Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

КРАЙОВИЙ РЕЗОНАНС У ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ІЗОТРОПНИХ ТІЛАХ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

СМОКТІЙ Оксана Данилівна

Донецьк-2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії пружності і обчислювальної математики Донецького національного університету, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор СТОРОЖЕВ Валерій Іванович, Донецький національній університет МОН України, завідувач кафедри теорії пружності і обчислювальної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор МЕЛЕШКО В'ячеслав Володимирович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка МОН України, завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки;

кандидат фізико-математичних наук, доцент МОІСЕЄНКО Віктор Олексійович, Донбаська національна академія будівництва і архітектури МОН України, доцент кафедри вищої та прикладної математики і інформатики.

Захист відбудеться “30” вересня 2010 р. о 14-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К11.051.05 в Донецькому національному університеті за адресою: 83001, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83001, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Автореферат розісланий “28” серпня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат фізико-математичних наук, доцент Ю.В.Мисовський

АНОТАЦІЯ

Смоктій О.Д. Крайовий резонанс у трансверсально-ізотропних тілах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Донецький національний університет, Донецьк, 2010.

Дисертаційна робота присвячена теоретичному аналізу провідних характеристик ефекту крайового резонансу при осесиметричних гармонічних коливаннях стиску-розтягу скінчених трансверсально-ізотропних тіл у вигляді пластин кругової і концентричної кільцевої форми з вільними плоскими гранями, а також крайового резонансу при збудженні симетричних нормальних хвиль у трансверсально-ізотропному півшарі і поздовжньо-зсувних осесиметричних нормальних хвиль у трансверсально-ізотропному півциліндрі з вільними бічними поверхнями. Визначення частот крайових резонансів здійснюється на підставі аналізу амплітудно-частотних і частотно-фазових характеристик напружено-деформованого стану тіл з розглядуваними геометричними і фізико-механічними властивостями при вимушених коливаннях за дії осцилюючих зусиль на зовнішній бічній поверхні кругових і кільцевих пластин та на торцевих поверхнях півшару і півциліндру. Чисельно стійкі розв'язки просторових крайових задач про коливання розглядуваних тіл з заданим рівнем похибки задовольняння крайових умов побудовані методом рядів за базисними множинами одержаних у роботі елементарних однорідних розв'язків. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів у цих рядах одержані на підставі алгебраїзації функціональних крайових умов на бічних або торцевих поверхнях з використанням методів Бубнова - Гальоркіна, найменших квадратів, а також внаслідок послідовного комбінованого застосування цих методів. Проаналізовано закономірності впливу фактору механічної анізотропії на характеристики досліджуваного ефекту для низки реальних керамічних і монокристалічних матеріалів з різними значеннями введеного узагальненого показника хвилевої анізотропії за наявності емпіричної залежності цього показника зі структурою дисперсійних спектрів неоднорідних нормальних хвиль у відповідних хвилеводах. У підсумку проведених досліджень встановлено і узагальнено низку закономірностей, властивих характеристикам ефекту крайового резонансу у трансверсально-ізотропних тілах.

Ключові слова: дисковидні і кільцеві пластини, півшар, півциліндр, трансверсально-ізотропні матеріали, метод однорідних розв'язків, частоти і форми крайових резонансів, вплив узагальненого параметру анізотропії.

крайовий резонанс трансверсальний ізотропний

АННОТАЦИЯ

Смоктий О.Д. Краевой резонанс в трансверсально-изотропных телах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Донецкий национальный университет, Донецк, 2010.

Диссертационная работа посвящена теоретическому анализу основных характеристик эффекта краевого резонанса при осесимметричных гармонических колебаниях сжатия-растяжения конечных тел в виде трансверсально-изотропных пластин круговой и концентрической кольцевой формы со свободными плоскими гранями, а также краевого резонанса при возбуждении симметричных нормальных волн в трансверсально-изотропном полуслое и осесимметричных нормальных продольно-сдвиговых волн в трансверсально-изотропном полуцилиндре со свободными боковыми поверхностями. Определение частот краевых резонансов осуществляется на основе анализа амплитудно-частотных и частотно-фазовых характеристик динамического напряженно-деформированного состояния тел с рассматриваемыми геометрическими и физико-механическими свойствами при вынужденных колебаниях, обусловленных действием осциллирующих внешних нагружений на внешней боковой поверхности круговых и кольцевых пластин и торцевых поверхностях полуслоя и полуцилиндра. Численно устойчивые решения пространственных краевых задач о колебаниях рассматриваемых тел с заданными уровнями ошибки удовлетворения граничным условиям построены методом рядов по базисным множествам полученных в работе модифицированных элементарных однородных решений. Системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов в указанных рядах получены на основе алгебраизации функциональных граничных условий на боковых или торцевых поверхностях с использованием методов Бубнова-Галеркина и наименьших квадратов, а также на основе предложенного последовательного комбинированного применения указанных методов. Закономерности влияния факторов механической анизотропии на характеристики исследуемых эффектов анализируются для ряда реальных керамических и монокристаллических материалов с различными значениями вводимого обобщенного показателя волновой анизотропии с учетом установленной эмпирической зависимости величины этого показателя и структуры дисперсионных спектров неоднородных нормальных волн в соответствующих волноводах. В частности установлено увеличение относительной частоты краевого резонанса для круговых пластин, материал которых характеризуется положительными увеличивающимися по модулю приведенными показателями анизотропии; исчезновение эффекта краевого резонанса в дисковидных пластинах из материалов с большими по модулю отрицательными показателями волновой анизотропии, в частности в пластинах из монокристалла и . Дана характеристика количественных эффектов возбуждения краевых стоячих волн различных порядков и эффектов трансформации форм упругих колебаний при краевом резонансе в дисковидных пластинах из различных тренсверсально-изотропных материалов.

Рассчитаны и проанализированы частоты краевого резонанса в трансверсально-изотропном полуслое и трансверсально-изотропном полуцилиндре со свободными боковыми поверхностями. Исследованы формы колебаний приторцевой области данных тел при краевом резонансе.

Ключевые слова: дисковидные и кольцевые пластины, полуслой, полуцилиндр, трансверсально-изотропные материалы, метод однородных решений, частоты и формы краевых резонансов, влияние обобщенного параметра анизотропии.

SUMMARY

Smoktiy O.D. Edge resonance in transversally-isotropic bodies. - Manuscript.

Thesis for a Candidate's Degree of Physics and Mathematics in speciality 01.02.04 - Mechanics of deformable solids. - Donetsk National University, Donetsk, 2010.

This thesis is devoted to the theoretical numerically-analytical analysis of edge resonance effects under harmonical elastic waves excitation and vibrations in spatial transversally-isotropic bodies of several geometrical types. Edge resonance existence and characteristics under axysymmetrical tension-compression oscillations of circular and concentric annual plates are analyzed with homogeneous solutions method using. Edge resonance effect under symmetrical normal modes excitation in transversally-isotropic semi-layer and axysymmetrical normal longitudinal-shear modes excitation in transversally-isotropic semi-cylinder with free outer edge surfaces is studied. Frequencies and forms of edge resonance dependences on special wave anisotropy rate in several ceramic and mono-crystal transversally-isotropic materials are investigated.

Key words: discal and ring plates, semi-layer, semi-cylinder, transversally-isotropic materials, homogeneous solutions method, edge resonance frequencies and forms, dependence on special wave anisotropy rate.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Аналіз резонансних ефектів при пружних коливаннях деформівних тіл з різноманітною геометрією і фізико-механічними властивостями є однією з класичних проблем динамічної теорії пружності. Розвиток досліджень у цій царині обумовлено як логікою фундаментального розвитку динаміки деформівних середовищ, так і інтересами найрізноманітніших практичних впроваджень. Попри тривалу історію зазначених досліджень, багато їх тематичних напрямків і сьогодні знаходяться у стадії інтенсивної розробки. Один з них обіймають дослідження явища крайового резонансу (резонансу на неоднорідних хвилях), які розпочалися у середині 50-х років минулого сторіччя. Стосовно до власних коливань ідеально пружних тіл скінчених розмірів крайовим резонансом є власне коливання з характерною суттєвою локалізацією зон підвищеної інтенсивності характеристик динамічного пружно-деформованого стану біля окремих складових граничної поверхні. Крайовим резонансом у випадку хвильових процесів в півнескінчених тілах вважається амплітудно-частотний ефект суттєвої локалізації зон з підвищеними рівнями хвильових динамічних переміщень, напружень і щільності енергії динамічного деформування поблизу певних частин граничної поверхні.

Крайовий резонанс як фундаментальне механічне явище на сьогодні має низку напрямків практичних інженерних застосувань при конструюванні гідроакустичної техніки, проектуванні датчиків, сенсорів та актуаторів механічних коливань ультразвукової частоти для техніки ультраакустичного контролю, при створені робочих органів апаратури ультразвукового зварювання, тощо.

Основні теоретичні дослідження низки аспектів ефекту крайового резонансу на сьогоднішній день у переважній більшості здійснені стосовно до пружних коливань і процесів збудження, відбиття та заломлення пружних хвиль в ізотропних деформівних тілах. Для пружних тіл з різноманітними типами анізотропії механічних властивостей систематичні дослідження ефекту крайового резонансу в роботах вітчизняних і закордонних вчених відсутні.

Таким чином, задачі теоретичного дослідження крайового резонансу, узагальнення його властивостей та закономірностей в ідеально пружних трансверсально-ізотропних тілах скінчених і півнескінчених розмірів можна віднести до актуальних наукових задач механіки деформівного твердого тіла на сучасному етапі її розвитку.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з науково-дослідними проектами, фінансованими Міністерством освіти і науки України: «Хвильові процеси у низькосиметричних п'єзокристалічних і п'єзомагнітних тілах просторової геометрії» (2004-2006 рр., номер держреєстрації 0104U002148); «Нормальнi та поверхневі хвилі деформації у тривимірних анізотропних хвильоводах ускладненої геометричної будови» (2007-2009 рр., номер держреєстрації 0107U001464); «Просторові поля лінійних і нелінійних нормальних хвиль деформацій у складених анізотропних тілах призматичної, циліндричної і шаруватої будови» (виконується з 01.01.2010 р., номер держреєстрації 0110U003466). Провідні результати роботи включено до звітів за вказаними науково-дослідними проектами.

Метою роботи є теоретичне дослідження характеристик ефекту крайового резонансу при гармонічних коливаннях і збудженні пружних хвиль у трансверсально-ізотропних тілах просторової геометрії в формі кругового диску, концентричного кругового кільця, півнескінченого шару та півнескінченого циліндру чисельно-аналітичним методом однорідних розв'язків. Досягнення поставленої мети передбачає розв'язання таких задач:

- побудову модифікованих представлень базисних однорідних розв'язків (базисних нормальних хвиль) для розглядуваних динамічних просторових задач;

- розв'язання задач про вимушені осесиметричні коливання стиску-розтягу трансверсально-ізотропних кругових і концентричних кільцевих пластин під дією розподілених по бічній поверхні зовнішніх гармонічних зусиль у рядах за базисними нормальними хвилями із застосуванням вдосконалених засобів алгебраізації функціональних крайових умов;

- розв'язання методом однорідних розв'язків задач про збудження хвильового поля в трансверсально-ізотропному півшарі та збудження осесимметричного хвильового поля у трансверсально-ізотропному півциліндрі за дії на їх торцеві поверхні зовнішніх гармонічних нормальних зусиль;

- розробку комп'ютерних алгоритмів для чисельної реалізації побудованих розв'язків і розрахунку низки характеристик аналізованих хвильових рухів;

- визначення частот резонансних коливань у розглядуваних тілах на підставі аналізу амплітудно-частотних і частотно-фазових характеристик динамічного напружено-деформованого стану;

- з'ясування специфічних особливостей і систематизація закономірностей розподілу частот крайових резонансів у трансверсально-ізотропних скінчених і півнескінчених тілах просторової геометрії та узагальнення даних щодо властивостей форм коливань на частотах крайового резонансу.

Об'єктом дослідження є пружні гармонічні осесиметричні коливання стиску-розтягу кругових і концентричних кільцевих трансверсально-ізотропних пластин просторової геометрії, а також процеси збудження гармонічних пружних хвиль в півнескінчених трансверсально-ізотропних тілах у вигляді півшару і півциліндру.

Предметом дослідження є ефекти крайового резонансу за дії стаціонарних динамічних навантажень на окремі частини граничних поверхонь розглядуваних тіл.

Методами дослідження є чисельно-аналітичний метод однорідних розв'язків; апарат теорії спеціальних циліндричних функцій; методи Бубнова-Гальоркіна, найменших квадратів і узагальненої граничної ортогоналізації множини елементарних однорідних розв'язків для алгебраізації функціональних граничних умов крайових задач; методи чисельного аналізу трансцендентних дисперсійних рівнянь; методи розробки програмних комплексів для розрахунків і візуалізації досліджуваних фізико-механічних ефектів.

Наукова новизна одержаних результатів роботи полягає:

- в одержанні модифікованих представлень елементарних однорідних розв'язків та побудові у рядах за зазначеними розв'язками рішень просторових крайових задач про вимушені осесиметричні коливання стиску-розтягу кругових і концентричних кільцевих трансверсально-ізотропних пластин довільної товщини під дією розподілених по бічній поверхні гармонічних зусиль;

- у побудові розв'язків задач про збудження пружних хвиль у видовжених півнескінчених трансверсально-ізотропних тілах у вигляді півшару та півциліндру нормальними гармонічними зусиллями на торцевих поверхнях із застосуванням методу однорідних розв'язків;

- у реалізації методу узагальненої граничної ортогоналізації базисної множини однорідних розв'язків у задачі про осесиметричні коливання трансверсально-ізотропних кругових пластин довільної товщини;

- у визначенні частотних спектрів резонансних коливань кругових і кільцевих пластин з низки реальних трансверсально-ізотропних матеріалів, що характеризуються різними узагальненими показниками хвилевої анізотропії;

- у визначенні специфічних особливостей і систематизації закономірностей розподілу частот і форм крайових резонансів в трансверсально-ізотропних скінчених і півнескінчених тілах просторової геометрії з варійованими геометричними і фізико-механічними властивостями та визначенні низки емпіричних закономірностей зв'язку характеристик крайових резонансів з узагальненими показниками хвилевої анізотропії розглядуваних трансверсально-ізотропних тіл.

Вірогідність отриманих наукових результатів забезпечується застосуванням обґрунтованих математичних методів до коректно сформульованих просторових крайових задач динамічної теорії пружності трансверсально-ізотропних середовищ; контролем ступеня задовільнення крайовим умовам розглядуваних граничних задач при використанні методу рядів за множинами елементарних однорідних розв'язків; контролем практичної збіжності і стійкості чисельних результатів при варіюванні порядків редукції у рядах за однорідними розв'язками; порівнянням результатів розрахунків характеристик крайового резонансу за побудованими у дисертації методиками і комп'ютерними алгоритмами з відомими опублікованими результатами для частинних випадків ізотропних середовищ; порівнянням результатів застосування розроблених у дисертації теоретичних методик у частинних випадках з одержаними іншими науковцями результатами експериментальних досліджень резонансних коливань кругових пластин і видовжених циліндрів.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені методики і алгоритми чисельної реалізації розв'язків задач про резонансні коливання трансверсально-ізотропних тіл, встановлені та узагальнені кількісні і якісні закономірності ефекту крайового резонансу в трансверсально-ізотропних тілах з низки реальних керамічних і монокристалічних матеріалів можуть бути застосовані при проектуванні датчиків, сенсорів та актуаторів механічних коливань ультразвукової частоти для техніки ультраакустичного контролю, при конструюванні гідрофізичних і гідроакустичних пристроїв, техніки для ультразвукового зварювання. Результати досліджень внесено до програм спеціальних вузівських навчальних курсів з питань динаміки деформівного твердого тіла у Донецькому національному унівреситеті.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, які викладено у дисертаційній роботі, були представлені і обговорені на: I та VI Міжнародних науково-практичних конференціях «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла» (с. Мелекіне, 2002, 2010); Міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів і молодих вчених «Шевченківська весна. Сучасний стан науки, досягнення, проблеми та перспективи розвитку» (м. Київ, 2003); II Міжнародній науково-практичній конференції «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла», присвяченій 80-річчю зі дня народження акад. НАН України О.С. Космодаміанського (м. Донецьк, 2003); Конференції молодих вчених з сучасних проблем механіки й математики ім. акад. Я. С. Підстригача (м. Львів, 2005); IV Міжнародній науково-практичній конференції «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла», присвяченій пам'яті акад. НАН Украіни О.С. Космодаміанського (с. Мелекіне, 2006); X Міжнародній конференції «Современные проблемы механики сплошной среды» (м. Ростов-на-Дону, 2006); науковій конференції професорсько-викладацького складу, наукових співробітників і аспірантів Донецького національного університета (м. Донецьк, 2009).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на об'єднаних наукових семінарах кафедр теорії пружності і обчислювальної математики, прикладної механіки і комп'ютерних технологій Донецького національного університету та відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Інституту прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк, 2007-2010); на науковому семінарі «Сучасні проблеми механіки» у Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка (м. Київ, 2010).

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 11 наукових робіт, у тому числі 5 статей у наукових виданнях, включених до переліку ВАК України у якості фахових за розділом фізико-математичних наук.

Усі провідні результати роботи отримані автором самостійно. З 11 наукових публікацій за темою дисертації 4 роботи підготовлено без співавторів. У роботах [1, 2, 5, 6, 8], що виконані у співавторстві з Ю.П. Бай, Ю.В. Мисовським, І.О. Моісеєнко та В.І. Сторожевим, автору дисертації належать основні результати, що полягають у побудові розв'язків гранічних задач про коливання і збудження гармонічних пружних хвиль у трансверсально-ізотропній круговій і кільцевій пластині, траснверсально-ізотропному півшарі і півциліндрі, у розробці і реалізації алгоритмів чисельного аналізу та візуалізації результатів, у дослідженні і узагальненні властивостей ефекту крайового резонансу у тілах розглянутого типу, а співавторам - участь у постановці задач, консультаціях з обрання методології дослідження та обговоренні одержаних результатів і висновків. У роботах [7, 11] автору належать результати, що стосуються методології побудови частотних спектрів осесиметричних резонансних коливань трансверсально-ізотропних дисковидних пластин просторової геометрії з варійованим відносним радіусом, а співавторам О. В. Гришкиній та О. В. Смирновій - технічна участь у розробці комп'ютерних обчислювальних алгоритмів.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків, списку використаних джерел з 169 найменувань та додатку. Загальних обсяг роботи становить 180 сторінок, з яких 137 сторінок основного тексту. Робота містить 10 таблиць та 109 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано вибір та актуальність теми дослідження; вказано на зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами; сформульовано мету та завдання дослідження, визначено його об'єкт, предмет та методи; наведено характеристику наукової новизни, обґрунтованості і достовірності наукових положень і висновків роботи, її наукового та практичного значення; охарактеризовано особистий внесок здобувача, дані про апробацію та публікацію матеріалів дослідження; викладено коротку анотацію змісту дисертаційної роботи.

У першому розділі дисертаційної роботи міститься аналітичний огляд основних методів та результатів досліджень за проблемою крайового резонансу. Визначено сучасні актуальні наукові питання у зазначеній царині, які за більшістю аспектів є недослідженими і, поряд з цим, актуальними на сучасному етапі розвитку динаміки деформівного твердого тіла з фундаментально-наукової і прикладної точок зору. Зазначено, що систематичне вивчення ефекту крайового резонансу - амплітудно-частотного ефекту вираженої локалізації зон з підвищеною інтенсивністю характеристик динамічного напружено-деформованого стану біля певних частин граничної поверхні при власних коливаннях скінчених тіл чи при збудженні, відбитті або заломленні хвиль деформацій у тілах півнескінченої геометрії, за загальним визнанням започатковано у роботах E.A.G. Shaw та J. Oliver стосовно до коливань кругових керамічних пластин та видовжених циліндрів. Проведені в подальшому у роботах М.В. Вільде, Л.П. Вовка, І.П. Гетмана, А.М. Гомілка, Н.С. Городецької, В.Т. Грінченка, Ю.Д. Каплунові, Л.Ю. Косовича, В.В. Мелешка, Ю.А. Устинова, D.G. Gazis, H.D. McNiven, M. Onoe, Y.H. Pao, D.C. Perry, J. Tasi, P.J. Torvic і низки інших вчених вельми широкі дослідження різних аспектів цього ефекту враховували різноманіття геометричних і фізико-механічних властивостей розглядуваних пружних тіл, можливості застосування альтернативних математичних методів дослідження, а також різні гіпотези щодо природи і механізмів утворення крайового резонансу. Попри це, розгорнуті систематичні дослідження впливу ступеня анізотропії механічних властивостей на характеристики ефекту крайового резонансу до цього часу практично відсутні, що й обумовило проблематику даної дисертаційної роботи.

Надалі у першому розділі представлено постановки низки розглядуваних базових граничних задач про гармонічні коливання і збудження гармонічних пружних хвиль у скінчених та півнескінчених трансверсально-ізотропних тілах з крайовими умовами для комплексних представлень динамічних напружень () на основних площадках прямокутних та напружень () на основних площадках циліндричних координат:

- задачи про осесиметричні парні по товщині коливання трансверсально-ізотропної кругової пластини, яка обіймає у безрозмірних прямокутних і циліндричних координатах область , з крайовими умовами

,	(1)
;	(2)

- задачи про осесиметричні парні по товщині коливання трансверсально-ізотропної концентричної кільцевої пластини, яка обіймає область , з крайовими умовами

,	(3)
	(4)

- задачи про збудження парних по товщині гармонічних пружних хвиль у трансверсально-ізотропному півшарі, який обіймає область ,

з крайовими умовами

,	(5)
;	(6)

- задачи про збудження осесиметричних гармонічних пружних хвиль у трансверсально-ізотропному півциліндрі, який обіймає область , з крайовими умовами

	(7)
.	(8)

Амплітудні характеристики в комплексних представленнях пружних переміщень у випадку стаціонарного динамічного деформування тіл з круговою частотою визначаються з системи хвилевих рівнянь для трансверсально-ізотропного пружного середовища з колінеарною віссю ізотропії, яка у матрично-операторній формі має вигляд

,	(9)

де

, ,	(10)

- віднесені до нормуючого параметру модулі пружності, а - щільність трансверсально-ізотропного середовища; - приведений безрозмірний частотний параметр. Матеріальні співвідношення зв'язку віднесених до амплітудних характеристик тензора напружень з амплітудними функціями пружних переміщень для розглядуваного класу анізотропних матеріалів мають вигляд

	(11)

Надалі у першому розділі роботи визначено окремі концептуальні положення здійснюваного дослідження. По-перше, пошук частот крайових резонансів як підмножини повних спектрів резонансних частот для кругових і кільцевих пластин з варійованими геометричними і фізико-механічними характеристиками та множин частот виникнення вираженої локалізації інтенсивних хвилевих полів біля торцевих поверхонь півнескінчених тіл, здійснюється на підставі аналізу амплітудно-частотних і частотно-фазових залежностей для характеристик динамічного напружено-деформованого стану, визначених методом рядів за елементарними однорідними розв'язками. По-друге, зважаючи на існування вельми багатоваріантних коректних схем модельного варіювання співвідношень пружних сталих трансверсально-ізотропних матеріалів, у роботі обрано концепцію аналізу характеристик ефекту крайового резонансу для тіл із низки реальних керамічних і монокристалічних трансверсально-ізотропних матеріалів з різними значеннями узагальненого параметру хвилевої анізотропії , який визначається співвідношеннями

, .

Рис. 1. Спектр для шару з ().

Рис. 2.Спектр для шару з ().

Обраний підхід базується на наявній емпіричній залежності між знаками і абсолютними значеннями та особливостями структури спектрів неоднорідних нормальних хвиль у тілах розглядуваної геометрії зі збудженням яких пов'язується ефект крайового резонансу.

Певні характеристики акцентованої залежності характеризують табл. 1 та подані на рис. 1,2 фрагменти повних дисперсійних спектрів симетричних нормальних хвиль у шарі з монокристалічного кобальту і цинку. Зокрема матеріалами з великими за модулем від'ємними є матеріали з вельми значною розбіжністю коефіцієнтів Пуассона; для них відсутні поверхневі хвилі релеївського типу з швидкістю вздовж поверхні, колінеарної осі ізотропії.

Для матеріалів з додатними зі збільшенням модуля цього параметру спостерігається більш щільне розташування уявних гілок спектру неоднорідних хвиль порівняно з комплексними.

У другому розділі роботи представлені теоретичні методики і узагальнення чисельних результатів дослідження ефекту крайового резонансу при коливаннях стиску-розтягу трансверсально-ізотропних пластин кругової і кільцевої форми.

Таблиця 1.

Параметри	Матеріал
	0.640	0.400	0.055	0.023	-0.089	-1.045	-10.247
	30.70	7.78	13.90	16.60	10.90	12.12	16.35
	16.50	4.47	7.78	7.66	6.10	4.81	2.64
	10.27	4.79	7.43	7.75	5.40	4.42	5.17
	35.80	8.81	11.50	16.20	9.30	4.45	5.31
	7.55	1.47	2.56	4.29	2.40	1.80	3.78
	0.49	0.36	0.33	0.30	0.38	0.05	-0.21
	0.22	0.39	0.34	0.32	0.32	0.26	0.27
	0.15	0.35	0.43	0.33	0.36	0.94	1.18
	1.198	0.619	0.775	1.137	0.748	1.204	2.398
	0.890	0.527	0.547	0.822	-	-	-

У першому підрозділі стосовно до крайових задач (9), (1) та (9), (3) побудовані модифіковані представлення елементарних однорідних розв'язків для випадку осесиметричних коливань розглядуваних тіл. На цій підставі розв'язки крайових задач для дисковидних і кільцевих пластин з граничними умовами (2), (4) побудовані у рядах

, ;	(12)
,

де у випадку суцільної дисковидної пластини . Коефіцієнти рядів (12) визначаються із систем алгебраїчних рівнянь, одержаних при алгебраізації крайових умов (2), (4) за методами Бубнова-Гальоркіна та найменших квадратів, а також шляхом послідовного комбінованого застосування цих методів. У випадку суцільної кругової пластини у роботі побудовано алгоритм явного визначення коефіцієнтів розкладів за однорідними розв'язками на підставі методу попередньої узагальненої граничної ортогоналізації базисної системи однорідних розв'язків.

У підрозділі 2.2 на підставі охарактеризованої вище методики аналізу амплітудно-частотних і частотно-фазових характеристик динамічного напружено-деформованого стану дисковидної пластини, визначених розв'язками розглядуваної задачі у випадку , при варіювання приведеного частотного параметру у діапазоні та відносного радіусу пластини у діапазоні побудовано фрагменти частотних спектрів у формі залежностей частот власних коливань від приведеного радіусу диску. Гілки цих спектрів у більшості розглянутих випадків мають платообразні ділянки, властиві ефекту крайового резонансу (рис. 3). Здійснено дослідження низки кінематичних характеристик резонансних коливань з частотами, які належать платообразним ділянкам спектру, а саме: частотних залежностей інтенсивності збудження неоднорідних мод різних порядків; розподілів величин , де , , (), - період коливань; нормованих форм коливань діаметрального перерізу пластини для моментів часу , масштаб яких у переважній більшості обрано за умовою (за виключенням форми на рис. 4 д, для якої ).

а)	б)
в)	г)
Рис. 3. Фрагменти частотних спектрів для дисковидних пластин.

Зазначені дослідження дають підстави для віднесення аналізованих коливань до крайового резонансу за умов суттєвої локалізації зон підвищеної інтенсивності динамічних переміщень біля циліндричної граничної поверхні. Наведені результати розрахунків зазначених форм у точках в середині других платообразних ділянок спектрів засвідчують, що для розглядуваних пластин з додатними (рис. 4 а - 4 в) та відносно малими за модулем від'ємними (рис. 4 г) показниками , частоти на зазначених ділянках є частотами крайових резонансів. Водночас аналізовані форми коливань для пластин з та (рис. 4 д, 4 є), попри схожість певних ділянок їх частотних спектрів з платообразними засвідчують відсутність вираженої крайової локалізації пружних коливань, тобто відсутність у цих випадках ефектів крайового резонансу.

а) .	б) .
в) .	г) .
д) .	є) .
Рис. 4. Форми коливань діаметральних перерізів кругових пластин.

На підставі узагальнення результатів розрахунків з'ясовані ефекти зміни частоти крайового резонансу та інтенсивності коливань у зоні локалізації у залежності від показника матеріалу пластини.

Підрозділи 2.3 та 2.4 присвячені теоретичній методиці та результатам досліджень ефекту крайового резонансу у трансверсально-ізотропних пластинах кільцевої форми. Аналізований надалі розв'язок одержано при , , .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

За методикою дослідження амплітудно-частотних та частотно-фазових характеристик розв'язку, на підставі розрахунку розподілів та форм коливань діаметральних перерізів зокрема визначено, що платообразні ділянки частотного спектру у залежності від сполучення геометричних і фізико-механічних параметрів таких пластин можуть мати двохярусну або одноярусну структуру. Аналіз форм резонансних коливань вказує, що за наявності двохярусних платообразних ділянок, зокрема для кільцевих пластин з кераміки при , (рис. 5), зміні резонансної частоти при переході з верхніх ділянок плато (рис. 6 а) на нижні (рис. 6 в) відповідає зміна типу крайового резонансу з локалізованого біля внутрішній циліндричній граничній поверхні на локалізований біля зовнішньої циліндричній границі. На частоті, що відповідає ділянці переходу з верхнього плато на нижнє, форма коливань пластини не має ознак локалізації (рис. 6 б). Для фрагментів спектру з одноярусними платообразними ділянками відповідні цим ділянкам частоти є частотами крайового резонансу з локалізацією біля внутрішньої поверхні кільцевої пластини (наприклад випадок пластини із кераміки з ). Проведеними дослідженнями також визначено залежність частот крайових резонансів кільцевих пластин від параметру .

Третій розділ роботи містить дослідження ефекту крайового резонансу при збудженні самоврівноваженими зусиллями симетричних нормальних хвиль у трансверсально-ізотропному півшарі. На підставі розв'язання методом однорідних розв'язків крайової задачі з граничними умовами (6), у яких , , та аналізу амплітудно-частотних і частотно-фазових характеристик розв'язку поряд з аналізом розподілів нормованих переміщень вздовж плоских граней шару, визначено існування крайових резонансів для півшару з розглядуваних матеріалів, що характеризуються додатними або невеликими за модулем від'ємними показниками . Розраховані значення для трансверсально-ізотропного півшару та процентні відхилення цих значень від для ізотропного півшару з наведені у табл. 2.

Таблиця 2.

Матеріал		,%
	1.464	-1.1
	1.490	0.7
	1.510	2.0
	1.660	12.1
	1.700	14.9
	-	-
	-	-

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зокрема встановлено відсутність у розглядуваному частотному діапазоні крайового резонансу у півшарі з та . На підставі розрахунків різних характеристик форм коливань повздовжнього перерізу приторцевої зони півшару при з'ясовано зниження інтенсивності (рис. 8) та незначне збільшення ступеня локалізації (рис. 7) крайових коливань зі збільшенням показника для матеріалу тіла.

Окремий підрозділ третього розділу присвячено аналізу можливості наближеного визначення частот крайових резонансів для трансверсально-ізотропного півшару за методологією, запропонованою у роботах М. В. Вільде, Ю. Д. Каплунова, Л. Ю. Косовича.

а) .	б) .
Рис. 8. Форми коливань приторцевої зони півшару.

У четвертому розділі роботи побудовано і досліджено розв'язок задачі про існування і властивості ефекту крайового резонансу при збудженні осесиметричних поздовжньо-зсувних хвиль самоврівноваженими торцевими нормальними зусиллями у трансверсально-ізотропному півциліндрі з геометричною віссю, колінеарною вісі пружної симетрії матеріалу та вільною бічною поверхнею. У підрозділі 4.1 за методикою введення узагальнених хвилевих потенціалів побудовано модифіковані представлення елементарних однорідних розв'язків (базисних нормальних хвиль). Розв'язок відповідної крайової задачі з граничними умовами (8), у яких , , побудовано у підрозділі 4.2 у рядах вигляду

,	(13)

де

,

,

(), .

Таблиця 3.

Матеріал
Ізотропний	0.6798
	0.6811
	0.6780
	0.6735
	0.7295
	0.9148

За методикою аналізу амплітудно-частотних та частотно-фазових характеристик побудованого розв'язку у підрозділі 4.3 здійснено чисельне дослідження ефекту крайового резонансу у півциліндрі з розглядуваних трансверсально-ізотропних матеріалів.

Зокрема розраховані значення приведених частот крайового резонансу , де - значення найменшого розв'язку рівняння .

У частинному випадку розроблений алгоритм розв'язку було застосовано для визначення частоти крайового резонансу у півциліндрі зі сталі і одержані результати показали високий ступінь співпадіння при порівнянні з експериментальними результатами роботи H. McNiven.

а) .	б) .
в) .	г) .
Рис. 9. Форми коливань приторцевої зони півциліндру.

Величини частот крайового резонансу, визначених для розглядуваних півциліндрів, наведені у табл. 3. З'ясовано, що достатньо суттєві відмінності у формах коливань поздовжнього діаметрального перерізу приторцевої зони при виникають у випадку півциліндру з , про що свідчать рис. 9 а-г.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

У підсумку проведених в дисертації досліджень розв'язано низку актуальних задач динамічної теорії пружності щодо існування і властивостей ефекту крайового резонансу у трансверсально-ізотропних тілах декількох геометричних типів. Основні наукові результати роботи полягають у наступному:

1. Методом рядів за модифікованими елементарними однорідними розв'язками досліджені осесиметричні просторові крайові задачі про вимушені коливання стиску-розтягу кругових і концентричних кільцевих трансверсально-ізотропних пластин з вільними плоскими гранями під дією розподілених по зовнішній бічній поверхні гармонічних нормальних зусиль.

2. На підставі аналізу амплітудно-частотних та частотно-фазових залежностей для характеристик динамічного напружено-деформованого стану кругових і кільцевих пластин з низки реальних керамічних і монокристалічних трансверсально-ізотропних матеріалів, характеризованих різними значеннями узагальненого показника хвилевої анізотропії , у частотному діапазоні існування однієї біжучої нормальної хвилі розраховані залежності їх резонансних частот від геометричних характеристик та форми коливань на резонансних частотах.

3. Встановлено високий ступінь співпадіння одержуваних на підставі розробленої теоретичної методики результатів визначення і форм крайових резонансних коливань з експериментальними результатами, представленими у публікації E.A.G. Shaw для п'єзокерамічної дисковидної пластини з та з експериментальними даними щодо резонансних частот диско видних пластин з п'єзокераміки і , одержаними у лабораторії кафедри теоретичної та прикладної механіки КНУ ім. Т. Шевченка.

4. Встановлено наявність емпіричної залежності між низкою характерних властивостей частотних спектрів і кінематичних характеристик крайових резонансів та значеннями узагальненого показника хвилевої анізотропії . Встановлено ефект збільшення нормованої частоти крайового резонансу для кругових пластин з додатними зростаючими за модулем показниками , зокрема збільшення на 0.4% для пластини з кераміки , на 1.15% для пластини з кераміки , на 11.82% для пластини з кераміки , на 13.24% для пластини з кераміки , а також ефект зменшення для пластин з від'ємними зростаючими за модулем показниками , зокрема зменшення на 1.01% для пластин з кераміки . Встановлено також відсутність ефекту крайового резонансу у розглядуваному частотному діапазоні осесиметричних коливань стиску-розтягу трансверсально-ізотропных дисковидных пластин з великим за модулем від'ємним , а саме для пластин з і .

5. Показано, що при крайовому резонансі у дисковидних трансверсально-ізотропних пластинах більш контрастне збільшення інтенсивності збудження неоднорідних хвиль різних порядків властиве для пластин з малими за абсолютними значеннями показниками . Для пластин, що характеризуються великими додатними , частотні залежності показників збудження неоднорідних хвиль при наближенні до мають більш монотонний характер і відносний показник збудження нижчої моди крайових стоячих хвиль у цьому випадку знижується. Зокрема для пластини з вказаний показник є майже у 54 рази меншим за аналогічне значення для пластини з .

6. При дослідженнях ефекту крайового резонансу у кільцевих трансверсально-ізотропних пластинах виявлено, що платообразні ділянки частотного спектру у залежності від сполучення геометричних і фізико-механічних параметрів таких пластин можуть мати двохярусну або одноярусну структуру. У випадку наявності двохярусних платообразних ділянок зміні резонансної частоти при переході з верхніх ділянок плато на нижні відповідає зміна типу крайового резонансу з локалізованого біля внутрішній циліндричній граничній поверхні на локалізований біля зовнішньої границі. Для фрагментів спектру з одноярусними платообразними ділянками коливання на частотах крайового резонансу мають локалізацію біля внутрішньої циліндричної поверхні кільцевої пластини.

7. Визначено емпіричну закономірність зростання частоти крайового резонансу при збудженні симетричних хвиль у півшарі із трансверсально-ізотропного матеріалу, що характеризується зростаючим додатним показником у порівнянні з частотою крайового резонансу для ізотропного півшару (). Зокрема вказане збільшення становить 0.7% для півшару з , 2.0% для півшару з , 12.1% для півшару з , 14.9% для півшару з . У трансверсльно-ізотропному півшарі, що характеризується великим за модулем від'ємним значенням , зокрема у півшарі з та , крайовий резонанс у розглядуваному частотному діапазоні не виникає.

8. При дослідженні закономірностей форм крайових резонансних коливань приграничної зони трансверсально-ізотропного півшару встановлено, що рівні вертикальних хвильових переміщень у кутовій точці перерізу півшару, які визначають ступінь інтенсивності зазначених коливань, зі збільшенням додатно визначеного параметру для матеріалу півшару відповідно зменшуються.

9. З'ясовано існування ефектів крайового резонансу при збудженні осесиметричних хвиль поздовжньо-зсувного типу у трансверсально-ізотропному півциліндрі і визначено, що у розглядуваному випадку орієнтації осі ізотропії матеріалу півциліндру відсутній регулярний зв'язок між значеннями частот крайового резонансу та узагальненим показником хвилевої анізотропії .

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

(прізвище здобувача: Смоктій О.Д. - після укладення шлюбу, Соколова О.Д., Фесенко О.Д. - до укладення шлюбу)

1. Мысовский Ю.В. Исследование спектра собственных колебаний дисковидной поперечно-анизотропной пластины / Мысовский Ю.В., Соколова О.Д., Бай Ю.П. // Вестник Донецкого университета. - 2002. - N 1. - C. 364-366.

2. Мысовский Ю.В. Моды краевых резонансов при осесимметричных планарных колебаниях поперечно-анизотропных кольцевых пластин / Мысовский Ю.В., Фесенко О.Д. // Вестник Донецкого университета. - 2005. - N 1. - С. 107-110.

3. Смоктий О.Д. Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями / Смоктий О.Д. // Труды института прикладной математики и механики НАН Украини. - 2009. - Том 18. - C. 159-165.

4. Смоктий О.Д. Особенности явления краевого резонанса в трансверсально-изотропном полуслое / Смоктий О.Д. // Материалы научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов Донецкого национального университета по итогам научно-исследовательской работы за период 2007-2008 гг. - 2009. - Том. 1. - С. 89.

5. Смоктий О.Д. Эффект краевого резонанса при возбуждении осесимметричных волн в полубесконечном трансверсально-изотропном цилиндре / Смоктий О.Д., Моисеенко И.А. // Механика твердого тела. - 2009. - Т. 39 - C. 215-223.

6. Смоктий О.Д. Особенности краевого резонанса в трансверсально-изотропных кольцевых пластинах / Смоктий О.Д., Мысовский Ю.В. // Материалы VI Международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела». - Донецк: Юго-Восток, 2010. - C. 201-205.

7. Соколова О.Д. Особенности спектра собственных колебаний транстропной дисковидной пластины в окрестности краевого резонанса / Соколова О.Д., Гришкина Е.В. // Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Шевченківська весна. Сучасний стан науки, досягнення, проблеми та перспективи розвитку». - Киев, 2003. - C. 47-49.

8. Сторожев В.И. Особенности спектра собственных колебаний транстропной дисковидной пластины в окрестности краевого резонанса / Сторожев В.И., Мысовский Ю.В., Соколова О.Д. // Теоретическая и прикладная механика. - 2003. - N 37. - C. 184-189.

9. Фесенко О.Д. Метод обобщенной граничной ортогонализации в задачах стационарной динамики поперечно-анизотропных круговых пластин / Фесенко О.Д. // Материалы IV Международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела», посвященной памяти академика НАН Украины А. С. Космодамианского. - Донецьк: ДонНУ, 2006. - C. 307-309.

10. Фесенко О.Д. Метод обобщенной граничной ортогонализации в задачах стационарной динамики поперечно-анизотропного полуслоя / Фесенко О.Д. // Труды X Международной конференции “Современные проблемы механики сплошной среды”. - Ростов-на-Дону, 2006. - Том 2. - C. 304-307.

11. Фесенко О.Д. Резонансные колебания поперечно-анизотропных тел пространственной геометрии / Фесенко О.Д., Смирнова Е.В. // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я. С. Підстригала. Тези доповідей. - Львів: ТзОВ «Сплайн», 2005. - C. 175-176.

Размещено на Allbest.ru

...