих функцій. Функція співпадає з розв'язком „незбуреної” задачі У випадку „збуреної” задачі функція суттєво уточнює цей розв'язок на відстанях і згасає як експонента на великих відстанях. Отже, розв'язок „збуреної” задачі суттєво відрізняється від розв'язку „незбуреної” задачі лише для малих довжин кореляції.

У четвертому розділі наведені результати дослідження впливу просторової та часової нелокальностей на поширення нелінійних хвиль на прикладі еволюції біжучих хвиль, що повільно змінюються. Для математичних моделей у ейлерових та лагранжевих координатах з різними динамічними рівняннями стану вивчався вплив квазістаціонарної частини рівняння, порядку його часових і просторових похідних, врахування температурних членів та нестаціонарності узагальнених термодинамічних сил на швидкість поширення збурення, порядок рівняння еволюції та його коефіцієнти. В результаті цих досліджень побудована ієрархія нелінійних рівнянь еволюції та знайдено їх точні аналітичні розв'язки.

У п. 4.1. розглядалась математична модель в ейлеревих координатах із динамічним рівнянням стану з першими часовими похідними (13) в одномірному випадку

(28)

При застосуванні методу багатьох масштабів ( - малий параметр, - швидкість біжучої хвилі) у другому порядку редуктивної теорії збурень одержане нелінійне рівняння еволюції на збурену масову швидкість:

 (29)

При певному виборі параметрів рівняння еволюції (29) буде або рівнянням КдВБ, або (при виключеній просторовій нелокальності) рівнянням Бюргерса, або КдВ. Так при знайдено солітонний розв'язок рівняння КдВ , де - швидкість солітону.

У п. 4. 2 досліджувалась еволюція біжучої хвилі, що повільно змінювалась, в середовищі з часовою нелокальністю з повним динамічним рівнянням стану першого порядку за часом при врахуванні температури в динамічній частині

(30)

Застосування редуктивної теорії збурень та координат до вихідної системи в лагранжевих координатах дало рівняння Бюргерса:

(31)

Порівнюючи рівняння (29) (при виключеній просторовій нелокальності) та рівняння (31) дійшли висновку, що вигляд рівняння еволюції та його коефіцієнти не залежать від того, в якій системі (ейлеровій чи лагранжевій) проводяться дослідження. Порядок похідних еволюційного рівняння визначається максимальним порядком похідних вихідної системи та є на одиницю більшим за нього. З урахуванням температурних членів динамічної частини рівняння стану (30) у коефіцієнті (31) з'явився доданок Відмінність у виразах для та в (29) та (31) виникла через відмінність квазістаціонарних частин рівнянь (30) та (13).

У п. 4.5 досліджувалось поширення нелінійних хвиль у середовищі з нелінійним динамічним рівнянням стану (14) з просторовою та часовою нелокальностями (похідні за часом до третього, а за координатою до другого порядку включно). Одержане рівняння еволюції мало такий вигляд:

(32

Амплітудне рівняння (32) - нелінійне рівняння четвертого порядку з нелінійністю Бюргерса-Кортевега де Вріза, відоме в літературі як рівняння Курамото-Сівашинського, належить до так званих “неінтегровних” рівнянь. Точні аналітичні розв'язки цього рівняння можуть бути знайдені методом сингулярних многовидів, розвинутим у працях Н.А. Кудряшова, якщо коефіцієнти рівняння пов'язані співвідношеннями:

(33)

Знайдено, що коефіцієнти рівняння (32) задовольняють умові (33), якщо є коренем квадратного рівняння: . Оскільки то одержуємо умову на параметр просторової нелокальності

(34)

Отже, за умови (34) рівняння (32) має аналітичний розв'язок

(35)

де

Оскільки , то, рівняння (32) має розв'язки (35) на таких масштабах: . На масштабі було знайдено розв'язок

Це солітон з одним максимумом . Якщо то

Для феноменологічного співвідношення (3), де врахована нестаціонарність узагальненої термодинамічної сили, було одержане динамічне рівняння, що розглядалось у п. 2.9 (похідні за часом та координатою до третього порядку включно). Дослідження еволюції нелінійних хвиль у цій моделі при врахуванні температурних членів, що розглядалось у п. 4.6, знову привело до рівняння еволюції Курамото-Сівашинського, але із змінами в коефіцієнтах:

(36)

Було показано, що врахування крім термічної, ще й пружної складової тиску, приводить до

Еволюція нелінійних хвиль у математичній моделі з часовою нелокальністю при врахуванні пружної та термічної складових, коли мало місце узагальнене феноменологічне співвідношення -ого порядку (7) та відповідне узагальнене нелінійне динамічне рівняння стану -ого порядку (16), досліджувалась у п. 4.8. Було одержане узагальнене нелінійне рівняння еволюції -ого порядку

ВИСНОВКИ

У дисертації наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової проблеми, що полягає в розробці нелінійних диференціальних математичних моделей з часовою та просторовою нелокальностями. З аналізу проведених у ході виконання дисертаційної роботи досліджень та узагальнення їх результатів можна сформулювати такі основні висновки.

1. В результаті застосування методу індукції щодо запропонованих у дисертаційній роботі нових феноменологічних співвідношень знайдені узагальнені феноменологічні співвідношення з високими похідними. Це дало можливість побудувати нелінійні нелокальні моделі середовищ з часовою та просторовою нелокальностями при більш високому ступені відхилення від локальної рівноваги. Відомі феноменологічні співвідношення Онзагера та Ликова є частинними випадками одержаних у дисертаційній роботі узагальнених співвідношень.

2. Вперше для середовищ із часовою та просторовою нелокальностями із застосуванням феноменологічного підходу та методів нелінійної нерівноважної термодинаміки аналітично виведені нелінійні динамічні рівняння стану з похідними за часом та координатою до другого та третього порядку. В динамічних рівняннях враховані температурні члени, а також пружна та термічна складові тиску. Одержані рівняння стану є нелінійним, просторово-нелокальним узагальненням рівнянь Ляхова, Олдройта, Кельвіна-Фойгта, Максвела, Тета та рівняння, одержаного Даниленком для середовищ з часовою нелокальністю.

3. Із застосуванням методу індукції одержані узагальнені нелінійні динамічні рівняння стану середовищ з часовою та просторовою нелокальностями високих порядків.

4. Виведені в дисертаційній роботі динамічні рівняння стану дали можливість побудувати ієрархію вкладених нелінійних математичних моделей: тетівська, ляхівська з релаксацією, з часовою та просторовою нелокальностями, з часовою та просторовою нелокальностями високих порядків, узагальнена нелокальна модель та дослідити вплив просторової нелокальності на лінійні та нелінійні хвильові процеси.

5. За умови малості параметра просторової нелокальності вперше досліджено розповсюдження акустичних хвиль у нелінійному середовищі з часовою та просторовою нелокальностями та знайдено асимптотичний розклад поля швидкостей у випадку вимушених нерезонансних коливань. Показано, що асимптотичний розв'язок „збуреної” задачі суттєво відрізняється від розв'язку „незбуреної” задачі для малих довжин кореляції .

6. Вперше в задачах про поширення біжучих хвиль, що повільно змінюються, в нелінійних середовищах із часовою та просторовою нелокальностями одержані нелінійні рівняння еволюції третього та четвертого порядків. Показано, що вигляд рівняння еволюції та його коефіцієнти не залежать від того, в якій системі координат (лагранжевій чи ейлеровій) проводились дослідження. Показано, що врахування крім часової ще й просторової нелокальності при певних умовах на параметр просторової нелокальності дає можливість одержати точні аналітичні (в тому числі солітонні) розв'язки узагальненого рівняння еволюції Курамото-Сівашинського. Отже показано, що параметр просторової нелокальності відіграє роль керуючого параметру, а утворення солітонних розв'язків як певних рухомих дисипативних структур ілюструє наявність самоорганізації (малі збурення розростаються в макроструктури).

7. Вперше для нелінійних середовищ з часовою нелокальністю із застосуванням методу індукції одержане нелінійне узагальнене рівняння еволюції -ого порядку та побудована ієрархія вкладених нелінійних еволюційних рівнянь: Бюргерса, КдВБ, узагальнене рівняння Курамото-Сівашинського, рівняння високих порядків (п'ятого і вище), узагальнене рівняння еволюції.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ НАУКОВИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Даниленко В.А. Нелінійні математичні моделі середовищ з часовою та просторовою нелокальностями / Даниленко В.А., Даневич Т.Б., Скуратівський С.І. - К.: Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України, 2008. - 86 с.

2. Даневич Т.Б. Вплив просторової нелокальності на поширення хвиль в середовищі, що релаксує / Т.Б Даневич , В.А Даниленко // Доп. АН України. - 1995. - №11. - С. 83-86.

3. Даневич Т.Б. Рівняння стану нелінійного середовища з внутрішніми змінними із урахуванням часової та просторової нелокальності / Т.Б Даневич , В.А Даниленко // Доп. АН України. - 1998. - №10. - С. 133-137.

4. Даневич Т.Б. Точні аналітичні розв`язки нелінійних рівнянь динаміки релаксуючих середовищ з просторовою та часовою нелокальністю / Т.Б Даневич , В.А Даниленко // Доп. НАН України. - 2004. - №3. - С. 110-114.

5. Даневич Т.Б. Точні аналітичні розв`язки нелінійних рівнянь динаміки нелокальних середовищ при врахуванні температурних членів та нестаціонарності узагальненої термодинамічної сили / Т.Б Даневич , В.А Даниленко // Доп. НАН України. - 2004. - №4. - С. 106-112.

6. Даневич Т.Б. Нелінійні нелокальні моделі багатокомпонентних релаксуючих середовищ з внутрішніми осциляторами /Т.Б Даневич , В.А Даниленко // Доп. НАН України. - 2005. - №1. - С. 106-110.

Размещено на Allbest.ru

...