Малі рухи маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського

УДК 517.98

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Малі рухи маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною

01.01.02 - диференціальні рівняння

Дудік Ольга Олександрівна

Сімферополь - 2011

Дисертацією є рукопис

Роботу виконану на кафедрі математичного аналізу в Таврійському національному університеті імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України, м. Сімферополь.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, заслужений діяч науки і техніки України Копачевський Микола Дмитрович, Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського, Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України, м. Сімферополь, завідувач кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Бурський Володимир Петрович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк, провідний науковий співробітник відділу нелінійного аналізу;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Лиманський Дмитро Володимирович, Донецький національний університет, Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України, м. Донецьк, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

Захист відбудеться на засіданні спеціалізованої вченої ради Кк52.051.10 Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України за адресою: 95007, м. Сімферополь, проспект Академіка Вернадського, 4.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України за адресою: 95007, м. Сімферополь, проспект Академіка Вернадського, 4.

Автореферат розісланий 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради К.В. Божонок.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Вивчення задач динаміки тіл із порожнинами, які частково або повністю заповнені рідиною, у другій половині ХХ століття особливо привертає увагу вітчизняних і зарубіжних учених. Ці задачі пов'язані, зокрема, з дослідженням космічного простору за допомогою ракетної техніки, з проблемами астрофізики, океанології та фізики атмосфери. Ряд цікавих і корисних задач можна розглядати в рамках лінійних моделей, що приводять до нетрадиційних початково-крайових задач. Це безумовно визначає самостійний математичний інтерес до таких проблем.

Першою роботою, що була присвячена задачі про малі коливання твердого тіла з порожниною, яка повністю заповнена ідеальною рідиною, є робота М.Є. Жуковського. Дослідженню проблеми рухів тіла з порожниною, яка частково заповнена ідеальною рідиною, присвячено роботи таких математиків і механіків, як М.М. Моїсеєв, Г.С. Наріманов, Б.І. Рабінович, Д.Є. Охоцімський, Л.М. Сретенський, І.О. Луковський, М.Я. Барняк. Вивченням задач про малі коливання маятника з порожниною, яка повністю або частково заповнена ідеальною чи в'язкою рідиною або системою з рідин, що не змішуються, займалися такі вчені, як С.Г. Крейн, М.М. Моїсеєв, М.Д. Копачевський, Алі Вадіаа, Ф.Л. Черноусько, Нго Зуй Кан, Ю.М. Кононов.

Якщо рідина частково заповнює порожнину і знаходиться в умовах, близьких до невагомості, то необхідно враховувати капілярні (поверхневі) сили. Роботи про малі коливання капілярної рідини в нерухомій посудині належать М.М. Моїсеєву, Ф.Л. Черноуську, М.Д. Копачевському, М.Я. Барняку, О.Н. Комаренку та іншим, а також із нелінійних проблем в останні роки - І.О. Луковському, В.О. Солоннікову.

Задачі про малі рухи та нормальні коливання маятника з порожниною, яка частково заповнена однією капілярною в'язкою рідиною або системою з капілярних в'язких рідин, при додатковій дії гравітаційного поля та криволінійної рівноважної поверхні рідини поки що вивчалась недостатньо. Отже, важливі в теоретичному і практичному відношенні, ці проблеми вимагають додаткового вивчення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках держбюджетних тем кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського «Математичний аналіз і його застосування» (2006-2011 рр., номер державної реєстрації 0101U005257), «Операторні методи в початково-крайових, спектральних і екстремальних задачах» (2006-2008 рр, номер державної реєстрації 0106U001753), «Операторні методи в лінійному та нелінійному аналізі початково-крайових, спектральних, варіаційних та біфуркаційних задачах математичної фізики» (2009-2011 рр., номер державної реєстрації 0109U002432). Тема кандидатської дисертації затверджена на засіданні Вченої ради Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського (протокол № 2 від 22.02.2005).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є формулювання повної математичної постановки фізичної проблеми про малі рухи і нормальні коливання маятника з порожниною, яка частково заповнена однією капілярною в'язкою рідиною (або повністю заповнена системою з капілярних в'язких рідин) та дослідження отриманих еволюційних і спектральних задач.

Завдання дослідження:

довести теорему про існування єдиного сильного розв'язку гідромеханічної системи, яка складається з маятника, що містить порожнину, частково заповнену однією капілярною в'язкою рідиною (або повністю заповнену системою з капілярних в'язких рідин);

вивчити локалізацію спектру відповідної спектральної задачі, знайти асимптотику власних значень;

отримати теорему про повноту та базисність системи кореневих (власних і приєднаних) елементів;

виявити умови нестійкості гідромеханічної системи, що розглядається в роботі.

Об'єкт дослідження. Малі рухи маятника з порожниною, яка заповнена однією в'язкою рідиною або системою з в'язких рідин, в умовах невагомості або близьких до них.

Предмет дослідження. Сильна розв'язність початково-крайової задачі про малі рухи маятника з порожниною, яка частково заповнена однією капілярною в'язкою рідиною (або повністю заповнена системою з капілярних в'язких рідин). Властивості розв'язків відповідних спектральних задач.

Методи дослідження. У роботі застосовуються методи теорії лінійних самоспряжених і несамоспряжених операторів, що діють у гільбертовому просторі, та методи теорії лінійних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі та теорії рівнянь у частинних похідних, методи спектральної теорії операторних жмутків (оператор-функцій, що залежать від спектрального параметру), а також методи математичного та функціонального аналізу.

Зокрема, в роботі застосовується метод проектування рівнянь руху на ортогональні підпростори, які пов'язані з проблемами, що вивчаються. Провідну роль при дослідженні проблем відіграє метод допоміжних крайових задач і операторів.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна роботи визначається наступними положеннями:

1. Уперше застосовано операторний підхід, який базується на двох допоміжних задачах С.Г. Крейна та абстрактної формули Гріна. За допомогою цього методу вдається перейти від початково-крайової проблеми гідромеханічної системи до задачі Коші для диференціально-операторного рівняння в гільбертовому просторі. Вивчено властивості операторних коефіцієнтів отриманого операторного рівняння і на цій підставі вперше доведено теорему про коректну розв'язність асоційованої задачі Коші на відрізку . Також доведено існування та єдиність розв'язку задач про малі рухи маятника з порожниною, яка частково заповнена однією капілярною в'язкою рідиною або повністю заповнена системою з капілярних в'язких рідин.

2. Уперше досліджено задачу про нормальні коливання проблем пункту 1. Для цих спектральних задач отримано твердження про те, що спектр задач (у випадку статичної стійкості за лінійним наближенням) є дискретним і має одну граничну точку на нескінченності. Знайдено асимптотику власних значень спектральної задачі. Доведено також базисність за Абелем-Лідським або базисність зі скінченним дефектом за Абелем-Лідським системи кореневих елементів.

3. Уперше для гідросистеми, що досліджується в роботі, доведено принцип зміни стійкості. Для випадку статичної нестійкості, отримано обернення теореми Лагранжа про стійкість.

4. Розглянуто відповідні плоскі задачі про малі рухи гідросистем, які досліджено в роботі. Встановлено сильну розв'язність вихідних початково-крайових задач про коливання маятника з порожниною, яка заповнена однією або системою з капілярних в'язких рідин.

Практичне значення одержаних результатів. Для гідромеханічної системи, яка складається з маятника, що містить порожнину, частково заповнену однією капілярною в'язкою рідиною (або повністю заповнену системою з капілярних в'язких рідин), доведено теореми про існування та єдиність розв'язків початково-крайових задач, досліджено власні коливання, питання повноти та базисності системи кореневих елементів, виявлено умови нестійкості.

Отримані в дисертації результати доповнюють і розвивають теорію малих рухів твердого тіла з порожниною, яка заповнена в'язкою рідиною або системою з в'язких рідин, що не змішуються, в умовах невагомості або близьких до них. Адже експерименти в космосі досить дорогі і рідкісні, а моделювання невагомості на Землі пов'язане зі значними технічними складнощами. Ці обставини висувають на перший план математичне моделювання - теоретичний аналіз поведінки рідини в умовах невагомості.

Особистий внесок здобувача. Частково матеріали дисертації опубліковані в роботах [1-13]. Результати робіт [1-4, 6] отримані здобувачем самостійно. У роботі [5] здобувачу належить частина, пов'язана з дослідженням проблеми про малі рухи і нормальні коливання маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на: Іnternatіonal Conference «Modern Analysіs and Applіcatіons (MAA 2007)» dedіcated to the centenary of Mark Kreіn (Odessa, Ukraіne, Aprіl 9-14, 2007 р.); XVІI-XXI Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах: КРОМШ-2006, КРОМШ-2007, КРОМШ-2008, КРОМШ-2009, КРОМШ-2010 (Ласпі-Батиліман, Крим, Україна, вересень 2006-2010 рр.); I-II Міжнародних конференціях студентів і молодих вчених із диференціальних рівнянь та їх застосувань ім. Я.Б. Лопатинського (Донецьк, Україна, 5-6 грудня 2006 р., 11-14 листопада 2008 р.); III Міжнародній конференції молодих вчених «Диференціальні рівняння та їх застосування», присвяченій Я.Б. Лопатинському (Львів, Україна, 3-6 листопада 2010 р.); семінарах кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського (під керівництвом проф. М.Д. Копачевського, Сімферополь, 2004-2011 рр.); XXXII-XXXIII наукових конференціях студентів та спеціалістів Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського (Сімферополь, Україна, 2004-2005 рр.); XXXIV-XXXIX наукових конференціях професорсько-викладацького складу Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського (Сімферополь, Україна, 2006-2011 рр.); Міжнародній конференції «Сучасні проблеми математики, механіки та їх застосувань», присвяченій 70-річчю акад. РАН В.А. Садівничого (Москва, Росія, 30 березня-2 квітня 2009 р.); Українському математичному конгресі-2009 (до 100-річчя від дня народження М.М. Боголюбова) (Україна, Київ, 27-29 серпня, 2009 р.); на об'єднаному семінарі відділів нелінійного аналізу, рівнянь з частинними похідними та рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАНУ (під керівництвом проф. О.А. Ковалевського, проф. В.П. Бурського, проф. А.Є. Шишкова, Донецьк, Україна, 2010 р.); на семінарі відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України (під керівництвом академіка НАН України І.О. Луковського, академіка НАН України В.Л. Макарова, проф. Барняка М.Я., Київ, Україна, 2010 р.).

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел і трьох додатків. Повний обсяг роботи 157 сторінок, у тому числі основного тексту 127 сторінок. Список використаної літератури налічує 103 назви, з них іноземною мовою 12.

Публікації. Основні результати дисертації викладено у 13 наукових працях, 6 з яких належать до переліку фахових наукових видань, 7 публікацій у матеріалах та збірниках тез конференцій.

Основний зміст дисертації

У вступі розкривається сутність і стан наукової проблеми та її значущість. Обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета і завдання дослідження, наукова новизна та практичне значення одержаних результатів.

У розділі 1 наводиться коротка історична довідка стосовно кола питань, що мають відношення до теми роботи. Наведено огляд літератури з теми дисертації та сформульовано основні результати, що досягнуті в цьому напрямі.

У розділі 2 вивчається просторова (тримірна) задача про малі коливання гідромеханічної системи, яка складається з маятника, що містить порожнину, частково заповнену капілярною в'язкою рідиною. У підрозділі 2.1 дається математична постановка цієї початково-крайової задачі. У цій задачі шуканими є векторне поле швидкостей скалярне поле тиску функція відхилення поверхні , вектор-функції кутового переміщення і кутової швидкості , які мають задовольняти наступній системі рівнянь, крайових і початкових умов:

, , (1)

, (2)

, (3)

, (4)

, , , (5)

(6)

Тут - область, яка займана рідиною, ця область обмежена твердою стінкою S і рівноважною поверхнею Г, - зовнішня нормаль, - коефіцієнт кінематичної в'язкості рідини, - щільність рідини, - коефіцієнт динамічної в'язкості рідини, - мале поле зовнішніх сил, накладене на гравітаційне поле; - тензор інерції всієї системи відносно точки почепу маятника, що дорівнює сумі тензора інерції твердого тіла і тензора інерції рідини ; - маса всієї системи, - відстань від до центру мас усієї системи, - коефіцієнт тертя в шарнірі, - головний момент зовнішніх сил (крім гравітаційних) гідромеханічної системи, через позначені коваріантні похідні коваріантного вектору за змінною , - оператор Лапласа-Бельтрамі, діючий на функціях, що задані на Г, - коефіцієнт поверхневого натягу, - головні кривизни поверхні Г, - ортопроектор на площину .

Особливістю задачі (1)-(6) є наступні обставини, які особливо помітні при вивченні відповідної задачі про нормальні коливання, що розглянута в розділі 3: по-перше, у спектральній проблемі спектральний параметр стоїть у рівнянні та крайовій умові; по-друге, в граничній умові (3) на рівноважній поверхні Г стоїть диференціальний оператор Лапласа-Бельтрамі , тобто оператор тієї самої сили, що й векторний диференціальний оператор у рівнянні (1); по-третє, на , тобто на багатовиді ковимірності 2 за відношенням до , становиться крайова умова Дірихле. Ці обставини, як буде з'ясовано, привносять додаткові труднощі як при дослідженні початково-крайової задачі (1)-(6), так і відповідної спектральної задачі.

Для проблеми, що досліджується в роботі, виведено закон балансу повної енергії для класичного розв'язку задачі (1)-(6):

(7)

де

У (7) праворуч стоїть вираз, який дорівнює потужності зовнішніх і внутрішніх сил, діючих на систему: перші два доданки дають дисипацію енергії завдяки в'язкості рідини та тертя в шарнірі, а останні два дорівнюють потужності зовнішніх сил.

Дослідження сформульованої проблеми (1)-(6) здійснено методами функціонального аналізу та теорії рівнянь у частинних похідних.

У підрозділі 2.2 зведено необхідні для подальшого дослідження допоміжні математичні твердження і факти. Використано розкладання гільбертового простору вектор-функцій на ортогональні підпростори, які природно пов'язані з векторними полями швидкостей, зміщень, градієнтів, що вивчаються в даній роботі:

, (8)

, (9)

. (10)

У підрозділі 2.3 за допомогою проектування рівнянь руху (1) на ортогональні підпростори (8)-(10) простору і розгляду допоміжних крайових задач С.Г. Крейна та операторів, що їм відповідають, від вихідної початково-крайової задачі про малі рухи гідросистеми (1)-(6) здійснюється перехід до системи диференціально-операторних рівнянь:

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Тут оператор виникає в першій допоміжній задачі С.Г. Крейна, є додатно визначеним, самоспряженим оператором з областю визначення простір соленоїдних полів, що задовольняють умовам прилипання на твердій стінці та скінченій швидкості дисипації енергії у в'язкої рідини ; лінійний оператор , що пов'язаний із другою допоміжною задачею С.Г. Крейна; ортопроектор , ; - ортопроектор на підпростір ; оператор необмежений, самоспряжений та обмежений знизу.

Задачу (11)-(15) можна записати у вигляді задачі Коші для диференціального рівняння з операторними коефіцієнтами:

(16)

(17)

У підрозділі 2.4 розглянуто властивості операторних матриць у задачі Коші (16) як операторів, що діють у гільбертовому просторі .

Лема 2.16. Оператор є обмеженим і обмежено оборотним оператором, що діє в і допускає зображення

. (18)

Лема 2.17. Для операторної матриці з (16) правдиве зображення

, (19)

де - обмежений оператор, оператор є самоспряженим додатно визначеним і обмеженим знизу.

З урахуванням (18) і (19) задача (16) приймає вигляд

, (20)

а далі приводиться до задачі Коші для абстрактного параболічного рівняння в гільбертовому просторі . З використанням методу операторних блок-матриць, а також загальної теорії абстрактних диференціально-операторних рівнянь доведено теорему про сильну розв'язність отриманої задачі Коші (теорема 2.24).

Теорема 2.24. Якщо виконано умови

(21)

(22)

(23)

, (24)

то асоційована задача Коші (20) має єдиний сильний розв'язок на відрізку .

Для подальшого переходу, що пов'язаний із поверненням до вихідної початково-крайової задачі (1)-(6), зробимо наступне припущення.

Означення 2.26. Говоритимемо, що розв'язок задачі, що досліджується, має додаткові властивості гладкості, якщо виконано умову:

. (25)

Підсумком підрозділу 2.4 є теорема про сильну розв'язність вихідної початково-крайової задачі (теорема 2.27) при виконанні умови (25).

У розділі 3 вивчається задача про вільні нормальні рухи просторового маятника з порожниною, яка частково заповнена однорідною капілярною в'язкою рідиною. У підрозділі 3.1 на підставі отриманих у розділі 2 диференціально-операторних рівнянь формулюється постановка спектральної задачі та наводяться прості властивості спектру цієї проблеми.

Означення 3.1. Назвемо розв'язки однорідної задачі (1)-(6), які залежать від за законом , нормальними рухами гідромеханічної системи, що досліджується.

Для означення шуканих амплітудних елементів і спектрального параметру виникає однорідна спектральна крайова задача, яку можна вивчати цими ж операторними методами, що вже використовувалися у розділі 2 при дослідженні початково-крайової задачі (1)-(6). Зокрема, початково-крайовій задачі (11)-(15) відповідає спектральна крайова задача:

(26)

(27)

(28)

(29)

Після деяких перетворювань системи рівнянь (26)-(29) вивчається спектральна задача виду:

, (30)

, . (31)

Тут - оператор потенційної енергії:

,

а - оператор кінетичної енергії гідромеханічної системи:

.

Якщо в (30), (31), то маємо наступне твердження.

Теорема 3.2. Число завжди є власним значенням задачі (30), (31). Якщо виконано умову

(32)

то це нульове власне значення однократне, а відповідний власний елемент відповідає нульовому розв'язку задачі (30), (31) та довільному значенню . Ці тривіальні розв'язки пов'язані з переходом маятника від вихідного стану покою до нового стану покою, що отриманий від вихідного завдяки довільного звороту на кут .

Якщо виконано умову

(33)

то задача (30), (31) має -кратне нульове власне значення. Умову (33) виконано, зокрема, тоді, коли гідромеханічна система знаходиться на межі області стійкості, тобто

. (34)

Наведемо далі прості властивості спектру досліджуваної проблеми при :

1⁰. У задачі (30), (31) можна оставити поза розглядом стовпчик і отримати рівняння для шуканого стовпчика , яке після зміни , та застосування ліворуч оператора перетворюється до симетричного вигляду. В результаті досліджуваній задачі відповідає самоспряжений операторний жмуток вигляду

, (35)

який діє в гільбертовому просторі .

2⁰. У задачі, що досліджується, недійсні власні значення , а також ті дійсні, яким відповідають приєднані елементи жмутку з (35), розташовані у півплощині

(лема 3.5).

3. Теорема 3.7. (принцип зміни стійкості). Безперервно змінюючи фізичні параметри гідромеханічної системи, що досліджується, власні значення задачі (30), (31) можуть безперервно переходити з правої комплексної півплощини в ліву лише за дійсною віссю через нуль комплексної площини, причому в момент переходу має бути виконано умову (33).

У підрозділі 3.2 вивчаються питання повноти та базисності системи власних і приєднаних (кореневих) елементів спектральної задачі. Доводиться асимптотика послідовності власних значень у наступному твердженні.

Теорема 3.17. Спектральна задача про нормальні коливання гідромеханічної системи, що досліджується, має дискретний спектр , який локалізований в околу дійсній півосі, з граничною точкою й асимптотичною поведінкою

. (36)

За розв'язками спектральної задачі можна побудувати в деякому гільбертовому просторі систему елементів, яка є повною у цьому просторі, а також у відповідному просторі з нормою графіка основного оператору, або повною в цих просторах із точністю до скінченного дефекту (теорема 3.22). Ці властивості разом з формулою (36) уможливлюють доведення також властивості базисності, або базисності зі скінченним дефектом, за Абелем-Лідським (теорема 3.26).

Отже, у підрозділі 3.2 вказано, якщо оператор потенційної енергії додатно визначений, тобто система статично стійка за лінійним наближенням, то всі її нормальні рухи є згасаючими за часом. При цьому виявлено, що в околу нуля комплексної площини та в лівій півплощини власні значення дійсні та при переході з правої півплощини в ліву (в процесі змінення фізичних параметрів системи) вони проходять через нуль (теорема 3.7). Границею фізичних параметрів, що відповідають такому переходу, є умова (33), а вперше перехід здійснюється за умовою .

У підрозділі 3.3 розглядається випадок, коли оператор потенційної енергії системи не є додатно визначеним у просторі , тобто коли умову статичної стійкості за лінійним наближенням не виконано та оператор потенційної енергії має принаймні одне від'ємне власне значення.

Як добре відомо з механіки, при дослідженні рухів динамічних систем (зі скінченним числом ступенів волі) важлива роль належить теоремі про стійкість або нестійкість розв'язків відповідних рівнянь рухів. Зокрема, для малих рухів таких систем встановлено: якщо потенційна енергія системи має грубий мінімум у стані рівноваги, то малі рухи системи стійкі; якщо ж потенційна енергія системи має в стані рівноваги грубий ``не-мінімум', то рух системи нестійкий. Останній факт називають оберненням теореми Лагранжа про стійкість.

Відповідні питання в динаміці систем із нескінченним числом ступенів волі частіше стають достатньо складними. У цьому підрозділі вони розглядаються стосовно проблеми малих нормальних рухів просторового маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною. Підсумком є обернення теореми Лагранжа про стійкість гідромеханічної системи, що вивчається (теорема 3.34).

Теорема 3.34. Нехай потенційна енергія гідромеханічної системи, що складається з просторового маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною, не має мінімуму в стані рівноваги (статична нестійкість) і мінімальне власне значення оператора від'ємне. Тоді гідромеханічна задача, що досліджується, має принаймні одне від'ємне власне значення ; йому відповідають нормальні рухи системи, які залежать від за законом , тобто які експоненційно зростають за часом. Іншими словами, гідромеханічна система, що досліджується, динамічно нестійка.

Зазначимо, що може бути від'ємним, коли капілярна в'язка рідина підвішена зверху в посудині, а сили ваги діють зверху вниз, або рідина знаходиться знизу посудини, але сили ваги діють знизу вверх. Такі можливості реалізуються в умовах, близьких до невагомості, коли рідке паливо частково заповнює бак космічної ракети.

У розділі 4 коротко розглядаються задачі про коливання маятника з порожниною, яка заповнена в'язкою капілярною рідиною, які, з одного боку, щільно притикають до проблем, що вивчені в розділах 2 і 3, а з іншого, досліджуються тими самими методами, які були розвинуті в цих розділах. Це, по-перше, задачі, в яких порожнина маятника заповнена декількома рідинами, а по-друге, всі аналогічні двомірні (плоскі) задачі про малі рухи і нормальні коливання гідромеханічної системи ``маятник-рідина'', що вивчається.

У підрозділі 4.1 вивчається задача про малі коливання просторового маятника, порожнина якого цілком заповнена декількома в'язкими капілярними рідинами. Ця задача є узагальненням проблеми, що обговорювалася в розділах 2 і 3. Тут використовуються ті ж самі позначки, які застосовувалися раніше, а також ті нові, які пов'язані з наявністю не однієї, а декількох рідин. У результаті побудов задача Коші, що виникла для системи диференціальних рівнянь у гільбертових просторах, співпадає з точністю до вибору просторів із задачею Коші, що відповідає проблемі коливань маятника з порожниною, яка частково заповнена однієї рідиною. При цьому загальні властивості операторів і просторів ідентичні (теореми 4.6, 4.8, 4.9, лема 4.1 і відповідно теореми 2.5, 2.8, 2.11). Звідки виходить, що для задачі про малі рухи і нормальні коливання просторового маятника з порожниною, яка заповнена системою з капілярних в'язких рідин, справедливі ті ж самі загальні висновки, які в розділах 2 і 3 були встановлені для задачі про малі рухи і нормальні коливання просторового маятника з порожниною, яка частково заповнена однією капілярною в'язкою рідиною.

У підрозділах 4.2 і 4.3 розглядаються плоскі (двомірні) задачі про коливання маятника з порожниною, яка частково заповнена однією капілярною в'язкою рідиною або повністю системою з капілярних в'язких рідин. Тут застосовуються підходи, що використано при розгляданні відповідних просторових задач. Таким чином, і для плоских задач, що представлено у параграфах 4.2 і 4.3 даного розділу, загальний підхід, який розвинуто у розділах 2 і 3, також застосовується, а результати досліджень близькі до відповідних результатів у просторових задачах.

Основні результати та висновки

У дисертації досліджено малі рухи і нормальні коливання маятника з порожниною, яка заповнена однією капілярною в'язкою рідиною або повністю системою з капілярних в'язких рідин, що не змішуються. Отримано наступні основні результати.

1) Сформульовано повну математичну постановку задач про малі коливання просторового (тримірного) маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною або повністю заповнена системою з капілярних в'язких рідин. Отримано закон балансу повної енергії гіромеханічних систем, що досліджуються.

2) Застосовано операторний підхід, який пов'язаний із наведенням задачі про малі коливання просторового маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною, до задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку в гільбертовому просторі. Вивчено властивості операторних коефіцієнтів отриманого операторного рівняння та на цій підставі доведено теорему про коректну розв'язність асоційованої задачі Коші на довільному відрізку часу . При виконанні додаткових умов гладкості розв'язків асоційованої задачі доведено існування та єдиність розв'язку вихідної початково-крайової задачі про малі коливання просторового маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною.

3) Досліджено задачі про нормальні коливання проблем пункту 1). Для цих спектральних задач отримано твердження про те, що спектр задач (у випадку статичної стійкості за лінійним наближенням) є дискретним, розташований у відкритій півплощині, локалізований в околу дійсної півосі та має граничну точку . Встановлено, що число завжди є власним значенням спектральних задач і йому відповідають нові стани покою системи. Наведено асимптотику власних значень спектральних задач, що досліджуються.

4) Доведено, що система кореневих елементів є повною в деякому гільбертовому просторі, а також у відповідному просторі з нормою графіка основного оператора, або повною в цих просторах із точністю до скінченного дефекту. Доведено також базисність за Абелем-Лідським або базисність зі скінченним дефектом за Абелем-Лідським системи кореневих елементів.

5) Доведено принцип зміни стійкості: змінюючи фізичні параметри динамічної системи власні значення можуть переходити з правої комплексної півплощини в ліву через нуль комплексної площини. Досліджено випадок, коли умову статичної стійкості не виконано й оператор потенційної енергії має скінченне число від'ємних власних значень. Доведено обернення теореми Лагранжа про стійкість.

6) Розглянуто відповідні плоскі задачі про малі рухи гідросистем, що досліджуються. Встановлено сильну розв'язність вихідних початково-крайових задач про малі коливання маятника з порожниною, яка заповнена однією або повністю системою з капілярних в'язких рідин. Відмічено, що властивості спектру плоских задач про нормальні коливання маятника з порожниною, яка заповнена однією або повністю системою з капілярних в'язких, аналогічні раніше доведеним при розгляданні відповідних просторових задач.

Список опублікованих автором праць за темою дисертації

1. Дудик О.А. Нормальные колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью, при условии статической неустойчивости / О.А. Дудик // Ученые Записки ТНУ: Серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». - Т. 20 (59) № 1. - 2007. - С. 57-64.

2. Дудик О.А. Малые колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью / О.А. Дудик // Труды ИПММ НАН Украины. - Донецк: Инст. прикл. мат. и мех. НАН Украины. - 2008. - Том 16. - С. 67-79.

3. Дудик О.А. Малые движения и нормальные колебания плоского маятника с полостью, заполненной несколькими капиллярными вязкими жидкостями / О.А. Дудик // Труды ИПММ НАН Украины. - Донецк: Инст. прикл. мат. и мех. НАН Украины. - 2009. - Том 19. - С. 72-80.

4. Дудик О.А. Операторный подход к проблеме малых движений и нормальных колебаний маятника с полостью, заполненной системой из капиллярных вязких жидкостей / О.А. Дудик // Ученые Записки ТНУ: Серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». - T. 22(61), №1. - 2009. - С. 36-52.

5. Батыр Э.И. Малые колебания тел с полостями, заполненными несжимаемой вязкой жидкостью / Э.И. Батыр, О.А. Дудик, Н.Д. Копачевский // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - Спецвыпуск: Актуальные проблемы математической гидродинамики. - 2009. - С. 15-29.

6. Дудик О.А. О нормальных колебаниях пространственного маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью / О.А. Дудик // Ученые Записки ТНУ: Серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». - Т. 23 (62), № 2. - 2010. - С. 66-77.

7. Дудик О.А. Малые движения и нормальные колебания капиллярной вязкой жидкости в неподвижном сосуде / О.А. Дудик // Таврическая научная конференция студентов и специалистов по информатике и математике (Украина, Симферополь, 20-21 апреля, 2004): Тезисы докладов. - Вып. 1. - С. 20-23.

8. Дудик О.А. Малые колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью / О.А. Дудик // Всеукраїнська наукова конференція молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвячена 100-річному ювілею Я.Б. Лопатинського (Україна, Донецьк, 6-7 грудня, 2006): Тези доповідей. - 2006. - С. 58-59.

9. Dudik O.A. On small oscillations of a pendulum with a cavity partially filled by a capillary viscous fluid / O.A. Dudik // International Conference «Modern Analysis and Applications (MAA 2007)», dedicated to the centenary of Mark Krein: Odessa, Ukraine, April 9-14, 2007. Book of Abstracts. - 2007. - Р. 42.

10. Дудик О.А. О малых движениях и нормальных колебаниях плоского маятника с полостью, заполненной несколькими капиллярными вязкими жидкостями / О.А. Дудик // Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications Dedicated to Ya.B. Lopatinskii. Book of Abstracts. - Donetsk. - 2008. - P. 70.

11. Копачевский Н.Д. Операторный подход к проблеме малых движений и нормальных колебаний тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью / Н.Д. Копачевский, Э.И. Батыр, О.А. Дудик // Материалы международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (МГУ, Москва, Россия, 30 марта-2 апреля 2009 г.). - 2009. - С. 120.

12. Дудик О.А. О малых движениях и нормальных колебаниях пространственного маятника с полостью, заполненной системой из капиллярных вязких жидкостей / О.А. Дудик // Тезисы докладов Украинского математического конгресса - 2009 (Украина, Киев, 27-29 августа, 2009) [Электронный ресурс] Режим доступа к журн.: http://www.imath.kiev.ua/~congress2009/Abstracts/Dudik.html.

13. Дудик О.А. Об операторном подходе к задаче о малых движениях и нормальных колебаниях маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью / O.A. Dudik // Third International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Yaroslav Lopatynsky. Book of Abstracts. - Donetsk. - 2010. - P. 56.

Анотація

Дудік О.О. Малі рухи маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. -- Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України, Сімферополь, 2011 р.

Дисертація присвячена дослідженню просторових і плоских задач про малі рухи та нормальні коливання маятника з порожниною, яка частково заповнена однією або декількома капілярними в'язкими рідинами, що не змішуються. гідромеханічний маятник асимптотика спектральний

Розглянуто лінійну початково-крайову задачу про малі рухи маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною. Від цієї задачі вдається перейти до задачі Коші для абстрактного параболічного рівняння в гільбертовому просторі. На цій підставі доведено існування та єдиність сильного розв'язку проблеми, що досліджується.

Вивчено спектральну задачу гідросистеми, що досліджується, за умови статичної стійкості за лінійним наближенням. Доведено, що спектр задачі дискретний, розташований у відкритій правій півплощині, локалізований в околу дійсної півосі та має граничну точку на нескінченності. Доведено, що система кореневих елементів створює базис за Абелем-Лідським у деякому гільбертовому просторі, а також у відповідному просторі з нормою графіка основного оператора, або базис за Абелем-Лідським у цих просторах із точністю до скінченного дефекту. Наведено асимптотику власних значень. Доведено обернення теореми Лагранжа про стійкість.

Ключові слова: малі рухи, капілярна в'язка рідина, гільбертовий простір, спектральна задача, дискретний спектр, асимптотика власних значень, нестійкість, обернення теореми Лагранжа.

Аннотация

Дудик О.А. Малые движения маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. -- Таврический национальный университет имени В.И. Вернадського Министерства образования и науки, молодежи и спорта Украины, Симферополь, 2011 г.

Диссертация посвящена исследованию пространственных и плоских задач о малых движениях и нормальных колебаниях маятника с полостью, заполненной одной либо несколькими несмешивающимися капиллярными вязкими жидкостями.

Рассмотрена линейная начально-краевая задача о малых движениях пространственного (трехмерного) маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью. Основным методом, который используется при исследовании задачи, является операторный подход, базирующийся на двух вспомогательных задачах С.Г. Крейна и абстрактной формуле Грина. При помощи предложенного метода удается перейти от начально-краевой проблемы о малых движениях маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью, к системе дифференциально-операторных уравнений в ортогональной сумме гильбертовых пространств, а затем к задаче Коши для абстрактного параболического уравнения в гильбертовом пространстве. Изучены свойства операторных коэффициентов полученного уравнения. На этой основе доказывается существование и единственность сильного решения исходной начально-краевой проблемы.

Изучена спектральная задача исследуемой гидросистемы при условии статической устойчивости по линейному приближению. Доказано, что спектр задачи дискретный, расположен в открытой правой полуплоскости, локализован в окрестности положительной полуоси и имеет предельную точку на бесконечности. Доказано, что система корневых элементов образует базис Абеля-Лидского в некотором пространстве, а также в соответствующем пространстве с нормой графика основного оператора, либо базис Абеля-Лидского в этих пространствах с точностью до конечного дефекта. Приведена асимптотика собственных значений.

Установлено, что при изменении физических параметров динамической системы собственные значения задачи могут переходить из правой комплексной полуплоскости в левую через нуль комплексной плоскости. В работе рассмотрен случай, когда условие статической устойчивости по линейному приближению не выполнено, и оператор потенциальной энергии имеет по крайней мере одно отрицательное собственное значение. Доказано обращение теоремы Лагранжа об устойчивости.

Сформулированы общие выводы о свойствах решений задачи о колебаниях маятника с полостью, полностью заполненной системой из однородных вязких капиллярных жидкостей. Они аналогичны полученным результатам при исследовании малых движений маятника с полостью, частично заполненной одной капиллярной вязкой жидкостью. Рассмотрены плоские (двумерные) задачи о колебаниях маятника с полостью, частично заполненной одной капиллярной вязкой жидкостью либо полностью системой из капиллярных вязких жидкостей. Полученные результаты аналогичны соответствующим результатам в пространственных задачах.

Результаты диссертации дополняют и развивают теорию малых движений твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью либо системой из несмешивающихся вязких жидкостей, в условиях невесомости или близких к ним.

Ключевые слова: малые движения, капиллярная вязкая жидкость, гильбертово пространство, спектральная задача, дискретный спектр, асимптотика собственных значений, неустойчивость, обращение теоремы Лагранжа.

Abstract

Dudik O.A. On small motions of a pendulum with a cavity partially filled with a capillary viscous fluid. -- Manuscript.

The dissertation for obtaining scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.02 - differential equations. -- National Tavrida V.I. Vernadsky University of Ministry of Education, Science, Youth and Sports of Ukraine, Simferopol, 2011.

The dissertation is devoted to research 3-dimension and 2-dimension problems on small motions and normal oscillations of a pendulum with a cavity filled with a capillary viscous fluid or with some capillary viscous fluids.

We consider the linear initial boundary value problem on small motions and normal oscillations of a pendulum with a cavity filled with a capillary viscous fluid. By consideration of the given evolution problem the approach of research is applied. It has allowed to prove existence and uniqueness of the strong solutions to initial boundary value problem.

It is studied spectral problem of the investigated hydrosystem under assumption of a static stability on the linear approximation. The spectrum of the problem is discrete. It is situated in opened right half-plane around the positive axis with unique limit point at infinity. Corresponding systems of root elements form Abel-Lidsky basis or Abel-Lidsky basis up to a finite defect in some Hilbert space. The asymptotic of eigenvalues is established. We consider also the case of a static instability on the linear approximation. The inversion Lagrange's theorem on stability is proved.

Key words: small motions, capillary viscous fluid, Hilbert space, spectral problem, discrete spectrum, asymptotic of eigenvalues, instability, inversion Lagrange's theorem.

Размещено на Allbest.ru

...