Метод оберненої задачі та неспадні розв’язки нелінійних еволюційних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

МЕТОД ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧІ ТА НЕСПАДНІ РОЗВ'ЯЗКИ НЕЛІНІЙНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

01.01.03 - математична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

ЄГОРОВА Ірина Євгенівна

УДК 517.955.8, 517.984.54

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків.

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України, ПАСТУР Леонід Андрійович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (м. Харків), завідувач відділу теоретичної фізики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України, БЕРЕЗАНСЬКИЙ Юрій Макарович, Інститут математики НАН України (м. Київ), головний науковий співробітник відділу функціонального аналізу доктор фізико-математичних наук, професор ПИВОВАРЧИК Вячеслав Миколайович, Південноукраїнський державний педагогічний університет ім. К.Д. Ушинського (м.Одеса), завідувач кафедри прикладної математики та інформатики

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ШЕПЕЛЬСЬКИЙ Дмитро Георгійович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (м. Харків), старший науковий співробітник відділу математичного моделювання фізичних процесів

Захист відбудеться 28.12. 2010 р. о 15 годині на засідан-ні спеціалізованої ради Д26.206.01 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий 23.11.2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Починаючи зі знаменитої праці К. Гарднера, Дж. Гріна, М. Краскала та Р. Міури (1967), де було виявлено зв'язок між рівнянням Кортевега-де Фріза та лінійним рівнянням Шрьодінгера, метод оберненої задачі розсіювання (МОЗР) став одним з найважливіших інструментів в теорії інтегровних систем. "Золотим віком" його розвитку були сімдесяті-вісімдесяті роки минулого сторіччя, коли десятки дослідників, як математиків, так і фізиків, займались удосконаленням метода та його застосуванням до все зростаючої кількості нелінійних рівнянь, що відіграють важливу роль у фізиці. З іншого боку, ці дослідження викликали посилення зацікавленості до різноманітних обернених спектральних задач, зокрема, до задачі, що лежала у основі МОЗР - задачі розсіювання для одновимірного оператора Шрьодінгера на всій осі зі спадним потенціалом, яка вважалась вивченою після праць І. Кея, Г. Мозеса (1955) та Л.Д. Фаддєєва (1964), і яка зазнала значної ревізії у працях В.О. Марченко (1977) та, незалежно, П. Дейфта і Є. Трубовіца (1979). Ці дослідження, зокрема, показали, що у характеристичних властивостях даних розсіювання істотну роль відіграють аналітичні властивості цих даних на краю неперервного спектра. Сьогодні механізм роботи метода оберненої задачі розсіювання на сталому фоні є повністю зрозумілим для численних нелінійних цілком інтегровних рівнянь, як неперервних, так і дискретних.

Інший визначальний крок у розвитку теорії інтегровних рівнянь було зроблено у 1974 - 1975 рр., коли арсенал методів оберненого спектрального аналізу було поширено у напрямку розгляду періодичних та скінченнозонних квазіперіодичних розв'язків нелінійних рівнянь. Для розповсюдження методу оберненої задачі на цей клас розв'язків знадобилось об'єднання методів спектральної теорії та алгебро-геометричних методів. Обернена спектральна задача для скінченнозонних операторів Шрьодінгера, ключовим моментом якої є розв'язання проблеми обернення Якобі, була детально досліджена в роботах А.Р. Ітса, В.Б. Матвєєва, Б.А. Дубровіна, С.П. Новікова, Г. Маккіна та П. ван Мербеке (1975), а повний спектральний аналіз оператора Хілла було проведено В.О. Марченком та І.В. Островським (1975). Окрім застосування до інтегрування нелінійних систем, періодична задача та тісно пов'язана з нею проблема апроксимації нескінченнозонних потенціалів скінченнозонними (В.О. Марченко, І.В. Островський, 1980) стали поштовхом до подальшого бурхливого розвитку спектральної теорії майже періодичних операторів. Виникнення цієї галузі аналізу, що знаходиться на стику теорії операторів, теорії ймовірностей та математичної фізики, було стимульовано інтересами теоретичної фізики. Вона почала активно розвиватися у середині 80-х років минулого сторіччя й дотепер є одним з провідних напрямків у спектральному аналізі диференціальних та різницевих операторів другого порядку, що застосовується в теорії випадкових матриць та невпорядкованих систем. Тому природним є застосування цієї теорії для інтегрування асоційованих нелінійних рівнянь.

Важливим узагальненням методу оберненої задачі є випадок нелінійних рівнянь із так званими початковими умовами типу сходинки, коли на різних півосях їхніми асимптотами є різні сталі. Моделі такого типу привернули увагу фізиків несподіваними асимптотичними властивостями розв'язків і призвели до виникнення поняття асимптотичних солітонів, які активно досліджувались у працях В.П. Котлярова та Є.Я. Хруслова. Ці дослідження й досі не втратили своєї актуальності, бо метод оберненої задачі розсіювання, яким досліджено ці асимптотичні солітони, є більш ефективним в області переднього хвильового фронту, ніж інші методи асимптотичного аналізу, такі, як, наприклад, метод задачі Рімана-Гільберта, що бурхливо розвивається в останнє десятиріччя.

Початкові умови типу сходинки можна вважати найпростішим представником широкого класу неспадних початкових умов. Інтерес до розв'язків нелінійних рівнянь із такими початковими умовами й, особливо, до їх асимптотичної поведінки, диктується потребами фізики нелінійних хвиль. Але результати в цих напрямках досі не є численними.

Відзначимо, що метод оберненої задачі не є єдиним у проблемах дослідження коректності (тобто існування та єдиності) розв'язків інтегровних рівнянь. Більш того, результати, отримані методами теорії рівнянь у частинних похідних, є в цілому більше завершеними, ніж ті, що одержуються методом оберненої задачі, особливо для слабко спадних початкових умов. Є також результати, що стосуються необмежених початкових умов. Але ця техніка не поширюється на задачі з різними просторовими асимптотиками розв'язків. Крім того, застосування методу оберненої задачі дозволяє отримати додаткову якісну інформацію про розв'язки, яка може бути ефективно використаною при дослідженні їхньої асимптотичної поведінки.

Природним узагальненням вищевказаних обернених спектральних задач є задача розсіювання на скінченнозонних (періодичних, неперіодичних) фонах, можливо, різних на різних півосях. Така задача виникає у різноманітних фізичних застосуваннях, наприклад, при вивченні розсіювання хвиль на з'єднанні двох різних напівнескінченних одновимірних квазикристалів. Як не дивно, але цей цілком природний клас неспадних потенціалів - асимптотично скінченнозонних - не був повністю досліджений. Єдиними результатами в цьому напрямку є наступні: задача розсіювання для "класичної" сходинки на двох сталих фонах вивчена вперше В.С. Буслаєвим та В.Н. Фоміним (1962) з наступною ревізією в роботах Е.Коен і Т. Каппелера (1984). З деякими обмеженнями на спектральні дані досліджено обернену задачу розсіювання для оператора Шрьодінгера на періодичному фоні (Н.Є. Фірсова, 1975, 1987), а також задачу розсіювання для потенціалу типу сходинки, який спадає на одному кінці ї є асимптотично періодичним на іншому (В.Д.Єрмакова, 1981). В обох випадках наявна неповнота опису властивостей даних розсіювання не дозволила застосувати метод оберненої задачі до інтегрування відповідного нелінійного рівняння. З іншого боку, в основі методу задачі Рімана-Гільберта, що активно використовується сьогодні для дослідження асимптотичної поведінки розв'язків нелінійних інтегровних рівнянь, лежить припущення про існування розв'язків у заданому класі спадання збурень. Тому є нагальна потреба у коректному розв'язанні задач Коші з початковими умовами типу сходинки, а, отже і у розвитку відповідної теорії розсіювання.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які склали основу роботи, проводилися у відділі статистичних методів математичної фізики Математичного відділення Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України згідно з науково-дослідними темами «Асимптотичні властивості функцій великого числа змінних у математичній фізиці» (номер державної реєстрації 0103U00315), «Ефекти великих вимірностей та макроскопічного числа параметрів в математичній фізиці та спектральній теорії» (номер державної реєстрації 0106U002561)

Мета і завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у розвиненні методу оберненої задачі розсіювання на скінченнозонних фонах і його застосуванні для інтегрування КдФ-подібних нелінійних рівнянь із асимптотично скінченнозонними початковими умовами типу сходинки; а також у узагальненні методу періодичної оберненої задачі для побудови гранично періодичних та майже періодичних розв'язків інтегровних рівнянь, що мають ніде не щільний спектр додатної міри.

Об'єктом дослідження є одновимірні оператори Шрьодінгера, Якобі та Дірака на всій осі, а також асоційовані з ними нелінійні рівняння КдФ, мКдФ, ієрархії Тоди та дефокусуюче рівняння НШ.

Предметом дослідження є прямі й обернені задачі розсіювання на скінченнозонних фонах для диференціальних та різницевих операторів другого порядку, розв'язання задач Коші для нелінійних рівнянь із асимптотично скінченнозонними й майже періодичними початковими умовами, а також дослідження асимптотичної поведінки цих розв'язків за великим часом.

Основними завданнями дослідження є:

· аналіз задачі розсіювання для оператора Шрьодінгера з асимптотично скінченнозонним потенціалом типу сходинки;

· аналіз задачі розсіювання для оператора Якобі з асимптотично скінченнозонними коефіцієнтами;

· розв'язання задачі Коші для рівнянь КдФ, модифікованого КдФ і ієрархії Тоди з асимптотично скінченнозонними початковими умовами;

· розв'язання задачі Коші для рівняння КдФ і дефокусуючого рівняння НШ із майже періодичними початковими умовами;

· опис асимптотичної поведінки розв'язків рівняння ланцюжка Тоди з початковими даними типу сходинки.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, отримані в дисертації, є новими і полягають у такому:

· Побудовано теорію розсіювання для одновимірного оператора Шрьодінгера на всій осі з асимптотично скінченнозонним потенціалом типу сходинки в класі збурень, що мають задану гладкість і задані скінченні моменти. Найбільш широким представником, що допускає розв'язання прямої й оберненої задач, є клас збурень, що є обмеженими і мають другий сумовний момент.

· Розв'язано задачі Коші для рівняння КдФ і модифікованого КдФ із асимптотично скінченнозонними початковими умовами типу сходинки, що мають задану гладкість і число скінченних моментів збурення. У тому числі, розв'язано зазначені задачі Коші у шварцевському класі збурень. Цей результат є новим навіть для асимптотично сталих початкових умов.

· Розв'язано пряму й обернену задачі розсіювання для оператора Якобі на всій осі з коефіцієнтами, що є асимптотично близькими до коефіцієнтів різних скінченнозонних операторів на різних півосях і мають задані сумовні моменти збурень.

· Зінтегровано рівняння ієрархії Тоди в класі асимптотично скінченнозонних початкових умов.

· Отримано точні асимптотичні формули, що описують поведінку розв'язку ланцюжка Тоди з початковими умовами типу сходинки за великим часом поблизу хвильового фронту (розпад розв'язку на асимптотичний ряд солітонів).

· Зінтегровано рівняння КдФ і нелінійне дефокусуюче рівняння Шрьодінгера в класах майже періодичних початкових умов, що мають заданий спектр канторівського типу. Показано, що розв'язки є рівномірними майже періодичними функціями змінної часу.

· Отримано дискретні аналоги теорем Павлова про фінітність дискретного спектру комплексних матриць Якобі.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Одержані результати та розвинені методи можуть бути застосовані у напрямках дослідження поведінки розв'язків нелінійних рівнянь у різних асимптотичних режимах. Результати, що отримані в дисертації, можуть бути корисними у дослідженнях в галузі математичної фізики, що проводяться у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (Харків), в Інституті математики НАН України (Київ), у Математичному інституті ім. В.А. Стєклова РАН (Москва), на механіко-математичному факультеті Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, а також в Університеті Париж-7 (Франція) та у Віденському університеті (Австрія).

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримано автором особисто та самостійно. З робіт, виконаних у співавторстві, на захист виносяться положення, одержані здобувачем особисто. У працях, отриманих у співавторстві, розподіл результатів є таким:

(1) У працях [1], [6]-[11], [17],[18],[21], що виконано у співавторстві, пошукувачу належать усі основні результати. У цих роботах співавторам належать наступні результати: у праці [1] Дж. Базарган довів лему 1, а в праці [6] - лему 3.2; у праці [7] Є.Я. Хруслову належить постановка задачі та доведення леми 1; у працях [7] та [9] А. Буте де Монвель отримала рівняння оберненої задачі, що не залежать від часу, в праці [8] їй належить лема 4, у [10] - лема 2.2, в [11] - лема 3.1; у праці [11] Г. Тешлу належить доведення властивості III леми 3.3; у роботі [18] Й. Міхор та Г. Тешлу належать результати розділу 3, а також лема 8.1; у роботі [17] Г. Тешлу та К. Грюнерт належать результати розділу 2; у роботі [21] Г. Тешл довів властивість II, (b) леми 3.2, а Й. Міхор довела теорему 4.1.

(2) У працях [2], [15], [16], [19],[20], [22]-[26] внесок всіх авторів є рівноцінним.

Апробація результатів. Матеріали дисертації доповідалися та обговорювалися на семінарах з математичної фізики математичного відділення ФТІНТ ім. Б.І. Вєркіна НАН України (Харків), семінарах Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, на Київському семінарі з функціонального аналізу Інституту математики НАН України (Київ), на семінарі відділу теоретичної фізики інституту магнетизму НАН України й МОН України (Київ), семінарах Математичного інституту ім. В.А. Стєклова РАН (Москва), семінарі з математичного аналізу Московського державного університету ім. М.В. Ломоносова (Москва), семінарах у Математичному інституті Жюсьє (Париж, Франція), на семінарі факультету математики Католицького університету (Левен, Бельгія), на семінарах математичного факультету університету Відня (Відень, Австрія), на математичних школах КРОМШ (1992, 2001, 2002, 2004-2007), а також були представлені на міжнародних наукових конференціях: "Algebraic and Geometric Methods in Mathematical Physics" (Кацівелі, 1993), "Nonlinear partial differential equations" (Львів, 1999), Український математичний конгрес (Київ, 2001), "Inverse problems and Nonlinear equations" (Харків, 2002), Akhiezer Centenary Conference "Theory functions and mathematical physics" (Харків, 2001), "Operator theory and applications in mathematical physics", OTAMP (Bedlewo, Poland, 2004), 2nd Joint Meeting of AMS, DMV and MG (Mainz, Germany, 2005), "Constructive complex approximationі", Workshop at University of Lille (France, 2006), "Entire and Subharmonic functions and related topics" (Харків, 2006), International Congress of Mathematicians, Satellite conference "Recent trends in Constructive Approximation Theory" (Madrid, Spain, 2006), Lyapunov Memorial Conference (Харків, 2007), Український математичний конгрес, присвячений століттю М.М.Боголюбова (Київ, 2009) Joint Mathematical Conference CSASC 2010 (Prague, Czech Republic, 2010)

Публікації. Результати, одержані у дисертації, опубліковані у 26 статтях у фахових виданнях [1-26] та у тезах міжнародних конференцій [27-32].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, семи розділів, висновків та переліку використаних джерел. Основний об'єм дисертації складає 284 сторінки, перелік використаних джерел займає 32 сторінки і містить 310 найменувань. Повний обсяг дисертації складає 316 сторінок друкованого тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі наведено огляд літератури по темі дисертації, а також описуються основи методу оберненої задачі розсіювання.

Другий розділ містить дослідження з теорії розсіювання для одновимірного оператора Шредінгера на всій осі з потенціалом типу сходинки, що має різні скінченнозонні фони на різних півосях.

Нехай це два різних скінченнозонних оператори Шрьодінгера, що асоційовані із дволистковими рімановими поверхнями функцій (розрізи проведено вздовж спектрів ) і однозначно визначаються своїми точками дивізорів Діріхле , де , Позначимо через функції Гріна операторів а через їхні функції Вейля, де є розв'язками Вейля рівнянь , нормованими умовами та коли.

У підрозділі 2.1 описано основні спектральні властивості таких скінченнозонних операторів і побудовано оператори перетворення на скінченнозонних фонах для рівняння Шрьодінгера на всій осі з дійсним потенціалом , що є асимптотично близьким до функцій коли у сенсі

(1)

де та це деякі фіксовані цілі числа. Потенціали такого типу називаються асимптотично скінченнозонними потенціалами типу сходинки. Якщо властивість (1) є виконаною при заданих і , то будемо говорити про потенціал класу . Найбільш широкий клас, для якого є вірними отримані в даному розділі результати - це клас потенціалів, що є обмеженими та мають скінченні другі моменти збурення. У підрозділі 2.1 для цього класу доведено існування розв'язків Йоста рівняння Шрьодінгера, які є асимптотично близькими до відповідних розв'язків Вейля фонів і зображуються за допомогою операторів перетворення у вигляді

(2)

Виведено інтегральні рівняння на ядра операторів перетворення на скінченнозонних фонах, досліджено їхню розв'язність, отримані ефективні оцінки для розв'язків в залежності від та , а також строго виведена формула , що пов'язує оператори перетворення з потенціалом збурення.

У підрозділі 2.2 для оператора L із потенціалом класу розв'язано пряму задачу розсіювання. Спектральна картина для такого оператора виглядає наступним чином. Множина є неперервним спектром оператора , причому - його двократним спектром, а - однократним, де . Окрім того, оператор має скінченне число власних значень , що містяться у лакунах спектру: . Розв'язки Йоста рівняння успадковують полюси та кореневі особливості фонових функцій Вейля , які можуть опинитися на неперервному спектрі оператора L, або співпасти з його власними значеннями (в силу динаміки КдФ це трапляється у нескінченному числі значень часу), тому поняття власної функції та віртуального рівня потребують коректного визначення. Поділимо точки дивізору Діріхле на підкласи та і має полюс у точці }. Введемо функції

(3)

Покладемо , і нехай це, відповідно, ліві та праві нормувальні сталі. Розглянемо тепер співвідношення

(4)

де коефіцієнти відбиття та проходження є визначеними на верхніх та нижніх берегах розрізів вздовж відповідних спектрів, симетричні точки яких позначаються як та . Ці коефіцієнти складають матрицю розсіювання, характеристичні властивості якої описує наступна

Лема 2.6. Нехай при деяких та виконано умову (1). Тоді елементи матриці розсіювання мають такі властивості:

I. (a) та коли .

(b) коли .

(c) при .

(d) при .

(e) коли .

(f) коли .

II. Функції аналітично продовжуються на множину та задовольняють на цій множині тотожності де функція має такі властивості:

(a) Функція є голоморфною в області з простими нулями в точках , де

(5)

Крім того, при і при .

(b) Функція є неперервною на множині до самої межі . Вона може мати нулі на множині та не обертається на нуль в інших точках . Якщо при , то , де .

III. Коефіцієнти відбиття є неперервними функціями на множинах . Якщо і , то

(6)

Зауважимо, що друга з властивостей (6) раніше в літературі не згадувалася. Як показано в розділі 3, вона узгоджується з динамікою точок дивізору Діріхле в силу рівняння КдФ.

У пункті 2.2.4 виведено основне рівняння оберненої задачі (рівняння Марченка), яке у випадку асимптотично скінченнозонного потенціала типу сходинки має вигляд

(7)

(8)

Лема 2.9. За умови (1) мають місце наступні властивості.

IV. Функції мають похідні до порядку. Існують:

(1) невід'ємні функції такі, що причому а

(2) додатні функції , що спадають коли , причому , і такі, що при виконуються оцінки

де - символ Кронекера. Крім того, має місце нерівність

Розглянемо тепер набір даних розсіювання задачі, що досліджується,

(9)

до якого належать елементи матриці розсіювання, що задані на верхніх та нижніх берегах розрізів вздовж спектрів фонів (праві - на , ліві - на ), точки дискретного спектра та праві і ліві ваги власних функцій. Природно, що ця система даних не є незалежною (питання про незалежні дані розсіювання залишається не до кінця вирішеним навіть у випадку "звичайної" сходинки на сталих фонах). Має місце наступна основна теорема розділу 2:

Теорема 2.1. Властивості I-IV набору є необхідними та достатніми для того, щоб цей набір був набором даних розсіювання для оператора Шрьодінгера з потенціалом класу .

Достатність цих умов, а також алгоритм розв'язання оберненої задачі розсіювання обговорюється у підрозділі 2.3. Цей алгоритм складається з наступного. Нехай є два довільних одновимірних скінченнозонних оператора Шрьодінгера, асоційованих з потенціалами , як у підрозділі 2.1. Тобто задано їхні спектри, точки дивізорів Діріхле, розв'язки Вейля та функції Гріна. Нехай - це множина вигляду (9), а є функціями, побудованими за формулами (8), і нехай уся ця сукупність задовольняє всім вимогам, наведеним у теоремі 2.1. Тоді рівняння (7) при кожному фіксованому мають єдині розв'язки , що є диференційовними за кожною змінною до порядку та задовольняють оцінкам спадання, аналогічним наведеним в умові IV (лема 2.11). Крім того, , Визначимо тепер при дві функції

(10)

для яких отримано, що та при всіх . Таким чином, виникають два рівняння Шрьодінгера на всій осі з потенціалами , що добре контролюються на одній з півосей, але які, можливо, навіть зростають на іншій. Основним результатом підрозділу 2.3 є наступна теорема єдиності:

Теорема 2.2. За умов I-IV на набір функції та , означені формулами (10) співпадають, , і є набором даних розсіювання для оператора Шрьодінгера з потенціалом класу .

У підрозділі 2.4 розглянуто спеціальний випадок, коли фони праворуч та ліворуч співпадають, (відповідно, співпадають і функції Гріна, ), а збурення дорівнює нулю при , або при , де , це деякі сталі. Крім того припускається, що на тій з півосей, де збурення не є фінітним, воно має другий скінченний момент, тобто . Такі умови дозволяють продовжити відповідний коефіцієнт відбиття у комплексну площину. Є вірною

Теорема 2.3. Рівність виконується для всіх тоді і тільки тоді, коли функція продовжується мероморфно в область , має полюси в точках дискретного спектру з лишками

а також асимптотичну поведінку коли .

У розділі 3 методом оберненої задачі розсіювання розв'язується задача Коші для рівняння Кортевега-де Фріза

(11)

з початковими умовами, що задовольняють умові (1), де є довільними скінченнозонними потенціалами, а та - це деякі натуральні числа. Класом будемо називати множину функцій змінних і , що мають неперервних похідних за та неперервних похідних за . Класичним розв'язком рівняння КдФ є розв'язок класу не ширше ніж .

Теорема 3.1. Нехай є двома скінченнозонними розв'язками рівняння КдФ, що відповідають довільним дійсним скінченнозонним умовам . Нехай і це деякі натуральні числа. Припустимо, що є дійсною функцією, такою, що виконано умову (1). Тоді для як завгодно великого існує єдиний класичний розв'язок задачі (11), який задовольняє нерівностям

(12)

рівномірно при всіх .

Важливим наслідком цієї теореми є розв'язність задачі в класі збурень типу Шварца.

Наслідок 3.1. Нехай початкова умова q(x) задачі (11) задовольняє нерівності

Тоді для довільного розв'язок задачі Коші (11) задовольняє для всіх рівномірно за нерівності



Цей результат є новим навіть для випадку звичайної сходинки на сталих фонах.

Схема методу оберненої задачі розсіювання, узагальненого на випадок скінченнозонних фонів, виглядає наступним чином. Перш за все, фони еволюціонують за часом. Нехай і це оператори, що складають пару Лакса для фонів і нехай це точки дивізорів Діріхле операторів , що еволюціонують за часом в силу рівнянь Дубровіна, а є розв'язками Вейля рівнянь , що нормовані, як і у розділі 2, умовами , .

Відповідні вітки функцій Бейкера-Ахієзера для скінченнозонних операторів , що є розв'язками системи , , і нормовані умовою , пов'язані з первинними розв'язками Вейля співвідношеннями де

(13)

Для оператора Шрьодінгера з потенціалом , який є початковою умовою задачі (11), тобто задовольняє умову (1) при та з теореми 3.1, побудуємо множину даних розсіювання (формула (9)), що має набір властивостей, наведених у теоремі 2.1. За припущенням, що існує класичний розв'язок рівняння КдФ зі спадаючим збуренням, дані розсіювання еволюціонують за формулами (доведеними у лемі 3.6)

(14)

де функції визначені рівностями (13), а Ядро рівняння Марченка, що залежить від часу, має при цьому вигляд

(15)

де це згадані вище вітки функцій Бейкера-Ахієзера, а . Метод оберненої задачі розсіювання передбачає знаходження розв'язку одного з рівнянь Марченка з ядром (15) (що залежить від часу як від додаткового параметра) і відновлення розв'язку рівняння КдФ за формулою (10). Для того, щоб рівняння Марченка були однозначно розв'язними в класі спадаючих функцій, і для виконання умов теореми єдиності 2.2, потрібно встановити, що дані (14), що входять до множини , задовольняють умовам I-III, а функції (15) - умові IV, але з можливо меншими параметрами , котрі відповідають за кількість скінченних моментів збурення та за гладкість відновленого розв'язку. Тим не менш, щоб одержати класичний розв'язок рівняння КдФ у межах розв'язання оберненої задачі, описаної у розділі 2, ці параметри повинні задовольняти нерівностям m1?2, n1?3. Дослідження поведінки функцій для великих значень змінних в залежності від початкових параметрів являє собою основну технічну трудність задачі й становить зміст підрозділу 3.3.

У підрозділі 3.4 за допомогою перетворення Міури результати, аналогічні теоремі 3.1, отримані для модифікованого рівняння КдФ.

Нехай тепер це два скінченнозонних оператори Якобі на всій осі

У розділі 4 розвинуто теорію розсіювання для оператора Якобі

(16)

з коефіцієнтами типу сходинки, що є асимптотично близькими до коефіцієнтів операторів на відповідних півосях.

Нехай - довільне фіксоване число. Будемо говорити, що оператор Якобі виду (16) належить класу , якщо його коефіцієнти задовольняють умову

(17)

У розділі 4 пряму й обернену задачу розсіювання для асимптотично скінченнозонних операторів Якобі досліджено у класах при фіксованому (у сенсі знаходження необхідних і достатніх умов на дані розсіювання й розв'язання задачі в потрібному класі). При вивчається пряма задача розсіювання. Сформульовані при цьому необхідні умови на дані розсіювання виявляються недостатніми для розв'язання оберненої задачі в тому ж класі , але достатніми для відновлення єдиного розв'язку, що належить класу . Однак використаний у розділі 4 підхід дозволяє розв'язати задачу в класі .у окремому випадку, коли фони є сталими, тобто становлять "звичайну" сходинку

(18)

Нехай тепер . У підрозділі 4.1 отримано деякі необхідні надалі властивості розв'язків Вейля фонів, а в підрозділі 4.2 доведено існування дискретного аналога оператора перетворення на скінченнозонному фоні та встановлено зв'язок його ядра з коефіцієнтами операторів , і . Тим самим, доведено, що у спектрального рівняння є розв'язки Йоста, котрі можуть бути зображені у вигляді

де це фонові розв'язки Вейля. Дискретний оператор перетворення на скінченнозонному фоні при цьому задовольняє оцінці

де функції спадають, коли . Мають місце формули

Спектральна картина для оператора є такою ж, як для оператора Шрьодінгера з розділу 2, за винятком того, що спектри фонів є обмеженими, тобто спектр кратності 2 може бути відсутнім.

Нехай функції , , , мають той же сенс, що й у лемі 2.6 розділу 2, і нехай , є нормуючими константами, що відповідають власним функціям оператора . Лема 4.4 розділу 4 є дискретним аналогом леми 2.6 для випадку , тому ми не будемо відтворювати її формулювання і вкажемо тільки на відзнаки, пов'язані з ширшим класом збурень. Відзначимо, що основна відмінність у характеризації даних розсіювання для першого сумовного моменту полягає у тому, що тут розв'язки Йоста не є диференційовними функціями локального параметра у точках , що заважає контролю поведінки функцій і в цих точках у резонансному випадку, тобто коли . Тому умови I, (a)-(d) леми 4.4 залишаються тими ж самими, що й у лемі 2.6, умова I, (e) замінюється на умову , а умова I, (f), природно, є відсутньою. Умова II залишається тією ж, що й у лемі 2.6, за винятком того, що у резонансному випадку поведінка вронскіану є такою: якщо коли, то для близьких до має місце оцінка , а при близьких до виконується оцінка . А в умову III вноситься така зміна: коефіцієнти відбиття є неперервними функціями на множині . Якщо і , то функції є також неперервними в точці . Властивість (6) зберігається. Описані у лемі 4.4 умови на відміну від умов леми 2.6 позначимо як Iq -IIIq.

У підрозділі 4.3 показано, що дискретне рівняння Марченка даної задачі має вигляд

де - символ Кронекера, а ядро визначається такими ж формулами, як в (8). Є вірною

Лема 4.5. Нехай при фіксованому Тоді

IVq (i) Існують функції для яких , і функції , які не зростають коли , такі, що

(ii)

де при і при .

Тим самим, у підрозділі 4.3 описані необхідні умови на дані розсіювання (9) оператора при фіксованому , які й сформульовано в теоремі 4.2.

Розв'язок оберненої задачі розсіювання становить зміст підрозділу 4.4 і в цілому повторює схему, що запропоновано в підрозділі 2.3 за винятком більш складного аналізу, зумовленого як умовами на вронскіан, що стосуються першого сумовного моменту (навіть у випадку сталих фонів така обернена задача є істотно складнішою, ніж для другого та більших моментів), так і особливостями дискретної моделі, що, зокрема, потребує доведення теорему єдиності для двох послідовностей. А саме, в результаті розв'язання рівняння оберненої задачі виникають 4 дискретні функції

(19)

причому з умови IVq випливає, що .

Теорема 4.3. Відновлені за лівими і правими даними розсіювання функції (19) збігаються: , . При цьому набір , що задовольняє умовам Iq -IVq, є даними розсіювання для оператора Якобі , асоційованого з отриманими коефіцієнтами , де при і при

У розділі 5 вивчається задача Коші для ієрархії Тоди з асимптотично скінченнозонними початковими даними типу сходинки. Введемо поняття ієрархії Тода, наслідуючи Г. Тешлу (2000). Нехай послідовності і є диференційовними за і обмеженими за , причому Асоціюємо із цими послідовностями оператор Якобі на всій осі

Виберемо довільні дійсні константи , , , і покладемо

де позначає матричні елементи оператора відносно стандартного базису . Варіюючи параметр у системі рівнянь

(20)

ми отримуємо всі рівняння ієрархії Тоди. Зокрема, нульовий представник ієрархії відповідає ланцюжку Тоди

(21)

Надалі у якості вибирається фіксоване довільне число. Відомо, що при будь-яких обмежених початкових умовах , задача Коші для рівняння ієрархії Тоди має єдиний обмежений розв'язок.

Нехай тепер - це деяка вага і - деяке число. Введемо норму

Теорема 5.2 Нехай вага задовольняє умову

Нехай , і , це три довільних обмежених розв'язки ієрархії Тоди. Покладемо

Тоді якщо нерівність має місце для одного значення , то вона виконується для всіх .

Тим самим, якщо початкова умова задачі Коші для ієрархії Тоди є такою, що при якомусь фіксованому , і якщо є скінченнозонними розв'язками ієрархії Тоди, що відповідають початковим даним , то існує єдиний розв'язок ієрархії Тоди такий, що коефіцієнти відповідного оператора Якобі задовольняють з тим же скінченним моментом збурень , що й початкова умова, тобто в цій моделі існує розв'язок у класі. Цей розв'язок відновлюється за формулами (19) (залежними від часу) з отриманого у теоремі 5.4 розділу 5 розв'язку рівняння Марченка

ядро якого описується формулами

де - це вітки асоційованих зі скінченнозонними розв'язками рівнянь ієрархії Тода функцій Бейкера- Ахієзера, а

У підрозділі 5.2 досліджується асимптотична поведінка поблизу хвильового фронту розв'язків задачі Коші для ланцюжка Тоди з початковими умовами типу сходинки, асимптотично близькими до коефіцієнтів дискретного лапласіана на одному боці та асимптотично скінченнозонними на іншому. Мова йде про так звані асимптотичні солітони, що породжуються однократним спектром - ефекті, вперше проаналізованому Є.Я. Хрусловим (1976) методом оберненої задачі розсіювання для рівняння КдФ, і розвиненим потім для багатьох інших еволюційних рівнянь.

А саме, припустимо, що є коефіцієнтами деякого скін- ченнозонного оператора Якобі , що має спектр на множині , і нехай - це дискретний лапласіан. Розглянемо роз-в'язок задачі Коші для системи (21) з початковими умовами такими, що

(22)

Згідно з теоремою 5.2 розв'язок досліджуваної задачі Коші існує і для всіх задовольняє умову , де це скінченнозонний розв'язок ланцюжка Тоди (21), що відповідає початковим умовам .

Істотним обмеженням на взаємне розташування спектрів фонів даної задачі є наступне: припускається, що тобто праворуч від двократного спектра оператора існує непустий однократний спектр, утворений правим фоновим оператором . Крім того, передбачається, що в цій точці немає резонансу, тобто , де - це вронскіан розв'язків Йоста даної задачі.

Нехай - константа така, що Виберемо довільне як завгодно велике число і введемо область

Теорема 5.5. Припустимо, що початкові умови задачі Коші (21), (22) є такими, що виконуються умови

і нехай це розв'язок цієї задачі Коші. Тоді для будь-якого і , функція має для таку асимптотичну поведінку:

де фази визначаються через дані розсіювання оператора:

і коли .

У розділі 6 вивчаються розв'язки задач Коші для рівняня КдФ і дефокусуючого рівняння НШ із неспадними початковими умовами іншого типу, ніж у розділах 3 і 5. Це певний клас майже періодичних функцій, які, будучи розглянутими як потенціали відповідних - операторів пари Лакса, породжують ніде не щільний спектр, лакуни якого мають наступну структуру.

Нехай - це зростаюча послідовність додатних чисел така, що , і нехай Покладемо та асоціюємо із множиною індексів систему неперетинних інтервалів на правій півосі, де , причому інтервали занумеровані відповідно до порядку індексів в , тобто таким чином, що коли . Покладемо та . Щодо множини припускаються виконаними наступні умови:

1. Для всіх таких, що має місце нерівність де це деяка стала;

2.

3.

Кожна множина є доповненням у до множини канторів-ського типу додатної міри. Прикладом такої множини може служити спектр гранично-періодичного оператора Шрьодінгера з потенціалом класу , спектральний аналіз якого був проведений Л.А. Пастуром і В.О. Ткаченком (1984). Цей клас визначається у такий спосіб. Розглянемо простір дійсних функцій, майже-періодичних у метриці

яка є - аналогом метрики Степанова. Ми будемо говорити, що функція належить до класу , якщо існує послідовність - періодичних функцій таких, що виконується умова

Множина спектральних лакун оператора Шрьодінгера з потенціалом має таку ж "ієрархію", тобто ту ж саму внутрішню структуру стосовно подвійної нумерації , як і множина . Якщо нижня межа спектра цього оператора збігається з нулем, що не порушує загальності розгляду, то умови 1-3 для такого гранично-періодичного оператора виконуються. Однак клас операторів, розглянутих у розділі 6, є істотно ширшим. Щоб довизначити його, виберемо у кожному інтервалі множини по точці і зафіксуємо довільні знаки . Розглянемо нескінченнозонний потенціал зі спектром на множині та точками дивізора Діріхле . Система інтервалів задовольняє умовам Б.М.Левітана (1981), тобто такий потенціал існує і є рівномірно майже-періодичною функцією. У підрозділі 6.1 доведена

Теорема 6.1. Нехай множина задовольняє умови 1-3. Тоді існує рівномірна за границя . Функція є майже періодичною за Бором функцією. Оператор має ніде не щільний спектр на множині .

Основним результатом даного підрозділу є

Теорема 6.2. Задача Коші для рівняння КдФ із рівномірно майже періодичними початковими умовами , отриманими в теоремі 6.1, має єдиний розв'язок , що є майже періодичною за Бором функцією по для кожного та майже періодичною за Бором функцією по для кожного x.

У випадку початкових умов класу теорема 6.2 допускає наступне уточнювання: розв'язок задачі (11) з початковими умовами класу належить тому ж класу для кожного .

У підрозділі 6.2 вивчається поведінка розв'язків задачі Коші для нелінійного дефокусуючого рівняння Шрьодінгера (НШ)

(23)

з майже-періодичними комплексними початковими умовами , що належать до так званих безвідбивних потенціалів.

Як відомо, - оператором пари Лакса для дефокусуючого рівняння НШ є оператор Дірака

,

де функція називається потенціалом. Оператор є скін-ченнозонним, якщо його спектр складається зі скінченного числа зон , а також виконується умова

для майже всіх (24)

де є матричним елементом ядра оператора резольвенти . Потенціали, що задовольняють умову (24), відомі як безвідбивні за Крейгом (В.Крейг, 1989). При цьому нулі функції лежать по одному в лакунах і є власними значеннями задачі Діріхле на півосі з початковими умовами , де . Покладемо . Множина є множиною спектральних даних скінченнозонного оператора Дірака, тобто кожна така множина визначає потенціал однозначно. Введемо тепер оператор Дірака зі спектром типу Крейга.

Нехай , де є довільною множиною скінченних інтервалів дійсної осі (лакун), що не перетинаються і впорядковані за зменшенням їхніх довжин . Позначимо через відстань між найближчими кінцями відповідних інтервалів, і нехай є відстанню між і . Покладемо

де символ вказує, що лакуна розташована ліворуч від лакуни . В умовах задачі, що розглядається, припускається, що кожний добуток є скінченним, але може зростати з ростом . А саме, нехай множина задовольняє наступним умовам:

(25)

(26)

(27)

Виберемо довільний набір , , точок і знаків, що відповідають лакунам множини . Розглянемо послідовність скінченно-зонних операторів Дірака , що мають у якості незалежних спектральних даних набори .

Теорема 6.4 За умов (25)-(27):

· послідовність потенціалів операторів Дірака збігається рівно-мірно на до майже-періодичної за Бором функції ;

· спектр оператора збігається із множиною ;

· розв'язок задачі (23) з початковою умовою існує і є майже періодичною функцією відносно кожної зі змінних x, t.

Прикладом потенціалу оператора Дірака, спектр якого є множиною типу , може служити також клас комплексних гранично-періодичних потенціалів при . Він визначається для комплексних функцій так само, як і клас Пастура-Ткаченка. Має місце

Теорема 6.5 Задача (23) з початковою умовою , , має розв'язок такий, що при кожному фіксованому .

У розділі 7 елементи теорії розсіювання для операторів Якобі застосовані до дослідження властивостей дискретного спектра комплексних якобієвих матриць (у термінах розділу 4 вони є операторами Якобі на півосі із крайовими умовами Діріхле та комплексними коефіцієнтами):

У підрозділі 7.1 мова йде про швидкоспадні комплексні збурення дискретного лапласіана. Будемо говорити, що матриця належить до класу , якщо виконано умову

Відомо (Є. Байрамов, 2001), що при дискретний спектр цієї матриці є скінченним. Виявляється, що показник є точним у наступному сенсі.

Теорема 7.2 Для будь-яких і існує матриця така, що її дискретний спектр є нескінченним і має єдиною точкою накопичення точку .

Ця теорема є дискретним аналогом відомої теореми Б.С. Павлова (1962).

У підрозділі 7.2 вивчаються області локалізації дискретного спектра комплексних збурень періодичної матриці Якобі періоду 2, що мають перший сумовний момент збурення. Описано умови, за яких дискретний спектр є відсутнім.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розвиненню метода оберненої задачі для інтегрування деяких нелінійних рівнянь із неспадними початковими умовами. Основні результати дисертації можна підсумувати таким чином.

Для операторів Шрьодінгера та Якобі на всій осі із асимптотично скінченнозонними коефіцієнтами, що мають різну асимптотичну поведінку на різних півосях, побудовано відповідну теорію розсіювання, у межах якої повністю розв'язано пряму та обернену задачі розсіювання у класах коефіцієнтів, що мають задані гладкість (для оператора Шрьодінгера) та сумовний момент збурень. При цьому для обох операторів характеристичні, тобто необхідні та достатні, умови на дані розсіювання описано для всіх моментів, починаючи з другого. У випадку єдиного скінченнозонного фона для оператора Шрьодінгера також описано умови, за яких один з коефіцієнтів відбиття продовжується у комплексну площину. Для оператора Якобі із асимптотично сталими коефіцієнтами типу сходинки пряму та обернену задачі розсіювання розв'язано у класі збурень, що мають скінченний перший момент.

Розвинений у дисертації метод оберненої задачі розсіювання на скінченнозонних фонах впроваджено для розв'язання задачі Коші для рівнянь Кортевега-де Фріза, модифікованого Кортевега-де Фріза та ієрархії Тоди із асимптотично скінченнозонними початковими умовами типу сходинки. При цьому відповідні збурення початкових умов мають задані гладкість (для неперервних моделей) та швидкість спадання на нескінченності. Також задачу Коші для рівнянь КдФ та мКдФ розв'язано у шварцевському класі збурень скінченнозонних фонів.

Отримано асимптотичні формули, що описують поведінку за великим часом поблизу хвильового фронту розв'язку задачі Коші для ланцюжка Тоди із початковими умовами, що є асимптотично близькими до коефіцієнтів дискретного лапсасіана на одній півосі і асимптотично скінченнозонними на іншій.

Методом узагальненої проблеми обернення Якобі досліджено задачі Коші для рівнянь КдФ та дефокусуючого нелінійного рівняння Шрьодінгера із майже періодичними початковими умовами, що мають ніде не щільний спектр позитивної міри. Доведено існування єдиних розв'язків, що є рівномірно майже періодичними функціями як за просторовою, так і за часовою змінними.

Узагальненим методом оберненої періодичної спектральної задачі доведено існування розв'язків рівнянь КдФ та НШ у класах гранично періодичних початкових умов, що надекспоненційно швидко наближуються періодичними.

Методом задачі розсіювання досліджено властивості дискретного спектра комплексних напівнескінченних матриць Якобі. Зокрема, для матриці, що є комплексним збуренням дискретного лапсасіана із швидко спадними коефіцієнтами збурення, доведено дискретні аналоги теорем Б.С. Павлова. Також описано межі локалізації дискретного спектра і умови його відсутності для комплексних матриць, що є компактним збуренням дійсної періодичної матриці періоду 2.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Базарган Дж. Задача рассеяния для оператора Штурма -Лиувилля с асимптотически-периодическим потенциалом типа ступеньки /Дж. Базарган, И. Егорова // Доповіді НАН України - 2006. - Т.2 - С. 7 - 12.

2. Голинский Л. Б. О предельных множествах для дискретного спектра комплексных якобиевых матриц / Л. Б. Голинский, И. Е. Егорова //Мат. сборник - 2005. - Т. 196, № 6. - С. 43 - 70.

3. Егорова И.Е. О классе почти периодических решений уравнения КдФ с нигде не плотным спектром / И.Е. Егорова // Росс. Акад. Наук Докл. -1992. - Т.~323, №.2 - С. 219 - 222.

4. Егорова И.Е. О почти периодичности некоторых решений уравнения КдФ с канторовским спектром/ И.Е. Егорова // Доповіді НАН України - 1993. - № 7. - С.26 - 29.

5. Егорова И.Е. О почти-периодичности "безотражательных" операторов Дирака с канторовским спектром / И.Е. Егорова, А.Б. Суркова // Доповіді НАН України - 1995. - № 12. - С. 13 - 15.

6. Bazargan J. Jacobi operator with step-like asymptotically periodic coefficients / J. Bazargan, I. Egorova // Мат.Физика, Анализ, Геометрия. - 2003. - T. 10, № 3. - С. 425 - 442.

7. Boutet de Monvel A. Soliton asymptotics of the Cauchy problem solution for the Toda lattice with step-like initial data /A. Boutet de Monvel, I. Egorova, E.Ya. Khruslov // Inverse Problems - 1997. - Vol. 13. - P. 223 - 237.

8. Boutet de Monvel A. On solutions of Nonlinear Schrцdinger Equation with Cantor-type spectrum / A. Boutet de Monvel, I. Egorova // J. d'Analyse Math. - 1997. - Vol. 72. - P. 1 - 20.

9. Boutet de Monvel A. The Toda lattice with step-like initial data. Soliton asymptotics / A. Boutet de Monvel, I. Egorova// Inverse Problems - 2000. - Vol. 16, № 4. - P. 955 - 977.

10. Boutet de Monvel A. Transformation operator for Jacobi matrices with asymptotically periodic coefficients / A. Boutet de Monvel, I. Egorova // J. Difference Eqs. Appl. - 2004. - Vol. 10. - P. 711 - 727.

11. Boutet de Monvel A. Inverse scattering theory for one-dimensional Schrцdinger operators with steplike finite-gap potentials / A. Boutet de Monvel, I. Egorova, G. Teschl //J. Anal. Math. - 2008. - Vol. 106, № 1. - P. 271 - 316 .

12. Egorova I. The Cauchy problem for the KdV equation with almost periodic initial data whose spectrum is nowhere dense// Advances in Soviet Mathematics - 1994. - Vol. 19. - P. 181 - 208.

13. Egorova I. The asymptotic solitons for Toda Lattice in resonance case// Nonlinear Boundary problems - 2001. - Vol. 11. - P.37 - 42.

14. Egorova I. The scattering problem for step-like Jacobi operator//Мат. Физика, Анализ, Геометрия - 2002. - Т.9. - № 2. - С.188 - 205.

15. Egorova I. On the location of the discrete spectrum for complex Jacobi matrices / I. Egorova, L. Golinskii //Proc. Amer. Math. Soc. - 2005. - No.12. - P. 36 - 41.

16. Egorova I. Discrete spectrum for complex perturbations of periodic Jacobi matrices / I. Egorova, L. Golinskii // J. Difference Equ.Appl. - 2005. - Vol. 11. - P. 1185 - 1203.

17. Egorova I. On the Cauchy problem for the Korteweg-de Vries equation with steplike finite-gap initial data I. Schwartz-type perturbations / I. Egorova, K. Grunert, G. Teschl // Nonlinearity. - 2009. - Vol. 22. - P. 1431 - 1457.

18. Egorova I. Scattering theory for Jacobi operators with quasi-periodic background / I. Egorova, J. Michor, G. Teschl // Comm. Math. Phys. - 2006. - Vol. 264. - No.3. - P.811 - 842.

19. Egorova I. Inverse scattering transform for the Toda hierarchy with quasi-periodic background / I. Egorova, J. Michor, G. Teschl //Proc. Amer. Math. Soc. - 2007. - Vol. 135. - P. 1817 - 1827.

20. Egorova I. Scattering theory for Jacobi operators with steplike quasi-periodic background / I. Egorova, J. Michor, G. Teschl //Inverse Problems - 2007. - Vol. 23. - P. 905 - 918.

21. Egorova I. Scattering theory for Jacobi operators with general steplike quasi-periodic background / I. Egorova, J. Michor, G. Teschl // Ж. Мат. Физ. Анал. Геом. - 2008. - Т. 4. - №. 1. - С. 33 - 62.

22. Egorova I. Soliton solutions of the Toda hierarchy on quasi-periodic background revisited / I. Egorova, J. Michor, G. Teschl // Math. Nach. - 2009. - Vol. 282. - No.4. - P. 526-539.

23. Egorova I. Inverse scattering transform for the Toda hierarchy with steplike finite-gap background / I. Egorova, J. Michor, G. Teschl // J. Math. Phys. - 2009 - Vol.50.--P.103521-1--103521-9

24. Egorova I. Reconstruction of the transmission coefficient for steplike finite-gap backgrounds / I. Egorova, G. Teschl // Oper. Matrices - 2009. - Vol. 3. - No. 2. - P. 205 - 214.

25. Egorova I. A Paley-Wiener theorem for periodic scattering with applications to the Korteweg-de Vries equation/ I. Egorova, G. Teschl // Ж. Мат. Физ. Анал. Геом. - 2010. - Т.6. - С.21 - 33.

26. Egorova I. On the Cauchy problem for the modified Korteweg-de Vries equation with steplike finite-gap initial data / I. Egorova, G. Teschl //Contemp. Math. - 2010. -V.526. - P. 151- 158.

27. Egorova I.E. Soliton asymptotics for Toda lattice with step-like initial data / I.E. Egorova // Nonlinear partial differential equations NPDE-99. Book of abstracts. - Lviv, August, 23-29. - 1999. - P.226

28. Egorova I. Scattering problem for “step-like” Jacobi matrix/ I. Egorova// International Akhiezer Centenary Conference ”Theory of functions and mathematical physics”.- Kharkiv, August, 13-17. - 2001. - P.19-20.

29. Bazargan J. Scattering problem for “step-like” asymptotically periodic Jacobi operator / J. Bazargan, I. Egorova //International conference ”Inverse problems and nonlinear equations”.- Kharkiv, August, 12-16. - 2002. - P.5-6.

30. Egorova I. Discrete specrum of complex Jacobi matrices and Pavlov's theorems/ I. Egorova, L. Golinskii // OTAMP 2004. Book of abstracts. - Bedlewo, Poland, July, 6-11. - 2004. -P.11.

31. Egorova I. Transformation operators and scattering problems on non constant backgrounds / I. Egorova // Entire and subharmonic functions and related topics, Internationl conference dedicated to the centennial of B.Ya.Levin. - Kharkiv, August, 14 - 17. - 2006. - P.10.

32. Egorova I. The Cauchy problem for the KdV equation with steplike finite-gap initial data / I.Egorova // Joint Mathematical Conference CSASC2010. Book of abstracts. - Prague, Czech Republic, January, 22-27. - 2010. - P. 45.

АНОТАЦІЇ

Єгорова І.Є. Метод оберненої задачі та неспадні розв'язки нелінійних еволюційних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.03 - математична фiзика. Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

Робота присвячена розвиненню метода оберненої задачі і його застосуванню для інтегрування деяких КдФ подібних нелінійних рівнянь з неспадними початковими умовами типу сходинки або майже періодичними. Побудовано теорію розсіювання для одновимірного оператора Шрьодінгера та оператора Якобі із коефіцієнтами, що мають різні скінченнозонні фонові асимтотики на півосях. Отримано характеристичні властивості даних розсіювання, що дозволили розв'язати пряму та обернену задачі розсіювання у класі збурень із заданою гладкістю та заданою кількістю скінченних моментів. Результати застосовані для розв'язання методом оберненої задачі розсіювання задач Коші для рівнянь KдФ, мКдФ та ієрархії Тоди із асимтотично скінченнозонними початковими умовами типу сходинки. Отримано точні асимптотичні формули, що описують поведінку розв'язку ланцюжка Тода з початковими умовами типу сходинки за великим часом (розпад розв'язку на асимптотичний ряд солітонів). Зінтегровано рівняння КдФ та дефокусуюче НШ у класах майже періодичних функцій, що мають заданий спектр канторівського типу. Доведено, що ці розв'язки є рівномірними майже періодичними функціями за часом. Методами теорії розсіювання досліджено деякі властивості дискретного спектру комплексних матриць Якобі.

...