Плоскі контактні задачі термопружності для півпросторів з поверхневими нерівностями і термоопором

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

ПЛОСКІ КОНТАКТНІ ЗАДАЧІ ТЕРМОПРУЖНОСТІ ДЛЯ ПІВПРОСТОРІВ З ПОВЕРХНЕВИМИ НЕРІВНОСТЯМИ І ТЕРМООПОРОМ

ЧУМАК Костянтин Андрійович

Львів - 2011

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

термопружний півпростір теплопровідність нелінійний

Актуальність теми. Для сучасної техніки характерним є комбіноване навантаження вузлів і елементів машин та конструкцій, за якого значний вплив на їх контактну поведінку мають не лише механічні, а й температурні поля. Внаслідок термічних переміщень поверхонь тіл змінюється конфігурація ділянок контакту та розподіл контактних напружень. Тому для різних інженерних галузей зростає актуальність задач термопружної взаємодії тіл, що враховують контактний взаємовплив полів температури та деформацій за силового і теплового навантаження.

У природі та різноманітних конструкціях широко розповсюджені структури, взаємодія яких супроводжується локальною відсутністю контакту внаслідок нерівності поверхонь або дії механічних чи термічних чинників. Міжконтактні зазори (просвіти), які виникають під час цього, можуть заповнюватися теплопровідним середовищем. Ним, зокрема, може бути природна субстанція (газ, рідина), в якій перебувають спряжені тіла, або речовина функціонального призначення (мастило, охолоджувальна суміш). Наявність на поверхнях тіл тонких межових шарів, окисних і адсорбованих плівок, забруднень тощо зумовлює неідеальний тепловий контакт з термоопором. У разі шорсткості поверхонь контактний термоопір залежить від контактного тиску. Перелічені недосконалості границь та міжконтактна речовина істотно впливають на передачу зусиль і тепла між тілами через ділянки спряження, а внаслідок цього - на розподіл температури, напружень і переміщень в тілах, контактну міцність, жорсткість і провідність.

Проте на сьогодні відсутні комплексні дослідження термічного і термомеханічного контакту тіл з одночасним урахуванням нерівностей границь, поверхневого термоопору і заповнювача просвітів між тілами.

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню наукового завдання - розвинути методику дослідження термопружної взаємодії півпросторів, границі яких мають локальні недосконалості - виїмки, ділянки з термоопором і шорсткими поверхнями, та вивчити локальні й інтегральні контактні параметри таких тіл з урахуванням впливу теплопровідності заповнювача міжконтактних зазорів за теплового і механічного навантаження. Сформульоване завдання є актуальним для контактної механіки і відображає прикладні запити трибології, геофізики, авіа- і ракетобудування, енергетики та радіоелектроніки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Наукові результати, що містяться у дисертації, отримані автором згідно з індивідуальним планом підготовки аспіранта та в межах держбюджетної науково-дослідної теми Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за відомчим замовленням НАН України “Розвиток математичних методів контактної механіки складених тіл із геометричними і фізичними неоднорідностями границь за дії термодифузійних процесів та їх застосування в біомеханіці тканин” (2007-2010 рр., № держреєстрації 0106U006856).

Метою дисертації є встановлення якісних і кількісних закономірностей термомеханічної взаємодії пружних ізотропних півпросторів з поверхневими нерівностями, ділянками зі змінним контактним термоопором та за наявності теплопровідного середовища в просвітах між тілами. Досягнення цієї мети передбачає:

- формулювання контактних задач теплопровідності й термопружності для півпросторів, межі яких мають нерівності типу виїмок, локальні ділянки з термоопором та шорсткими поверхнями, з урахуванням заповнення міжконтактних зазорів теплопроникною субстанцією, та зведення цих задач до систем нелінійних сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь;

- розробку аналітично-числової методики знаходження розв'язку інтегро-диференціального рівняння типу Прандтля у класі функцій, які рівні нулю разом з першими похідними в крайніх точках відрізку інтегрування;

- побудову розв'язків низки нових контактних задач термопружності для тіл з заповненими теплопроникною речовиною міжконтактними зазорами, зумовленими поверхневими плиткими виїмками та розшаруванням на ділянках з термоопором, а також тіл, межа одного з яких має ділянку з шорсткими поверхнями або періодичну систему таких ділянок;

- якісний і кількісний аналіз залежності контактних термічних, деформаційних і силових параметрів спряжених тіл від теплопровідності заповнювача просвітів, термоопору, який змінюється вздовж поверхні або залежить від контактного тиску, густини і напряму теплового потоку та інтенсивності механічного навантаження.

Об'єктом дослідження є контактна взаємодія пружних тіл з поверхневими неоднорідностями.

Предметом дослідження є тепловий і термопружний безфрикційний контакт ізотропних півпросторів з урахуванням впливу поверхневих виїмок і термоопору, шорсткості границь та теплопровідного середовища в міжконтактних зазорах за дії термічних і механічних навантажень.

Методи досліджень. Для досягнення сформульованої мети в роботі використано метод комплексних потенціалів Колосова-Мусхелішвілі, метод функцій міжконтактних зазорів, метод послідовних наближень, аналітичні методи розв'язування сингулярних інтегральних рівнянь, аналітично-числові методи розв'язування інтегро-диференціального рівняння типу Прандтля, числові методи розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Наукова новизна роботи полягає у формулюванні задач про термопружний контакт півпросторів за наявності теплопроникного зазору між ними, що зумовлений поверхневою виїмкою або термомеханічним розшаруванням тіл, та за змінного контактного термоопору, розвинутій методиці їх розв'язування і отриманих результатах. В роботі

§ розроблено математичну модель теплового і механічного контакту тіл з локалізованими на окремих ділянках границь геометричними нерівностями та фізичними недосконалостями зі змінними вздовж межі параметрами, та сформульовано на цій основі новий клас плоских контактних задач термопружності для півпросторів з урахуванням впливу на теплопередачу між ними термоопору, локальних зазорів, заповнених теплопровідним середовищем, та шорсткості поверхонь;

§ запропоновано методику дослідження сформульованих задач, яка базується на:

- поданні напружень, переміщень та температури в тілах через функції висоти зазору та стрибка температури між поверхнями тіл на ділянці неідеального теплового контакту;

- зведенні задач до систем нелінійних сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь відносно цих функцій;

- формулюванні додаткових умов для визначення меж міжконтактного зазору;

- аналітично-числовій методиці розв'язування інтегро-диференціального рівняння типу Прандтля в класі функцій, що рівні нулю разом з першими похідними в крайніх точках відрізку інтегрування;

- застосуванні методу послідовних наближень до розв'язування систем нелінійних сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь;

§ побудовано аналітично-числові розв'язки нових контактних задач для тіл із заповненими теплопроникним середовищем міжконтактними зазорами, зумовленими виїмками та розшаруванням на ділянках з поверхневим термоопором;

§ досліджено контактну взаємодію тіл за наявності на межі одного з них ділянки з шорсткою поверхнею та періодичної системи таких ділянок;

§ з урахуванням ефекту напрямленості теплового потоку проаналізовано вплив форми виїмок, локального поверхневого термоопору, теплопровідності середовища в зазорах та інтенсивності термомеханічного навантаження на контактний тиск, форму зазорів, стрибок температури та розподіл теплових потоків на поверхнях тіл, інтегральний контактний термоопір.

Практичне значення отриманих результатів. Результати роботи формують теоретичне підґрунтя для якісного і кількісного опису взаємозв'язаних полів деформації і температури в реальних тілах зі змінними контактними параметрами, дають змогу прогнозувати вплив теплопровідності середовища в зазорах, межових плівок та шорсткості поверхонь на контактну поведінку технічних, природних і біологічних структур. Вони мають перспективу застосування в трибології, енергетиці, радіоелектроніці, геофізиці, біомеханіці та машинобудуванні для прогнозування міцності, жорсткості та герметичності контактних пар, які функціонують в умовах теплового і механічного навантаження, оцінювання контактного термоопору з'єднань за наявності поверхневих неоднорідностей і теплопровідного заповнювача міжконтактних просвітів. Деякі теоретичні і прикладні положення дисертації використано під час виконання держбюджетної теми і проекту з Цільової програми НАН України.

Вірогідність отриманих наукових результатів і висновків забезпечується використанням засад лінійної теорії теплопровідності і термопружності ізотропних середовищ; фізичною коректністю та математичною строгістю формулювань контактних задач; використанням апробованих аналітичних і числових методів; граничним переходом в отриманих розв'язках для порівняння з розв'язками простіших задач; відповідністю висновків фізичній суті вивчених явищ; збігом частинних результатів із відомими в літературі; якісним узгодженням дослідженого ефекту напрямленості теплових потоків з експериментальними даними.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 11 наукових праць, зокрема 5 статей [1-5] у фахових журналах і збірниках з переліку ВАК України. Основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. Науковому керівнику доктору фізико-математичних наук Мартиняку Р.М. належать визначення тематики досліджень, ідеї щодо формулювання і методів розв'язування задач, участь в обговоренні результатів. У працях [6, 9] Нагалка С.П. брав участь в апробації числових методів розв'язування системи інтегро-диференціальних рівнянь. У працях [1-8, 10, 11], опублікованих у співавторстві, дисертанту належить участь у постановці задач, розробка методики розв'язування та реалізація числових алгоритмів, аналіз залежностей контактних параметрів від вхідних даних задач, графічна візуалізація результатів та їх інтерпретація.

Апробація результатів. Результати досліджень за темою дисертації доповідались на 8-му міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові МСУІМЛ-8 (Львів, 2007), Міжнародній науково-технічній конференції „Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (Дніпропетровськ, 2007), II Міжнародній науковій конференції „Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 2008), V Міжнародній науковій конференції „Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Мелекіно, 2008), Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача (Львів, 2009), 8^th International Congress on Thermal Stresses, TS 2009 (Urbana-Champaign, USA, 2009), Міжнародній науковій конференції „Сучасні проблеми механіки” (Львів, 2009).

Дисертація у повному обсязі доповідалась та обговорювалась на семінарі відділу математичних проблем контактної механіки та на загальноінститутському семінарі „Математичні проблеми механіки руйнування та поверхневих явищ” в ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України; на науковому семінарі відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Дисертанту було присуджено премію Президента України для молодих вчених 2010 року за цикл праць „Контактна взаємодія тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням впливу тертя та міжконтактного середовища за силового і теплового навантаження”, в який ввійшли опубліковані за темою цієї дисертації праці.

Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, що містять 129 рисунків і 7 таблиць, висновків, списку літератури, що охоплює 279 найменувань, та двох додатків. Загальний обсяг дисертації - 139 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи та її зв'язок із науковою тематикою установи, в якій працює автор; сформульовано мету та задачі досліджень; охарактеризовано новизну, вірогідність та практичну значимість отриманих результатів; наведено дані про їх апробацію; вказано кількість публікацій за темою дисертації та особистий внесок здобувача; викладено короткий зміст роботи.

У першому розділі наведено огляд наукових праць, в яких вивчаються питання, близькі за напрямком до теми дисертації; висвітлено стан досліджень термопружної взаємодії тіл з поверхневими недосконалостями, окреслено місце роботи серед сучасних досліджень з цієї проблематики.

Другий розділ присвячений математичному моделюванню термопружного контакту тіл з поверхневими неоднорідностями - виїмками, ділянками з термоопором та ділянками з шорсткостями, за наявності теплопроникного середовища в зазорах між тілами. Сформульовано відповідні контактні задачі термопружності та викладено методику їх зведення до системи нелінійних сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь. Розроблено аналітично-числову методику розв'язування інтегро-диференціального рівняння типу Прандтля, що входить в отриману систему рівнянь, у класі функцій, рівних нулю разом з першими похідними в крайніх точках відрізку інтегрування.

Розглядається контактна взаємодія двох півпросторів, матеріали яких є пружними, ізотропними і характеризуються різними термомеханічними властивостями. Поверхня верхнього півпростору вздовж смуги шириною має плитку, пологу виїмку, форму якої описує парна неперервно-диференційована функція (рис. 1.а). Межа нижнього тіла є плоскою і має вздовж смуги шириною ділянку з поверхневим термоопором .

Півпростори вступають у контакт під дією заданих на нескінченності однорідних стискувальних зусиль і теплового потоку , перпендикулярних до поверхні їх розмежування (рис. 1.б). У тілах реалізується двовимірне стаціонарне поле температури і стан плоскої деформації. Зважаючи на це, розглядатимемо контакт двох півплощин і , утворених перетином півпросторів площиною, перпендикулярною до твірної виїмки. Щоб запобігти глобальному викривленню тіл, зумовленого тепловим потоком , до півплощин прикладено лінійно залежні від координати зусилля .

Внаслідок початкової нерівності границі півплощини відбуватиметься неповний контакт тіл, за якого в межах виїмки між ними буде зазор (просвіт) з невідомими довжиною та висотою (рис. 1.б). Вважаємо, що просвіт заповнений середовищем, коефіцієнт теплопровідності якого є малим порівняно з коефіцієнтами теплопровідності тіл , . У цьому разі вплив заповнювача зазору на контактний теплообмін між тілами моделюється термоопором . Згідно з правилом підсумовування послідовно з'єднаних термоопорів результуючий термоопір буде рівний сумі термоопору зазору та поверхневого термоопору : , причому при .

Поза ділянкою з термоопором відбувається ідеальний тепловий контакт тіл. Вважаємо, що заповнювач не чинить тиску на поверхні зазору. На ділянках прямого контакту тіл сили тертя відсутні.

Задача полягає у тому, щоб визначити стаціонарні температурні поля, напружено-деформований стан в тілах, довжину та висоту зазору.

Контактно-крайові умови сформульованої задачі, знесені на вісь , мають вигляд:

· на ділянках прямого механічного контакту

при , , при , ;

, ;

при , при ;(1)

· на ділянці міжконтактного зазору

, ;

, ;(2)

· на нескінченності

, ;

, , , .(3)

Тут , , _ модуль Юнга, коефіцієнт Пуассона та коефіцієнт лінійного теплового розширення матеріалу півплощини відповідно; індекси «» та «» вказують на граничні значення функції на осі у верхній і нижній півплощинах.

Для дослідження контактних задач термопружності для тіл з поверхневими нерівностями і термоопором застосовано метод функцій міжконтактних зазорів, згідно з яким напружено-деформований стан і температуру тіл подано через функції висоти початкового зазору між тілами (висоти виїмки), висоти актуального зазору та стрибка температури на ділянці з термоопором.

Задовольнивши контактно-крайові умови, отримаємо для визначення функцій та систему сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь (СІДР):

, ,(4)

, ,(5)

де ; ; _ термічна дистортивність (ТД) матеріалу, яка характеризує зміну кривини початково прямолінійного елементу, зумовлену перпендикулярним до нього стаціонарним тепловим потоком одиничної інтенсивності. Не обмежуючи загальності, надалі вважатимемо, що , тобто ТД півплощини є меншою, ніж ТД півплощини . Величина в правій частині рівняння (5) визначається так: , якщо напрям теплового потоку збігається з напрямом осі , тобто потік скерований від тіла з більшою ТД до тіла з меншою ТД (як на рис. 1.б); , якщо напрям теплового потоку протилежний до напряму осі , тобто потік скерований від тіла з меншою ТД до тіла більшою ТД .

Шукані функції та задовольняють умови

, ,(6)

, ,(7)

які випливають із неперервності переміщень та температури меж півплощин.

Внаслідок гладкості виїмки (неперервно-диференційованості функції ) виконуються умови плавного змикання берегів зазору:

, ,(8)

що забезпечують обмеженість контактних напружень.

Окрім того, повинні виконуватися умови одностороннього контакту:

, ; , , .(9)

Кожне з рівнянь системи СІДР (4), (5) містить дві шукані функції і , причому в друге рівняння системи входить відношення цих функцій. Тому система рівнянь (4), (5) є функціонально нелінійною, що, враховуючи невідомі межі зазору, робить неможливим побудову її аналітичного розв'язку.

Розглянемо більш детально рівняння (5). Це СІДР типу Прандтля відносно стрибка температури . У дисертаційній роботі розглянуто такі функції результуючого термоопору , які разом з їх похідними рівні нулеві на кінцях ділянки з термоопором . Для таких функцій відсутні ефективні аналітичні та наближені методи розв'язування СІДР типу Прандтля. Тому для знаходження розв'язку рівняння (5) розроблено аналітично-числовий підхід, що базується на обґрунтованій в праці Кіт Г.С. Модель пружно-динамічної взаємодії тонкостінного включення з матрицею в умовах антиплоского зсуву / Г.С. Кіт, В.Ф. Ємець, Я.І. Кунець // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1998. - 41, № 1. - С. 54-61. властивості розв'язку СІДР типу Прандтля: якщо функція та її похідна рівні нулеві в кінцевих точках відрізка інтегрування , то СІДР типу Прандтля (5) має розв'язок , обмежений разом з його похідною в цих точках:

, .(10)

Більше того, характер поведінки функції в околі точок є таким же, як і функції (функції і є асимптотично еквівалентними):

, або ~, , .(11)

Виходячи з асимптотичної еквівалентності в околі кінців ділянки з термоопором функцій стрибка температури та контактного термоопору , введемо функцію

, .(12)

Хоча функція рівна нулю при , залишається обмеженою в цих точках , оскільки виконується умова (11).

Подавши функцію у вигляді рівномірно збіжного на ряду Фур'є за поліномами Чебишева першого роду, наближено шукаємо її у вигляді суми

,(13)

де ? невідомі коефіцієнти розвинення.

Врахувавши співвідношення (12) і (13) у рівнянні типу Прандтля (5), перетворимо його у сингулярне інтегральне рівняння (СІР) відносно функції

, .(14)

Зважаючи на умови (10), визначаємо обмежений на розв'язок СІР (14)

, ,(15)

який існує за виконання додаткової умови на праву частину цього рівняння

.(16)

З цієї умови отримаємо значення нульового коефіцієнта розкладу .

Інтегруючи функцію від до з урахуванням першої з умов (7), визначимо стрибок температури між берегами зазору

, .(17)

У виразах (15) і (17) _ поліноми Чебишева другого роду.

У подання (17) входять невідомих коефіцієнтів апроксимації (13) функції . Для їх визначення підставимо у (12) термоопір і стрибок температури (17) та апроксимацію (13), врахувавши попередньо в ній значення коефіцієнта . У результаті отримаємо рівність, задовольнивши яку в заданій системі точок колокацій (перших нулях полінома Чебишева ), прийдемо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів .

Розв'язавши цю систему, визначаємо значення коефіцієнтів , врахуваши які у формулах (13) та (17), остаточно знайдемо функції та .

На основі запропонованої моделі термопружного контакту півпросторів з локальними недосконалостями границь, яка враховує наявність теплопроникного середовища в міжконтактних просвітах, сформульовано три класи плоских контактних задач термопружності для тіл з трьома різними видами поверхневих неоднорідностей - виїмками, ділянками з термоопором і ділянками з шорсткостями. У дисертації кожному з цих класів задач присвячено окремий розділ.

У третьому розділі досліджується термопружна взаємодія двох півплощин і , коли межа містить виїмку, а на межі відсутні будь-які поверхневі неоднорідності . Під час контакту тіл між ними буде зазор з невідомими довжиною та висотою , який вважається заповненим теплопроникним середовищем (рис. 2). У цьому разі термоопір визначається лише термоопором зазору: . Такий клас контактних задач зводиться до системи нелінійних СІДР відносно висоти зазору та стрибка температури між його берегами, яку записано у безрозмірному вигляді:

,(18)

, .(19)

В (18), (19) введено такі безрозмірні величини: , , , , , , , , , , .

Межі інтегрування рівнянь (18) та (19) є однаковими, оскільки ділянка неідеального теплового контакту та ділянка зазору збігаються.

Шукані функції повинні задовольняти умови

, , , .(20)

Подальше дослідження взаємодії тіл потребує задання конкретної форми виїмки. Розглянемо виїмку, форму якої описує функція .

Спершу в третьому розділі вивчено контакт тіл, матеріали яких мають однакові ТД . У цьому разі в рівняння (18) не входить стрибок температури (температура не впливає на висоту зазору), і тому рівняння системи (18), (19) незв'язані і розв'язуються почергово. Розв'язавши рівняння (18) при аналітично з урахуванням умов (6) і (8), знайдемо функцію та півдовжину зазору :

, , .(21)

За відомої висоти зазору стрибок температури знайдено з СІДР типу Прандтля (19) за допомогою методики, розробленої в другому розділі.

Цю методику використано і для знаходження розв'язку системи (18), (19) у разі неоднакових ТД. Згідно з нею введемо обмежену на відрізку функцію

, (22)

та підставимо її замість в рівняння типу Прандтля (19). З іншого боку, виразимо з (22) функцію через і і підставимо її в рівняння (18). У результаті такого перетворення система (18), (19) набуде вигляду

, ,(23)

, .(24)

Рівняння (23) та (24) пов'язані лише через функцію , причому СІР (18) трансформували в СІДР типу Прандтля (23), а СІДР типу Прандтля (19) _ в СІР (24).

Для розв'язування системи рівнянь (23), (24) застосуємо метод послідовних наближень. Зафіксувавши певну довжину зазору з можливого діапазону її зміни , інтенсивність теплового потоку та коефіцієнт теплопровідності заповнювача , -ті наближення , , функцій висоти просвіту , стрибка температури та зовнішнього тиску шукаємо з системи СІДР

, ,(25)

, , (26)

за умов

, , , ,(27)

де , ,

При система (25), (26) є такою ж, як і у разі однакових ТД тіл, коли температура не впливає на висоту зазору. Кожне наступне наближення функції висоти зазору шукаємо з СІДР типу Прандтля (25) за допомогою методу колокацій. Значення знайдено з другої умови в (27). Функція , як розв'язок СІР (26), має вигляд (17). За критерій зупинки ітераційного процесу вибирали одночасне виконання умов , . У результаті для заданої трійки , , знаходимо висоту зазору , стрибок температури та зовнішнє навантаження , за якого довжина зазору рівна . Надаючи , і різних значень з діапазонів їх зміни, матимемо вичерпне уявлення про контактну поведінку системи. Усі обчислення проведено для максимальної висоти виїмки та співвідношення між ТД матеріалів тіл . На рис. 3-6 суцільні криві відповідають напряму теплового потоку до тіла з меншою ТД, штрихові криві - тепловому потоку до тіла з більшою ТД. Виявлено, що у разі теплового потоку до тіла з більшою ТД довжина і висота зазору зростають зі зменшенням теплопровідності заповнювача і завжди є більшими, ніж довжина і висота зазору, який виникає за лише механічної взаємодії тіл. Якщо тепловий потік напрямлений до тіла з меншою ТД, то термічні деформації зменшують просвіт, причому зі зменшенням висота і довжина зазору зменшуються.

Розподіл термоопору зазору за різних значень коефіцієнта теплопровідності заповнювача , силового навантаження інтенсивності та теплового потоку густини ілюструє рис. 3. Бачимо, що кількісно термоопір зазору суттєво залежить від напряму теплового потоку, тобто у разі заповненого зазору проявляється ефект напрямленості теплового потоку. Цей ефект раніше виявлений експериментально і був теоретично обґрунтований для всього діапазону зміни термомеханічного навантаження лише для випадку контакту тіл у вакуумі. З рисунка видно, що ефект напрямленості сильніше проявляється зі зменшенням теплопровідності заповнювача.

Вплив теплопровідності міжконтактної субстанції на розподіл поздовжньої та нормальної компонент вектора теплового потоку на межі нижньої півплощини зображено на рис. 4 і 5 відповідно. Максимальні значення та досягаються на ділянці зазору поблизу його краю, та на кінцях зазору відповідно, і зростають зі зменшенням теплопровідності середовища в просвіті. Мінімальне значення , що спостерігається в центрі просвіту, спадає разом із теплопровідністю заповнювача. З віддаленням від зазору асимптотично прямує до , а рівна нулеві поза зазором.



Рис. 6 ілюструє вплив густини та напряму теплового потоку на розподіл контактного тиску , де , . Контактний тиск досягає максимуму у крайніх точках виїмки, де крива його розподілу має злам, що пов'язано з розривом кривини межі півплощини у кінцях виїмки. Хоча за різних ТД матеріалів тиск залежить від термічних деформацій, вплив на теплового потоку у разі його напряму до тіла з меншою ТД (суцільні криві) є практично невідчутним. У випадку протилежного напряму теплового потоку (штрихові криві) його вплив стає відчутним, причому, чим більшим є значення , тим меншим є максимальне значення контактного тиску. Виявлено, що зміна коефіцієнта теплопровідності заповнювача неістотно впливає на контактний тиск.

Відомо, що для аналітичних розв'язків контактних задач термопружності, побудованих за умов ідеального теплового контакту на ділянках спряження та теплоізоляції поверхонь поза цими ділянками, властива фізична некоректність - контактний тиск і висота міжповерхневого зазору набувають від'ємних значень в околі його кінців у разі теплового потоку до тіла з меншою ТД (тобто не виконуються умови одностороннього контакту тіл (9)). Окрім цього, теплові потоки є необмеженими на контурі ділянки спряження. Виконані розрахунки показали, що модель теплопроникного зазору з плавним змиканням берегів дозволяє побудувати фізично коректний розв'язок контактної задачі: висота зазору та контактний тиск є невід'ємними для широкого діапазону зміни термомеханічного навантаження (рис. 3 і рис. 6), а теплові потоки мають скінченні значення в крайніх точках зазору (рис. 4 і рис. 5).

Також досліджено термопружний контакт півплощин за наявності між ними теплопроникного зазору, зумовленого виїмкою форми .

Четвертий розділ присвячений дослідженню явища термопружного розшарування на ділянці неідеального теплового контакту з урахуванням впливу теплопроникного заповнювача утвореного зазору. При формулюванні контактних задач цього класу вважається, що межа півплощини не містить виїмки , а на межі тіла наявна ділянка зі змінним поверхневим термоопором .

Спочатку розглянуто термоопір, розподіл якого на ділянці описує функція , де . Виявлено, що у цьому разі за теплового потоку, який скерований до тіла з більшою ТД і перевищує деяке критичне значення, на частині ділянки недосконалого теплового контакту виникатимуть розтягувальні нормальні контактні напруження (тобто порушуються умови одностороннього контакту (9)). Фізично це означає, що на деякій частині ділянки з термоопором відбудеться розшарування і утвориться зазор (рис. 7). Вважається, що середовище в просвіті між тілами є теплопроникним. Результуючий контактний термоопір рівний сумі поверхневого термоопору і термоопору зазору , та , .

Така контактна задача зводиться до системи нелінійних СІДР відносно висоти зазору , що утворився, та стрибка температури на ділянці з термоопором:

, ;(28)

, .(29)

Відмінності системи рівнянь (28), (29) від системи рівнянь (18), (19) такі: межі інтегрування рівнянь (28) та (29) є різними, що спричинено неоднаковою довжиною ділянок неідеального теплового контакту та локалізації зазору; функція , яка входить в друге рівняння системи, містить не лише функцію термоопору зазору , але й поверхневого термоопору .

Для знаходження розв'язку системи (28), (29) розроблено таку методику. Розглянуто підростання зазору від його зародження до такої довжини, що не перевищує довжини ділянки з термоопором: . Зафіксовано набір дискретних значень довжин зазору з такого діапазону і почергово вибрано рівним одному з цих значень. Задано значення з певного діапазону зміни теплового потоку та коефіцієнт теплопровідності заповнювача . Для такої трійки , , систему (28), (29) розв'язуємо методом послідовних наближень.

За початкове наближення і функцій висоти зазору та стрибка температури вибрано такі їх значення, що фізично відповідають повному контакту тіл. Тоді , оскільки зазор відсутній, а функцію визначаємо з СІДР типу Прандтля

, ().(30)

Кожна наступна -та ітерація будується за поданою нижче схемою. Записуємо систему СІДР для функцій , :

, ;(31)

, , ,(32)

де рівняння (31) в правій частині містить визначений на попередньому кроці ітераційного процесу стрибок температури .

Визначивши розв'язок СІР (31), який задовольняє умовам , , знайдемо -ті наближення висоти зазору та тиску .

Розв'язки рівнянь типу Прандтля (30) і (32) знаходимо за допомогою аналітично-числового підходу, розробленого в другому розділі.

Усі обчислення проведено для та .

Вплив теплопровідності міжконтактного середовища на висоту зазору та стрибок температури на ділянці з термоопором за термомеханічного навантаження інтенсивності , зображено на рис. 8 і 9 відповідно. Бачимо, що чим краще заповнювач зазору проводить тепло, тим меншою буде довжина і висота зазору та стрибок температури між межами півплощин.

Рис. 10 ілюструє розподіл контактного тиску поверхонь тіл при за вибраного термомеханічного навантаження. Штрихова крива побудована за припущення про повний контакт (відсутність зазору), за якого на частині ділянки з термоопором виникає від'ємний контактний тиск, тобто порушуються умови (9). Якщо ж врахувати явище розшарування, то контактний тиск при буде відсутнім, а поза зазором () контактний тиск є додатнім та зростає, асимптотично прямуючи до . На відміну від випадку зазору, зумовленого виїмкою, коли зміна теплопровідності заповнювача практично не впливає на контактний тиск, цей вплив є істотним у разі зазору, який утворився внаслідок розшарування, причому контактний тиск зростає разом з коефіцієнтом теплопровідності міжконтактного середовища .

У четвертому розділі також вивчено термопружне розшарування тіл, зумовлене змінним поверхневим термоопором на ділянці , з урахуванням впливу теплопровідності заповнювача зазору.

У п'ятому розділі досліджено термопружну взаємодію півплощин за наявності на межі однієї з них ділянок з шорсткими поверхнями, які зумовлюють неідеальність теплового контакту. Їх вплив на теплообмін між півплощинами на макрорівні, згідно з теорією термічного контакту шорстких тіл Шлыков Ю.П. Контактное термическое сопротивление / Ю.П. Шлыков, Е.А. Ганин, С.Н. Царевский. ? М.: Энергия, 1977. - 328 с., будемо враховувати контактним термоопором, обернено пропорційним до тиску шорстких поверхонь : , де _ функція, що описує неоднорідність розподілу мікронерівностей вздовж поверхні. Спершу розглянуто випадок однієї ділянки з шорсткістю (рис. 11), коли . Задачу зведено до одного нелінійного СІДР відносно стрибка температури між шорсткими поверхнями

. (33)

Для його розв'язування розроблено ітераційний алгоритм, на кожному кроці якого використовується запропонована в другому розділі аналітично-числова методика знаходження розв'язку рівняння типу Прандтля у класі функцій, що рівні нулю разом з першими похідними у крайніх точках відрізку інтегрування. Виявлено, що чим більшою є густина теплового потоку та чим меншою є інтенсивність силового навантаження, тим більшим є вплив шорсткості на розподіл контактного тиску і стрибка температури, причому цей вплив є завжди більшим у випадку теплового потоку до тіла з більшою ТД.

Далі досліджено контакт двох півплощин з шорсткими поверхнями на періодичній системі ділянок завдовжки кожна, які розташовані вздовж усієї межі з періодом . Врахувавши періодичність задачі, задачу звели до СІДР з ядром Гільберта , яке в свою чергу за допомогою відповідної заміни змінних було зведено до СІДР з ядром Коші вигляду (33).

На рис. 12 зображено вплив густини та напряму теплового потоку на розподіл контактного тиску вздовж ділянки (). Криві на рис. 13 побудовані для значення відношення , яке характеризує частину поверхні, що є шорсткою, та , . Суцільні криві відповідають напряму теплового потоку до тіла з меншою ТД, штрихові - до тіла з більшою ТД. З віддаленням від центра шорсткої ділянки до її краю контактний тиск монотонно спадає у випадку потоку до тіла з меншою ТД та монотонно зростає у разі протилежного напряму теплового потоку. Поза шорсткими ділянками, де границі є гладкими і реалізується їх ідеальний тепловий контакт, контактний тиск є постійним. Чим більша густина , тим суттєвіше відхилення контактного тиску від тиску , який виникає за чисто механічної взаємодії тіл, причому це відхилення є завжди більшим у випадку теплового потоку до тіла з більшою ТД.

Інтегральний вплив періодичної системи шорстких ділянок на температуру півплощин є відчутним в обох тілах навіть на далеких відстанях від лінії спряження і проявляється у вигляді додаткового стрибка температури між ними. В технічній літературі цей стрибок називають ефективним. У дисертації показано, що в разі періодичної системи шорсткостей стрибок рівний усередненому по періоду стрибку температури. Рис. 13 ілюструє залежність безрозмірного від двох параметрів - густини потоку та значення . Бачимо, що за фіксованого стрибок є завжди більшим у випадку теплового потоку до тіла з більшою ТД порівняно з випадком теплового потоку до тіла з меншою ТД, причому, чим більше значення , тим більшою є ця різниця. Для обох напрямів теплового потоку стрибок зростає разом з . Що більше відношення , то більше значення .

З графіків на рис. 13 випливає, що ефективний стрибок температури нелінійно залежить від густини теплового потоку. Тому інтегральний контактний термоопір тіл з періодично розташованими вздовж границі шорсткими ділянками є функцією теплового потоку і визначається для кожного значення теплового потоку як похідна .

Залежність інтегрального контактного термоопору від густини і напряму теплового потоку для двох значень відношення зображено на рис. 14. Криві яскраво демонструють ефект напрямленості теплового потоку: у випадку теплового потоку до тіла з більшою ТД термоопір зі збільшенням густини потоку монотонно зростає, а у разі протилежного напряму теплового потоку - спадає. Чим більше відношення (тобто, чим більша частина поверхні є шорсткою), тим суттєвіше проявляється ефект напрямленості та тим більшим є значення .

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв'язано наукове завдання - розвинути методику дослідження термопружної взаємодії півпросторів, границі яких мають локальні недосконалості: виїмки, ділянки з термоопором і шорсткими поверхнями, та вивчити на цій основі локальні й інтегральні контактні параметри таких тіл з урахуванням теплопровідного заповнювача міжконтактних зазорів за теплового і механічного навантаження. Отримано такі основні наукові результати:

1. Здійснено формулювання нових плоских контактних задач термопружності для півнескінченних тіл з локальними геометричними недосконалостями і фізичними неоднорідностями границь з урахуванням теплопровідності середовища в міжповерхневих зазорах.

2. Розроблено методику розв'язування сформульованих контактних задач, яка передбачає:

· подання температури, напружень і переміщень в тілах через функції висоти міжповерхневого зазору та стрибка температури, зумовленого термоопором;

· зведення задач до систем нелінійних сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь відносно цих функцій;

· розвиток аналітично-числового підходу до розв'язування інтегро-диференціального рівняння типу Прандтля у класі функцій, які рівні нулю разом зі своїми першими похідними в крайніх точках відрізку інтегрування;

· розробку ітераційних процедур розв'язування систем отриманих нелінійних сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь.

3. Використовуючи розроблену методику, побудовано аналітично-числові розв'язки плоских контактних задач для півпросторів з міжповерхневими просвітами, які зумовлені виїмками різного профілю (, , ) та заповнені теплопроникною субстанцією. Встановлено наступне:

· кількісно термоопір заповненого зазору суттєво залежить від напряму теплового потоку, тобто проявляється ефект напрямленості;

· зі зменшенням теплопровідності заповнювача термоопір зазору спадає для обох напрямів теплового потоку, водночас висота і довжина зазору зростають у випадку теплового потоку до тіла з більшою термічною дистортивністю та спадають у випадку протилежного напряму теплового потоку;

· зміна коефіцієнта теплопровідності заповнювача просвіту та густини теплового потоку у разі його напряму до тіла з меншою дистортивністю неістотно впливає на розподіл контактного тиску. Якщо тепловий потік має протилежний напрям до зазначеного, то вплив густини теплового потоку є відчутним;

4. Досліджено явище термопружного розшарування двох півпросторів на ділянці зі змінним вздовж межі поверхневим термоопором, описаним функціями та , , за заповнення утвореного міжконтактного зазору теплопроникним середовищем. Проаналізовано вплив теплопровідності заповнювача просвіту на розподіл контактних переміщень, напружень, температури та теплових потоків. Виявлено, що

· зі зменшенням теплопровідності середовища в зазорі збільшуються його висота і довжина, а також стрибок температури між поверхнями тіл;

· збільшення теплопровідності заповнювача зумовлює збільшення контактного тиску поверхонь тіл.

5. Вивчено термомеханічну взаємодію двох тіл з шорсткими поверхнями на одній ділянці або періодичній системі ділянок. Проаналізовано вплив густини і напряму теплового потоку, інтенсивності силового навантаження та відношення довжини ділянки з шорсткою поверхнею до періоду на контактну поведінку системи. Встановлено наступне:

· зі зростанням густини теплового потоку контактний тиск на шорстких ділянках збільшується у випадку теплового потоку до тіла з меншою термічною дистортивністю та зменшується у випадку теплового потоку до тіла з більшою дистортивністю;

· чим менші стискальні зусилля прикладені до тіл, тим суттєвіше відхилення контактного тиску, спричинене недосконалим тепловим контактом на шорстких ділянках, від постійного тиску, який виникає під час взаємодії тіл за відсутності теплового навантаження;

· під час контакту тіл з періодично розташованими на межі одного з них шорсткими ділянками

- ефективний стрибок температури між тілами нелінійно залежить від густини теплового потоку, зростаючи разом з ним, та завжди є більшим у разі теплового потоку до тіла з більшою термічною дистортивністю порівняно з потоком до тіла з меншою дистортивністю;

- інтегральний контактний термоопір зі збільшенням густини теплового потоку зростає, якщо потік скерований до тіла з більшою термічною дистортивністю, і спадає, якщо потік має протилежний напрям;

- що більша частина поверхні є шорсткою, то більшими є ефективний стрибок температури між тілами та інтегральний контактний термоопір.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ ВІДОБРАЖЕНО У ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Мартиняк Р.М. Термопружний контакт півпросторів, що мають однакові термічні дистортивності, за наявності теплопроникного міжповерхневого просвіту / Р.М. Мартиняк, К.А. Чумак // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2008. -51, № 3. - С. 163-175.

2. Мартыняк Р.М. Неполный контакт полупространств при воздействии теплового потока, направленного к материалу с меньшей термической дистортивностью / Р.М. Мартыняк, К.А. Чумак // Теор. и прикл. механика. - 2008. - Вып. 43. - С. 9-15.

3. Чумак К.А. Вплив теплопровідності заповнювача міжповерхневого просвіту на термопружний контакт тіл за теплового потоку, спрямованого до матеріалу з більшою термічною дистортивністю / К.А. Чумак, Р.М. Мартиняк // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні технології. - 2009. - Вип. 9. - С. 160-169.

4. Мартиняк Р.М. Термопружне розшарування тіл за наявності теплопроникного заповнювача міжконтактного просвіту / Р.М. Мартиняк, К.А. Чумак // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2009. - 45, №4. - С. 45-52.

5. Мартыняк Р.М. Термоупругость контактной пары при наличии шероховатости на локальном участке сопряженных поверхностей / Р.М. Мартыняк, К.А. Чумак // Теор. и прикл. механика. - 2009. - Вып. 45. - С. 32-38.

6. Мартиняк Р.М. Термічний контакт пружних півпросторів за наявності теплопроникного заповнювача міжповерхневого просвіту / Р.М. Мартиняк, К.А. Чумак, С.П. Нагалка // 8-й Міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові: тези доповідей (МСУІМЛ - 8, Львів, 23-25 травня 2007 р.). - Львів: НУ “Львівська політехніка”, 2007. ? С. 68-69.

7. Мартиняк Р.М. Неповний контакт півпросторів за теплового потоку, спрямованого в бік матеріалу з меншою термічною дистортивністю / Р.М. Мартиняк, К.А. Чумак // Міжнародна науково-технічна конференція „Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій”: тези доповідей (Дніпропетровськ, 17-19 жовтня 2007 р.). - Дніпропетровськ: ДНУ, 2007. ? С. 51-53.

8. Мартиняк Р.М., Чумак К.А. Вплив напряму теплового потоку на термомеханічну взаємодію тіл за локальної відсутності контакту / Р.М. Мартиняк, К.А. Чумак // II Міжнародна наукова конференція „Сучасні проблеми механіки та математики”: матеріали конференції. Т. 2 (Львів, 25-29 травня 2008 р.). - Львів: ІППММ ім. Я.С. Підстригача, 2008. - С. 63-65.

9. Чумак К.А. Термомеханічна поведінка спряжених тіл за локальної недосконалості теплового контакту / К.А. Чумак, С.П. Нагалка // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача: тези (Львів, 25-27 травня 2009 р.). - Львів: ІППММ ім. Я.С. Підстригача, 2009. - С. 97-98.

10. Martynyak R. Thermoelastic contact of two half-spaces for the case of heat flowing into material of smaller distortivity / R. Martynyak, R. Shvets, K. Chumak // 8^th International Congress on Thermal Stresses: proceedings (TS 2009, Urbana-Champaign, USA, 1-4 June 2009). _ Urbana-Champaign: University of Illinois at Urbana-Champaign, 2009. - P. 299-302.

11. Чумак К.А. Контактна задача термопружності для тіл із залежним від тиску термоопором на локальних ділянках / К.А. Чумак, Р.М. Мартиняк // Міжнародна наукова конференція „Сучасні проблеми механіки”: тези доповідей (Львів, 7-9 грудня 2009 р.). - Львів: ЛНУ ім. І. Франка, 2009. - С. 35.

Размещено на Allbest.ru

...