Волновой твердотельный гироскоп

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Глава 1. Принцип работы волнового твердотельного гироскопа (ВТГ). Математические модели ВТГ

1.1 Распространение упругих волн в изотропной среде

1.2 Принцип работы ВТГ

1.3 Различные подходы к выводу уравнений движения ВТГ

1.4 Математическая модель ВТГ

1.5 Управление стоячими волнами в полусферическом резонаторе

Глава 2. Схемотехнические и конструктивные решения системы управления ВТГ

2.1 Система возбуждения колебаний резонатора

Глава 1. Принцип работы волнового твердотельного гироскопа (ВТГ). Математические модели ВТГ

1.1 Распространение упругих волн в изотропной среде

Для того, чтобы понять физику работы волнового твердотельного гироскопа, необходимо знать основы теории распространения упругих волн в изотропной среде, т.е. в среде, где волны беспрепятственно могут распространяться в любом направлении. Материал, представленный ниже, излагается на основе фундаментальной теории, изложенной в книге Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Теория упругости, т. 7. - М.: Наука, 2003 г., стр. 130 - 133.

Если в деформируемом теле происходит движение, то температура тела не является постоянной, а меняется как со временем, так и от точки к точке вдоль тела. Однако, как правило, передача тепла из одного участка тела в другой (посредством простой теплопроводности) происходит очень медленно. Если теплообмен практически не происходит в течение промежутков времени порядка периода колебательных движений в теле, то можно рассматривать каждый участок тела как теплоизолированный, т.е. движение будет адиабатическим. При адиабатических деформациях тензор напряжений выражается через тензор деформации

с той лишь разницей, что вместо обычных (изотермических) значений величин модуля растяжения (Юнга) E и коэффициента Пуассона необходимо брать их адиабатические значения:

, (1.1.1)

Где E - модуль растяжения (модуль Юнга);

- коэффициент Пуассона;

- коэффициент теплового расширения тока;

T - температура среды;

- теплоемкость при постоянном давлении, отнесенная к единице объема тела. волновой гироскоп изотропный

Если считать это условие выполненным, то в дальнейшем под E и будут подразумеваться их адиабатические значения.

Уравнения движения упругой среды, исходя из третьего закона Ньютона, получаются в случае равенства силы внутренних напряжений произведению ускорения на массу единицы объема тела, т.е. на его плотность :

(1.1.2)

Подразумевается, что скорость v точек среды совпадает с производной от ее смещения. В кристаллах вектор u представляет собой смещение узлов решетки; скорость же v определяется в механике сплошных сред как импульс единицы массы вещества. Равенство справедливо лишь для идеальных кристаллов, где в каждом узле решетки (и только в них) находится по атому. Если же кристалл содержит дефекты (незаполненные узлы - вакансии, или же, напротив, лишние атомы в междоузлиях), то перенос массы относительно решетки (т.е. отличный от нуля импульс) может существовать и в недеформированной решетке - за счет диффузии дефектов "сквозь решетку". Отождествление подразумевает пренебрежение этими эффектами - в связи с медленностью диффузии или малой концентрацией дефектов.

Выражение (1.1.2) представляет собой общий вид уравнений движения. В частности, уравнения движения изотропной упругой среды можно написать непосредственно по аналогии с уравнением равновесия:

, (1.1.3)

где g - ускорение свободного падения. Отсюда:

(1.1.4)

Поскольку все деформации предполагаются малыми, то рассматриваемые в теории упругости движения представляют собой малые упругие колебания или волны. Рассмотрим движение плоской упругой волны в неограниченной изотропной среде, т.е. волны, в которой деформация u является функцией только от одной из координат, например, от x (и от времени). Все производные по y и z уравнения (1.1.4) исчезают, тогда получаем для отдельных компонент вектора u следующие уравнения:

(1.1.5)

(уравнение для такое же, как для ), где введены обозначения:

(1.1.6)

Выражение скоростей и через коэффициенты сжатия и сдвига и через коэффициенты Ламэ имеет следующий вид:

(1.1.7)

Поясним, что из себя представляют коэффициенты Ламэ. Пусть F свободная энергия тела как функция от тензора деформации. Поскольку свободная энергия является величиной скалярной, то и каждый член в разложении F тоже должен быть скаляром. Из компонент симметрического тензора можно составить два независимых скаляра второй степени, причём в качестве них можно выбрать квадрат суммы диагональных компонент и сумму квадратов всех компонент тензора . Разлагая F по степеням , мы получим с точностью до членов второго порядка выражение вида:

.

Это есть выражение для свободной энергии деформированного изотропного тела. Величины называют коэффициентами Ламэ.

Таким образом, уравнения (1.1.7) представляют собой обычные волновые уравнения в одном измерении, и входящие в них величины и являются скоростями распространения волны. Из уравнений (1.1.7) следует, что скорость распространения волны оказывается различной для компоненты , с одной стороны, и , - с другой.

Таким образом, упругая волна представляет собой по существу две независимо распространяющиеся волны. В одной из них () смещение направлено вдоль распространения самой волны; такую волну называют продольной, она распространяется со скоростью . В другой (, ) - смещение направлено в плоскости, перпендикулярной направлению распространения; такую волну называют поперечной, она распространяется со скоростью . Как видно из (1.1.7), скорость всегда больше скорости :

 (1.1.8)

При фактическом изменении в пределах от 0 до имеет место и более сильное неравенство:

(1.1.9)

Скорости и называют продольной и поперечной скоростями звука.

Мы знаем, что изменение объема при деформации определяется суммой диагональных членов тензора деформации, т.е. величиной . В поперечной волне имеются только компоненты , , и поскольку они не зависят ни от y, ни от z, для такой волны . Таким образом, поперечные волны не связаны с изменением объема отдельных участков тела. Напротив, для продольных волн ; эти волны сопровождаются сжатиями и расширениями в теле.

Разделение волны на две независимо распространяющиеся с разными скоростями части можно произвести и в общем случае произвольной (не плоской) упругой волны в неограниченном пространстве.

Перепишем уравнение (1.1.4), введя в него скорости и :

(1.1.10)

Представим вектор u в виде суммы двух частей:

, (1.1.11)

из которых одна удовлетворяет условию:

(1.1.12)

Другая же - условию:

(1.1.13)

Из векторного анализа известно, что такое представление всегда возможно (это есть представление вектора в виде суммы ротора некоторого вектора и градиента некоторого скаляра).

При подстановке в (1.1.10) получаем:

(1.1.14)

Применим к обеим частям этого уравнения операцию div. Поскольку мы получим

, (1.1.15)

Или

. (1.1.16)

С другой стороны, rot стоящего в скобках выражения тоже равен нулю в силу (1.1.13). Но если rot и div некоторого вектора исчезают во всем пространстве, то этот вектор тождественно равен нулю. Таким образом:

 (1.1.17)

Аналогично применяя к уравнению (1.1.14) операцию rot и помня, что , и что rot всякого градиента равен нулю, находим

(1.1.18)

Поскольку div стоящего в скобках выражения тоже равна нулю, мы приходим опять к уравнению того же вида, как и (1.1.17):

(1.1.19)

Уравнения (1.1.17) и (1.1.19) представляют собой обычные волновые уравнения (в трех измерениях). Каждое из них соответствует распространению упругой волны со скоростью соответственно или . Одна из этих волн ) не связана с изменением объема (в силу ), а другая сопровождается объемными сжатиями и расширениями.

В монохроматической упругой волне вектор смещения имеет вид

, (1.1.20)

где - функция координат. Эта функция удовлетворяет уравнению

(1.1.21)

получающемуся при подстановке (13) в (6). Продольная и поперечная части монохроматической волны удовлетворяют уравнениям

 (1.1.22)

где , - волновые векторы продольной и поперечной волн.

1.2 Принцип работы ВТГ

В основе работы волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) лежит явление инертности упругих волн. Этот эффект впервые был открыт британским физиком Брайаном, который исследовал движение стоячей волны, возбужденной при изгибных колебаниях тонкого кольца (резонатора), установленного на вращающемся основании. Брайан установил, что угловая скорость поворота стоячей волны выражается формулой

,

где n- номер моды колебаний, ? (t)- угловая скорость равномерного вращения основания с закрепленным на нем резонатором.

Эта формула получила широкую известность среди научных работников и инженеров в области разработки гироскопических приборов благодаря патенту Д. Линча [2], в котором по измерению угловой скорости прецессии волны относительно кварцевого полусферического резонатора предлагалось определять угловую скорость самого резонатора. Хотя авторы патента и ссылались на формулу Брайана, на самом деле в подтверждение своей идеи они привели результат эксперимента, в котором поворот первоначально неподвижного вибрирующего резонатора на 90 вызвал поворот стоячей волны на угол 30 без каких-либо изменений формы этой волны. Таким образом, экспериментально была установлена формула:

 Примечание. Формула и текст, поясняющий формулу, заимствованы из еще не опубликованной статьи Журавлева В.Ф. "Волновой твердотельный гироскоп. Современное состояние проблемы", любезно предоставленной д. ф.-м. наук Жбановым Ю.К. для составления настоящей пояснительной записки.,

связывающая уже не постоянные скорости поворота, а сами углы поворота при явно не постоянных скоростях. Возникло подозрение, что формула Брайана для кольца, также как и для других упругих систем с осевой симметрией, верна и для произвольно меняющихся во времени угловых скоростей. Эта догадка была теоретически точно подтверждена в виде формулы

в работе [3] Журавлева В.Ф. и Климова Д.М. Формально формула Брайана не давала никаких оснований для построения на этой основе инерциального датчика. Только точный результат [3], инициированный экспериментом [2], предоставил такие основания. Коэффициент

[3]

принято называть масштабным коэффициентом Брайана. Таким образом, Журавлев В.Ф. и Климов Д.М [3] показали справедливость эффекта Брайана для любого закона ? (t) вращения основания.

В работах Журавлева В.Ф. [3], [11] разработана математическая модель волнового твердотельного гироскопа в наиболее общей форме, поясняющая физику работы целого класса инерциальных измерителей, начиная с маятника Фуко. Весь класс этих инерциальных измерителей, в который входит и ВТГ, назван Журавлевым В.Ф. обобщенным маятником Фуко.

Настоящий раздел пояснительной записки содержит краткое изложение основных теоретических результатов, полученных Журавлевым В.Ф., а также приводятся сведения о попытках ряда авторов [13], [12] создать упрощенную теорию волнового твердотельного гироскопа.

Целью этого раздела является изложение принципа работы ВТГ в форме, доступной для понимания инженерами, которые будут заниматься практической реализацией ВТГ в рамках разрабатываемой темы, при этом основные математические результаты приводятся без подробного вывода уравнений со ссылкой на работы авторов, получивших эти результаты.

Обобщенный маятник Фуко. В 1851 году Леон Фуко [9] описал эксперимент, позволяющий, по его мнению, измерить угловую скорость вращения Земли. Эксперимент заключался в наблюдении плоскости колебаний установленного на поверхности Земли сферического маятника. Предполагалось, что Земля не вовлекает плоскость колебаний маятника во вращение вокруг местной вертикали. Эти предположения подтвердились.

Рассмотрим колебания идеального маятника, установленного на платформе, которая может поворачиваться вокруг оси Z, где находится точка закрепления маятника (рис. 1.2.1).

Когда платформа неподвижна, маятник совершает колебания вдоль оси А-Б платформы. При повороте платформы с угловой скоростью вокруг оси Z маятник совершает колебания вдоль оси А'- Б' под углом к направлению оси первоначальных колебаний А-Б.

Измеряя угол положения плоскости качания мятника относительно плоскости первоначальных колебаний, можно определить угол поворота платформы относительно инерциального пространства. Примером практического применения маятника Фуко служит маятник, установленный в Исаакиевском соборе Санкт-Петербурга, с помощью которого определяется суточное вращение Земли. Между тем, благодаря нелинейным эффектам, маятник обладает собственной скоростью прецессии вокруг местной вертикали, так что, не контролируя эту собственную прецессию, невозможно осуществлять достоверные измерения угловой скорости вращения Земли.

Рис.1.2.1. Маятник Фуко на вращающейся платформе.

Аналогичная картина наблюдается в ВТГ, содержащем чувствительный элемент в виде осесимметричного тонкостенного резонатора, в котором возбуждены изгибные колебания (рис. 1.2.2) и обеспечено существование стоячей волны.

Если возбудить в резонаторе изгибные колебания и создать стоячую волну по оси А-Б относительно неподвижного нижнего основания, то при повороте основания вокруг оси симметрии резонатора максимумы положения стоячей волны будут располагаться на оси А 1Б 1 под углом по отношению к оси начального возбуждения АБ.

Рис. 1.2.2. Изменение положения стоячей волны в резонаторе ВТГ.

Видно отличие поведения стоячей волны от поведения классического маятника Фуко. Вращение упругой среды (резонатора) вокруг оси симметрии вовлекает (вследствие наличия внутреннего трения) реализованную форму собственных колебаний (стоячую волну) во вращение относительно инерциального пространства. Однако, отношение угловой скорости вращения стоячей волны относительно резонатора к угловой скорости вращения самого резонатора относительно инерциального пространства является константой, зависящей от номера формы колебаний и почти не зависящей от свойств материала.

Коэффициент, определяющий отношение угловой скорости вращения стоячей волны к угловой скорости вращения резонатора в инерциальном пространстве, как было указано выше, получил название масштабного коэффициента, или коэффициента Брайана, по имени первого исследователя колебаний упругого кольца с учетом его вращения [1].

Обычно используется интегральная форма записи этого соотношения

, (1.2.1)

т.е. угол поворота стоячей волны относительно резонатора равен коэффициенту Брайана, умноженному на интеграл от угловой скорости вращения резонатора в инерциальном пространстве. Это означает, что эффект Брайана может быть использован для построения инерциального датчика измерения угла поворота и угловой скорости вращения объекта в инерциальном пространстве.

Угол поворота стоячей волны во вращающемся с переменной угловой скоростью ? (t) полусферическом резонаторе относительно самого резонатора выражается точной формулой, полученной Журавлевым В.Ф. в [3]:

, (1.2.2)

где - коэффициент Пуассона, равный для кварца =0,17;

n - номер формы колебаний (равный половине числа узлов на кольце), для полусферического резонатора из плавленого кварца коэффициент Брайана равен - 0,312 [3], для резонатора в форме кольца - 0,4 [14].

В последнее время появился целый класс гироскопических приборов, в которых фактически реализована идея маятника Фуко. К этому классу относятся: струнный гироскоп, полусферический кварцевый резонатор или волновой твердотельный гироскоп [11].

Во всех этих случаях играющий роль маятника Фуко осциллятор с двумя степенями свободы реализован в виде одной из форм собственных колебаний упругой среды, обладающей осевой симметрией.

1.3 Различные подходы к выводу уравнений движения ВТГ

Существуют два подхода к выводу уравнений движения волнового твердотельного гироскопа (ВТГ).

В работах Журавлева В.Ф. волновой твердотельный гироскоп, выполненный в виде полусферического резонатора, рассматривается как упругая полусферическая оболочка с распределенной массой, равной в приближении Релея , где с- плотность материала резонатора, h - толщина оболочки, Rс - радиус полусферы, и приведенной жесткостью , где щ-круговая частота возбужденных в резонаторе колебаний.

В работах Бонштедта А.В., Кузьмина С.В., Мачехина П.К. [13] разработана восьмиточечная модель ВТГ, в которой масса полусферического резонатора представлена совокупностью восьми точечных масс mi, i=1…8, расположенных напротив электродов неподвижного основания ВТГ. Массы расположены на направляющих стержнях, шарнирно соединенных с центром резонатора. На стержни навиты пружины жесткостью ki, i=1…8. Массы могут перемещаться вдоль стержней, вызывая деформацию пружин, а направляющие стержни могут вращаться относительно оси резонатора. Массы соединены между собой жесткими невесомыми нерастяжимыми шарнирными соединениями, трением в которых пренебрегают. Для симметризации системы направляющие стержни у противоположно расположенных масс соединены.

На рис.1.3.1 представлена схема восьмиточечной модели ВТГ, разработанной в [13].

Рис.. 1.3.1. Восьмиточечная модель ВТГ. Рис. 1.3.2. Действие внешней угловой скорости на ВТГ.

На этой модели удобно пояснить механизм изменения положения стоячей волны при действии на резонатор внешней угловой скорости. Если ВТГ установлен на основание, которое вращается вокруг оси симметрии ВТГ с угловой скоростью ? (t), а в резонаторе не возбуждены изгибные колебания (рис.1.3.1), то все моменты, действующие на каждую из масс, одинаковы, и ВТГ вращается вместе с основанием с той же угловой скоростью. Никакой информации об угловой скорости вращения основания ВТГ не выдает.

Если возбудить колебания резонатора, например, по оси 1-5, то малым перемещениям масс m1, m5 от центра будут соответствовать малые перемещения масс m3, m7 к центру.

Рассмотрим действие внешней угловой скорости (рис. 1.3.2) на резонатор, в котором возбуждены колебания по оси 1-5. При вращении системы с внешней угловой скоростью относительно оси Z на точки, совершающие линейные колебания, действует сила Кориолиса [13] На рис. 4 линейные скорости соответствующих масс показаны как V1-V7, а силы Кориолиса, действующие на эти массы,- F1-F7. Ввиду наличия в системе связей между соседними точками на массы m2, m4, m6, m8 будет действовать результирующая сила Fr, приводящая к деформации пружин по осям 2-6 и 4-8, соответственно. В резонаторе, первоначально совершающем колебания по осям 1-5 и 3-7, возникнут колебания по осям 2-6 и 4-8, чему соответствует угол поворота стоячей волны в реальном резонаторе под действием внешней угловой скорости.

По результатам исследований восьмиточечной модели авторами получен следующий результат [13]: при возбуждении начальных колебаний по оси 1-5 с круговой частотой щ в резонаторе возникают колебания по осям 1-5 и 2-6, которые выражаются зависимостями (1.3.1).

, (1.3.1)

где (1.3.2)

Измеряя амплитуду этих колебаний, можно определить угол ? положения максимума стоячей волны относительно резонатора и угол поворота самого резонатора в инерциальном пространстве

Значение коэффициента Брайана у авторов восьмиточечной модели получилось равным К = 0,353. Это означает, что, если основание, на котором установлен ВТГ (резонатор) повернулось на 90 в инерциальном пространстве, то максимум стоячей волны повернется относительно оси 1-5 резонатора на угол - 31,8, или относительно инерциального пространства на угол 58,2. Эти результаты приближаются к результатам, полученным Журавлевым В.Ф. для полусферического резонатора, а именно, к значению К= 0, 312.

Трутневым Г.А. разработана шестнадцатиточечная модель волнового твердотельного гироскопа [12]. Коэффициент Брайана для шестнадцатиточечной модели получается равным 0,39, т.е. ближе к значению масштабного коэффициента 0,4, полученного для кольцевого резонатора.

В рамках данной пояснительной записки в качестве рабочей принимается математическая модель, разработанная Журавлевым В.Ф. для кольцевого резонатора, поскольку эта модель обладает наибольшей общностью, а эффект, который установлен для уравнения колебаний кольцевого резонатора без каких - либо приближений, с различной степенью точности верен и для произвольных упругих тел, обладающих осевой симметрией. Различие будет состоять только в величине масштабного коэффициента, равного для кольца 0,4, а для полусферического резонатора 0,312.

1.4 Математическая модель ВТГ

В настоящем разделе приводятся основные положения математической модели ВТГ, разработанной Журавлевым В.Ф. для тонкого упругого кругового кольца. Известны следующие уравнения колебаний такого кольца в своей плоскости [11]:

(1.4.1)Через w(t, ) обозначено радиальное перемещение точки кольца, имеющей на кольце угловую координату . Штрихи означают дифференцирование по углу , а точки - по времени, (t) - угловая скорость вращения кольца в его плоскости, предполагаемая известной и зависящая произвольным образом от времени Примечание. В данной пояснительной записке сохранены обозначения авторов, используемые в работах, на которые приводятся ссылки. Поэтому в процессе изложения текста встречаются переобозначения.

Например, выше угловая скорость вращения резонатора в инерциальном пространстве обозначена ? (t), а в этом разделе (t),как это сделано в работе [ 11 ]. Поскольку везде приводятся расшифровки, то переобозначения не должны мешать восприятию текста..

Уравнение (1.1.1) допускает точное решение в виде гармонической волны:

w = q1 (t)cos k + q2(t)sin k, k = 2,3,... (1.4.2)

Значение k = 0 не имеет смысла рассматривать, поскольку такая форма колебаний соответствует деформациям растяжения, в то время как уравнение (1.4.1) выведено для нерастяжимого кольца. Значение k = 1 формально возможно, однако оно означает перемещение кольца как жесткого целого без каких-либо деформаций, что не представляет интереса для разработки ВТГ.

Если рассматривать только колебания вида (1.4.2), т.е. колебания по одной из собственных форм (общее решение есть сумма по k всех таких форм с произвольными константами), то кольцо, как колебательная система, эквивалентна плоскому изотропному осциллятору, положение которого определяется двумя координатами q1 и q2.

Подставляя (1.4.2) в (1.4.1), находим уравнения движения такого осциллятора:

(1.4.3)

Систему (1.4.3) удобно записать в векторной форме

(1.4.4)

Если кольцо не вращается, т.е. 0, система (1.4.3) распадается на уравнения двух независимых осцилляторов, для которых общее решение имеет вид:

(1.4.5)

с произвольными постоянными, a, b, m, n и с частотой

= k(k2 -1)(k2 +1)-1/2.

В соответствии с (1.4.2) решение (1.4.5) определяет в этом случае следующий закон колебаний кольца:

w = (a cos k + b sin k) cos t+ (m cos k + п sin k) sin t (1.4.6)

При произвольных начальных условиях уравнения (1.4.5) определяют в плоскости (qvq2) эллипс. В случае, когда этот эллипс вырождается в отрезок прямой, решение (1.4.6) определяет в кольце стоячую волну. В случае противоположного вырождения, когда эллипс превращается в окружность, формула (1.4.6) определяет в кольце бегущую волну.

Если 0, то прямолинейных колебаний в плоскости (q},q2) в общем случае система (1.4.3) не имеет. Иными словами во вращающемся кольце стоячие волны невозможны. Однако, в этом случае в кольце существуют такие колебания, которые в некоторой вращающейся системе координат имеют вид стоячих волн. Такие волны мы будем называть прецессирующими волнами. Скорость соответствующей вращающейся системы координат будем называть скоростью прецессии волны.

Покажем существование такой системы координат и её единственность.

Переход к вращающейся системе координат в уравнении (1.4.1) означает замену угловой переменной на + (t), где угол (t) определяет положение подвижной системы координат относительно кольца.

Если вместо в формулу (1.4.2) подставить + , то получим, что q1 и q2 надо заменить на q1 cosk+ q2 sink и q1 sin k + q2 cosk, соответственно.

Это преобразование поворота в плоскости (ql,q2) приводит к тому, что во вращающейся системе координат уравнение (1.4.4) приобретает вид

(k2 + 1) + Г{2k[(k2 + 1) - 2]+ k[(k2 + 1) - 2)]q} + [v2 + 4k2 - (k2 +1)k22]q = 0 (1.4.7)

Для переменных во вращающейся системе координат сохраняются прежние обозначения.

Найдем условия существования в этой системе координат прямолинейной формы колебаний:

(1.4.8)

Здесь - произвольные константы, а - скалярная функция времени, подлежащая определению.

Если подставить (1.4.8) в (1.4.7), то можно заметить, что для существования в (1.4.7) решения вида (1.4.8) достаточно потребовать обращения в нуль коэффициента при Г:

2[(k2 +1) - 2] + [(k2 +1) - 2] = 0 (1.4.9)

При любых (t) это можно обеспечить выбором угла по формуле:

(1.4.10)

После чего скалярная функция (t) найдется из уравнения

,

в котором вместо надо подставить (1.4.10).

Покажем, что условие (1.4.10) является и необходимым для существования в системе (1.4.7) прямолинейной формы колебаний. Обозначим (к 2 +1) - 2 = и и рассмотрим (3.9):

2u+ = 0.

Откуда находим

, (1.4.11)

где с - произвольная постоянная.

Решение (1.4.11) показывает, что функция (t) не может менять знак. Следовательно, она не определяет колебательный процесс. Таким образом, к стоячим волнам относится только рассмотренный выше случай, приводящий к формуле (1.4.10).

Изложенное выше можно суммировать в виде теоремы.

Какой бы ни была зависимость угловой скорости кольца от времени (в классе дифференцируемых на бесконечном полуинтервале функций) существует и единственна вращающаяся относительно кольца система координат, в которой при определённых начальных условиях колебания кольца представляют собой стоячие волны.

Скорость этой системы координат выражается формулой (1.4.10). Частным случаем из неё вытекает результат Брайана [8], установленный им только для случая постоянной угловой скорости кольца 0.

Поэтому формула (1.4.10) описывает новый физический эффект, не замеченный Брайаном, и доказанный Журавлевым В.Ф.

Формулу (1.4.10) ввиду её точного характера можно сколько угодно раз дифференцировать. В частности можно заметить, что ускорение волны пропорционально ускорению кольца:

Поскольку ускорение кольца пропорционально приложенному к нему моменту внешних сил I, то можно утверждать, что этот момент вызывает не только ускорение кольца, но и ускорение прецессирующей волны.

Описанный выше физический эффект в неравномерно вращающемся кольце Журавлев В.Ф. определил как эффект инертности прецессирующих упругих волн.

Эффект (1.4.10), который установлен для уравнения колебаний кольца (1.4.1) без каких-либо приближений, с различной степенью точности верен и для произвольных упругих тел, обладающих осевой симметрией. Различие будет состоять только в величине масштабного коэффициента. В статье Журавлева В.Ф., готовящейся к публикации - "Волновой твердотельный гироскоп. Современное состояние теории" сделан вывод, точно определяющий физическую природу явления, лежащего в основе работы ВТГ.

Этот вывод сформулирован следующим образом.

Если вычислить момент количества движения вращающегося и одновременно совершающего упругие колебания кольца, то он будет состоять из двух слагаемых:

К= Ко + Кв,

где Ко = I•? - кинетический момент собственно кольца,

а

кинетический момент стоячей волны, m - масса кольца, r - амплитуда волны, -угловая скорость волны, определяемая формулой

1.5 Управление стоячими волнами в полусферическом резонаторе

Стоячие волны в идеальных резонаторах являются неустойчивыми по отношению к исчезающе малым возмущениям. Сколь угодно малые отклонения от симметричной формы резонатора либо от симметрии упругих свойств приводят к тому, что прецессия стоячей волны во вращающейся оболочке становится невозможной.

Для создания работоспособного прибора в условиях реальных возмущений в систему необходимо вводить обратные связи, препятствующие разрушению прецессирующих волн.

Управление стоячей волной в кварцевом полусферическом резонаторе, представляющем собой чувствительный элемент волнового твердотельного гироскопа [5], осуществляется посредством подачи напряжения на систему электродов, образующих совместно с резонатором систему электрических конденсаторов.

Управление этими напряжениями осуществляется с помощью сигналов, снимаемых с другой системы электродов (информационных электродов). Влияние электродов управления и информационных электродов на динамику резонатора было изучено в [5].

Динамическая модель основной формы колебаний электромеханической системы, представляющей собой полусферический резонатор с электродами управления и электродами съема информации, представлена в [5] в следующей форме:

(1.5.1)

Поясним обозначения:

w1 и w2 -обобщенные координаты основной формы, равные радиальному смещению резонатора в двух фиксированных точках, отстоящих друг от друга на угол 45° в угловом измерении по экватору;

m - приведенная масса основной формы колебаний (масса парциального осциллятора), равная для тонкой полусферической оболочки в приближении Релея , где - плотность материала резонатора, h - толщина оболочки, R - радус полусферы; k - приведенная жесткость, соответствующая основной форме, k = m•2, где - частота колебаний; qi - заряд на конденсаторе, расположенном под углом к отсчетной оси; (, где n- число электродов);

С i - мгновенная емкость этого конденсатора, зависящая от прогиба wi в месте положения этого конденсатора:

.

где 0=8,85•10-12 Ф/м, S - площадь пластины, d -расстояние между пластинами при wi = 0;

R - сопротивление (полагается одинаковым для всех электродов), подводящее к конденсатору напряжение Vi;

mil -коэффициенты перекрестных связей между электродами (в следующем ниже анализе этими связями мы будем пренебрегать).

Уравнения (1.5.1) относятся как к случаю электродов съема информации, так и к случаю электродов управления. В случае электродов съема информации n=8, а перемещения резонатора w1 и w2 представляют собой перемещения в месте расположения электродов с номерами i= 1,2. В этом случае сопротивление R велико в сравнении с 1/С 0, а Vi не зависит от номера: Vi = V.

В случае электродов управления n = 16 либо n = 8, сопротивление R мало и можно его считать равным нулю. Распределение напряжения по электродам Vi зависит от цели управления.

Перед тем как рассматривать уравнение (1.5.1) в режиме управления следует установить закономерности формирования напряжений на электродах съема информации.

Для этого рассмотрим третье уравнение системы (1.5.1):

(i=1…8) (1.5.2)

Смещение резонатора в месте положения i-го электрода выражается формулой:

Из восьми электродов существенными являются только два i = 1 и i=2. Все электрические процессы на других электродах либо тождественны процессам на этих, либо отличаются от них только знаком. Поэтому в случае электродов съема информации в дальнейшем вместо i=1,.,8 будем писать i= 1,2.

Уравнение (1.4.2) является линейным, неоднородным дифференциальным уравнением с переменным коэффициентом wi(t) для нахождения функции qi(t).

Это дифференциальное уравнение допускает точное решение, однако, во избежание громоздких выражений предпочтительно построить приближенное решение, воспользовавшись тем фактом, что сопротивление R велико. Тогда можно искать решение (1.5.2) в виде ряда по степеням 1/R:

Подставив этот ряд в (1.5.2), получим:

Разделим обе части на R:

Разделив порядки по степеням 1/R, получим следующую систему для нахождения a0, a1, …

(1.5.3)

Из первого уравнения этой системы следует a0 =const. Значение этой константы легко найти из условия отсутствия секулярного члена в решении для a1(t):

откуда следует

.

Учитывая, что из первых двух уравнений системы (1.4.1) следует

(i=1,2), получаем

(i=1,2)

(мы пренебрегли (wi /d)2 в сравнении с wi /d).

Следовательно, приближенное решение (1.5.2) имеет вид:

(i=1,2)

Снимаемое с электродов напряжение, используемое в дальнейшем для получения информации о повороте основания, а также для формирования команд управления, имеет вид:

i=1,2

Это выражение можно представить так:

(i =1,2) (1.5.4)

где:

Распространенное представление о характере снимаемой с электродов информации основано на пренебрежении вторым слагаемым в (1.5.4) на основании его малости.

Целью дальнейшего анализа является установить, к каким погрешностям приводит такое пренебрежение.

Рассмотрим теперь уравнения (1.5.1) с электродами управления. В этом случае n=16 либо n=8, R=0, а Vi надо сформировать так, чтобы в соответствии с [15] первые два уравнения системы (1.5.1) приобрели форму:

(1.5.5)

Смысл четырех слагаемых в правых частях этой системы следующий: члены, пропорциональные , определяют управление амплитудой, пропорциональные - управление квадратурой, члены, пропорциональные р, определяют управление прецессией, а члены, пропорциональные f, представляют собой управление частотой.

В этой системе мерой амплитуды является нормированная на массу m удвоенная энергия колебаний:



Квадратура (мера момента количества движения резонатора) имеет вид:

Для того, чтобы такие правые части в системе (1.5.5) получились, надо в системе (1.4.1) напряжения Vi сформировать следующим образом:

(1.5.6)

ЗдесьV0 - опорное напряжение.

Подставляя в систему (1.5.1) qi=Vi Ci (i=1…16 или i=8), где Vi выражается формулой (1.5.6) и осуществляя суммирование, находим:

(1.5.7)

Таким образом, с точностью до общего множителя пС 0V0 /2d получился искомый вид уравнений (1.5.5).

Подчеркнем здесь важное обстоятельство. Распределение напряжений между электродами по закону (1.5.6), приведшее к необходимым правым частям в уравнениях (1.5.7), никак не связано с числом электродов, равным 16. Допустимо любое число электродов i ?5.

Для того, чтобы сформировать управление (1.5.6), необходимо, располагая напряжениями (1.5.4), найти перемещения wi. Это можно сделать так. Продифференцируем по времени выражение (1.5.4):

(в выражении (1.5.4) мы считаем )

Подставив сюда получаем вместе с уравнением (1.5.4) систему:

(1.5.8)

Эту систему можно разрешить относительно wi, :

(1.5.9)

Выражения (1.5.9) и следует подставить в (1.5.7) при формировании управления. Перед тем как это сделать, заметим следующее. Преобразование (1.5.8) представляет собой ортогональную группу с параметром и с оператором D.

Нетрудно проверить, что удвоенная энергия Е, квадратура q, а также и угол :

 (1.5.10)

исчерпывают все конечные инварианты этой группы, то есть:

DE=0, Dq=0, Dtg4=0.

Это означает, что при вычислении энергии (амплитуды), квадратуры и угла р можно игнорировать наличие фазового сдвига в информационном канале, т.е. можно считать, что:

(1.5.11)

Если представить снимаемые напряжения U1 и U2 в форме:

то выражения (1.5.11) можно записать в эквивалентной форме:

Отмеченный факт сильно облегчает вычисление управления (1.5.6), поскольку от фазового сдвига оказываются независящими важнейшие нелинейные функции фазовых переменных, однако, игнорирование этого сдвига полностью приводит к искажению смысла управления, т.е. к ошибкам.

Для установления этих ошибок подставим (1.5.9) в (1.5.7). Получим:



(1.5.12)

Те члены в правых частях, которые пропорциональны sin , являются дополнительными членами, необходимыми в управлении при правильном учете фазового сдвига . Если же эти члены не учитывать, то возникают следующие ошибки.

Управление амплитудой (члены с ) приводит к уменьшению жесткости k резонатора на величину:

Управление квадратурой (члены с ) приводит к уходу:

(1.5.13)

Поясним, как получилось такое выражение для ухода. Если учесть скорость вращения основания , то левые части уравнений (1.5.5) должны быть дополнены так:

(1.5.14)

где - коэффициент Брайана (см. например [4]). В правых частях (1.5.12) точно такую же структуру, как и новые члены в (1.5.14), имеют члены, пропорциональные sin . Приравнивая коэффициенты при в этих членах, мы и получаем (1.5.13).

Отметим еще для полноты описания, что управление прецессией (члены с р) приводит к появлению квадратуры со скоростью её изменения:

а управление частотой (члены с f) приводит к диссипации с интенсивностью:

Глава 2. Схемотехнические и конструктивные решения системы управления ВТГ

2.1 Система возбуждения колебаний резонатора

В работе [5] Журавлева В.Ф. и Линча, основные положения которой приведены в п. 1.5, изложены основные правила управления стоячей волной, позволяющие создать прецизионный ВТГ.

В схеме ВТГ должны функционировать целый ряд систем управления:

- система возбуждения колебаний резонатора определенной (например, второй моды);

-система съема информации с емкостных датчиков угла;

- система стабилизации амплитуды возбужденных колебаний;

- система фазовой автоподстройки частоты;

- система подавления квадратурной волны и др.

Дальнейшее изложение материала в настоящей пояснительной записке строится следующим образом: приводится обзор известных технических решений по отдельным системам управления ВТГ (а в разделе 2 - и по конструкциям) и приводится обоснованный выбор технического решения, разрабатываемого по теме. Рассмотрим известные системы возбуждения колебаний резонатора.

Позиционное возбуждение колебаний резонатора ВТГ

Рассмотрим принцип и особенности работы системы позиционного возбуждения резонатора ВТГ.

В качестве рабочей формы колебаний в ВТГ используется вторая форма, имеющая четыре узла и четыре пучности. Рассмотрим возникновение рабочей (основной) формы колебаний [16].

Схема позиционного возбуждения показана на рис. 1.6.1. На пару противоположных электродов подается переменное электрическое напряжение с частотой, в 2 раза меньшей, чем собственная частота основной формы:

(1.6.1)

Где V0 - амплитуда напряжения; - угловой размер электрода, -собственная частота. График функции V(, 0) показан на рис. 1.6.2

Поверхности резонатора и электродов покрыты тонким электропроводящим слоем, поэтому они являются обкладками цилиндрического конденсатора. Однако при расчетах можно с хорошей точностью рассматривать такой конденсатор как плоский [16].

Обкладки любого заряженного конденсатора притягиваются, поэтому со стороны электродов на резонатор действуют силы электрического притяжения.

Сила притяжения обкладок плоского конденсатора, отнесенная к площади обкладки, определяется выражением

(1.6.2)

где V - разность потенциалов между обкладками; d - расстояние между ними; 0 = 8,85 * 10-12 Ф/м - диэлектрическая постоянная. Знак минус указывает на то, что это всегда сила притяжения.

В соответствии с [16], если вторую гармонику силы притяжения резонатора и электродов возбуждения записать в форме (1.6.3)

, (1.6.3)

где

, - сила притяжения, нормальная к поверхностям резонатора и электродов,

, - диэлектрическая постоянная,

- квадрат амплитуды приложенного напряжения,

- угловой размер электрода,

- собственная частота,

L - высота электрода,

d - зазор между электродом и резонатором,

подставить выражение (1.6.3) в правую часть уравнения колебаний (1.4.1) и применить метод Бубнова-Галеркина, то решение уравнения колебаний (1.4.1) можно представить в форме

(1.6.4)

Выражение для перемещения кромки резонатора можно привести к следующей форме:

(1.6.5)

Производя элементарные преобразования, получаем:

(1.6.6)

- угол ориентации стоячей волны в условиях позиционного возбуждения,

m,n- амплитуды колебаний кромки резонатора в направлениях под 45 друг к другу.

При = 0 ориентация волнового поля в резонаторе ВТГ постоянна и определяется ориентацией электродов позиционного возбуждения = э, другими словами, стоячая волна "привязана" к корпусу прибора (рис. 1.6.3, а);

при 0 пучность стоячей волны отстает от направления возбуждения на угол , определяемый величиной угловой скорости, собственной частотой и затуханием:

(рис. 1.6.3, б).

Так как угол отставания стоячей волны пропорционален входной угловой скорости, такой режим работы ВТГ является режимом датчика угловой скорости - ВТГ-ДУС.

Принцип измерения угловой скорости при позиционном возбуждении следующий. На внутренней поверхности резонатора установлены емкостные датчики Д 1 и Д 2 (рис.1.6.4).

Рис. 1.6.4. К измерению угловой скорости в режиме ВТГ-ДУС.

При изменении зазора между поверхностями резонатора и датчика на поверхности датчика появляется избыток заряда, так как разность потенциалов между ней и резонатором неизменна.

Количество заряда пропорционально изменению зазора, т.е. перемещению. Таким образом, сигнал емкостного дачника содержит информацию о перемещении кромки резонатора.

Датчики Д 1 и Д 2 ориентированы под углом 0° и 45°, соответственно. Сигналы, поступающие с них, имеют вид:

датчик Д 1:=m cos t

датчик Д 2: w2 = n sin t

Производя демодуляцию сигналов с опорным сигналом демодулятора sin t, получаем

где - ориентация пучности стоячей волны;- сигналы после демодуляции.

Параметрическое возбуждение колебаний резонатора ВТГ

Известен принцип работы системы параметрического возбуждения колебаний резонатора ВТГ. В [16] показано, что в этом случае ВТГ выполняет функцию интегратора угловой скорости или датчика угла поворота основания, на котором установлен гироскоп, т.е. ВТГ работает в режиме интегрирующего гироскопа (ВТГ-ИГ) или в режиме "свободного гироскопа".

Параметрическое возбуждение осуществляется с помощью кольцевого электрода, окружающего кромку резонатора. Поверхности резонатора и кольцевого электрода можно рассматривать как обкладки цилиндрического конденсатора, к которым приложено напряжение, не зависящее от угла , с частотой, близкой к собственной частоте резонатора V=V0 cos 2t

Назначение системы параметрического возбуждения - компенсация энергетических потерь резонатора, определяемых, главным образом, внутренней диссипацией материала резонатора и влиянием остаточного газа в приборе. Система позиционного возбуждения для этой цели не подходит, так как стоячая волна будет "затягиваться" к электродам возбуждения

На рис. 1.6.5 показан процесс параметрического возбуждения. Когда резонатор не деформирован, электрические силы уравновешены внутренними напряжениями. Когда резонатор деформируется, то притягивающая сила в области меньшего зазора увеличивается, а сила в области большего зазора уменьшается, так как эта сила обратно пропорциональна квадрату величины зазора между кольцевым электродом и резонатором. Результирующая сила приводит к еще большей деформации резонатора и действует в направлении пучностей стоячей волны.

Рис. 1.6.5. Процесс параметрического возбуждения.

Четыре фрагмента рис. 1.6.5 иллюстрируют этот процесс. На фрагменте 1 резонатор движется в сторону максимальной деформации, напряжение питания включено. На фрагменте 2 резонатор по инерции возвращается в положение равновесия, при этом напряжение отключено. На фрагментах 3 и 4 этот порядок повторяется, но в противоположную сторону.

При изменении напряжения с частотой, равной собственной частоте резонатора по основной форме, происходит параметрическое возбуждение резонатора.

Для расчета примем, что касательная составляющая электрической силы, приложенной к резонатору, равна нулю, а нормальную разложим в ряд по степеням перемещения w с точностью до первого порядка:

где многоточие обозначает величины более высокого порядка малости, а также постоянную составляющую.

С учетом сказанного запишем уравнение динамики кольцевой модели резонатора в условиях параметрического возбуждения, соответствующее уравнению (1.4.1).

(1.6.7)

Решение уравнения (1.6.7) представим в форме

(1.6.8)

Подставляя (1.6.8) в (1.6.7) и применяя метод Бубнова - Галеркина, приходим к системе:

(1.6.9)

Пусть = (t) - медленная функция времени, т.е. функция, скоростью изменения которой можно пренебречь. Введем медленные переменные а(t), m(t), bit), n(t), согласно следующим условиям:

(1.6.10)

Подставляя (1.6.10) в (1.6.9) и производя осреднение полученной системы по быстрой переменной t [ 3], приходим к системе, описывающей эволюцию медленных переменных:

(1.6.11)

где

;

2 - близко к собственной частоте 0

Построим границу области устойчивости системы (1.6.11) при = 0.

Для существования ограниченных колебаний в системе (1.6.11) при = 0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

 (1.6.12)

Условие (1.6.12) дает уравнение границы области устойчивости в плоскости параметров и s;

(1.6.13)

Уравнение (1.6.13) определяет гиперболу (рис. 1.6.6), причем точка минимума имеет координаты:

(1.6.14)

Область внутри гиперболы соответствует неустойчивым колебаниям, область вне гиперболы устойчивым колебаниям.

Рис. 1.6.6. Граница области устойчивости

Рассмотрим случай режима возбуждения с частотой и амплитудой напряжения кольцевого электрода, соответствующими точке минимума (1.6.14):

 (1.6.15)

По отношению к амплитуде подаваемого напряжения этот режим является оптимальным.

Колебательный процесс, возбужденный в резонаторе, запишем в следующем виде:

(1.6.16)

В работе [3] показано, что (1.6.16) будет представлять собой стоячую волну при выполнении условия:

I (1.6.17)

Запишем систему (1.6.11), теперь при 0. при условии (1.6.14)

(1.6.18)

Далее в силу (1.6.17) решение (1.6.16) преобразуется к виду

, (1.6.19)

где tg = т/а; tg 2 =.

Угол определяет ориентацию стоячей волны (1.6.19) относительно резонатора. Для нахождения эволюции этого угла имеем соотношение

Вычисляя производную и пользуясь уравнениями системы (1.6.18), получаем

Выражение в квадратных скобках равно нулю, поэтому

,

где К=0,4 - масштабный коэффициент.

Из последней формулы следует, что угол поворота стоячей волны пропорционален углу поворота корпуса ВТГ, т.е. в режиме параметрического возбуждения BТГ является интегрирующим (ВТГ-ИГ).

Угол находится с помощью демодуляции с опорным сигналом из формулы (1.6.19). Сигналы с датчиков Д 1 и Д 2 имеют вид:

датчик Д 1: ;

датчик Д 2: , (1.6.20)

где

После проведения демодуляции сигналы преобразуются следующим образом:

;

. (1.6.21)

Отсюда находим, что

.

Угол поворота основания равен:

. (1.6.22)

Размещено на Allbest.ru

...