Плоска деформація пружних багатошарових основ складної структури

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Плоска деформація пружних багатошарових основ складної структури

Зіновєєв Ігор Валерійович

Запоріжжя 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Державному вищому навчальному закладі «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор, Приварников Аркадій Костянтинович, Державний вищий навчальний заклад „Запорізький національний університет ” Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри алгебри та геометрії.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, Кузьменко Василь Іванович, Державний вищий навчальний заклад Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки України, професор кафедри математичного моделювання ;

доктор фізико-математичних наук, професор, Чехов Валерій Миколайович, Державний вищий навчальний заклад Таврійський національний університет ім. В.І. ВернадськогоМіністерства освіти і науки України, завідувач кафедри прикладної математики

Захист відбудеться 11.06. 2010 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 17.051.06 при Державному вищому навчальному закладі «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України за адресою: 69600, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Державного вищого навчального закладу «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України за адресою: 69600, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66.

Автореферат розісланий 10.05. 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ю. О. Сисоєв

1. Загальна характеристика роботи

багатошаровий пружність інтегральний навантаження

Актуальність теми. В останні десятиріччя увагу науковців привертає проблема визначення напружено-деформованого стану пружних багатошарових основ з довільною кількістю шарів, що зумовлено досить широким спектром прикладних задач механіки для таких основ. Це задачі проектування фундаментів висотних будинків, багатошарових підлог деяких промислових споруд (хімічні, енергетичні підприємства), дорожніх та аеродромних покрить, задачі визначення напружень і переміщень в інших об'єктах шаруватої структури (різноманітні багатошарові захисні покриття). Складність розв'язання граничних задач теорії пружності для багатошарових основ значно зростає, якщо шари основ мають отвори, тріщини, зазори між шарами, локальні об'ємні навантаження тобто є основами складної структури. Можна констатувати, що на даний час відсутні загальні ефективні методи, визначення напружень і переміщень в основах складної структури. Це дає підставу вважати, що обрана тема дисертації, яка присвячена розробці ефективних способів розв'язання задач теорії пружності для багатошарових основ складної структури з довільною кількістю шарів, є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження проведено на кафедрі алгебри та геометрії Державного вищого навчального закладу „Запорізький національний університет ” Міністерства освіти і науки України у рамках загальних планів науково-дослідної роботи кафедри, науково-дослідних робіт за держбюджет-ними темами:

- "Математичні моделі деяких фізичних явищ та їх чисельна реалізація"

- (№ державної реєстрації 0194У043130),

- "Аналітичні методи дослідження напружено-деформованого стану багатошарових пружних основ та їх чисельна реалізація" (№ державної реєстрації 0197У012975),

- «Розв'язання основних і мішаних граничних задач теорії пружності для шаруватих середовищ періодичної структури та основ з отворами»

- (№ державної реєстрації 0106У008388),

які фінансувались Міністерством освіти та науки України.

Мета і завдання дослідження. Розробити способи (точні та наближені) розв'язання основних граничних задач плоскої теорії пружності для багатошарових основ складної структури.

Побудувати та дослідити функції податливості для багатошарових основ складної структури. Розробити підходи для обчислення шуканих величин (представляються інтегралами Фур'є).

Побудувати інтегральні рівняння задач про отвір і тріщину в багатошаровій основі та запропонувати способи розв'язання цих рівнянь.

Об'єкт дослідження - плоска деформація багатошарової основи складної структури:

- багатошарова основа з об'ємним навантаженням, що прикладене до внутрішніх точок шарів основи;

- багатошарова основа з отвором в одному із шарів;

- багатошарова основа з криволінійною тріщиною в одному із шарів;

- багатошарова основа з прямолінійними тріщинами (зазорами) між шарами.

Предмет дослідження - напруження та переміщення точок основи (напружено-деформований стан багатошарової основи).

Методи дослідження. В дисертації застосовувались:

- метод інтегральних перетворень Фур'є (для розв'язання диференціальних рівнянь лінійної теорії пружності у шарі і площині);

- метод функцій податливості (розв'язання граничних задач лінійної теорії пружності для багатошарових основ);

- метод скінченних сум (для наближеного розв'язання інтегральних рівнянь задач про отвір і тріщину в основі);

- узагальнений метод фіктивних навантажень (для розв'язання задачі про отвір в шарі багатошарової основи);

- узагальнений метод розривних переміщень (для розв'язання задачі про тріщину в шарі багатошарової основи).

Наукова новизна отриманих результатів. Наукова новизна одержаних в дисертаційному дослідженні результатів полягає в наступному:

- проведено дослідження функцій податливості багатошарових основ складної структури (багатошарових основ із об'ємними зосередженими силами, основ із отворами в шарах, основ із тріщинами в шарах, основ із зазорами між шарами) для випадку плоскої деформації;

- ґрунтуючись на властивостях функцій податливості, розроблена методика точного розв'язання задач теорії пружності для багатошарової основи, яка знаходиться під дією поверхневих та об'ємних навантажень;

- побудовані інтегральні рівняння задачі про отвір в довільному шарі багатошарової основи та задачі про тріщину між шарами багатошарової основи, запропоновано ефективний спосіб їх чисельного розв'язання;

- поширено на багатошарові основи такі відомі наближені методи розв'язання граничних задач теорії пружності для тіл з дефектами як метод фіктивних навантажень та метод розривних переміщень.

Вперше на основі методу функцій податливості та методу фіктивних навантажень розроблено спосіб наближеного розв'язання першої та другої основних граничних задач теорії пружності про визначення напружено-деформованого стану багатошарової основи, що містить отвір в одному з шарів (контур отвору - гладкий);

на основі методів функцій податливості та методу розривних переміщень розроблена методика наближеного розв'язання першої та другої основних граничних задач теорії пружності про визначення напружено-деформованого стану пружної багатошарової основи, що містить в одному із внутрішніх шарів криволінійну незамкнену тріщину, яка не виходить на межі шарів;

Удосконалено методику точного розв'язання задач теорії пружності про дію об'ємних сил на внутрішні точки пружної багатошарової основи;

Достовірність та обґрунтованість здобутих в дисертаційній роботі теоретичних, практичних результатів та тверджень забезпечується коректною математичною постановкою задач (розв'язки граничних задач лінійної теорії пружності будуються без спрощувальних гіпотез), строгістю використаних методів розв'язання. Отримані розв'язки задовольняють усім заданим граничним умовам задач, умовам сумісного деформування шарів основи, не суперечать фізичній суті задач. Крім того, у граничних випадках отримані результати співпадають з відомими попередніми результатами.

Практичне значення отриманих результатів Наукові результати дисертації можуть бути застосовані для визначення напружено-деформованих станів багатошарових основ з отворами та тріщинами, тобто для здійснення розрахунків на міцність та жорсткість реальних шаруватих основ. Вони також можуть бути застосовані для досліджень впливу характеристик шарів і їх кількості на міцність пружних шаруватих середовищ, а також для проектування шарових основ із заданими властивостями. Оскільки запропоновані в дисертації способи дають можливість отримувати чисельні результати розв'язків конкретних задач з малою похибкою, то їх можна використовувати як тестові для визначення рамок достовірності інших методів визначення напружень і переміщень в пружних багатошарових основах з дефектами.

Наукове значення роботи полягає в отриманні нових науково обґрунтованих результатів, які в сукупності є істотними для розвитку досліджень в механіці деформівного твердого тіла, пов'язаних з визначенням напружень і переміщень в істотно багатошарових основах складної структури при плоскій деформації.

Особистий внесок здобувача.

- Вдосконалено метод функцій податливості точного розв'язання основних граничних задач про плоску деформацію пружних багатошарових основ поверхневими та об'ємними навантаженнями;

- Побудовано сингулярні інтегральні рівняння задач про отвір в шарі багатошарової основи і про тріщину між шарами в основі, запропоновано спосіб розв'язання цих рівнянь за допомогою квадратурних формул найвищого алгебраїчного степеня точності з наперед заданою точністю.

- Запропоновано спосіб розв'язання граничних задач для пружних багатошарових основ з отвором в одному з шарів, який ґрунтується на ідеях методів фіктивних навантажень та функцій податливості;

- Запропоновано спосіб розв'язання задач теорії пружності для багатошарових основ з криволінійними тріщинами в шарах, якій є узагальненням методу розривних переміщень.

Роботи [2 - 4, 10, 13, 15 - 17] написані у співавторстві з науковим керівником, професором А.К. Приварниковим. У цих роботах автору належить викладення пропонованих підходів, аналітичні перетворення, розробка програм чисельної реалізації отриманих розв'язків та чисельні розрахунки, співавтору - обговорення ідей підходів, алгоритмів чисельної реалізації розв'язків та редагування рукописів.

Роботи [5, 14] написані сумісно з І.Г. Величко та А.К. Приварниковим. У цих роботах автор приймав участь в отриманні розрахункових формул для наближеного обчислення невласних інтегралів від осцилюючих функцій із тригонометричними ядрами, участь у створенні комп'ютерних програм та отриманні чисельних результатів.

Робота [7] написана разом з А.К. Приварниковим та В.Г. Підгайною. Автору належить ідея і частина аналітичних результатів.

Апробація результатів дисертації.

Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на: щорічних наукових конференціях Запорізького національного університету у 1995-2009 рр.; п'ятій та шостій Міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука (м. Київ,1996 р., 1997 р.); другій всеукраїнській науковій конференції "Математичні проблеми технічної механіки" (м. Дніпродзержинськ, 2002 р); міжнародній науковій конференції «Актуальные проблемы механики сплошных сред» (м. Донецьк, 2002 р.); VIII міжнародній науковій конференції «Современные проблемы механики сплошной среды» (Росія, м. Ростов-на-Дону, 2002 р.); V Міжнародній конференції «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла» (сел. Мелекіно, м. Донецьк, 2008 р.), XVI міжнародній науковій конференції “ Математика. Компьютер. Образование” (Росія, м. Москва, 2009 р);

Дисертаційна робота доповідалась на: семінарі кафедри теорії пружності і обчислювальної математики Донецького національного університету (м. Донецьк, 2009 р.); семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара (м. Дніпропетровськ, 2010 р.); на міжвузівському семінарі «Актуальні проблеми прикладної математики і механіки» (м. Запоріжжя, Запорізький національний університет, 2009 р., 2010 р.), а також на наукових семінарах кафедри алгебри та геометрії Запорізького національного університету.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 17 наукових працях, з яких 12 є статтями [1-12] (чотири статті у наукових фахових виданнях [1-4]), та п'ять є тезами доповідей на наукових конференціях [13-17].

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (199 джерел на 21 сторінці), 43 рисунків, 2 таблиць. Повний обсяг дисертації становить 165 сторінок.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертаційної роботи, зазначено її зв'язок з науковими планами, темами; сформульовано мету і задачі дослідження; відображено наукову новизну, практичну та теоретичну наукову цінність здобутих результатів та степінь апробації роботи; визначено особистий внесок здобувача у публікаціях, виконаних у співавторстві. Розглянуто структуру дисертації, а також окреслено основні положення та результати, які виносяться на захист.

У першому розділі на основі дослідження літературних джерел, опублікованих як у вітчизняній, так і закордонній літературі, надано опис сучасного стану проблеми за темою дисертації. В цьому розділі міститься огляд літератури по дослідженню напружено-деформованих станів шаруватих тіл та багатошарових основ складної структури з отворами та тріщинами або навантажених об'ємними та поверхневими силами. Аналізом охоплені численні роботи вітчизняних і закордонних авторів. Відзначено ведучу роль робіт І. Г. Альперіна, В.М. Александрова, Л.Т. Бережницького, І.І. Воровича, Д.В. Грилицького, О.М. Гузя, С.О. Калоєрова, А.О. Камінського, Г.С. Кіта, О.С. Космодаміанського, С.Г. Лехницького, В.І. Моссаковського, В.І. Пожуєва, М.І. Мусхелішвілі, В.В. Панасюка, В.З. Партона, Я. С. Підстригача, Г.Я. Попова, А.К. Приварникова, В.С. Проценка, І.О. Прусова, В.Л. Рвачова, Г.М. Савіна, М.П. Саврука, Г.Т. Сулима, Л.А. Фільштинського, Ю.А. Шевлякова, В.П. Шевченка, Д.І. Шермана, D. M. Burmister, S. L. Crouch, Yu. A. Melnikov, I. N. Sneddon і багатьох інших вітчизняних і закордонних вчених, які вплинули на розвиток загальних методів розв'язання основних і мішаних граничних задач теорії пружності для однорідних і неоднорідних тіл.

Аналіз методів досліджень і розв'язання задач, яким охоплено біля 200 робіт, виявив області теорії і практики, які залишалися недостатньо дослідженими. Встановлено, що для розв'язання різних граничних задач для багатошарових основ із суцільними шарами розроблені і використовуються досить ефективні методи визначення напружень та переміщень. Для суттєво багатошарових пружних основ, послаблених отворами або тріщинами в шарах, через серйозні математичні та обчислювальні труднощі кількість досліджень невелика. Окремі результати для тіл із тріщинами й отворами, що зустрічаються у літературі, відносяться до площин, півплощин, шарів, двошарових тіл і пластинок. Аналогічні задачі для пружних суттєво багатошарових основ при наявності внутрішніх об'ємних навантажень, отворів і тріщин в шарах практично не розглядалися.

Ґрунтуючись на проведеному аналізі літератури за темою досліджень, у дисертаційній роботі відзначається актуальність розробки ефективних чисельно-аналітичних методів дослідження напружено-деформованого стану багатошарових основ складної структури.

У другому розділі дисертації розглянута плоска деформація багатошарової основи під дією поверхневих і об'ємних навантажень.

На верхній межі основи відомі нормальні і дотичні напруження. До внутрішніх точок шарів основи прикладені об'ємні навантаження. Потрібно визначити напруження і переміщення в довільній точці основі. Отриманий у вигляді невласних інтегралів Фур'є точний розв'язок, будується за методом функцій податливості. Запропоновано спосіб виділення поволі спадних доданків у формулах для трансформант напружень і похідних від переміщень. Інтеграли Фур'є від цих доданків обчислені точно.

Під багатошаровою основою розуміємо пакет необмежених у плані шарів, постійної товщини, що лежить на абсолютно жорсткому або пружному півпросторі. Кожен шар основи є однорідним, ізотропним. Усі шари в основі зчеплені. Нумерацію шарів здійснюємо зверху униз, починаючи з одиниці. Півпростір має номер n+1. Величини, що відносяться до k-го шару основи, будемо, позначати нижнім індексом k. Кожен шар основи віднесемо до місцевої декартової системи координат як показано

Для дослідження плоскої деформації k-го шару основи його напружено-деформований стан представлено у вигляді суми двох станів: «основного» (стан площини з пружними характеристиками цього шару і навантаженої так само як і шар), і «додаткового» стану (стан суцільного шару без об'ємних навантажень). Величини, що характеризують напружено-деформований стан площини, позначимо верхнім індексом 0, а величини «додаткового» - індексом 1. Тоді

(1)

Задачі розв'язано за допомогою інтегрального перетворення Фур'є. Напружено-деформований стан кожного шару основи визначається чотирма функціями бk(о), вk(о), гk(о), дk(о):

Тут використано позначення (о)- трансформанта Фур'є функції f(x), -?<x<+?.

Побудовано рекурентні співвідношення між цими функціями для сусідніх шарів. Визначення будь-якої четвірки функцій визначає розв'язок всієї задачі, тобто дозволяє визначити напруження та переміщення в довільній точці основи. Трансформанти напружень і переміщень у шарах є комбінаціями функцій бk(о), вk(о), гk(о), дk(о). Четвірка допоміжних функцій, що забезпечує розв'язок задачі, визначається із граничних умов на верхній та нижній межах основи.

Встановлено, що функції бk(о), вk(о), гk(о), дk(о) не є незалежними. Із граничних умов на нижній межі основи встановлені залежності між цими функціями

вk(о) =-Ak(p)бk(о)+Bk(p)дk(о)+Lk(о),

гk(о) = Bk(p)бk(о) - Bфk(p) дk(о)+Mk(о), k=1,2,…,n. (3)

Тут функції Ak(p), Bk(p), Bфk(p), Lk(о), Mk(о), k=1,2,…,n, є функціями податливості багатошарової основи. Функції Ak(p), Bk(p), Bфk(p) не залежать від навантаження багатошарової основи, а Lk(о), Mk(о), повністю визначаються об'ємним навантаженням шарів з номерами k, k+1,…,n. Вони не залежать від допоміжних функцій бk(о), вk(о), гk(о), дk(о) і їх можна визначити заздалегідь для заданої основи. Знання функцій податливості дозволяє вдвічі скоротити число рекурентних співвідношень між допоміжними функціями, та отримати аналітичні вирази для усіх шуканих величин.

Зроблено аналіз аналітичних виразів для шуканих величин, які представлені невласними інтегралами Фур'є з осцилюючими тригонометричними ядрами. Доведено, що повільно спадні при p>? доданки в виразах для трансформант напружень і переміщень з'являються лише для шарів, в яких діють об'ємні навантаження, та сусідніх з ними. Від повільно спадних доданків в цих виразах інтеграли Фур'є обчислені точно, а від швидко спадних доданків інтеграли обчислено з потрібною точністю чисельно. Для їх обчислення розроблено спеціальний адаптивний алгоритм.

За допомогою розроблених автором програм отримані чисельні розв'язки конкретних граничних задач про дію зосереджених сил на внутрішні точки багатошарової основи (сила нормальна до межі основи, сила паралельна межі основи). Чисельні результати відповідають фізичному сенсу, граничним умовам, умовам зчеплення шарів. Проведено аналіз випадків, коли жорсткість шару, в якому прикладена сила, більше або менше ніж в сусідніх.

Оцінка достовірності розв'язків задач проводилась за допомогою їх порівняння з розв'язками більш простих задач плоскої теорії пружності, зокрема із аналітичним розв'язком задачі про дію зосередженої сили на внутрішню точку пружної ізотропної півплощини.

Наведені графіки напружень для пружної ізотропної півплощини, що моделювалась багатошаровою основою із зчепленими шарами. Розглядалась десятишарова основа, товщини шарів якої однакові h1=h2=…=h9=0,1м h10=10м. Однакові і фізичні характеристики шарів , E=105МПа (мідь). В точці півплощини з координатами (0;0.15м) діє зосереджена сила F(X,Y): X=10, Y=10. Денна поверхня основи вільна від навантажень. Переміщення точок нижньої межі основи нульові.

Проводилось також порівняння із розв'язком задачі Фламана, яка розглядалась як граничний випадок дії об'ємної сили, нормальної до поверхні основи. Співпадіння результатів підтвердило достовірність отриманих результатів, розробленої теорії та розрахункових формул.

У третьому розділі запропоновано спосіб обчислення напружень та переміщень у багатошаровій пружній основі, яка в одному з шарів містить отвір, обмежений гладким контуром, що не перетинає меж цього шару.

В точках контуру отвору і на верхній межі основи відомі нормальні і дотичні напруження. На нижній межі основи виконуються умови зчеплення з півплощиною (абсолютно жорсткою або пружною). На нескінченності напруження дорівнюють нулю. Необхідно визначити напруження і переміщення у будь-якій точці основи.

Розв'язання поставленої задачі для багатошарової основи будується на зведенні вихідної задачі до задачі про дію розподіленого по контуру об'ємного навантаження на внутрішній шар основи із суцільними шарами. Задача про дію розподіленого навантаження на внутрішній шар основи зведена до двох задач: задачі про визначення напружено-деформованого стану суцільної багатошарової основи, вільної від об'ємних навантажень, і задачі про визначення напружено-деформованого стану пружної площини, що має розподілене по контуру об'ємне навантаження.

Розв'язок задачі про визначення напружено-деформованого стану пружної ізотропної площини, що має розподілене по контуру L об'ємне навантаження з відомою щільністю розподілу, будується на основі розв'язку задачі Кельвіна про дію зосередженої сили на пружну площину. Він отриманий у криволінійних інтегралах по контуру L (контур L задається натуральним параметричним рівнянням x=о(s), z=-з(s) 0?s?l, де s - дугова координата точок контуру). Вважається, що о'(s), з'(s) є неперервними функціями які задовольняють умовам Гельдера в області s є [0,l] з показником м > 0. Вважається також, що щільність навантаження на контурі =(fx(s), fz(s)) є неперервною функцією.

За допомогою формул Колосова-Мусхелішвілі отримано формули для шуканих величин у вигляді контурних інтегралів. Визначені граничні значення напружень на контурі.

Знайдені вирази для напружень в m -му шарі основи:

. (4)

Із граничних умов на контурі отвору отримана система сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші відносно функцій fx(s), fz(s). Запропоновано спосіб розв'язання цієї системи методом скінченних сум на основі квадратурних формул найвищого алгебраїчного степеня точності.

Таким чином, після заміни інтегралів квадратурними сумами приходимо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих значень функцій fx(s), fz(s) у вузлових точках (x0(si), z0(si)), i=1,…, М контуру. Коефіцієнти системи є невласними інтегралами одномірного інтегрального перетворення Фур'є. Розв'язок цієї системи визначає розв'язок вихідної задачі.

Одним з методів розв'язання граничних задач про отвір в нескінченному тілі (площині) є метод фіктивних навантажень (метод граничних елементів), розроблений в працях С. Крауча. Цей метод базується на аналітичному розв'язку задачі про дію постійного об'ємного навантаження, прикладеного до прямолінійного відрізку пружної площини. В роботі метод поширено на багатошарові основи: задача про отвір в основі зводиться до задачі для пружної площини, в якій уздовж лінії, що має форму контуру отвору, діє розподілене об'ємне навантаження. Контур, вздовж якого діє навантаження, розбивається на граничних елементів, кожному з яких співставляються «фіктивні» навантаження Ps і Pn, які вважаються постійними для кожного граничного елемента. Через ці фіктивні навантаження визначають напруження та переміщення у шарі багатошарової основи. Для кожного i - го граничного елемента контуру з умов задачі відомі значення напружень або переміщень . Це дає змогу побудувати систему 2N лінійних алгебраїчних рівнянь з 2N невідомими фіктивними навантаженнями :

Коефіцієнти системи (5) є невласними інтегралами одновимірного інтегрального перетворення Фур'є.

За допомогою розроблених комп'ютерних програм автором отримані розв'язки конкретних граничних задач про дію рівномірно розподіленого по контуру кругового отвору тиску на внутрішній шар тришарової пружної основи. Розглядалась основа яка складається з двох шарів товщини h1=h2=h=0,1м зчеплених із пружною півплощиною. Коефіцієнти Пуассона усіх шарів однакові н1=н2=н3, модулі Юнга верхнього шару та півплощини Е1=Е3=Е. В другому шарі є круговий отвір радіуса r=0,01м центр якого знаходиться на глибині 1,5h від поверхні основи. На контур отвору діє тиск p. Проведено аналіз випадків, коли жорсткість шару, в якому є отвір, більша або менша ніж сусідніх. Чисельні результати отримані для двох випадків 1) E2=10E ; 2) E2=0,1E. В обох випадках параметрам задачі надавались такі значення z=0,15 м, p=8000/р (H/м):

Із фізичних міркувань напруження на нижніх межах першого та другого шарів поблизу осі z повинні бути стискаючими. На наведених графіках напруження приймають від'ємні значення в достатньо великому околі x=0, тобто є стискаючими поблизу осі z.

Що стосується дотичних напружень , то із умов симетрії навантаження основи їх значення на нижніх межах шарів при x=0 повинні дорівнювати нулю. Саме це і демонструють графіки. Під дією прикладеного навантаження точки межі другого шару в околі осі симетрії, але які не лежать на осі, вочевидь повинні віддалятись від цієї осі. А це означає, що в указаному околі значення дотичних напружень додатні. Зрозуміло, що при |x|>? напруження прямують до нуля. Ці висновки цілком підтверджуються графіками

Зауважимо, що отримані результати відповідають фізичному сенсу, граничним умовам, умовам сумісності деформації шарів.

У четвертому розділі запропоновано спосіб визначення напружень та переміщень у багатошаровій основі, яка містить прямолінійну тріщину (зазор) між сусідніми шарами , а також спосіб обчислення напружень та переміщень у багатошаровій пружній основі, яка містить в одному із внутрішніх шарів криволінійну незамкнену тріщину з гладким контуром (тріщина не виходить на межі шару).

Вважається, що у задачі про прямолінійну тріщину між двома сусідніми шарами багатошарової основи, тріщина знаходиться між шарами з номерами m і m+1 2?m?n-1, та займає ділянку xmє[-l,l]. На берегах тріщини відомі нормальні та дотичні напруження

, (6)

де q(x) - парна функція (q(x) <0), а g(x) - непарна.

На межі де є тріщина (при k=m, x є (-?, +?)) виконуються умови

,

,

. (7)

Тут ц(x), ш(x) - невідомі функції (за фізичним змістом ц(x) - парна функція,ш(x) - непарна), які необхідно побудувати таким чином, щоб відповідні їм напруження задовольняли умовам (6), (7). На спільних межах шарів основи при k?m, x є (-?, +?), виконуються умови зчеплення.

За схемою, розробленою в розділі 2, із граничних умов на берегах тріщини отримана система інтегральних рівнянь. Аналіз характеристичних частин інтегральних рівнянь дозволив встановити, що шукані функції мають структуру

,

і запропонувати ефективну схему наближеного розв'язання, яка ґрунтується на квадратурних формулах гаусового типу

,

, (8)

де , ,

m=1,2,…,М-1, відповідно корені многочленів Чебишова Tм(x) і Uм-1(x) першого та другого роду.

Розв'язання задачі про криволінійну тріщину в багатошаровій основі ( один з шарів містить незамкнену тріщин, довільної форми, яка не виходить на межі шару) ґрунтується на поєднанні методів функцій податливості і розривних переміщень. Задача зведена до знаходження таких значень елементарних розривів переміщень на граничних елементах тріщини, при яких виконуються граничні умови задачі.

З граничних умов на берегах тріщини отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих значень розривних переміщень на граничних елементах (коефіцієнти системи є інтегралами Фур'є).

Задача про визначення напружено-деформованого стану багатошарової основи, яка має тріщину у шарі розв'язується за таким алгоритмом: а) за умовами задачі контур тріщини розбивається на елементарні частини, для кожної з яких задаються геометричні характеристики (координати центру елемента та напрямні косинуси вектору нормалі) та фізичні умови (напруження або переміщення); б) визначаються для багатошарової основи функції податливості ak(p), bk(p), bфk(p), k=1,…,n; в) згідно з заданими граничними умовами на берегах тріщини обчислюються коефіцієнти системи лінійних алгебраїчних рівнянь, розв'язком якої є значення компонент i=1,…,N, елементарних розривів переміщень; г) визначаються трансформанти Фур'є шуканих величин напружень та переміщень для розрахункового шару, потім за допомогою зворотного перетворення Фур'є і самі шукані величини. Якщо в розрахунковому шарі є тріщина, то до отриманих значень шуканих величин треба додати величини, що відповідають допоміжній задачі про тріщину у площині.

За допомогою розроблених комп'ютерних програм автором отримані розв'язки конкретних граничних задач про тріщину в основі. Отримані результати відповідають фізичному сенсу, граничним умовам, умовам зчеплення шарів.

Наведемо результати чисельних розрахунків для тришарової основи, яка складається з двох шарів товщини 0,1 м, зчеплених із пружною півплощиною. Коефіцієнти Пуассона шарів та півплощини однакові: н1=н2=н3=0,33, модулі Юнга верхнього шару та півплощини однакові Е1=Е3=Е. Розглядаються два випадки: 1) E2=10E ; 2) E2=0,1E

В середині другого шару на глибині z=0,15 м від денної поверхні основи міститься прямолінійна тріщина нормального розкриття, довжини l=0,02 м, паралельна межам шару. На береги тріщини діє рівномірно розподілений тиск інтенсивністю . Денна поверхня вільна від навантажень. На нескінченності напруження дорівнюють нулю.

Напруження та переміщення в основі обчислювались за двома алгоритмами, розробленими в дисертації. На рисунках 9, 10 зображені графіки напружень уzz, уxz на нижніх межах першого та другого шарів для випадків 1) та 2), відповідно.

ис. 9 Графіки напружень уzz на нижніх межах першого та другого шарів для випадків 1) E2=10E ; 2) E2=0,1E.

Як видно із графіків напруження уzz приймають від'ємні значення в околі x=0, тобто є стискаючими в цьому околі. На віддаленні від кінців тріщини у напрямку осі x на відстані, більшої за довжину тріщини, напруження уzz стають розтягуючими, що узгоджується із очікуваною фізичною картиною.

Із умов симетрії навантаження основи випливає, що на нижніх межах шарів дотичні напруження уxz при x=0 повинні дорівнювати нулю. Саме це і демонструють графіки. При |x|>? напруження уxz та уzz прямують до нуля, що узгоджується з умовами на нескінченності. Напруження уxz змінюють знак на віддаленні від тріщини у напрямку осі x.

Отримані результати відповідають фізичному сенсу, граничним умовам, умовам сумісності деформації шарів і підтверджують достовірність теоретичних міркувань та висновків, а також розрахункових формул в дисертації.

Висновки

Проведені у роботі дослідження дозволили вдосконалити метод функцій податливості та поширити його на клас нових задач для багатошарових основ з отворами та тріщинами в шарах.

Основні наукові результати роботи:

1. Запропоновано спосіб обчислення напружень та похідних від переміщень в багатошаровій пружній основі, на внутрішні точки якої діє система об'ємних сил, зосереджених або розподілених за заданим законом;

2. Запропоновано адаптивний алгоритм обчислення одновимірних інтегралів Фур'є;

3. Запропоновано спосіб обчислення напружень та переміщень у багатошаровій пружній основі, яка в одному з шарів містить отвір, обмежений гладким контуром, що не перетинає меж цього шару. Отримано формули для шуканих величин у вигляді контурних інтегралів типу Коші. Отримана система сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші (s-t)-1 відносно функцій fx(s), fz(s) і запропоновано спосіб її наближеного розв'язання за допомогою побудованих в роботі квадратурних формул найвищого алгебраїчного степеня точності;

4. За допомогою вдосконаленого методу функцій податливості і методу фіктивних навантажень побудовано алгоритм розв'язання задачі про визначення напружень та переміщень у багатошаровій пружній основі, яка в одному з шарів містить отвір, обмежений гладким контуром, що не перетинає меж цього шару;

5. Запропоновано спосіб визначення напружено-деформованого стану багатошарової пружної основи зі зчепленими шарами, яка між двома шарами має прямолінійну тріщину (зазор). Із граничних умов на берегах тріщини отримана система сингулярних інтегральних рівнянь. Спираючись на дослідження інтегральних рівнянь цієї системи, запропоновано спосіб її наближеного розв'язання методом скінченних сум.

6. За допомогою вдосконаленого методу функцій податливості і методу розривних переміщень побудовано алгоритм розв'язання задачі про визначення напружень та переміщень в багатошаровій пружній основі, яка в одному з шарів має криволінійну тріщину нормального розкриття, що не перетинає меж цього шару;

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Зиновеев И. В. Напряженно-деформированное состояние многослойного основания под действием поверхностных и объемных нагрузок / И. В. Зиновеев // Вопросы механики деформирования и разрушения твердых тел. - Днепропетровск: ДДУ. - 1999. - С.66-73.

2. Зіновєєв І. В. Плоска деформація пружної площини з отвором / І. В. Зіновєєв, А. К. Приварников // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. - Дніпропетровськ: Навчальна книга, 1999. - Т.6. - С. 112-119.

3. Зиновеев И. В. Определение напряженно-деформированного состояния многослойного основания с отверстием в условиях плоской деформации / И. В. Зиновеев, А. К. Приварников // Теоретическая и прикладная механика.- Харьков - 2002.- Вып. 36 - С.147-154.

4. Зиновеев И. В. Способ определения напряженно-деформированного состояния многослойных оснований с дефектами / И. В. Зиновеев, А. К. Приварников // Теоретическая и прикладная механика. - 2008. - Вып. 44. - С. 16-28.

5. Величко И. Г. Способ приближенного вычисления интегралов Фурье и Ханкеля / И. Г. Величко., И. В. Зиновеев, А. К. Приварников // Придніпровський науковий вісник (техн. науки та гірнича справа).- 1997.- №17(28).- С.1-5.

6. Зіновєєв І. В. Визначення напружено-деформівного стану багатошарової основи із щілиною між шарами / І. В. Зіновєєв // Вісник запорізького державного університету. - 1999.- №1.- С.53-59.

7. Приварников А. К. Напружено-деформівний стан шару з отвором / А. К. Приварников, І. В. Зіновєєв, В. Г. Підгайна // Вісник запорізького державного університету. - 2000.- №1. - С.124-128

8. Зіновєєв І.В. Розв'язання задачі про дію об'ємного зосередженого навантаження на пружну півплощину / І. В. Зіновєєв // Вісник запорізького державного університету. - 2000.-№2.-С.65-68.

9. Зіновєєв І. В. Плоска деформація багатошарових основ з тріщинами в шарах / І. В. Зіновєєв // Вісник запорізького державного університету. - 2001.- №2. - С.54-60.

10. Зиновеев И. В. Определение НДС многослойного основания с трещиной / И. В. Зиновеев, А. К. Приварников // Современные проблемы механики сплошной среды: труды VIII междунар. конф. - Ростов-на-Дону. - 2002. - Т.2.- С.93-97.

11. Зіновєєв І. В. Плоска деформація багатошарової основи з отвором в шарі / І. В. Зіновєєв // Задачи механики многослойных сред и их численная реализация. - Запорожье. - 2002. - С.44-54.

12. Зіновєєв І. В. Матричний формалізм методу функцій податливості для багатошарових основ складної структури / І. В. Зіновєєв // Вісник запорізького національного університету. - 2008.-№1.-С.75-79.

13. Зиновеев И. В. Точное решение системы дифференциальных уравнений плоской теории упругости для многослойного основания сложной структуры / И. В. Зиновеев, А. К. Приварников // Тези доповідей П'ятої міжнар. конф. ім. академіка М. Кравчука.- К., 1996.- С.157.

14. Величко И. Г. Адаптивный алгоритм вычисления интегралов Фурье, Ханкеля и Вебера на ЭВМ / И. Г. Величко., И. В. Зиновеев, А. К. Приварников // Тези доповідей П'ятої міжнар. наук. конф. ім. академіка М.Кравчука". - К., 1996.-С.63.

15. Зиновеев И. В. Решение плоской задачи теории упругости о щели в многослойном основании со сцепленными слоями / И. В. Зиновеев, А. К. Приварников // Тези доповідей Шостої міжнар. конф. ім. академіка М. Кравчука. - К., 1997. - С.179.

16. Зіновєєв І.В. Плоска деформація багатошарової основи з отвором в шарі / І. В. Зіновєєв, А. К. Приварников // Математичні проблеми технічної механіки: тези доп. Другої всеукр. наук. конф. ".- Дніпродзержинськ.- 2002.- С.13.

17. Зиновеев И. В. Способ определения напряженно-деформированного состояния слоистой полуплоскости с дефектом в слое / И. В. Зиновеев, А. К. Приварников // Математика. Компьютер. Образование:

18. XVI междунар. конф. - М., 2009 г. Режим доступу : www.mce.su/archive/abstracts/mce16/sect283/doc30763/

Анотація

Зіновєєв І.В. Плоска деформація пружних багатошарових основ складної структури. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Державний вищий навчальний заклад «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України, Запоріжжя, 2010.

Розроблені способи розв'язання задач плоскої теорії пружності для багатошарових основ (кількість шарів скінченна). Шари можуть бути навантажені об'ємними силами, мати отвори та тріщини. Запропоновані способи є узагальненнями методів функцій податливості, фіктивних навантажень, розривних переміщень.

У задачах про отвори та тріщини отримані та досліджені сингулярні інтегральні рівняння. Запропоновані способи їх чисельного розв'язання.

Розв'язано ряд нових задач для багатошарових основ складної структури. Розв'язки отримані в аналітичному вигляді (в інтегралах Фур'є). Досліджено вплив дефектів в шарах на напружено-деформований стан основи. Виявлено ряд механічних ефектів.

Ключові слова: багатошарова пружна основа, функції податливості, інтегральне перетворення Фур'є, метод функцій податливості, отвори у шарах основи, комплексні потенціали Колосова-Мусхелішвілі, інтегральні рівняння, гаусові квадратурні формули, метод фіктивних навантажень, тріщина, метод розривних переміщень.

Аннотация

Зиновеев И.В. Плоская деформация упругих многослойных оснований сложной структуры. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Государственное высшее учебное заведение «Запорожский национальный университет» Министерства образования и науки Украины, Запорожье, 2010.

Разработаны методы решения задач плоской теории упругости для многослойных оснований (число слоев конечно). Слои могут быть нагружены объемными силами, иметь отверстия и трещины. Предложенные способы являются обобщениями методов функций податливости, фиктивных нагрузок, разрывных перемещений.

В задачах об отверстиях и трещинах получены и исследованы сингулярные интегральные уравнения. Предложены способы их численного решения.

Решен ряд новых задач для многослойных оснований сложной структуры. Решения получены в аналитическом виде (в интегралах Фурье). Исследовано влияние дефектов в слоях на напряженно-деформированное состояние основания. Обнаружен ряд механических эффектов.

Ключевые слова: многослойное упругое основание, функции податливости, интегральное преобразование Фурье, метод функций податливости, отверстия в слоях основания, комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили, интегральные уравнения, квадратурные формулы, метод фиктивных нагрузок, трещина, метод разрывных перемещений.

Annotation

Zinoveev I.V. The planar deformation of the elastic multilayer foundation of the complex structure. - The manuscript.

The thesis for the Сandidate of physical and mathematical sciences degree on specialty 01.02.04 - mechanics of a deformable solid body. - State Higher Educational Institution “Zaporizhzhya National University” of Ministry of Education and Science of Ukraine, Zaporizhzhya, 2010.

The methods of the solution of the problems of the planar elasticity theory for the multilayer foundations of the complex structure have been developed. Some internal layers of such foundation can be loaded by the body forces or can have the holes or the cracks. The developed methods are based on the compliance functions technique, the fictitious load method and the discontinuous displacements method. The solution of the initial problems for the multilayer foundation with inhomogeneity in one of the internal layers has been reduced to the solution of two problems: problem, connected with the determination of the stress-strain state of plane, which has the same inhomogeneity as the corresponding layer of the foundation, and problem, connected with the determination of the stress-strain state of the multilayer foundation with the continuous layers, the boundary conditions of which are corrected, taking into the consideration the solution of the first auxiliary problem. The superposition of solutions of both problems makes the boundary conditions of the initial problem completed. The solution of the problem for the multilayer foundation with any finite number of layers has been obtained in an analytical form with the help of one-dimensional Fourier integral transformation. The research of the integral equations, obtained for the problem, connected with the hole and crack in one of the layers has been performed. One has separated the singularity of these equations.

The proposed technique of the numerical solution of these equations drives to the system of linear algebraic equations, with unknown values of the fictitious loads (the problem, connected with the hole), or the values of the discontinuous displacements (the problem, connected with the crack) in the discrete system of the points of the contour of the hole or the crack. The coefficients in this system are Fourier integrals. To solve the obtained system, it is necessary to satisfy the boundary conditions at the contour of the hole or the crack. The obtained values are substituted into the analytical expressions for the Fourier transforms and then these expressions are subjected to the inverse Fourier transformation.

The new problems for the multilayer foundations of the complex structure have been solved. The effect of the complications in the layers on the value and the distribution of the stresses in multilayer foundation has been researched. The new mechanical relationships have been obtained.

Keywords: elastic multilayer foundation, compliance functions, Fourier integral transformation, compliance function technique, hole in the foundation, Kolosov-Mushelishvili complex potential, integral equations, quadrature formulae, fictitious load method, crack, discontinuous displacements method.

Размещено на Allbest.ru

...