Згинні хвилі Релея-Лемба в півскінченному пружному шарі

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

УДК 534-16

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Згинні хвилі Релея-Лемба в півскінченному

пружному шарі

01.04.06 - Акустика

Старовойт Інна Валеріївна

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті гідромеханіки Національної академії наук України.

Науковий керівник- доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Городецька Наталія Сергіївна,

Інститут гідромеханіки НАН України,

учений секретар.

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор

Мелешко В'ячеслав Володимирович,

Київський національний університет

ім. Тараса Шевченка,

завідувач кафедри теоретичної і прикладної

механіки.

- доктор технічних наук, доцент

Петрищев Олег Миколайович,

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»,

професор кафедри акустики та акустоелектроніки.

Захист відбудеться “10” лютого 2011 року о 14-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України за адресою: 03680, Київ, вул. Желябова, 8/4.

Тел.: (044) 456-43-13, факс (044) 454-42-29.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України.

Автореферат розісланий “13” грудня 2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор технічних наук, професор С.І. Криль

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Широке застосування в акустичних системах елементів типу пластин, що працюють в високочастотному режимі, вимагає глибокого розуміння закономірностей поширення хвиль в хвилеводах в залежності від структури хвилеводу, його геометричних та механічних параметрів. Хвилеводи широко застосовуються як фільтри та резонатори в акустоелектрониці, неруйнівному контролі, гідро- та геоакустиці й інших галузях науки та техніки. В сучасних різноманітних пристроях ультразвукової техніки робочим діапазоном є високочастотний, в якому проявляються суттєві риси пружних хвиль, обумовлені існуванням і взаємоперетворенням на граничних поверхнях поздовжніх і поперечних хвиль. Зауважимо, що наближені теорії динаміки стрижнів, пластин та оболонок працюють тільки в області низьких частот, коли довжина хвилі значно більша ніж поперечні розміри хвилеводу; в області високих частот наближені теорії не дають адекватного опису ефектів, які мають місце. Тому узагальнення та подальший розвиток математичних методів, в рамках яких вдається побудувати ефективні алгоритми для кількісної оцінки характеристик хвильового поля, є актуальною науковою проблемою, пов'язаною з вивченням закономірностей поширення хвиль в складних хвилеводних структурах.

Ефективні методи визначення фізичних властивостей матеріалів ґрунтуються на вивченні закономірностей поширення хвиль та резонансних явищ в хвилеводах, це обумовлено однозначним зв'язком між динамічними характеристиками хвильових процесів та фізичними параметрами середовища. Вказані обставини визначають теоретичний та практичний інтерес до вивчення особливостей хвилеводного поширення пружних хвиль в області високих частот. Типовою задачею, розв'язок якої дозволяє з одного боку виявити специфіку хвильових процесів в пружних тілах скінчених розмірів, а з другого розробити ефективні методи розв'язку відповідних граничних задач, є поширення хвиль у півшарі. Зокрема, аналіз поширення поздовжніх хвиль в півшарі з вільними бічними поверхнями і вільним торцем дозволив описати крайовий резонанс при симетричних коливаннях. В той же час для згинних хвиль ефекти локалізації руху поблизу торця пружного півшару практично не вивчені. В даній роботі таки ефекти знайдено і досліджено.

Побудова розв'язку задачі про коливання півшару із змішаними граничними умовами, а саме з вільними бічними поверхнями і защемленим торцем, є основою для подолання математичних та методологічних труднощів, які виникають в задачах з локальними особливостями в характеристиках хвильових полів. В роботі для розв'язання змішаної граничної задачі застосовувався метод суперпозиції, з урахуванням асимптотичної поведінки невідомих нескінченних систем, до яких зводиться виконання граничних умов. Це забезпечило точні розв'язки граничних задач, на основі яких було виявлено нові особливості поширення хвиль.

Таким чином, дослідження закономірностей і специфічних ефектів в процесі поширення згинних хвиль в пружному півшарі з вільними бічними поверхнями і з динамічними або кінематичними умовами на торці, а також можливості ефективного використання досліджуваних ефектів для аналізу фізичних характеристик і стану пружного середовища визначають актуальність теми даної дисертаційної роботи в науковому та прикладному сенсі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з науково-дослідними темами Інституту гідромеханіки НАН України. Зокрема: “Дослідження міцності та стійкості просторових систем в рідкому середовищі під дією природних та техногенних навантажень” (2006-2009рр., N ГР 0106V002150), і “Дослідження генерації і розповсюдження хвиль в середовищах з ускладненими фізичними властивостями” (2007-2011рр., N ГР 0106U011280). Результати дисертаційної роботи увійшли у звіти по цим темам.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є вивчення хвилевих характеристик поля при згинних коливаннях пружного півшару з вільними бічними поверхнями і динамічними або кінематичними граничними умовами на торці; розробка чисельно-аналітичних методів розв'язку відповідних граничних задач; виявлення нових механічних ефектів і їх трактування на основі аналізу структури хвилевого поля.

Для досягнення цієї мети розглядаються наступні задачі:

· побудова загального розв'язку методом однорідних розв'язків і методом суперпозиції граничної задачі про згинні коливання пружного півшару з вільними бічними поверхнями і вільним торцем. Порівняння результатів розв'язку і на їх основі вдосконалення методів чисельної реалізації методу суперпозиції;

· розв'язок граничної задачі про антисиметричні коливання півшару при змішаних граничних умовах методом суперпозиції з врахуванням локальної особливості по напруженням в кутовій точці через асимптотичні властивості невідомих;

· аналіз частотних залежностей розподілу енергії, яка вноситься в півшар, між різними нормальними хвилями при вимушених коливаннях, а також при відбитті хвиль від вільного або защемленого торця;

· дослідження закономірностей збудження неоднорідних хвиль при згинних коливаннях півшару в області високих частот.

Об'єктом дослідження є процес поширення хвилі в пружному півшарі з вільними бічними поверхнями.

Предметом дослідження є енергетичні особливості поширення згинних хвиль в пружному півшарі, ефекти локалізації руху на торці хвилеводу для різних типів граничних умов на торці.

Методи дослідження. В даній роботі використовувалися чисельно-аналітичні методи розв'язку граничних задач. Зокрема, перша основна гранична задача для півшару була вирішена методом однорідних розв'язків і методом суперпозиції. В обох випадках розв'язок граничної задачі зведено до нескінченної системи лінійних рівнянь. В рамках методу однорідних розв'язків нескінченна система вирішувалася методом простої редукції. В рамках методу суперпозиції була знайдена асимптотична поведінка невідомих, що дозволило використовувати методи покращеної редукції. Змішана гранична задача була розв'язана методом суперпозиції. В цьому випадку асимптотичні властивості невідомих визначалися на основі апріорно відомого характеру локальної особливості в точці зміни типа граничних умов. Знання асимптотичних властивостей невідомих дозволило провести коректну редукцію нескінченних систем і розробити ефективні алгоритми для кількісної оцінки хвильового поля в довільних точках хвилеводу, включаючи точки граничної поверхні. Розв'язок, отриманий в рамках методу суперпозиції, було представлено через нормальні хвилі, що дозволило трактувати знайдені хвильові ефекти використовуючи дисперсійні властивості цих хвиль.

Наукова новизна отриманих результатів:

1. Удосконалення чисельно-аналітичних методів розв'язку граничних задач при згинних коливання півшару з врахуванням особливості поведінки хвилевого поля в околі кутових точок (для першої основної і змішаної граничних задач). Представлення отриманого розв'язку через нормальні хвилі для фізичного трактування результатів.

2. Вперше встановлено існування резонансу на неоднорідних хвилях при згинних коливаннях півшару з вільним торцем і вільними бічними поверхнями. Показано, що резонанс спостерігається не для всіх коефіцієнтів Пуассона, а лише для тих , при яких перший комплексний корінь дисперсійного рівняння вироджується в чисто уявний. Резонанс спостерігається в області частот, коли існують дві хвилі, що поширюються. Амплітуда коливань на резонансі обмежена за рахунок радіаційного демпфування.

3. Показано, що при згинних коливаннях півшару з вільним торцем енергія, яку переносять різні моди, що поширюються, істотно залежить від частоти для будь-якого виду навантаження.

4. Показано, що при відбитті згинних нормальних хвиль від защемленого торця півшару не спостерігається значної трансформації енергії в хвилі вищих порядків.

5. Встановлено правило взаємності при відбитті першої і другої нормальних мод від вільного і защемленого торця півшару в діапазоні частот, в якому існують лише дві моди, що поширюються.

Достовірність одержаних результатів забезпечується: використанням повної системи тривимірних рівнянь теорії пружності, коректністю математичних постановок задачі, контролем точності виконання граничних умов в ході обчислень, контролем виконання закону збереження енергії; в рамках методу суперпозиції коректною редукцією нескінченої системи за рахунок визначення асимптотичних властивостей невідомих, співставленням отриманих результатів з відомими літературними джерелами для окремих випадків.

Практичне значення одержаних результатів полягає у використанні розроблених методів розв'язку граничних задач і відповідних програм в прикладних дослідженнях, пов'язаних з проектуванням, визначенням робочих параметрів елементів коливальних систем, які працюють в області високих частот, при створенні акустичних резонаторів, перетворювачів акустичної енергії, при оцінці динамічної міцності деталей конструкцій.

Особистий внесок здобувача полягає в розробці алгоритмів програм і їх чисельної реалізації, а також в аналізі отриманих результатів. У роботах, опублікованих в співавторстві, наступний: у роботах [1], [2], [3], опублікованих спільно з академіком НАН України В.Т.Грінченко і науковим керівником д.ф.-м.н. Н.С.Городецькою - співавторам належить вибір загального напряму дослідження, постановка задачі та участь в обговоренні результатів розв'язку.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати наукових досліджень, що увійшли до дисертації доповідалися на:

Міжнародному акустичному симпозіумі - "КОНСОНАНС-2007" (Київ, 2007р.), "КОНСОНАНС-2009" (Київ, 2009р.), що проходили в Інституті гідромеханіки НАН України, на 7-ому Українсько-польському симпозіумі „Актуальні завдання механіки неоднорідних структур” (Львів, 5-9 вересня, 2007р.), на Міжнародній науковій конференції „Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 25-29 травня 2008р.), на VI Міжнародній науковій конференції “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецк-Мелекино, 2010р.), на Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2010р.).

У повному об'ємі дисертаційна робота обговорювалася на семінарі Інституту Гідромеханіки НАН України (2010р.).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 10 робіт. З них 3 опубліковані у рецензованих наукових журналах із переліку фахових видань ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.04.06 - акустика [1, 2, 3, ] та 6 в збірниках доповідей вітчизняних і міжнародних наукових конференцій [4,5, 6, 7, 8, 9, ].

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, основних висновків і списку використаної літератури. Загальний об'єм тексту дисертації містить 146 сторінки, з яких 129 сторінок займає основний текст, 17 сторінок - список літератури, який складається зі 177 найменувань. Основний текст містить 25 рисунків та 2 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано вибір та актуальність теми дослідження, вказано на зв'язок роботи з науковими програмами, сформульовано мету дисертації, а також задачі дослідження та методи досягнення поставленої мети, відзначено наукову новизну, достовірність та практичне значення отриманих результатів, показано особистий внесок здобувача і наведено дані щодо апробації результатів та надано загальну характеристику дисертації.

У першому розділі дисертації на підставі аналізу літературних джерел зроблено аналітичний огляд теоретичних і експериментальних досліджень, присвячених аналізу поширення хвиль у пружних обмежених хвилеводах, що послужило основою для вибору напрямку дослідження. Проведений огляд літератури показав, що існуючі дослідження як з точки зору розробки методів розв'язку відповідних граничних задач, так і з точки зору аналізу та трактовки результатів, виконано в неповному обсязі. Це, значною мірою, стимулювало науковий та практичний інтерес до більш повного вивчення процесу поширення нормальних хвиль в пружних хвилеводах.

Зазначимо, що дослідження, пов'язані з метою і задачами даної дисертаційної роботи, базуються на сучасній теоретичній базі наукових публікацій за різними аспектами хвильової динаміки і методів досліджень динамічних процесів в пружних обмежених тілах, які було виконано в роботах В.О.Бабешко, Ю.М.Бобровницького, Л.М.Бреховських, І.Й.Воровича, І.П.Гетьмана, О.М.Гомілко, Є.В.Глушкова, В.Т.Грінченко, О.М.Гузя, О.С.Зільберглейта, О.М. Петрищева, Ю.Д.Каплунова, О.С.Космодаміанського, Г.Л.Коміссарової, В.В.Мелешко, У.К.Нігула, А.Ф.Улітко, І.К.Сенченкова, В.В.Тютекіна, В.Аулда, Р.Грегорі, Ламе, Т.Мікера, Р.Міндліна, Олівера, М.Оное, Мак Нівена, Торвіка, Земанека, Е.Шоу. На підставі аналізу літературних джерел можна говорить про те, що такі специфічні хвильові процеси в пружних хвилеводах, як крайовий резонанс, значна трансформація енергії, що вноситься у хвилевод по модам, вивчались, як правило, для симетричних коливань. Вплив зміни типу симетрії на зазначені ефекти практично не досліджувався. Саме тому в даній роботі вивчалися антисиметричні коливання пружних обмежених хвилеводів.

Другий розділ присвячений аналізу аналітичних методів розв'язання граничних задач для пружних тіл скінчених розмірів. В роботі використовували два метода - метод однорідних розв'язків і метод суперпозиції. Обидва методи використовують набори частинних розв'язків векторного рівняння Ламе всередині області і мають необхідну ступінь довільності для виконання будь-яких умов на її границі. Відмінність цих методів полягає у використанні різних наборів частинних розв'язків.

У першому розділі на прикладі розв'язку задачі відбиття нормальної згинної хвилі від вільного торці пружного півшару ( з вільними бічними поверхнями і вільним торцем показано застосування обох методів, а також перехід від представлення вектора переміщення в рамках методу суперпозиції через нормальні хвилі.

В основі методу однорідних рішень лежить представлення хвилевого поля у вигляді ряду по системі нормальних хвиль, кожна з яких задовольняє умові відсутності напруження на бічних поверхнях півшару, а в цілому представлення володіє достатнім ступенем довільності для задоволення граничних умов на торці. Для розв'язку граничної задачі в роботі використовувалися методи коллокацій і найменших квадратів. Для кожної частоти враховували всі дійсні і чисто уявні та двадцять пар комплексних коренів дисперсійного рівняння. При цьому похибка виконання граничних умов на торці не перевищувала 0.45% заданого напруження, а закон збереження енергії виконувався з точністю до 0.998% енергії падаючої хвилі для обох випадків.

Для розв'язку цієї ж граничної задачі використовувався метод суперпозиції. Згідно із загальною схемою метода суперпозиції вектор переміщень після відокремлення часового множника (), який в подальшому опускається, має вигляд

, (1) .

Де , , ,

- швидкість поздовжніх хвиль, - швидкість поперечних хвиль в нескінченному пружному середовищі.

Виконання заданих граничних умов призводить до нескінченної системи інтегро-алгебраїчних рівнянь. З умови відсутності дотичного напруження на торці випливає зв'язок між коефіцієнтами і . Вводячи нову змінну

асимптотичні властивості невідомих можуть бути представлені у вигляді

Знання асимптотичних властивостей невідомих дозволяє розробити ефективні алгоритми для кількісної оцінки хвильового поля шляхом коректної редукції нескінченних систем. Похибки виконання граничних умов на торці не перевищувала Після розв'язання граничної задачі методом суперпозиції, використовуючи теорію лишків, вектор переміщення був представлений через суму нормальних хвиль:

, (2)

де - постійна розповсюдження j-ої нормальної хвилі, рівна кореню дисперсійного рівняння Релея-Лемба.

- (3)

При розв'язанні першої основної граничної задачі як метод суперпозиції, так і метод однорідних розв'язків дають близькі значення амплітуд нормальних хвиль. При цьому точність задоволення граничних умов на торці в методі суперпозицій вище.

У третьому розділі дисертаційної роботи вивчались особливості хвильового поля при різних способах збудження коливань. Розглядалися традиційний спосіб збудження коливань за рахунок задання на торці динамічних навантажень і джерело з обмеженою енергією таке як падаюча з нескінченності нормальна хвиля. Основна увага зосереджена на аналізі енергетичних характеристик і на особливостях збудження неоднорідних хвиль при антисиметричних коливаннях.

Спочатку розглядалися енергетичні характеристики при вимушених коливаннях для двох видів навантаження:

1. , (4)

2. . (5)

Для аналізу енергії , яка підводиться до хвилеводу за період, знаходили середній за період потік потужності. Середній за період потік потужності в напрямку обумовлений тільки нормальними хвилями, що поширюються і дорівнює сумі потужностей , які переносить кожна хвиля. Для антисиметричних коливань визначається наступним чином:

(6)

Рис.1 Частотна залежність при нормальному навантаженні

Рис.2 Частотна залежність при дотичному навантаженні

На рис.1 та рис.2 представлена частотна залежність безрозмірної величини для коефіцієнта Пуассона для різних видів навантаження. Відмітимо, що для обох випадків спостерігається значна залежність споживаної півшаром енергії від частоти. Порівняння даних рис.1 і рис.2, говорить про те, що енергетична сприйнятливість півшару в області низьких частот ( при навантаженні (4) значно вище, ніж при навантаженні (5). Слід відзначити, що відносний максимум енергоспоживання, який спостерігається, на частоті запирання другої моди (рис.1 для навантаження (4)), при зміні типу навантаження (рис.2 для навантаження (5)) зникає. Це говорить про те, що даний максимум був обумовлений високим ступенем узгодженості характеру навантаження і розподілу напруження в нормальній хвилі. В той же час, другий відносний максимум на частоті зберігається для обох видів навантаження. Це говорить про те, що ріст енергоспоживання хвилеводу обумовлений близькістю частоти зовнішнього навантаження до певної характерної частоти системи.

Ступінь збудження нормальних хвиль, що поширюються, суттєво залежить від виду навантаження. Це підтверджують дані рис.3 та рис.4, на яких представлено частотну залежність нормованого потоку потужності для різних нормальних хвиль.

Рис.3 Розподіл енергії по модам при нормальному навантаженні



Рис.4 Розподіл енергії по модам при дотичному навантаженні

Номер кривої відповідає номеру хвилі, що поширюється. Порівняння даних рис.3 та рис.4 показує, що при різних видах навантаження в одному і тому ж частотному діапазоні домінувати будуть різні моди, крім того, видом навантаження визначається ширина частотного діапазону, на якому хвиля домінує.

Крім вимушених коливань, в даному розділі було проаналізовано процес відбиття від вільного торця різних нормальних хвиль, що поширюються. На рис.5 та рис.6 представлено трансформацію енергії падаючої хвилі у відбиті нормальні хвилі, що поширюються. Рис.5 відповідає відбиттю першої нормальної хвилі, а рис.6 - другої. Як видно з рис.5 та рис.6 при відбитті як першої, так і другої нормальних хвиль від вільного торця хвилеводу спостерігається значна трансформація енергії падаючої хвилі в моди вищих порядків. Частотний діапазон, в якому конкретна нормальна хвиля буде енергетично домінуючою, визначається видом навантаження.

Рис.5 Розподіл енергії першої нормальної хвилі по модам вищих порядків

Рис.6 Розподіл енергії другої нормальної хвилі по модам вищих порядків

Відмітимо ще один цікавий результат, який отримано з порівняння даних рис.5 і рис.6. У діапазоні частот, коли в півшарі існує тільки дві антисиметричні хвилі, що поширюються, обидва рис.5 та рис.6 співпадають з графічною точністю при заміні номера кривої. (на рис.6 крива 1 відповідає кривій 2 рис.5). Подібність кривих на рис.5 і рис.6 в даному діапазоні дозволяє сформулювати правило взаємності. Будемо характеризувати процес відбиття першої нормальної хвилі від вільного торця хвилеводу деяким, залежним від частоти, коефіцієнтом трансформації енергії в другу нормальну хвилю, тобто

.

По суті крива 2 на рис.5 в цьому частотному діапазоні представляє величину . Вказана крива співпадає з кривою 1 рис.6, яка є коефіцієнтом трансформації енергії другої моди в першу , тобто

.

Порівнюючи рис.5 і рис.6 можна вважати, що .

В третьому розділі розглядаються особливості збудження неоднорідних хвиль при антисиметричних коливаннях півшару. Як відомо, при симетричних коливаннях півшару спостерігається крайовий резонанс - резонанс на неоднорідних хвилях, який на сьогодні достатньо вивчений і підтверджений експериментально. При зміні типу симетрії коливань (антисиметричні коливання), резонанси на неоднорідних хвилях практично не досліджувались.

Рис.7 Частотні залежності модулів амплітуд нормальних хвиль при відбитті першої нормальної хвилі від вільного торця півшару

Рис.8 Частотні залежності модуля амплітуди нормальної хвилі, яка відповідає першому комплексному хвильовому числу: 1 - , 2 - , 3 -

На рис.7 та рис.8 представлено частотні залежності модуля амплітуд нормальних хвиль при відбитті першої нормальної хвилі від вільного торця хвилеводу для коефіцієнта Пуассона . Амплітуди відбитих хвиль нормовані на амплітуду падаючої хвилі. Криві 1 і 2 відповідають амплітудам першої і другої хвиль, що поширюються, відповідно, а криві 3 і 4 описують амплітуди мод з першим і другим комплексним хвильовим числом. Як видно з рис.7 на частоті модуль амплітуди першої неоднорідної хвилі (крива 3) перевищує амплітуди падаючої і відбитих хвиль, що поширюються. Ще однією характерною особливістю рис.7 є існування локального максимуму для другої неоднорідної хвилі (крива 4). Важливо відзначити, що на відміну від крайового резонансу при симетричних коливаннях півшару, в даному випадку частоти, на яких неоднорідні хвилі різних порядків досягають максимуму, не збігаються. Як відомо, аналізуючи резонансну ситуацію необхідно стежити не лише за зростанням модуля амплітуд, але і за зміною фазових характеристик. Проте, на частоті, на якій амплітуда першої неоднорідної хвилі досягає максимуму, фаза не змінює знак. Тому в даному випадку можна говорити лише про збільшення (навіть істотне) модуля амплітуди неоднорідної хвилі, але не про існування резонансної ситуації.

На рис.8 показано частотні залежності модуля амплітуди неоднорідної хвилі, яка відповідає першому комплексному хвильовому числу дисперсійного рівняння (3), для різних значень коефіцієнта Пуассона. Як видно з рисунка криві 1 і 2 мають лише один максимум амплітуди першої неоднорідної хвилі. При цьому із зростанням частота, на якій спостерігається даний максимум, збільшується. Крім того, при збільшенні коефіцієнта Пуассона незначно збільшується максимальна величина амплітуди неоднорідної хвилі і звужується частотний діапазон, в якому спостерігається ефективне збудження неоднорідної хвилі (криві 1 і 2). Спільним для коефіцієнтів Пуассона , є те, що неоднорідна хвиля, яка відповідає першому комплексному кореню дисперсійного рівняння, вироджується в дійсний корінь на частоті (рис.9).

Рис.9 Дисперсійні криві згинних хвильРелея- Лемба для

Рис.10 Дисперсійні криві згинних хвильРелея- Лемба для

На даній частоті з'являються “зворотна” хвиля і третя мода, що поширюється, тобто пара комплексних коренів дисперсійного рівняння вироджується в два дійсні кореня.

Для кривої 3 ситуація інакша. Ця крива має два максимуми. Важливо відмітити, що при антисиметричних коливаннях перший комплексний корінь залежно від коефіцієнта Пуассона може вироджуватися як в дійсний (як у випадку 0.1 і 0.2, 0.3), так і в чисто уявний корінь. Коефіцієнт Пуассона відповідає саме такому випадку. Якісні відмінності в частотних залежностях для кривих 1, 2 і кривої 3 рис.8 обумовлені відмінностями в поведінці дисперсійних кривих.

Рис.11 Частотні залежності модуля амплітуди неоднорідної хвилі, яка відповідає першому комплексному хвильовому числу для

Рис.12 Фазові характеристики амплітуди першої неоднорідної хвилі

Розглянемо детальніше криву 3. Перший локальний максимум спостерігається на частоті . На даній частоті амплітуда неоднорідної хвилі має максимум, а фаза не змінюється. При подальшому зростанні частоти амплітуда неоднорідної хвилі спочатку зменшується, а потім знову починає зростати. На рис.11 показаний фрагмент кривої 3 в збільшеному масштабі частоти. На частоті модуль амплітуди неоднорідної хвилі, яка відповідає першому комплексному кореню, досягає максимальної величини. На цій же частоті фаза амплітуди змінює знак (рис.12), тобто дану частоту можна вважати резонансною. На частоті для перший комплексний корінь дисперсійного рівняння вироджується в чисто уявний. На рисунках для амплітудних і фазових характеристик суцільні криві відповідають гілці дисперсійного спектру, а штрихові криві відповідають гілці (рис.9).

Для характеристики знайденого резонансу на неоднорідних хвилях при згинних коливаннях півшару важливо проаналізувати відповідну форму коливань. На рис.13 показана форма коливань торця півшару в рівноважному стані (суцільна лінія з кружечками) і при резонансному відхиленні від положення рівноваги (штрихова лінія із зірочками). Точка в положенні рівноваги позначена числом, а відповідна точка при резонансному відхиленні числом з штрихом.

Рис.13 Форма коливань

Рис.14 Компоненти переміщень на торці на частоті

На торці півшару спостерігаються істотні деформації, в той же час при віддаленні від торця амплітуда переміщень зменшується. Оцінити вклад різних нормальних хвиль в переміщення на торці на частоті резонансу можна за даними рис.14. Тут криві відповідають переміщенню, обумовленому усіма нормальними хвилями, а криві з індексом 2 компонентам переміщення, обумовленого двома хвилями, що поширюються. Як видно з рис.14, загальне переміщення значно перевищує переміщення за рахунок хвиль, що поширюються, тобто істотні відхилення торця півшару обумовлені неоднорідними хвилями.

Резонанс на неоднорідних хвилях при антисиметричних коливаннях півшару має місце на частоті, на якій існують дві хвилі, що поширюються. Тому механізм радіаційного демпфування, що обумовлює скінченність амплітуд неоднорідних хвиль, є в даному випадку складнішим, ніж при симетричних коливаннях. На знайденій резонансній частоті у відбитому полі перша нормальна хвиля переносить 94,3% енергії падаючої хвилі, а друга лише - 5,7%.

Таким чином, при антисиметричних коливаннях півшару, як і при симетричних, існує резонанс на неоднорідних хвилях. Але цей резонанс спостерігається в більш високочастотній області, в якій існують дві нормальні хвилі, що поширюються; на резонансній частоті тільки неоднорідна хвиля з хвильовим числом, що відповідає першому комплексному кореню дисперсійного рівняння має максимальну амплітуду, неоднорідні хвилі вищих порядків на даній частоті максимуму амплітуди не мають. Знайдений резонанс на неоднорідних хвилях при згинних коливаннях півшару спостерігається не для усіх коефіцієнтів Пуассона.

У четвертому розділі дисертаційної роботи розглянуто змішану граничну задачу для півшару з вільними бічними поверхнями ( і защемленим торцем у випадку антисиметричних коливань. Проведено аналіз частотних залежностей енергетичних характеристик хвилевого поля, яке збуджується нормальною хвилею, що падає. При цьому особлива увага приділялася структурі хвилевого поля і ролі різних типів нормальних хвиль в його формуванні. Проаналізовано особливості збудження неоднорідних хвиль в півшарі із защемленим торцем.

Змішана гранична задача на сьогодні вивчена недостатньо, що обумовлено труднощами математичного і фізичного характеру, які виникають при визначенні напружено-деформівного стану в околі точки зміни типу граничних умов. В такій точці можливі локальні особливості в характеристиках хвильового поля. Метод суперпозиції дозволяє врахувати особливість по напруженню, яка виникає в точці зміни типу граничних умов, через асимптотичні властивості невідомих. Використовуючи традиційну схему метода суперпозиції вектор переміщення представляється у вигляді (1). Виконання граничних умов призводить до нескінченної системи інтегро-алгебраїчних рівнянь. Аналіз асимптотичної поведінки невідомих в отриманій системі проведено використовуючи апріорно відомий характер локальної особливості поля напружень в околі точки зміни типу граничних умов . Оскільки напруження мають степеневу особливість, то поблизу кутових точок нормальні напруження можуть бути представлені як

(7)

Де - сталі, - гладкі функції, - показник особливості.

Тоді необхідному характеру особливостей по напруженню в кутових точках відповідає асимптотична поведінка невідомих

(8)

Заміна невідомих з високими номерами нескінченної системи їх асимптотичними значеннями дозволяє провести коректну редукцію системи і визначити асимптотику для (1), яка має вигляд:

 (9)

Використовуючи асимптотичні властивості і зберігаючи в системі лише головні члени отримуємо систему однорідних рівнянь:

,

(10)

Прирівнюючи визначник даної системи нулю знаходимо рівняння для визначення .

Використовуючи значення невідомих, отриманих у рамках методу суперпозицій з урахуванням особливості по напруженню в кутовій точці, визначимо коефіцієнт збудження j-ої нормальної хвилі згідно співвідношення:

, (11)

.

мають громіздку структуру і не приводяться.

Важливою характеристикою хвилевих процесів є трансформація енергії хвилі, що падає, в нормальні відбиті хвилі. Передусім зупинимося на відбитті від защемленого торця першої нормальної хвилі. Розглянемо розподіл енергії хвилі, що падає, між різними відбитими модами, що поширюються, залежно від частоти.

Рис.15 Трансформація енергії першої падаючої хвилі в хвилі вищих порядків.

Рис.16 Трансформація енергії другої падаючої хвилі в хвилі інших порядків

Особливістю відбиття першої антисиметричної хвилі від защемленого торця є слабка трансформація енергії падаючої хвилі в моди вищих порядків. Тільки на частоті запирання для другої нормальної хвилі перша відбита хвиля втрачає 20% своєї енергії. При подальшому рості частоти домінуючий характер першої моди зберігається. При відбитті другої хвилі, що поширюється, від защемленого торця в області частот, де існує тільки дві хвилі, що поширюються, ситуація аналогічна. Домінуючою виявляється хвиля того ж типу, що і падає. Як і при відбитті від вільного торця в даному випадку виконується правило взаємності.

Рис.17 Частотні залежності модулів амплітуд нормальних хвиль при відбитті першої нормальної хвилі від защемленого торця півшару

Таким чином, тип граничних умов на торці визначає інтенсивність процесу трансформації енергії падаючої хвилі.

Для кінематичних граничних умов цікавим є аналіз частотних залежностей амплітуд нормальних хвиль, які збуджуються при відбитті першої нормальної хвилі, що падає на защемлений торець пружного півшару. Такі дані приведені на рис.17.

Криві 1, 2, 5 відповідають хвилям, що поширюються. Криві 3 і 4 - неоднорідним хвилям з першим і другим комплексними кореням дисперсійного рівняння. Як видно із рис.17, при кінематичних граничних умовах резонансу на неоднорідних хвилях в розглянутому частотному діапазоні не існує. Значного перевищення амплітуди неоднорідної хвилі над амплітудами хвиль, що поширюються, не спостерігається.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі проведено теоретичне дослідження хвильового поля при антисиметричних коливаннях пружного півшару з вільними бічними поверхнями і при динамічних і кінематичних граничних умовах на його торці. Досліджений вплив фізичних параметрів (коефіцієнта Пуассона), способу збурення хвилевого поля (вимушені коливання або відбиття нормальних хвиль), типу граничних умов на торці (вільна або защемлена межа) на енергетичні характеристики хвилевого поля, на рівень збудження різних типів нормальних хвиль. Отримані наступні нові наукові результати:

1. Встановлено існування резонансу на неоднорідних хвилях при антисиметричних коливаннях півшару з вільним торцем. Показано, що резонанс спостерігається не для усіх коефіцієнтів Пуассона. Резонансна частота співпадає з частотою, на якій перший комплексний корінь дисперсійного рівняння вироджується в чисто уявний.

2. Показано, що для всіх розглянутих видів навантаження можна виділити діапазони частот, в яких різні хвилі, що поширюються, є домінуючими. Для кінематичних граничних умов при збудженні хвильового поля першою хвилею, що поширюється, ця хвиля залишається домінуючою у всьому розглянутому частотному діапазоні.

3. Порівняння процесу відбиття першої і другої нормальних згинних хвиль від вільного або защемленого торця півшару дозволило встановити правило взаємності для діапазону частот, в якому існують тільки дві моди, що поширюються.

4. Розроблена і реалізована поліпшена чисельна методика розв'язку граничних задач методом суперпозиції на основі порівняння результатів з даними, отриманими при використанні методу однорідних рішень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гринченко В. Т. Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя / В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт // Акуст. вісник, 2007. - 10, № 3. - С. 42-54.

2. Гринченко В. Т. Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом / В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт // Акуст. вісник, 2009. - 12, № 1. - С. 32-42.

3. Гринченко В. Т. Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны./ В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт // Акуст. вісник, 2009. - 12, № 2. - С. 16-24.

4. Городецкая Н. С. Возбуждение неоднородных волн при симметричных и антисимметричных колебаниях полуслоя / Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт // Тези доповідей акустичного симпозіуму [“КОНСОНАНС-2009”], (Київ, 29 вересня - 1 жовтня 2009 р.) / Національна Академія Наук України, Інститут Гідромеханіки. - К. : ІГМ НАНУ, 2009. - С. 23.

5. Гринченко В. Т. Изгибные колебания полуслоя со свободным торцом / В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт // Тези доповідей 6-ої Міжн. наук. конф. [„Актуальные пробл. мех. деформ. твердого тела”], (Донецк-Мелекино, 8-11 июня 2010 г.) / Донецкий национальный университет. - Д. : ДНУ, 2010. - С. 13.

6. Гринченко В. Т. Энергия изгибных мод при вынужденных колебаниях полуслоя и при отражении мод от свободного торца / В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт // Тези доповідей акустичного симпозіуму [“КОНСОНАНС-2007”], (Київ, 25-27 вересня 2007 р.) / Національна Академія Наук України, Інститут Гідромеханіки. - К. : ІГМ НАНУ, 2007. - С. 13.

7. Грінченко В. Т. Відбиття антисиметричної хвилі Релея-Лемба від півшару з вільним або закріпленим торцем / В. Т. Грінченко, Н. С. Городецька, І. В. Старовойт // Тези доповідей Міжн. наук. конф. [„Сучасні проблеми механіки та математики”], (Львів, 25-29 травня 2008 р.) / Національна Академія Наук України, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача. - Львів : Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАНУ, 2008. - С. 134-135.

8. Грінченко В. Т. Резонанс на неоднорідних хвилях при згинних коливаннях півшару / В. Т. Грінченко, Н. С. Городецька, І. В. Старовойт // Тези доповідей 8-ої Міжн. наук. конф. [„Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”], (Львів, 14-17 вересня 2010 р.) / Національна Академія Наук України, Львівський національний університет ім. І. Франка. - Львів : Львівський національний університет ім. І. Франка НАНУ, 2010. - С. 11-12

9. Грінченко В. Т. Трансформація енергії на вільній границі пружного півшару / В. Т. Грінченко, Н. С. Городецька, І. В. Старовойт // Тези доповідей 7-го Українсько-польського симпозіуму [„Актуальні задачі механіки неоднорідних структур”], (Львів, 5-9 вересня 2007 р.) / Національна Академія Наук України, Львівський національний університет ім. І. Франка. - Львів : Львівський національний університет ім. І. Франка НАНУ, 2007. - С. 10-11.

10. Городецкая Н. С. Вынужденные антисимметричные колебания упругого полуслоя со свободными границами / Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт // Річний звіт Інституту гідромеханіки НАН України за 2006 рік, 2006. - С. 37-39.

АНОТАЦІЯ

Старовойт І.В. Згинні хвилі Релея-Лемба в півскінченному пружному шарі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.04.06 - Акустика. - Інститут гідромеханіки НАН України, Київ, 2011.

Дисертація присвячена дослідженню хвильового поля при антисиметричних коливаннях пружного півшару з вільними бічними поверхнями і при динамічних і кінематичних граничних умовах на його торці. Досліджений вплив фізичних параметрів (коефіцієнта Пуассона), способу збурення хвилевого поля (вимушені коливання або відбиття нормальних хвиль), типу граничних умов на торці (вільна або защемлена межа) на енергетичні характеристики хвилевого поля, на рівень збудження різних типів нормальних хвиль. В роботі встановлено існування резонансу на неоднорідних хвилях при антисиметричних коливаннях півшару з вільним торцем. Показано, що резонанс спостерігається не для усіх коефіцієнтів Пуассона. Резонансна частота співпадає з частотою, на якій перший комплексний корінь дисперсійного рівняння вироджується в чисто уявний. Показано, що для всіх розглянутих видів навантаження можна виділити діапазони частот, в яких різні хвилі, що поширюються, є домінуючими. Для кінематичних граничних умов при збудженні хвильового поля першою хвилею, що поширюється, ця хвиля залишається домінуючою у всьому розглянутому частотному діапазоні. Порівняння процесу відбиття першої і другої нормальних згинних хвиль від вільного або защемленого торця півшару дозволило встановити правило взаємності для діапазону частот, в якому існують тільки дві моди, що поширюються.

Ключові слова: антисиметричні коливання пружного півшару, граничні умови, згинні хвилі, неоднорідні хвилі, резонансна частота.

АННОТАЦИЯ

Старовойт И.В. Изгибные волны Рэлея-Лэмба в полубесконечном упругом слое. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.06 - Акустика. - Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, 2011.

В диссертационной работе проведено теоретическое исследование волнового поля при антисимметричных колебаниях упругого полуслоя со свободными боковыми поверхностями и при динамических и кинематических граничных условиях на его торце. Исследовано влияние физических параметров (коэффициента Пуассона), способа возбуждения волнового поля (вынужденные колебания или отражение нормальных волн), типа граничных условий на торце (свободная или защемленная граница) на энергетические характеристики волнового поля, на уровень возбуждения различных типов нормальных волн.

В работе на примере решения первой основной граничной задачи для упругого полуслоя проведен сравнительный анализ двух аналитических методов - метода однородных решений и суперпозиции. В рамках метода суперпозиции использования асимптотических свойств неизвестных позволило провести корректную редукцию бесконечной системы и таким образом разработать эффективные алгоритмы для количественных оценок волнового поля в полуслое. Решение, полученное в рамках метода суперпозиции, было представлено в виде нормальных волн, т.е. в форме метода однородных решений. Это позволяет использовать главное преимущество метода однородных решений - наглядность при трактовке полученных результатов. Сравнение результатов решения первой основной граничной задачи, полученное в рамках метода однородных решений и метода суперпозиции позволило утверждать, что оба метода дают практически одинаковые величины для коэффициентов возбуждения различных нормальных волн при одинаковой точности выполнения граничных условий.

Рассмотрены частотные зависимости энергии, которую переносят различные распространяющиеся моды при антисимметричных колебаниях полуслоя. Изучались вынужденные колебания при возбуждении полуслоя нормальной нагрузкой вида и касательной нагрузкой вида . Также был исследован более сложный в физическом плане процесс возбуждения волнового поля - отражение нормальных волн (первой и второй) от свободного торца. В этом случае характер нагрузки изменяется с частотой. Установлено, что независимо от вида нагрузки наблюдается значительная зависимость энергии, которую переносят различные распространяющиеся моды от частоты.

При этом частотные интервалы, в которых данная мода является наиболее энергетически выраженной, определяются видом нагрузки.

В работе показано существование резонанса на неоднородных волнах при антисимметричных колебаниях полуслоя. Резонанс проявляется в резком увеличении амплитудных характеристик и изменении фазовых характеристик неоднородной волны, соответствующей первому комплексному корню дисперсионного уравнения. Важной особенностью резонанса на неоднородных волнах при антисимметричных колебаниях является то, что резонансная ситуация наблюдается не для всех коэффициентов Пуассона. Резонансная частота совпадает с частотой, на которой первый комплексный корень дисперсионного уравнения вырождается в чисто мнимый. Характерной особенностью дисперсионного спектра при антисимметричных колебаниях является то, что первый комплексный корень может вырождаться как в действительный (для ), так и в чисто мнимый. Для тех коэффициентов Пуассона, при которых первый комплексный корень вырождается в действительный, резонанса на неоднородных волнах не наблюдается. Амплитуда неоднородной волны с волновым числом равным первому комплексному корню дисперсионного уравнения имеет локальный максимум без смены фазовых характеристик.

Резонанс на неоднородных волнах существует в области частот, где две нормальные волны являются распространяющимися. При этом наиболее энергетически выраженной является первая отраженная распространяющаяся волна. На резонансной частоте вторая распространяющаяся волна возбуждается слабо (переносит около 5%, в зависимости от коэффициента Пуассона, энергии падающей волны). На резонансной частоте фазы обеих распространяющихся волн знак не изменяют.

Рассмотрены частотные зависимости энергии, которую переносят различные распространяющиеся моды при антисимметричных колебаниях полуслоя с защемленным торцом. Волновое поле в полуслое возбуждалось при отражении первой или второй распространяющейся волны от защемленного торца. Установлено, что в области частот, когда существуют только две распространяющиеся волны, не наблюдается значительной трансформации энергии падающей волны в распространяющиеся моды высших порядков. При отражении первой распространяющейся волны эта мода сохраняет свою доминирующую роль выше частоты запирания второй и третьей моды.

Слабая трансформация энергии падающей волны в моды других порядков при отражении антисимметричной волны от защемленного торца вблизи частоты запирания для второй моды обусловлена значительным возбуждением мод с комплексными волновыми числами. В окрестности частоты запирания для второй моды модуль амплитуды волны с первым комплексным числом для частот () больше амплитуды волны с чисто мнимым волновым числом, а для частот () больше амплитуды второй распространяющейся волны. Такое значительное возбуждение волн с первым комплексным волновым числом при отражении антисимметричной волны от свободного торца и при отражении симметричной волны от свободного или защемленного торца вблизи частоты запирания для второй моды не наблюдалось.

Ключевые слова: антисимметричные колебания упругого полуслоя, граничные условия, изгибные волны, неоднородные волны, резонансная частота.

ABSTRACT

Starovoit I.V. Flexural waves of the Raleigh-Lamb in a semi-infinite elastic layer - Manuscript.

Thesis for the Candidate's Degree in Physics and Mathematics on speciality 01.04.06 - Acoustics. Institute of Hydromechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2011.

The dissertation investigates the wave field at the antisymmetric vibration of elastic layer with free lateral surfaces and dynamic and kinematic boundary conditions on its end. Influence of physical parameters (Poisson coefficient), the method of excitation wave field (forced vibrations or reflection of normal waves), the type of boundary conditions at the edge (free or incarcerated bound) on the performance of wave fields at the level of excitation of various types of normal waves is investigated. In this paper the existence of resonance for evanescent waves at antisymmetric vibration of the layer with the free edge are considered. As shown by this work the resonance is observed not for all Poisson coefficients. Resonant frequency matches the frequency at which the first complex root of the dispersion equation degenerates into the purely imaginary. For all considered types of load can be identified frequency bands in which the different waves that spread is dominant. For the kinematic boundary conditions at the excitation field the first wave, propagating this wave remains dominant in all the considered frequency range. Comparison of reflection process of the first and second normal bending waves from the free or pinched end face are considered possible to establish the rule of reciprocity for the frequency range in which there are only two modes that apply. хвиля тіло коливання збудження

Key words: antisymmetric fluctuations of an semi-infinite elastic layer, boundary conditions, flexural waves, evanescent waves, resonant frequency.

Підписано до друку 06.12.2010 р.

Формат 6084/16. Папір друк. Умовн. арк. 0.9.

Друк трафаретний (різографія). Наклад 100 прим.

Надруковано в Інституті гідромеханіки НАН України.

03680, Київ - 57, вул.. Желябова, 8/4.

Размещено на Allbest.ru

...