Основные предпосылки науки о сопротивлении материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Сопротивление материалов

1.1 Задачи и методы сопротивления материалов

Все твердые тела в той или иной мере обладают свойствами прочности и жесткости, т.е. способны в определенных пределах воспринимать воздействие внешних сил, без разрушения и без существенного изменения геометрических размеров.

Сопротивление материалов - наука о прочности и жесткости элементов инженерных конструкций. Методами сопротивления материалов ведутся практические расчеты и определяются необходимые, как говорят, надежные размеры деталей машин и различных строительных сооружений.

Неправильный расчет самой на первый взгляд незначительной детали может повлечь за собой очень тяжелые последствия, привести к разрушению всей конструкции.

Кроме расчетов на прочность, во многих случаях проектирования производят расчеты на жесткость и устойчивость. Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкций, при которых перемещения (деформации) не превышают заданных (обычно весьма малых) величии, допустимых по условиям нормальной эксплуатации.

Основные положения сопротивления материалов опираются на законы и теоремы общей механики и в первую очередь на законы статики, без знания которых изучение курса сопротивления материалов немыслимо.

В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций и вопросы расчета некоторых простейших конструкций.

В отличие от теоретической механики, в которой все тела рассматриваются как абсолютно твердые, в сопротивлении материалов учитывается, что элементы конструкций изготовлены из материалов, которые при действии на них внешних сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.

В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики (в первую очередь статики) и математического анализа, а также используются данные из разделов физики, изучающих свойства различных материалов.

Сопротивление материалов является наукой экспериментально-теоретической, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.

Основное внимание в сопротивлении материалов уделяется изучению брусьев, являющихся наиболее распространенными элементами многих конструкций.

Брусом (или стержнем) называется элемент, длина которого значительно больше его поперечных размеров (рис. 1.1, а). Горизонтальный (или наклонный) брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой.

Ось бруса представляет собой геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести площадей поперечных сечений бруса, т. е. сечений, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к указанной оси.

Элемент конструкции, длина и ширина которого во много раз превышают его толщину, называется оболочкой (рис. 1.1, б)

Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью.

Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластинкой (рис. 1.1, в).

Элемент конструкции, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга (например, сплошная опора моста), называется массивным телом (рис. 1.1, г).



Рис 1.1

1.2 Классификация сил, действующих на элементы конструкций

При работе сооружений и машин их части воспринимают внешние нагрузки и действие их передают друг другу. Плотина воспринимает свой собственный вес и давление удерживаемой ею воды и передает эти силы на основание.

Классификацию сил можно произнести по нескольким признакам.

Мы различаем силы сосредоточенные и распределенные.

Сосредоточенными силами называются давления, передающиеся на элемент конструкции через площадку, размеры которой очень малы по сравнению с размерами всего элемента, например давление колес подвижного состава на рельсы.

При расчетах, благодаря малости площадки, передающей давление, обычно считают сосредоточенную силу приложенной в точке. Надо помнить, что это - приближенное представление, вводимое лишь для упрощения расчета; через точку никакого давления фактически передать нельзя. Однако неточность, вызываемая таким приближенным представлением, настолько мала, что ею обычно на практике можно пренебречь.

Распределёнными нагрузками называются силы, приложенные непрерывно на протяжении некоторой длины или площади конструкции. Слой песка одинаковой толщины, насыпанный на тротуар моста, представляет собой нагрузку, равномерно распределённую по некоторой плошали; при неодинаковой толщине слоя мы получим неравномерно распределенную сплошную нагрузку. Собственный вес балки какого-либо перекрытия представляет собой нагрузку, распределённую по длине элемента.

Сосредоточенные нагрузки измеряются в единицах силы (тоннах, килограммах); распределенные по площади нагрузки выражаются в единицах силы, отнесенных к единице площади (т/м², кг/см² и т. п.); распределенные по длине элемента - в единицах силы, отнесённых к единице длины (кг/м).

Далее нагрузки можно разделить на постоянные и временные. Первые действуют во все время существования конструкции, например собственный вес сооружения. Временные нагрузки действуют на конструкцию лишь в течение некоторого промежутка времени. Примером может служить вес поезда, идущего по мосту.

По характеру действия нагрузки можно разделить на статические и динамические.

Статические нагружают конструкцию постепенно; будучи приложены к сооружению, они не меняются или меняются незначительно; таково большинство нагрузок в гражданских и гидротехнических сооружениях. При передаче статических нагрузок на конструкцию все ее части находятся в равновесии; ускорения элементов конструкции отсутствуют или настолько малы, что ими можно пренебречь.

Если же эти ускорения значительны и изменение скорости элементов машины или другой конструкции происходит за сравнительно небольшой период времени, то мы имеем дело с приложением динамических нагрузок.

Примерами таких нагрузок могут служить внезапно приложенные нагрузки, ударные и повторно-переменные.

Внезапно приложенные нагрузки передаются на сооружение сразу полной своей величиной. Таковы давления колес паровоза, входящего на мост.

Ударные нагрузки возникают при быстром изменении скорости соприкасающихся элементов конструкции, например при ударе бабы копра о сваю при ее забивке.

Повторно-переменные нагрузки действуют на элементы конструкции, повторяясь значительное число раз. Таковы, например, повторные давления пара, попеременно растягивающие и сжимающие шток поршня и шатун паровой машины. Во многих случаях нагрузка представляет собой комбинацию нескольких видов динамических воздействий.

Заканчивая классификацию сил, действующих на элемент конструкции, можно выделить воздействие тех ее частей, на которые этот элемент опирается; эти силы называются реакциями; в начале расчета они оказываются неизвестными и определяются из условия, что каждая часть конструкции находится в равновесии под действием всех приложенных к ней сил и реакций.

сопротивление напряжение сила статический

1.3 Основные предпосылки науки о сопротивлении материалов

При исследовании прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций в сопротивлении материалов используют ряд предпосылок (допущений), упрощающих расчеты. Эти предпосылки, как показывают эксперименты, а также исследования, проведенные более строгими методами теории упругости, можно использовать при решении большинства задач, рассматриваемых в сопротивлении материалов. В некоторых случаях, специально оговариваемых, часть допущений использовать нельзя, так как это дало бы неправильные результаты.

Основные предпосылки науки о сопротивлении материалов следующие.

1. Материал конструкции является однородным и сплошным, т.е. его свойства не зависят от формы и размеров тела и одинаковы во всех его точках.

Это положение позволяет не принимать во внимание дискретную, атомистическую структуру вещества и тем более движение отдельных молекул, составляющих тело. Оно применяется даже при расчете конструкций из такого неоднородного материала, как бетон, состоящего из щебня, связанного цементным раствором. Это можно делать потому, что размеры отдельных частиц материала невелики по сравнению с размерами сечений элементов конструкции.

Данная предпосылка позволяет, рассматривая при теоретическом анализе бесконечно малый элемент конструкции, наделять его свойствами, которыми обладает объем тела реальных размеров.

2. Материал конструкции изотропен, т. е. свойства его по всем направлениям одинаковы.

Эта предпосылка используется при решении большинства задач сопротивления материалов, хотя для некоторых материалов она весьма условна (например, для дерева, свойства которого в направлениях вдоль и поперек волокон различны). Такие материалы, свойства которых в различных направлениях различны, называются анизотропными. При решении некоторых задач необходимо учитывать различные свойства материала в различных направлениях, т. е. его анизотропию.

3. Материал конструкции обладает свойством идеальной упругости, т. е. способностью полностью восстанавливать первоначальные форму и размеры тела после устранения причин, вызвавших его деформацию. Деформация идеально упругого тела в каждый момент времени зависит только от нагрузок, действующих в этот момент на тело, и не зависит от того, в какой последовательности нагрузки приложены.

Эта предпосылка справедлива лишь при напряжениях, не превышающих для данного материала определенной, постоянной величины, называемой пределом упругости. При напряжениях, превышающих предел упругости, в материале возникают или пластические (остаточные) деформации, не исчезающие после снятия нагрузки, или упругопластические - частично исчезающие.

Предпосылка об идеальной упругости материала используется при решении большинства задач сопротивления материалов.

4. Деформации материала конструкции в каждой его точке прямо пропорциональны напряжениям в этой точке.

Данная предпосылка, впервые сформулированная Р. Гуком, называется законом Гука.

Закон Гука справедлив для большинства материалов, но для каждого из них лишь при напряжениях, не превышающих некоторой величины (предела пропорциональности). Этот закон используется при решении большинства задач сопротивления материалов.

5. Деформации конструкции предполагаются настолько малыми, что можно не учитывать их влияния на взаимное расположение нагрузок и на расстояния от нагрузок до любых точек конструкции.

Вопрос о возможности применения этой предпосылки решается в каждом отдельном случае с учетом не только вида конструкции, но также характера и величины действующей на нее нагрузки. Так, например, при расчете балки, изображенной на рис. 1.2 , а, можно не учитывать ее деформации (при определении усилий в ней), если прогиб д (дельта) значительно меньше высоты h поперечного сечения. При расчете же балки, показанной на рис. 1.2. б, ее деформацию можно не учитывать даже тогда, когда прогиб д больше высоты h, при условии, что он невелик по сравнению с длиной бруса l.



Рис. 1.2

6. Результат воздействия на конструкцию системы нагрузок равен сумме результатов воздействия каждой нагрузки в отдельности.

Это положение носит название принципа независимости действия сил. Его часто называют также принципом наложения. Он применим в тех случаях, когда могут быть использованы закон Гука и предпосылка о малости деформаций, так как является их следствием.

Из принципа наложения следует, что перемещения точек конструкции и напряжения в ней прямо пропорциональны величине нагрузки.

Аналогично можно найти прогибы любых других точек бруса, внутренние усилия в его поперечных сечениях и напряжения.

Принцип независимости действия сил не распространяется на работу внешних и внутренних сил и на потенциальную энергию.

7. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к оси бруса до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси при действии нагрузки.

Эта предпосылка называется гипотезой плоских сечений, или гипотезой Бернулли. Она играет исключительно важную роль в сопротивлении материалов и используется при выводе большинства формул для расчета брусьев.

1.4 Реальный объект и расчетная схема

В сопротивлении материалов, как и во всякой отрасли естествознания, исследование вопроса о прочности реального объекта начинается с выбора расчетной схемы. Приступая к расчету конструкции следует прежде всего установить, что в данном случае является существенным и что несущественно; необходимо, как говорят, произвести схематизацию объекта и отбросить все те факторы, которые могут сколько-нибудь заметным образом повлиять на работу системы в целом. Такого рода упрощение задачи или выбор ее схемы во всех случаях совершенно необходим, так как решение с полным учетом всех свойств реального объекта является принципиально невозможным в силу их очевидной неисчерпаемости.

Если, например, требуется произвести расчет на прочность каната подъемника, то в первую очередь надо учесть вес поднимаемого груза, ускорение, с которым он движется, а при большой высоте подъема, возможно, также и вес самого каната. В то же время заведомо надо отбросить влияние таких несущественных факторов, как аэродинамическое сопротивление, возникающее при подъеме клети, силы барометрического давления на разных высотах, изменение температур с высотой и другие подобные им факторы, которых может быть названо неограниченное количество.

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Для одного и того же объекта может быть предложено несколько расчетных схем, в первую в зависимости от требуемой точности и от того, какая сторона явления интересует исследователя в данном конкретном случае. Так, если в упомянутом примере подъемника нужно оценить только прочность каната, то клеть и груз допустимо рассматривать как жесткое целое и свести их действие на канат к силе, приложенной на конце каната (рис 1.3). Если же необходимо решить вопрос о прочности самой клети, то последнюю уже нельзя считать абсолютно твердым телом. Ее конструктивные особенности надо рассматривать отдельно и в соответствии с этим выбрать для нее иную расчетную схему.

Рис. 1.3

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения и в геометрию реального объекта. Основным упрощающим приемом в сопротивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схеме бруса или к схеме оболочки.

Под брусом понимается, вообще говоря, тело, одно из измерений которого (длина) много больше двух других. Геометрически брус может быть образован путем перемещения плоской фигуры вдоль некоторой кривой, как это показано на рис. 1.4. Эта кривая называется осью бруса, а плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и нормальная к ней, называется его поперечным сечением. Брус может иметь сечение и постоянное и переменное вдоль оси. Сечение может также поворачиваться около оси. Бpуc в этом случае носит название естественно закрученного.

Рис. 1.4

При схематизации реальных объектов в сопротивлении материалов делаются также упрощения и в системе сил, приложенных к элементу конструкции, в частности, вводится понятие сосредоточенной силы. Например, при расчете бруса, показанного на (рис. 1.5, а), можно рассматривать груз Р как силу, приложенную в точке (рис. 1.5, в). Такое упрощение является естественным, поскольку размеры площадки, по которой происходит передача силы на брус (рис. 1.5, б), малы по сравнению с общими размерами бруса. Ясно, что в реальных конструкциях передача усилий в точке неосуществима, и сосредоточенная сила представляет собой понятие, свойственное только расчетной схеме.

Внешние силы, их величина и характер распределения зависят в первую очередь от того, где проходит граница между рассматриваемым объектом и окружающими его телами.

1.5 Внутренние силы. Метод сечений

Внутренние силы возникают не только между отдельными взаимодействующими узлами конструкции, но, вообще, между всеми смежными частицами объекта при нагружении.

Внутри любого материала имеются внутренние межатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение (увеличение или уменьшение) внутренних сил, т. е. появление дополнительных внутренних сил. В сопротивлении материалов изучаются дополнительные внутренние силы. Поэтому под внутренними силами (или внутренними усилиями) в сопротивлении материалов понимают силы взаимодействия между отдельными элементами сооружения или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил.

Рассмотрим некоторое тело, имеющее форму бруса (рис. 1.5, а). Пусть к нему приложена некоторая нагрузка, т. е. система внешних сил Р₁, Р₂, …, Р_n, удовлетворяющая условиям равновесия. Внутренние силы, возникающие в брусе, выявляются только в том случае, если рассечь брус мысленно на две части, например, сечением I. Такой прием выявления внутренних сил в сопротивлении материалов носит название метода сечений.

Так как связи между частями устранены, необходимо действие правой части на левую и левой на правую заменить системой сил.

Мысленно рассечем элемент плоскостью I. Силы воздействия отсеченной правой части элемента на его левую часть (на правый ее торец) являются по отношению к ней внешними; для всего же элемента в целом они являются внутренними силами. Этим силам (на основании известного закона механики: действие равно противодействию) равны по величине и противоположны по направлению внутренние силы воздействия левой части элемента на правую.

В общем случае пространственной задачи взаимодействие между левой и правой частями элемента можно представить некоторой силой R, приложенной в произвольно выбранной точке О сечения I, и моментом М относительно некоторой оси, проходящей через эту точку (рис. 3, б, в). Сила R является главным вектором, а момент М - главным моментом системы внутренних сил, действующих по проведенному сечению.

Рис. 1.5

Определение внутренних сил, возникающих в брусе, обычно производится для сечений, перпендикулярных к его продольной оси, т.е. для поперечных сечений бруса. Точка О принимается расположенной на оси бруса, т. е. совпадающей с центром тяжести его поперечного сечения. Главный вектор R раскладывается на две составляющие силы: силу N, направленную вдоль оси бруса и называемую продольной силой, и силу Т, действующую в плоскости поперечного сечения и называемую поперечной силой (рис. 4, а). Момент М раскладывается на два составляющих момента: момент М_к, действующий в плоскости поперечного сечения и называемый крутящим моментом, и момент М_и, действующий в плоскости, перпендикулярной к поперечному сечению, и называемый изгибающим моментом (рис. 4, б).



Рис. 4.

Каждому из внутренних усилий N, Т, М_к и М_и соответствует определенный вид деформации бруса. Продольной силе N соответствует растяжение (или сжатие), поперечной силе Т - сдвиг, крутящему моменту М_к - кручение, а изгибающему моменту М_и - изгиб. Различные их сочетания, например, сжатие с изгибом, изгиб с кручением и т. п., представляют собой сложные сопротивления.

Внутренние усилия N и М_к характеризуются каждое одним параметром - величиной усилия. Поперечная сила Т характеризуется двумя параметрами, например, величиной этой силы и ее направлением (в плоскости поперечного сечения бруса). Более удобно силу Т определять через составляющие ее поперечные силы Q_z и Q_y, параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, расположенным в плоскости поперечного сечения бруса (см. рис. 5.1, а). Изгибающий момент М_и также характеризуется двумя параметрами; его обычно раскладывают на два составляющих изгибающих момента М_z и M_y относительно осей z и у.

Таким образом, взаимодействие любых двух частей конструкции характеризуется тремя составляющими N, Q_z, Q_y главного вектора и тремя составляющими М_к, М_z и M_y главного момента внутренних сил, возникающих в рассматриваемом поперечном сечении. Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами, или внутренними усилиями.

Рассмотрим общий прием определения внутренних усилий, называемый методом сечений.

Рассечем стержень (рис. 6.1, а) плоскостью I, совпадающей с поперечным сечением стержня. В полученном поперечном сечении в общем случае действует шесть внутренних усилий: N, Q_z, Q_y, М_к, М_z и М_у (рис. 6.1, б, в).

Правая часть стержня (рис. 6.1, в) находится в равновесии; значит, внешние силы P₄ и P₅, приложенные к ней, уравновешиваются внутренними усилиями, действующими на правую часть. Но те же внешние силы уравновешиваются и нагрузками, приложенными к левой части стержня (силами Р₁, Р₂, Р₃), так как весь стержень в целом (рис 6.1, а) также находится в равновесии. Следовательно, нагрузки, приложенные к левой части стержня (силы Р₁, Р₂, Р₃), и внутренние усилия, действующие на правую часть, статически эквивалентны друг другу.

Таким образом, проекция на какую-либо ось внутренних усилий в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равна проекции на эту ось всех внешних сил, прилаженных к левой части. Аналогично, момент относительно какой-либо оси внутренних усилий в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равен моменту всех внешних сил, приложенных к левой части относительно этой оси.

2. Напряжения

Как уже известно, внешние сосредоточенные (т. е. приложенные в точке) нагрузки реально не существуют. Они представляют собой статический эквивалент распределенной нагрузки. Аналогично сосредоточенные внутренние силы и моменты, характеризующие взаимодействие между отдельными частями элемента (или между отдельными элементами конструкции), являются также лишь статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по площади сечения. Эти силы, так же как и внешние нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются их интенсивностью, которая равна

где - равнодействующая внутренних сил на весьма малой площадке проведенного сечения (рис. 7.1, а).

Рис. 7.1.

Разложим силу на две составляющие: касательную T и нормальную ?N, из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая перпендикулярна к этой плоскости. Интенсивность касательных сил в рассматриваемой точке сечения называется касательным напряжением и обозначается ф (тау), а интенсивность нормальных сил - нормальным напряжением и обозначается у (сигма). Напряжения ф и у выражаются формулами

Напряжения имеют размерность кГ/мм², кГ/см², Т/м² и т. д.

Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения р в рассматриваемой точке по данному сечению (рис. 7.1, б). Очевидно, что

(3.1)

Нормальное напряжение в данной точке по определенному сечению характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкции, расположенных по обе стороны этого сечения, а касательное напряжение - интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения. Величины напряжений у и ф в каждой точке элемента зависят от направления сечения, проведенного через эту точку.

Совокупность напряжений у и ф, действующих по различным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой напряженное состояние в этой точке.

2.1 Деформации и перемещения

Под действием нагрузки конструкция деформируется, т.е. ее форма и размеры изменяются. Рассмотрим, что представляют собой деформация и перемещение.

Мысленно через точку а тела в направлениях осей х и у проведем бесконечно малые отрезки ab и ас, длина которых dх и dy (рис. 9.1). Обозначим ?dx и ?dy изменения длин этих отрезков после приложения нагрузки к телу (когда точки а, b, с переместятся в положения а', b', c'). Отношение представляет собой линейную деформацию е_х (эпсилон) в точке а, т. е. . Аналогично и .

Изменение первоначального прямого угла между отрезками угла между отрезками ab и ac после приложения нагрузки к телу, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию (гамма) в точке а в плоскости ху. Аналогично и представляют собой угловые деформации в плоскостях уz и zx.

Деформации конструкции в каждой ее точке по любым направлениям известны, если определены линейные деформации е_х, е_у и е_z в направлениях осей х, у и z прямоугольной системы координат и угловые деформации , и в плоскостях ху, уz и zх.

Линейные и угловые деформации - величины безразмерные. Деформацию е часто называют относительной линейной деформацией, а г - относительным сдвигом.



Рис. 9.1.

Совокупность линейных деформаций е по различным направлениям и угловых деформаций г по различным плоскостям, проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой деформированное состояние в этой точке.

Деформации е и г, возникающие в каждой точке тела под действием нагрузки, вызывают, как уже отмечалось, изменение его формы и размеров. В результате этого точки тела перемещаются в новые положения, а элементарные (бесконечно малые) отрезки, соединяющие каждую пару близко расположенных друг к другу точек, поворачиваются.

Рис. 10.1

Для примера рассмотрим рис. 10.1, на котором сплошной линией показан брус до приложения к нему нагрузки, а штриховой - деформированный брус. Отметим на брусе произвольную точку а и проведем через нее короткий отрезок прямой, соединяющий точки А₁ и А₂, (отрезок А₁А₂). В результате деформации бруса точка а перейдет в положение а', а отрезок А₁А₂ - в положение А₁'А₂'. Расстояние аа' представляет собой линейное перемещение (смещение) ?а точки а, а угол б_а между направлениями отрезков А₁А₂ и А₁'А₂' - поворот отрезка А₁А₂ (угловое перемещение).

2.2 План решения основной задачи сопротивления материалов

При выборе размеров и материала для того или иного элемента конструкции мы должны обеспечить известный запас против возможности его разрушения или остающегося изменения формы. Элемент должен быть так спроектирован, чтобы наибольшие напряжения, возникающие в нём при его работе, были по всяком случае меньше тех, при которых материал разрушается или получает остаточные деформации.

Величина напряжений, достижение которых обусловливает разрушение материала, называется пределом прочности или временным сопротивлением; его мы будем обозначать теми же буквами, что и напряжения, но с индексом «в». Величина же напряжений, при превышении которых материал получает незначительные, заранее обусловленные, остаточные деформации, называется пределом упругости. Эти величины являются механическими характеристиками сопротивления материала разрушению и остаточному изменению формы).

Чтобы обеспечить сооружение от риска разрушения, мы должны допускать в его элементах напряжения, которые будут по своей величине составлять лишь часть предела прочности материала.

Величину допускаемых напряжений обозначают той же буквой, что и напряжение, но заключённой в прямые скобки; она связана с пределом прочности р_в равенством

где k - так называемый коэффициент запаса прочности - число, показывающее, во сколько раз допущенные нами в конструкции напряжения меньше предела прочности материала. Коэффициент k будем в дальнейшем называть просто коэффициентом запаса. Величина этого коэффициента колеблется на практике в пределах от 1,7-1,8 до 8-10 и зависит от условий, в которые работает конструкция. Подробнее этот вопрос разобран в §§ 17 и 18.

Обозначая наибольшие напряжения, которые возникнут при действии внешних сил в проектируемом элементе, буквой р_max, мы можем выразить основное требование, которому должны удовлетворять материал и размеры этого элемента, неравенством

Это - так называемое условие прочности: действительные напряжения должны быть не больше допускаемых.

Теперь мы можем составить план решения задач сопротивления материалов. Необходимо:

1) выяснить величину и характер действия всех внешних сил, приложенных к проектируемому элементу, включая и реакции;

2) выбрать материал, наиболее отвечающий назначению конструкции и характеру действия внешних сил, и установить величину допускаемого напряжения;

3) задаться размерами поперечного сечения элемента в числовой или алгебраической форме и вычислить величину наибольших действительных напряжений р_max, которые в нём возникнут;

4) написать условие прочности p_mаx ? [p] и, пользуясь им, найти величину поперечных размеров элемента или проверить достаточность уже принятых.

В последнее время эта схема решения задач сопротивления материалов в некоторых случаях видоизменяется; встречаются конструкции, в которых запас прочности для всей конструкции в целом оказывается большим, чем для материала в наиболее напряжённом месте. Исчерпание грузоподъёмности материала в этом месте иногда не влечет за собой исчерпания грузоподъёмности всей конструкции в целом.

Условие прочности для материала p_mаx ? [p] заменяется в этих случаях условием прочности для всей конструкции в целом:

где Р - нагрузка, действующая на конструкцию, - её допускаемая величина, а - предельная, разрушающая всю конструкцию нагрузка. Таким образом, расчёт по допускаемым напряжениям заменяется расчётом по допускаемым нагрузкам.

В этом случае необходимо:

1) выяснить величину и характер действия всех внешних сил, приложенных к конструкции;

2) выбрать материал, наиболее отвечающий назначению конструкции и характеру внешних сил, и установить величину коэффициента запаса;

3) задаться размерами поперечных сечений элементов сооружения в числовой или алгебраической форме и установить допускаемую нагрузку;

4) написать условие прочности: и, пользуясь им, найти величину поперечных размеров элементов конструкции или проверить достаточность уже принятых.

В ряде случаев, как мы увидим дальше (§27), оба метода решения дают совпадающие результаты.

Мы будем, как правило, пользоваться общепринятым пока методом расчета по допускаемым напряжениям, но параллельно будем излагать и способ расчёта по допускаемым нагрузкам в особенности там, где он даёт отличные от первого способа результаты.

В большинстве случаев условие прочности должно быть дополнено поверками на устойчивость и жёсткость. Первая поверка должна обеспечить невозможность общего изменения элементами конструкции намеченной для них формы равновесия, вторая - должна ограничить их деформации.

При решении задач сопротивления материалов приходится применять и методы теоретической механики, и экспериментальные методы. При определении внешних сил приходится основываться на уравнениях статики; в случае статически неопределимых конструкций необходимо производить, как это будет показано ниже (§ 19), вычисление деформаций материала, что возможно лишь при наличии надёжных результатов лабораторных опытов, в которых определялись зависимости между деформациями и силами или напряжениями.

Установление допускаемых напряжений требует знания предела прочности материала и других его механических характеристик, что может быть получено также при помощи экспериментальных исследований материала в специальных лабораториях испытания материалов. Наконец, вычисление действительных напряжений требует как применения методов математического анализа и механики, так и использования опытных данных. Таким образом, сопротивление материалов включает в себя две области: одну - аналитическую, основанную на механике и математике, другую - экспериментальную. Обе эти области тесно между собой переплетаются.

Сопротивление материалов нельзя рассматривать как дисциплину, которая занимается только теоретическим вычислением напряжений в каком-то однородном упругом теле. Решение задач, изучаемых в сопротивлении материалов, возможно лишь при наличии результатов экспериментального исследования механических свойств реальных материалов в связи с их структурой, методами их изготовления и обработки. Поэтому в настоящем курсе этой стороне отведено достаточное внимание. Работы в лаборатории составляют один из важнейших элементов обучения и должны непременно выполняться студентами параллельно с изучением курса. Описание этих работ, разработанное применительно к существующему оборудованию механических лабораторий, выделено в особое руководство).

Хотя при самом возникновении сопротивления материалов вопрос о прочности был поставлен в связи с чисто практическими задачами, в дальнейшем сопротивление материалов развивалось в значительной степени по линии теоретической, что и вызывало иногда разрыв между результатами исследований и их приложениями на практике. Лабораторное изучение материалов шло особняком, главным образом по линии установления норм для приемки разных материалов. В настоящее время сопротивление материалов изучает реальные материалы с точки зрения их работы в конструкциях путём широких экспериментальных и теоретических исследований, что открывает возможность решения ряда новых практических задач. Таковы задачи изучения прочности новых материалов, условий их разрушения, задачи определения напряжений не только в пределах, но и за пределами упругости, и другие.

Рис. 2.8

Из формулы (2.5) следует, что касательные напряжения имеют значения от (при ) до (при ); отрицательный угол показан на рис. 2.7, г. Значение равно нулю при (т.е. в поперечных сечениях бруса) и при . Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.

Определим значение касательных напряжений и в двух наклонных сечениях, перпендикулярных друг к другу (рис. 2.8). Углы и наклона этих сечений к плоскости поперечного сечения бруса находятся между собой в зависимости

По формуле (2.6)

Таким образом, касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и обратны по знаку.

2.3 Допускаемые напряжения. Подбор сечений

Чтобы выяснить, какую величину напряжении мы можем считать допустимой при работе стержня из выбранного материала, необходимо опытным путём установить зависимость между прочностью стержня и возникающими в нём напряжениями.

В стержнях конструкции приходится допускать при работе на растяжение нормальные напряжения [у], в несколько раз меньшие, чем предел прочности у_в; допускаемое напряжение получается делением предела прочности у_в на коэффициент запаса k. Величина этого коэффициента определяется целым рядом соображений. Во всяком случае она должна быть такова, чтобы при нормальной работе стержня не только не произошло разрыва, но чтобы не образовалось и остающихся деформаций, могущих изменить схему сооружения или машины. Коэффициент запаса меняется в зависимости от характера применяемого материала, способа действия сил на элемент, экономических условий и ряда других факторов.

Таким образом, величины допускаемых напряжений [у] для каждого случая можно считать известными. Тогда для определении необходимой величины площади поперечного сечения растянутого стержня можно (2.8), написать условие прочности; это условие должно выразить, что действительное напряжение у в растянутом стержне при действии сил Р не должно превосходить допускаемого напряжения [у]:

Из этого условия определяется наименьшая необходимая плошать стержня:

Пользуясь формулой (2.3), мы можем производить подбор сечения стержня.

Иногда площадь поперечного сечения является заданной. Тогда, решая формулу (2.3) относительно Р, мы производим определение допускаемой силы

2.4 Продольные и поперечные деформации

Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной l, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Р (рис. 2.9, а). Под действием силы Р брус удлиняется на некоторую величину ?l, которая называется полным, или абсолютным, удлинением (абсолютной продольной деформацией).

Рис. 2.9

В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние, и, следовательно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. Поэтому значение можно определить как отношение абсолютного удлинения ?l к первоначальной длине бруса l, т.е. . Линейную деформацию при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением, или относительной продольной деформацией, и обозначают

Следовательно,

Относительная продольная деформация измеряется в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис. 2.9, а), а деформацию сжатия - отрицательной (рис. 2.9, б).

Чем больше величина силы, растягивающей брус, тем больше, при прочих равных условиях, удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:

Здесь N - продольная сила в поперечных сечениях бруса;

F - площадь поперечного сечения бруса;

Е - коэффициент, зависящий от физических свойств материала.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса получаем

откуда

Абсолютное удлинение бруса выражается формулой

т.е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе.

Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.).

Более общей является следующая формулировка закона Гука относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.

Величина Е, входящая в формулы, называется модулем продольной упругости (сокращенно - модулем упругости). Эта величина - физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформации.

Произведение EF называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.

Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить b, а после приложения этих сил b+?b (рис. 9.2), то величина ?b будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса. Отношение является относительной поперечной деформацией.

Рис. 2.10

Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная поперечная деформацией прямо пропорциональна относительной продольной деформации е, но имеет обратный знак:

Коэффициент пропорциональности в формуле (2.16) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона, и представляет собой отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т.е.

Коэффициент Пуассона , наряду с модулем упругости Е, характеризует упругие свойства материала.

Величина коэффициента Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов она имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25-0,30; для ряда других метало (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36.

Таблица 2.1 Значения модуля упругости.

Наименование материала	Е в миллионах кг/см2
Сталь	2,0
Чугун (серый, белый)	1,15ч1,60
Медь и ее сплавы (латунь, бронза)	1,0
Алюминий и дуралюмин	0,7
Каменная кладка:
из гранита	0,0,097
из известняка	0,06
из кирпича	0,03
Бетон	0,10ч0,30
Дерево:
вдоль волокон	0,1
поперек волокон	0,005
Каучук	0,00008
Целлулоид	0,0193ч0,0174

Таблица 2.2 Значения коэффициента поперечной деформации (коэффициент Пуассона )

Название материала
Сталь	0,25-0,33
Медь	0,31-0,34
Бронза	0,32-0,35
Чугун	0,23-0,27
Свинец	0,45
Латунь	0,32-0,42
Алюминий	0,32-0,36
Цинк	0,21
Золото	0,42
Серебро	0,39
Стекло	0,25
Камни	0,16-0,34
Бетон	0,08-0,18
Каучук	0,47
Пробка	0,00
Фанера	0,07
Целлулоид	0,39

2.5 Диаграммы растяжения и сжатия

Механические характеристики материалов (т.е. величины, характеризующие их прочность, пластичность и т.д., а также модуль продольной упругости и коэффициент Пуассона) определяются путем испытаний специальных образцов, изготовленных из исследуемого материала.

В процессе испытания специальное устройство автоматически вычерчивает график, изображающий (в прямоугольной системе координат) зависимость между действующей на образец продольной силой и удлинением (или укорочением) образца, т.е. вычерчивает диаграмму в координатах «сила - удлинение». Для изучения свойств материала значительно удобнее иметь диаграммы, построение в координатах «напряжение - относительная деформация».

На рис. 2.11 представлена диаграмма растяжения* малоуглеродистой стали (марки Ст.3); по оси ординат отложены напряжения у, а по оси абсцисс - относительные удлинения е.

Пока растягивающие напряжения не достигают некоторой величины , диаграмма представляет собой прямую линию, т .е. относительные удлинения е прямо пропорциональны напряжениям у; иными словами, до этого предела справедлив закон Гука. Напряжение называется пределом пропорциональности.

Рис. 2.11

После достижения предела пропорциональности деформации е растут не прямо пропорционально напряжениям, а быстрее. Начиная с того момента, когда напряжения достигнут некоторой величины , деформация растут без увеличения напряжений, и на диаграмме получается участок, параллельный оси абсцисс. Это явление называется текучестью материала, а напряжение - пределом текучести. Участок диаграммы, параллельный оси абсцисс, называется площадкой текучести. При текучести стали от шлифованная блестящая поверхность образца становится матовой, и на ней можно обнаружить появление линий, наклоненных к его оси под углом примерно 45^о.

Металлографические исследования показывают, что текучесть сопровождается сдвигами в кристаллах стали; следами этих сдвигов являются линии Чернова.

При дальнейшем растяжении образца напряжения (а следовательно, и растягивающая сила) вновь начинают повышаться. Участок диаграммы 1-3 от конца площадки текучести до наивысшей точки (см. рис. 2.11) называют зоной упрочнения.

Наибольшее условное напряжение, выдерживаемое образцом, называется пределом прочности, или временным сопротивлением, и обозначается (применяется также обозначение ). Это напряжение соответствует точке 3 диаграммы. Последующее растяжение образца сопровождается уменьшением растягивающей силы. Следовательно, предел прочности представляет образец, к первоначальной площади его поперечного сечения. После достижения временного сопротивления на образце наблюдается местное суждение; образуется так называемая шейка (рис.2.12), в пределах которой и происходит затем разрыв образца. При этом условное напряжение в образце (определяемое делением величины растягивающей силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца) уменьшается соответственно уменьшению величины растягивающей силы (участок 3-4 на рис. 2.11).

Рис. 2.12

2.6 Основные механические характеристики материала

Чтобы дать количественную оценку описанным выше свойствам материала, перестроим диаграмму растяжения Р=f(Дl) в координатах у и е. Для этого уменьшим в F раз ординаты и в l раз абсциссы, где F и l - соответственно площадь поперечного сечения и рабочая длина образца до нагружения. Так как эти величины постоянны, то диаграмма (рис. 2.13) имеет тот же вид, что и

и

Рис. 2.13

диаграмма растяжения, но будет характеризовать уже не свойства образца, а свойства материала.

Отметим на диаграмме характерные точки и дадим определение соответствующих им числовых величин.

Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональности (у_п).

Величина предела пропорциональности зависит от той степени точности, с которой начальный участок диаграммы можно рассматривать как прямую. Степень отклонения кривой от прямой определяют по величине угла, который составляет касательная к диаграмме с осью у. В пределах закона Гука тангенс этого угла определяется величиной 1/Е. Обычно считают, что если величина dе/dу оказалась на 50% больше чем 1/Е, то предел пропорциональности достигнут.

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения, называемого пределом упругости. Под пределом упругости (у_у) понимается такое наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций.

Следующей, более определенной характеристикой является предел текучести. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.

Если необходимо отличить предел текучести на растяжение от предела текучести на сжатие, то в обозначение вводится дополнительный индекс «р» или «с» соответственно растяжению или сжатию. Таким образом, для предела текучести получаем обозначения и .

Предел текучести легко поддается определению и является одной из основных механических характеристик материала.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит название предела прочности, или временного сопротивления, и обозначается через (на сжатие - ).

При испытании на растяжение определяется еще одна характеристика материала. Это - так называемое удлинение при разрыве д%.

Удлинение при разрыве представляет собой величину средней остаточной деформации, которая образуется к моменту разрыва на определенной стандартной длине образца.

2.7 Работа силы при ее статическом действии. Потенциальная энергия деформации

Рассмотрим нагружение бруса силой Р (рис. 2.14, а), величина которой медленно увеличивается от нуля до своего конечного значения. Такое нагружение называется статическим. Сила Р вызывает продольную деформацию бруса, в результате чего сечение бруса, в котором она приложена, смещается. При этом сила Р совершает работу.

Построим диаграмму растяжения бруса силой Р. По оси ординат отложим величины силы Р, а по оси абсцисс - соответствующие им перемещения д нижнего конца бруса (рис. 2.14, б).

Обозначим через t момент времени, которому соответствуют некоторые значения силы Р и перемещения д. В последующий бесконечно малый промежуток времени dt сила Р получит приращение dP, а нижний конец бруса опустится на dд. Составим выражение работы силы Р на перемещении dд, отбрасывая при этом бесконечно малые величины второго порядка малости:

Работа dA равна (с учетом масштабов, в которых отложены значения Р и д) площади dЩ (рис. 2.14, б). Полную величину работы А при изменении силы Р от нуля до Р₁ получим интегрированием последнего выражения:

Таким образом, работа А равна площади диаграммы растяжения, заштрихованной на рис. 2.14, б.



Рис. 2.14

Вся площадь диаграммы ОАВСD (рис. 21.2, б) равна работе, затраченной на разрыв бруса. Применение материала (например, стали) с более высокой прочностью может приводить к уменьшению работы, затрачиваемой на разрыв бруса, если эта сталь обладает меньшей пластичностью (рис. 2.15) и площадь для нее меньше.

Рис. 2.15

Если напряжения в брусе при действии силы Р не превышают предела пропорциональности, то величина представляет собой площадь треугольника, имеющего высоту Р, и основание д, которое по закону Гука определяется выражением



В этом случае работу можно определить по формуле

Исключим из формулы (2.20) силу Р с помощью следующих зависимостей:

тогда получим другие выражения работы:

Наличие в знаменателях формул (2.20) и (2.21) множителя 2 объясняется тем, что в эти формулы входят конечные значения Р, д, или у, в то время как в действительности они изменялись от нуля до этих значений.

При напряжениях, не превышающих предела упругости, изменение теплового и электромагнитного состояния материала незначительно, и им можно пренебречь. Поэтому вся работа внешней силы на основании закона сохранения энергии накапливается в материале тела в виде потенциальной энергии деформации. В процессе разгружения тела эта энергия расходуется на восстановление его первоначальных формы и размеров. Таким образом, упругое тело обладает способностью запасать (аккумулировать) энергию. Обозначив потенциальную энергию деформации U, получим

U=A, (2.22)

или (при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности) на основании (2.20) и (2.21):

Последнее выражение можно представить в виде

где V - объем бруса, V=Fl.

Разделив левую и правую части формулы (2.24) на V, получим количество потенциальной энергии, приходящееся на единицу объема бруса, т.е. величину так называемой удельной потенциальной энергии деформации*:

2.8 Собственный вес бруса

Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает центральное растяжение или сжатие. Если вертикальный брус закреплен верхним концом, то от собственного веса он растягивается, а при закреплении нижнего конца - сжимается. Собственный вес вертикального бруса можно рассматривать как продольную (осевую) внешнюю нагрузку, распределенную вдоль оси бруса.

Рассмотрим брус постоянного сечения, закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом (рис. 2.16, а).

Продольная сила N_x в поперечном сечении х этого бруса (на расстоянии х от его нижнего конца) равна весу нижележащей части бруса, т.е.



где - удельный вес материала бруса;

F - площадь поперечного сечения бруса.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса определяются по формуле

Эпюры N и у, показывающие изменение продольной силы и нормальных напряжений по длине бруса, изображены на рис. 2.16, б, в.

Рис. 2.16

Удлинение бруса Дl определяется из выражения

...