Стійкість просторових тонкостінних пластинчатих систем

Размещено на http://www.allbest.ru//

Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського

«Харківський авіаційний інститут»

Спеціальність 01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Стійкість просторових тонкостінних пластинчатих систем

Кравченко Сергій Григорович

Харків - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є. Жуковського «Харківський авіаційний інститут» Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Кривцов Володимир Станіславович,

Національний аерокосмічний університет

ім. М.Є. Жуковського «Харківський авіаційний інститут»,

завідувач кафедри технології виробництва літальних апаратів.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Проценко Володимир Сидорович,

Національний аерокосмічний університет

ім. М.Є. Жуковського «Харківський авіаційний інститут»,

професор кафедри вищої математики;

кандидат технічних наук

Василевський Євген Тимофійович,

Державне підприємство «Антонов»,

начальник відділу міцності крила і оперення.

Захист відбудеться «24» вересня 2010 року о 12 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.062.04 у Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є. Жуковського «Харківський авіаційний інститут» за адресою: 61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського «Харківський авіаційний інститут» за адресою: 61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17.

Автореферат розісланий «18» серпня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради О. М. Застела

Размещено на http://www.allbest.ru//

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У сучасній аерокосмічній техніці, суднобудуванні, об'єктах хімічної і атомної промисловості, а також у будівельних спорудах широко застосовують тонкостінні просторові конструкції, які поєднують високу міцність і надійність при невеликій масі. Теоретичне і експериментальне дослідження роботи таких конструкцій відповідно до вимог технічного прогресу являє собою один із важливих і складних розділів сучасної механіки деформівного твердого тіла. Для тонкостінних конструкцій втрата стійкості є розповсюдженою причиною вичерпання несучої здатності, і саме в авіабудуванні проблема пружної стійкості стоїть найбільш гостро і актуально. Цей факт не заперечується ні дослідниками-теоретиками та прикладниками, ні конструкторами у всьому світі. Центральний аерогідродинамічний інститут (Росія) наводить такі експериментальні дані: руйнування серійних і дослідних зразків при статичних випробуваннях мало місце в результаті втрати стійкості в більш ніж 50% випадків, руйнування несучих поверхонь планера - більш ніж у 60%, і саме елементи кесона найбільш відповідальні за руйнування планера літака. Наведені цифри об'єктивно підкреслюють необхідність розвитку існуючих і розроблення нових підходів до дослідження стійкості силових елементів літальних апаратів.

Зростання складності й вартості аерокосмічних конструкцій визначає необхідність використання на всіх етапах процесу проектування та супроводження більш точних математичних моделей, що може забезпечити скорочення найбільш трудомісткого етапу - етапу доведення конструкції. Істотна похибка при визначенні критичних параметрів утрати стійкості окремо взятих блоків конструкції пов'язана зі складністю адекватного урахування умов взаємодії різних блоків системи. Підвищення точності може бути досягнуто якомога більшим охопленням частини системи, для якої вирішується проблема стійкості, але це пов'язано зі складностями теоретичного і обчислювального характеру, а також проблематичністю інтерпретації отриманих результатів. Розв'язання цього протиріччя є актуальною задачею.

У дисертації запропоновано підхід до визначення критичних параметрів утрати стійкості тонкостінних просторових систем, що складаються зі з'єднаних безпосередньо або за допомогою ребер жорсткості прямокутних і трапецієподібних пластин, на основі методу ідентифікації крайових умов - нового, прогресивного методу дослідження пружної стійкості складних механічних систем, що був запропонований та нині розвивається у Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є. Жуковського «ХАІ».

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу підготовлено за тематиками науково-технічних програм, затверджених Міністерством освіти і науки України, виконаних у «ХАІ»: «Теоретичні основи методу ідентифікації крайових умов для дослідження пружної стійкості силової конструкції аерокосмічної техніки» (№ ДР 0103U005070), 2003-2005рр.; «Теорія та числова реалізація методу ідентифікації крайових умов у задачах пружної стійкості та коливань» (№ ДР 0106U001061), 2006-2008рр.; «Нові математичні методи досліджень полів, станів і процесів механіки суцільних середовищ для розвитку сучасних аерокосмічних технологій» (№ ДР 0109U001394), 2009-2011рр.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є підвищення точності визначення критичних параметрів утрати стійкості довільного неоднорідного вихідного стану просторових тонкостінних пластинчатих систем на основі адекватних математичних моделей та сучасних методів їх аналізу.

Для досягнення зазначеної мети в дисертації поставлено основні задачі:

- побудувати й дослідити аналітично-числовий розв'язок плоскої задачі теорії пружності у трапецієподібній області при заданій на межі довільній узгодженій системі напружень;

- виконати композицію отриманих розв'язків плоскої задачі теорії пружності для окремих елементів, які створюють задану просторову тонкостінну пластинчату систему, для аналізу її напруженого стану, що підлягає подальшому дослідженню на стійкість;

- отримати і дослідити аналітично-числові розв'язки задач вигину попередньо напружених у своїй площині прямокутних і трапецієподібних пластин за довільно заданими на їх межі переміщеннями та кутами повороту;

- побудувати функціональну матрицю жорсткості межі виділеного із системи блока за допомогою синтезу загальних кінематичних розв'язків, що описують деформування при втраті стійкості окремих елементів, які складають частину системи, що «відкидається» (елементи матриці жорсткості містять невідомий параметр стійкості);

- визначити критичний параметр утрати стійкості виділеного блока з урахуванням ідентифікованих умов пружної взаємодії вздовж суміжної межі з рештою елементів системи (цей критичний параметр є критичним параметром утрати стійкості усієї системи);

- включити розроблені алгоритми розрахунку до програмного комплексу «Стійкість», що був створений та нині розвивається у Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є. Жуковського «ХАІ» відповідно до конструкцій аерокосмічної техніки.

Об'єкт дослідження - напружено-деформований стан і пружна стійкість тонкостінних конструкцій.

Предмет дослідження - математичні моделі неоднорідного напруженого стану та втрати стійкості просторових тонкостінних пластинчатих систем, методи знаходження розв'язків задач про напружено-деформований стан і стійкість тонкостінних конструкцій.

Методи дослідження. Задача стійкості просторової тонкостінної системи, що складається з прямокутних і трапецієподібних пластин, редукується до задачі стійкості одного з блоків системи за допомогою методу ідентифікації крайових умов. У процесі визначення вихідного стану системи та жорсткості межі виділеного блока використано метод спряження конструктивних елементів, який базується на методах механіки деформівного твердого тіла, методах теорії пружності тонких пластин, методах обчислювальної математики та програмування. Для побудови та дослідження аналітично-числових розв'язків ряду двовимірних крайових задач теорії пружності було використано методи Власова-Канторовича та Бубнова-Гальоркіна, метод розширення області до канонічної у поєднанні з методом найменших квадратів вздовж межі та методи сучасного аналізу. Для безпосереднього розв'язання задачі стійкості виділеного блока системи використано прямий варіаційний метод Релея-Рітца.

Наукова новизна одержаних результатів. Найістотнішими елементами наукової новизни є такі результати:

- вперше на основі системного підходу з використанням методу ідентифікації крайових умов поставлено та розв'язано задачу стійкості просторової тонкостінної системи, що складається з прямокутних та трапецієподібних пластин, завдяки чому метод ідентифікації крайових умов дістав подальшого розвитку;

- вперше методом розширення області до канонічної у поєднанні з методом найменших квадратів вздовж межі побудовано аналітично-числовий розв'язок плоскої задачі теорії пружності у трапецієподібній області за довільних крайових умов у напруженнях;

- вперше побудовано аналітично-числові розв'язки двовимірних крайових задач теорії пружності у прямокутнику та трапеції, які описують вигин попередньо напружених у своїй площині тонкостінних елементів (відповідної форми у плані) при довільно заданих на їх межі переміщеннях і кутах повороту;

- вперше отримано функціональну матрицю жорсткості межового контуру виділеного блока просторової тонкостінної пластинчатої системи, елементи якої містять невідомий критичний параметр утрати стійкості системи, що дозволяє редукувати задачу стійкості всієї системи до задачі стійкості виділеного блока.

Практичне значення одержаних результатів. Використання в практиці одержаних у роботі математичних моделей та розроблених методик дозволить підвищити якість й оперативність проведення розрахунків на міцність і стійкість відповідальних пластинчатих авіаційних конструкцій. Запропоновані алгоритми і отримані шляхом їх використання розв'язки та висновки, що з них випливають, знайдуть застосування в інженерній практиці у галузі машинобудування, де зустрічаються задачі даного класу, та науково-дослідних установах.

Результати досліджень передано для використання Державному підприємству „Антонов” і використано у навчальному процесі Національного аерокосмічного університету „Харківський авіаційний інститут”.

Особистий внесок здобувача. Формулювання теми, мети та постановка завдань, а також обговорення наукових результатів виконано разом із науковим керівником. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних публікаціях [2-4] особистий внесок дисертанта складає: виведення основних рівнянь і співвідношень, участь у розробленні методів і числових алгоритмів розв'язування задач, аналізі отриманих результатів і формулюванні висновків.

Апробація результатів роботи. Основні результати дисертації доповідалися і обговорювалися на Міжнародних науково-технічних конференціях «Інтегровані комп'ютерні технології в машинобудуванні», «Проблеми створення та забезпечення життєвого циклу авіаційної техніки» (м. Харків, 2007-2009рр.), на науково-технічній раді Національного аерокосмічного університету «ХАІ», на науково-технічних семінарах кафедр №104 та №102 у 2006-2010 рр.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 5 друкованих працях у рецензованих наукових журналах, що входять до Переліку фахових видань ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, які містять 68 рисунків, 9 таблиць, висновків, а також списку використаних джерел зі 195 найменувань. Загальний обсяг роботи становить 160 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі викладено сутність і значущість сформульованої в темі дисертації проблеми. Обґрунтовано актуальність створення і розвитку нових альтернативних до існуючих методів вирішення цієї проблеми. Визначено мету і задачі дослідження, обґрунтовано наукову і практичну цінність, а також наведено кваліфікаційні ознаки роботи.

У першому розділі представлено характеристику сучасного стану питань, що стосуються теми дисертації.

У цей час при дослідженні пружної стійкості елементів складних механічних систем використовують три основні підходи.

Перший та найбільш розповсюджений підхід полягає у виділенні із силової схеми окремих елементів без урахування реального характеру їх взаємодії у межах системи. У рамках такого підходу сучасна теорія пластин та оболонок - це глибоко опрацьовані розділи механіки деформівного твердого тіла. Кількість публікацій, що відносяться до розв'язання задач за класичних умов обпирання (жорстке закладення, вільне обпирання, вільний край), вимірюється тисячами і безперервно поповнюється: наприклад, обширна бібліографія В.А. Неша W.A. Nash. Bibliography on Shells and Shell-Like Structures, Department of Engineering Mechanics. Engineering and Industrial Experiment Station University of Florida, Cainesville, Florida, June, 1957. містить біля 6000 найменувань. Такому підходу властиві математична строгість і глибоке опрацювання моделей: існують рішення, отримані з урахуванням різноманітних геометричних та фізичних неоднорідностей, нелінійностей, недосконалостей та інших чинників. Істотний недолік такого підходу - неможливість апріорної оцінки похибки, що виникає при заміні реальних крайових умов на ідеалізовані. Це робить проблематичним застосування отриманих результатів при розрахунку складених конструкцій.

При другому підході, орієнтованому на застосуванні універсального методу скінченого елемента (МСЕ) у формі методу переміщень, прагнуть до розглядання окремих агрегатів або навіть усієї конструкції в цілому. МСЕ має ряд безсумнівних і загальновідомих достоїнств, які зробили його дуже популярним у прикладних дослідників та інженерів, що займаються проблемами міцності, та закріпили за ним статус магістрального методу в механіці деформівного твердого тіла. Проте великий досвід застосування МСЕ виявив не лише достоїнства цього методу, але й його недоліки, особливо щодо задач стійкості.

Третій напрямок - це експериментальні дослідження, важливість яких у літакобудуванні неможливо переоцінити. Проте ці випробовування потребують великих затрат.

Альтернативним (до певної міри) відносно перелічених підходів дослідження стійкості є підхід методу ідентифікації крайових умов (МІКУ), який було запропоновано у Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є. Жуковського «ХАІ» С.А. Халіловим у 1991р.

Підхід МІКУ базується на основному положенні системного аналізу, який сформулюємо так: аналіз будь-якої складної системи може бути виконано по її частинах шляхом повного урахування зв'язків між усіма підсистемами, аж до елементів. Метод дозволяє отримувати параметри критичних навантажень для окремих блоків (отже, і для всієї системи) більш точно у порівнянні з використанням моделей механіки деформівного твердого тіла при класичних крайових умовах обпирання. МІКУ реалізується в три етапи:

- визначення вихідного напруженого стану системи, стійкість якого підлягає дослідженню;

- ідентифікація натуральних крайових умов блока, до якого редукується система;

- постановка та розв'язання власне задачі стійкості.

Другий розділ присвячений визначенню вихідного напруженого стану розгалуженої пластинчатої системи. Зовнішні навантаження на систему вважаються заданими, тим самим вибір способу їх визначення та розрахунок залишаються поза рамками даної роботи. Навантаження вважається консервативним і складається з розподілених нормальних і дотичних зусиль (напружень), що діють у серединних площинах пластин вздовж їх меж, а також із зосереджених зусиль, прикладених до ребер.

Вихідний стан системи вважається безмоментним: це необхідно для того, щоб можна було при дослідженні стійкості використати біфуркаційний підхід Ейлера. Звичайно, у конструкціях літальних апаратів завжди є зони, охоплені моментними напруженнями, які викликані такими чинниками, як наявність ексцентриситету навантажень і підкріпного набору, різка зміна жорсткостей, наявність зосереджених навантажень та ін. Але, як свідчить багаторічний досвід розрахунків і результати натурних випробувань, рівень моментних напружень є незначним у порівнянні з рівнем безмоментних, а зона їх локалізації значно менша за зону дії безмоментних напружень, які охоплюють усю силову конструкцію. Тому таке положення розумне та виправдане.

Аналіз внутрішнього напруженого стану пластинчатої системи виконується за допомогою методу спряження конструктивних елементів, який є подальшим розвитком дискретно-континуального методу В.З. Власова. На етапі декомпозиції (рис.1,а) системи «пластини»-«ребра» вздовж ліній сполучення елементів вводяться невідомі зусилля взаємодії, від яких залежать поля напружень у межах пластинчатих фрагментів. Відомо, що модель взаємодії пластин і ребер по лінії прийнятна для досить тонких ребер. На етапі композиції конструкції зусилля взаємодії підлягають визначенню, після чого наближене аналітичне розв'язання поставленої задачі зводиться до розрахунку окремих фрагментів і ребер. Композиція системи полягає у виконанні кінематичних умов зчленування, а саме: має бути забезпечена рівність деформацій подовження та зміни геодезичної кривизни країв фрагментів, що беруть участь у контакті

; .	(1)

Для усіх елементів системи приймається лінійний зв'язок між напруженнями та деформаціями; для ребер справедлива гіпотеза плоских перерізів, для пластин - гіпотеза Кірхгофа.

Щоб визначити невідомі зусилля взаємодії, необхідно для кожного пластинчатого фрагмента мати функцію Ері ц(x,y), яка відомим чином пов'язана із компонентами уx,уy,фxy тензора напружень. Для цього шукається розв'язок плоскої задачі теорії пружності у трапецієподібній області ?, яку займає пластинчатий фрагмент:

Aц(x,y)= ?4ц/?x4+2/л2?4ц/?x2?y2+1/л4?4ц/ ?y4=0, (x,y) є?;	(2)
, , , ,	(3)

де (x,y) - безрозмірні координати; л=h/a - параметр подовження пластини; уn,фn - нормальні та дотичні напруження, пов'язані з компонентами тензора напружень відомими співвідношеннями; уi(si),фi(si) - функції, що належать до класу W2(1) (Г) (тут і далі W2(m) - функціональний простір С.Л. Соболєва, m - ціле число):

; ,	(4)

де Hn - спеціальні багаточлени, які утворюють у метриці L2(-1;1) повну ортонормовану систему функцій та крім цього мають майже ортогональні перші та другі похідні. Ці багаточлени були запропоновані С.А. Халіловим. Апроксимації (4) відповідають теоремі Папковича П.Ф. про розкладання тензорного поля напружень на основне та корегуюче. Розкладання (4) є єдиним для функцій класу C1(-1;1) в силу теореми Вейєрштрасса про апроксимації неперервних функцій степеневими поліномами і такими властивостями багаточленів Hn: (1, H'n(z))=0, (1, H''n(z))=0, (z, H''n(z))=0.

Наявність штучно уведених кутових точок при декомпозиції системи не дозволяє довільно задавати крайові умови у напруженнях поблизу кутових точок. У цих точках мають виконуватися додаткові умови узгодження даних. Нехай у кутовій точці межі, у якій сходяться дві площадки зі своїми нормалями, задані вектори повних напружень на цих площадках. Тоді з необхідністю має бути: проекція повних напружень на першій площадці на нормаль до другої дорівнює проекції повних напружень на другій площадці на нормаль до першої. Частковим випадком цієї умови є закон парності дотичних зусиль на взаємно перпендикулярних площадках. Також необхідно, щоб система напружень, що діє на межі області, знаходилась у рівновазі. Перелічені умови забезпечують існування розв'язку крайової задачі (2)-(3).

Для розв'язання крайової задачі (2)-(3) вихідна область ? розширюється до канонічної ?*={(x,y): |x|,|y|<1}, у якій вже відомий розв'язок ц*(x,y) плоскої задачі теорії пружності за крайових умов, аналогічних (3). Прикладання у розширеній області додаткових фіктивних зусиль і варіація їх інтенсивності за допомогою методу найменших квадратів вздовж межі дозволяє задовольнити задані крайові умови задачі, виходячи з умови:

??{[у (ц*(s))-у(s)]2+[ ф (ц*(s))- ф (s)]2}dsi -> min

Функція ц (x,y) явно виражена через коефіцієнти з (4), що дозволяє з будь-якою наперед заданою точністю виконати кінематичні умови зчленування (1), які приводять до системи лінійних алгебричних рівнянь відносно цих коефіцієнтів.

Характер вихідного стану розгалуженої пластинчатої системи - сугубо неоднорідний. Точність його визначення має велике значення, бо відомо, що навіть найпростіші задачі стійкості для пластин при неоднорідному вихідному стані значно залежать від степеня неоднорідності.

Наявність кутових точок межі області істотно знижує степінь гладкості розв'язку ц(x,y) задачі (2)-(3) при наближенні до кутової точки з області. З робіт А.І. Каландія, С.М. Белоносова, Я.С. Уфлянда, В.З. Партона та П.І. Перліна відомі значення кутів 2б* розхилу клина, що розділяють кути, при яких напруження за r->0 (r - радіус-вектор, початок якого знаходиться у вершині кута) наближаються до нуля, від кутів, для яких при r->0 напруження прямують до нескінченності. Величини б* визначають діапазон кутів при основі трапеції ?, коли побудованим розв'язком ц(x,y) можна користуватися без додаткових поправок, що ураховують виникнення особливостей.

У третьому розділі вивчаються умови пружної взаємодії елементів розгалуженої пластинчатої системи при втраті її стійкості. Як тільки ці умови встановлено, то задача стійкості системи зводиться до дослідження стійкості окремо взятого її блока: елемента або групи елементів. При цьому решта системи являє собою «опору» (мал.3,а) певної жорсткості, характеристикою якої є функціональна матриця. Компоненти цієї матриці визначають на лініях сполучення виділеного блока та частини системи, що «відкидається», зв'язок між розподіленими узагальненими переміщеннями та силами, які виникають при втраті стійкості системи.

Ідентифікація натуральних крайових умов виділеного блока складної системи - другий і найскладніший етап реалізації МІКУ. Для отримання матриці жорсткості межі виділеного блока будується загальний кінематичний розв'язок для «відкинутої» частини системи, що описує її рівновагу у суміжному (збуреному) стані. Аналіз виконується методом спряження конструктивних елементів у формі методу переміщень. При декомпозиції «відкинутої» частини системи крім невідомих узагальнених переміщень на зовнішній межі (головні невідомі) вводяться у розгляд внутрішні невідомі, які виражають дію елементів «відкинутої» частини один на одного, та визначаються кінематичні поля у межах окремих елементів, які явно виражені через компоненти крайових функцій.

На етапі композиції загальних кінематичних розв'язків окремих елементів внутрішні невідомі виключаються із загального кінематичного розв'язку для «відкинутої» частини системи, який залежить тільки від головних невідомих кінематичних величин. Композиція полягає у виконанні статичних умов зчленування. Статичні умови зчленування є рівняннями рівноваги ребер, на яких сполучаються тонкостінні елементи. Навантаження, що діють на ребро, складаються із зусиль взаємодії цього елемента з пластинами та зусиль, що прикладені до нього безпосередньо. Погонні реактивні узагальнені зусилля на краях тонкостінних елементів обчислюються за відомими фізичними співвідношеннями лінійної теорії пластин.

Для визначення функції , яка описує деформування при втраті стійкості плоского тонкостінного елемента, що займає область , розв'язано крайову задачу:

Aw(x,y)+kBw(x,y)=0, (x,y)є?;	(5)
, , ,	(6)

де A - диференціальний оператор з (2), B=Nx?2/?x2+2Nxy?2/?x?y+ Ny?2/?y2 - оператор, що ураховує вихідний напружений стан; Nx=дуx, Nxy=дфxy, Ny=дуy; k- параметр стійкості; Ц(s), Ш(s) - функції класу W2(1) (Г); n - зовнішня нормаль межі області.

Спочатку наведено наближене аналітичне розв'язання задачі (5)-(6) для канонічної прямокутної області ?={(x,y): |x|,|y|<1}. Розв'язок

w(x,y)=[щk(x,y)]{Wk}	(7)

має багатокомпонентний характер і будується поступовим задоволенням виділених у явному вигляді компонент крайових умов та рівняння крайової задачі. Для отримання кінематично можливих полів крайові умови представлено у спеціальному вигляді: Ц(s)= Ц0(s)+Ц1 (s), Ш(s)= Ш0(s)+Ш1 (s), де Ц0(s), Ш0(s) - явно виділені поліноми, що приймають на краях ділянок Гj задані значення самої функції w(x,y) та її похідних w'X, w''X, w''XY; Ц1(s)=Ц(s)-Ц0(s), Ш1(s)=Ш(s)-Ш0(s) - компоненти крайових функцій, що обертаються зі своїми першими похідними в нуль на кінцях ділянок Гj та подаються апроксимаціями у ряди за поліномами Hn(sj). Стовбець {Wk} складається з кутових значень функцій Ц0(s), Ш0(s) і коефіцієнтів розкладення функцій Ц1(s), Ш1(s). Для отримання корегуючих полів використано метод Бубнова-Гальоркіна із системою координатних функцій {Hm(x)Hn(x)}M,Nm,n=0, що мають властивість сильної мінімальності, завдяки чому апроксимуючі ряди добре збігаються, а матриця розв'язувальної системи методу добре обумовлена, що забезпечує стійкість числової процедури отримання наближених розв'язків. Далі набутий розв'язок w(x,y) використовується для трапеції ? * за допомогою методу розширення області до канонічної у поєднанні з методом найменших квадратів вздовж межі. Функція w(x,y) задовольняє рівнянню (5) всюди в області ?* (оскільки ?* належить ?) за довільних значень сталих {Wk}. Ці сталі визначаються з умов, що на межі Г*=?* функція w(x,y) наближає крайові функції Ц*(s), Ш*(s), sєГ* найкращим можливим способом у розумінні найменших квадратів у метриці W2(1) (Г*):



?(w- Ц*)2ds + ?(?w/?s - ?Ц*/?s)2ds + ?(?w/?n - Ш*)2ds -> min. Г* Г* Г*	(8)

Для коефіцієнтів {Wk} функції, на якій досягається цей мінімум, виписується система лінійних алгебричних рівнянь. Її визначник - визначник Грама для лінійно незалежних функцій щk(x,y) у просторі W2(1) (Г*), отже, цей визначник відмінний від нуля, і система рівнянь однозначно вирішувана. Оскільки ?* - однозв'язна область з границею Ліпшица, а Ц*(s), Ш*(s) є W2(1) (Г*), то метод найменших квадратів (8) є збіжним.

Наявність або відсутність сингулярних компонент розв'язку (7) залежить від величин кутів при основі трапеції. Оскільки характер сингулярності залежить від старших похідних, що входять до рівняння задачі, то досить розглянути бігармонічну проблему Д2Д2w(x,y) у ?, (? - плоска область Ліпшица з розхилом в кутових точках бi) за однорідних крайових умов w=?w/?n=0 на ?? і з правою частиною f - довільною функцією з відповідного Соболівського простору. Відомо, що узагальнений розв'язок w з класу належить до класу W2(4) при бi<126.280 і W2(3) при 126.280<бi<1800. Справедлива апріорна оцінка ||w|| . Звідси та з теорем про вкладення Соболєва виходить, що ?2w/?2nєС(?,? ?), ?3w/?3nєL2(?,? ?). Це означає, що переміщення та кути повороту є неперервно диференційованими функціями, погонні моменти неперервні аж до границі області, а поперечні сили є узагальненими функціями, які мають інтеграл від їх квадратів в області та на її межі.

Задачі реалізації другого етапу МІКУ мають переважно вигибний характер, причому на умови взаємодії елементів системи в основному впливають кути повороту, тому що наявність стінок, які мають значну мембранну жорсткість, не дозволяють згибатися сусіднім елементам вздовж ліній сполучення, котрі лежать у площині стінок. Цей факт дозволяє значно спростити розв'язання задачі. Також має місце кінематичний аналог принципу Сен-Венана: кінематичні дії, що задані на межі області, проникають вглиб на незначну відстань. Ця обставина при розв'язанні задач другого етапу реалізації МІКУ дозволяє ураховувати взаємодію тільки по межах суміжних елементів, що також спрощує розв'язання задач.

У четвертому розділі вирішується безпосередньо задача стійкості. Припускається, що навантаження, яке сприймає система, змінюється пропорційно параметру k, тобто навантаження є простим. Малим значенням k відповідає єдиний у даному діапазоні характеристик стійкий стан системи. Те значення параметра навантаження, при якому хоча б один із суміжних станів конструкції вперше стає рівноважним, називають критичним.

Згідно з МІКУ задача стійкості заданої системи редукується до дослідження стійкості одного з її блоків. Критичний параметр блока є критичним для всієї системи. Таким чином, під власне задачею стійкості розуміється задача стійкості блока складної системи. Такий підхід при проектуванні дозволяє сконцентрувати увагу на детальному дослідженні параметрів виділеного блока на стійкість всієї системи. Вплив «відкинутої» частини системи, яка є «опорою» для виділеного блока, на характеристики системи, що проектується, здійснюється шляхом перерахунку параметрів жорсткості межового контуру виділеного блока.

Отримати точний розв'язок задачі стійкості блока розгалуженої тонкостінної системи неможливо. Тому задача вирішується наближено енергетичним методом, виходячи з принципу стаціонарності повної потенціальної енергії: дП[w(x,y)]=0, д2П[w(x,y)]>0.

Повна потенціальна енергія П виділеного блока системи складається із суми потенціальних енергій всіх елементів, що входять у блок; в цю енергію також включено потенціал навантажень, прикладених на межі виділеного блока з урахуванням їх зв'язку з узагальненими переміщеннями через компоненти матриці жорсткості.

Для реалізації наближеного методу вирішення задачі стійкості використовується процедура Релея-Рітца. Рішення шукається у вигляді

w(x,y)=??WijXi(x)Yj(y).	(9)

Якщо на межі виділеного блока не задані головні крайові умови (тобто невідомі умови закріплення жодної з ділянок границі), то вибір координатних функцій {Xi(x)Yj(y)} значно спрощується, оскільки натуральні крайові умови задовольняти не обов'язково (вони випливають із принципу мінімуму повної потенціальної енергії). Тоді Xi(x)=Pi(x), Yj(y)=Pj(y), де Pi(x), Pj(y)- нормовані поліноми Лежандра. У цьому разі лінійно незалежна координатна система (9) є повною в класі функцій, що інтегруються з квадратом. Вона повна і майже ортонормована за енергією. Звідси випливає збіжність наближеного рішення і стійкість обчислювального процесу. Система координат змінюється таким чином, щоб перетворити область, яку займає виділений блок, в область ?={(x,y): |x|,|y|<1}.

Умова стаціонарності повної потенціальної енергії приводить до узагальненої задачі на власні значення, з якої знаходиться найменше позитивне значення k і відповідний йому власний вектор, що характеризує форму втрати стійкості.

Оскільки елементи матриці жорсткості межі виділеного блока містять параметр k, який слід відшукати, то визначення критичного параметра стійкості системи виконується ітераційним шляхом. Для цього організуються два зустрічних ітераційних процеси:

k1(n)?k?k2(n),	(10)

де k1(n), k2(n) - параметри стійкості з послабленими та посиленими зв'язками відповідно; n - номер ітерації.

Збіжність (10) проілюструємо на прикладі задачі стійкості коробчастої системи, вільно обпертої по торцях, що складається з прямокутних пластин. Згідно з МІКУ із системи виокремлено один елемент - верхня стиснута пластина (рис.5,а), для якої ідентифіковано крайові умови на сторонах x=±1: Mx(±1,y)={C(q)}{и}. Зумовлена пружністю межі додаткова енергія:

Ппружн=1/2 ?MnиdГ (n->x,y).

Головні крайові умови на закріплених сторонах виділеного елемента w(x,±1)= w''xx(x,±1)=0 будуть задоволені, якщо у (9) прийняти Xi(x)=sin(iрx). Послаблені зв'язки у (10) відповідають вільному спиранню верхньої пластини вздовж країв x=±1, посилені зв'язки - жорсткому закладенню цих країв

Залежно від співвідношення жорсткостей елементів блоків системи може реалізуватися або загальна, або місцева форма втрати стійкості. Провокувати втрату стійкості можуть різні елементи. На рис.6 показано деякі результати розрахунків (д,дн,дл- товщини верхньої панелі, стінок нервюри та лонжерона відповідно, kkp - відносний критичний параметр утрати стійкості).

На стійкість скошеної системи чинять суттєвий вплив величини кутів стрілоподібності. На рис.7 приведено залежність параметру від співвідношення ч1/ч2, де

k*=kkp(ч1/ч2)/kkp(ч1/ч2=0).

У п'ятому розділі у підрозділі 5.1 для оцінки застосованого у розділі 1 роботи припущення про безмоментність вихідного стану системи досліджено вплив ексцентриситету підкріпного набору на співвідношення згинальних та мембранних напружень у пластині. Методом сполучення конструктивних елементів розв'язано задачу про напружений стан панелі за крайових умов на краях, перпендикулярних ребрам, що допускають розділення змінних. На етапі декомпозиції панель розчленовується на пластинчаті фрагменти ?i={(xi,yi): xiє(0,Hi), yiє(0,Li)} та ребра, а на лініях їх контакту вводяться системи переміщень u,v,w і нормальних кутів повороту и, які задаються апроксимаціями у тригонометричні ряди з невизначеними коефіцієнтами. Для кожного пластинчатого фрагмента незалежно будуються розв'язки плоскої задачі теорії пружності (індекс i опущено)

,(x,y) є?;	(11)
уx(0,y)=у1; v(0,y)=0; уx(H,y)=у2; v(H,y)=0,	(12)

та задачі вигину (без поперечного навантаження)

?4w/?x4+2 ?4w/?x2?y2+ ?4w/ ?y4=0, (x,y) є?;	(13)
w(0,y)=Mx(0,y)=w(H,y)=Mx(H,y)=0; ,	(14)

де м - коефіцієнт Пуассона; U(x)=U0+?Ukcos(kрx/H), V(x)=?Vksin(kрx/H), W(x)=?Wksin(kрx/H), И(x)=?ИVksin(kрx/H), k=1,… (верхні позначення опущено).

Крайові задачі (11)-(12), (13)-(14) розв'язані методом Власова-Канторовича. Отримані рішення сполучаються на ребрах шляхом виконання кінематичних (15) і статичних (16) умов контакту

; ; ; ;	(15)
; ; ; ,	(16)

де ; - товщина пластини; - відстань від нижніх волокон пластини до центральної осі ребра.

Умови (15),(16) приводять до блочно-діагональної системи лінійних алгебричних рівнянь відносно параметрів крайових умов (12), (14). Розв'язок отриманої системи повністю визначає напружений стан панелі.

У підрозділі 5.2 досліджено вплив самоврівноважених крайових навантажень на параметр стійкості прямокутних пластин, що дозволяє оцінити можливість заміни регулярно неоднорідного вихідного поля на осереднене однорідне. Стійкість вихідного стану досліджено за класичних крайових умов. Використано статичний підхід до вирішення задачі стійкості. Наведена у роботі серія графіків ілюструє, яких величин може досягати похибка у визначенні критичного параметра з ростом градієнта крайових функцій. Із зростанням показника змінності крайових самоврівноважених станів зменшується зона їх розповсюдження вглиб області, падає їх рівень, і, нарешті, уся область, яка зайнята пластиною, розбивається на ряд підобластей, у яких стиснення чергується з розтягненням, тобто напруження самоврівноважених станів надають як дестабілізуючого, так і підтримуючого впливу на стійкий стан.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримано рішення задачі визначення критичного параметра втрати стійкості довільного неоднорідного вихідного напруженого стану просторової тонкостінної системи, що складається зі з'єднаних безпосередньо або за допомогою ребер жорсткості прямокутних і трапецієподібних пластин. Це рішення отримано шляхом зведення задачі стійкості всієї системи до задачі стійкості виділеного блока системи за рахунок адекватного урахування умов взаємодії виділеного блока з рештою системи, що дозволило підвищити точність та оперативність проведення розрахунків на стійкість.

Відповідно до поставленої мети в дисертації отримані такі наукові та практичні результати:

1. На основі системного підходу з використанням методу ідентифікації крайових умов поставлено та розв'язано задачу стійкості розгалуженої пластинчатої системи. Дано подальший розвиток методу ідентифікації крайових умов стосовно розглянутого класу задач.

2. На основі методу спряження конструктивних елементів побудовано систему розв'язувальних рівнянь для визначення внутрішнього безмоментного напружено-деформованого стану просторової тонкостінної пластинчатої системи. Цей результат має як самостійне значення для дослідження міцності відповідальних пластинчатих конструкцій, так і особливе значення при вирішенні задачі стійкості, оскільки точність визначення сугубо неоднорідного вихідного стану системи має великий вплив на точність визначення критичного параметра втрати стійкості.

3. Методом розширення області до канонічної у поєднанні з методом найменших квадратів вздовж межі побудовано аналітично-числовий розв'язок плоскої задачі теорії пружності у трапецієподібній області за довільних крайових умов у напруженнях. Крайові функції представлено у спеціальному вигляді, що відповідає теоремі П.Ф. Папковича розкладання тензорного поля напружень на основне та корегуюче. Знайдений розв'язок явно виражений через параметри крайових функцій, що дозволяє моделювати вихідний напружений стан розгалуженої пластинчатої системи з будь-якою наперед заданою точністю. На основі апостеріорних оцінок продемонстровано точність і швидку збіжність розв'язків, отриманих методом, який використовується при вирішенні задачі.

4. Побудовані аналітично-числові розв'язки двовимірних крайових задач теорії пружності у прямокутній і трапецієподібній області, що описують вигин попередньо напружених у своїй площині пластин відповідної форми у плані при довільно заданих на їх межі переміщеннях і кутах повороту. Виконано практичну оцінку збіжності й точності набутих рішень. Досліджено кінематичний аналог принципу Сен-Венана.

5. За допомогою методу спряження конструктивних елементів ідентифіковано компоненти функціональної матриці жорсткості межі виділеного блока просторової тонкостінної пластинчатої системи.

6. Ідентифіковані крайові умови виділеного блока системи - натуральні, а це означає, що при виборі координатних функцій їх задовольняти не обов'язково при використанні енергетичного методу Релея-Рітца для розв'язання власне задачі стійкості виділеного блока, що значно спрощує вибір базису.

7. Побудовано та проаналізовано модель пружної взаємодії пластини з ребром з урахуванням ексцентриситету. Досліджено співвідношення мембранних і згинальних напружень у широкому діапазоні жорсткісних характеристик панелі, в результаті чого визначено критерії прийнятності моделі безмоментного напруженого стану підкріпленої пластини.

8. Аналіз отриманих рішень нетривіальних задач стійкості прямокутних пластин, що знаходяться в умовах регулярно неоднорідного навантаження, показав недопустимість заміни сугубо неоднорідних вихідних полів осередненими однорідними.

9. Розроблені алгоритми числової реалізації запропонованої методики визначення критичних параметрів просторових пластинчатих систем є частиною комплексного програмного продукту «Стійкість», що розробляється в Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є. Жуковського «ХАІ» та є математичним забезпеченням для розрахунків на стійкість конструкцій аерокосмічної техніки на основі методу ідентифікації крайових умов.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Кравченко С.Г. Влияние эксцентриситета подкрепляющего набора на напряженное состояние панели при краевых условиях, допускающих разделение переменных / С.Г. Кравченко // Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии: сб. научн. трудов. - Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «ХАИ», 2008. - Вып.40. - С.211-219.

Халилов С.А. Построение приближенного аналитического решения плоской задачи теории упругости в трапециевидной области / С.А. Халилов, С.Г. Кравченко // Авиационно-космическая техника и технология. - 2009. - 1/58. - С.16-23.

Халилов С.А. Влияние уровня самоуравновешенных краевых нагрузок на параметр устойчивости прямоугольных пластин / С.А. Халилов, С.Г. Кравченко // Авиационно-космическая техника и технология. - 2009. -3/60. - С.10-16.

Халилов С.А. Решение основной бигармонической проблемы в трапециевидной области / С.А. Халилов, С.Г. Кравченко // Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии: сб. научн. трудов. - Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «ХАИ», 2009. - Вып.43. - С. 183-193.

Кравченко С.Г. Построение приближенных аналитических решений задач изгиба предварительно напряженных прямоугольных и трапециевидных пластин при произвольных кинематических краевых условиях / С.Г. Кравченко // Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии: сб. научн. трудов. - Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «ХАИ», 2010. - Вып.45. - С.159-173.

АНОТАЦІЯ

Кравченко С.Г. Стійкість просторових тонкостінних пластинчатих систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського «Харківський авіаційний інститут», Харків, 2010.

Роботу присвячено дослідженню пружної стійкості довільного неоднорідного вихідного напруженого стану просторових тонкостінних систем, складених із сполучених безпосередньо або за допомогою ребер жорсткості прямокутних і трапецієподібних пластин.

Для вирішення проблеми стійкості використано системний підхід на основі методу ідентифікації крайових умов, який дістав у роботі подальшого розвитку. Дослідження умов сумісної роботи окремих блоків системи дозволило коректно звести задачу стійкості усієї системи до задачі стійкості одного із блоків.

Аналіз вихідного напруженого стану системи та ідентифікація крайових умов виділеного блока системи виконано на основі методу сполучення конструктивних елементів, для чого методом розширення області до канонічної у поєднанні з методом найменших квадратів вздовж межі вирішено ряд двовимірних крайових задач теорії пружності із постійними та змінними коефіцієнтами у прямокутній та трапецієподібній областях.

Різноманітні числові дослідження проведено з метою підтвердження точності, збіжності й вірогідності одержуваних результатів задачі визначення вихідного напруженого стану та стійкості.

Результати роботи впроваджені в практику проектування Державного підприємства «Антонов». пружність тонкостінний пластинчатий

Ключові слова: напружено-деформований стан, пружна стійкість, просторова тонкостінна пластинчата система, метод ідентифікації крайових умов, метод сполучення конструктивних елементів, метод розширення області до канонічної, метод найменших квадратів вздовж межі.

АННОТАЦИЯ

Кравченко С.Г. Устойчивость пространственных тонкостенных пластинчатых систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт», Харьков, 2010.

Работа посвящена исследованию упругой устойчивости произвольного неоднородного исходного напряженного состояния пространственных тонкостенных систем, состоящих из соединенных непосредственно или посредством ребер жесткости прямоугольных и трапециевидных пластин.

Для решения проблемы устойчивости применен системный подход на основе метода идентификации краевых условий, получившего в работе дальнейшее развитие. Исследование условий совместной работы отдельных блоков системы позволило корректно свести задачу устойчивости всей системы к задаче устойчивости одного из блоков.

Задача устойчивости выделенного блока системы решена энергетическим методом, основанном на известной теореме о минимуме полной потенциальной энергии. В эту энергию включен потенциал нагрузок, приложенных на границе выделенного блока с учетом их связи с обобщенными перемещениями через компоненты функциональной матрицы жесткости, элементы которой зависят от искомого критического параметра потери устойчивости. Поскольку идентифицированные краевые условия выделенного блока - естественные, то при выборе координатных функций им удовлетворять не обязательно при использовании процедуры Релея-Ритца, что упростило выбор базиса. Критический параметр потери устойчивости найден с помощью регулярной итерационной процедуры.

Анализ исходного напряженного состояния системы и идентификация краевых условий выделенного блока системы выполнены на основе метода сопряжения конструктивных элементов, для чего методом расширения области до канонической в сочетании с методом наименьших квадратов по границе решен ряд двумерных краевых задач теории упругости с постоянными и переменными коэффициентами в прямоугольной и трапециевидной областях. Полученные решения - численно-аналитические, при их построении использовалось специальное семейство координатных функций, обладающих свойствами, обеспечивающими сходимость аппроксимирующих рядов и устойчивость численной процедуры получения приближенных решений.

Обширные численные исследования проведены в целях подтверждения точности, сходимости и достоверности получаемых результатов задачи определения исходного напряженного состояния и устойчивости.

Результаты работы внедрены в практику проектирования Государственного предприятия «Антонов».

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, упругая устойчивость, пространственная тонкостенная пластинчатая система, метод идентификации краевых условий, метод сопряжения конструктивных элементов, метод расширения области до канонической, метод наименьших квадратов по границе.

SUMMARY

Kravchenko S.G. Stability of space thin-walled plate systems. - Manuscript.

Thesis for the Candidate's Degree in Technical Science (speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids). N.Ye. Zhukovsky National Aerospace University “KhAI”, Kharkiv, 2010.

Elastic stability of the initial arbitrary heterogeneous stress state is explored in the work regarding thin-walled structures that consist of rectangular or trapezoid plates bound by webbing or by themselves.

The problem was solved using the systematic approach based on the method of boundary-conditions identification which was developed further. Defining correct interaction between separate structural parts has allowed to replace solving the buckling problem of the whole structure by the buckling problem of one separated structural part.

Initial stress field analysis and boundary conditions identification of the separated part has been accomplished by the method of conjugation of the structural components. As follows the method of expanding of the region to canonic with least square technique boundary lengthwise was undertaken and a number of two-dimensional boundary value problems of elasticity theory with constant and variable coefficients were solved.

To verify accuracy and convergence of defined initial stress field and structural stability a set of extensive numerical investigation has been fulfilled.

The outcomes of the project have been implemented into designing practice at the `Antonov' state enterprise.

Keywords: stress-deformed shape, elastic stability, spatial thin-walled plate system, method of boundary-conditions identification, method of conjugation of the structural components, method of expanding of the region to canonic, least square technique boundary lengthwise.

Размещено на Allbest.ru

...