Размещено на http://allbest.ru

Автореферат

дисертації

на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Розв'язання задач про вільні коливання пологих оболонок змінної товщини в уточненій постановці на основі сплайн-апроксимації

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

коливання оболонка контур колокація

Актуальність теми. Нетонкі пологі оболонки, як складові елементи конструкцій різного призначення, набули широкого застосування в багатьох галузях сучасної техніки та будівництва. Вони виготовлені, здебільшого, з сучасних композитних матеріалів, мають складну форму та різні умови взаємодії з оточуючими об'єктами. Інформація про їх динамічні характеристики є важливим етапом оцінки міцності та надійності оболонкової системи в цілому. Коректність даних оцінок при аналізі вільних коливань оболонок передбачає необхідність врахування геометричних та фізико-механічних особливостей реальних конструкцій, зокрема, змінної товщини елемента та анізотропії пружних властивостей матеріалу, включаючи матеріали з низьким коефіцієнтом поперечного зсуву. Вимоги точності відповідних методик розрахунку зумовлюють застосування адекватних оболонкових моделей, зокрема таких, що враховують різні типи деформації по товщині оболонки. Однією з найпоширеніших із них є модель С.П. Тимошенка, що базується на гіпотезі прямої лінії. Такий підхід дозволяє з достатньою точністю досліджувати динамічний стан нетонких оболонок, тоді як класична теорія для вказаного класу оболонок може давати значні похибки в результатах.

На даний час за допомогою ряду розроблених методик проведено дослідження динамічної поведінки прямокутних в плані пологих оболонок сталої товщини, тоді як оболонкам змінної товщини присвячено набагато менше робіт. Значна частина досліджень проведена в рамках спрощених теорій оболонок, що не тільки нехтують поперечними зсувами, а й не враховують деяких інших параметрів при побудові вихідної моделі. У випадку, коли товщина оболонки не є сталою величиною, вихідна задача описується системою рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами, реалізація якої може призвести до значних труднощів обчислювального характеру. В цій ситуації доцільно використовувати добре розроблені методи чисельного аналізу та прикладної математики, адаптуючи їх до особливостей поставленої задачі.

Таким чином, розробка ефективного підходу для розв'язання задач про вільні коливання ортотропних пологих оболонок змінної товщини в уточненій постановці при різних крайових умовах на контурах на основі сучасних чисельних методів є актуальною проблемою механіки твердого деформівного тіла, що має значний теоретичний інтерес і практичне значення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що проведені в дисертаційній роботі, виконано у відповідності з науковими темами: 1.3.1.358-07. “Розробка нових нетрадиційних підходів на основі дискретно-континуальних методів і комбінованих моделей до дослідження деформування і руйнування композитних матеріалів для розв'язання проблем міцності і довговічності сучасних конструкцій” (№ ДР 0107U000435, 2007-2010); 1.3.1.494п-09 “Розробка підходу на основі сплайн-апроксимації до розв'язання задач про механічну поведінку ортотропних циліндричних та конічних оболонок змінної товщини в уточненій постановці” (№ ДР 0109U004706, 2009-2010) і 1.3.1.370-09 “Розробка нових підходів до дослідження деформування складних оболонкових систем з неоднорідних анізотропних матеріалів при різних видах навантажень на основі методів чисельного аналізу” (№ ДР 0109U004184, 2009-2010).

Мета і завдання дослідження. Мету і завдання цього дослідження можна сформулювати наступним чином:

· розробка ефективного підходу до чисельного розв'язання двовимірних задач динаміки ортотропних прямокутних в плані пологих оболонок змінної в одному і двох координатних напрямках товщини в уточненій постановці;

· побудова алгоритму і реалізація на ПК програмного комплексу для чисельного розв'язання задач означеного класу, що дозволить досліджувати вільні коливання нетонких оболонок з врахуванням зміни їх механічних та геометричних параметрів;

· розв'язання різних задач зазначеного класу на основі запропонованого підходу і аналіз впливу змінної товщини, пружних характеристик матеріалу та різних типів граничних умов на отримані нижчі частоти та відповідні їм форми вільних коливань нетонких ортотропних прямокутних в плані пологих оболонок змінної товщини.

Об'єктом дослідження є динамічна поведінка ортотропних нетонких пологих оболонок з прямокутним планом, товщина яких змінюється в одному чи у двох координатних напрямках при різних умовах закріплення граничного контуру.

Предметом дослідження є спектр частот і форм вільних коливань нетонких пологих оболонок вказаного класу в залежності від зміни механічних і геометричних характеристик та типу крайових умов.

Методи дослідження. Дослідження проводились у рамках некласичної теорії пологих оболонок, що базується на гіпотезі прямої лінії. На основі співвідношень уточненої теорії оболонок сформульовано двовимірну крайову задачу для системи диференціальних рівнянь у частинних похідних зі змінними коефіцієнтами, яка зводиться до одновимірної задачі на власні значення методом сплайн-колокації. Остання розв'язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в таких положеннях, що виносяться на захист:

§ на основі рівнянь уточненої теорії оболонок, що ґрунтується на гіпотезі прямої лінії, виведено розв'язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами та різні варіанти граничних умов, що описують вільні коливання ортотропних прямокутних в плані пологих оболонок змінної товщини та дозволяють провести апроксимацію шуканого розв'язку за базисними сплайнами третього ступеня;

§ розроблено ефективний підхід до розрахунку частот і форм вільних коливань ортотропних прямокутних в плані пологих оболонок змінної товщини при довільних граничних умовах, що дозволяє на основі сплайн-апроксимації розв'язків в одному з координатних напрямків звести вихідну двовимірну задачу до одновимірної задачі на власні значення; остання розв'язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку; відповідний алгоритм реалізовано в програмному комплексі на ПК;

§ проведено розв'язання задач даного класу та досліджено залежність вільних коливань пологих прямокутних в плані оболонок змінної товщини від геометричних і механічних параметрів, граничних умов тощо; виявлені закономірності у розподілі частот і форм вільних коливань пологих оболонок;

§ для деяких пологих оболонок змінної товщини проведено порівняльний аналіз нижчих частот вільних коливань за класичною (Кірхгофа - Лява) та уточненою (Тимошенка - Міндліна) теоріями.

Достовірність одержаних в роботі результатів забезпечено використанням обґрунтованої математичної моделі уточненої теорії оболонок, коректністю формулювання задачі, тестуванням розробленого підходу на ряді задач даного класу і контролем точності розрахунків на основі індуктивних оцінок.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблений підхід та результати розв'язання задач про вільні коливання ортотропних прямокутних в плані нетонких пологих оболонок змінної товщини в уточненій постановці, а також проведений аналіз нижчих частот коливань деяких конструктивних елементів в залежності від зміни геометричних і механічних параметрів та умов закріплення контурів можуть бути використані в науково-дослідних організаціях і конструкторських бюро для проведення розрахунків та оцінки міцності і надійності елементів конструкцій.

Особистий внесок здобувача. В роботах [1-6], що опубліковані у співавторстві з науковим керівником, дисертанту належить побудова розв'язувальних рівнянь руху нетонких пологих оболонок, розробка методики розв'язування вихідної задачі, побудова і реалізація алгоритму в програмному комплексі на ПК, розв'язання конкретних задач і аналіз результатів; науковому керівнику О.Я. Григоренку належить постановка задач і обговорення отриманих результатів.

Розподіл частот і форм вільних коливань ізотропних пластин і пологих циліндричних оболонок з прямокутним планом в залежності від параметрів зміни товщини, геометрії серединної поверхні та крайових умов на контурах досліджено в роботах [1, 2].

У роботі [3] дисертантом досліджено нижчі частоти і форми вільних коливань прямокутних ортотропних пологих оболонок двоякої кривизни змінної товщини при різних умовах закріплення контурів та кривизн серединної поверхні. Вплив параметрів ортотропії досліджено в роботі [6].

У роботах [4, 5] дисертантом досліджено вплив геометричних параметрів оболонок, умов закріплення контурів та параметрів зміни товщини на частоти і форми вільних коливань прямокутних в плані пологих ізотропних та ортотропних оболонок змінної товщини відповідно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на:

1) Міжнародній конференції моделювання та дослідження стійкості динамічних систем (Україна, Київ, 2009);

2) Всеукраїнській науково-методичній конференції «Сучасні проблеми природничих наук та проблеми підготовки фахівців в цій галузі» (Україна, Миколаїв, 2009);

3) ХІІІ Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Україна, Київ, 2010);

4) науковому семінарі кафедри математики та механіки механіко-математичного факультету Миколаївського національного університету імені В.О.Сухомлинського (Миколаїв, 2010);

5) науковому семінарі відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (Київ, 2010);

6) науковому семінарі Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України за напрямком “механіка оболонкових систем” (Київ, 2010).

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 6 робіт, в тому числі 3 статті у фахових журналах і збірниках [1-3], які входять до переліку ВАК України, а також 3 роботи у збірниках матеріалів і праць конференцій [4-6].

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 144 сторінки, в тому числі 28 рисунків, 25 таблиць, список використаних джерел із 214 найменувань на 21 сторінці.

Автор щиро дякує науковому керівнику, доктору фізико-математичних наук, професору Григоренку Олександру Ярославовичу за постановку задачі, корисні поради і допомогу при виконанні роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі описано сучасний стан проблеми, що розглядається в дисертаційній роботі, обґрунтовано актуальність вибраної теми, сформульовано мету та завдання дослідження, розкрито наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі наведено огляд наукових робіт, присвячених розв'язанню задач про вільні коливання пластин і пологих оболонок у класичній та уточненій постановках аналітичними та чисельними методами.

Важливу роль у розробці загальної теорії оболонок зіграли праці С.О. Амбарцумяна, В.З. Власова, К.З. Галімова, О.Л. Гольденвейзера, Я.М. Григоренка, О.М. Гузя, О.М. Кільчевського, А.І. Лурьє, А. Лява, Х.М. Муштарі, В.В. Новожилова, С.П. Тимошенка та ін.

Розв'язанню деяких класів задач динамічної поведінки оболонок складної форми як в класичній так і в уточненій постановках присвячені роботи О.І. Беспалової, В.Д. Будака, О.Я. Григоренка, В.І. Гуляєва, Я.О. Жука, В. Л. Заруцького, М.В. Марчука, Б.Я. Кантора, В.Г. Карнаухова, В. І. Козлова, В.Д. Кубенка, Л.В. Курпи, Р.М. Кушніра, П.З. Лугового, А.В. Лейса, Ч.В. Ліма, Дж. М. Лінберга, К.М. Лью, В.Ф. Мейша, Л.В.Мольченка, М.Д. Олсона, М. Петіта, В.Г. Піскунова, О.О.Рассказова, І.К. Сенченкова, В.І. Сторожева, М.О. Шульги, О.М. Шупікова та ін.

Аналіз наукових робіт показав, що дослідженню динамічних характеристик пологих оболонок з різною формою плану в уточненій постановці присвячена невелика кількість робіт, у більшості з яких розглядаються вільні коливання ізотропних пологих оболонок сталої товщини. Окрім того, більшість теоретичних досліджень вільних коливань пластин і пологих оболонок проводилися, як правило, для простих типів крайових умов, які дозволяють розділити змінні у вихідних рівняннях руху. У зв'язку з цим виникає необхідність у розробці ефективного підходу до розв'язання задач про вільні коливання пластин і пологих оболонок з прямокутним планом в уточненій постановці з врахуванням зміни товщини та анізотропії матеріалу при різних типах крайових умов на контурах.

У другому розділі наведено основні рівняння уточненої теорії оболонок. Виведено розв'язувальні рівняння руху прямокутних в плані пологих оболонок.

В рамках уточненої теорії оболонок Тимошенка - Міндліна та з врахуванням наближеної теорії пологих оболонок Муштарі-Донела-Власова розглядаються вільні коливання тонких прямокутних в плані ортотропних пологих оболонок, віднесених до ортогональної системи координат x, y, z, де x=const, y=const - лінії головних кривин серединної поверхні, а z - нормальна координата до серединної поверхні оболонки.

Виходячи з основних співвідношень уточненої теорії пологих оболонок після ряду перетворень отримуємо розв'язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних у переміщеннях та повних кутах повороту, що описує вільні коливання пологих оболонок змінної товщини з прямокутним планом:

(1)

де u, v, w - переміщення точок координатної поверхні в напрямках x, y, z; - повні кути повороту прямолінійного елемента; k₁, k₂ - головні кривизни серединної поверхні оболонки;

, (),; - жорсткості оболонки на розтяг і згин. Тут

, , , .(2)

В формулах (2) E_x , E_y , _xy , _yx - модулі пружності і коефіцієнти Пуассона в напрямках осей Оx і Оy; G_xy, G_xz, G_yz - модуль зсуву в площинах xOy, xOz, yOz відповідно; h=h(x,y) - товщина оболонки, що в загальному випадку змінюється в двох координатних напрямках.

Для постановки крайової задачі на власні значення (1), потрібно задавати по 5 граничних умов на кожному контурі. Граничні умови можуть бути задані у вигляді комбінації жорсткого закріплення, шарнірного опирання та вільного краю.

Оскільки в подальшому розглядаються вільні (стаціонарні) коливання пологих оболонок, шукані переміщення та кути можна представити у вигляді:

, , ,

, (3)

де , , , , - амплітудні значення відповідних переміщень та повних кутів повороту, -частота вільних коливань, . Підставивши (3) у (1) і опускаючи в подальшому символ “~” над амплітудними значеннями переміщень, отримаємо розв'язувальну систему рівнянь для пологих оболонок:

(4)

де

, ; , ;

, , ;

, , ;

, , .

На контурах пологої оболонки крайові умови можуть мати такий вигляд (для прикладу розглядається контур x=const):

а) жорстке закріплення -

(5)

б) шарнірне закріплення -

;(6)

в) контур вільний -

(7)

Щоб отримати крайові умови на контурах y=const, потрібно у виразах (5) - (7) формально виконати таку заміну змінних: x>y, u>v, .

У третьому розділі розроблено методику розв'язання отриманої двовимірної крайової задачі. Запропонований підхід базується на застосуванні метода сплайн-колокації в напрямку координати y та методі дискретної ортогоналізації в напрямку координати x. На його основі побудовано алгоритм, який реалізовано в програмному комплексі на сучасних ПК.

Розв'язок системи рівнянь (3) шукаємо у вигляді

, , ,

, , (8)

де , , , , - шукані функції змінної , (j=) - задані лінійні комбінації B-сплайнів третього степеня на рівномірній сітці : 0=y₀<y₁<…<y_N =b, які задовольняють граничні умови на краях y=0 та y=b.

Граничні умови містять тільки значення розв'язувальних функцій та їх перших похідних, які прирівнюються до нуля на краях y=y₀ та , тоді функції можна представити так:

а) якщо розв'язувальна функція дорівнює нулю на обох краях, то

, ,

;

, ; (9)

б) якщо похідна по y від розв'язувальної функції дорівнює нулю на обох краях:

,

, ;

, ; (10)

в) якщо на одному з країв розв'язувальна функція, а на іншому похідна по y дорівнюють нулю, то комбінуючи функціями , з (10) та , з (9) або навпаки можемо задовольнити граничні умови на обох краях.

Точки колокації , вибираємо за такою схемою:

; , де , , - вузли сплайну (N=2p+1); ; , - корені полінома Лежандра другого степеня.

Підставляючи вирази (8) у співвідношення (4) і беручи до уваги, що вони є розв'язками цих рівнянь в точках колокації , , отримаємо систему звичайних диференціальних рівнянь 10(N+1) порядку відносно невідомих , , , , , , яку можна подати у нормальному вигляді Коші

, (11)

де ; , , , , , А(x) - квадратна матриця порядку 10(N+1).

Підставивши співвідношення (8) у граничні умови на краях x=const, будемо мати граничні умови для системи (11), які в загальному вигляді можна записати так:

,

. (12)

де і - прямокутні матриці порядку .

Таким чином, розв'язання вихідної двовимірної крайової задачі, що описується системою лінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних зі змінними коефіцієнтами (4), зводиться до розв'язання однорідної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь високого порядку (11), (12) з невідомим числовим параметром .

Так як матриця А може бути погано обумовленою внаслідок крайових і локальних ефектів, що спостерігаються в оболонках, для розв'язання крайової задачі (11), (12) використовуємо стійкий чисельний метод дискретної ортогоналізації. За знайденими власними числами обчислюються власні вектори задачі (11) - (12), а за допомогою співвідношень (8) - власні форми коливань пластин і пологих оболонок з прямокутним планом.

Наведено алгоритм, розроблений з використанням даної методики, перелік програм загального призначення та зазначено принципи побудови спеціальних підпрограм програмного комплексу в залежності від зміни товщини в одному і двох координатних напрямках, геометричних параметрів, ортотропії матеріалу при різних граничних умовах.

У четвертому розділі за допомогою розробленого підходу розв'язано задачі про вільні коливання нетонких прямокутних в плані ортотропних пологих оболонок змінної в одному чи в двох координатних напрямках товщини та проведено аналіз впливу зміни геометричних, механічних параметрів та умов закріплення контурів пологих оболонок на частоти і форми вільних коливань.

На основі ряду індуктивних прийомів обґрунтовано достовірність отриманих результатів та показано точність розв'язання задач даного класу.

Розглядалися ортотропні пологі циліндричні оболонки з прямокутним планом шарнірно оперті по контуру. Співвідношення розмірів оболонок в плані: 1; 1,5; 2. В усіх випадках , де - стріла підйому.

У таблиці 1 приведені частоти, отримані аналітично (А), шляхом розкладання шуканих функцій в подвійні ряди Фур'є, і наближені (В) частоти, розраховані за допомогою методу сплайн-колокації при кількості точок колокації, що дорівнювала .

Таблиця 1. Порівняння аналітично (А) і чисельно (В) розрахованих частот вільних коливань прямокутних в плані ортотропних пологих оболонок

		1	1,5	2
		А	В	П, %	А	В	П, %	А	В	П, %
0,1	1	0,5670	0,5673	0,05	0,5935	0,5942	0,12	0,6367	0,6378	0,18
	2	1,0764	1,0766	0,02	0,9340	0,9344	0,05	0,9095	0,9102	0,08
	3	1,2197	1,2240	0,35	1,5131	1,5211	0,53	1,4321	1,4324	0,03
	4	1,7053	1,7082	0,17	1,6184	1,6185	0,01	1,8820	1,8935	0,61

З табл. 1 видно, що при заданій кількості точок колокації максимальна різниця між аналітичними і обчисленими частотами менше 1%, що свідчить про достатньо високу точність і надійність методики сплайн-колокації.

Задачі про вільні коливання пологих оболонок з прямокутним планом розглядалися при таких типах закріплення контурів: всі контури жорстко закріплені (граничні умови типу A); три контури жорстко закріплені, один шарнірно опертий (B); два протилежних контури жорстко закріплені, інші шарнірно оперті (C); два суміжних контури жорстко закріплені, інші шарнірно оперті (D); всі контури шарнірно оперті (E).

Розв'язано задачі про вільні коливання ортотропних прямокутних оболонок змінної в одному координатному напрямі за параболічним законом товщини:

(). (13)

де a - довжина оболонок, - параметр зміни товщини, - товщина оболонок сталої товщини й еквівалентної ваги. Матеріал оболонок - ортогонально-армований 2:1 склопластик, з такими механічними параметрами: Па, Па, Па, Па, Па, , , кг/м³.

На рис. 1 приведено залежність частот вільних коливань квадратних в плані пологих оболонок двоякої кривини від параметру при значенні безрозмірних радіусів кривизни (, ), при різних типах закріплення контурів.

Рис. 1. Залежність перших чотирьох частот коливань ортотропних пологих оболонок змінної товщини від параметра (,).

З рис. 1. видно, що залежно від характеру закріплення країв оболонок частоти можуть як зростати, так і спадати із зміною параметра .

Перша частота коливань в усіх випадках кривизни серединної поверхні оболонок не залежить від параметра за різних граничних умов. Проте для вищих частот залежність є нелінійною. Також для вищих частот при зміні параметра спостерігається більша швидкість зміни частот, чим для нижчих.

Були проведені дослідження вільних коливань пологих оболонок двоякої кривини з прямокутним планом, товщина яких змінюється за законом (13) при різних значеннях геометричних параметрів.

На рис. 2 побудовані графіки залежності першої частоти власних коливань ортотропних пологих оболонок від співвідношення їх розмірів у плані. При цьому розглядалися три значення параметра зміни товщини : -0,5; 0 та 0,5 (різний тип лінії), та три комбінації відношення стріл підйому до розміру в плані: ; 0,1; 0,2. Всі контури оболонок жорстко закріплені.

Рис. 2. Залежність першої частоти власних коливань ортотропних пологих оболонок двоякої кривизни від співвідношення їх розмірів в плані.

Помітно, що зі збільшенням кривизни оболонок, залежність частот вільних коливань від співвідношення їх розмірів в плані стає більш значною.

Існує також залежність і від значення параметра : якщо у випадку прямокутних в плані пологих оболонок змінної товщини з співвідношенням сторін частота при є нижчою, ніж при , то у випадку вже навпаки при будь-якому значенні кривизни оболонок.

Найнижчі частоти спостерігаються у випадку пластин, тобто оболонок з нульовим значенням стріл підйому (). Зі збільшенням кривизн оболонок двоякої кривизни, частоти зростають при будь-якому співвідношенні їх розмірів в плані.

Були проведені розрахунки власних частот ортотропних оболонок сталої товщини (), при (де - мінімальний з розмірів в плані) в залежності від властивостей матеріалу. Параметри ортотропії оболонок (ТМ) наведено в табл. 2.

Таблиця 2. Механічні параметри склопластиків

Пружні постійні	ТМ-1	ТМ-2	ТМ-3	ТМ-4
	5,70	3,68	3,59	1,79
	1,40	2,68	2,93	1,31
	0,57	0,50	0,76	0,28
	0,50	0,41	0,63	0,24
	0,57	0,45	0,66	0,24
	0,277	0,105	0,177	0,150
	0,068	0,077	0,145	0,110
, кг/м3	1920	1870	1820	1780

На рис. 3 приводяться діаграми залежності першої безрозмірної частоти вільних коливань ортотропних пологих оболонок для двох типів механічних параметрів ТМ-1 та ТМ-2 в залежності від співвідношення їх сторін та різної кривизни серединної поверхні. Розглядалися пластини, циліндричні панелі та оболонки двоякої кривизни при трьох варіантах співвідношення розмірів в плані: ; ; . Всі краї оболонок є жорстко закріпленими.

Рис. 3. Перша частота вільних коливань ортотропних пологих оболонок при різних параметрах ортотропії.

Як видно з діаграм рис. 3, найвищі частоти спостерігаються при квадратному плані оболонок для розглядуваних типів ортотропії, незалежно від кривизни. При однаковому співвідношенні сторін, найнижча перша частота властива пластинам, в той час як для циліндричних оболонок та оболонок з двоякою кривизною вона є більшою. Спостерігається також значна залежність перших частот коливань від параметрів ортотропії. Так, наприклад, при ТМ-1 перші частоти для квадратних в плані оболонок є вищими, ніж при ТМ-2. Можна зробити висновок, що перша власна частота коливань ортотропних пологих оболонок залежить як від геометричних, так і від механічних параметрів.

На рис. 4 наведено перші чотири власні форми коливань квадратних в плані ортотропних пологих оболонок двоякої кривини змінної товщини (за законом (13)) при крайових умовах типу A і .



Рис. 4. Форми вільних коливань ортотропних пологих оболонок змінної товщини при , .

З рис. 4 видно, що форми вільних коливань пологих оболонок відповідають формам коливань пластин з аналогічними розмірами в плані, тобто першій частоті відповідає по одній півхвилі в кожному координатному напрямі і т.д. Максимальні переміщення будуть мати точки пологої циліндричної панелі, що лежать на прямій , де товщина оболонок мінімальна.

Досліджувалися також вільні коливання пологих ортотропних циліндричних оболонок змінної у двох координатних напрямках товщини:

, (14)

де - товщина оболонок еквівалентної ваги і сталої товщини; і - розміри оболонок в плані; , . Радіус кривини оболонок: . Матеріал оболонки - Па, Па, Па, Па, Па, , , кг/м³.

На рис. 5, 6 показані залежності частот вільних коливань від параметрів і при закріпленні контурів по типу A і D. Видно, що частоти вільних коливань оболонок у просторі утворюють поверхні, які нагадують параболоїд переносу. При цьому ця поверхня симетрична відносно площин , при закріпленні контурів по типу A, тобто частоти вільних коливань при однакових за модулем і протилежних за знаком і однакові. При граничних умовах типу D такого ефекту не спостерігається.

Форми вільних коливань таких оболонок мають таку особливість: для однакових за модулем і протилежних за знаком значень і , форми вільних коливань симетричні.

Доцільність врахування поперечних зсувів при розрахунку власних частот оболонок середньої товщини з податливих на зсув матеріалів аналізувалась в порівнянні з відповідними результатами за класичною моделлю Кірхгофа - Лява.

Було розглянуто нижчі частоти ізотропних пологих прямокутних в плані оболонок при шарнірному закріпленні їх контуру в залежності від відносної товщини та властивостей матеріалу.

Результати розрахунку наведено для таких вихідних даних: ; ; ; ; ; , (, ), де - товщина оболонки; - лінійні розміри; - стріла підйому.

На рис. 7 представлені графіки перших чотирьох безрозмірних частот вільних коливань оболонок в залежності від їх відносної товщини (суцільна лінія відповідає класичній теорії, штрихова - уточненій).

Спостерігається така закономірність: при малій товщині оболонок значення частот, розрахованих по обох теоріях майже співпадають, а із збільшенням товщини різниця між відповідними частотами збільшується. Причому, для вищих частот ця різниця стає більш суттєвою. Так, при , різниця між першими частотами не перевищує 1%, у той час як між четвертими - вже близько 10%.

На оболонці з цими ж граничними умовами було досліджено вплив врахування поперечних зсувів в залежності від властивостей матеріалу. Вихідні дані розрахунку такі:

; ; ; ; ,

, (15)

де , , [0,01;0,51] - поперечні модулі зсуву та параметр, що характеризує зміну їх значень. Діапазон обраний в межах механічних властивостей реальних матеріалів.

На рис. 8 представлені графіки перших чотирьох безрозмірних частот вільних коливань оболонки , що одержані за двома моделями, в залежності від параметра . Показано, що при малих модулях поперечного зсуву має місце значне уточнення результатів, розрахованих за класичною теорією. Так, при значення четвертої частоти за теорією Тимошенка - Міндліна, майже вдвоє менше за відповідне значення за класичною моделлю.

При інших типах геометричних параметрів принципових відмінностей в характері поведінки частот, отриманих за різними теоріями, не спостерігається, тобто зберігається аналогічна картина наведених залежностей.

Таким чином, врахування поперечних зсувів при знаходженні власних частот дозволяє значно розширити клас досліджуваних об'єктів та розглядати пологі оболонки середньої товщини, що виготовлені з матеріалів з низькими модулями поперечного зсуву.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розроблено ефективний підхід до розв'язання двовимірних задач про вільні коливання ізотропних та ортотропних прямокутних в плані пологих оболонок змінної товщини в уточненій постановці при різних крайових умовах, що базується на застосуванні методу сплайн-колокації для зведення двовимірної крайової задачі до одновимірної та розв'язанні останньої стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку. Проведено аналіз впливу зміни товщини в одному і двох координатних напрямках, геометричних параметрів, механічних характеристик матеріалу, різних граничних умов на спектр частот і форм коливань нетонких пологих оболонок, виявлено ряд закономірностей розподілу частот і форм коливань, що мають практичне значення при оцінці міцності і надійності елементів конструкцій.

При цьому отримано такі конкретні результати:

1. на основі співвідношень уточненої теорії оболонок, що базується на гіпотезі прямолінійного елементу, виведено розв'язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами та відповідними граничними умовами, що описує вільні коливання ортотропних прямокутних в плані пологих оболонок змінної товщини;

2. розроблено методику розрахунку частот і форм вільних коливань оболонок досліджуваного класу, що полягає у використанні методу сплайн-колокації для зведення вихідної двовимірної крайової задачі до одновимірної з подальшим її розв'язанням стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку при точному задоволенні граничних умов на краях;

3. запропонований підхід реалізовано в обчислювальному комплексі для ПК, за допомогою якого можна проводити розрахунки багатоваріантних задач даного класу при різних видах геометричних і механічних параметрів та довільних умовах закріплення контурів;

4. достовірність результатів, що одержані в роботі, забезпечено використанням відповідної математичної моделі теорії оболонок, коректністю сформульованої задачі, тестуванням розробленого підходу на ряді задач даного класу і контролем точності розрахунку на основі індуктивних оцінок;

5. на основі запропонованого підходу одержано розв'язки ряду задач і проведено аналіз спектру частот і форм коливань пологих оболонок змінної товщини при різних умовах закріплення країв: розглянуто ізотропні та ортотропні пологі оболонки змінної в одному та двох координатних напрямах товщини з метою дослідження впливу пружних характеристик матеріалу, геометричних параметрів, характеру зміни товщини та крайових умов на частоти і форми вільних коливань;

6. виявлені механічні ефекти та отримані закономірності представлено у вигляді графіків і таблиць;

7. проведено порівняльний аналіз частот вільних коливань для деяких пологих оболонок змінної товщини, розрахованих за класичною (Кірхгофа - Лява) та уточненою (Тимошенка - Міндліна) теоріями;

8. розроблений на базі запропонованого підходу алгоритм, обчислювальний комплекс для ПК та отримані в роботі результати можуть бути використані в науково-дослідних організаціях для оцінки міцності елементів конструкцій, що мають форму прямокутних в плані пологих оболонок.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Григоренко А.Я. Численное решение задачи о свободных колебаниях пологих оболочек переменной толщины в уточненной постановке / А.Я. Григоренко, А.Ю. Пархоменко // Доповіді Національної академії наук України. - 2009. - №12. - С. 50-54.

2. Григоренко А.Я. Свободные колебания пологих прямоугольных в плане нетонких оболочек переменной толщины / А.Я. Григоренко, А.Ю. Пархоменко // Прикл. механика. - 2010. - Т. 46, № 7. - С. 50-64.

3. Григоренко А.Я. Свободные колебания пологих прямоугольных в плане ортотропных нетонких оболочек переменной толщины / А.Я. Григоренко, А.Ю. Пархоменко // Прикл. механика. - 2010. - Т. 46, № 8. - С. 29-41.

4. Григоренко А.Я. Численное решение задач о свободных колебаниях пологих оболочек переменной толщины в уточненной постановке на основе сплайн-коллокации / А.Я. Григоренко, А.Ю. Пархоменко // Тези доповідей міжнародної конференції моделювання та дослідження стійкості динамічних систем - Київ, 2009. - С. 201.

5. Григоренко О.Я. Чисельне розв'язання задач про вільні коливання ортотропних пологих оболонок змінної товщини в уточненій постановці / О.Я. Григоренко, О.Ю. Пархоменко // Тези доповідей ХІІ Всеукраїнської науково-методичної конференції «Сучасні проблеми природничих наук та підготовка фахівців у цій галузі», 17-19 вер. 2009 р., - Миколаїв, 2009. - С. 23.

6. Григоренко А.Я. Численное решение дифференциальных уравнений, описывающих свободные колебания ортотропных пологих оболочек в уточненной постановке / А.Я. Григоренко, А.Ю. Пархоменко // Тринадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука, 13-15 трав., 2010 р., Київ: Матеріали конф. Т. 2. - К.: НТУУ, 2010 - С. 100.

Размещено на Allbest.ru

...