Вычисление моментов инерции плоских фигур. Косой изгиб конструкций

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Вычисление моментов инерции плоских фигур

1.1 Вычисление моментов инерции и моментов сопротивления для простейших сечений

Мы назвали моментом инерции сечения относительно нейтральной оси интеграл такого же вида:

Здесь z-расстояние элементарной площадки от нейтральной оси; суммирование охватывает всю площадь сечения. Покажем в качестве примера вычисление этого интеграла для прямоугольника (рис 7.1) высотой h и шириной b. Проведем через его центр тяжести О оси симметрии Оz и Oy. Если внешние силы, действующие на балку лежат на плоскости Оz, то нейтральной ось будет ось Oy. Найдем относительно этой оси сначала момент инерции, а потом и момент сопротивления площади прямоугольника.

Площадки , на которые следует разбить всю площадь сечения, выберем в виде узких прямоугольников шириной b и высотой dz (рис. 7.1). Тогда

И интеграл принимает вид:



Чтобы взять интеграл по всей площади прямоугольника, следует z менять от до , тогда

=.

Момент сопротивления относительно нейтральной оси Оу мы получим, разделив на :

Если бы нам нужно вычислить момент инерции и момент сопротивления прямоугольника относительно оси Oz ,то в полученных формулах следовало бы b и h поменять местами:

,

(7.1)

Заметим что сумма произведений не изменится, если мы сдвинем все полоски (рис. 7.1) параллельно самим себе так, что они расположатся в пределах параллелограмма АВСD (рис. 7.2).



Таким образом, момент инерции параллелограмма АВСD относительно оси у равен моменту инерции равновеликого ему прямоугольника АВGE:

(7.2)

При вычислении момента инерции круга r (Рис. 7.3)также разбиваем площадь на узкие полоски размером dz вдоль оси Оz; ширина этих полосок b=b(z) тоже будет равна переменной по высоте сечения. Элементарная площадка

.

Момент инерции равен:

Так как верхняя и нижняя половины сечения одинаковы, то вычисление момента инерции достаточно провести для одной нижней и результат удвоить. Пределами для изменения z будут 0 и r:



Введем новую переменную интегрирования -угол ? (Рис. 7.3);

,

Пределы: при z=0 ?=?, при z=r ?=0, следовательно,

=(7.3)

.

Для треугольника (Рис. 7.4) момент инерции относительно оси АВ равен

;),

.

В следующей главе будет показано ,как вычислять момент инерции для сечения любой сложной формы относительно любой оси .

На практике из симметричных сечений встречаются чаще всего: для дерева - прямоугольник и круг, для металлов - двутавровое и тавровое сечение (Рис. 7.6). Для прокатных профилей можно пользоваться таблицами ОСТ (сортамент), в которых помещены размеры и величины J и W для профилей выпускаемых заводами. Эти таблицы помещены в приложении IX и использование ими показано на примере в следующем параграфе.

В балках из металла обычно применяются сложные поперечные сечения, потому что в них материал может быть использован экономичнее чем в таких сечениях, как прямоугольник и круг.

Часто валы делают полыми, чтобы удалить ту часть материала, которая слабо работает. При изгибе балок материал около нейтральной оси принимает на себя малые нормальные напряжения и также не может быть использован полностью. Поэтому целесообразнее переделать прямоугольное сечение так, чтобы удалить материал у нейтральной оси и часть его сэкономить, а часть перенести в верхнюю и нижнюю зоны балки, где он будет работать более интенсивно. Так получается (Рис. 7.5) из прямоугольного сечения профиль двутавра, обладающего той же прочностью и меньшим весом. Применение двутавра целесообразно при материалах, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (большинство металлов).

Сечения в виде тавра применяются или в тех случаях, вызываемых специальными конструктивными обстоятельствами, или для таких материалов как чугун, бетон, у которых сопротивления растяжению и сжатию резко разнятся между собой; последнее обстоятельство требует, чтобы напряжения в крайних волокнах были различными .

Как видно из изложенного, при решении вопроса о наиболее экономичном проектировании сечения следует стремиться к тому чтобы при одной площади F получить наибольший момент сопротивления и момент инерции. Это ведет к размещению большей части материала подальше от нейтральной оси.



Однако для некоторых сечений можно увеличить момент сопротивлении не добавлением, а, наоборот, путем срезки некоторой части сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.

Так, например, для круглого сечения срезка заштрихованных сегментов (Рис. 7.7)несколько увеличивает момент сопротивления, так как при этом мы уменьшаем момент инерции в меньшей степени, чем расстояние до крайнего волокна .

1.2 Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений

При проверке частей конструкций нам приходится встречаться с сечениями довольно сложной формы, для которых нельзя вычислять моментов инерции таким простым путем, каким мы пользовались для прямоугольника и круга.

Таким сечением может быть, например, тавр (Рис. 7.8, а), кольцевое сечение трубы, работающей на изгиб (авиационные конструкции) (Рис. 7.8, б), кольцевое сечение шейки вала или ещё более сложное сечение (Рис. 7.8, в). Все эти сечения можно разбить на простейшие, как-то: прямоугольники, треугольники, круги и т.д. Можно сказать что момент инерции такой сложной фигуры является суммой моментов инерции частей, на которые мы её разбиваем.



Возьмем (Рис. 7.9) какую угодно фигуру, изображающую поперечное сечение балки; в её плоскости проведена ось у - у .Момент инерции этой фигуры относительно у-у равен: ,где z расстояние элементарных площадок dF до оси у-у.

Разобьем взятую площадь на четыре части: ,,, .

Теперь при вычислении момента инерции можно сгруппировать слагаемые в подынтегральной функции так, чтобы отдельно произвести суммирование для каждой из выделенных четырех площадей, а затем эти суммы сложить. Величина интеграла от этого не изменится.

Наш интеграл разобьется на четыре интеграла, каждый из которых будет охватывать одну из площадей F1, F2,F3 или F4:

Каждый из интегралов представляет собой момент инерции соответствующей части площади относительно оси у - у; поэтому

где момент инерции относительно оси у -у площади , - то же для площади и т д.

Полученный результат можно формулировать так: момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных её частей.

Поэтому, чтобы вычислить например, момент инерции сечения, изображенного на Рис. 7.8, в, относительно оси Оу, необходимо найти моменты инерции прямоугольников и треугольников относительно оси Оу и затем сложить их. Таким образом, нам необходимо уметь вычислять момент инерции любой фигуры относительно любой оси, лежащей в её плоскости. Решение этой задачи и составляет содержание настоящей главы.

1.3 Подбор сечения балок по допускаемым нагрузкам

Все предыдущее изложение было построено на методе подбора сечения и проверки прочности балок по допускаемым напряжениям. Но уже на примере скручиваемого стержня мы видели, что при неравномерном распределении напряжений по сечению метод подбора размеров сечения по допускаемым нагрузкам даёт иной результат. Подобный же случай мы имеем и при изгибе. В методе расчета по допускаемым напряжениям мы пользовались для подбора сечения балок условием:

.

Здесь для материалов, имеющих площадку текучести (мягкая сталь), было равно

Где - предел текучести, а - соответствующий коэффициент запаса.

Таким образом, опасным мы представляем себе здесь то состояние, когда наибольшее напряжение в опасном сечении балки дойдет до предела текучести. Изгибающий момент при этом состоянии назовем дойдет до предела текучести. Изгибающий момент при этом состоянии назовем дойдет до предела текучести. Изгибающий момент при этом состоянии назовем ; он соответствует достижению грузоподъёмности материала в наиболее напряженных волокнах опасного сечения балки. Однако этому состоянию не будет отвечать исчерпание грузоподъёмности всей балки, как конструкции.

Возьмем стальную балку симметричного (например прямоугольного или двутаврового) сечения (Рис. 7.10, а и б). При моменте, равном , распределение напряжений в опасном сечении показано на Рис. 7.10, в, напряжение дошло до предела текучести лишь в крайних волокнах, вся остальная часть балки находится в упругом состоянии. Поэтому для дальнейшей деформации балки необходимо новое увеличение нагрузки и изгибающего момента: грузоподъёмность балки ещё не исчерпана.

При увеличении момента зона текучести будет распространяться внутрь балки, эпюра напряжений примет вид, показанный на Рис. 7.10, г, и в пределе, когда материал по всей высоте сечения потечёт и грузоподъемность балки будет полностью исчерпана, эпюра напряжений примет форму двух прямоугольников (Рис. 7.10, д). Изгибающий момент на этой стадии работы балки и будет предельным, разрушающим для балки в целом. Дальнейшая деформация балки пойдет еже без увеличения момента, в опасном сечении образуется так называемый пластический шарнир.

Определим величину этого предельного момента . Он будет равен сумме моментов относительно нейтральной оси усилий по Рис. 7.10, д. На площадку dF на расстоянии z от нейтральной оси будет действовать сила dF, момент этой силы относительно нейтральной оси равен dF *z. По симметрии сечения достаточно вычислить сумму моментов этих сил для верхней и нижней половины сечения и результат удвоить; тогда

,

где F-площадь всего сечения. Так как постоянно для всех точек сечения, то

,

поскольку интеграл

,

Представляет собой статический момент половины сечения относительно нейтральной оси. Условие прочности имеет вид

;

При коэффициенте запаса получаем:

И .

Следовательно, при расчете по допускаемым нагрузкам вместо подбора сечения симметричной балки по её моменту сопротивления W приходится подбирать размеры по величине удвоенного статического момента полу сечения балки. Для прямоугольного сечения высотой h и шириной b.



1.4 Применение понятия о потенциальной энергии к определению деформаций

Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существует более общий метод, пригодный для определений деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии. При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой: часть потенциальной энергии действующего на стержень груза, полностью переходила в потенциальную энергию деформации стержня. Действительно, если мы будем нагружать стержень путем постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP (Рис. 7.11), то при добавление каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится и ее потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится. Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статистическом нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.

Мы условились называть "статической" такую нагрузку, которая возрастает постепенно таким образом, что ускорения элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения этих частей, т.е. их скорость остается постоянной и ускорение отсутствует.



При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождать изменение кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразования потенциальной энергии из одного вида в другой. При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статистические деформации тела лишь в очень слабой мере.

Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесии как для каждой части конструкции в целом этой части под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу. Деформации конструкции, напряжений в ее частях и реакции, передающих от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.

Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы. Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок Up. Тогда величина Uр измеряется положительной работой этих нагрузок Ар, с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних между частичных сил А, так как перемещение точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлений.

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

;

Заменяя в этой формуле величины Up и U численно равными им значениями работ Ар и -А получаем иную формулировку этого закона:

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называемым (началом) возможных перемещений в применении упругим системам; равенства выражает ту мысль, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела равно нулю.

Таким образом, начало возможных перемещений применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии.

Из формулы следует, что потенциальная энергия деформации U численно равна работе внешних сил Ap, проделанной ими при деформации:

Совершенно не правильным является истолкование этого равенства, иногда встречающиеся в учебниках по строительной механике: "работа внутренних сил при деформации стержня переходит в потенциальную энергию деформации"; переходить в потенциальную энергию деформации может только другой вид энергии; как правило, это- потенциальная энергия внешних нагрузок.

Величина же работы, производимой при этом переходе внешними силами, является лишь числовой мерой превратившейся части энергии.

1.5 Вычисление потенциальной энергии

А. При вычислении потенциальной энергии мы будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т.е. линейна с ними связанна и растут постепенно вместе с ними.

Мы знаем, что при статическом растяжении эли сжатии стержня силами P величина работы Ap, а следовательно, и величина энергии U равняется:

В случае сдвига

При кручении

Так же как и при кручении, может быть вычислена потенциальная энергия при чистом изгибе.



Концевые сечения балки под действием изгибающих моментов (Рис. 7.12) повернуться на угол , где - центральный угол изогнувшейся по дуге радиусом ? оси балки.

Тогда

Так как , а = .

Следует, что потенциальная энергия деформации равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее направлении того сечения, где эта сила приложена. Условимся называть термином "обобщенная сила" всякую нагрузку, вызывающую соответствующее нагрузки перемещения, то есть и сосредоточенную силу и пару сил, и т. п.; перемещение же, соответствующее этой силе, будем называть "обобщенной координатой". "Соответствие" заключается в том, что речь идет о перемещении того сечения, где приложена рассматриваемая сила, причем о таком перемещении, что произведение его на эту силу дает нам величину работы; для сосредоточенной силы это будет линейное перемещение по направлению действия силы - прогиб, удлинение; для пары сил - это угол поворота сечения по направлению действия пары.

Теперь мы можем определить: потенциальная энергия деформация численно равна половине произведения обобщенной силы на соответствующую ей координату:

где Р - обобщенная сила, ? - обобщенная координата.

Полученные ранее формулы показывают, что потенциальная энергия является функцией второй степени от независимых внешних сил, так как в эти формулы не входят реакция, зависящие от приложенных к элементу сил не связанные с ними уравнениями равновесия. Из тех же формул видно, что величина потенциальной энергии деформации является функцией второй степени от "обобщенных координат" системы и вполне ими определяется. Таким образом, порядок приложения нагрузок в этом отношении безразличен, важна лишь окончательная форма деформированного элемента. Поэтому, хотя результаты этого параграфа получены в предположении, что нагрузка возрастает статически, при сохранении равновесия в течение всего процесса нагружения, однако выведенные формулы сохраняют силу и при любом способе приложения нагрузок, лишь бы значения сил я деформаций были связаны линейной зависимостью и относились к тому моменту, когда установится равновесие конструкции.

Б. В общем случае изгиба изгибающий момент М(х) является величиной переменной.

В любом сечении ему будет сопутствовать поперечная сила Q(х).Поэтому рассматривать следует уже не всю балку в целом, а лишь бесконечно малый элемент балки длинной dx.

Под действием изгибающих усилий сечение элемента поворачивается и образуют между собой угол d0. Касательные же усилия стремятся вызвать перекос элемента; таким образом перемещения от нормальных напряжения идут перпендикулярно к направлению касательных напряжений и наоборот. Это позволяет независимо вычислить работу изгибающих касательных усилий.



Обычно работа касательных усилий оказывается малой по сравнению с работой нормальных, поэтому мы пока ею будем пренебрегать. Элементарная работа нормальных усилий (как в случае чистого изгиба) равна:

Или

Вся потенциальная энергия изгиба получится суммированием по длине балки

(7.6)

Знак предела интегрирования условно указывает, что интегрирование должно охватить всю балку; в тех случаях, когда для М(х) мы имеем несколько участков, интеграл (7.6) приходится разбивать на сумму интегралов .

Вычислим потенциальную энергию на двух опорах; нагруженной силой Р (Рис. 7.13). Эпюра моментов имеет два участка; поэтому



1.6 Теорема Кастильяно

Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальной энергии деформации. Поставим себе задачу нахождений перемещений точек упругой системы по направлению действия приложенных в этой системе внешних сил.

Будем решать эту задачу в несколько приёмов; сначала рассмотрим более простой случай (Рис. 7.12),когда на балку в сечениях 1,2,3 … действует только сосредоточенные силы ,обозначим и т.д. Найдем один из этих прогибов, например прогиб сечения, в котором приложена сила .

Переведем балку, не нарушая, из положения I в смежное положение II ,показанное на Рис. 7.12 пунктиром. Это можно сделать различными приёмами: добавить новую нагрузку ,увеличить уже приложенные и т.д.

Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию II к силе сделана бесконечно малая добавка d (Рис. 7.12); чтобы при этом переходе не нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т.е. возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.

При переходе от состояния I балки к состоянию II все нагрузки Р опустятся ,значит их потенциальная энергия уменьшится .Так как равновесие не нарушалось ,то уменьшение энергии нагрузок d целиком преобразовалось в увеличение потенциальной энергии деформации балки d U

Величина d измеряется работой внешних сил при переходе балки из положения I в положение II:

d U= d

Изменение d U потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил ,произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых переменных ;поэтому дифференциал такой сложной функции равен:

Что касается величины d, то эта работа в свою очередь является разностью нагрузок Р для положений I ,II

Работа при одновременном и постепенном возрастании равна:

Полученным результат можно обобщить. Пусть не балку, помимо сосредоточенных сил P, действуют в разных сечениях еще пары сил М (Рис. 7.13). Мы можем повторить предыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения I в положение II путем добавки к паре. Весь ход рассуждений остается без изменений, надо будет лишь при вычислении работы моментов умножать их не на прогибы, а на углы поворота , тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равно d станет , и тогда :

Так как у - это перемещение, соответствующее силе , а - перемещение, соответствующее силе , то полученные нами результаты можно формулировать так: производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теорема Кастильяно.

Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущих выводов, так как всякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую из большого числа сосредоточенных сил.

Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно" что его можно повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.

Для случая изгиба нами была получена формула, связывающая величину потенциальной энергии U с изгибающими моментами

Изгибающим момент является линейной функцией нагрузок, P1P2…… M1, M2, q, приложенных к балке:

Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, например P1 получаем:

Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определенного интеграла по параметру, так как М (х) - функция и; интегрирование производится по х, а дифференцирование -параметру Р1 , Как известно, если пределы интеграла постоянны, то следует просто дифференцировать подынтегральную функцию.

Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силы P равен:

а угол поворота сечения с парой

Напомним, что знак предела l условно показывает, что должен быть распространен на всю длину балки.



1.7 Статически неопределимые балки

До сих пор мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три опорные реакции определялись ив условий равновесия. Очень часто, по условиям работы конструкции, оказывается необходимым увеличить число опорных закреплений; тогда мы получаем так называемую статически неопределимую балку.

Например, для уменьшения пролета белки АB на двух опорах (Рис. 7.14, а) можно поставить опору еще посредине (Рис. 7.14, б); для уменьшения деформаций балки, защемленной одним концом (Рис. 7.15, а), можно подпереть её свободный конец (Рис. 7.15, б).

Для подбора сечения таких балок, так же как и в рассмотренных ранее задачах, необходимо построить обычным порядком, эпюры нагибающих моментов и поперечных сил, а стало быть, определить опорные реакции.

Во всех подобных случаях число опорных реакций, которые могут возникнуть превышает число уравнений статики, например, для балок Рис. 7.16, а и б четыре опорные реакции, а для балки Рис. 7.16, в - пять. Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, выражающие условия совместности деформаций, которые вместе с обычными уравнениями равновесия и дадут возможность определить все опорные реакция.



Определим опорные реакции и построим эпюру моментов для балки, находящейся (Рис. 7.17) под действием равномерно распределенной нагрузки q. Сначала изобразим все реакции, которые по устройству опор могут возникнуть в этой балке. Таких реакций может быть на опоре А три: вертикальная А, горизонтальная НА и опорный момент на опоре В возможно появление лишь одной реакции В. Таким образом, число опорных реакций на одну больше, чем уравнений статики.

Одна из реакций является добавочной как говорят, "лишней" неизвестной. Этот термин прочно укоренился в технической литературе; между тем, принять его можно лишь условно. Действительно, добавочная реакция и соответствующее ей добавочное опорное закрепление являются "лишними" только с точки зрения необходимости этих закреплений для равновесия балки как жесткого целого. С точки же зрения инженера добавленное закрепление во многих случаях не только не является лишним, а наоборот, позволяет осуществить такую конструкцию, которая без него была бы невозможна. Например, балка Рис. 7.14, б могла бы в некоторых случаях перекрыть пролет АВ лишь при наличии добавочной опоры в точке С. Поэтому мы будем пользоваться термином "лишняя опорная реакция" "лишняя неизвестная" лишь условно.

Составим все уравнения статистики для нашей балки, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на направление оси балки, на перпендикуляр к ней, и сумму моментов относительно точки А. Получим систему:

Из первого уравнения сразу определяется опорная реакция; для определения трёх других остаются лишь два уравнения.

За лишнюю реакцию можно взять любую из этих трёх: попробуем взять реакцию опоры В. В таком случае мы должны считать, что рассматриваемая балка получилась из статически определимой балки АВ, защемлённой концом А (Рис. 7.17), у которой потом поставили добавочную опору в точке В. Эта статически определимая балка, которая получается из статически неопределимой при удалении добавочного, лишнего опорного закрепления, называется основной системой. Выбрав какую-либо из реакций за лишнюю неизвестную, мы тем самым выбираем основную систему.

Попробуем теперь превратить основную систему (Рис. 7.17) в систему, полностью совпадающую с заданной статически неопределимой балкой. Для этого загрузки ее сплошной нагрузкой q и в точке В приложим лишнюю реакцию В (Рис. 7.18).

Однако этого мало: в балке, изображенной на Рис. 7.18, точка ,В может перемещаться по вертикали - под действием нагрузок q и В; между тем, в нашей статически неопределимой балке (Рис. 7.17) точка В не имеет этой возможности, она должна совпадать с опорным шарниром. Поэтому, чтобы привести к окончательному совпадению Рис. 7.17 и 7.18, надо к последней добавить условие, что прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В должен быть равен нулю.

Это и будет добавочное уравнен определяющее реакцию В; оно является условием совместности деформаций в рассматриваемом случае: конец В балки не отрывается от опоры.

Решение этого добавочного уравнения возможно несколькими способами.

1.8 Способ сравнения деформаций

Прогиб точки B под действием нагрузок q и В складывается из двух прогибов: одного вызванного лишь нагрузкой q, и другого вызванного лишь реакцией В. Таким образом,

Остается вычислить эти прогибы. Для этого загрузим основную систему одной нагрузкой q (Рис. 7.19, а) Тогда прогиб точки В будет равен:



При нагружении основной системы реакцией В (Рис. 7.19, б) имеем:

Получаем:

В этом способе мы сначала даем возможность основной системе деформироваться под действием внешней нагрузки q, а затем подбираем такую силу В, которая бы вернула точку В обратно. Таким образом, мы подбираем величину неизвестной дополнительной реакции В с тем расчетом, чтобы уровнять прогибы от нагрузки q и силы В. Этот способ и называю способом сравнения деформации. Подставляя значение лишней реакции В уравнения статики, получаем:



Выражение изгибающего момента балки (Рис. 7.18) и подставляя значение B:

Поперечная сила Q выражается формулой:

Эпюры моментов и поперечных сил изображены на Рис. 7.20. Сечение с наибольшим положительным моментом соответствуете абсциссе X0, определяемой равенством

Т.е

Отсюда соответствующая ордината эпюры моментов, равна:



1.9 Применение теоремы Кастильяно, теоремы Мора и способа Верещагина

Раскрытие статической неопределимости для балки может быть произведено и при помощи теоремы Кастильяно.

"Лишнюю" опорную реакцию В (Рис. 7.21, а) заменяем "лишней" неизвестной силой В, действующей вместе с заданной нагрузкой q на основную статически определимую балку АВ (Рис. 7.21, б).

Дифференцируя по силе В потенциальную энергию и вычисляя таким образом прогиб fB, следует fB прировнять к нулю; Получим:

Остается вычислить М и установить пределы интеграла и взять его:

Будем считать, что сечение балки не меняется по длине; уравнение примет вид:



или

Отсюда

Далее решение не отличается от описанного в способе сравнения деформаций.

Раскрытие статической неопределимости возможно выполнить также и по теореме Мора. При решении по Мору, кроме первого состояния нагужения основной балки заданной нагрузкой и лишней неизвестной силой (Рис. 7.22, а), следует показать ту же балку во втором состоянии нагружения - силой P0 = 1(Рис. 7.22, б).

Вычисления при обозначениях, о принятых на Рис. 7.22, дают:

т.е. то же, что и при пользовании теоремой Кастильяно. При решении того же примера по способу Верещагина к двум схемам состояний загружения (Рис. 7.22, а и б) следует а построить эпюры моментов: от нагрузки q (Рис. 7.22, в), от силы В (Рис. 7.22, г) и от силы P0 =1(Рис. 7.22, д).

Величина моментных площадей:

От нагрузки q:

От нагрузки В:

Ординаты эпюр единичной нагрузки:

Для умножения на :

Для умножения на :

Прогиб в точке В

Отсюда

1.10 Выбор лишней неизвестной и основной системы

В предыдущем примере мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию В. Мы могли бы выбрать и момент МА. Соответственно изменилась бы основная система и ход решения. Окончательный же результат конечно, получился бы прежним.

Возьмём за лишнюю неизвестную опорный момент МА (Рис. 7.23, а). Какой будет основная система? Чтобы получить её, надо отбросить то опорное закрепление, которое создает момент МА , т. е. защемление конца А. Чтобы на конце А не было опорного момента, там следует поставить шарнирно неподвижную опору.

Основной системой будет балка, изображённая на Рис. 7.23, б. Загрузим её внешней нагрузкой и опорным моментом МА (Рис. 7.23, в).

Чтобы балки Рис. 7.23, а и в работали одинаково, надо для балки Рис. 7.23, в написать дополнительное условие, что сечение А под действием изображённых нагрузок не может поворачиваться; накладываем это ограничение на перемещение, соответствующее выбранной лишней неизвестной:

Далее применив для решения уравнения

Теорему Кастильяно имеем:



следовательно,

Для нахождения М и выразим реакцию В основной системы (Рис. 7.23, в) через и произведем все обычные вычисления:

,,

Подставляя полученные данные, находим:

Отсюда

т.е. той же величине, которая была получена раньше. Дальнейший ход решения не отличается от разобранного выше.

Решение той же основной системы (Рис. 7.23, в и Рис. 7.24, а) с применением способа Верещагина потребует изображения второго состояния загружения основной системы моментом Мо = 1 (Рис. 7.24, б) и построения эпюр изгибающего момента: от заданной нагрузки q (Рис. 7.24, в), от момента МА (Рис. 7.24, г) и от единичной нагрузки М° = 1 (Рис. 7.24, д). Пользуясь формулой вычисляем :

Как видно, уравнение для определения МА полностью совпадает с найденным по Кастильяно.

Сравнивая два варианта поставленной задачи с лишней неизвестной B лишней неизвестной MA, видим, что применении способа Кастильяно первый вариант менее сложен по вычислениям. Это объясняется тем, что основной системой в первом варианте является балка, защемленная одним концом, во втором же - балка на двух опорах; для второй - вычисления сложнее. Таким образом, лишнюю неизвестную и, следовательно, основную систему надо выбирать с таким расчетом, чтобы выкладки (вычисление изгибающих моментов и т.д.) были проще.

Если бы мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию А, то основную систему следовало бы так устроить, чтобы опора А не давала возможности поворота сечения и горизонтальных перемещении, но допускала бы вертикальные движения.



1.11 План решения статически неопределимой задачи

Общий метод решения, показанный в предыдущих параграфах, распадается на ряд отдельных этапов, которые даны в сводном виде в таблице 23.

В этой таблице даны два варианта решения задачи: с лишней реакцией В и с лишней реакцией МА. Для развёртывания добавочного условия даны также два варианта решения: способом сравнения деформаций и с применением теоремы Кастильяно. Если бы число реакций статически неопределимой балки было не четыре, как в рассмотренном примере, а больше, то соответственно увеличилось бы число лишних неизвестных; загрузив основную систему внешней нагрузкой и этими лишними неизвестными, мм можем написать дополнительные условия, ограничивающие деформации балки в тех сечениях, где эти лишние реакции приложены. Таким путем будет получено столько же дополнительных уравнений, сколько лишних неизвестных.



2. Косой изгиб

2.1 Основные понятия

До сих пор мы рассматривали задачи, где стержни конструкции испытывали одну из простейших деформаций: осевое растяжение или сжатие, кручение, плоский изгиб. На практике же большинство элементов конструкций и машин подвергается действиям сил, вызывающих одновременно не одну из указанных деформаций, а две и более.

Валы машин подвергаются действию кручения и изгиба; стержни ферм (стропильных, мостовых, крановых), помимо растяжения или сжатия, испытывают ещё и изгиб, вызываемый устройством в узлах сварных или клепаных соединений взамен шарниров, предполагающихся при выполнении расчётов. Все такие случаи сопротивления стержней, когда мы имеем дело с комбинацией простейших деформаций, называются сложным сопротивлением. инерция сопротивление балка деформация

При расчётах на сложное сопротивление обычно исходят из так называемого принципа независимости действия сил, т.е. предполагают, что влиянием деформаций, вызванных одной из приложенных к упругой системе нагрузок, на расположение, а следовательно, и на результаты действия остальных нагрузок можно пренебречь. Опыт показывает, что пока деформации системы малы этот принцип может быть использован (исключительные случаи, когда он вообще не применим, будут рассмотрены ниже); а поэтому для нахождения полных напряжений и деформаций, возникающих в упругой системе в результате действия на неё любой сложной системы нагрузок, можно применять способ сложения действия сил, т.е. геометрически суммировать напряжения и перемещения, соответствующие различным видам простейших деформаций.

В начале рассмотрим решение частных задач сложного сопротивления, а, затем и самый общий случай действия сил на упругую систему.

2.2 Косой изгиб. Вычисление напряжений

Для вычисления нормальных напряжений при изгибе мы до сих пор пользовались формулой:

Однако нормальные напряжения в каком-либо сечении балки полностью определяются по этой формуле только в случае плоского изгиба, когда искривление оси балки происходит в плоскости действия сил и нейтральной осью является главная ось инерции поперечного сечения, перпендикулярная к плоскости нагрузки.

На практике часто встречаются случаи, когда плоскость действии сил, перпендикулярных оси стержня, не совпадает ни с одной из двух плоскостей, проходящих через ось стержня и главные оси инерции поперечных сечений стержня. Опыт показывает, что изогнутая ось стержня при этом уже не будет лежать в плоскости действия сил, и мы будем иметь случай так называемого косого изгиба (Рис. 8.1).



Обрешетины кровли обычно подвергаются нагрузкам, плоскость действия которых составляет довольно значительный угол с главными осями (Рис. 8.1); довольно часто встречаются и случаи, когда направление нагрузок лишь слегка отклоняется от главных осей инерции.

Покажем на примере метод проверки прочности и вычисления деформаций балок при косом изгибе.

Рассмотрим балку, защемленную одним концом и нагружённую на другом силой P ,лежащей в плоскости торца балки и направленной под углом главной оси Bz (Рис. 8.2). Вторая главная ось Bz пойдет перпендикулярно к первой; направления этих осей выберем так, чтобы сила Р проходила в первом квадранте координатной системы.

Для проверки прочности необходимо найти точку с наибольшим нормальным напряжением. Выведем сначала формулу для вычисления нормального напряжения в любой точке произвольного сечения, отстоящего в расстоянии х от свободного конца балки.

Разложим силу Р на составляющие Pz и Py , направленные по главным осям инерции сечении Bz и By. Величины этих составляющих определяются формулами

Рz = р cos ? и Ру - Р sin?

Таким образом, мы привели случай косого изгиба к комбинации двух плоских изгибов, вызванных силами Рz и Ру, расположенными в главных плоскостях инерции балки. Суммируя напряжения и деформации, соответствующие каждому из этих изгибов, мы получим решение и для косого изгиба.

Изгибающие моменты в сечении с абсциссой х от сил Рz и Ру будут равны

Значки y и z при М обозначают главные оси, относительно которых берутся моменты; 'буквой М обозначен изгибающий момент в плоскости действия силы Р, для проведённого сечения равный Рх. Применяя векторное изображение моментов, видим, что для вычисления изгибающих . Моментов Му и Мz можно было непосредственно разложить полный изгибающий момент М по главным осям (Рис. 8.3).

Для установления знаков изгибающих моментов следовало бы ввести дополнительные условия, определяющие эти знаки в связи с переходом к пространственной задаче. Это и будет сделано ниже; сейчас же ограничимся лишь вычислением абсолютной величины изгибающих моментов, влияние же направления моментов на знаки напряжений учтём при вычислении последних.

Вычислим напряжения в какой-либо точке С (с координатами у и z) расположенной в первом квадранте (Рис. 8.2). Мы имеем возможность вычислить для этой точки нормальные напряжения, вызванные отдельно моментами Му и Мz, изгибающими балку в главных плоскостях xz и ху; в этом случае применимы формулы, полученные для плоского изгиба.

Нормальное напряжение в точке С от изгиба моментом My являемся сжимающим (отрицательным) и выражается формулой



момент инерции относительно оси у, которая при изгибе моментом Му будет нейтральной осью. Момент М2 вызывает в этой точке тоже сжимающее напряжение, равное

-

момент инерции сечения относительно оси z. Полное напряжение в точке С находим как алгебраическую сумму полученных напряжений:

В данном случае этой формулой можно пользоваться при вычислений напряжений в любой точке каждого сечения балки. Так как формула выведена для точки с положительными координатами у и то, подставляя в нее значения координат с соответствующими знаками, будем всегда получать правильный знак напряжения.

Так, для точки D (Рис. 8.2) координата у будет положительна, а z - отрицательна; в соответствии с этим первое слагаемое в формуле представит собой положительное (растягивающее) напряжение, а второе - по прежнему сжимающее.

Хотя формулы и получены из рассмотрения частного случая косого изгиба балки, защемленной одним концом и нагружённой на другом сосредоточенной силой Р, однако, как нетрудно заметить, она является общей формулой для вычисления напряжений при косом изгибе. Для балок иначе нагружённых и закреплённых нужно лишь договориться о правиле знаков. Если положительное направление главных центральных осей инерции поперечного сечения балки всегда выбирать так, чтобы след плоскости действия сил в сечении проходил через первый квадрант, то знак перед правой частью формулы необходимо назначать по тому действию, которое изгибающий момент М (или, что равноценно, его компоненты) оказывают на любую площадку первого квадранта (при растяжении ставить плюс, при сжатии - минус). Тогда для получения правильного знака напряжения на любой другой площадке поперечного сечения достаточно учитывать знаки координат у и z.

Для нахождения наибольшего нормального напряжения надо отыскать опасное сечение балки и в нём наиболее напряженную точку. Видно, что- опасным сечением будет то, где нагибающий момент М достигнет наибольшей величины.

Для нахождения опасной точки учтём, что при плоском изгибе деформация, соответствующая нормальным напряжениям, сводится к относительному повороту сечений вокруг нейтральных осей. При косом изгибе являющемся комбинацией двух плоских нагибов, мы имеем одновременный относительный поворот сечений вокруг двух осей, пересекающихся в центре тяжести сечения.

Из кинематики известно, что вращение фигуры вокруг двух пересекающихся осей может быть заменено вращением вокруг оси, проходящей через точку пересечения. Таким образом, и при косом изгибе мы в каждом сечении будем иметь линию, проходящую через центр тяжести, вокруг которой будет происходить поворот сечения при деформации балки. Эта ось и будет нейтральной; волокна, расположенные в её плоскости, не будут удлиняться или укорачиваться, и нормальные напряжения в точках нейтральной оси будут равны нулю. При относительном повороте сечений наибольшую деформацию (растяжение или сжатие) испытывают волокна, наиболее удалённые от нейтральной оси.

Поэтому нахождение опасных точек при косом изгибе сводится к определению положения нейтральной оси и - отысканию точек, наиболее далеко от нее отстоящих.

Уравнение нейтральной оси получим из условия, что нормальные напряжения в точках, лежащих на этой оси равны нулю. Обозначим координаты этих точек и мы должны получить для ?

Значение равное нулю:

Сокращая на М, имеем:

Это и есть уравнение нейтральной оси; она является прямой, проходящей через центр тяжести сечения (при y0 = 0 и z0 = 0).

На Рис. 8.4 изображены два поперечных сечения балок; оси у и z являются главными осями инерции. В предположении, что балки нагружены по схеме Рис. 8.4, на каждом сечении показана проекция силы Р и для каждого квадранта сечения приведены знаки нормальных напряжений; знаки выше и ниже сечения относятся к напряжениям от изгиба моментом Му знаки справа и слева от сечения -к напряжениям от изгиба моментом Мz. Для балки, иным образом нагруженной и закреплённой (Рис. 8.5), знаки напряжений соответственно будут другими.

На Рис. 8.4 нанесено примерное расположение нейтральной оси. Так как она проходит через центр тяжести сечения, то для определения её положения достаточно знать угол а, составленный ею с осью у. Из Рис. 8.4 видно, что тангенс этого угла равен абсолютной величине отношения z0 к у0:

Получаем

Таким образом, положение нейтральной оси не зависит от величины силы Р, а лишь от угла наклона плоскости внешних сил к оси г и от формы сечения.

Вычислив величину угла ?, строим на чертеже нейтральную ось, а проводя к сечению касательные, параллельно находим наиболее напряжённые точки, как наиболее удалённые от нейтральной оси (точки 1 и 2 на Рис. 8.4).

Подставляя в формулы координаты этих точек (y1 и z1 или у2 и z2) с учётом их знаков, находим величины наибольшего растягивающего и наибольшего сжимающего напряжений. Условие прочности получает такой вид:

где у1 и z1 (или у2 и z2) - координаты точки (в системе главных центральных осей), наиболее удалённой от нейтральной оси. Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр)

Тогда формула упрощается; для?(1,2) имеем

Что касается напряжений ,то их можно вычислить тем же приёмом, которым мы пользовались при вычислении нормальных напряжений; суммарное напряжение будет равно геометрической сумме касательных напряжений от изгиба в каждой из главных плоскостей .Практического значения определение этих напряжений обычно не имеет.

2.3 Определение деформаций при косом изгибе

Для определения прогибов в различных сечениях балки при косом изгибе опять применим способ сложения действия сил. Возвращаясь к примеру,

.



Полный прогиб f конца балки будет представлять собой геометрическую (Рис. 8.6) сумму обоих этих прогибов; он равен

.

При этом

И

.

Отсюда следует, что угол, составленный полным прогибом f с осью z, равен углу , т.е. прогиб f направлен перпендикулярно к нейтральной оси. Изгиб балки происходит не в плоскости действия внешних сил, а в плоскости, перпендикулярной к нейтральной оси (Рис. 8.6). Условимся принимать за ось у главную ось с наибольшим моментом инерции; тогда плоскость х Oz будет плоскостью наибольшей жёсткости, поскольку прогибы при изгибе балки в этой плоскости будут наименьшими. Так как при Jy > Jz, как в рассмотренных примерах, и >, то плоскость изгиба отклоняется от плоскости наибольшей жёсткости больше, чем плоскость внешних сил. Эта разница будет тем большей, чем больше отношение . Значит, для узких и высоких сечений, у которых отношение главных моментов инерции может быть весьма велико, уже небольшое отклонение плоскости действия внешних сил от плоскости наибольшей жёсткости вызывает весьма значительное отклонение плоскости изгиба балки.

Пока для балки такого сечения внешние силы расположены в плоскости наибольшей жёсткости xOz, прогибы будут лежать в той же плоскости и будут небольшими, так как момент инерции Jу будет значительным. Стоит дать плоскости внешних сил отклонение от оси Oz на небольшой угол , как сейчас же возникнут уже большие прогибы в направлении оси у, на которые очень часто конструктор и не рассчитывает. Прогибы же в направлении оси z будут оставаться почти без изменения. Для оценки этого явления рассмотрим числовой пример. Возьмём деревянную балку с сечением (Рис. 8.2), имеющим высоту h = 20 см, ширину b = 6 см; тогда

см⁴;

см⁴.

Отношение моментов инерции равно

.

Тогда при отклонении плоскости действия внешних сил от оси z всего на 5° будем иметь:

tg = tg = 0,0875 11 = 0,963



и

44°.

Прогибы в направлении оси y будут почти равны прогибам в направлении оси z:

fy = fg tg = 0,963 fg.

Вместе с тем, при отклонении силы от плоскости наибольшей жесткости произойдет и значительное повышение нормальных напряжений. Так, в рассмотренном выше примере наибольшие нормальные напряжения (по сравнению со случаем плоского изгиба при = 0) увеличатся в отношении:

.

На Рис. 8.7 изображено относительное расположение плоскостей нагрузки, изгиба и нейтральной.

Балки, главные моменты инерции сечений которых значительно отличаются друг от друга, будут хорошо работать при изгибе в плоскости наибольшей жёсткости (высокие прямоугольники, двутавры швеллеры), но окажутся невыгодными при косом изгибе. Поэтому в тех случаях, когда трудно рассчитывать па достаточно точное совпадение плоскости внешних сил с главной плоскостью балки, конструктор должен избегать применения подобных сечений или принимать дополнительные конструктивные меры (постановка связей), чтобы воспрепятствовать боковым деформациям балок при наличии косого изгиба.

При подборе сечений приходится задаваться отношением и, зная [], Мmах и угол , путём последовательных попыток искать значения Wy и Wz, удовлетворяющие условию прочности. В случае несимметричных сечений, не имеющих выступающих углов, т.е. при использовании условия прочности, при каждой новой попытке подбора сечения необходимо предварительно вновь найти положение нейтральной линии и координаты наиболее удалённой точки (у1 и z1). В случае прямоугольного сечения ; поэтому, задаваясь отношением , из условия (26.7) без затруднений можно найти величину Wv и размеры поперечного сечения.

Уравнение (8.1) показывает, что углы и не равны, т.е. нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости внешних сил, как это было при плоском изгибе. Эта перпендикулярность имеет место лишь при

Jy = Jz,

но в этом случае все оси главные, и косой изгиб невозможен; в какой бы плоскости ни была расположена нагрузка, мы будем иметь дело с плоским изгибом. Это будет соблюдаться для сечений квадратного, круглого, являющихся правильными фигурами, и любых других, для которых будет выполнено условие.

Размещено на Allbest.ru

...