Термопружний стан ортотропних оболонок при локальному нагріві

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність роботи. Температурні і силові поля - є основними видами навантаження, яким піддаються сучасні конструкції. При цьому локальний вплив приносить додаткові труднощі при розрахунку несучої здатності тонкостінних оболонкових конструкцій. При дослідженні термопружного стану оболонкових конструкцій необхідно враховувати різні фактори: зміна кривини, товщини або термомеханічних параметрів композитних матеріалів.

На сьогоднішній день існують різні моделі локальних і зосереджених температурних впливів на тонкостінні елементи конструкцій. Для зосереджених температурних впливів це - зосереджений нагрів і зосереджене джерело тепла. Згідно з першою моделлю - зосереджений нагрів припускає відмінне від нуля значення інтегральних характеристик температури лише в одній точці серединної поверхні і необхідність у розв'язку задачі теплопровідності відпадає. У відповідності з іншою моделлю - зосереджене джерело тепла - у точці зосередженого впливу на серединній поверхні знаходиться джерело тепла. У цьому випадку інтегральні характеристики температури в області не дорівнюють нулеві і для їхнього знаходження необхідно використовувати рівняння теплопровідності.

Широке застосування в різних галузях промисловості елементів конструкцій з композитних матеріалів вимагає побудови різних моделей, які описують у більшому ступені адекватно термопружний стан конструкцій при впливі на них зосередженої та локальної температури і розробку різних ефективних методів розрахунку термопружного стану.

Цим і обумовлена актуальність дисертаційної роботи, що зв'язана з дослідженням впливу локального та зосередженого нагріву на ортотропні оболонки довільної гаусової кривини.

Метою дисертаційної роботи є подальший розвиток методів побудови фундаментальних розв'язків статики ортотропних оболонок; побудова фундаментальних розв'язків при зосередженому тепловому нагріві, які надалі можуть використовуватися для побудови ядер інтегральних рівнянь до яких зводиться розв'язок змішаних граничних задач теорії оболонок; використання отриманих фундаментальних розв'язків для дослідження термопружного стану тонких ортотропних оболонок довільної гаусової кривини; використання отриманих розв'язків для дослідження термопружного стану ортотропних оболонок при розподіленому температурному нагріві.

Для досягнення цієї мети необхідно:

- побудувати фундаментальний розв'язок рівнянь термопружності ортотропних оболонок;

- дослідити обмеження на методику звертання трансформант фундаментального розв'язку;

- розробити комплекси програм для проведення чисельних розрахунків;

- отримати формули асимптотичної поведінки розв'язків та дослідити область їхнього використання;

- провести чисельні дослідження та узагальнити їх результати задля виявлення впливу геометричних параметрів і параметрів ортотропії матеріалу на термопружний стан оболонки.

1. Літературний огляд робіт з локальних впливів на оболонки, у яких використані фундаментальні розв'язки

Приведені публікації, у яких відображено сучасний стан методів фундаментальних розв'язків і моделювання теплових впливів у теорії оболонок. Розглянуті сучасні тенденції в підходах і розв'язках температурних задач про локальний нагрів оболонок.

Суттєві результати у дослідженні напруженого стану оболонок при температурних впливах були отримані в роботах Я.С. Підстригача, Ю.М. Коляно, С.Я. Яреми, Б.Л. Пелеха, С. Лукасевича, Б.В. Нерубайло, В.П. Шевченко, B.H. Baines, А.С. Гольцева. Проблемою дослідження напружено-деформованого стану пластин та оболонок при дії температур займалися Л.Є. Авраменко, Ю.П. Артюхін, Б. Болі, Є.М. Брюханова, Я.Й. Бурак, С.О.Калоєров, Г.С. Кіт, А.Д. Коваленко, М.В. Крамін, Р.М. Кушнір, Р.В. Лампіка, Ю.І. Міндолін, І.А. Мотовиловец, В.С. Попович, Дж. Уэйнер, А.І. Уздальов, В.А. Шевчук, P.Y. P. Chen, R. S. Dhaliwal, E. Reissner, J.L. Sanders, J. Wang та інші вітчизняні і закордонні вчені.

На підставі проведених досліджень сучасних робіт у даній області, було зроблено висновок, що подібні задачі про тепловий нагрів в рамках першої моделі розглядалися, але досліджувалася асимптотика розв'язків або часткові розв'язки без чисельних розрахунків і аналізу результатів. Відповідно до проведеного дослідження було зроблено висновок про актуальність розв'язку задач про зосереджений нагрів та нагрів оболонки, розподілений по області.

2. Класичні рівняння термопружності ортотропних оболонок, на підставі яких проводилися подальші дослідження

У розділі також розглянуто основний метод дослідження - метод фундаментальних розв'язків у теорії пластин і оболонок.

Сформульовано постановку задачі про зосереджений тепловий нагрів тонкої ортотропної оболонки довільної гаусової кривини. Ортотропна оболонка є тонкою, пологою, товщиною h та віднесена до ортогональної системи координат , що збігається з головними осями ортотропії. Розглядається випадок зосередженого теплового нагріву.

Беремо до уваги тільки той клас задач, для яких зона збурювання напруженого стану мала в порівнянні з областю, яку займає оболонка.

Для дослідження зосередженого впливу температури на оболонку використано математичну модель - зосередженого нагріву, яка припускає відмінне від нуля значення інтегральних характеристик температури лише в одній точці серединної поверхні. У цьому випадку вважається, що температурне поле у зоні нагріву однорідне, а температура нагріву відома.

Математичною моделлю зосередженого впливу на механічну систему є узагальнена дельта-функція Дірака. Вона знаходиться в правих частинах системи диференціальних рівнянь, що описують поведінку механічної системи, на місці функцій, що характеризують зовнішній вплив. Дія середньої температури в точці нагріву моделює "плоский" температурний вплив, а дія температурного моменту - "згинний" температурний вплив.

3. Методика побудови фундаментальних розв'язків рівнянь термопружного стану ортотропних оболонок

Досліджено обмеження на методику звертання. У розділі знайдено фундаментальний розв'язок для переміщень, зусиль та моментів. Досліджено формули асимптотичної поведінки отриманих розв'язків.

Розв'язання задачі виконано за допомогою методу фундаментальних розв'язків лінійних диференційних рівнянь у частинних похідних з постійними коефіцієнтами, з використанням методу інтегральних перетворень Фур'є в сполученні з теорією узагальнених функцій.

Спочатку знайдено розв'язок в просторі трансформант, далі завдяки використанню двовимірного перетворення Фур'є і теорії лишків знайдені оригінали розв'язків для переміщень. На основі цих розв'язків побудовані фундаментальні матриці для зусиль і моментів.

Досліджено формули асимптотичної поведінки отриманих розв'язків для переміщень, зусиль і моментів у зоні точки зосередженого теплового нагріву.

Для обчислення коефіцієнтів для оболонок від'ємної кривини необхідно виконати заміну у виразах для коефіцієнтів на , розбити проміжок інтегрування точкою:

,

на два: та . У першому інтегралі підінтегральний вираз залишається без змін, а у другому змінюється на . Ці два інтеграли складаються, якщо у виразі шуканої функції стоїть , та віднімаються, якщо - .

Чисельні значення коефіцієнтів знаходяться методом Файлона.

Зусилля та моменти. Для визначення зусиль у випадку "плоского" теплового нагріву і моментів у випадку "згинного" теплового нагріву була використана теорія лишків і вирази для трансформант переміщень. Інші результати отримані за допомогою двовимірного перетворення Фур'є.

Було встановлено характер асимптотичної поведінки отриманих фундаментальних розв`язків для зусиль і моментів при , що збігся з результатами отриманими для ізотропної оболонки у роботах В.П. Шевченко. Отриманні результати можна використовувати для розв'язку задач теорії оболонок при різноманітних температурних впливах.

Порівняння з відомими результатами. Оскільки чисельних результатів задачі для ортотропних оболонок у постановці, яка розглядається, в літературі не було знайдено, було виконано порівняння асимптотичного наближення отриманих результатів з відомими результатами для ізотропних сферичних, циліндричних оболонок та ортотропних оболонок додатної кривини. Отримані аналітичні розв'язки для переміщень, зусиль й моментів для деяких часткових випадків співпали з отриманими раніше розв'язками в роботах В.П. Шевченко. Отриманні асимптотичні формули співпали з результатами С. Лукасевіча, В.П. Шевченко, С.Я. Яреми.

4. Чисельні результати отриманих розв'язків для переміщень, зусиль та моментів і проведено аналіз у залежності від зміни геометричних параметрів і параметрів ортотропії оболонки

Було проаналізовано та зроблено висновок про те у яких випадках можна скористатись для спрощення розрахунків моделлю "приведеної" ортотропії та наскільки значущим є вплив геометрії оболонки на поведінку переміщень, зусиль та моментів. Досліджено також вплив параметрів ортотропії матеріалу на термопружний стан оболонки при зосередженому нагріві при зміні кута дослідження. Проаналізовано область використання отриманих асимптотичних формул для переміщень, зусиль та моментів у випадку ізотропних оболонок.

Оскільки розглядаємо тонкі оболонки, тобто для яких , взято . Чисельні розрахунки виконано для оболонки, яка має параметр кривини .

Дослідження проводились для "плоского" температурного впливу (, ) і для "згинного" температурного впливу (,).

Виконані дослідження впливу геометрії оболонки на функцію прогину, та вплив пружних параметрів ортотропії. Графіки демонструють поведінку безрозмірних переміщень.

При "плоскому" тепловому нагріві значення впливу ортотропії незначне. Тобто можна значно спрощувати аналітичні вирази для розрахунку прогину , вводячи приведений модуль зсуву.

У роботі було проаналізовано область використання отриманих асимптотичних формул.

Було також виконано дослідження зусиль та моментів при зосередженому тепловому нагріві.

Приведені графіки демонструють поведінку зусиль та моментів для випадку "плоского" та "згинного" теплового нагріву.

Згідно з отриманими результатами з'ясувалось, що ортотропія матеріалу значно впливає на значення термопружного зусилля. Використання приведеного модулю зсуву при "плоскому" тепловому нагріві може привести до істотних похибок. Для інших компонент напружено-деформованого стану використання спрощення можливе лише в окремих випадках: для моментів при "плоскому" тепловому нагріві на відстані до 3h та починаючи з 10h та для зусиль при "згинному" тепловому нагріві на відстані від h до 4 h, та для моментів на відстані від 4h можна коефіцієнт ортотропії приймати рівним нулю, чим значно спрощувати розрахунки.

Чисельні дослідження в розглянутій модельній задачі термопружності були проведені також для функцій моментів та зусиль у залежності від кривини оболонки.

Висновки

ототропний оболонка термопружність

Дисертаційна робота присвячена розв'язку актуальної наукової проблеми механіки деформованого твердого тіла - дослідження впливу зосередженої та локально розподіленої температури на термопружний стан ортотропної оболонки довільної гаусової кривини.

Отримані результати і висновки полягають у наступному:

1. Узагальнена методика побудови фундаментальних розв'язків статики пластин і оболонок, що основана на використанні двовимірного інтегрального перетворення Фур'є і теорії узагальнених функцій, на рівняння термопружності ортотропних пластин і оболонок довільної гаусової кривини.

2. Завдяки використанню елементів теорії лишків отримано замкнутий вид низки невласних інтегралів комплексної змінної, які використані для отримання розв'язків для зусиль та моментів.

3. Уперше отримано повну систему фундаментальних розв'язків рівнянь термопружного стану ортотропних пластин та оболонок у переміщеннях в рамках використаної математичної моделі. Побудовано фундаментальні матриці температурних зусиль і моментів.

4. Отримано формули асимптотичної поведінки компонентів фундаментальних матриць переміщень, зусиль та моментів та вперше проаналізовано область їх застосування для отримання значень компонент термопружного стану для ізотропних оболонок у порівнянні з аналітичними розв'язками. Для переміщень та моментів при “згинному” зосередженому нагріві та для зусиль при “плоскому” зосередженому нагріві похибка складає менш ніж 4% на відстані до 5-10 від точки нагріву.

5. Вперше розв'язано задачу з визначення термопружного стану ортотропних пластин та оболонок у випадку нагріву, розподіленого по області у рамках використаної математичної моделі.

6. Створено гнучкий програмний комплекс для розрахунку термопружного стану ортотропних оболонок, що знаходяться під дією зосередженого температурного нагріву та нагріву, розподіленого по області.

7. Виконано чисельні дослідження для низки задач, які дозволили виявити закономірності поведінки компонент термопружного стану оболонок в залежності від зміні геометричних і термомеханічних параметрів та в залежності від зміни кута дослідження. Виявлено компоненти термопружного стану для яких можливе використання спрощення для отримання аналітичних формул та області, у яких можлива поява значних похибок у розрахунках при використанні "приведеного" модуля зсуву. На основі чисельних досліджень визначено компоненти для яких вплив кривини є суттєвим та компоненти термопружного стану, для яких вплив кривини оболонки не є значним. Зокрема, встановлено, що:

- кривина оболонки істотно впливає на поведінку термопружних прогинів у випадку "плоского" зосередженого нагріву: для оболонок додатної кривини розбіжність значень функції досягає свого максимуму на відстані приблизно 7h від точки нагріву, для оболонок від'ємної кривини - на відстані h від точки нагріву.

- вплив кривини оболонки на поведінку зусилля є значним у випадку "згинного" теплового зосередженого нагріву. Максимальний вплив спостерігається на відстані h від точки нагріву и становить від 30% до 60%. У випадку "плоского" зосередженого нагріву вплив кривини на зусилля дуже незначний.

- вплив кривини на поведінку моментів у випадку "плоского" зосередженого нагріву є значним на відстані від h до 7h від точки нагріву. У випадку "згинного" зосередженого нагріву вплив кривини на моменти дуже незначний.

Література

1. Шевченко В.П. Распределение контактного давления под штампом в ортотропной оболочке произвольной кривизны / Шевченко В.П., Дергачева Н.В. // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А Природн. науки. - 2004. - Вип.1. - С.133-137.

2. Шевченко В.П. Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек / Шевченко В.П., Дергачева Н.В. // Механика твердого тела. - 2005. - Вып.35. - С. 160-166.

3. Шевченко В.П. Дослідження напруженого стану ортотропних оболонок при зосередженому тепловому нагріванні / Шевченко В.П., Дергачева Н.В. // Машинознавство. - 2008. - №. 10. - С. 3-6.

4. Дергачева Н.В. Исследование термоупругого состояния ортотропных оболочек при локальном тепловом нагреве // Теоретическая и прикладная механика. - 2008. - Вып. 44. - С. 180-186.

5. Шевченко В.П. Влияние геометрических параметров ортотропной оболочки на термоупругое состояние при локальном тепловом нагреве / Шевченко В.П., Дергачева Н.В. // Пробл. обчислюв. механіки і міцності конструкцій. - 2009. - Вып.13. - С. 271-279.

6. Дергачева Н.В. Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии // Тр. Ин-та прикл. матем. и мех. НАНУ. - 2009. - Т. 18 - С. 55-61.

7. Шевченко В.П. Вплив зосередженої температури на ортотропну оболонку / Шевченко В.П., Дергачова Н.В. // Матеріали ХІ міжнародної наукової школи ім. академіка С.А. Христиановича. - 2004. - С.156-158.

8. Шевченко В.П. Решение для температурной задачи при сосредоточенном температурном воздействии / Шевченко В.П., Дергачева Н.В. // Матер. VII Междунар. научн. конф. «Мат. пробл. механіки неоднорідних структур». - 2006. - Т.1. - С. 259-261.

Размещено на Allbest.ru