Періодичні задачі теорії пружності для багатошарових основ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Державний вищий навчальний заклад

Міністерства освіти і науки України

«Запорізький національний університет»

УДК 539.3

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Періодичні задачі теорії пружності для багатошарових основ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Столярчук Ірина Аркадіївна

Запоріжжя - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Державному вищому навчальному закладі «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор, Приварников Аркадій Костянтинович, Державний вищий навчальний заклад «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри алгебри та геометрії

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, Пожуєв Володимир Іванович, «Запорізька державна інженерна академія» Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем;

доктор фізико-математичних наук, професор, Кузьменко Василь Іванович, Державний вищий навчальний заклад Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки України, професор кафедри математичного моделювання

Захист відбудеться 11.06.2010 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 17.051.06 при Державному вищому навчальному закладі «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України за адресою: 69600, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Державного вищого навчального закладу «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України за адресою: 69600, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66.

Автореферат розісланий 10.05. 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ю. О. Сисоєв

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Модель багатошарової основи відображає властивості багатьох достатньо поширених реальних об'єктів (дорожні та аеродромні покриття, шаруваті підлоги хімічних і біологічних підприємств, багатошарові захисні покриття, ґрунтові основи). Перевага багатошарової моделі реальної основи полягає в тому, що вона може відобразити різкі зміни механічних властивостей основи після переходу від одного шару до іншого. Багатошаровими основами можна також апроксимувати основи, властивості яких неперервно змінюються із глибиною за будь-яким законом. Ці особливості багатошарових основ пояснюють той факт, що кількість присвячених їм публікацій постійно збільшується.

Найбільш ефективним серед точних методів розв'язання граничних задач теорії пружності для багатошарових основ виявився метод функцій податливості. Цим методом розв'язана достатньо велика кількість граничних задач теорії пружності для багатошарових основ. Але для періодичного навантаження багатошарової основи методом функцій податливості безпосередньо користуватися не можна, оскільки не виконуються умови його застосування (шукані величини не прагнуть до нуля на нескінченності). Серед задач, розв'язаних різними методами, найменш дослідженим є спектр задач про дію періодичних систем навантажень на багатошарову основу. У зв'язку з цим розробка ефективних підходів до розв'язання періодичних граничних задач теорії пружності для багатошарових основ із будь-якою скінченною кількістю шарів, чому присвячене це дисертаційне дослідження, є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційні дослідження виконані в рамках фундаментально-дослідної роботи Міністерства освіти і науки України «Розробка точних аналітичних методів розв'язку граничних задач теорії пружності для багатошарових середовищ» (№ держреєстрації 0103У000718). Частина результатів роботи увійшла до щорічної звітності по цій науково-дослідній роботі.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є узагальнення методу функцій податливості розв'язання граничних задач для істотно багатошарових основ на новий клас періодичних граничних задач плоскої та просторової теорії пружності; розробка ефективних наближених способів розв'язання періодичних контактних задач плоскої теорії пружності для таких основ; розробка підходу до розв'язання просторової контактної задачі про дію штампа-смуги на багатошарову основу.

З цього випливають такі завдання дослідження:

- доопрацювати відомий метод функцій податливості розв'язання граничних задач для багатошарових основ та розповсюдити його на клас періодичних граничних задач плоскої і просторової теорії пружності для багатошарових основ;

- запропонувати способи ефективної чисельної реалізації одержаних точних аналітичних розв'язків періодичних граничних задач;

- запропонувати спосіб наближеного розв'язання плоских періодичних контактних задач, коли у межах одного періоду на основу діє скінченна кількість штампів з гладкими підошвами, причому ділянки контакту деяких штампів з основою апріорі невідомі;

- визначити умови, при яких виникає ефект відокремлення поверхні основи від періодичної системи однакових штампів із плоскими підошвами, які вдавлюються в основу. Розробити спосіб визначення ділянок контакту окремого штампа з основою;

- побудувати інтегральне рівняння просторової контактної задачі про дію штампа-смуги на багатошарову основу.

Об'єкт дослідження - напружено-деформований стан багатошарової основи, на верхню межу якої діє періодичне навантаження.

Предмет дослідження - розробка нових ефективних підходів для визначення напружень і переміщень у шарах пружної багатошарової основи, на верхню межу якої діє періодичне навантаження.

Методи дослідження:

- метод інтегральних перетворень Фур'є (для розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних);

- принцип незалежності дії сил (для розв'язання плоских періодичних та просторових двоперіодичних граничних задач для багатошарових основ);

- методи підсумовування нетабличних рядів за допомогою теорії функцій комплексної змінної та формули Пуассона;

- метод функцій податливості, який було поширено на клас періодичних граничних задач для багатошарових основ;

- методи наближеного розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь за допомогою квадратурних формул найвищого алгебраїчного степеня точності;

- метод парних інтегральних рівнянь (для побудови інтегрального рівняння Фредгольма просторової контактної задачі для штампа-смуги).

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

- доопрацьовано відомий метод функцій податливості для точного розв'язання граничних задач для багатошарових основ і розповсюджено його на новий клас періодичних граничних задач плоскої теорії пружності та на клас граничних задач просторової теорії пружності періодичних уздовж одного та двох ортогональних напрямків. Досліджені поведінка та властивості шуканих величин в усіх шарах основи та розроблені ефективні способи одержання чисельних результатів;

- вперше отримані точні розв'язки конкретних нових періодичних граничних задач плоскої та просторової теорії пружності для багатошарових основ;

- просторова контактна задача про дію на пружну багатошарову основу штампа у формі смуги уперше зведена до розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду. Інтегральне рівняння приведено до вигляду, зручного для чисельної реалізації;

- запропоновано новий спосіб наближеного розв'язання періодичних контактних задач плоскої теорії пружності для багатошарових основ;

- визначено умови, при яких можливе відокремлення поверхні багатошарової основи від плоских підошов періодичної системи штампів, які вдавлюються в основу. Розроблено новий спосіб послідовних наближень для визначення ділянок контакту окремого штампа з основою;

- виявлено нові механічні ефекти та встановлено нові фізико-механічні закономірності зміни напружено-деформованого стану багатошарових основ при періодичному навантаженні у залежності від пружних характеристик, товщин шарів та періодів навантаження.

Обґрунтованість та достовірність наукових положень і висновків дисертаційної роботи забезпечується збігом чисельних результатів розв'язків конкретних задач, отриманих різними методами; збігом чисельних результатів в окремих випадках із відомими результатами попередніх дослідників (М.І. Мусхелішвілі, В.Д. Ламзюк); узгодженістю всіх одержаних чисельних результатів з очікуваним фізичним змістом задач; коректністю математичних постановок розглянутих задач; строгістю використання математичних методів; перевіркою для конкретних періодичних граничних задач виконання граничних умов і умов сумісності деформації шарів основи за допомогою програмних математичних пакетів.

Практичне значення отриманих результатів. Практична цінність та наукове значення результатів роботи полягає в можливості застосування запропонованого підходу до розв'язання періодичних граничних задач у практичних розрахунках дорожніх одягів на міцність і жорсткість. Отримані точні розв'язки періодичних задач теорії пружності для багатошарових основ можуть бути використані як еталонні для визначення рамок вірогідності наближених методів розв'язання задач теорії пружності для багатошарових середовищ. Розроблений підхід до розв'язання періодичних граничних задач теорії пружності може бути також застосовано для розв'язання споріднених граничних задач математичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Основні результати отримані автором самостійно. У роботах [2 - 5, 7, 11, 15] співавтору - науковому керівнику - належить участь у постановці задач, виборі методів дослідження та аналізі результатів. У роботі [17] співавтору - студентці ЗНУ М.І. Зіновєєвій - належить участь у чисельних розрахунках. Роботи [1, 6, 8, 9, 10, 12 - 14, 16] виконані автором самостійно. Особисто автору належать такі включені у дисертацію наукові результати:

- узагальнення методу функцій податливості точного розв'язання граничних задач для багатошарових основ на новий клас періодичних граничних задач плоскої та просторової теорії пружності;

- дослідження властивостей нових функцій податливості та алгоритм їх побудови для випадку просторової періодичної деформації основи;

- спосіб зведення просторової контактної задачі про дію на багатошарову основу штампа-смуги до розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду;

- наближений спосіб розв'язання періодичних плоских контактних задач теорії пружності для багатошарових основ;

- здійснення чисельних досліджень та аналіз фізико-механічних закономірностей зміни напружено-деформованого стану багатошарових основ у залежності від пружних характеристик, товщин шарів та періодів навантаження.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах кафедри алгебри та геометрії Запорізького національного університету у 1998, 2004-2010 рр.; на наукових конференціях Запорізького національного університету у 1993, 1996, 1998 рр.; на V міжнародній науково-практичній конференції «Динаміка наукових досліджень - 2006» (м. Дніпропетровськ, 2006 р.); на міжнародній науково-практичній конференції «Наука та практика - 2007» (м. Полтава, 2007 р.); на міжнародній науково-технічній конференції пам'яті академіка НАН України В.І. Моссаковського «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища та міцності конструкцій» (м. Дніпропетровськ, 2007 р.); на V міжнародній науковій конференції «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла» (ДонНУ, п. Мєлєкіно, 2008 р.); на XXXVI Міжнародній науково-технічній конференції молоді ВАТ «Запоріжсталь» (м. Запоріжжя, 2009 р.); на міжнародній науково-практичній конференції «Розвиток національної промисловості у сучасному контексті: пріоритеті, проблеми, регулювання» (м. Донецьк, 2009 р.); на міжнародній науково-практичній конференції «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития `2009» (м. Одеса, 2009 р.).

Дисертація в цілому розглядалася на науковому семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара під керівництвом д.ф.-м.н., професора В.В. Лободи; на науковому міжвузівському семінарі «Актуальні проблеми математики та механіки» під керівництвом д.т.н., професора В.З. Грищака в Запорізькому національному університеті; на науковому семінарі кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем Запорізької державної інженерної академії під керівництвом д.ф.-м.н., професора В.І. Пожуєва.

Публікації. Основні наукові результаті дисертації опубліковані у 17 наукових роботах. Серед них 13 статей [1 - 13], три з яких - у наукових виданнях [1, 2, 3], що визнані ВАК України фаховими, та 4 тези доповідей конференцій [14 - 17].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел (299 найменувань, які розташовані на 31 сторінці). Загальний обсяг дисертації становить 188 сторінок. Дисертація містить 7 таблиць та 27 рисунків (із них повні сторінки займають 8 рисунків).

Основний зміст роботи

У вступі дисертаційної роботи обґрунтовано актуальність теми роботи; сформульовано мету і завдання дослідження, визначено об'єкт та методи дослідження; обґрунтовано наукову новизну, теоретичне та практичне значення отриманих результатів; вказано на зв'язок дисертації з науковими програмами та темами; наведено відомості про публікації та особистий внесок у них автора і відомості про апробацію результатів дисертації.

Перший розділ дисертації присвячено огляду методів визначення напружено-деформованого стану пружних шаруватих середовищ, зокрема методів розв'язання періодичних граничних задач лінійної теорії пружності для багатошарових основ. Серед точних методів визначення напружено-деформованого стану пружних багатошарових основ потрібно відзначити метод рекурентних співвідношень (І.Г. Альперін, Р.М. Раппопорт, Ю.А. Шевляков, А.К. Приварников, Ю.О. Наумов, В.І. Петришин та інші); метод інтегральних перетворень (Г.С. Шапіро, D.M. Burmister, Л.Г. Булавко, Б.І. Коган, М.Б. Корсунський, В.С. Нікішин, H.Bufler, M. Fremond та інші); метод функцій податливості (А.К. Приварников, В.Д. Ламзюк, В.М. Ільман, П.Я. Маліц, І.Є. Вігдерович, Б.С. Радовський, Ю.Я. Годес, І.Г. Величко та інші). Багатошаровим середовищам присвячені монографії та фундаментальні труди В.В. Болотіна та Ю.М. Новічкова, О. М. Гузя, М.І. Горбунова-Посадова, Т.А. Малікової та В.І. Соломіна, А.Г. Горшкова та В.І. Пожуєва, Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко та Н.Д. Панкратової, Г.С. Кіта, Г.Л. Гориніна та Ю.В. Немировського, Є.В. Алтухова, В.П. Шевченко, В.М. Чехова, В.І. Кузьменка та інших.

Оскільки розв'язання контактних задач теорії пружності призводить до специфічних математичних проблем, які пов'язані з мішаним характером граничних умов, окремо наведено огляд розвитку методів розв'язання контактних задач теорії пружності для багатошарових середовищ. Це методи інтегральних перетворень; парних інтегральних рівнянь і рядів (Д.В. Грилицький, Я.М. Кізима, М.М. Лебедєв, В.І. Моссаковський, Я.С. Уфлянд, А.Ф. Улітко, Н.Х. Арутюнян, А.А. Баблоян, В.В. Панасюк, В.Т. Грінченко, Л.І. Цейтлін та інші); асимптотичний метод (В.М. Александров, С.М. Айзикович, В.А. Бабешко, І.І. Воровіч, Б.І. Сметанін, Ю.А. Устінов, М.І. Чебаков та інші); метод ортогональних поліномів (В.М. Александров, Г.Я. Попов, А.І. Лур'є, Н.А. Ростовцев, С.М. Мхітарян та інші), структурний метод (метод R-функцій) (В.Л. Рвачов, В.С. Проценко, Н.С. Синєкоп, О.С. Архипова та інші); метод колокацій (В.М. Александров, В.А. Бабешко, Л.В. Білокінь, І.І. Воровіч, В.І. Моссаковський та інші); метод потенційних функцій (С.О. Калоєров, О.С. Космодаміанський та інші).

Дослідження щодо періодичних граничних задач теорії пружності шаруватих основ отримали розвиток у роботах В.М. Александрова, К.М. Джонсона, А.К. Приварникова, В.М. Ільмана, М.О. Грекова, Н.Б. Єрьоменко, І.І. Аргатова, І.Г. Горячевої, Ф.В. Кудрови, В.І. Іванової, М.Ф. Кулагіної, Н.Б. Моісеєвої, О.В. Величко, А.М. Любичевої, О.В. Торської, R. Krishnamurthy, D. J. Srolovitz, Minhai Huang та інших.

Аналіз публікацій дозволяє зробити висновки: питання розвитку точних та наближених методів дослідження напружено-деформованого стану пружних багатошарових середовищ привертали і привертають увагу математиків та механіків. Періодичні задачі для багатошарових основ поповнюють дослідження в цій галузі. У більшості робіт, присвячених розв'язанню граничних задач для шаруватих основ, розглядалися лише одношарові та двошарові основи і застосовувалися чисельні методи. Питання про дію періодичних навантажень на істотно багатошарову основу є одними з найменш розроблених, що обумовлює актуальність досліджень у цьому напрямку.

У другому розділі дисертації наведено загальний підхід до точного розв'язання періодичних граничних задач плоскої лінійної теорії пружності для багатошарових основ з будь-якою скінченною кількістю шарів. Багатошарова основа - це пакет однорідних ізотропних необмежених у плані шарів, який розташований на абсолютно жорсткому або пружному півпросторі. Шар - пружне тіло, обмежене двома паралельними площинами. Пружні властивості та товщини різних шарів можуть бути різними. Шари при деформації основи (яка викликана навантаженням верхньої межі) не відокремлюються один від одного, а нижній шар від півпростору. Будь-які два сусідні шари або спаяні, або можуть без тертя прослизати один відносно одного уздовж загальної межі (гладкий контакт). Ці умови сумісності деформації шарів можуть довільно чергуватися в основі. Кожний шар віднесено до місцевої декартової системи координат O_k x_k y_k z_k з початком на верхній межі шару (рис. 1). Розглядається плоска деформація n-шарової основи: усі точки основи переміщуються паралельно площині O₁x₁z₁ Задача полягає у визначенні напружень та переміщень в основі, на верхній межі якої відомі напруження у_z1, ф _xz1 - періодичні функції за змінною x з періодом 2l (l > 0).

Нехай

(x, z), …,

точний розв'язок вихідної задачі для однієї скінченної ділянки навантаження основи. Його можна отримати за методом функцій податливості у вигляді невласних інтегралів Фур'є. Накладаючи на вихідний напружено-деформований стан основи напружено-деформований стан основи, що утворюється за допомогою зсуву вихідного стану уздовж осі O₁x₁ на ±2l, ±4l, … , одержимо за принципом незалежності дії сил розв'язок періодичної задачі:



.

Кожна з шуканих функцій

, …,

має структуру:

.

Тут (о, z) - трансформанта Фур'є відповідної шуканої величини для вихідної (неперіодичної) задачі. За допомогою формули підсумовування Пуассона ці ряди зведені до тригонометричних рядів, члени яких не містять невласних інтегралів. Аналіз тригонометричних рядів для шуканих величин показав, що найменша швидкість їх збіжності має місце у першому шарі основи поблизу його верхньої межі. З рядів для шуканих величин у першому шарі були вилучені повільно збіжні ряди. Доведено, що суми вилучених повільно збіжних частин рядів для першого шару дорівнюють відповідним шуканим величинам у пружній півплощині, яка має модулі пружності першого шару і навантажена так само як основа. Тому були отримані розв'язки базових задач про дію на пружну півплощину періодичної системи зосереджених нормальних і (окремо) дотичних сил. Точні розв'язки цих задач одержані в елементарних функціях методами теорії функцій комплексної змінної із застосуванням принципу незалежності дії сил до відомих розв'язків задач Фламана і Черутті (плоский аналог). Наприклад, формула для нормальних напружень в задачі про дію на пружну півплощину періодичної системи зосереджених нормальних сил величини Q має вигляд:

.

Зауважимо, що при z>? напруження у_z у півплощині прагнуть до константи Q/2l, що відповідає очікуваній фізичній картині.

На рис. 3-4 можна простежити характер зміни шуканих величин уздовж глибини п'ятишарової основи, на яку діє періодична система (рис. 2) зосереджених нормальних (дотичних) сил.

Величина кожної сили Q (T). Усі шари зчеплені, нижній шар зчеплений з абсолютно жорсткою півплощиною. Модулі пружності шарів: E_2k-1 = 2E; E_2k = E; н_2k-1 = 0,3; н_2k = 0,28; k = 1, 2; E₅ = 2E; н₅ = 0,3.

Товщини шарів: h_k=h. Період навантаження: 2l = 3h. Шукані величини обчислювались при z_k=h; k = 1, 2, …, 5.

Як видно з графіків, напруження у_zk для нормального навантаження та ф _xzk для дотичного навантаження спадають уздовж глибини основи та наближаються до констант - середніх значень відповідних навантажень на одному періоді. Значення похідних для нормального навантаження - невід'ємні та дорівнюють нулю на лінії дії сил та посередині між цими лініями. Це відповідає факту зростання на цій ділянці функцій u_zk та існуванню точок їх екстремумів. Абсолютні значення напружень у_xk для дотичного навантаження спадають уздовж глибини основи і наближаються до нуля.

У таблиці 1 наведено результати розрахунків для двох «близьких» задач: у задачі І на одношарову основу діє періодична система (період 2l = 3h) однакових зосереджених нормальних сил величини Q; у задачі ІІ - на таку ж саму основу діє скінченна система з семи сил величини Q, які прикладені в точках поверхні основи: (-9h, 0), (-6h, 0), (-3h, 0), (0, 0), (3h, 0), (6h, 0), (9h, 0). Характеристики шару: E₁=E; н₁=0,3; h₁=h. Шар зчеплений з абсолютно жорсткою півплощиною. Для випадку скінченної системи сил безпосередньо застосовано метод функцій податливості.

Таблиця 1 Значення , та для періодичного та неперіодичного навантажень основи

xh	zh
		Задача І	Задача ІІ	Задача І	Задача ІІ	Задача І	Задача ІІ
0,0 0,5 1,0	0,5 0,5 0,5	2,0311 0,5136 0,0280	2,0311 0,5136 0,0279	0,0000 0,3385 0,0318	0,0000 0,3385 0,0317	0,0000 0,6723 0,1297	0,0000 0,6723 0,1297
0,0 0,5 1,0	1,0 1,0 1,0	1,2208 0,6929 0,1732	1,2208 0,6929 0,1731	0,0000 0,3166 0,1682	0,0000 0,3166 0,1682	0,000 0,000 0,000	0,000 0,000 0,000

Тут G₁ - модуль зсуву матеріалу першого шару основи. Результати розрахунків дозволяють зробити висновок: якщо товщина першого шару в декілька разів менша за період навантаження, результати для періодичної і неперіодичної задач практично збігаються поблизу області прикладення навантаження. Останній висновок має прикладне значення: можна застосовувати результати розв'язання періодичних задач (більш простих з точки зору чисельної реалізації) до наближеного розв'язання задач неперіодичних.

За допомогою принципу незалежності дії сил і розв'язків задач про дію періодичних систем зосереджених сил на багатошарову основу можна побудувати у квадратурах точний розв'язок будь-якої першої періодичної задачі плоскої теорії пружності. Як приклад, у роботі отримано розв'язок задачі про дію на багатошарову основу періодичного нормального навантаження інтенсивності q рівномірно розподіленого уздовж відрізків довжини 2а верхньої межі основи. Для забезпечення точності чисельних розрахунків у першому шарі основи було одержано точний (через елементарні функції) розв'язок задачі про дію на пружну півплощину описаного вище рівномірно розподіленого навантаження. Наведемо вираз однієї з шуканих величин у пружній півплощині

, z 0.

У третьому розділі дисертації досліджена просторова деформація багатошарової основи (рис.1). Спочатку пропонується новий спосіб точного розв'язання (у квадратурах) періодичних уздовж одного напрямку просторових граничних задач теорії пружності для істотно багатошарових основ, який узагальнює відомий метод функцій податливості на випадок періодичного просторового навантаження основи. Наводиться алгоритм розв'язання зазначених періодичних задач, зручний для чисельної реалізації.

Розв'язки рівнянь Ламе для довільного шару представлені у двох варіантах, періодичних за змінною y функцій:

I. u_x(x, y, z) = U_x(x, z) cos (py), u_y(x, y, z) = U_y(x, z) sin (py), u_z(x, y, z) = U_z(x, z) cos (py);

II. u_x(x, y, z) = U_x(x, z) sin (py), u_y(x, y, z) = U_y(x, z) cos (py), u_z(x, y, z) = U_z(x, z) sin (py).

За допомогою інтегрального перетворення Фур'є за змінною x побудовані загальні розв'язки рівнянь Ламе у просторі трансформант Фур'є. Введені і досліджені нові функції податливості основи, одержані спеціальні рекурентні співвідношення між ними. За розробленим алгоритмом розв'язані нові задачі про дію на багатошарову основу періодичного нормального навантаження, що розподілено уздовж смуги, яка паралельна осі Оу, за законом

у_z1 (x, y, 0) = , - ? < y < + ?, ф _xz (x, y, 0) ? 0, ф _yz (x, y, 0) ? 0, (1)

де

F(x, y) = q(x) cos (py)

або

F(x, y) = t (x) sin (py)

p - додатна константа, q(x), t (x) - неперервні дійсні функції, L = [- a, a].

Аналіз трудомісткості обчислення інтегралів в одержаних аналітичних виразах для шуканих величин показав, що для ефективної чисельної реалізації алгоритму необхідно отримати окремо розв'язки відповідних періодичних задач для півпростору. Тому були одержані точні розв'язки (в елементарних та спеціальних функціях) базових граничних задач для пружного півпростору. Розподіл навантажень для цих базових задач описується законом (1), якщо прийняти q(x) = q·д(x), t(x) =t·д(x), де q, t - дійсні константи. Тут і далі д(x) - функція Дірака. За допомогою пакета Maple з'ясовано, що отримані розв'язки задовольняють рівнянням теорії пружності і граничним умовам.

Наведемо графіки напружень в одношаровій основі (пружний шар товщини h, зчеплений з абсолютно жорстким півпростором) і в пружному півпросторі з того ж матеріалу для однакового періодичного навантаження (1): F(x, y) =q·д(x)·cos(py) (p·h=1,5; q - додатна константа). Матеріали пружного півпростору і шару однакові з модулями пружності E, н=0,3. Обчислення виконувалися для точок (x, 0, h). шару та півпростору. Суцільній лінії на графіках відповідають напруження в одношаровій основі, а пунктирній - напруження в пружному півпросторі.

Напруження у_z і ф _xz на нижній межі шару одношарової основи (рис. 5) (в околі площини навантаження Oyz) більші за абсолютними значеннями напружень у_z і ф _xz у відповідних точках однорідного пружного півпростору, що узгоджується з фізичним змістом задач.

Запропоновано також спосіб точного розв'язання періодичних за двома ортогональними напрямками граничних задач для багатошарових основ, який проілюстровано на прикладі двоперіодичного нормального навантаження основи. Вважається, що навантаження розподілене по її поверхні за законом (1), при цьому [2jr - a, 2jr + a], F(x, y) = q (x) cos (py) + t (x) sin (py), а, p та r - додатні константи, r > a, q(x), t(x) - неперервні дійсні функції (вважається, що на різних смугах з області L навантаження однакові). Обраний вигляд функції F(x, y) обумовлений тим фактом, що при певних умовах періодична за змінною у функція Ф(x, y) може бути розкладена в ряд Фур'є: Ф(x, y) = S ( x ) + (q _j (x) cos( j y )+t _j (x) sin( j y )). За допомогою принципу незалежності дії сил розв'язок зазначеної періодичної за двома напрямками задачі можна отримати за формулами:

u _xk (x, y, z) = (x, z) ·cos(py) +(x, z) ·sin(py) ,

де

Аналогічно для інших шуканих величин. Індекс «y» відповідає розв'язку задачі, яка періодична уздовж осі O₁y₁. За допомогою формули Пуассона функції , ..., ( m ? { 1, 2 } ), які входять до складу формул для шуканих величин, представлені у вигляді:

де f (x, z) - одна з вісімнадцяти вищезазначених функцій (для напружень і переміщень), а (, z) - трансформанта Фур'є відповідної функції для задачі, що періодична у напрямку O₁y₁. У підсумку одержано вирази для функцій , ..., у рядах Фур'є.

Для ефективного чисельного розв'язання двоперіодичної задачі для основи отримано розв'язок допоміжної задачі про дію на пружний півпростір нормального базового двоперіодичного навантаження (рис. 6):

у_z (x, y, 0) = q д(x 2 jr)cos (py), - ? < y < +?, ф _xz (x, y, 0) ? 0, ф _yz (x, y, 0) ? 0,

де q, p, r - додатні константи, д(x) - функція Дірака. Наведемо одну з формул цього розв'язку:

податливість багатошаровий пружність плоский

2G u_z = e - ^{z w} ( z w + 2н - 1 )·sin, .

Нижче подані результати розрахунків для точок площини Oxz.

Вихідні дані задачі: E = 2·10¹¹ Па; н = 0,3 (модулі пружності півпростору), q = 10 H / м; p = 1,5·10^?2 м^?1; r = 10^?2 м. Головний вектор навантаження для ?р/2p+2jр/2p ? y ? р/2p+2jр/2p, j ? Z спрямовано в напрямку, протилежному осі Oz. Із графіків (рис. 7) видно, що напруження у_z - розтяжні, а переміщення u_z приймають від'ємні значення; абсолютні значення у_z та u_z - у площини Oxz максимальні під лініями навантажень (x = ±2rj, z = 0, j ? Z), а мінімальні - посередині між двома сусідніми лініями навантажень.

Як видно з графіків, переміщення та напруження при z>? прагнуть до нульових значень, що узгоджується з очікуваною фізичною картиною.

Четвертий розділ дисертації присвячено періодичним контактним задачам плоскої та просторової теорії пружності для багатошарових основ. У випадку плоскої деформації багатошарової основи вважається, що на її межу діє система штампів, яка періодично чергується з періодом 2l. Система містить m штампів. Кожний штамп переміщується нормально до недеформованої поверхні основи під дією відомої сили. Сили тертя між штампами та поверхнею основи відсутні. Профілі штампів такі, що їх кутові точки можуть бути розташовані тільки на кінцях ділянок контакту. Необхідно визначити контактні напруження у_z та ділянки контакту, якщо вони апріорі невідомі.

Перші розв'язки періодичних контактних задач (для пружної півплощини) з відомими ділянками контакту були отримані М.Л. Садовським і І.Я. Штаєрманом, а для багатошарової основи А.К. Приварниковим та В.М. Ільманом. У дисертації запропоновано легший ніж у роботі попередніх авторів спосіб розв'язання інтегрального рівняння задачі. Він ґрунтується на заміні сингулярних та несингулярних інтегралів в інтегральному рівнянні квадратурними сумами гауссового типу. Наближене розв'язання контактної задачі зведено до розв'язання скінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Якщо не всі межі ділянок контакту апріорі відомі, то для визначення їх і контактних напружень запропоновано спосіб послідовних наближень. Встановлені умови, за яких можливе відокремлення поверхні основи від періодичної системи однакових штампів із плоскими підошвами, яка вдавлюється в основу. Одержані чисельні результати розв'язків конкретних контактних задач про відокремлення, визначені кількість і межі ділянок контакту окремих штампів з основою.

На рис. 8 наведено чисельний розв'язок контактної задачі про дію на двошарову основу періодичної системи штампів із плоскими підошвами довжини 2a. Штампи не відстають від основи. Основа - шар товщини h з модулями пружності E₁, н₁, зчеплений з пружною півплощиною (E₂, н₂) E₁ = 10 E₂; н₁= н₂ = 0,3. Контактний тиск q₁(x) (пунктирна лінія на графіку) відповідає періоду розташування штампів на поверхні двошарової основи: 2 l = 18 a. Тиск q₂(x) (суцільна лінія на графіку) відповідає випадку 2 l = 10 a. Одержані чисельні результати вказують на такий механічний ефект: при дії періодичної системи плоских гладких штампів на багатошарову основу, модуль Юнга матеріалу верхнього шару якої значно більший за модуль Юнга нижнього шару, можливе відокремлення поверхні основи від підошов штампів (у наведеному прикладі q₁(x) < 0, x / a ? [-0,12; 0,12]). При зменшенні періоду розташування штампів явище відставання зникає. У розглянутій задачі при 2 l = 18 a дійсна область контакту одного штампа з основою складається з двох відрізків [ -a; -0,1766a] і [0,1766a; a].

Друга частина розділу присвячена просторовій контактній задачі: в області контакту x / a ? [ - a; a ], y ? ( - ?, + ? ) гладкого штампа-смуги з багатошаровою основою відомі переміщення u_z (x, y, 0) точок верхньої межі:

u_z (x, y, 0) = f (x, t) cos (ty) dt, - a ? x ? a, - ? < y < +?, (2)

де f (x, t) - відома парна за x функція, яку можна щонайменше двічі диференціювати за змінною x. Поза областю контакту основа не навантажена. Сили тертя між штампом та основою відсутні.

Спираючись на результати досліджень розділу 3 і метод парних інтегральних рівнянь (описаний у монографіях Я.С. Уфлянда), ця задача зведена до розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду відносно функції ч (x, t) (t - параметр, див. (2)), яка повністю визначає напружено-деформований стан основи:

,

(x, t) =

B(t) - довільна функція; E₁, н₁ - модулі пружності першого шару основи. Ядро K (x, s, t) цього рівняння зведено до вигляду, зручного для чисельної реалізації. Отримано лінійне алгебраїчне рівняння для визначення функції B(t). Шукані контактні напруження представлені у вигляді інтеграла Фур'є від функції ч (x, t):

Висновки

Підсумовуючи проведені у роботі дослідження по розробці аналітичних підходів до розв'язання плоских та просторових періодичних граничних задач теорії пружності для багатошарових основ, а також чисельних підходів до визначення напружено-деформованого стану багатошарових основ, сформулюємо основні наукові результати дисертації:

- доопрацьовано відомий метод функцій податливості точного розв'язання граничних задач для багатошарових основ і поширено його на новий клас граничних задач плоскої теорії пружності про періодичне навантаження багатошарових основ з будь-якою скінченною кількістю шарів. Досліджені поведінка та властивості шуканих величин в усіх шарах основи та розроблено ефективні способи одержання чисельних результатів;

- отримані точні розв'язки задач плоскої теорії пружності про дію на багатошарову основу періодичних систем зосереджених нормальних і дотичних сил, ґрунтуючись на яких можна будувати (у квадратурах) точні розв'язки нових задач про періодичне навантаження основи;

- розв'язана нова задача плоскої теорії пружності про дію на істотно багатошарову основу нормальних навантажень, які рівномірно розподілені уздовж періодичної системи відрізків;

- отримані явні (в елементарних функціях) точні розв'язки задач плоскої теорії пружності про дію на пружну півплощину періодичної системи зосереджених нормальних і дотичних сил, а також нормальних навантажень, які рівномірно розподілені уздовж періодичної системи відрізків;

- узагальнено метод функцій податливості на новий клас просторових періодичних уздовж одного напрямку граничних задач теорії пружності для багатошарових основ з будь-якою скінченною кількістю шарів;

- отримано точний розв'язок нової граничної задачі для пружного півпростору, на поверхню якого діє нормальне навантаження, яке розподілено за простішим («косинусоїдальним») періодичним законом уздовж прямої;

- за допомогою принципу незалежності дії сил узагальнений метод точного розв'язання просторових періодичних за одним напрямком граничних задач для багатошарових основ поширено на клас просторових задач, періодичних за двома ортогональними напрямками. Запропоновано ефективний спосіб одержання чисельних результатів;

- отримано точний розв'язок (в елементарних та спеціальних функціях) базової граничної задачі для пружного півпростору, на поверхню якого діє нормальне «косинусоїдальне» двоперіодичне навантаження;

- запропоновано спосіб чисельного розв'язання плоскої контактної задачі теорії пружності про дію на багатошарову основу періодичної системи гладких штампів (в одному періоді довільне скінченне число штампів);

- визначено умови, при яких можливе відокремлення поверхні основи від підошов періодичної системи однакових плоских гладких штампів, які вдавлюються в основу. Запропоновано спосіб визначення ділянок контакту окремого штампа з основою. Одержані чисельні результати для конкретних контактних задач про відокремлення;

- розв'язання просторової періодичної контактної задачі про дію штампа-смуги на багатошарову основу зведено до розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду;

- чисельні розрахунки для періодичних граничних задач плоскої та просторової теорії пружності дозволили встановити нові фізико-механічні закономірності зміни напружено-деформованого стану багатошарових основ у залежності від періодів навантаження, пружних характеристик і товщин шарів.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Столярчук І.А. Розв'язання першої просторової двоперіодичної задачі для пружної багатошарової основи / І.А. Столярчук // Вісник Дніпропетровського ун-ту. - 2005. - № 10/1: сер.: Механіка. - Вип. 9, Т. 1. - С. 147 - 159.

Приварников А.К. Плоска періодична задача про дію системи гладких штампів на пружну багатошарову основу / А.К. Приварников, І.А. Столярчук // Динамические системы: межвед. научный сб. - Симферополь, 2006. - Вып. 20. - С. 35 - 42.

Приварников А.К. Действие периодической системы штампов на многослойное основание / А.К. Приварников, И.А. Столярчук // Теоретическая и прикладная механика. - Донецк, 2007. - Вып. 43. - С. 162 - 167.

Приварников А.К. Действие на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы / А.К.Приварников, И.А. Столярчук // Вісник Запорізького держ. ун-ту. - 1998. - № 1: сер.: Фізико-математичні науки. - С. 66 - 68.

Приварников А.К. Дія періодичної системи штампів на багатошарову основу / А.К. Приварников, І.А. Столярчук // Вісник Запорізького держ. ун-ту. - 1998. - № 2: сер.: Фізико-математичні науки. - С. 105 - 110.

Столярчук І.А. Просторова періодична задача для багатошарових основ / І.А. Столярчук // Вісник Запорізького держ. ун-ту. - 1998. - № 2: сер.: Фізико-математичні науки. - С. 128 - 136.

Приварников А.К. Дія на багатошарову основу гладкого штампу, що має у плані форму смуги / А.К. Приварников, І.А. Столярчук // Науковий вісник Волинського держ. ун-ту. - 1998. - № 6: роз.: Математика. - С. 77 - 85.

Столярчук І.А. Розв'язок крайової задачі плоскої теорії пружності про дію на багатошарову основу нормального періодичного навантаження / І.А. Столярчук // Науковий вісник Волинського держ. ун-ту. - 1998. - № 6: роз.: Математика. - С. 85 - 94.

Столярчук И.А. Задача о действии периодической касательной нагрузки на многослойное основание / И.А. Столярчук // Вопросы механики деформирования и разрушения твердых тел: сб. научных трудов ДГУ. - Днепропетровск, 1999. - С. 60 - 65.

Столярчук І.А. Періодична контактна задача плоскої теорії пружності для багатошарових основ / І.А. Столярчук // Динаміка наукових досліджень - 2006: Матеріали V Міжнар. наук.- практ. конф., 17-28 лип. 2006 р. - Дніпропетровськ, 2006.- Т. 7. - С. 11 - 15.

Приварников А.К. Про відокремлення поверхні пружної багатошарової основи від штампу з плоскою підошвою / А.К.Приварников, І.А. Столярчук // Наука та практика - 2007: міжнар. наук.-практ. конф., 11-15 лют. 2007 р.: збірник наук. праць. - Полтава, 2007. - С. 192 - 195.

Столярчук І.А. Розв'язання першої двоперіодичної граничної задачі просторової теорії пружності для півпростору / І.А. Столярчук // Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития `2009: междунар. науч.-практ. конф., 5 - 7 окт. 2009 г.: сборник научных трудов. - Одесса: Черноморье, 2009. - Т. 16. - С. 30 - 33.

Столярчук І.А. Перша основна періодична гранична задача плоскої теорії пружності для багатошарових основ [Електронний ресурс] / І.А. Столярчук // Вісник Східноукраїнського національного університету ім. В. Даля - 2009. - № 6Е. - Режим доступу до журн.: http://nbuv.gov.ua/e-journals/vsunud/2009-6E/09siadbo.htm.

Столярчук И.А. О действии сосредоточенной периодической нагрузки на упругое однослойное основание при плоской деформации / И.А. Столярчук // Тези доповідей наук. конф. викладачів та студентів ЗДУ. - Запоріжжя, 1993. -Вип. 3.- С. 41 - 43.

Приварников А.К. Дія на пружну багатошарову основу гладкого штампу-смуги / А.К.Приварников, І.А. Столярчук // Актуальні проблеми механіки суцільного середовища та міцності конструкцій: міжнар. наук.-техн. конф. пам'яті ак. В.І.Моссаковського, 17-19 жовт. 2007 р.: тези доповідей. - Дніпропетровськ, 2007. - С.129.

Столярчук І.А. Вплив на багатошарову основу періодичної системи розподілених навантажень / І.А. Столярчук // Розвиток національної промисловості у сучасному контексті: пріоритеті, проблеми, регулювання: міжнар. наук.-практ. конф., 19-20 жовт. 2009 р.: тези доповідей і повідомлень. - Донецьк, 2009. - С. 155 - 157.

Столярчук І.А. Дія на пружну півплощину періодичної системи нормальних навантажень, що рівномірно розподілені вздовж відрізків її границі / І.А. Столярчук, М.І. Зіновєєва // XXXVI Міжнар. науково-технічна конференція молоді ВАТ «Запоріжсталь», 3 - 6 лист. 2009 р.: тези доповідей. - Запоріжжя, 2009.- С. 58.

Анотація

Столярчук І.А. Періодичні задачі теорії пружності для багатошарових основ. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Державний вищий навчальний заклад «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України, Запоріжжя, 2010.

За допомогою принципу незалежності дії сил узагальнено метод функцій податливості точного аналітичного розв'язання граничних задач для багатошарових основ на новий клас періодичних граничних задач плоскої та просторової теорії пружності. Ефективна чисельна реалізація досягнута завдяки формулі підсумовування Пуассона та методам теорії функцій комплексної змінної. Отримано точні розв'язки нових плоских та просторових періодичних задач для основ. Просторова контактна задача про дію на багатошарову основу штампа-смуги зведена до розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду. Запропоновано новий спосіб наближеного розв'язання періодичних плоских контактних задач для багатошарових основ. Визначено умови відокремлення поверхні основи від плоских підошов періодичної системи однакових штампів, які в неї вдавлюються. Наведено спосіб визначення невідомих апріорі ділянок контакту штампів з основою. Виконані розрахунки підтверджують вірогідність аналітичних результатів.

Ключові слова: пружна багатошарова основа, періодичне навантаження, перетворення Фур'є, метод функцій податливості, принцип незалежності дії сил, штампи, інтегральні рівняння.

Аннотация

Столярчук И.А. Периодические задачи теории упругости для многослойных оснований. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Государственное высшее учебное заведение «Запорожский национальный университет» Министерства образования и науки Украины, Запорожье, 2010.

В диссертации доработан известный метод функций податливости точного аналитического решения граничных задач теории упругости для существенно многослойных оснований и распространен на новые классы плоских периодических и пространственных одно- и двупериодических граничных задач для таких оснований. Для решения периодических граничных задач теории упругости метод функций податливости изначально не применим. Идея обобщения этого метода на класс периодических задач основана на применении принципа независимости действия сил к решениям непериодических задач, полученных методом функций податливости. Трудоёмкость вычисления сумм возникших при определении искомых величин нетабличных рядов удалось существенно уменьшить при помощи формулы суммирования Пуассона. Из полученных после её использования тригонометрических рядов для искомых величин выделены медленно сходящиеся части. Их суммы найдены точно методами теории функций комплексной переменной. При плоской деформации основания установлено, что в случае, когда толщина первого слоя в несколько раз меньше периода нагружения, результаты для периодической и непериодической (для одного участка нагружения) задач практически совпадают вблизи области нагружения. Это позволяет использовать результаты решения периодических задач (более простых с точки зрения численной реализации) как приближенные решения непериодических. Получены точные решения конкретных новых периодических плоских и пространственных задач в элементарных и специальных функциях для полуплоскости или полупространства и в квадратурах для многослойных оснований.

Решение пространственной контактной задачи о действии на упругое многослойное основание штампа-полосы сведено к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром относительно вспомогательной функции. Искомые контактные напряжения представлены в виде интегралов Фурье, содержащих эту функцию в подынтегральных выражениях. Предложен новый способ приближенного решения периодических плоских контактных задач для многослойных оснований. Способ основан на применении специальных квадратурных формул наивысшей алгебраической степени точности для приближенной замены интегралов в сингулярном интегральном уравнении задачи квадратурными суммами. Благодаря этому, численное решение периодической контактной задачи сведено к решению конечной системы линейных алгебраических уравнений. Разработан метод последовательных приближений для определения участков контакта отдельного штампа с основанием, если они априори неизвестны. Определены условия, при которых возможно отставание поверхности многослойного основания от плоских подошв, действующей на него периодической системы одинаковых штампов. Получены численные результаты решения конкретных задач об отставании.

Проведенные численные исследования подтвердили достоверность теоретических результатов и позволили выявить новые механические эффекты и физико-механические закономерности изменения напряженно-деформированного состояния многослойных оснований в зависимости от упругих характеристик, толщин слоев и периодов нагружения.

Ключевые слова: упругое многослойное основание, периодическая нагрузка, преобразования Фурье, метод функций податливости, принцип независимости действия сил, штампы, интегральные уравнения.

Annotation

Stolyarchuk I.A. The periodical problems of the elasticity theory for the multilayer foundations. - The manuscript.

...