Якісний аналіз одного класу оптимізаційних задач для нелінійних еліптичних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Інститут космічних досліджень

Національної академії наук України та національного космічного агентства України

УДК 517.9

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Якісний аналіз одного класу оптимізаційних задач для нелінійних еліптичних систем

01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Когут Ольга Петрівна

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Навчально-науковому комплексі «Інститут прикладного системного аналізу» Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут» Міністерства освіти і науки України та Національної академії наук України

Науковий доктор фізико-математичних наук, професор, керівник КАПУСТЯН Володимир Омелянович Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», завідувач кафедри математичного моделювання економічних систем

Офіційні доктор фізико-математичних наук, професор, опоненти ЛАДІКОВ-РОЄВ Юрій Павлович Інститут космічних досліджень Національної академії наук України та Національного космічного агентства України, провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, БЄЛОУСОВ Олександр Андрійович Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова Національної академії наук України, старший науковий співробітник нелінійний еліптичний соленоїдальний

Захист відбудеться "29" жовтня 2010 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.205.01 в Інституті космічних досліджен Національної академії наук України та Національного космічного агенства України за адресою: 03680, Київ-187, просп. Академіка Глушкова, 40а.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Інституту космічних досліджень НАН України та НКА України.

Автореферат розісланий "24" вересня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Скакун С.В

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Типовою складовою сучасних методів математичного моделювання в задачах проектування нової техніки та створенні нових технологічних процесів є методи оптимізації конструкцій, які націлені на пошук оптимального вибору матеріалу, розробку рекомендацій щодо раціональної геометрії об'єкту, оптимізацію його форми та інше. Зазвичай вихідними моделями для розв'язання таких задач виступають рівняння чи системи рівнянь еліптичного типу, в яких коефіцієнти при старших похідних містять параметри керування. Характерною рисою більшості задач оптимізації геометрії стаціонарних систем є той факт, що навіть в стандартних постановках ці задачі не мають оптимального розв'язку. Основною причиною цього служить відсутність неперервної залежності розв'язків еліптичних крайових задач від функцій керування відносно топологій, в яких множини допустимих керувань є компактними.

Отже, дослідження будь-якої екстремальної задачі доречно починати з такої проблеми як існування оптимальних розв'язків. Якщо, наприклад, задача є розв'язною, то які необхідні умови оптимальності повинні для неї виконуватися, чи має місце неперервна залежність розв'язків таких задач від параметрів? Якщо так, то в яких топологіях будуть збігатися мінімізуючи послідовності? Попередні відповіді на ці та близькі до них запитання дає загальна теорія оптимальних систем з розподіленими параметрами, основи якої були закладені в роботах А.Г. Бутковського, О.І. Єгорова, В.С. Мельника, В.І. Плотнікова, А.В. Фурсікова, J.-L. Lions'a та ін. Проте, специфіка оптимізаційних задач для еліптичних систем, в яких функції керування входять в коефіцієнти головної частини відповідного диференціального оператора, спонукала на необхідність пошуку нових підходів до питань їх розв'язності. Перші дослідження конкретних прикладів таких задач були проведені наприкінці 60-х в роботах К.А. Лур'є. Подальший розвиток ці дослідження знайшли роботах М.В. Банічука, В.Г. Літвінова, У.Е. Райтума, G. Buttazzo, F. Murat, O. Pironneau, L. Tartar'a та ін. З появою на початку 70-х років контр-прикладів неіснування оптимальних керувань в коефіцієнтах для лінійних еліптичних рівнянь пов'язують створення нового напряму в теорії екстремальних задач - теорію релаксації або теорію розширення задач оптимального керування. Його основу складає перехід до нових (узагальнених) класів керувань та нових (G-розширених) моделей вихідних об'єктів, що в своїй більшості приводить до появи "нефізичних" оптимальних розв'язків та проблем з обґрунтуванням адекватності таких моделей. Таким чином, проблема "розумної" регуляризації вихідної множини допустимих керувань, при якій, залишаючись в рамках класичної моделі процесу, оптимізаційна задача стає розв'язною, залишається актуальною і не дослідженою на сьогодні в повному обсязі.

З іншого боку, проблему розв'язності задач оптимального керування нелінійними розподіленими системами можна звести до розв'язності відповідних параметризованих операторних включень та дослідження залежності їх розв'язків від обраного функціонального параметра. Сучасні досягнення в області нелінійного аналізу показують, що достатніми умовами, які гарантують розв'язність широкого класу параметризованих операторних включень і неперервну параметричну залежність їх розв'язків є такі властивості багатозначних операторів як монотонність та спеціальні варіанти квазімонотонноcті. Проте, навіть у випадку, коли функціональним параметром (прототипом керування) виступає матриця коефіцієнтів лінійного еліптичного оператора, елементами якої є функції класу , жодна зі згаданих вище властивостей не виконується.

При побудові математичної моделі довільного фізичного процесу однією із обов'язкових і вагомих складових є область, де розглядається даний процес. Навіть при незначних геометричних змінах області математична модель також змінюється, і виникає природне питання про її чутливість або стійкість відносно малих збурень вихідної області, оскільки це дало б можливість отримувати наближені розв'язки задач в областях зі складною структурою за допомогою розв'язків задач в простіших областях. На сьогодні дана проблема є відносно новою і не дослідженою в повному обсязі, проте існуючі публікації D. Bucur, G. Dal Maso, E.N. Dancer, D. Daners та ін. показують, що нелінійним крайовим задачам та оптимізаційним задачам для таких об'єктів властива нестійкість відносно збурень області. Тому актуальним є визначення класів збурень, відносно яких розглянуті задачі були б в певному сенсі стійкими.

Усе викладене свідчить, що ґрунтовне та конструктивне вивчення розв'язності та стійкості відносно збурень області оптимізаційних задач для еліптичних систем, коли у параметри керування входять в коефіцієнти головної частини еліптичного оператора є актуальним напрямом системного аналізу нелінійних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності до наукового напряму "Розвиток фундаментальних досліджень з найважливіших проблем природничих, суспільних і гуманітарних наук" відповідно до закону України "Про пріоритетні напрями розвитку науки і техніки" №2623-III від 11.07.2001р.

Робота виконувалася в Навчально-науковому комплексі "Інститут прикладного системного аналізу" МОН України та НАН України в межах теми № 2251 - "Розробка методів і алгоритмів аналізу та оптимального керування нелінійними сингулярними системами" (керівник - проф. Макаренко О.С., номер державною реєстрації 0107U002539) та гранта Державного фонду фундаментальних досліджень № Ф25/210-2008 - "Диференціально-операторні включення та еволюційні варіаційні нерівності в нескінченно вимірних просторах" (номер державної реєстрації 0108U005984).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є дослідження питань розв'язності і стійкості відносно збурень області одного класу оптимізаційних задач на основі конструктивного обґрунтування неперервної параметричної залежності розв'язків широкого класу нелінійних еліптичних крайових задач на множині узагальнено соленоїдальних параметрів. Для досягнення поставленої мети в роботі вирішувалися наступні задачі:

- дослідження і класифікація існуючих і нових властивостей абстрактних параметризованих багатозначних та нелінійних операторів, пов'язаних з проблемою розв'язності параметризованих операторних включень та оптимізаційних задач для систем, що описуються нелінійними операторними рівняннями;

- дослідження залежності стану системи, що описується нелінійною еліптичною крайовою задачею, від параметрів (керувань) з класу узагальнено соленоїдальних функцій;

- дослідження топологічних властивостей множини допустимих розв'язків в задачах оптимального керування в коефіцієнтах для нелінійних еліптичних крайових задач з умовами Діріхле та Неймана за умови, що керування належать множині негладких узагальнено соленоїдальних функцій;

- дослідження розв'язності задач оптимального керування системами, що описуються нелінійними еліптичними рівняннями з крайовими умовами Діріхле та Неймана, де в якості керувань виступають матриці обмежених негладких узагальнено соленоїдальних функцій, і обґрунтування для них необхідних умов оптимальності в формі варіаційних нерівностей;

- постановка та дослідження задачі стійкості систем, що описуються нелінійними крайовими задачами та задач оптимального керування такими об'єктами відносно збурення області; отримання достатніх умов стійкості таких задач відносно збурень області.

Об'єктом дослідження є оптимізаційні задачі для систем, які описуються нелінійними еліптичними рівняннями з крайовими умовами Діріхле та Неймана, а в якості керувань виступають матриці коефіцієнтів при старших похідних еліптичних операторів.

Предметом дослідження є обґрунтування розв'язності одного класу оптимізаційних задач для систем, які описуються нелінійними еліптичними рівняннями, на множині негладких узагальнено соленоїдальних керувань в коефіцієнтах та дослідження стійкості таких задач відносно збурень області.

Методи дослідження. Для розв'язання поставлених задач були залучені методи нелінійного аналізу, варіаційного числення, теорії розподілень та просторів Соболєва, варіаційні методи теорії крайових задач та методи теорії збурень в нескінченно вимірних просторах.

Наукова новизна отриманих результатів. Наукова новизна роботи полягає у наступному:

- вперше запропоновано ввести до розгляду клас функціональних параметрів (які далі називаються узагальнено соленоїдальними функціями), що містяться в головній частині нелінійних еліптичних операторів, який забезпечує наявність неперервної параметричної залежності розв'язків рівнянь та включень, породжених такими операторами;

- доведено виконання властивостей, які критичним чином впливають на існування неперервної параметричної залежності розв'язків нелінійних операторних рівнянь та включень, а також дано їх порівняльний аналіз для одного класу нелінійних параметризованих операторів на добутку просторів, якщо функціональний параметр задовольняє умову соленоїдальності;

- отримано достатні умови розв'язності одного класу задач оптимального керування системами, які описуються нелінійними еліптичними крайовими задачами Діріхле та Неймана, і обґрунтовані для них необхідні умови оптимальності у формі варіаційних нерівностей;

- доведено властивість стійкості відносно певних типів збурень області для систем, що описуються параметризованими еліптичними задачами Діріхле, в яких параметр належить множині узагальнено соленоїдальних функцій та встановлено асимптотичну поведінку множини допустимих розв'язків для задачі оптимального обмеженого соленоїдального керування в коефіцієнтах такої системи при заданих збуреннях вихідної області;

- вперше запропоновано поняття Моско-стійкості для розглянутого класу оптимізаційних задач з розподіленими параметрами, отримано достатні умови Моско-стійкості задач оптимального обмеженого соленоїдального керування в коефіцієнтах систем, що описуються нелінійними еліптичними рівняннями з умовами Діріхле на межі області та досліджено варіаційні властивості Моско-стійких задач.

Практичне значення одержаних результатів. Виділено клас допустимих керувань, відносно яких розв'язок задачі оптимального керування коефіцієнтами нелінійного еліптичного рівняння існує і задовольняє отриманим умовам оптимальності, що дає можливість на практиці залучати чисельні процедури для його побудови. З іншого боку, виконання умов Моско-стійкості таких задач оптимального керування та їх варіаційні властивості дають підстави для залучення методу допустимих збурень області для побудови наближених розв'язків у випадку, коли вихідна область має нерегулярну межу та складну геометрію.

Особистий внесок здобувача. Всі основні наукові результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У працях, що опубліковані у співавторстві, здобувачеві належить: в роботі [1] - доведення теореми 1 та приклад 2; в роботі [2] - постановка задачі оптимального керування та доведення лем 3 і 4 та теорем 3 і 4; в роботі [3] - постановка задачі стійкості відносно збурень області та доведення теорем 1 і 2; в роботі [4] - лема 1 та теореми 1, 2, 3, 4; в роботі [5] - твердження 1, теореми 2, 3, приклади 1, 2; в роботі [6] - теореми 1, 2, 3.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації були представлені та доповідалися на:

- Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications, Donetsk, November 11-14, 2008.

- Міжнародна наукова конференція "Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування" з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А.М. Самойленка, Мелітополь, 16-21 червня, 2008.

- Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, Київ, 15-17 травня, 2008.

- Conference of memory of corresponding member of National Academy of Dciences of Ukraine V.S.Mel'nik "Nonlinear Analysis and Applications", Kiev, April 4 - 9, 2009.

Матеріали дисертації неодноразово обговорювалися на засіданнях наукових семінарів кафедри математичного моделювання економічних систем факультету менеджменту та маркетингу Національного технічного університету України "Київського політехнічного інституту" (2007-08 р.), Інституту прикладного системного аналізу НТУУ "КПІ" (2008 р.), кафедр загальної математики, інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2008 р.), відділу нелінійного аналізу інституту прикладної математики та механіки НАН України (м. Донецьк, 2009 р.), кафедри диференціальних рівнянь Донецького національного університету (2008 р.), кафедри диференціальних рівнянь Дніпропетровського національного університету ім. О.Гончара (2008 р.), відділу прикладного нелінійного аналізу ННК "ІПСА" МОН України та НАН України (2007 р.), Інституту космічних досліджень НАНУ-НКАУ (2010 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 13 наукових роботах [1-13]. З них 6 статей у журналах, що входять до переліку фазових видань, затверджених ВАК України, 1 стаття у збірнику наукових праць, 2 - статті у провідних наукових журналах України, та 4 тези доповідей на міжнародних математичних конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'ятьох розділів, загальних висновків і списку цитованої літератури, що містить 121 найменування. Повний обсяг роботи складає 154 сторінки друкованого тексту, обсяг додатку складає 5 сторінок друкованого тексту.

Основний зміст роботи

У вступі розкрито суть та стан проблеми, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження. Визначено методи дослідження та наукову новизну отриманих результатів. Розглянуто практичне значення та впровадження результатів дисертації. Наведено відомості про особистий внесок здобувача, апробацію роботи, публікації, зв'язок роботи з науковими програмами.

В першому розділі наведено ряд фізичних задач, математичними моделями яких виступають екстремальні задачі з негладкими керуваннями в коефіцієнтах еліптичних систем. Зокрема, на прикладі однієї задачі оптимального керування коефіцієнтами нелінійного еліптичного рівняння показано, що в випадку, коли в якості множини допустимих керувань виступає клас матриць, елементами яких є вимірні суттєво обмежені функції, вихідна задача не має розв'язку. Власне, ця обставина є типовою для більшості задач оптимального керування в коефіцієнтах розподілених систем. Таким чином, наведені приклади служать мотивацією для проведення якісного аналізу даного класу задач з точки зору їх розв'язності, топологічних властивостей множин їх допустимих розв'язків та чутливості до збурень вихідної області. Проведено також аналіз найбільш відомих методів регулярізації подібних задач, таких як метод звуження множини допустимих керувань та метод релаксації або -замикання вихідної задачі. Показано, що другий підхід, в основі якого лежать залучення узагальнених керувань, призводить до появи так званих ”нефізичних” розв'язків.

На основі проведеного аналізу існуючих публікацій зроблено висновок про те, що проблема дослідження розв'язності та стійкості відносно збурень області оптимізаційних задач для нелінійних еліптичних систем у випадку, коли функції керування входять у коефіцієнти головної частини еліптичного оператора є актуальною, і важливу роль у цьому відіграє дослідження умов виконання неперервної залежності розв'язків еліптичних крайових задач від керувань у головній частині оператора.

У другому розділі наведені теоретичні положення та результати, які торкаються деяких аспектів теорії нелінійних операторів. Основна увага приділена нелінійним та багатозначним параметризованим операторам, визначеним на добутку банахових просторів, та їх властивостям, які відіграють важливу роль у теоремах про розв'язність операторних рівнянь та включень. А саме, мова йде про властивості монотонності, та квазімонотонності, умову . Запропоновано узагальнити ці властивості, розглядаючи їх не на всій області визначення нелінійного параметризованого оператора, що є типовим в теорії операторів, а лише на певній її підмножині . У зв'язку з цим, в роботі введені властивість (прототип цієї умови для непараметризованого випадку був запропонований Скрипником І.В.) та умову замкненості. Всі розглянуті властивості належним чином упорядковані і показано, що найслабшою серед них є властивість замкненості оператора.

Нехай - рефлексивний банахів простір, а - простір спряжений до деякого сепарабельного банахового простору, - -слабко замкнена множина, - нелінійне відображення.

Означення 2.1. Будемо казати, що параметризоване відображення задовольняє умову на множині , якщо для довільної послідовності такої, що -слабко в , слабко в та слабко в з умови випливає, що слабко в .

Означення 2.2. Параметризований оператор називається -замкненим, якщо на множині , де - секвенційна границя за Куратовським відносно добутку -слабкої топології простору , слабкої топології простору та сильної топології простору . Тут

Твердження 2.1. Справедливими є наступні імплікації: .

Наведено приклад, який показує, що клас операторів, які задовольняють умовам і замкненості є принципово ширшим за класквазімонотонних операторів, проте виконання умови суттєво залежить від вибору множини . Дійсно, для багатозначного оператора де в якості розглянута множина симетричних еліптичних матриць, коефіцієнтами яких є вимірні суттєво обмежені функції,

,

вказані властивості виконуватися не будуть (тут і далі для вектора використовується позначення: ). Проте, вони будуть мати місце, як тільки множина параметрів звужена до множини соленоїдальних матриць, а саме

Далі показано, що результат відомої теореми про розв'язність абстрактної задачі оптимального керування операторним рівнянням з оператором, який задовольняє властивість , залишиться в силі, якщо властивість замінити на , яку в свою чергу можна замінити на властивість замкненості оператора, де - множина допустимих розв'язків задачі.

Дійсно, нехай - рефлексивний сепарабельний банахів простір, - множина допустимих керувань, - простір, спряжений до деякого банахового сепарабельного простору .

Розглянемо задачу

(1)

(2)

(3)

де - фіксований елемент, - функціонал якості. Через позначено сукупність пар пов'язаних співвідношеннями (2)-(3).

Означення 2.3. Задачу (4)-(6) називають регулярною, якщо .

Теорема 2.2. Нехай виконуються наступні припущення:

(і) множина - обмежена, -слабко замкнена підмножина простору ;

(іі) оператор є -замкненим;

(ііі) функціонал є напівнеперервним знизу відносно -слабкої топології простору та топології слабкої збіжності простору ;

(iv) оператор є коерцитивним в наступному сенсі: при де - довільна обмежена підмножина . За цих умов задача (1)-(3) розв'язна тоді і тільки тоді, коли вона є регулярною.

У третьому розділі розглянуто задачу оптимального керування нелінійним еліптичним рівнянням з умовами Діріхле на межі області для випадку, коли в якості керувань виступають коефіцієнти в головній частині оператора.

Відомо, що у загальному випадку, а саме, коли керуваннями є невід'ємні, вимірні, суттєво обмежені функції, запропонована задача розв'язку не має. Проте, якщо звузити множину допустимих керувань до узагальнено соленоїдальних, то будуть виконуватися умови , та -замкненості на параметризований нелінійний оператор, і, як наслідок, відповідна задача оптимального керування стане розв'язною. А саме, нехай - відкрита обмежена множина з достатньо регулярною межею, а та - дійсні числа, такі що і . Розглядається задача

(4)

(5)

(6)

де - функціонал якості, ,

Задана сукупність непорожніх компактних опуклих множин в просторі . Множина соленоїдальних матриць задається умовою



Тут значення оператора на векторі визначається як елемент простору , такий що Через позначено множину допустимих розв'язків, тобто пар, які задовольняють співвідношенням (5)-(6) .

Твердження 3.1. Нехай Тоді задача (4)-(5) є регулярною.

Лема 3.1. Нехай - секвенційно компактна множина в -слабкій топології простору .

Теорема 3.1. Нехай . Тоді для кожного фіксованого множина допустимих розв'язків в задачі (4)-(6) є секвенційно замкненою в добутку -слабкої топології простору та слабкої топології простору .

Теорема 3.2. Нехай , i в задачі (4)-(6) функціонал якості є напівнеперервним знизу відносно -слабкої топології простору та слабкої топології простору . Тоді задача оптимального керування (4)-(6) має непорожню множину розв'язків.

Далі, залучаючи поняття квазіспряженої системи, на прикладі задачі (4)-(6) при отримано та обґрунтовано необхідні умови оптимальності у формі варіаційних нерівностей.

У четвертому розділі розглядається задача оптимального керування в коефіцієнтах нелінійним еліптичним рівнянням з умовами Неймана на межі області. Ставиться за мету довести її розв'язність на множині узагальнено соленоїдальних керувань.

Нехай - відкрита обмежена множина з достатньо регулярною межею, а та - дійсні числа, такі що і . На просторі для заданих функцій та розглядається задача оптимального керування:

(7)

(8)

(9)

де , через позначено простір Бєсова - простір слідів функцій з , а - одиничний вектор зовнішньої нормалі до межі множини . Через позначимо множину допустимих пар задачі (7)-(9) .

Мають місце наступні результати.

Теорема 4.1. Нехай множина , . Тоді для кожного фіксованого множина допустимих розв'язків є секвенційно замкненою в добутку -слабкої топології простору та слабкої топології простору .

Твердження 4.1. Нехай , . Тоді задача оптимального керування (7)-(9) має непорожню множину розв'язків.

На прикладі задачі (7)-(9) при , наведено та обґрунтовано необхідні умови оптимальності у формі варіаційних нерівностей.

У п'ятому розділі досліджено питання стійкості задачі оптимального керування відносно збурень області. А саме, розглянуто параметризовану задачу оптимального узагальнено соленоїдального керування коефіцієнтами для нелінійного еліптичного рівняння з крайовими умовами Діріхле, де в якості параметра виступає певне збурення вихідної області . Проблема полягає в дослідженні асимптотичної поведінки розв'язків задач оптимального керування відносно збурень області . Надалі, через позначено малий параметр, що змінюється в межах строго спадної послідовності додатних чисел, яка прямує до нуля.

Нехай є фіксованою відкритою підмножиною обмеженої множини з достатньо регулярною межею.

Задана сукупність непорожніх компактних опуклих множин в просторі . Множина соленоїдальних матриць задається умовою ,



Розглядається наступна задача оптимального керування:

(10)

(11)

(12)

де , . Далі припускається, що множина та множина допустимих розв'язків непорожні.

Ставиться за мету дослідити залежність розв'язків задач

(13)

(14)

(15)

від збурення фіксованої області . Будемо припускати, що , а - задані функції, множина допустимих керувань і, відповідно, множина допустимих розв'язків непорожні для кожного .

Відомо, що в загальному випадку, крайові задачі виду (11)-(12) є нестійкими відносно збурень області.

Означення 5.1. -ємністю компактної множини відносно кулі (якій вона належить) називають величину

Наступні означення задають дві різні топології на множині відкритих підмножин простору , на основі яких буде визначено два незалежних типи допустимих збурень вихідної області.

Означення 5.2. Будемо казати, що послідовність відкритих підмножин збігається до відкритої множини в -топології, якщо значення метрики прямує до нуля при.

Означення 5.3. Будемо казати, що послідовність відкритих підмножин множини топологічно збігається до відкритої множини (), якщо існують компактна множина нульової -ємності та компактна множина лебегової міри нуль, для яких справедливі наступні умови:

* якщо , то для достатньо малих ;

* для довільної відкритої множини такої, що , маємо для достатньо малих .

Означення 5.4. Будемо казати, що є -стійкою областю, якщо для довільних таких, що майже скрізь на , отримаємо .

Означення 5.5. Нехай та - відкриті підмножини . Будемо казати, що послідовність утворює -допустиме збурення множини , якщо:

* при ;

* для всіх , де клас визначено наступним чином:

тут через позначено кулю з центром в та радіусом , а функція є такою, що:

* локально рівномірно на ;

* напівнеперервна знизу за третім аргументом.

Означення 5.6. Нехай та - відкриті підмножини . Будемо казати, що послідовність утворює топологічно допустиме збурення множини (коротко, -допустиме), якщо в сенсі означення 5.3.

Наступна теорема дає достатні умови стійкості відносно збурень області систем, що описуються нелінійними параметризованими еліптичними задачами Діріхле, за умови що параметр - матриця коефіцієнтів - належить множині узагальнено соленоїдальних матриць. Даний результат дозволяє встановити асимптотичну поведінку множин допустимих пар задач оптимального керування такими об'єктами при визначених допустимих збуреннях області.

Теорема 5.1. Нехай , - відкриті підмножини . Нехай також

є множинами допустимих розв'язків задач оптимального керування (13)-(15) та (10)-(12) відповідно. Припустимо, що виконується принаймні одна з наступних умов:

* і є -допустимим збуренням області ,

* є -стійкою областю і є -допустимим збуренням .

Тоді послідовність множин збігається до множини в сенсі Моско, що означає:

* для довільної пари , знайдеться послідовність така, що сильно в і сильно в ;

* якщо - числова послідовність, яка збігається до , а - послідовність така, що і в просторі , то існує функція така, що і .

Тут через (відповідно ) позначено тривіальне поширення на функцій, які визначені на (відповідно на ).

Означення 5.7. Будемо казати, що задача оптимального керування (10)-(12) на є Моско-стійкою в відносно деякого збурення області , якщо виконуються наступні умови:

* множина допустимих пар для (10)-(12) є границею в сенсі Моско послідовності допустимих пар збурених задач (13)-(15);

* якщо - збіжна до числова послідовність, a послідовність така, що і в де то ;

* для кожної пари знайдеться послідовність , така що сильно в , сильно в , і

Теорема 5.2. Припустимо, що для заданого збурення області , задача оптимального керування (10)-(12) на є Моско-стійкою в просторі . Нехай - послідовність оптимальних розв'язків відповідних збурених задач (13)-(15). Тоді ця послідовність є відносно -компактною в та кожна її -гранична пара є оптимальним розв'язком вихідної задачі (10)-(12). Більше того, якщо то

i

Таким чином, теорема 5.2 торкається варіаційних властивостей Моско-стійких оптимізаційних задач. А саме, вона стверджує, що оптимальні розв'язки та найменше значення цільового функціоналу в збурених задачах збігаються у відповідних топологіях до аналогічних характеристик незбуреної задачі.

Наступний результат дає достатні умови Моско-стійкості для розглянутого класу оптимізаційних задач. А саме, представлено два незалежних набори умов на вихідну область та її збурення, за виконання яких оптимізаційна задача є Моско-стійкою.

Теорема 5.3. Нехай - відкрита підмножина . Припустимо, що в функціоналі якості (10) є таким, що для м.в. Нехай виконується принаймні одна з умов

* і є -допустимим збуренням області ,

* є -стійкою, а є -допустимим збуренням .

Тоді задача (10)-(12) є Моско-стійкою в просторі .

Висновки

Дисертаційну роботу присвячено конструктивному обґрунтуванню неперервної параметричної залежності розв'язків широкого класу нелінійних еліптичних крайових задач на множині узагальнено соленоїдальних параметрів та її застосуванню до питань розв'язності і стійкості відносно збурень області одного класу оптимізаційних задач. В роботі отримані достатні умови розв'язності таких задач, їх стійкості відносно збурень області та необхідні умови оптимальності. Основними результатами дисертаційної роботи є:

1. Досліджено властивості абстрактних параметризованих багатозначних та нелінійних операторів, означених на добутку банахових просторів, і які є ключовими для проблеми розв'язності операторних включень та відповідних екстремальних задач з загальним типом обмежень на функції стану та керування.

Наведено приклади, які ілюструють суттєву залежність таких властивостей від вибору множин параметрів, та дають їх порівняльний аналіз з існуючими нині. Доведено виконання всіх властивостей означеного типу для одного класу багатозначних та нелінійних параметризованих еліптичних операторів у випадку, коли функціональний параметр задовольняє умову соленоїдальності. Це дозволяє обґрунтувати неперервну параметричну залежність розв'язків операторних рівнянь та включень з операторами розглянутого типу.

2. Встановлено неперервну параметричну залежність стану систем, що описуються нелінійними еліптичними крайовими задачами, якщо в якості допустимих параметрів обрано новий клас недиференційованих функцій, які названо узагальнено соленоїдальними функціями. Це дає можливість гарантувати розв'язність широкого класу оптимізаційних задач для таких об'єктів.

3. Доведено секвенційну замкненість в добутку слабких топологій множини допустимих розв'язків для широкого класу оптимізаційних задач для систем, що описуються нелінійними еліптичними рівняннями, у випадку, коли керування належать множині узагальнено соленоїдальних функцій. Наявність такої властивості множини допустимих розв'язків дає можливість конструктивно досліджувати проблеми розв'язності та стійкості відповідних оптимізаційних задач.

4. Вперше встановлено розв'язність задач оптимального керування в коефіцієнтах систем, що описуються нелінійними еліптичними рівняннями з крайовими умовами Діріхле та Неймана, на класі узагальнено соленоїдальних керувань. Знайдено необхідні умови оптимальності в формі варіаційних нерівностей та наведено їх обґрунтування. Отримані результати дають можливість стверджувати існування оптимального керування та залучати чисельні процедури для його побудови.

5. Отримано достатні умови на вихідну область та її збурення, за яких системи, що описуються параметризованими еліптичними задачами Діріхле, чий параметр належить множині узагальнено соленоїдальних функцій, є стійкими до збурень області. Це дозволяє встановити асимптотичну поведінку множини допустимих розв'язків для задачі оптимального обмеженого соленоїдального керування в коефіцієнтах таких систем при допустимих збуреннях вихідної області.

Вперше запропоновано поняття Моско-стійкості задач оптимального керування в коефіцієнтах для нелінійних еліптичних систем та отримано достатні умови Моско-стійкості задач оптимального обмеженого соленоїдального керування в коефіцієнтах таких систем. Зокрема, виділено два самостійних класи допустимих збурень вихідної області, відносно яких дана задача є Моско-стійкою та досліджено варіаційні властивості Моско-стійких задач оптимального керування.

Отримані результати дозволяють стверджувати, що оптимальні розв'язки та найменше значення цільового функціоналу в збурених задачах збігаються у відповідних топологіях до аналогічних характеристик незбуреної задачі. Тим самим отримано достатні умови для побудови наближених розв'язків задач оптимального керування коефіцієнтами в нерегулярних областях та областях зі складною топологічною структурою.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Капустян В.О. Про розв'язність одного класу параметризованих операторних включень / В.О. Капустян, П.О. Касьянов, О.П. Когут // Укр. мат. журн. - 2008. - Т. 60, № 12. - С. 1619 - 1630.

2. Капустян В.О. Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами в головній частині нелінійного еліптичного оператора / В.О. Капустян, О.П. Когут // Нелінійні коливання. - 2009. - Т.12, № 1. - С. 59 - 72.

3. Капустян В.О. Достатні умови стійкості відносно збурень області одного класу задач оптимального керування / В.O. Капустян, О.П. Когут // Наукові вісті НТУУ «КПІ». - 2008. - № 6. - С. 138 - 143.

4. Капустян В.О. Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Компьютерная математика. - 2010. - № 1. - С. 138 - 144.

5. Капустян В.О. О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Проблемы управления и информатики. - 2010. - № 1. - С. 78 - 85.

6. Капустян В.О. Про допустимі збурення області в задачах оптимального керування в коефіцієнтах нелінійних еліптичних задач Діріхле / В.О. Капустян, О.П. Когут // Вісник Вінницького політехнічного інституту - 2010. - № 1. - С. 113 - 117.

7. Когут О.П. Деякі класи нелінійних відображень в дуальній парі банахових просторів / О.П. Когут // Системні дослідження та інформаційні технології. - 2008. -№ 4. - С. 125 - 140.

8. Когут О.П. Про розв'язність задачі оптимального керування нелінійним еліптичним рівнянням з умовами Неймана на границі / О.П. Когут // Зб. наук. пр. - Дніпропетровськ: ДНУ. - 2008. - сер. "Диференціальні рівняння та їх застосування". - C. 85 - 99.

9. Когут О.П. Про стійкість до збурень області одного класу задач оптимального керування / О.П. Когут // Вісник ДНУ. Серія: Проблеми математичного моделювання та теорії диференціальних рівнянь. - ДНУ, 2009. - Вип.1. - №8. - С.23 - 41.

10. On solvability and shape stability of optimal control problems in coefficients for nonlinear elliptic equations with Dirichlet boundary conditions: books of abstracts of Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya.D. Lopatinskii (Donetsk, November 11-14, 2008) / Ministry of Education and science, Donetsk Nation. Univ., Inst. of Appl. Math. And Mech. - Donetsk: Donetsk Nation. Univ., 2008. - P. 62.

11. Про розв'язність одного класу параметризованих операторних включень: матеріали дванадцятої міжнародної конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 15-17 трав. 2008 р.) / Ін-т. матем. НАН України, Київ. нац. ун-т ім.. Тараса Шевченка [та ін.]. - К.: Нац. техн. ун-т України «КПІ», 2008. - С. 175.

12. Про розв'язність одного класу задач оптимального керування для нелінійного еліптичного операторна: тези доповідей міжнародної наукової конференції ["Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування"], (Мелітополь, 16-21 черв. 2008 р.) / Ін-т. матем. НАН України, Київ. нац. ун-т ім.. Тараса Шевченка [та ін.]. - К.: Тавр. держ. агротехнол. ун-т, 2008. - С. 62.

13. A note on H-convergence: book of abstracts of Conference of memory of corresponding member of National Academy of Sciences of Ukraine V.S.Mel'nik ["Nonlinear Analysis and Applications"], (Kiev, April 2 - 4, 2009) / NTUU “KPI”. - Kiev: NTUU “KPI”, 2009 - P. 33.

Анотація

Когут О.П. Якісний аналіз одного класу оптимізаційних задач для нелінійних еліптичних систем. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз та теорія оптимальних рішень. Інститут космічних досліджень НАН України та НКА України, Київ, 2010.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню якісних характеристик одного класу нелінійних еліптичних оптимізаційних задач, таких як розв'язність та стійкість відносно малих збурень вихідної області.

Показано, що наявність означених характеристик суттєво залежить від властивостей множини допустимих керувань. У зв'язку з цим для еліптичних операторів, де параметром виступає матриця коефіцієнтів головної частини, в якості множини параметрів запропоновано розглядати множину узагальнено соленоїдальних матриць.

Розглянуто задачі оптимального керування коефіцієнтами головної частини нелінійного еліптичного рівняння з умовами Діріхле та Неймана на межі області. Для кожної з розглянутих задач встановлено факт їх розв'язності у класі узагальнено соленоїдальних керувань.

Крім цього, для задачі оптимального обмеженого узагальнено соленоїдального керування коефіцієнтами головної частини нелінійного еліптичного рівняння з умовами Діріхле на межі доведена її стійкість відносно двох типів збурень вихідної області. Показано, що оптимальні розв'язки та найменше значення цільового функціоналу в збурених задачах прямують у відповідних топологіях до аналогічних характеристик незбуреної задачі.

Ключові слова: нелінійна еліптична крайова задача, узагальнено соленоїдальні керування, -замкненість оператора, казіспряжена система, збурення області, Моско-збіжність просторів Соболєва, Моско-стійкість.

Аннотация

Когут О.П. Качественный анализ одного класса оптимизационных задач для нелинейных эллиптических систем. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 - системный анализ и теория оптимальных решений. Институт космических исследований НАН Украины и НКА Украины, Киев, 2010.

Диссертационная работа посвящена исследованию качественных характеристик, таких как разрешимость и устойчивость относительно возмущений начальной области, для одного класса нелинейных эллиптических оптимизационных задач.

Показано, что наличие у оптимизационной задачи данных характеристик существенно зависит от дифференциальных свойств допустимых управлений.

В работе рассмотрены две задачи оптимального управления коэффициентами главной части нелинейного эллиптического уравнения с условиями Дирихле и Неймана на границе. В общем случае, а именно, когда управления являются положительными, ограниченными и измеримыми функциями, данные задачи могут не иметь решения по причине незамкнутости множества допустимых пар. В связи с этим предложено в качестве множества допустимых управлений рассматривать множество обобщенно соленоидальных матриц. В этом случае управления являются более регулярными, чем ограниченные измеримые функции, но они не обязательно являются элементами пространств Соболева. Доказано, что в этом случае обе рассмотренные задачи являются разрешимыми.

С другой стороны, к вопросу о разрешимости задач оптимального управления коэффициентами нелинейного эллиптического уравнения, можно подходить как к проблеме разрешимости соответствующего параметризиро-ванного операторного включения, и с этой целью исследовать зависимость его решений от параметра. Показано, что такие включения, где параметром является матрица коэффициентов в главной части эллиптического оператора, разрешимы, если в качестве множества допустимых параметров рассматривается множество обобщенно соленоидальных матриц.

Для задачи оптимального ограниченного обобщенно соленоидального управления коэффициентами главной части нелинейного эллиптического уравнения с условиями Дирихле на границе исследована проблема ее устойчивости относительно возмущений исходной области. Введены два типа допустимых возмущений открытых ограниченных множеств с достаточно регулярной границей - топологические возмущения и возмущения в хаусдорфовой топологии дополнений.

Показано, что множество допустимых решений возмущенных задач асимптотически Моско-устойчиво относительно обоих типов допустимых возмущений исходной области, что означает следующее: 1) каждая предельная точка любой последовательности допустимых решений возмущенных задач является допустимым решением исходной задачи относительно произведения слабых топологий пространств «управление - состояние»; 2) для каждого допустимого решения невозмущенной задачи существует сильно сходящаяся к нему последовательность допустимых решений возмущенных задач. В основу доказательства положен тот факт, что рассматриваемые возмущения области обеспечивают сходимость в смысле Моско соответствующих пространств Соболева.

В связи с этим, предложено определение понятия Моско-устойчивости задачи оптимального управления. Показано, что Моско-устойчивые оптимизационные задачи имеют `хорошие' вариационные свойства, а именно, что для Моско-устойчивых задач оптимальные управления и наименьшие значения целевого функционала в возмущенных задачах стремятся в соответствующих топологиях к аналогичным характеристикам невозмущенной задачи.

Установлены достаточные условия, при которых задача оптимального управления является Моско-устойчивой.

Ключевые слова: нелинейная эллиптическая краевая задача, обобщенно соленоидальные управления, -замкнутость оператора, квазисопряженная система, возмущения области, Моско-сходимость пространств Соболева, Моско-устойчивость.

Abstract

Kogut O.P. Qualitative analysis of one class of optimization problems for nonlinear elliptic systems. - Manuscript. The thesis for the degree of the Candidate of physical and mathematical sciences on specialty 01.05.04 - system analysis and optimal decisions theory. - Space Research Institute NASU-NSAU, Kyiv, 2010.

The thesis is devoted to the investigation of qualitative properties such as solvability and stability with respect to domain perturbations for one class of nonlinear elliptic optimization problems.

It is shown that the fulfillment of the given properties depends essentially on the topology on the parameter space. In this connection for the case of elliptic operators when the matrix of coefficients in its main part is taken as a parameter, it is proposed to consider the set of so-called generalized solenoidal matrixes as a set of admissible parameters.

Two problems are considered: the problems of optimal control in coefficients of the main part of nonlinear elliptic equation with Dirichlet and Neumann boundary conditions, respectively.

For each of considered problems the solvability within the class of generated solenoidal controls is proved.

Furthermore, for the problem of optimal bounded generalized solenoidal control in coefficients of the main part of nonlinear elliptic equation with Dirichlet boundary conditions its stability with respect of two types of initial domain perturbations is studied. It is shown that optimal controls and minimal values of objective functionals of perturbed problems converge in the corresponding topologies to the similar characteristics of unperturbed problem.

Keywords: nonlinear elliptic boundary problem, generalized solenoidal controls, control in coefficients, -closeness of the operator, quasiconjugated system, domain perturbations, Mosco-convergence of Sobolev spaces, Mosco-stability.

Размещено на Allbest.ru

...