Поширення і перетворення сингулярних пучків в анізотропних середовищах

Размещено на http://allbest.ru

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Поширення і перетворення сингулярних пучків в анізотропних середовищах

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

сингулярний анізотропія кристал оптичний

Сучасні мікро- і нанотехнології ставлять особливі вимоги до властивостей лазерних пучків, які стали називати сингулярними пучками, а розділ оптики, що вивчає їх властивості, - сингулярною оптикою [1]. Як правило, сингулярні пучки переносять оптичні вихори, які представляють собою електромагнітні структури, в яких фаза невизначена, а інтенсивність набуває нульового значення [2]. У околі таких особливих точок хвильовий фронт набуває незвичайної форми у вигляді багатопелюсткового гелікоїда, кількість гілок якого та їх закручування визначають топологічний заряд оптичного вихору. Такі структури володіють унікальною властивістю - переносення орбітального кутового моменту [3]. Наявність орбітального кутового моменту приводить до того, що сингулярні пучки здатні захоплювати і закручувати мікрочастинки, а отже сингулярні пучки є важливим інструментом оптичних спанерів. Крім того, орбітальний кутовий момент може відігравати багатообіцяючу роль у багатьох пристроях передачі й обробки масивів інформації з великою густиною. Таким чином, одним із ключових завдань сингулярної оптики є формування пучків, що переносять оптичні вихори або масиви оптичних вихорів із наперед заданими властивостями. Найпоширенішим, для формування оптичних вихорів, став метод комп'ютерно-синтезованих голограм і метод спіральних фазових пластин. Недоліком цих методів є їх статичність, перспективніші в цьому плані кристали, які дозволяють не лише створювати оптичні вихори, а й керувати їхніми властивостями. Крім того, анізотропні оптично прозорі кристали з осьовою симетрією дозволяють генерувати оптичні вихори не лише в монохроматичному, але і в поліхроматичному світлі. На відміну від голограм і фазових транспарантів, поля в кристалах мають суто векторний характер, таке поле може переносити не лише орбітальний, але і спіновий кутовий момент. Більше того, спіновий і орбітальний кутові моменти в пучках, які поширюються в анізотропному середовищі, жорстко пов'язані між собою. Такий зв'язок призводить до того, що слабкі збурення, прикладені до анізотропного середовища, можуть спричинити руйнування оптичних вихорів у поляризаційних компонентах пучка [4]. Взагалі кажучи, оптичні вихори є атрибутами скалярних полів або компонент поля, тоді як векторне електромагнітне поле має особливі точки у формі поляризаційних сингулярностей, типи яких були вивчені й визначені Наєм [5]. У загальному випадку в тривимірному просторі це С-лінії, тобто лінії, на яких одна з циркулярних компонент є нульовою, L-поверхні - поверхні з лінійною поляризацією і D-точки - точки, в яких повна інтенсивність поля набуває нульового значення. L-поверхні просторово розділяють C-лінії. Всяке електромагнітне поле характеризується візерунком поляризаційних сингулярностей, які можуть бути надзвичайно стійкі до зовнішніх збурень, наприклад в спекл полях [6]. Топологічні властивості таких сигнулярностей, сформованих в деяких типах кристалів, були розглянуті Беррі [7] і Соскіним [8].

Добре вивчене питання поширення плоских хвиль у кристалах [9]. Відомо, що плоска хвиля в кристалі розщеплюється на дві хвилі (звичайний і незвичайний промінь), що мають ортогональні лінійні поляризації. Проте питання істотно ускладнюється у випадку поширення в кристалі когерентного або частково когерентного пучка променів із заданим кутовим спектром, параметри якого пов'язані між собою певними фазовими і поляризаційними співвідношеннями.

На момент початку досліджень за дисертаційною роботою були досліджені певні проблеми поведінки таких пучків. Так, у працях Флэка і Фелта [10], а також Стамнеса і Шермана [11] було показано, що пучок незвичайних променів із початковим гауссовим розподілом інтенсивності отримує еліптичну деформацію поперечного перерізу при поширенні під великим кутом до оптичної осі. Крім того, білоруськими ученими Козаком та ін. [12] було показано, що в одній із компонент бесселевого пучка нижчого порядку з початковою циркулярною поляризацією, що поширюється вздовж однієї з осей двовісного кристала, формується оптичний вихор. Поширення параксіальних пучків у кристалах також отримало відображення у ряді робіт. Наприклад, італійські учені Чіатоні та ін. [13] розробили метод спектрального інтеграла для аналізу поширення параксіальних пучків уздовж осі одновісного кристала й довели теорему про збереження проекції потоку повного кутового моменту на оптичну вісь одновісного двопроменезаломлюючого середовища [14]. Крім того, Флосман, Дэнис та ін. [15] на основі елементарної моделі показали, що в похилих параксіальних звичайному і незвичайному пучках відтворюється структура параксіального падаючого пучка. Отже, аналіз літературних даних показав, що не проведені дослідження сингулярної структури основних класів пучків, які поширюються через одновісне анізотропне середовище, тобто немає відповіді на такі ключові запитання:

1) Як одновісний кристал руйнує оптичний вихор, що переноситься падаючим пучком?

2) Як впливає оптична активність середовища з лінійним двопроменезаломленням на сингулярну структуру початкового пучка, тобто чи здатне чисто оптично активне середовище, позбавлене лінійного двопроменезаломлення, формувати оптичні вихори в компонентах пучка?

3) Як відбувається процес відновлення сингулярної структури в нахилених звичайному і незвичайному пучках? Тобто, чи дійсно сингулярна структура падаючого пучка в точності відтворюється в нахилених пучках, що зазнали двопроменезаломлення?

Все вищесказане збумовлює актуальність цієї роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася на кафедрі загальної фізики Таврійського національного університету ім. В. I. Вернадського у рамках науково-дослідних робіт за проектами Міністерства освіти України, зареєстрованих в УкрІНТЕІ: № 0100U001363 "Дислокаційні реакції в непараксіальних збурених лазерних пучках в області фокусу", № 0103U001227 "Процеси народження, знищення і еволюції оптичних вихорів у неоднорідних анізотропних середовищах", № 0106U003189 "Структурні перетворення і стабілізація квазімонохроматичних сингулярних пучків в оптичних волокнах і кристалах", № 0109U002370 "Конверсія оптичних вихорів у хіральних фотонно-кристалічних волокнах з керованими забороненими спектральними зонами".

У рамках цих проектів дисертантом були сформульовані теоретичні принципи дослідження непараксіальних та параксіальних пучків, що поширюються в одновісних кристалах, здійснені аналітичні дослідження перетворених кристалами полів, проведено комп'ютерне моделювання.

Мета і завдання дослідження. Мета роботи - виявити фізичні процеси, відповідальні за перетворення структури поляризаційних і фазових сингулярностей в пучках, що поширюються вздовж і під малим кутом до оптичної осі одновісного середовища з двопроменезаломленням, і визначити оптимальні умови високоефективної генерації оптичних вихорів у поляризаційних компонентах монохроматичних і квазімонохроматичних електромагнітних пучків.

Для досягнення поставленої мети вирішувалися наступні завдання дослідження:

1) Знайти розв'язок рівнянь Максвелла для напруженості електричного і магнітного полів недифрагуючих пучків, які поширюються через одновісне анізотропне середовище, що має як лінійне, так і циркулярне двопроменезаломлення. Проаналізувати структуру поляризаційних і фазових сингулярностей.

2) Розв'язати хвильове рівняння для електромагнітних пучків, які мають параксіальні аналоги у формі пучків Лагерра-Гаусса, що поширюються в анізотропному середовищі з одновісним лінійним двопроменезаломленням. Проаналізувати процеси народження і знищення оптичних вихорів у поляризаційних компонентах пучків.

3) Знайти розв'язок векторного параксіального хвильового рівняння для основних класів параксіальних пучків, які поширюються в одновісному середовищі з двопроменезаломленням. Виявити оптимальні умови генерації оптичних вихорів у поляризаційних компонентах пучків.

4) Проаналізувати умови відтворення фазових і поляризаційних сингулярностей у полях пучків, що зазнали двопроменезаломлення, і виявити причини порушення процесу відновлення початкової структури заломлених пучків.

Об'єктом дослідження є електромагнітні пучки, що поширюються в одновісних анізотропних середовищах.

Предмет дослідження - фазові і поляризаційні сингулярності, які переносяться електромагнітними пучками в одновісних анізотропних середовищах.

У роботі використовувалися методи сингулярної оптики, стандартні методи векторного і скалярного потенціалів для розв'язування рівнянь Максвелла в анізотропних середовищах з осьовою симетрією, методи диференціального й інтегрального аналізу, розрахунок поляризаційних характеристик на основі розрахунку параметрів Стокса отриманих полів у кожному пікселі зображення, а також методи комп'ютерного моделювання розподілу інтенсивності і фази в полях пучків. Для розрахунку інтегральних характеристик нахилених пучків, таких, як координати центру тяжіння, інтегральні параметри Стокса пучка, координати нуля напруженості поля (при побудові траєкторій сингулярностей), використовувалися числові методи.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у наступному:

1. Вперше отримані розв'язки рівнянь Максвелла для недифрагуючих пучків, які поширюються в кристалі, що володіє як лінійним, так і циркулярним аксіально-симетричним двопроменезаломленням. Показано, що в циркулярно поляризованій компоненті, ортогональній до поляризації початкового пучка нижчого порядку, формується оптичний вихор із подвійним топологічним зарядом.

2. Вперше показано, що формування оптичного вихору в пучку можливе навіть у кристалах, що мають тільки оптичну активність (наприклад, розчині цукру), коли лінійне двопроменезаломлення відсутнє.

3. Вперше отримані розв'язки рівнянь Максвелла для сингулярних непараксіальних пучків Лежандра-Бесселя, що мають параксіальні аналоги у вигляді пучків Лагерра-Гаусса. Формування структури фазових і поляризаційних сингулярностей в електричному і магнітному полі в ближній зоні в основному визначається еванесцентними хвилями, а в далекій зоні - однорідними хвилями, що є причиною структурної нестійкості таких пучків.

4. Вперше показано, що в середовищі з двопроменезаломленням у циркулярно поляризованій компоненті пучків Лежандра-Бесселя, ортогональній до поляризації початкового пучка, формується осьовий оптичний вихор, топологічний заряд якого на дві одиниці відрізняється від заряду вихору початкового пучка. Знак топологічного заряду визначається знаком циркуляції початкової колової поляризації.

5. Вперше виявлений клас сингулярних пучків, які зникають при параксіальному переході. Зникнення пучків пов'язане з інтерференційними процесами в магнітних і електричних полях. Повна інтенсивність пучка набуває нульового значення у випадку, коли лінії поляризаційних сингулярностей електричного й магнітного полів пучка співпадають.

6. Вперше отримані розв'язки векторного параксіального хвильового рівняння для сингулярних пучків Ерміта-Гаусса і Лагерра-Гаусса з дійсним і комплексним аргументом, а також пучків Бесселя-Гаусса, які поширюються в одновісних середовищах з двопроменезаломленням. Показано, що структурно стійкими відносно поширення є тільки пучки Ерміта-Гаусса і Лагерра-Гаусса з дійсним аргументом.

7. Вперше показано, що енергетична ефективність формування оптичних вихорів у монохроматичних і квазімонохроматичних пучках Ерміта-Гаусса і Лагерра-Гаусса з комплексним аргументом істотно залежить від порядку пучка. У монохроматичних пучках вищого порядку енергетична ефективність може наближатися до 100 %. У широкосмугових квазімонохроматичних пучках вищого порядку, а також у монохроматичних пучках Ерміта- і Лагерра-Гаусса з дійсним аргументом вона не перевищує 50 %.

8. Вперше виявлено, що енергетична ефективність формування оптичного вихора в монохроматичних і широкосмугових квазімонохроматичних пучках Бесселя-Гаусса навіть нульового порядку може досягати величини, близької до 100 %.

9. Вперше виявлено, що сфокусований пучок на виході анізотропного середовища формує поле з двома фокальними перетяжками і характерним розподілом поляризації в додаткових фокусах. Якщо на вході кристала сформований фундаментальний пучок Гаусса, то після кристала в околі головного фокусу формується «пляшковий» пучок із вираженим центральним мінімумом інтенсивності. Якщо на вході кристала сформований елементарний сингулярний пучок, що переносить одиничний оптичний вихор так, що циркуляція колової поляризації і топологічний заряд вихору мають різні знаки, то у фокальних перетяжках формуються азимутально і радіально поляризовані пучки, відповідно.

10. Вперше показано, що нахил осі пучка відносно оптичної осі середовища супроводжується дислокаційними реакціями. Результатом дислокаційних реакцій є формування компоненти пучка з ортогональною циркулярною поляризацією, структура сингулярностей якого ідентична структурі пучка з початковою поляризацією.

11. Вперше виявлено, що таке відновлення структури сингулярностей в ортогональних поляризаційних компонентах нахилених параксіальних пучків супроводжується поперечним зсувом центру тяжіння пучків, що є наслідком закону збереження компоненти потоку кутового моменту в напрямі оптичної осі середовища.

Практичне значення отриманих результатів полягає у наступному:

1. В роботі показана можливість генерації подвійного оптичного вихору як у середовищах із лінійною одновісною анізотропією, так і в середовищах з оптичною активністю у початково циркулярно поляризованому пучку з гладким хвильовим фронтом в його ортогонально поляризованій компоненті. За допомогою цього методу можна також змінювати знак топологічного заряду в ортогонально циркулярно поляризованій компоненті пучка на дві одиниці, в такий спосіб генеруючи пучки з оптичними вихорами вищого порядку як у монохроматичному, так і в білому світлі, що може бути використане при розробці оптичних пінцетів нового типу.

2. Сформульована умова перекачування енергії і генерації пучків з ортогональною циркулярною поляризацією з ефективністю, близькою до 100 % в одновісних кристалах для пучків Лагерра-Гаусса і Ерміта-Гаусса з комплексним аргументом вищих порядків у монохроматичному світлі, а також для пучків Бесселя-Гаусса як у монохроматичному, так і в поліхроматичному світлі, що може бути застосоване при розробці поляризаційних приладів нового типу.

3. Доведено, що за допомогою зміни кута нахилу пучка, який падає на кристал, можна змінювати положення оптичних вихорів у компонентах сингулярного пучка, що може бути використано для створення оптичних пасток із керованими характеристиками.

4. Теоретичне дослідження поляризаційних сингулярностей, що виникають у векторних неоднорідних поляризованих полях дозволило створити програму для експериментального дослідження розподілу поляризації і знаходження поляризаційних сингулярностей, яка використовувалася в усіх експериментальних дослідженнях поляризації полів, що пройшли кристал, які проводились на кафедрі загальної фізики Таврійського національного університету.

Особистий внесок автора в роботах, написаних у співавторстві, полягає в участі в постановці завдань досліджень, виборі методів дослідження і інтерпретації отриманих даних. Теоретичні розрахунки в роботах [А2, А4-А6, А22-А25, А35] проводились разом із співавторами. Автором особисто створені комп'ютерні програми для розрахунку розподілу інтенсивності і фази [А1-А15, А18-А23, А25-А37], вектора Пойнтинга і його силових ліній [А1, А5, А33], траєкторій сингулярності поляризованих компонент пучка [А2, А3, А8, А26-А28], розподілів поляризації полів у кристалі [А10-А15, А18, А25, А27, А28, А35-А37]. Крім того автором особисто розраховані: вищеперелічені характеристики за допомогою комп'ютерних програм, еволюція центру тяжіння компонент пучка й пучка в цілому, поперечний зсув, інтегральна міра поляризації та питомого спінового і орбітального моментів пучка [А28, А31, А32], хромоскопія кольорового оптичного вихору [А24], а також розроблений метод і написана програма для розрахунку поляризації експериментально отриманих картин методом обчислення параметрів Стокса [А15, А27, А28].

Апробація роботи: матеріали дисертаційної роботи доповілись і обговорювались на 4-й Міжнародній конференції “Correlation Optics 1999” (Чернівці, 1999), 2-й Міжнародній конференції “Singular Optics 2000” (Алушта, 2000), 5-й Міжнародній конференції “Correlation Optics 2001” (Чернівці, 2001), 5-й Міжнародній конференції “Laser and Fibre - Optical Networks Modelling” (Харків, 2002), 9-й Міжнародній конференції “Nonlinear Optics of Liquid and Photorefractive Crystals NOLPC'2002” (Алушта, 2002), Міжнародній конференції NATO “Singular Optics 2003” (Київ, 2003), 5-й Міжнародній конференції “5^th International Workshop on Laser and Fiber - Optical Network Modeling” (Алушта, 2003), 9-й Міжнародній конференції “The International Conference on Advanced Optoelectronic and Lasers” (CAOL'2003) (Алушта, 2003), 10-й Міжнародної конференції “Nonlinear Optics of Liquid and Photorefractive Crystals NOLPC'2004” (Алушта, 2004), 7-й Міжнародної конференції “Correlation Optics 2005” (Чернівці, 2005), 8-й Міжнародної конференції “Correlation Optics 2007” (Чернівці, 2007г.), 4-й Міжнародній конференції “Singular Optics (Optical Vortices): Fundamentals and Applications SO'2008” (Алушта, 2008), 9-й Міжнародній конференції “Correlation Optics 2009” (Чернівці, 2009).

Публікації: за матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 37 наукових статей в журналах, що входять до переліку ВАК у тому числі 29 статей в міжнародних наукових журналах, перелік яких наводиться в кінці автореферату.

Структура дисертації. Робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел з 224 найменувань. Повний обсяг дисертації становить 334 сторінки, включаючи 170 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність дисертаційної роботи, сформульовано мету і завдання дослідженнь, визначено наукову новизну і практичне значення отриманих результатів.

Перший розділ містить короткий історичний огляд процесів поширення параксіальних і непараксіальних сингулярних пучків в однорідному середовищі. На основі розв'язку рівнянь Максвелла в поєднанні з методом векторного і скалярного потенціалів проаналізовані процеси перетворення поляризаційних і фазових сингулярностей у непараксіальних сингулярних пучках, що поширюються в однорідному й ізотропному середовищі. Знайдені рішення для непараксіальних сингулярних пучків, що мають осьову симетрію впродовж усього процесу поширення. Основною умовою для таких пучків є їх узгодження з пучками Лагерра-Гаусса з комплексним аргументом в околиці усієї осі поширення в параксіальній межі (де - хвильове число, - довжина Релея) [А1-А6, A22, A23]. Ці векторні пучки описуються за допомогою похідних від утворюючої скалярної функції вигляду

,(1)

де - сферична функція Бесселя першого роду, , , - узагальнений поліном Лежандра, - азимутальний кут, , , ,, - перетяжка пучка в площині . Внаслідок характерних особливостей початкової скалярної функції отримані непараксіальні пучки були названі пучками Лежандра-Бесселя.

Чисельні оцінки показали, що параксіальні і непараксіальні розподіли полів узгоджуються з великою точністю вже для пучків із (див. рис.1). Таке добре узгодження зумовлене різким зниженням ролі еванесцентних хвиль у непараксіальному пучку з .

Проаналізовані також непараксіальні пучки, що переносять масиви оптичних вихорів, і знайдена їх відповідність стандартним комбінованим параксіальним пучкам [1]. Показано, що такі пучки (як непараксіальні, так і параксіальні) є структурно нестійкими в сенсі незмінності їх структури з точністю до масштабу і повороту [16, А7-А9]. Наприклад, характеристична скалярна функція для непараксіального пучка, що переносить топологічний мультиполь, має вигляд

,(2)

де , , , , та - постійні комплексні коефіцієнти. Перший член суми хвильової функції (2) описує непараксіальний пучок із l крайовими дислокаціям, зорієнтованими під кутами . Другий член суми характеризує непараксіальний пучок із множиною кільцевих дислокацій, який у параксіальній межі формує тільки одну стандартну дислокацію для пучків Лагерра-Гаусса з комплексним аргументом у площині .

Суперпозиція вже цих 2-х полів дає можливість сформуватися масиву оптичних вихорів. Третій член суми характеризує непараксіальний пучок, що має в параксіальній межі аналог у вигляді гладкого пучка Гаусса. Його роль у суперпозиції - управляти положенням оптичних вихорів в масиві. Коефіцієнти і - постійні параметри, що відіграють ключову роль у структурі масиву оптичних вихорів, які в загальному випадку мають комплексний вигляд. Типові розподіли квадрата модуля електричного поля в право циркулярно поляризованій компоненті пучка зображені на рис. 2.

Помітимо, що для коефіцієнтів і , де - уявне, а - дійсне, в початковій площині формується масив оптичних вихорів. Кількість оптичних вихорів, найближчих до осі поширення z дорівнює подвоєному значенню азимутального індексу , що входить у рівняння. Водночас на периферії пучка формується додатковий масив оптичних вихорів, пов'язаний із кільцевою структурою непараксіального пучка. Повний топологічний заряд вихорів, переносимий таким комбінованим пучком, дорівнює нулю. Це означає, що знаки топологічних зарядів у масиві чергуються і підкоряються правилу знаків [17].

Помітимо, що топологічні мультиполі, сформовані еванесцентними хвилями, анігілюють вже на відстані порядку довжини хвилі від площини перетяжки пучка.

З виду траєкторій оптичних вихорів на діаграмі можна стверджувати, що структура траєкторії змінюється залежно від значень коефіцієнтів і (). Для дійсних значень і та траєкторії оптичних вихорів безперервні на всьому протязі осі , якщо коефіцієнти і лежать поза зоною, обмеженою характеристичними параболами. Усередині цієї зони є велика ділянка, де оптичних вихорів не існує (рис. 3, а). Для в пучку не існує топологічного диполя. Якщо - дійсне, а - уявне числа, то в області пучок не може переносити топологічний диполь (рис. 3, б). При і, якщо і лежать за границями зони, обмеженої характеристичними параболами, то траєкторії вихорів безперервні на всьому протязі осі . Для пучків, параметри яких лежать усередині зони, обмеженої параболами, оптичні вихори можуть існувати тільки на малій ділянці осі в околі перетяжки пучка.

Ці результати підкреслюють принципову структурну нестійкість непараксіальних пучків, що переносять масиви оптичних вихорів в однорідному ізотропному середовищі, в сенсі постійності структури пучка при малих зрушеннях уздовж осі поширення.

У другому розділі отримано векторне хвильове рівняння і проаналізовані його розв'язок для недифрагуючих пучків, що поширюються в середовищі, що володіє як лінійним, так і циркулярним двопроменезаломленням. Тензор лінійного двопроменезаломлення і тензор гирації мають діагональний вигляд. Оптична вісь анізотропного середовища спрямована вздовж осі поширення недифрагуючого пучка. Отримані розв'язки можуть бути поширені на такі типи пучків: 1) бесселів пучок; 2) пучки Матьє; 3) параболічні пучки.

Особливістю розв'язання хвильового рівняння є те, що векторна утворююча функція записується у вигляді суми полів з азимутальним і радіальним розподілом поляризації [A34], що поширюються з однією і тією ж фазовою швидкістю, яка характеризується постійною поширення :

, (3)

де , , - орти циркулярно поляризованих компонент, скалярна функція - розв'язок рівняння Гельмгольца для недифрагуючих скалярних пучків , - хвильовий параметр пучка. Підстановка наведеного розв'язку у векторне хвильове рівняння приводить до двох характеристичних рівнянь: 1) до дисперсійного рівняння для постійної поширення

(4)

і 2) до характеристичного рівняння для амплітудного параметра :

, (5)

де і - коефіцієнти гирації, , - головна діелектрична проникність середовища вздовж кристалографічних осей , , , ,.

Розв'язок рівнянь (4,5) дає два значення постійних поширення і два значення амплітудних коефіцієнтів для двох типів власних мод у рівнянні (3). Ці значення однакові для всіх трьох типів недифрагуючих пучків при заданому значенні хвильового параметра .

Був проведений аналіз розв'язку характеристичних рівнянь для трьох випадків: 1) середовище з чистим лінійним двопроменезаломленням (); 2) середовище з чистою оптичною активністю (); 3) гіроанізотропне середовище (,).

У разі середовища з чистим двопроменезаломленням отримані розв'язки були ідентичні розв'язкам, знайденим для бесселевих пучків, що поширюються в одновісних і двовісних кристалах, і розглянутих у роботі [12]. У середовищі з чистою оптичною активністю слід розрізняти два випадки: 1) , і 2) усі інші варіанти (див. рис. 4). У першому випадку середовище має ізотропну точку при , коли пучок поширюється через середовище, не помічаючи оптичної активності. У цій точці спостерігається стрибок значень модових амплітуд (див. рис. 4, б) і рівність постійних поширення ( - перетин дисперсійних кривих). Проте скільки завгодно мале збурення призводить до зняття виродження - дисперсійні криві починають відштовхуватися. У другому випадку ізотропної точки не виникає. Слід зазначити, що для відносно малих значень хвильового параметра модового пучка (параксіальний режим) має місце умова і характер поширення мод ідентичний для обох випадків. Це відразу відображається на структурі поля. Поля з постійною поширення мають нехтовно малу право циркулярну поляризовану компоненту, а поля з - нехтовне малу ліво циркулярно поляризовану компоненту. Це означає, що власні моди однорідно поляризовані по кругу в поперечному перерізі.

Ситуація кардинально змінюється в непараксіальному випадку, коли . Поля власних мод стають неоднорідними поляризованими (див. рис.5, розрахований для бесселевого пучка). Це призводить до ряду незвичайних ефектів. Річ у тому, що для формування однорідно поляризованого на вході в кристал поля, вимагається суперпозиція власних мод. Водночас ці моди мають різні постійні поширення. Тому початковий однорідно поляризований пучок (скажімо, з право циркулярною поляризацією) змінюватиме розподіл поляризації в міру поширення через середовище з чистою оптичною активністю [A34, A25].

На осі пучка формується точка виродженої поляризаційної сингулярності з топологічним індексом +1. Наявність сингулярної точки свідчить про те, що компонента з лівою круговою поляризацією переносить оптичний вихор з подвійним топологічним зарядом. Розрахунок показує, що максимальна енергетична ефективність формування оптичного вихору в насиченому розчині цукру для бесселевого пучка нульового порядку, що не переносить оптичний вихор, може досягати 50 % на довжині 5 см.

Гіроанізотропний кристал накладає характерні особливості на процес поширення недифрагуючих пучків. Очевидно, що наявність, як лінійного, так і циркулярного двопроменезаломлення не змінює тип поляризаційних сингулярностей у структурі власних мод. Змінюється тільки ефективна довжина анізотропного середовища, на якому відбувається перетворення поляризаційних сингулярностей у комбінованих сингулярних пучках. Це пов'язано зі зміною характеру спектральних кривих і . У ізотропній точці кристал має виключно лінійне двопроменезаломлення. При зміні різниці коефіцієнтів гірації спектральні криві згладжуються.

Коноскопічна картина періодично змінюється на довжині биття . Якщо в початковій площині коноскопічна картина має характерну кільцеву структуру, то по мірі поширення у напрямках формується ланцюжок оптичних вихорів із протилежними топологічними зарядами. Зі збільшенням довжини положення вихорів у ланцюжках змінюється, роблячи темний «хрест» більш чи менш контрастним. На довжині початкова картина розподілу інтенсивності відновлюється.

Цей процес характерний для всіх бесселевих пучків, що переносять центровані оптичні вихори з різними величинами топологічних зарядів.

У третьому розділі знайдені і проаналізовані розв'язки векторного хвильового рівняння для непараксіальних сингулярних пучків Лежандра-Бесселя, що поширюються через одновісний кристал із лінійним двопроменезаломленням. Серед безлічі таких пучків вибираються такі, які мають аналоги у вигляді пучків Лагерра-Гаусса в параксіальній межі [A32]. Аналіз розв'язків показав, що кожна з компонент електричного і магнітного поля містить як однорідні, так і еванесцентні хвилі. Крім того, структура сингулярностей як електричного, так і магнітного полів істотно відрізняється для пучків, радіус перетяжки яких порівняно з довжиною хвилі в анізотропному середовищі. При збільшенні радіусу перетяжки, вклад еванесцентних хвиль у формування поля в площині перетяжки швидко зменшується. Спільно з цим протікає процес зрівнювання структури сингулярностей електричного і магнітного полів. Показано, що пучки Лежандра-Бесселя в одновісному кристалі здатні формувати складну структуру сингулярностей поблизу осі. Якщо в початковій площині в кристалі формується циркулярно поляризоване електричне поле, то при поширенні пучка вздовж кристала в ортогональній компоненті виникає оптичний вихор, топологічний заряд якого відрізняється на дві одиниці від топологічного заряду початкового пучка.

Важливим моментом є структурні перетворення, що виникають при поширенні пучків Лежандра-Бесселя вищих порядків. При збільшенні довжини z, дислокаційні кільця, зумовлені еванесцентними хвилями, зникають. Замість них з'являються характерні кільця коноскопічної картини. Чітко виділяється провал інтенсивності в центрі коноскопічної картини. Цей провал не пов'язаний із формуванням оптичного вихору, а викликаний звичайними процесами дифракції. При збільшенні радіуса перетяжки провал інтенсивності в центрі картини поступово згладжується і в параксіальній межі замінюється вираженим максимумом інтенсивності.

Було також показано, що за умови, якщо на вході кристала формується лінійно поляризоване поле, то в лінійно поляризованих компонентах пучка виникає деформована коноскопічна картина. Деформація коноскопічної картини є наслідком різного масштабу поля вздовж поперечних і поздовжньої координат для парціального незвичайного пучка.

Виявлений клас непараксіальних пучків, які не існують у параксіальній області, - так звані, параксіально анігілюючі пучки [A33]. Вони є суперпозицією двох непараксіальних пучків Лежандра-Бесселя, що переносять у кожній поляризаційній компоненті ідентичні осьові оптичні вихори, але з різною структурою позаосьових фазових і поляризаційних сингулярностей. Основну роль в їх формуванні відіграють еванесцентні хвилі та відмінність структури сингулярностей електричних і магнітних полів. При зростанні радіуса перетяжки параксіального анігілюючого пучка внесок еванесцентних хвиль слабшає, структура електричного і магнітного полів зрівнюється, і парціальні пучки інтерференційно гасять один одного. У такому підході сингулярности структури електричного і магнітного полів проявляються у вигляді сингулярностей вектора Пойнтинга [18]. На рис.10 точки сингулярностей охоплюються кільцями ліній потоку енергії. Вони розташовуються по різні боки площини перетяжки. При збільшенні радіуса перетяжки непараксіального пучка точки сингулярностей зближуються. Момент зникнення комбінованого пучка відповідає умові поєднання точок сингулярностей вектора Пойнтинга.

У четвертому розділі знайдені та проаналізовані рішення параксіального хвильового рівняння для сингулярних монохроматичних і квазімонохроматичних пучків Лагерра-Гаусса й Ерміта-Гаусса дійсного і комплексного аргументів, а також Бесселя-Гаусса [19], що поширюються вздовж оптичної осі анізотропного середовища. Показано, що всі початково циркулярно поляризовані пучки переносять в ортогонально поляризованій компоненті оптичний вихор таким чином, що його повний топологічний заряд відрізняється на дві одиниці від повного топологічного заряду початкового пучка, причому ця добавка має знак, який збігається зі знаком циркуляції початкової поляризації. У циркулярно поляризованих компонентах пучків Лагерра-Гаусса дійсного і комплексного аргументів та Бесселя-Гаусса оптичні вихори розташовуються на осі пучків, тоді як поширення пучків Ерміта-Гаусса дійсного і комплексного аргументів зв'язане з формуванням масивів оптичних вихорів [А10- A14, A17, A21, A30].

Відмітимо одну важливу особливість процесу поширення пучків Ерміта-Гаусса та Лагерра-Гаусса дійсного і комплексного аргументів. Ця особливість полягає у відмінності еволюції коноскопічних картин уздовж довжини кристала. Порівнюючи два типи коноскопічних картин, наведених на цьому рисунку, помічаємо, що розподіл інтенсивності в поперечному перерізі пучка швидко змінюється вздовж довжини кристала. Проте для пучка Ерміта-Гаусса комплексного аргументу (eHG) він перетворюється на відносно великих довжинах кристала в однотипну картину, що складається з чотирьох яскравих плям, які промодульовані інтерференційними кільцями, причому ця структура не залежить від індексів m і n параксіального пучка. Змінюється тільки розмір плям. Чим вища величина індексів модового пучка, тим менше характерний розмір плями. Водночас, коноскопічна картина для пучків Ерміта-Гаусса дійсного аргументу (sHG) зазнає швидких структурних змін вздовж довжини кристала, набуваючи найхимерніші форми в обох поляризаційних компонентах. Форма картини залежить від індексів модового пучка. Аналогічну властивість мають також пучки Лагерра-Гаусса та Бесселя-Гаусса. Як ми побачимо далі, ця властивість пучків відіграє ключову роль у спін-орбітальному зв'язку в пучку і безпосередньо позначається на енергетичній ефективності генерації оптичних вихорів.

Сингулярний параксіальний пучок здатний переносити спіновий і орбітальний кутовий момент. Сума проекцій спінового і орбітального кутового моменту на напрям поширення пучка є постійною величиною для пучків, що поширюються в однорідному й ізотропному середовищі [3]. У анізотропному середовищі ця властивість електромагнітних пучків у загальному випадку не виконується. Проте в роботі [14] було показано, що zz_компонента тензора потоку повного кутового моменту вздовж оптичної осі одновісного кристала залишається постійною вздовж усієї довжини пучка:

.

Саме ця властивість лежить в основі генерації оптичних вихорів у пучку, що поширюється через кристал.

Дійсно, якщо на вході кристала циркулярно поляризований пучок Гаусса не переносить оптичних вихорів, то його повний нормований кутовий момент є . Так що в асимптотичному випадку спіновий кутовий момент пучка прямує до нуля . Зміну спінового кутового моменту компенсує спін-орбітальний зв'язок, що виникає в системі кристал-пучок, за рахунок формування оптичного вихору з подвійним топологічним зарядом в ортогональній компоненті пучка. Неважко показати [A31], що енергетична ефективність генерації оптичного вихору ( - інтенсивності в ортогональних компонентах пучка) не може перевищувати 50 % для пучка Гаусса на вході в кристал. Нам вдалося показати, що величина енергетичної ефективності може досягати 100 % () для деяких типів параксіальних пучків. Наприклад, для пучка Ерміта-Гаусса комплексного аргументу енергетична ефективність задається виразом

, (3)

де , - довжина Релея для звичайного і незвичайного пучків у кристалі, , .

Мінімальному значенню спінового кутового моменту відповідає екстремальне значення енергетичної ефективності (див. рис. 13). Чим вище порядок пучка, тим вище . Аналогічний ефект спостерігається і для пучків Лагерра-Гаусса комплексного аргументу з тією різницею що показник міри у виразі (1) тепер буде (де і - азимутальний і радіальний індекси пучка, відповідно). Інша ситуація складається з пучками Ерміта- та Лагерра-Гаусса дійсного аргументу. В дисертаційній роботі показано, що максимальна енергетична ефективність у цьому випадку може тільки злегка перевищувати 50%.

Хоча приведені результати вказують на можливість майже 100% ефективності генерації оптичних вихорів, вони не вигідні для практичного використання, оскільки в цьому процесі повинні брати участь сингулярні пучки вищих порядків, які дуже проблематично сформувати. Проте ситуація істотно спрощується, якщо для генерації сингулярних пучків використовувати пучок Бесселя-Гаусса нижчого порядку [A35].

Характерною рисою залежності є велика амплітуда осциляцій для пучка Бесселя-Гаусса нульового порядку, яка вже на довжині кристала ніобату літію в 1 мм забезпечує ефективність генерації близько 95 %. Цікаво відмітити, що ефективність генерації практично не залежить від порядку пучка Бесселя-Гаусса, що демонструє залежність при різних значеннях - величини порядку пучка. У основі такого унікального ефекту лежать властивості пучка Бесселя-Гаусса. Як відомо [20], кутовий спектр пучка Бесселя-Гаусса являє собою пучок променів, сформованих у такий спосіб, що промені, які переносять максимальний енергетичний потік, лежать на поверхні конуса з кутом розчину . При деякому куті розчину конуса різниця фаз між звичайними і незвичайними хвилями стає кратною непарному числу . Ця різниця фаз відповідає перетворенню право циркулярної поляризації в ліво циркулярну (чи навпаки), а отже, асоціюється з максимальною енергетичною ефективністю генерації оптичного вихору на осі пучка.

Оскільки осьова симетрія розподілу двопроменезаломлення в кристалі дозволяє сформувати осесиметричний розподіл стану поляризації в поперечному перерізі пучка з виродженою С-точкой на осі, то положення цієї С-точки в пучку не залежить від довжини хвилі. Отже, в ортогональній компоненті поліхроматичного пучка формується оптичний вихор [A12, A15, A16], як і в разі монохроматичного пучка. Більше того, використання конічної призми (аксикона) дозволяє формувати поліхроматичні пучки Бесселя-Гаусса [21]. Ми розрахували типовий розподіл інтенсивності в поліхроматичному пучку Бесселя-Гаусса, отриманому від джерела у вигляді абсолютно чорного тіла з температурою 4800 К за умови просторової когерентності пучка. У ліво циркулярній компоненті пучка формується оптичний вихор із подвійним топологічним зарядом.

З характеру кривих можна зробити висновок, що енергетична эффективність навіть для широкосмугових джерел світла з може досягати 95%.

Сингулярний пучок, що покидає кристал, зберігає набуту в ньому властивість. Поле початкового пучка зображується у вигляді суперпозиції мод із власною поляризацією всередині кристала. Кожен із модових пучків характеризується довжиною Релея і кривизною хвильового фронту у вихідній площині кристала. Очевидно, що поведінка модових пучків навіть із близькими хвильовими параметрами після кристала проявлятиме свої індивідуальні риси. Як приклад розглянуте фокусування 1) пучка, який має на вході кристала топологічний заряд і право циркулярну поляризацію і 2) пучки Гаусса з і . Відмінність початкових значень орбітального і спінового чисел призводить до принципово різної поведінки сфокусованого пучка. Вважатимемо, що пучок у кристалі проходить відстань , далі поширюється через середовище з показником заломлення на відстань , а потім фокусується тонкою лінзою із фокусною відстанню .

1) . При фокусуванні формується пучок із двома фокальними площинами. У площині першого фокусу спостерігається пучок з азимутальним розподілом електричного поля (рис. 18). У області другого фокусу формується пучок із радіальним розподілом поляризації.

Наведений приклад є одним з оптимальних способів формування пучків із заданим розподілом поляризації в області фокусування [A35]. Азимутально й радіально поляризовані пучки знаходять зараз широке застосування в системах із надтонким фокусуванням випромінювання, де розміри центральної плями можуть бути значно меншими від довжини хвилі [A35].

2) . Фокусування такого пучка призводить до формування двох фокусів із максимумами на осі пучка і провалом інтенсивності між ними (рис. 19). Такі пучки дістали назву «пляшкових» пучків [A35]. Вони знаходять застосування в системах захоплення, переміщення й орієнтації мікрочасток.

У п'ятому розділі розглянуто поширення сингулярного пучка під кутом до оптичної осі одновісного кристала. Випадок, коли вісь пучка спрямована вздовж оптичної осі анізотропного середовища, був розглянутий у попередньому розділі. Якщо пучок має циркулярну поляризацію й осьову симетрію, то його поширення підкоряється досить простим правилам, згідно з якими тип симетрії не змінюється в процесі поширенні пучка, а перетворення поляризаційних і фазових сингулярностей підкоряється закону збереження повного потоку кутового моменту вздовж оптичної осі кристала [14]. Нахил осі пучка відносно осі кристала навіть на малий кут призводить до порушення осьової симетрії і всі висновки, що стосуються осьового поширення пучків, в цьому випадку можуть виявитися неправильними. У розділі розглядаються параксіальні пучки, що поширюються під малим кутом до оптичної осі кристала ( - кут нахилу звичайного модового пучка). Показано, що проекція zz-компоненти потоку кутового моменту на оптичну вісь кристала не змінюється в будь-якому поперечному перерізі пучка. Нахил осі пучка Гаусса виробляється за допомогою зміщення поперечної координати в уявну область на відстань і домноження поля на множник , при цьому між звичайним і незвичайним модовими пучками виконується співвідношення . Поширення пучків, що переносять фазові сингулярности під кутом до оптичної осі кристала, може бути зображено у вигляді розкладання по пучках, в яких поперечна координата зміщена в уявну область [A27, A28]. При аналізі процесу нахиленого поширення пучків у кристалі ми порівнювали результати, отримані з розв'язку параксіального хвильового рівняння, з результатами, що спираються на закон збереження кутового моменту для сингулярних пучків вищих порядків [A26 - A29, A35 - A37].

Показано, що при нахилі пучка в результаті топологічних реакцій топологічний заряд оптичного вихору в ортогональній циркулярно поляризованій компоненті в пучках Лагерра-Гаусса стає рівним топологічному заряду оптичного вихору початкової циркулярно поляризованої компоненти. На рис. 20 зображені С-лінії поляризаційних сингулярностей у сингулярному пучку з початковим топологічним зарядом і циркулярною поляризацією . Слід виділити два види траєкторій С-ліній: лінії, напрям яких близький до поперечного відносно осі нахиленого пучка, і лінії, що утворюють стовбур нахиленого пучка. Нахил пучка призводить до розщеплення напрямку поширення мод із власною поляризацією і виникнення дислокаційних реакцій у кожній компоненті пучка. При куті нахилу осі початкового пучка , яка дорівнює критичному куту , одна з поперечних С-ліній згинається, утворюючи другий стовбур сингулярного пучка. Цей кут відповідає розщепленню початкового пучка на два парціальні пучки.

Поширення нахиленого пучка супроводжується двома ключовими процесами: 1) просторова деполяризація випромінювання і 2) втрата (чи придбання) вихору з подвійним топологічним зарядом. Збереження балансу повного кутового моменту забезпечує поперечне зміщення центру тяжіння як ортогонально поляризованої компоненти, так і пучка в цілому. У пучках з протилежними знаками початкової циркуляції поляризації і топологічного заряду це викликає зміщення одиничного оптичного вихору з центру ортогонально поляризованої компоненти, внаслідок чого у векторному полі утворюється векторний топологічний диполь, що складається з «лимона» і «зірки». У пучках з однаковими знаками початкової циркуляції поляризації і топологічного заряду відбувається асиметричне зміщення масиву оптичних вихорів з центру пучка в ортогонально поляризованій компоненті пучка, що призводить до утверення у векторному полі поблизу осі кожного з пучків векторної сингулярності, що складається з «зірок», несиметрично оточеної «лимонами». При цьому топологічний індекс усього пучка залишається таким, що дорівнює нулю. У циркулярно поляризованих пучках Ерміта-Гаусса, що переносять крайову дислокацію вздовж осі , в асимптотичному випадку відбувається зміщення крайової дислокації в ортогонально поляризованій компоненті вздовж осі , унаслідок чого у векторному полі виникають дві С_лінії з правою і лівою циркулярною поляризацією, розділені L_лінією лінійної поляризації. У циркулярно поляризованих пучках Лагерра-Гаусса дійсного аргументу в асимптотичному випадку виникає бічне зміщення кільцевих дислокацій в ортогонально циркулярно поляризованій компоненті, внаслідок чого у векторному полі крім сукупності С-точок, відповідних оптичним вихорам циркулярних компонент, виникають С-кільця з протилежними циркуляціями поляризації, які пересікаються в D-точках із нульовою інтенсивністю усього поля. При цьому сумарно в усьому полі утворюється D-точок.

Знайдена умова, при якій циркулярно поляризовані пучки, що переносять оптичні вихори із зарядом , можуть розщепитися на два пучки при певних довжинах кристала і кутах нахилу пучків. Отримана область значень нормованих довжин і кутів, при яких пучки не можуть розійтися.

Поперечне зміщення центру тяжіння початково циркулярно поляризованого пучка, що виникає при нахилі, в асимптотичному випадку дорівнює початковому питомому спіновому моменту пучка, що ділиться на добуток кута нахилу пучка на хвильове число, і викликає додатковий орбітальний момент пучка, який компенсує зміну орбітального кутового моменту, що відбувається при конверсії оптичних вихорів в ортогонально поляризованій компоненті. При цьому виконується закон збереження zz_компоненти потоку кутового моменту вздовж осі одновісного кристала.

У лінійно поляризованому пучку, що переносить оптичний вихор, центри тяжіння циркулярно поляризованих компонент зазнають поперечного зміщення вздовж осі в протилежних напрямах [A28], тоді як центр тяжіння всього пучка не зміщується.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У результаті проведення теоретичних досліджень поведінки електромагнітних світлових пучків в однорідних середовищах з лінійною аксіально-симетричною анізотропією, а також аксіально-симетричною оптичною активністю можна сформулювати основні висновки:

1. Отримані розв'язки векторного хвильового рівняння для недифрагуючих пучків, що поширюються в кристалі з лінійним і циркулярним двопроменезаломленням. Показано, що при збудженні кристала циркулярно поляризованим пучком відбувається формування виродженої поляризаційної сингулярності (С-лінії), індукованої анізотропією кристала з осьовою симетрією. Цій поляризаційній сингулярності відповідає осьовий оптичний вихор у циркулярно поляризованій компоненті, ортогональній до поляризації початкового пучка. Його топологічний заряд відрізняється на дві одиниці від заряду вихору початкового пучка.

2. Показано, що формування оптичного вихору з подвійним топологічним зарядом в ортогонально циркулярно поляризованій компоненті пучка можливе також у середовищах, що мають оптичну активність, а лінійне двопроменезаломлення при цьому відсутнє (наприклад, у розчині цукру). Це явище притаманне тільки для істотно непараксіальних пучків, у випадку коли внесок осьової симетрії циркулярного двопроменезаломлення стає оптимальним.

3. Отримані розв'язки векторного хвильового рівняння для сингулярних непараксіальних пучків Лежандра-Бесселя, що мають параксіальні аналоги у вигляді пучків Лагерра-Гаусса. Показано, що такі пучки є структурно нестійкими, оскільки структури фазових і поляризаційних сингулярностей в електричному і магнітному полях істотно відрізняються і залежать від положення площини спостереження. Це пов'язано з тим, що формування структури поля визначається в основному еванесцентними хвилями поблизу перетяжки пучка і однорідними хвилями в далекій зоні спостереження, де внесок еванесцентних хвиль достатньо малий, щоб ним можна було знехтувати. Наслідком осесиметричного розподілу поляризації в середовищі з осьовою лінійною анізотропією є формування оптичного вихору в ортогональній циркулярно поляризованій компоненті пучка Лежандра-Бесселя.

4. Виявлений клас сингулярних пучків, які зникають при параксіальному переході. Зникнення пучків пов'язане з інтерференційними процесами в магнітних і електричних полях. Інтенсивність світлового потоку пучка набуває нульового значення, коли лінії поляризаційних сингулярностей електричного і магнітного поля пучка співпадають.

5. Отримані розв'язки векторного параксіального хвильового рівняння для сингулярних пучків Ерміта-Гаусса і Лагерра-Гаусса з дійсним і комплексним аргументом, а також для пучків Бесселя-Гаусса, які поширюються в одновісних двопроменезаломлюючих кристалах уздовж оптичної осі. Показано, що енергетична ефективність формування оптичних вихорів у монохроматичних і квазімонохроматичних пучках Ерміта-Гауссса і Лагерра-Гаусса з комплексним аргументом істотно залежить від порядку пучка. У монохроматичних пучках вищого порядку енергетична ефективність може наближатися до 100 %. У широкосмугових квазімонохроматичних пучках вищого порядку, а також в монохроматичних пучках Ерміта-Гаусса і Лагерра-Гаусса, як функцій дійсної змінної вона не перевищує 50 %. У основі процесу формування оптичного вихору в параксіальних пучках лежить закон збереження проекції потоку повного кутового моменту пучка на оптичну вісь кристала.

6. Виявлено, що енергетична ефективність у монохроматичних і широкосмугових квазімонохроматичних пучках Бесселя-Гаусса навіть нульового порядку може досягати величини, близької до 100 %. Цей ефект пов'язаний із характерними особливостями кутового спектра пучків Бесселя-Гаусса, в яких максимум енергетичного потоку відповідає променям, що лежать на поверхні конуса. Зміна кута розгортки конуса призводить до зміни різниці фаз між звичайним і незвичайним променями. Коли ця різниця фаз стає кратною , виникає інтенсивне перекачування енергії між право і ліво циркулярно поляризованими хвилями, що відповідає екстремальній ефективності спін-орбітального зв'язку і проявляється у майже 100 % енергетичної ефективності генерації оптичного вихору.

7. Встановлено, що сфокусований пучок після кристала формує поле з двома фокальними перетяжками і характерним розподілом поляризації в додаткових фокусах. Якщо на вході кристала сформований фундаментальний пучок Гаусса, то після кристала в околі головного фокусу формується «пляшковий» пучок із вираженим центральним мінімумом інтенсивності. Якщо на вході кристала сформований елементарний сингулярний пучок, що переносить одиничний оптичний вихор так, що циркуляція колової поляризації і топологічний заряд вихору мають різні знаки, то у фокальних перетяжках формується азимутально й радіально поляризовані пучки, відповідно. Така просторова селекція пучків пов'язана з тим, що ці пучки в кристалі є модовими пучками з власною поляризацією і мають різну кривизну хвильового фронту в поляризаційних компонентах. Фокусування таких пучків зумовлює різні просторові положення фокальних перетяжок.