Умови "заклинювання" у голономних механічних системах абсолютно твердих тіл із кулоновим тертям

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

УДК 531.44, 625.1, 625.2.001,629.2, 629.4, 629.46.015

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Умови «заклинювання» у голономних механічних системах абсолютно твердих тіл із кулоновим тертям

01.02.01 - теоретична механіка

Храмова Марина Володимирівна

Донецьк - 2010

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті технічної механіки Національної академії наук України і Національного космічного агентства України.

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Жечев Михайло Михайлович, Інститут технічної механіки НАН і НКА України, провідний науковий співробітник відділу статистичної динаміки механічних систем.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Плахтієнко Микола Павлович, Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, провідний науковий співробітник відділу динаміки складних систем;

доктор фізико-математичних наук, доцент Пузирьов Володимир Євгенович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, провідний науковий співробітник відділу технічної механіки.

Захист відбудеться “14” квітня 2010 р. о 15:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “11” березня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.В. Краснощок

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У зв'язку із розвитком автоматичних виробництв у машинобудуванні і приладобудуванні, високошвидкісного залізничного транспорту, систем керування космічними об'єктами на орбіті та деяких інших напрямів науки і техніки часто виникають задачі, для розв'язку яких необхідно зменшити граничні значення сил взаємодії між елементами різних систем. Однією з причин небезпечного збільшення цих сил є виникнення явища “wedging” (“заклинювання”) і близького до нього ефекту “jamming” (“заїдання”), які іноді виявляються у разі урахування сухого тертя при моделюванні динаміки деяких механічних систем. Експерименти S. H. Simunovic і D. E. Whitney показали, що при “wedging” і “jamming” реакції зв'язків у контактах між тілами, які труться, істотно зростають і, як наслідок, навантаження на елементи системи стають неприпустимо високими.

Вперше термін “wedging” ввів S. H. Simunovic⁾ Simunovic S. H. Force information in assembly processes / S. H. Simunovic // The 5^th International Symposium on Industrial Robots, Chicago, Illinois : 1975 : the Proceedings. - Chicago : 1975. - P. 415 - 431.⁾, коли досліджував одну із задач автоматичної зборки - задачу про вставку втулки в отвір (“peg-in-hole”) із урахуванням сухого тертя в контактах. Під час експериментів він установив, що для даної системи існують особливі стани рівноваги, і позначив терміном “wedging” статичне явище, яке виникає у цих станах. Особливість даних станів полягає у тому, що вивести з них систему неможливо ніякими активними силами, якими б не були значення і напрями цих сил.

Дослідженню “wedging” (“заклинювання”) присвячено публікації J. P. Baartman, M. E. Caine, M. Callegari, P. E. Dupont і S. P. Yamajako, R. Kamnik, M. T. Mason, R. H. Sturges, J. C. Trinkle і багатьох їхніх колег, а також сумісні роботи В. Ф. Ушкалова, М. М. Жечева і A. D. McKisic. Більшість цих публікацій мають прикладну спрямованість, і на цей час накопичено великий експериментальний матеріал по “заклинюванню”. Однак теоретична основа для аналізу і обґрунтування цих даних поки що знаходиться на етапі становлення. Спроби за допомогою теоретичних викладок підтвердити експериментально виявлені властивості і умови “заклинювання” часто мають серйозні недоліки. Пропоновані підходи до “заклинювання” носять індивідуальний відбиток деякої часткової задачі і тому не можуть широко використовуватись. Зустрічаються також різні трактовки однієї і тієї ж умови “заклинювання”, внаслідок чого виникають протиріччя. Більш того, саме поняття “заклинювання” інтерпретується у цих роботах по-різному, відсутнє строге визначення даного явища. Все це перешкоджає розгляду існуючих робіт по “заклинюванню” як взаємозв'язаних частин єдиної теорії.

Таким чином, проблеми розвитку теорії “заклинювання” і розробки шляхів його виявлення та усунення (або придушення) є актуальними і пов'язаними із розв'язком низки основних задач, які виникають при проектуванні та вдосконаленні сучасних систем у різних галузях техніки.

Зв'язок роботи з науковими планами, програмами, темами. Тематику дисертації включено в плани наукових досліджень по наступним темам:

- по фундаментальній науково-дослідницькій темі III-20-04 “Дослідження випадкових коливань і визначення динамічних якостей рухомих механічних систем і їх контактної взаємодії з рейковим деформівним підложжям” (номер держреєстрації 0104U004082, затверджена постановою Бюро Відділення механіки НАН України на 2004-2008 рр., протокол № 4 від 26.11.03);

- по темі наукових досліджень II-6-07 ГМВч “Аналіз явищ “заїдання” і “заклинювання” в механічних системах із сухим тертям і дослідження можливості виникнення даних явищ у візках вантажних вагонів” (номер держреєстрації 0107U008067, затверджена постановою Президії НАН України від 27.06.07 № 194), яка одержала грант НАН України для молодих учених.

Мета і задачі дослідження. Об'єкт дослідження - голономні механічні системи абсолютно твердих тіл із кулоновим тертям у контактах. Предмет дослідження - рівняння рівноваги і руху таких систем із довільною кількістю фрикційних контактів.

Мета роботи полягала в тому, щоб одержати геометричні та аналітичні умови “заклинювання” в механічних системах при різній кількості фрикційних контактів. Для цього передбачалось розв'язати наступні задачі:

- ввести формальне визначення “заклинювання”, яке б адекватно відображувало це експериментально виявлене явище;

- проаналізувати та обґрунтувати відому геометричну умову “заклинювання” в системах із двома фрикційними контактами, одержану шляхом випробувань;

- одержати геометричні умови виникнення “заклинювання” для систем із трьома контактами;

- одержати аналітичні умови “заклинювання” для систем із довільною кількістю фрикційних контактів.

Методи дослідження. При дослідженні геометричних умов “заклинювання” використано методи аналітичної геометрії та теорії множин, а при розгляді аналітичних умов - методи аналітичної статики і динаміки, методи теорії матриць, методи символьного комп'ютерного моделювання.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

а) вперше показано, що в рамках традиційного підходу⁾ Традиційний підхід полягає в тому, що тіла механічної системи розглядаються як абсолютно тверді, а сухе тертя у фрикційних контактах підкорюється закону Кулона.⁾ до задачі про “заклинювання” не можна вказати достатні умови виникнення цього явища і має сенс говорити тільки про його необхідні умови;

б) введено визначення механічної системи, яка допускає “заклинювання”, що найбільш адекватно відображає сутність цього експериментально виявленого явища;

в) вперше строго обґрунтовано відому геометричну умову, при якій системи з двома фрикційними контактами допускають “заклинювання”;

г) вперше одержано та строго обґрунтовано геометричні умови, при яких системи з трьома фрикційними контактами допускають “заклинювання”;

д) дано строге формулювання та обґрунтування необхідних і достатніх аналітичних умов, при яких допускають “заклинювання” системи із довільною кількістю фрикційних контактів.

Практичне значення отриманих результатів. Використання одержаних у дисертації умов “заклинювання” дозволяє на початкових етапах проектування технічних систем із фрикційними контактами оцінити можливість виникнення даного явища та уникнути його в подальшому при експлуатації цих систем.

Особистий внесок здобувачки в кожну з опублікованих у співавторстві робіт полягає в наступному:

- здійснення математичних викладок і участь в аналізі результатів [1];

- участь у чисельному моделюванні руху колісної пари в площині, перпендикулярній до напрямку повздовжнього руху вантажного вагону, і виконанні розрахунків [2, 3];

- проведення огляду літератури та участь у його аналізі [4-6];

- зроблені на основі одержаних умов висновки про можливість “заклинювання” у системі “колісна пара - рейки” [4, 6];

- формулювання визначення системи, яка допускає “заклинювання”; дослідження рівноваги системи “втулка - отвір” під дією довільних активних сил; доведення теореми про умову “заклинювання” в системах із двома фрикційними контактами [5];

- аналіз геометричних умов “заклинювання” для систем із двома та трьома фрикційними контактами [7-10];

- доведення низки лем про умови “заклинювання” в рівновазі для систем із довільною кількістю фрикційних контактів [11].

Авторка вдячна М. М. Жечеву за постановку задач, допомогу в роботі та цінне обговорення отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на:

- VI Міжнародній молодіжній науково-практичній конференції “Людина і космос”, Дніпропетровськ, 14-16 квітня 2004 року [6];

- XI Міжнародній конференції - Проблеми механіки залізничного транспорту, Дніпропетровськ, 26-29 травня 2004 року [3];

- Ювілейній конференції, присвяченій 80-річчю П. В. Харламова, Донецьк, 23-25 червня 2004 року [8];

- VII Міжнародній молодіжній науково-практичній конференції “Людина і космос”, Дніпропетровськ, 13-15 квітня 2005 року [12];

- 65-й Міжнародній науково-практичній конференції - Проблеми та перспективи розвитку залізничного транспорту, Дніпропетровськ, 19-20 травня 2005 року [13];

- IX Міжнародній конференції - Стійкість, керування і динаміка твердого тіла, Донецьк, 1-6 вересня 2005 року [11];

- Міжнародній конференції - Класичні задачі динаміки твердого тіла, присвяченій 300-річчю з дня народження Л. Ейлера, Донецьк, 9-13 червня 2007 року [14];

- спільному науковому семінарі відділів технічної механіки і прикладної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАНУ під керівництвом чл.-кор. НАНУ О. М. Ковальова, Донецьк, травень 2009 р.;

- науковому семінарі відділу динаміки складних систем Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка під керівництвом д. ф.-м. н., професора В. Б. Ларіна, Київ, листопад 2009 р.;

- наукових семінарах відділу статистичної динаміки механічних систем Інституту технічної механіки НАНУ і НКАУ під керівництвом чл.-кор. НАНУ В. Ф. Ушкалова, Дніпропетровськ, 2003-2009 рр.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 17 роботах [1-17], серед яких 7 статей у наукових журналах, 2 статті - у міжвідомчих збірниках наукових праць і 8 робіт - у збірниках тез конференцій. Серед них опубліковано без співавторів 3 статті [15-17] і 3 тез доповідей [12-14].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 153 сторінки тексту, 19 малюнків, 1 таблицю. Список використаних джерел включає 98 найменувань і займає 11 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета і задачі дослідження, вказано на зв'язок дисертації з науково-дослідною роботою відділу статистичної динаміки механічних систем Інституту технічної механіки Національної академії наук України і Національного космічного агентства України, де її було виконано, відзначається новизна основних результатів, їх практичне значення, а також апробація.

У першому розділі наводиться огляд літератури за темою дисертації. Основні результати цього огляду наведено вище при обґрунтуванні актуальності теми дисертації. На їхній підставі зроблено висновок, що на даний момент не тільки не існує достатньо розвиненої формальної теорії “заклинювання”, але й відсутнє строге визначення цього явища.

У другому розділі коротко охарактеризовано геометричний та аналітичний підходи до дослідження “заклинювання”. У більшості публікацій, розглянутих у першому розділі, для визначення можливості “заклинювання” використано геометричні умови, які сформульовано в термінах конусів тертя. Поряд із геометричними умовами становлять інтерес також аналітичні умови, які вперше сформулювали P. E. Dupont і S. P. Yamajako⁾ Dupont P. E. Jamming and Wedging in Constrained Rigid-body Dynamics / P. E. Dupont, S. P. Yamajako // IEEE International Conference on Robotics and Automation, May, 1994, San Diego : the Proceedings. - San Diego : 1994. - P. 2349 - 2354.⁾ в термінах узагальнених сил. Щоб записати ці умови, необхідно скласти рівняння, які описують поведінку механічної системи. Тому при дослідженні систем із двома та трьома фрикційними контактами перевірка аналітичних умов “заклинювання” часто виявляється більш трудомісткою, ніж перевірка геометричних умов. Однак для систем із чотирма і більше контактами перевірка аналітичних умов є єдиним способом визначити можливість “заклинювання”, оскільки його геометричні умови для таких систем досі не одержано. Більш того, порівняльний аналіз геометричних умов “заклинювання” у системах із двома [5] та трьома фрикційними контактами [7] показує, що такі умови для систем із трьома контактами на порядок складніші за відповідних умов для систем із двома контактами. Тому природно припустити, що якщо буде одержано геометричні умови для систем із чотирма фрикційними контактами, то, скоріш за все, вони виявляться менше зручними у застосуванні, ніж аналітичні умови.

Також у розділі сформульовано основні припущення, прийняті в дисертації згідно традиційного підходу до “заклинювання”, які полягають у наступному. Розглядаються голономні склерономні механічні системи абсолютно твердих тіл із сухим тертям в окремих контактах, які далі будемо називати фрикційними. В цих контактах може виникати тертя ковзання, яке підкорюється закону Кулона. Будемо вважати, що кожен із фрикційних контактів є одностороннім голономним неідеальним стаціонарним зв'язком. Нехай у деякий момент часу відносні швидкості окремих фрикційних контактів дорівнюють нулю, тобто в цих контактах ковзання не відбувається, а має місце тертя спокою. Далі такі контакти будемо називати “нерухомими”, а інші фрикційні контакти - “рухомими”.

В роботі виключено з розгляду системи, які мають особливості, не обумовлені кулоновим тертям. Це означає, що рівняння руху (рівноваги) систем, що розглядаються, при відмові від обмежень, які накладаються кулоновим тертям, завжди мають розв'язок.

Для описання руху системи з n фрикційними контактами скористаємося рівняннями Лагранжа другого роду. Оскільки для цього необхідно, щоб усі накладені на систему зв'язки були ідеальними, віднесемо сили кулонова тертя до категорії активних сил. Тоді маємо k скалярних рівнянь Лагранжа

I(q) + h(q, ) = + ((q) ¦ (q)) ( f)^T,(1)

де I - матриця квадратичної форми кінетичної енергії системи; q - вектор k узагальнених координат, які описують положення системи; h - вектор, компоненти якого є квадратичними формами по ; - вектор, який включає члени, котрі містять активні сили і моменти у виразах узагальнених сил; і f - вектори відповідно нормальних реакцій і сил тертя; ((q) ¦ (q)) - блочна матриця, де (q) і (q) - матриці коефіцієнтів відповідно при нормальних реакціях і при силах тертя у виразах узагальнених сил.

Також маємо n скалярних рівнянь зв'язків

(q)=0.(2)

Очевидно, що у рівняннях (1) і (2) загалом міститься k+2n невідомих: k прискорень , n нормальних реакцій і n сил тертя f. Доповнимо ці рівняння n співвідношеннями, які витікають із закону Кулона. А саме, якщо усі фрикційні контакти системи “рухомі”, то закон Кулона записується як пряма залежність між силами тертя і нормальними реакціями:

f_i= -_i signv_i,? i=1, …, n,(3)

де - коефіцієнт тертя ковзання, v_i - відносна швидкість ковзання в i-му контакті. Якщо ж серед фрикційних контактів системи є m “нерухомих”, mn, то згідно закону Кулона значення сили тертя в i-му “нерухомому” контакті належить інтервалу [-_i ; _i]. Тоді спочатку вважають, що i-ий “нерухомий” контакт залишиться “нерухомим” і в наступний найближчий момент часу, тобто

,? i=1, …, m.(4)

Для “рухомих” контактів використовують співвідношення вигляду (3). Розв'язуючи систему рівнянь (1)-(4), знаходять невідомі , і f. Якщо знайдене значення сили тертя у якомусь i-му “нерухомому” контакті належить до інтервалу [-_i ; _i], то вважають, що для цього контакту припущення було вірним. У протилежному випадку це припущення є невірним, тому покладають f_i=_i, а напрямок сили f_i обирають так, щоби вона безперервно переходила в силу, спрямовану проти відносної швидкості v_i, як тільки остання перестає дорівнювати нулю.

Введення формального визначення “заклинювання” пов'язане із труднощами, обумовленими викладеним вище традиційним підходом, у рамках якого рівняння задачі про “заклинювання” не мають єдиного розв'язку. Це викликано тим, що у випадку тертя спокою закон Кулона не пропонує конкретної залежності між силою тертя і нормальною реакцією. Щоб однозначно відповісти на питання, чи гарантовано система знаходитиметься у стані “заклинювання”, необхідно ввести деяке додаткове незалежне співвідношення, котре пов'язує значення реактивних сил між собою. Чим більше “нерухомих” контактів у системі, тим більше таких співвідношень потрібно. Оскільки на реальну систему діють багато факторів (властивості матеріалів контактуючих тіл, температура і т. д.), то ввести додаткове співвідношення означає обрати із цих факторів один чи декілька. Однак, по-перше, вирази, які враховують обрані фактори, можуть виявитися громіздкими, що зробить неможливим їх якісний аналіз. По-друге, треба мати гарантію, що введене додаткове співвідношення усуне статичну невизначеність задачі про “заклинювання”. По-третє, це введення звузить область застосування одержаних результатів. Разом із тим на даному етапі становлять інтерес загальні властивості та закономірності “заклинювання”, які можна вивчити тільки виходячи із найбільш узагальнених уявлень про механічну систему, яка досліджується. Тому в дисертації прийнято традиційний підхід. заклинювання фрикційний контакт

З метою сформулювати формальне визначення “заклинювання” в рамках цього підходу у третьому розділі розглянуто умови рівноваги механічної системи із двома фрикційними контактами на прикладі відомої задачі про вставку втулки в отвір за допомогою маніпулятора. Втулка контактує із стінками отвору у точках 1 і 2 (рис. 1). Тертя в контактах кулонове із коефіцієнтами ₁ і ₂ відповідно. Дію на втулку маніпулятора задано системою активних сил, приведених до головного вектора F (для спрощення викладок прикладемо головний вектор із компонентами F_x і F_y у точці 1) і головного моменту M (відносно тієї ж точки 1). В i-ій точці контакту діє реактивна сила R_i із нормальною складовою _i (нормальна реакція) і дотичною f_i (сила кулонова тертя), i=1, 2. Зв'язки в контактах односторонні, тобто ₁0, ₂0. Досліджується можливість рівноваги втулки при різному взаємному розташуванні конусів тертя K₁ і K₂ (див. рис. 1) і різних активних силах.

Запишемо скалярні рівняння рівноваги втулки:

M+f₂c-₂r=0,? -f₁b-₁a=0,(5)

F_x+₁cos-f₁sin-₂=0,(6)

де

=M-F_xr-F_yc

момент активних сил відносно точки 2.

Для того, щоби втулка знаходилась у рівновазі, необхідно, щоб реактивні сили R₁ і R₂ розташовувались усередині відповідних конусів тертя K₁ і K₂, тобто щоби виконувалися нерівності

f₁₁₁,?f₂₂₂.(7)

Результати, одержані при аналізі рівнянь (5) і нерівностей (7), для наочності зведено в табл. 1, в осередках якої дано умови (обмеження у вигляді нерівностей), яким повинні задовольняти нормальні реакції ₁ і ₂ за всіх можливих геометричних умов і активних сил для того, щоби втулка знаходилась у рівновазі. Також дані обмеження представлено у кожному осередку графічно у вигляді областей відповідних значень ₁ і ₂ на площині O₁₂.

Кожна з побудованих областей є множиною таких точок цієї площини, що при всіх нормальних реакціях ₁ і ₂, відповідних до цих точок, сили тертя f₁ і f₂, визначені рівняннями (5), задовольняють нерівностям (7), тобто умовам відсутності ковзання у контактах. Очевидно, що границі кожної області визначаються активними силами, прикладеними до втулки.

Якщо область є пустою, то не існує визначених рівняннями (5) сил f₁ і f₂, задовольняючих нерівностям (7). Отже, для того, щоби втулка не могла знаходитись у рівновазі при заданих активних силах, достатньо, щоб область була пустою.

При побудові областей було використано тільки два рівняння (5) із трьох рівнянь рівноваги (5), (6). Дамо наочну геометричну інтерпретацію випадку, коли одночасно задовольняються всі три рівняння рівноваги. Ці рівняння містять чотири невідомі ₁, ₂, f₁, f₂ (тобто дана механічна система є статично невизначеною), тому одну з цих невідомих, наприклад, ₁ можна обрати в якості вільної змінної і виразити через неї інші три невідомі.

₂ = ₁c/b + (F_x -sin/b),(8)

Умови рівноваги втулки

Отже, поряд з областю розглянемо також залежність яка на площині O₁₂ має вигляд прямої. Оскільки c>b (див. рис. 1), то значення кута нахилу цієї прямої до осі O₁, очевидно, знаходиться в інтервалі від 45^о до 90^о. Таким чином, якщо нормальні реакції задовольняють одночасно всім трьом рівнянням (5), (6), то відповідна точка площини O₁₂ одночасно належить і області , і прямій (8). Зрозуміло, що це може відбуватися тільки у випадку, коли пряма (8) перетинає область або дотична до неї. У протилежному випадку при заданих активних силах втулка не буде знаходитись у рівновазі. Отже, коли одночасно задовольняються всі три рівняння рівноваги, існує непуста множина точок (₁, ₂), які одночасно належать і області , і прямій (8).

Визначення 1. Множину будемо називати областю рівноваги.

Якщо область є прямокутником або напівполосою (див. табл. 1), то область рівноваги є пустою при деяких певних значеннях активних сил, прикладених до втулки, і непустою при інших значеннях цих сил. Якщо ж область є чвертю площини, то завжди є непустою, якими б не були ці активні сили. Це єдиний випадок, коли втулка може знаходитись у рівновазі при будь-яких активних силах. Як зрозуміло з табл. 1, це відбувається тоді і тільки тоді, коли одночасно m.1IntK₂ і m.2IntK₁.

Однак навіть у цьому випадку не можна гарантувати, що втулка знаходитиметься в рівновазі. У прийнятій постановці задача є статично невизначеною, тому існує вільна змінна, а отже, розв'язком цієї задачі є деяка множина значень реактивних сил. Серед цих значень можуть бути і такі, при яких втулка знаходиться в рівновазі, і такі, при яких її рівновагу порушено. Якби поставлена задача була статично визначеною, тобто якби вона мала єдиний розв'язок, то йому відповідала б єдина точка (₁, ₂) площини O₁₂. Якби ця точка належала області рівноваги , то втулка гарантовано знаходилася б у рівновазі, а у протилежному випадку можна було би гарантувати, що втулка не знаходиться в рівновазі.

Таким чином, у рамках прийнятої теоретичної моделі “заклинювання” не можна одержати достатні умови його виникнення, а отже, і дати адекватне теоретичне описання цього явища. Тому лишається говорити про необхідні умови “заклинювання”, тобто про механічні системи, в яких воно можливе.

Визначення 2. Механічна система допускає “заклинювання”, якщо не можна вказати активні сили, за допомогою яких цю систему гарантовано можна вивести з рівноваги.

Хоча вище розглянуто цілком конкретну механічну систему із двома фрикційними контактами, дане визначення введено для систем довільної конфігурації з будь-якою кількістю контактів. Справа в тому, що в це визначення включено тільки факт існування непустої області рівноваги системи при будь-яких активних силах. Тоді ніякі інші характерні особливості дослідженої системи “втулка-отвір” не накладають умов на механічну систему, в якій розглядається можливість “заклинювання”.

Із використанням визначення 2 в даному розділі проведено теоретичний аналіз відомої геометричної умови “заклинювання” для систем із двома фрикційними контактами, а також вперше сформульовано й обґрунтовано геометричні умови “заклинювання” для систем із трьома фрикційними контактами. Наведемо ці результати. Для зручності введемо наступне визначення.

Визначення 3. Якщо в механічній системі із двома фрикційними контактами відрізок, який з'єднує точки контакту, розташовано всередині обох конусів тертя (тобто m.1IntK₂ і m.2IntK₁), то кажуть, що конуси тертя накладаються один на одного.

В багатьох публікаціях стверджується, що в механічній системі із двома фрикційними контактами виникає “заклинювання”, якщо конуси тертя накладаються один на одного. Однак уперше строге формулювання і доведення відповідної теореми виконано в дисертації.

Теорема 1. Для того, щоб механічна система із двома фрикційними контактами допускала “заклинювання”, необхідно і достатньо, щоб конуси тертя накладались один на одного.

Цю теорему доведено шляхом міркувань про силовий багатокутник, створений діючими на систему активними і реактивними силами.

Наслідок 1. Для того, щоб механічна система із двома фрикційними контактами не допускала “заклинювання”, достатньо, щоби хоча б одна з точок контакту не була розташована всередині конусу тертя, побудованого в іншій точці контакту.

Щоби викласти результати, одержані в дисертації для механічних систем із трьома фрикційними контактами, приклад якої зображено на рис. 2, позначимо через K_i^*, i=1, 2, 3, конус, утворений векторами -R_i, де R_iIntK_i, тобто K_i^*={-R_i:R_iIntK_i}, а через - множину точок, обмежених твірними конусів K_i і K_i^*. У [7] одержано необхідні умови, при одночасному виконанні яких система із трьома фрикційними контактами допускає “заклинювання”:

а) плоский кут при вершині конуса, який включає в себе цілиною всі три конуси тертя (на рис. 3а твірні цього конуса позначені суцільною лінією), не повинен бути меншим за ;

б) множини , i=1, 2, 3, повинні мати непустий перетин (на рис. 3б цей перетин позначено сірим кольором).

Для того, щоб система із трьома контактами не допускала “заклинювання”, достатньо, щоби порушувалася хоча б одна з умов а) і б). Умову а) легко переформулювати як достатню умову, за якої система не допускає “заклинювання”: для того, щоб механічна система із трьома фрикційними контактами не допускала “заклинювання”, достатньо, щоби плоский кут при вершині конуса, твірні якого на рис. 3а позначено суцільною лінією, був меншим за . Складніше було одержати достатню умову, за якої перетин множин , i=1, 2, 3, є пустим. Щоби сформулювати її, позначимо через множину точок, обмежених прямими, які з'єднують точки контакту (рис. 4).

Теорема 2. Для того, щоб механічна система із трьома фрикційними контактами не допускала “заклинювання”, достатньо, щоби жодна з множин , i=1, 2, 3, не перетиналась із множиною ніде, окрім відповідної точки контакту.

Припустимо, що множини , i=1, 2, 3, мають непустий перетин (позначений на рис. 5б сірим кольором). Позначимо через , i=1, 2, 3, множини, яким належать лінії дії тих сил R_iIntK_i, що проходять через цей перетин. Множини і можуть співпадати, але в загальному випадку це не так (порівняйте рис. 5а і 5в). Шляхом паралельного переносу помістимо конуси K_i, i=1, 2, 3, вершинами в одну точку.

Теорема 3. Для того, щоб механічна система із трьома фрикційними контактами допускала “заклинювання”, необхідно, щоби кут при вершині конуса, який включає в себе цілиною всі конуси K_i, i=1, 2, 3 (твірні даного конуса на рис. 5в позначено суцільною чорною лінією), був не меншим за .

Твердження теореми 3 є більш жорсткою умовою, ніж умови а) і б). Теореми 2 і 3 доведено в дисертації методами теорії множин.

У четвертому розділі розшукуються необхідні і достатні аналітичні умови, при виконанні яких механічна система довільної конфігурації з n фрикційними контактами допускає “заклинювання” в рівновазі, тобто умови, за яких для будь-якого вектора активних сил у фрикційних контактах системи знайдуться такі нормальні реакції і сили кулонова тертя f, які одночасно задовольняють рівнянням рівноваги

 + ( ¦) (?f)^T = 0,(9)

умовам односторонності зв'язків

_i0,? i=1, …, n,(10)

і співвідношенням закону Кулона

f_i=_ii,? -_i^o,?i=1, …, n.(11)

Для цього в даному розділі вперше сформульовано і доведено шляхом міркувань про рівняння (9) наступну низку лем.

Лема 1. Для того, щоб механічна система з n фрикційними контактами не допускала “заклинювання” в рівновазі, достатньо, щоби k>2n.

Лема 2. Якщо ( ¦) - матриця повного рангу, то щоби механічна система з n фрикційними контактами не допускала “заклинювання” в рівновазі, достатньо, щоби k2n.

Лема 3. Для того, щоб механічна система з n фрикційними контактами не допускала “заклинювання” в рівновазі, достатньо, щоби матриця ( ¦) була матрицею неповного рангу.

Лема 4. Для того, щоб механічна система з n фрикційними контактами допускала “заклинювання” в рівновазі, необхідно, щоби матриця ( ¦) була матрицею повного рангу і одночасно виконувалася умова n<k<2n.

Також сформульовано наступну допоміжну теорему, доведення якої засновано на міркуваннях про взаємне розташування у багатовимірному просторі і f тих об'єктів, яким відповідають співвідношення (9)-(11).

Теорема 4. Механічна система з n фрикційними контактами допускає “заклинювання” в рівновазі тоді і тільки тоді, коли для будь-якого вектора активних сил знайдуться такі сили тертя і нормальні реакції, які одночасно задовольняють рівнянням рівноваги (9) і умовам f_i<_i, _i>0, i=1, …, n.

Наслідок 2. Твердження теореми 4 можна розглядати як визначення механічної системи, яка допускає “заклинювання” в рівновазі, еквівалентне визначенню 2.

Позначимо M=diag{_i}, i=1, …, n, і запишемо рівняння рівноваги (9) у наступному вигляді:

+(+M)=0.(12)

Теорема 5. Для того, щоб механічна система з n фрикційними контактами, яка задовольняє умовам леми 4 і теореми 4, допускала “заклинювання” в рівновазі, необхідно і достатньо, щоби:

а) існували коефіцієнти тертя _i^o, -<_i^o<, i=1, …, n, при яких у рівняннях (12) - матриця неповного рангу;

б) усі компоненти хоча б одного із існуючих лінійно незалежних векторів ^o були строго додатними, тобто _i^o>0 для всіх i=1, …, n.

Примітка. При виконанні умови а) існує ненульовий вектор ^o, такий, що (+M)=0. Якщо rank(+M)=n-1, то існує єдиний набір таких векторів, які розрізняються між собою лише довільним постійним множником. Якщо ж rank(+M)=n-2, то існує два таких набори векторів, причому будь-які два вектори, які належать до різних наборів, є лінійно незалежними, і т. д.

Також у розділі на прикладі системи із двома фрикційними контактами показано еквівалентність умов теорем 1 і 5.

П'ятий розділ присвячено поширенню результатів четвертого розділу на системи, які рухаються. По-перше, сформульовано наступне визначення.

Визначення 4. Механічна система допускає “заклинювання” в русі, якщо не можна вказати такі активні сили, під дією яких на систему всі “нерухомі” фрикційні контакти гарантовано стануть “рухомими”.

Припустимо, що в даний момент часу система має декілька “нерухомих” фрикційних контактів. Оберемо будь-які mn із даних контактів, вважаючи без утрати загальності, що обрані “нерухомі” контакти мають номери від 1 до m. Як зрозуміло із визначення 4, система допускає “заклинювання” в тому і тільки в тому випадку, коли деякі з її “нерухомих” контактів, наприклад, обрані m контактів не можуть гарантовано стати “рухомими” ні за яких активних сил. Тобто система допускає “заклинювання” тоді і тільки тоді, коли для будь-якого вектора активних сил значення сил кулонова тертя f_i, знайдені за умов (4), належать відповідно інтервалам [-_i ; _i].

Ставилася задача знайти умови, при виконанні яких для будь-якого вектора існують такі значення узагальнених прискорень , нормальних реакцій і сил кулонова тертя f, які одночасно задовольняють рівнянням (1) і (2), умовам (10), співвідношенням

f_i=_ii,?де _i для i=1, …, m,?_i = для i=m+1, …, n,(13)

і рівностям

(v_i/q)+(v_i/)=0,? i=1, …, m.(14)

Введемо наступні позначення: V=[v_i/q_j], =[v_i/], де i=1, …, m, j=1, …, k; (q, )=((^T)/q), де ^T=/q; B=(^T¦)^T; (¦-V)^T=BI-¹; =(q, )-+h(q, ). Перетворення і аналіз рівнянь (1) і (2) з урахуванням рівностей (14) дозволило звести поставлену задачу до наступної: знайти умови, при виконанні яких для будь-якого вектора існують такі і f, які одночасно задовольняють рівнянням

( ¦) (?f)^T=,(15)

умовам (10) і співвідношенням (13).

Скориставшись співвідношеннями закону Кулона (13) для “рухомих” контактів, представимо рівняння (15) у такому вигляді, коли вони містять тільки незалежні невідомі. Для цього розіб'ємо вектори і f відповідно на вектори ⁽¹⁾, ⁽²⁾ і f ⁽¹⁾, f ⁽²⁾, де ⁽¹⁾=(₁, …, _m)^T, ⁽²⁾=(_m+1, …, _n)^T, f ⁽¹⁾=(f₁, …, f_m)^T, f ⁽²⁾=(f_m+1, …, f_n)^T. Відповідно позначимо через ⁽¹⁾ (⁽¹⁾) матрицю, складену з перших m стовпчиків матриці (), а через ⁽²⁾ (⁽²⁾) - матрицю, складену з інших стовпчиків матриці (). Із урахуванням позначення =diag{}, i=1, …, m, співвідношення (13) для “рухомих” контактів представимо у вигляді f⁽²⁾=⁽²⁾. Неважко показати, що ( ¦) (?f)^T=(⁽¹⁾ ¦ ⁽²⁾ + ⁽²⁾¦⁽¹⁾) (⁽¹⁾?⁽²⁾?f ⁽¹⁾ )^T, тобто далі замість рівнянь (15) можна розглядати рівняння

F(⁽¹⁾?⁽²⁾?f ⁽¹⁾ )^T=,(16)

де

F=(⁽¹⁾ ¦ ⁽²⁾ + ⁽²⁾¦⁽¹⁾).

Із використанням рівнянь (16) у розділі доведено низку лем і теорем, аналогічних лемам і теоремам з четвертого розділу.

Лема 5. Для того, щоб розглянута механічна система не допускала “заклинювання” в русі, достатньо, щоби k>n+m.

Лема 6. Якщо ранг матриці F повний, то щоби розглянута механічна система не допускала “заклинювання” в русі, достатньо, щоби kn+m.

Лема 7. Для того, щоб розглянута механічна система не допускала “заклинювання” в русі, достатньо, щоби ранг матриці F був неповним.

Лема 8. Для того, щоб розглянута механічна система допускала “заклинювання” в русі, необхідно, щоби матриця F була матрицею повного рангу й одночасно задовольнялась умова k<n+m.

Наслідок 3. Для того, щоб розглянута механічна система допускала “заклинювання” в русі, необхідно, щоби серед рівнянь зв'язків (2) і (14), накладених на систему, були функціонально залежні.

Теорема 6. Розглянута механічна система допускає “заклинювання” в русі в тому і тільки в тому випадку, коли для будь-якого вектора знайдуться такі нормальні реакції _i, _i>0, i=1, …, n, і сили кулонова тертя у “нерухомих” контактах f_i, f_i<_i, i=1, …, m, і одночасно із силами тертя у “рухомих” контактах f_i=_i, i=m+1, …, n, задовольняють рівнянням (15).

Наслідок 4. Твердження теореми 6 можна розглядати як визначення механічної системи, яка допускає “заклинювання” в русі, еквівалентне визначенню 4.

Перепишемо рівняння (15) у вигляді

(+M)=.(17)

Теорема 7. Для того, щоб механічна система, яка задовольняє умовам леми 8 і теореми 6, допускала “заклинювання” в русі, необхідно і достатньо, щоби:

а) існували коефіцієнти тертя _i^o, i=1, …, n, де -<_i^o< для i=1, …, m, при яких у (17) (+M)=(+M^o) - матриця неповного рангу;

б) усі компоненти хоча б одного із існуючих лінійно незалежних векторів ^o були строго додатними.

Зауважимо, що постановка задачі й усі одержані в даному розділі результати сформульовано таким чином, щоб у випадку, коли всі фрикційні контакти системи “нерухомі”, вони співпадали відповідно із постановкою задачі і результатами для “заклинювання” в рівновазі.

Застосування одержаних теоретичних результатів у шостому розділі при дослідженні прикладу Пенлеве-Клейна та системи фрикційного демпфірування візка вантажного вагону показало, що їх можна ефективно використовувати на практиці при аналізі можливості “заклинювання” в реальних системах із фрикційними контактами.

Висновки

У дисертації розглянуто рівняння руху і рівноваги голономних механічних систем абсолютно твердих тіл із різною кількістю фрикційних контактів, у яких тертя підкорюється закону Кулона, і явище “заклинювання”, з яким пов'язані деякі випадки виродження цих рівнянь.

Проведений у першому розділі аналіз публікацій, присвячених “заклинюванню”, показав, що на даний момент не тільки не існує достатньо розвиненої формальної теорії “заклинювання”, але й відсутнє строге визначення цього явища.

Виконані у другому розділі дослідження показали, що існуючі проблеми із введенням строгого визначення “заклинювання” обумовлені особливостями традиційного підходу. Рівняння руху, складені в рамках цього підходу, не можна однозначно розв'язати відносно невідомих прискорень і реакцій зв'язків. Внаслідок цієї неоднозначності неможливо вказати достатні умови, при виконанні яких у системі виникає “заклинювання”, що, однак, не заважає одержати необхідні умови його виникнення. Це означає, що при дослідженні “заклинювання” в рамках традиційного підходу можна ввести тільки таке визначення даного явища, яке відображає лише вказані необхідні умови. Обґрунтовано недоцільність ускладнення або заміни традиційного підходу.

У третьому розділі введено визначення механічної системи, яка допускає “заклинювання” у рівновазі, що найбільш адекватно відображає (при традиційному підході) сутність цього експериментально виявленого явища. Це визначення характеризує тільки необхідні умови, при виконанні яких у дослідженій системі виникає “заклинювання”. Із використанням даного визначення строго обґрунтовано відому геометричну умову, при якій системи із двома фрикційними контактами допускають “заклинювання”, а також одержано та строго обґрунтовано геометричні умови, при яких допускають “заклинювання” системи із трьома фрикційними контактами.

У четвертому розділі строго сформульовано і доведено теорему про необхідні і достатні (аналітичні) умови, при яких системи із довільною кількістю фрикційних контактів допускають “заклинювання” в рівновазі. Ця теорема накладає умови на ранг матриці коефіцієнтів, із якими нормальні реакції, котрі виникають у фрикційних контактах, входять до рівнянь Лагранжа другого роду, які описують поведінку системи. Ефективність використання даної теореми при дослідженні конкретної системи полягає в тому, що не треба записувати цілиною рівняння руху. Досить:

- записати вираз елементарної роботи усіх нормальних реакцій і сил кулонова тертя на віртуальних переміщеннях системи;

- виразити в ньому кожну силу тертя через відповідну нормальну реакцію згідно закону Кулона;

- із одержаних коефіцієнтів при нормальних реакціях скласти матрицю та визначити її ранг.

У п'ятому розділі введено визначення механічної системи, яка допускає “заклинювання” у русі. Із використанням даного визначення строго сформульовано і доведено теорему про необхідні і достатні (аналітичні) умови, при яких системи із довільною кількістю фрикційних контактів допускають “заклинювання” в русі. Дана теорема подібна до згаданої вище теореми із четвертого розділу, однак її можна застосовувати до систем, які знаходяться не тільки в рівновазі, але і в русі.

Застосування одержаних теоретичних результатів у шостому розділі при дослідженні прикладу Пенлеве-Клейна та системи фрикційного демпфірування візка вантажного вагону показало, що їх можна ефективно використовувати на практиці при аналізі можливості “заклинювання” в реальних системах із фрикційними контактами.

Список публікацій за темою дисертації

1. Ушкалов В. Ф. Зависимость сил трения в фрикционном демпфере от вертикального перемещения надрессорной балки / В. Ф. Ушкалов, М. М. Жечев, И. А. Серебряный, М. В. Скатенок // Техническая механика. - 2003. - № 2. - С. 109 - 120.

2. Ушкалов В. Ф. О возможности возникновения "jamming" при движении колёсной пары в поперечной плоскости / В. Ф. Ушкалов, М. М. Жечев, М. В. Скатенок // Техническая механика. - 2004. - № 2. - С. 45 - 49.

3. Ушкалов В. Ф. Условия возникновения эффектов “wedging” и “jamming” при поперечных перемещениях колёсной пары / В. Ф. Ушкалов, М. М. Жечев, М. В. Скатенок // Проблемы механики железнодорожного транспорта : XI Международная конференция, 26 - 29 мая 2004 г., Днепропетровск : сб. докладов и тезисов. - Днепропетровск : ДНУЖТ, 2004. - С. 172.

4. Жечев М. М. Необходимые условия “wedging” (“заклинивания”) в системах с кулоновым трением / М. М. Жечев, М. В. Скатенок // Техническая механика. - 2004. - № 1. - С. 31 - 39.

5. Жечев М. М. Механические системы с кулоновым трением, допускающие заклинивание / М. М. Жечев, М. В. Скатенок // Техническая механика. - 2005. - № 1. - С. 22 - 35.

6. Жечев М. М. О возможности “wedging” (заклинивания) в системах с кулоновым трением / М. М. Жечев, М. В. Скатенок // Человек и космос : VI Международная молодёжная научно-практическая конференция, 14 - 16 апреля 2004 г., Днепропетровск : сб. докладов и тезисов. - Днепропетровск : НЦАОМУ, 2004. - С. 235.

7. Жечев М. М. Явление “wedging” в системах с сухим трением / М. М. Жечев, М. В. Скатенок // Механика твёрдого тела. - 2004. - № 34. - С. 194 - 198.

8. Жечев М. М. Условия возникновения “wedging” в механических системах с кулоновым трением / М. М. Жечев, М. В. Скатенок // Юбилейная конференция, посвящённая 80-летию со дня рождения П. В. Харламова, 23 - 25 июня 2004 г., Донецк : сб. докладов и тезисов. - Донецк : ИПММ НАНУ, 2004. - С. 29.

9. Жечев М. М. Необходимые и достаточные условия “wedging” в механических системах с кулоновым трением / М. М. Жечев, М. В. Скатенок // V Международный симпозиум по классической и небесной механике, 23 августа 2004 г., Великие Луки (Россия) : сб. докладов и тезисов. - Великие Луки : ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, 2004. - С. 185 - 186.

10. Zhechev M. M. Geometrical conditions for wedging in mechanical systems with Coulomb friction / M. M. Zhechev, M. V. Khramova // Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, Part C : Journal of Mechanical Engineering Science. - 2009. - Volume 223, № 5. - P. 1171 - 1179.

11. Жечев М. М. Механические системы, допускающие заклинивание / М. М. Жечев, М. В. Скатенок // Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела : IX Международная конференция, 1 - 6 сентября 2005 г., Донецк : сб. докладов и тезисов. - Донецк : ИПММ НАНУ, 2005. - С. 90 - 91.

12. Скатенок М. В. О заклинивании в механических системах с двумя фрикционными контактами / М. В. Скатенок // Человек и космос : VII Международная молодёжная научно-практическая конференция, 13 - 15 апреля 2005 г., Днепропетровск : сб. докладов и тезисов. - Днепропетровск : НЦАОМУ, 2005. - С. 233.

13. Скатенок М. В. О возможности заклинивания в системе “колёсная пара - рельсы” с одноточечными контактами / М. В. Скатенок // Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта : 65_ая Международная научно-практическая конференция, 19 - 20 мая 2005 г., Днепропетровск : сб. докладов и тезисов. - Днепропетровск : ДНУЖТ, 2005. - С. 10 - 11.

14. Скатенок М. В. Условия заклинивания в системах с кулоновым трением / М. В. Скатенок // Классические задачи динамики твёрдого тела : Международная конференция, посвящённая 300-летию со дня рождения Л. Эйлера, 9 - 13 июня 2007 г., Донецк : сб. докладов и тезисов. - Донецк : ИПММ НАНУ, 2007. - С. 70.

15. Скатенок М. В. Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами / М. В. Скатенок // Механика твёрдого тела. - 2005. - № 35. - С. 145 - 153.

16. Скатенок М. В. “Wedging”, “jamming” и парадоксы Пэнлеве в системах с кулоновым трением / М. В. Скатенок // Техническая механика. - 2006. - № 1. - С. 39 - 48.

17. Скатенок М. В. Аналитические условия заклинивания в движении для систем с кулоновым трением / М. В. Скатенок // Техническая механика. - 2006. - № 2. - С. 32 - 47.

Анотація

Храмова М. В. Умови “заклинювання” у голономних механічних системах абсолютно твердих тіл із кулоновим тертям. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут технічної механіки Національної академії наук України і Національного космічного агентства України, Дніпропетровськ, 2009.

Дисертацію присвячено аналізу рівнянь руху і рівноваги голономних механічних систем абсолютно твердих тіл із різною кількістю фрикційних контактів, у яких тертя підкорюється закону Кулона, і явищу “заклинювання”, з яким пов'язані деякі випадки виродження цих рівнянь.

Для даних систем уперше показано неможливість одержання достатніх умов виникнення “заклинювання”, тобто умов, при виконанні яких це явище гарантовано виникає. Можна знайти тільки необхідні умови виникнення “заклинювання”, із використанням яких у дисертації сформульовано визначення механічної системи, яка допускає “заклинювання”. Це визначення дозволило:

- вперше строго обґрунтувати відому геометричну умову, за якої системи із двома фрикційними контактами допускають “заклинювання”;

- вперше одержати і строго обґрунтувати геометричні умови, за яких системи із трьома фрикційними контактами допускають “заклинювання”;

- дати строге формулювання й обґрунтування необхідних і достатніх аналітичних умов, за яких допускають “заклинювання” системи із довільною кількістю фрикційних контактів.

...