Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Монастырский Л.М.

Учебное пособие

для студентов физических специальностей университетов

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Для студентов расширенного направления «Физика»

г. Ростов-на-Дону - 2007

В настоящее время издано огромное количество учебников по курсу «Общая физика» для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «естественнонаучное образование» и «физико-математическое образование». Однако при чтении лекций пользоваться только каким-либо одним из них не представляется возможным ни для преподавателя, ни для студента. Более того, роль лектора не сводится к пересказыванию содержания учебника, даже самого удачного, целиком. Всегда необходимо отбирать материал, соответствующий рабочей программе данной специальности и пристрастиям лектора.

В данном конспекте лекций по разделу курса общей физики «Механика» сделана попытка изложить соответствующий материал логически замкнуто и методически обосновано. Особое внимание при этом уделяется понятиям модели в физике, способам выбора модели и их теоретическому описанию. Много внимания моделям уделяется при введении понятия взаимодействия и обоснованию необходимости раздельного появления силы трения покоя и силы трения скольжения.

Тщательно рассматриваются границы применимости тех или иных физических законов, а также релятивистское и нерелятивистское приближение в механике.

В основу физики как учебного предмета положена физика как наука, что позволяет опираться на основные законы механики и показывать, как они работают в разных условиях.

Достаточно много внимания уделяется графическим иллюстрациям к теоретическому материалу, которые является неотъемлемой частью лекции. Это позволяет включать пространственное воображение слушателя и делает более наглядными сложные математические выкладки.

Следует заметить, что поскольку физика наука, возникшая из эксперимента, лекции следует сопровождать показом демонстраций, логически связанных с теоретическим материалом. В конспекте лекций приведены ссылки на возможные варианты демонстрационного эксперимента, что очень удобно для лектора. Кроме того, приведены примеры некоторых задач, которые также можно приводить для демонстрации возможных применений тех или иных физических законов.

ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

1. Кинематика материальной точки

Физика - наука об окружающем нас мире. Физика - наука опытная. Ее цель и задачи состоят в том, чтобы понять всю природу, как разные проявления одной совокупности физических явлений и происходящих в ней процессов. Открыть законы, стоящие за этими процессами и объединить отдельные явления природы, предварительно разъединив их для подробного изучения.

Физика, как наука, возникла благодаря, прежде всего, трудам греческого философа Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Аристотель собрал и систематизировал огромный естественнонаучный материал предшественников (как говорят, он владел всеми знаниями той эпохи) и сам осуществил ряд глубоких наблюдений. Несмотря на то, что в его взглядах на строение окружающего нас мира было много заблуждений, они просуществовали около 16 веков, т.к. во многом совпадали с догматами церкви. Следующий шаг в развитии физики и, прежде всего механики, сделали итальянский ученый Галилео Галилей (1564-1642 гг.) и англичанин Исаак Ньютон (1643-1727 гг.). Именно они заложили основы так называемой классической механики, которую мы будем изучать в течение всего первого семестра.

1. Движение в пространстве. Способы задания положения тел в пространстве (векторный способ, координатный способ, «естественный» способ)

Механика - раздел физики, в котором изучается механическое движение, т.е. изменение положения тел в пространстве относительно других с течением времени. Механика, в свою очередь, чисто формально, разделяется на кинематику и динамику. В кинематике изучается механическое движение без выяснения причины того или иного характера движения (состояние покоя, равномерного прямолинейного движения или движение с ускорением).

Как ни странно, механика не может точно описать ни один реальный физический процесс, происходящий в окружающем нас мире. Дело в том, в ходе каждого реального процесса происходит множество тесно связанных друг с другом явлений, которые не поддаются математическому описанию (составлению формул). Выход состоит в том, чтобы пользоваться моделями, поддающимися математическому описанию. От модели совсем не требуют внешнего сходства с описываемым объектом, достаточно, чтобы совпадали их свойства. Такой моделью в механике является материальная точка.

Материальная точка это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Например, в одних задачах Землю можно считать материальной точкой, а в других - нельзя.

Основными физическими понятиями раздела «Кинематика материальной точки» являются: механическое движение, траектория, система отсчета, путь и перемещение, средняя и мгновенная скорость, равномерное прямолинейное движение, ускорение.

Механическое движение - изменение положения тел в пространстве относительно других тел. Рассмотрим для начала способы задания положения тел в пространстве (идет речь о материальных точках).

Обратимся к рис.1(а,б).

а) б)

Рис. 1

На рис.1 (а) показаны декартовы координаты х, у точки А на плоскости. Здесь же приведен радиус-вектор этой точки А. Видно, что координаты радиус-вектора точки А совпадают с ее декартовыми координатами. На рис. 1 (б) приведены проекции на оси координат произвольного вектора (проведенного не из начала координат).

Любой вектор удобно представлять с помощью единичного вектора некоторого произвольного направления. На рис.2 представлено некоторое произвольное направление и указан единичный вектор этого направления .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2

Тогда любой вектор этого направления можем записать в следующем виде:

Радиус - вектор удобно разлагать по осям координат с помощью единичных векторов - ортов. Рассмотрим рис. 3.

Рис. 3

Здесь - единичные векторы (орты) декартовой системы координат в пространстве. Тогда разложение радиус-вектора по ортам выглядит следующим образом:

Рассмотрим теперь способы задания положения точки в пространстве.

1. Векторный способ

В этом способе следует задать начало отсчета - точку О. Тогда положение некоторой точки А относительно этого начала отсчета можно задать с помощью радиус-вектора, как показано на рис.4. Таким образом, задается зависимость .

Рис. 4

Геометрическое место точек концов радиус-вектора называется траекторией. Введем вектор перемещения, как . Назовем средней скоростью движения величину:

Видно, что направление средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения.

Если уменьшать интервал времени , то в пределе получим мгновенную скорость следующим образом:

Мгновенная скорость представляет собой производную по времени от радиус-вектора.

Замечание

Отметим, что в общем случае . Например, в случае движения точки по окружности с постоянной по модулю скоростью ясно, что, и, следовательно, d 0. С другой стороны, , т.к. вектор все время изменяет свое направление.

При изменении скорости возникает ускорение, которое можно определить следующим образом: , или с помощью разложения по ортам декартовой системы координат:

Таким образом, зная зависимость , можно вычислить скорость и ускорение тела в любой момент времени.

Существует и обратная задача - зная ускорение в виде зависимости , найти скорость и перемещение тела. Для решения этой задачи воспользуемся интегральным исчислением. По определению и правую часть этого выражения можно рассматривать, как производную скорости по времени, с другой стороны, ее можно рассматривать как отношение двух бесконечно малых величин - дифференциала (бесконечно малого приращения) скорости dV и дифференциала (бесконечно малого приращения) времени dt. Тогда следует очевидное:

Отсюда можно записать при V₀ =0:

Найдем теперь перемещение тела, используя определение мгновенной скорости:

Тогда можем записать , или окончательно .

Поскольку для модуля мгновенной скорости можем записать , где S - путь, пройденный телом вдоль траектории, то величину этого пути можно найти с помощью следующего выражения:

2. Координатный способ

Задавим начало отсчета точку О, и свяжем с ней декартову систему координат в пространстве (рис. 5).

Рис. 5

Тогда, зная зависимости координат частицы от времени, можно рассчитать ее скорость и ускорение в любой другой момент времени следующим образом:

и

и .

Также это дает возможность рассчитать направление векторов скорости и ускорения по формулам:

,

,

3. «Естественный» способ

Это способ задания положения точки в пространстве с помощью параметров траектории. Рассмотрим рис. 6.

Рис. 6

Точка О задает начало отсчета для движения вдоль траектории точки А. Измеряя длину траектории l от начала О до положения точки в данный момент времени, можно задавать положение точки в любой момент времени.

Введем единичный вектор касательной к траектории в данной точке . При движении вдоль траектории произвольной формы меняется направление этого вектора , следовательно, он изменяется во времени.

Поскольку, по определению, мгновенная скорость является производной перемещения по времени, а вектор перемещения совпадает с хордой, соединяющей два последовательных положения тела А и В, то направление вектора скорости в данной точке совпадает с предельным положение хорды, т.е. с касательной (см. рис. 7).



Рис. 7

Можем теперь написать . Здесь V- модуль вектора скорости. Более точной является запись .

Найдем мгновенное ускорение точки по формуле:

.

Чисто формально ( с точки зрения математики) ускорение разделилось на две составляющие его части. Попытаемся найти физический смысл каждой составляющей. Первое слагаемое назовем тангенциальным, поскольку его направление совпадает с направлением касательной к траектории движения точки. Выясним более подробно смысл величины , являющейся производной единичного вектора касательной по времени.

Производная единичного вектора по времени.

По определению производной . С другой стороны, , вектор

представляет собой направление вектора . Теоретически доказывается, вектор

направлен перпендикулярно касательной к траектории в данной точке, а (угол поворота вектора ). Следовательно, можем написать:



По определению при вращательном движении по окружности угловая скорость , следовательно:

Поскольку существует связь модуля угловой и линейной скорости (), то можем записать:

Теперь для полного ускорения можем записать следующую формулу:

Здесь - тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории в данной точке. Оно определяет изменение модуля скорости. Другая составляющая полного ускорения , где - единичный вектор нормали к касательной в данной точке траектории (см. рис. 8).

Рис. 8

Полное ускорение теперь записывается в виде:

= + .

Кинематика движения материальной точки по окружности

Рассмотрим движение материальной точки по окружности радиуса R. Если движение происходит с постоянной по модулю скоростью, то можно ввести понятие периода Т, как времени, за которое тело совершает один полный оборот. Число оборотов в единицу времени называют частотой . Далее можно ввести понятие угловой скорости вращения по окружности (см. рис. 9):

Рис. 9

Если угловая скорость изменяется, то вводится угловое ускорение . Можно найти связь между угловой и линейной скоростью движения по окружности. Модуль линейной скорости равен:



Найдем общую связь между векторами угловой и линейной скорости. Введем понятие вектора угловой скорости - следующим образом - это вектор, направленный по оси вращения по правилу правого винта, а его модуль равен производной угла поворота по времени. Рассмотрим рис. 10, где положение точки на окружности описывается с помощью радиус-вектора .

Рис. 10

Рассмотрим формально следующее векторное произведение:

Его модуль равен , а направлен он по оси вращения. Таким образом, это и есть общая связь векторов угловой и линейной скорости.

2. Динамика материальной точки

Главное свойство окружающего нас мира - существование разного вида взаимодействий. Среди них выделяют четыре фундаментальных (к которым сводятся все остальные) взаимодействия, если расположить их в порядке возрастания интенсивности: гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное. Если принять интенсивность сильного взаимодействия за 1, то интенсивности следующих взаимодействий оцениваются как:

Гравитационное ~ 10^-40

Слабое ~ 10^-14

Электромагнитное ~ 10^-3

Сильное ~ 1

Сила представляет собой количественную меру взаимодействия, следовательно, можно выделить четыре типа фундаментальных сил.

1. Гравитационное взаимодействие. Притяжение тел к Земле, существование солнечной системы обусловлено гравитационными силами.

2. Слабое взаимодействие. Существует большое число нестабильных элементарных частиц, которые под влиянием слабых сил превращаются в другие частицы.

3. Электромагнитное взаимодействие. Этими силами обусловлены связи в атомах и молекулах. Они объясняют устойчивость вещества.

4. Сильное взаимодействие. Наличие в ядрах атомов одноименно заряженных и нейтральных частиц говорит о существовании сил внутриядерного взаимодействия.

2. Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона

В динамике выясняются причины того или иного характера движения тела на основе сил, действующих на тело. Наиболее просто законы динамики выглядя в так называемых инерциальных системах отсчета.

Инерциальными называют такие системы отсчета, в которых тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если все силы, действующие на тело, скомпенсированы. Скомпенсированность сил означает следующее:

.

Все материальные тела обладают некоторым физическим свойством, которое называют инертность. Инертность это свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если все силы, действующие на тело, скомпенсированы. Впервые на это обратил внимание Галилей, который сформулировал принцип инертности.

В основе динамики лежат три закона Ньютона.

1-ый закон Ньютона.

Существуют такие системы отсчета, в которых тело находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно, если все силы, действующие на него, скомпенсированы.

Первый закон Ньютона, прежде всего, постулирует существование инерциальных систем отсчета. В этом его самостоятельное значение. Кроме того, он устанавливает условия покоя тела или равномерного прямолинейного движения.

Поскольку инертность это физическое свойство тела, его можно выражать количественно и измерять. В качестве меры инертности тела выбирают его массу m. Измеряя независимо силу, действующую на тело и ускорение, которое сообщает телу эта сила, можно становить пропорциональность . Коэффициентом пропорциональности в этой зависимости является масса. Измеренную в таком динамическом эксперименте массу называют инертной массой.

Сам Ньютон формулировал свой второй закон с помощью понятия импульса тела .

2-ой закон Ньютона.

Изменение импульса тела равно действующей на тело силе и совпадает с ней по направлению.

Или в нерелятивистском случае:

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой.

Можно нарисовать следующую схему (см. рис. 11).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11

3-й закон Ньютона

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

Отсюда следует, что при взаимодействиях в инерциальных системах силы всегда возникают попарно.

Третий закон Ньютона, вообще говоря, справедлив лишь приближенно, т.к. он предполагает мгновенный характер распространения взаимодействия. Все силы, действующие на тела в механике, можно условно разделить на две группы: силы, возникающие при непосредственном взаимодействии (например, силы упругости, силы трения), и силы, возникающие на расстоянии (например, гравитационные силы). Силы, возникающие при непосредственном взаимодействии, связаны с деформацией тела, например, при растяжении пружины.

Силы, возникающие на расстоянии, обусловлены наличием соответствующих полей с определенными свойствами (например, гравитационного поля).

На самом деле между этими двумя типами сил нет принципиального различия. Все они, в сущности, обусловлены существованием тех или иных полей. Но особенность этих полей связана с их быстрым убыванием в зависимости от расстояния между телами.

3. Силы в природе. Движение под действием сил

1. Силы сухого трения (трение покоя и трение скольжения)

Сухое трение возникает на поверхностях соприкосновения твердых тел. При этом различают два вида трения: трение покоя и трение скольжения.

Подействуем некоторой силой F на тело, лежащее на горизонтальной поверхности (рис. 12).

Рис. 12

Опыт показывает, что пока сила F меньше некоторого критического значения F_кр тело покоится относительно поверхности. Расставим силы, действующие на тело, на рис. 13.

Рис. 13

Поскольку тело взаимодействует с тремя телами (внешним, с Землей и поверхностью), на него действуют три силы: внешняя , сила тяжести Земли и сила взаимодействия с поверхностью . Теперь можно предложить следующую модель взаимодействия тела с поверхностью. С одной стороны, тело под действием силы тяжести давит на поверхность, деформирует ее и вызывает появление ответной силы - силы упругой реакции поверхности . С другой стороны, поверхность и тело шероховаты и между ними есть взаимодействие, которое описывается силой трения . Эта сила называется сила трения покоя, т.к. тело покоится относительно поверхности. Формулы для расчета силы трения покоя не существует, т.к. она равна по модулю внешней силе, ее уравновешивающей.

Рассмотрим тело, покоящееся на наклонной плоскости (рис. 14).

Рис. 14

На него также действуют только две силы: сила тяжести и сила взаимодействия с наклонной плоскостью . Эту силу представим как равнодействующую двух сил: силы упругой реакции наклонной плоскости и силу трения покоя .

Обратимся опять к рис.13. Когда внешняя сила превышает критическое значение F_кр, то тело начинает скользить по поверхности и появляется сила трения скольжения . При специальной обработке поверхностей сила трения скольжения практически не зависит от скорости, и ее величина определяется выражением:

=

Здесь - коэффициент трения скольжения, N- сила упругой реакции опоры.

Опыт показывает следующий вид зависимости силы трения от скорости движения тела, который приведен на рис. 15.

Рис. 15

Этот закон иногда называют законом Кулона - Амонтона.

2. Вязкое трение

При движении тела в вязкой среде, на него действуют силы вязкого трения. Например, при движении шарика массой m в вязкой жидкости на него действуют три силы: сила тяжести, сила вязкости и выталкивающая сила (сила Архимеда). Как показывают опыты, при небольших скоростях силы вязкости подчиняются закону:

,

здесь k -некий коэффициент пропорциональности.

Уравнение движения имеет вид:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными можно привести к виду:

Решаем это уравнение путем интегрирования правой и левой его части:

В результате получим:

Видим, что движение тела в вязкой среде является сложным: в начальный момент времени оно ускоренное. Затем ускорение будет уменьшаться и через некоторое время станет практически равным нулю - движение будет близко к равномерному. Время установления равномерн6ого движения зависит от коэффициента пропорциональности k.

3. Закон всемирного тяготения

Как уже отмечалось, гравитационное взаимодействие очевидно одно из самых универсальных в природе, ему подчинены все материальные тела. Этому взаимодействию соответствует сила гравитационного взаимодействия, которая удовлетворяет закону всемирного тяготения Ньютона.

Закон всемирного тяготения в следующем виде справедлив для материальных точек массами m₁ и m₂, находящимися на расстоянии r друг от друга:

В таком виде закон всемирного тяготения справедлив еще для тел, имеющих форму шара, если под r понимать расстояние между их центрами.

Однако это только выражения для модуля этой силы. Векторная величина силы всемирного тяготения определяется следующим выражением (см. рис. 16):

Рис. 16

Гравитационная постоянная G была измерена Г. Кавендишем в 1798 г. с помощью крутильных весов, изображенных на рис. 17.

Рис. 17

Сила взаимодействия больших и малых шаров измерялась по величине угла закручивания нити подвеса весов.

Сила тяжести

На все тела вблизи поверхности Земли действует сила взаимодействия, которую, называют силой тяжести. Величина силы тяжести равна F=mg. Она только приблизительно равна силе гравитационного взаимодействия тела и Земли, вследствие движения Земли вокруг собственной оси вращения.

Вес тела

Вес тела это сила, с которой тело давит на опору или растягивает нить подвеса. Вес тела численно равен силе нормального давления тела на опору. Он зависит от состояния опоры (а именно, от характера ее движения). Если же тело не давит на опору и не растягивает подвес, то тело находится в состоянии невесомости. Для невесомости характерно действие на тело только одной силы - силы тяжести.

В выражение входит масса, которая ранее была определена, как мера инертности тела. В этот же закон входит так называемая гравитационная масса. Но инертность и способность к гравитационному взаимодействию представляют собой физически разные свойства. Если инертная масса определяется в динамическом эксперименте, то гравитационная масса определяется в статическом эксперименте взвешиванием. Можем записать в гравитационном поле Земли:

Здесь М_з - масса Земли, R- радиус Земли, m_т - масса тела.

Обозначим величину (некоторая константа). Если сбросить тело с небольшой высоты вблизи поверхности Земли, то можем записать по второму закону Ньютона:

Отсюда следует, что:

Опыт показывает (это, в частности, установил Галилей), что a=g, следовательно .

Это равенство установлено экспериментально с относительной погрешностью 10^-12 .

4. Основные законы небесной механики

Законы Ньютона основаны на законах небесной механики, открытых Иоганном Кеплером. Кеплер обработал гигантский материал астрономических наблюдений датчанина Тихо Браге, которые он проводил в течение 35 лет.

Первый закон Кеплера

Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Второй закон Кеплера.

Радиус-вектор планеты, проведенный из Солнца, описывает равные площади в равные промежутки времени (рис. 18).

Рис. 18

Третий закон Кеплера

Квадраты периодов обращения двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит.

Ньютон открыл свой закон всемирного тяготения путем анализа законов Кеплера в приближении круговых орбит планет, вращающихся вокруг Солнца.

Эти законы позволяют получить выражение, с помощью которого можно рассчитать массу Солнца. Из третьего закона Кеплера следует, что для всех планет, при условии движения по круговым орбитам, выполняется следующее соотношение:

Величина этой константы зависит от массы Солнца следующим образом:

С помощью этого же соотношения можно рассчитать массу Земли, если в качестве R и T взять радиус лунной орбиты и период ее обращения вокруг Земли.

Ньютон понял, что законы Кеплера верны в приближении неподвижности Солнца (одного из взаимодействующих тел). В действительности планета и Солнце вращаются вокруг их общего центра масс. Возникает возмущающее влияние одного тела на другое (например, Солнца на Землю), и тело начинает рыскать по своей орбите во время движения.

1. Неинерциальные системы отсчета

Как нам известно, взаимодействие вызывает силу, которая, в свою очередь, вызывает ускорение. Эта цепочка справедлива в инерциальных системах отсчета, в которых выполняются законы механики Ньютона. До сих пор, например, мы считали Землю инерциальной системой отсчета (так называемой, лабораторной), т.е. не принимали во внимание вращение Земли вокруг собственной оси. Посмотрим, к чему же приводит рассмотрение движения тел в неинерциальных системах отсчета. При переходе к неинерциальным системам отсчета ускорение тел в них будет изменяться, а силы, вызванные взаимодействием с окружающими телами, останутся прежними.

1. Силы инерции. Прямолинейное ускоренное движение системы отсчета. Принцип эквивалентности Эйнштейна

Рассмотрим следующий пример. Пусть вагон движется равноускоренно с ускорением вправо (см. рис. 19):

Рис. 19

В вагоне на столе находится груз массой m и тело на нити массой m₁. Рассмотрим сначала Землю в качестве лабораторной системы отсчета (инерциальной), а система отсчета, связанная с ускоренно движущимся вагоном, будет неинерциальной. В инерциальной системе отсчета на тело m₁ действуют сила тяжести и сила упругой реакции нити, а на тело m действует сила тяжести, сила упругой реакции стола и сила трения со стороны стола. В инерциальной системе тело m₁ движется ускоренно под действием равнодействующей двух сил - силы тяжести и силы реакции нити, тело m также движется ускоренно под действием силы трения.

В неинерциальной системе вагона тело m₁ покоится, но это не может быть объяснено наличием не скомпенсированной равнодействующей сил. Тело m также не должно покоится из-за наличия не скомпенсированной силы трения. Таким образом, в неинерциальной системе отсчета перестают действовать законы Ньютона. Поступим чисто формально для «спасения» законов Ньютона. Введем в неинерциальной системе отсчета силы инерции, модуль которых равен произведению массы тела на ускорение неинерциальной системы отсчета, а направление силы противоположно направлению этого ускорения:

Если тело относительно неинерциальной системы отсчета имеет ускорение , то уравнение движения его в этой системе отсчета имеет вид:

Здесь - силы, действующие на тело в инерциальной системе отсчета.

Качественно ответ на вопрос о происхождении сил инерции дает общая теория относительности Эйнштейна. Рассмотрим опыт, известный под названием маятник Любимова (рис. 20).

Рис. 20

Маятник Любимова представляет собой доску, в которую вбит гвоздь с укрепленным на нем маятником. При свободном падении маятника он либо начинает вращаться по окружности вокруг точки подвеса, либо остается в покое (если он в момент начала падения находился в отклоненном состоянии). Из рис. 20 видно, что сила инерции компенсирует силу тяжести в неинерциальной системе. Можно сделать следующий вывод:

Если система отсчета находится в равноускоренном прямолинейном движении относительно инерциальной системы отсчета (в которой по определению отсутствуют поля тяготения), то явления в ней протекают так, как если бы имелось поле тяготения, ускорение свободного падения в котором равно ускорению системы отсчета.

Это утверждение и представляет собой принцип эквивалентности Эйнштейна.

Можем теперь уточнить причину возникновения сил в физике:

1. Наличие взаимодействий

2. Ускоренное движение системы отсчета

3. Вращательное движение системы отсчета. Тело покоится относительно неинерциальной системы отсчета. Центробежная сила инерции. Влияние вращения Земли на вес тела

Рассмотрим поведение неподвижного тела во вращающейся системе отсчета. Допустим, что тело лежит неподвижно на поверхности горизонтально расположенного диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью (рис. 21).

Рис. 21

Покой тела относительно вращающегося диска (неинерциальной системы отсчета) можно объяснить наличием силы инерции, по модулю равной и направленной по радиусу от центра диска. Эту силу инерции называют центробежной силой инерции.

Учтем неинерциальность Земли, как системы отсчета. Поскольку Земля вращается в своем суточном движении вокруг оси, все точки на ее поверхности обладают центростремительным ускорением и, следовательно, Земля не может быть строго инерциальной системой отсчета. Это приводит к следующим следствиям. Рассмотрим некоторое тело, неподвижно лежащее на поверхности Земли. Расставим силы, действующие на него в неинерциальной системе отсчета Земли (рис. 22).

Рис. 22

Здесь - сила гравитационного взаимодействия тела и Земли, направленная к центру Земли по радиусу. - центробежная сила инерции, направленная по радиусу окружности, которую описывает тело при суточном вращении Земли. Векторная сумма этих двух сил и составляет так называемую силу тяжести, которая описывает взаимодействие тела с Землей. Видно, что направление силы тяжести несколько не совпадает с направлением силы гравитационного взаимодействия. Отвес, например, будет висеть не по направлению силы гравитационного взаимодействия, а по направлению силы тяжести.

5. Вращательное движение системы отсчета. Тело движется относительно вращающейся системы отсчета. Силы Кориолиса

Пусть к оси горизонтально расположенного, вращающегося с угловой скоростью диска, прикреплена пружина, на другом конце которой расположено некоторое тело, вращающее относительно диска с линейной скоростью . Окружность, которую описывает тело на диске, имеет радиус R. Запишем ускорение частицы относительно некоторой неподвижной системы отсчета (это будет центростремительной ускорение):

Мы использовали закон сложения скоростей Галилея и проделали элементарные математические преобразования.

Видно, что - есть центростремительное ускорение тела в неинерциальной системе отсчета, связанное с вращением тела относительно диска, - ускорение тела, связанное с вращением диска относительно оси, величина же - имеет физический смысл ускорения и связана с движение тела относительно неинерциальной системы отсчета (диска). Происхождение этого ускорения свяжем с новой силой инерции, возникающей при движении тела относительно вращающейся системы отсчета, и назовем эту силой Кориолиса. Модуль силы Кориолиса равен . Общий вид силы Кориолиса можно записать как:

Выводы.

1. Сила Кориолиса - сила инерции, возникающая при движении тела относительно вращающейся системы отсчета.

2. Сила Кориолиса перпендикулярна плоскости, в которой расположены векторы и .

На рис. 23 расставлены силы, действующие на тело в этом случае движения.

Рис. 23

Сила Кориолиса влияет на движение тел на поверхности Земли, а также движущихся вблизи поверхности Земли. При свободном падении сила Кориолиса отклоняет падающее тело к востоку. При падении на экваторе с высоты 30 м отклонение составляет 3,6 мм. При стрельбе из орудий на дальние расстояния сбудет также учитывать влияние силы Кориолиса. При выстреле из орудия, направленного на север, снаряд будет отклоняться к востоку. У рек, текущих на север, подмываются всегда правые берега. Наличием сил Кориолиса объясняется вращение плоскости колебания маятника Фуко.

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

1. Импульс частицы и системы частиц

1. Импульс частицы. Закон изменения импульса частицы

Огромную роль в изучении физических явлений играют, так называемые сохраняющиеся величины. Одной из них является импульс частицы. Вспомним, что импульсом частицы называется векторная физическая величина . Именно эта величина входит во второй закон Ньютона:

Отсюда следует следующее выражение . В правой части стоит приращение импульса частицы, а величина, стоящая в левой части, называется импульс силы. Видно, что при движении частицы, ее импульс (т.е. ее скорость) может изменить не сама сила, а ее импульс. В частности, для постоянной силы можем записать

2. Импульс системы частиц

Рассмотрим систему N материальных точек, на которую действуют некоторые силы. Разделим эти силы на две группы: - внешние силы, действующие на i -ю частицу и - внутренние силы взаимодействия частиц между собой.

Запишем закон изменения импульса 1-ой частицы:

Запишем закон изменения импульса 2-ой частицы:

Запишем закон изменения импульса i-ой частицы:

Величину, стоящую в левых скобках , назовем суммарным импульсом системы материальных точек. Рассмотрим более подробно правую часть этого выражения. Видно, что в нее входят выражения типа: , которые по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению. Все такие суммы равны нулю, в итоге имеем:

+………+

Это выражение представляет собой закон изменения импульса системы, взаимодействующих между собой частиц - изменение импульса такой системы частиц равно суммарному импульсу всех внешних сил, действующих на систему. Отсюда следует очень важный практический вывод: импульс системы частиц может изменяться только под действием внешних сил.

Назовем замкнутой такую систему частиц, на которую не действуют внешние силы. Тогда сформулируем закон сохранения импульса:

В замкнутых системах суммарный импульс остается постоянным.

Замечание.

У незамкнутых систем может сохраняться постоянной какая-либо проекция импульса.

3. Центр масс системы частиц. Закон движения центра масс системы

Рассмотрим систему N материальных точек, заданных в пространстве с помощью радиус-векторов (рис. 24).

Рис. 24

На эту систему действуют внешние силы, под действием которых она может перемещаться. Для такой системы можно вести некоторую точку пространства, не обязательно совпадающую с какой-либо из точек системы, которая обладает рядом интересных свойств. Введем точку С при помощи следующего радиус-вектора:

Здесь m_i - масса i-ой частицы.

Полученную таким образом точку называют центром масс системы частиц. Найдем производную по времени от этого выражения:



Здесь - представляет собой скорость движения центра масс системы частиц. Или перепишем это соотношение несколько иначе:

Мы обозначили - импульс системы частиц, M - суммарная масса всей системы.

Вспомним уравнение движения системы материальных точек под действием внешних сил:

Выразив из предыдущего уравнения и подставив результат сюда, получим:

Или иначе:

Обозначим - ускорение центра масс системы частиц, получим закон движения центра масс:

Центр масс системы движется, как точка с массой, равной всей массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, действующих на эту систему.

Закон движения центра масс системы:

Если система замкнута, то ее центр масс либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно.

Задачи по теме.

1. На дне закрытой пробирки сидит муха. Пробирка свободно падает, оставаясь в вертикальном положении. Как изменится продолжительность падения, если во время падения муха перелетит из нижней части пробирки в верхнюю?

2. На гладком горизонтальном столе находится сосуд массой М, который разделен непроницаемой перегородкой на две равные части. В левой части сосуда находится газ массой 2м, а в правой - газ массой 3м. Куда и на сколько сместится сосуд, если перегородку внезапно удалить?

2. Энергия частицы и системы частиц

1. Механическая работа

Пусть на частицу в точке А действует некоторая сила , при этом она проходит элементарный путь (рис. 25).

Здесь вектор (иначе еще его называют элементом траектории) направлен по касательной к траектории в точке А и по модулю равен пути ds, пройденному точкой вдоль траектории.

Рис. 25

Заметим, что эта величина не совпадает с элементарным перемещением точки А. При таком перемещении сила остается постоянной.

Назовем элементарной работой силы следующую величину:

Здесь - угол между вектором силы и элементом траектории, а - проекция вектора силы на направление вектора .

Если же сила изменяется при движении очки вдоль траектории, то работа в этом случае находится как сумма всех элементарных работ:

2. Центральные силы. Работа гравитационных сил

Центральной силой называется такая сила, которая зависит только от расстояния до некоторого центра О и всегда направлена по радиус-вектору движущейся точки относительно этого центра. В качестве примера такой силы рассмотрим силу гравитационного притяжения двух материальных точек массами m₁ и m₂ (рис. 26).

Рис. 26

Найдем работу такой силы при перемещении частицы массой m₂ из точки 1 в точку 2. Сила гравитационного взаимодействия имеет вид :

Элементарная работа этой силы

Внимание, здесь dr есть приращение модуля радиус-вектора , а не модуль перемещения.

Ищем теперь работу силы на всем пути частицы от точки 1 до точки 2:

3. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии

Если на тело действует некоторая сила , под действием которой тело совершает перемещение , то говорят, что сила совершает работу. Рассмотрим сначала одномерный случай движения тела под действием силы F_х вдоль оси Х.. Запишем уравнение движения тела для этого случая:

Умножим это уравнение слева и справа на величину перемещения dx .

Получим далее:

.

Рассмотрим выражение: . Можем теперь записать:

Выражение в правой части есть элементарная работа dA, а выражение, стоящее в левой части, есть приращение некоторой физической величины Е. Эту величину Е = назовем кинетической энергией тела. Кинетическая энергия тела это энергия его движения, следовательно ее нельзя запасать. Это выражение может быть обобщено на движение по траектории любого типа и, следовательно, получим общее выражение:

Мы получили теорему об изменении кинетической энергии тела:

Приращение кинетической энергии тела равно работе всех сил, совершающих работу.

4. Консервативные силы. Поле центральных сил

Если с каждой точкой пространства связана некоторая векторная величина, то говорят, что задано поле этой физической величины. Например, может быть задано поле сил тяжести и т.д. Если при перемещении частицы в некотором силовом поле работа не зависит от формы траектории, а только от начальной и конечной точки, то такое поле называется консервативным или потенциальным. Пусть в консервативном поле тело из точки 1 перемещается в точку 2 по произвольной траектории (рис. 27).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 27

Можно сформулировать свойство консервативности сил несколько иначе. Рассмотрим перемещение тела на замкнутом пути 1а2в1. Работа при этом может быть записана как:

А=А_1а2 + А_2в1

Можно увидеть, что из определения работы силы следует, что

А_2в1 = -А_1в2. Поэтому

А = А_1а2 - А_1в2

Работа в консервативном поле не зависит от формы траектории, следовательно А = 0. Получаем, что работа по замкнутому контуру в поле консервативных сил равна нулю.

5. Поле центральных сил

Мы уже давали определение центральных сил. Рассмотрим теперь работу в поле таких сил. Общий вид центральной силы может быть записан следующим образом (рис. 28):

Здесь - модуль центральной силы, - единичный вектор направления .

Рис. 28

Найдем работу этой силы на некотором пути из точки 1 в точку 2. По определению полной работы:

Здесь, как было показано выше, модуль приращения вектора перемещения. Видно, что эта работа не зависит от формы траектории, а только от положения начальной и конечной точки и, естественно, от вида функции . Следовательно, центральные силы являются консервативными.

6. Потенциальная энергия частицы в поле сил

Воспользуемся тем фактом, что работа консервативных сил не зависит от формы траектории, и введем новое физическое понятие потенциальной энергии частицы.

Рассмотрим поле консервативных сил, в котором частица совершает несколько последовательных независимых перемещений из некоторой начальной точки О в точки 1, 2 и 3 (рис. 29).

1 2 3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

0

Рис. 29

Так в консервативном поле работа не зависит от пути, то в данном случае работа зависит только от положения конечных точек пути 1, 2 и 3. Данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора частицы, проведенного из точки 0. Эту функцию и назовем потенциальной энергией частицы в произвольной точке пространства относительно начальной точки 0. Введем эту функцию по следующему правилу:

Найдем теперь работу консервативных сил при перемещении частицы из точки 1 непосредственно в точку 2, минуя точку 0.

А₁₂ = А₁₀ + А ₀₂

Это выражение запишем иначе:

А₁₂ = U₁ - U₂

Итак, потенциальной энергией частицы в поле консервативных сил называют такую функцию , убыль которой равна работе по перемещению частицы из одной точки пространства в другую. Видно, что введенная таким образом величина, является понятием относительным.

7. Потенциальная энергия и сила поля

В динамике при описании поведения частиц мы использовали понятие силы и второй закон Ньютона. Оказывается, что поведение частицы в консервативном поле можно описать на основе понятия потенциальной энергии.

Установим связь между потенциальной частицей в консервативном поле и силой, действующей на частицу в этом поле. Для элементарной работы можем записать:

Или иначе , тогда . Отсюда следует, что

В общем случае существует следующая связь силы с изменением потенциальной энергии:

В скобках стоит некий оператор (набла), который еще иначе называют градиентом (grad):

Поэтому связь силы и потенциальной энергии можно записать более компактно:

.

2. Механическая энергия частицы

1. Закон изменения и сохранения механической энергии частицы

Рассмотрим частицу, находящуюся в поле консервативных сил. Тогда все силы, действующие на частицу, можно разбить на две группы: силы, действующие на частицу со стороны этого поля и силы, не принадлежащие к этому полю (они могут быть как консервативными, так и диссипативными). Эти вторые силы назовем сторонними. Система, на которую действую сторонние силы, называют незамкнутой.

Как известно, все силы, действующие на частицу, изменяют ее кинетическую энергию:

С другой стороны, известно что:

Тогда первое уравнение принимает вид:

Перепишем его иначе:

Величину, стоящую в скобках, назовем механической энергией частицы:

Мы получили закон изменения механической энергии частицы:

Приращение механической энергии частицы равно работе сторонних сил, действующих на эту частицу.

Соответственно, можно сформулировать и закон сохранения механической энергии частицы:

В случае отсутствия сторонни сил, механическая энергия системы сохраняется.

2. Применение закона сохранения механической энергии частицы к анализу ее движения в консервативных полях

Рассмотрим одномерное движение частицы вдоль оси Х, если известен вид зависимости потенциальной энергии от координаты частицы (рис. 30):

Рис. 30

Поскольку сторонних сил нет, то выполняется закон сохранения механической энергии частицы W = E + U = const. Поскольку кинетическая энергия всегда больше нуля, то следует очевидное условие: W>U. Выберем некоторое значение механической энергии частицы (ему соответствует горизонтальная линия на рис. 30). Ясно, что частица может находиться только в области X₁ < X < X₂ . Такое движение называется финитным. Далее, из соотношения следует, что левее точки Х₀ на частицу действует сила, направленная вправо, а правее точки Х₀ - действует сила, направленная влево. В точке Х₀ сама сила равна нулю (это положение равновесия). Такая сила называется возвращающей и, следовательно, частица совершает колебательное движение.

Рассмотрим теперь поведение частицы в другом поле консервативных сил (рис. 31).

Рис. 31

Если задать значение механической энергии W₂, то в области Х₂ < X < X₃ частица будет совершать колебательное движение. В область, правее координаты Х₃ частица попасть вообще не сможет. Область типа Х₁ - Х₂ принято называть потенциальной ямой, а область типа Х₃ - Х₄ принято называть потенциальным барьером. Если же задать уровень механической энергии W₁, то частица уйдет на бесконечность. Такое движение называют инфинитным.

3. Потенциальная энергия системы частиц:

а) собственная потенциальная энергия системы;

Перейдем теперь к системе частиц. Рассмотрим систему, состоящую из N частиц, между которыми действуют внутренние центральные силы. По определению, такие силы являются консервативными. Положение каждой частицы в системе определяется с помощью радиус-вектора, заданного относительно некоторого начала отсчета.

Покажем, что независимо от выбора начала отсчета работа всех внутренних сил пре переходе системы частиц из одного положения в другое может быть описана с помощью некоторой функции, зависящей только от относительного расположения части системы, т.е. от ее конфигурации.

Поскольку работа является величиной аддитивной, то элементарная работа, которую совершают все внутренние силы взаимодействия при перемещении частиц, может быть записана в следующем виде:

dA = dA_1,2 + dA_1,3 +…….+ dA_1,N.

Причем, для каждой из этой пары консервативных сил выполняется следующее соотношение:

dA_i,k = = = .

Здесь - перемещение частицы i относительно частицы k.

Можем ввести некоторую функцию U_ik по следующему правилу:

Эта функция, зависящая только от взаимного расположения частиц системы, называется собственной потенциальной энергией этих двух частиц. Тогда величину

U_собств = U_1,2 + U_1,3 + ……..

Назовем собственной потенциальной энергией системы частиц.

Итак:

1) каждой конфигурации системы частиц соответствует свое значение собственной потенциальной энергии.

2) Работа всех внутренних консервативных сил при изменении конфигурации системы равна убыли собственной потенциальной энергии системы:

3)

б) внешняя потенциальная энергия системы

Рассмотрим теперь систему частиц, находящуюся во внешнем поле консервативных сил. Каждая частица системы в этом поле обладает некоторым значением потенциальной энергии U_i. Назовем внешней потенциальной энергией системы частиц сумму потенциальных энергий всех частиц, т.е. . Убыль внешней потенциальной энергии системы равна работе внешних сил:

.

3. Кинетическая энергия системы частиц

Назовем кинетической энергией системы частиц сумму кинетических энергий отдельных частиц системы . Тогда приращение кинетической энергии системы равно работе всех сил, действующих на эту систему: .

1. Связь между кинетическими энергиями системы частиц в разных системах отсчета

Рассмотрим систему N частиц, заданных с помощью радиус-векторов относительно некоторого начала отсчета 0. Тогда для кинетической энергии системы относительно этого начала можем записать:

Свяжем с центром масс этой системы подвижную систему отсчета, которая перемещается относительно точки 0 со скоростью . По закону сложения скоростей Галилея:

здесь - скорость i-ой частицы относительно центра масс системы.

Тогда кинетическая энергия системы относительно точки 0 равна:

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю, т.к. в системе центра масс сам центр масс покоится, следовательно:

.

Здесь М - масса всей системы частиц

Кинетическая энергия системы частиц складывается из кинетической энергии движения частиц относительно центра масс (относительного движения) и кинетической энергии всей системы, помещенной в центр масс, и движущейся со скоростью центра масс.

4. Механическая энергия системы

1. Закон изменения и сохранения механической энергии системы

Назовем механической энергией системы частиц сумму ее кинетической и потенциальной энергий. Если на систему действуют внешние и внутренние силы (потенциальные и не потенциальные), то механическая энергия системы изменяется по закону:

E + U = A_дисс

Здесь A_дисс есть суммарная работа всех диссипативных сил (внешних и внутренних). Если диссипативных сил нет, то выполняется закон сохранения механической энергии системы.

2. Соударение тел

Законы сохранения энергии и импульса могут быть использованы для нахождения связей между физическими величинами, описывающими движение тел.

В физике под столкновением в общем случае понимают процессы взаимодействия между телами, а не простое соприкосновение тел. Проходя друг относительно друга, тела взаимодействуют между собой посредством силовых полей (например, гравитационных). В результате этого могут происходить различные процессы - тела могут соединиться вместе ( неупругое соударение), могут остаться после удара два тела (упругий удар), тела могут просто изменить траекторию своего движения. Примером последнего взаимодействия может служить рассеяние - частиц на атомах вещества (опыт Резерфорда).

1. Абсолютно неупругий удар

Внешним признаком абсолютно неупругого удара является наличие двух тел после удара и одного, объединенного, тела после удара. Поскольку мы рассматриваем замкнутую систему, то выполняется закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии не выполняется, т.к. действую в системе диссипативные силы. При неупругом ударе часть механической энергии переходит в тепло.

Рассмотрим два шара массами m₁ и m₂, движущиеся со скоростями и . Мы будем иметь дело с центральным ударом, при котором векторы скорости шаров до и после удара направлены по линии, соединяющей центры шаров. После удара образуется тело массой (m₁ + m₂), движущееся со скоростью . Запишем закон сохранения импульса системы шаров:

Отсюда находим скорость образовавшегося тела после удара:

Рассчитаем потерю механической энергии (в данном случае только кинетической) в ходе этого процесса. Для этого найдем разность суммарной кинетической энергии тел до удара и кинетической энергии тела после удара:

.

После подстановки в это выражение значение скорости тела после удара, получим:

Видно, что по физическому смыслу это есть кинетическая энергия относительного движения шаров. Итак, при абсолютно неупругом ударе теряется кинетическая энергия относительного движения.

2. Абсолютно упругий удар

Рассмотрим замкнутую систему двух упругих шаров массами m₁ и m₂, движущихся со скоростями и . После центрального удара обозначим скорости шаров и .

Запишем закон сохранения механической (кинетической) энергии и закон сохранения импульса:

Для решения этой системы уравнений проделаем следующие преобразования:

Разделим почленно правые и левые части этой системы:

.

Выразим отсюда скорость второго шара после удара:

...