Хвильові процеси в дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонках при нестаціонарному навантаженні

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМЕНІ С.П. ТИМОШЕНКА

МАЙБОРОДІНА Наталія Вікторівна

УДК 539.3

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Мейш Володимир Федорович, провідний науковий співробітник відділу динаміки та стійкості суцільних середовищ Інституту механіки імені С.П. Тимошенка НАН України (м. Київ).

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Карнаухов Василь Гаврилович, завідувач відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м. Київ);

кандидат фізико-математичних наук, доцент Бабаєв Олександр Арташесович, доцент кафедри вищої математики та інформатики Київського славістичного університету, Міністерство освіти і науки України (м. Київ).

Захист відбудеться “ 28 ” вересня 2010 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ - 57, вул. Несторова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Автореферат розісланий “ 25 ” серппня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 доктор фізико-математичних наук О.П. Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Еліпсоїдальні оболонкові конструкції володіють високою несучою здатністю, легкістю, відносною простотою виготовлення. В умовах експлуатації тонкостінні пружні оболонкові структури часто підлягають дії інтенсивних динамічних навантажень, що може призвести до виникнення незворотних деформацій. Дану проблему можна вирішити двома способами. Перший спосіб полягає в збільшенні товщини оболонки, а другий - в підкріпленні її ребрами. При динамічному навантаженні підкріплених еліпсоїдальних оболонок локальні збурення в області зміни фізико-механічних параметрів ребер приводять до значного перерозподілу параметрів напружено-деформованого стану у всій досліджуваній області. Складність процесів, що виникають при цьому, обумовлюють необхідність застосування сучасних чисельних методів розв'язку динамічних задач поведінки підкріплених еліпсоїдальних оболонкових структур з врахуванням дискретного розміщення ребер. Отже, дослідження протікання хвильових процесів в підкріплених еліпсоїдальних оболонках з врахуванням дискретного розміщення ребер при нестаціонарному навантаженні та розвиток чисельних методів розв'язування задач даного класу являє собою актуальну задачу механіки деформівного твердого тіла.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації проводилися згідно державної теми НДР в Національному університеті біоресурсів і природокористування України “Розвиток чисельних методів розв'язування диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами стосовно задач теорії оболонкових структур” (2006 - 2008 р., д.р. № 0106U005711); державної теми НДР в Національному університеті біоресурсів і природокористування України “Математичне моделювання впливу статичних та динамічних факторів на стан ґрунтових середовищ” (2008 - 2010 р., д.р. № 0108U001978); державної теми НДР в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка “Хвильові процеси в пружних тілах та оболонках з врахуванням неоднорідностей”(2007 - 2011р., д.р.№ 0107U000433).

Мета і задачі дослідження. Мета досліджень полягає у вивченні нестаціонарних коливань підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер. Досягнення мети дослідження здійснюється постановкою і розв'язуванням наступних основних задач:

постановка динамічних задач теорії дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок на основі геометрично лінійної теорії оболонок і стержнів типу С.П. Тимошенка;

вивід рівнянь коливань підкріплених еліпсоїдальних оболонок та природних граничних умов з допомогою варіаційного принципу Гамільтона-Остроградського;

розвиток та обґрунтування чисельного методу розв'язування задач нестаціонарних коливань підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер;

розв'язування на основі розвинутого методу задач динамічної поведінки підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер при нестаціонарному навантаженні для різних геометричних і фізико-механічних параметрів та граничних умов;

аналіз характерних закономірностей протікання хвильових процесів в підкріплених еліпсоїдальних оболонках при нестаціонарному навантаженні, які обумовлені дискретністю розміщення ребер.

Об'єктом дослідження є динамічна поведінка підкріплених еліпсоїдальних оболонок при нестаціонарному навантаженні.

Предметом дослідження є осесиметричні та неосесиметричні коливання підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер під дією нестаціонарного навантаження при різних граничних умовах.

Методи дослідження. Для побудови математичної моделі і розв'язування задач динамічної поведінки підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер під дією нестаціонарного навантаження, використовується теорія оболонок та стержнів типу С.П. Тимошенка в геометрично лінійній постановці. Варіаційні рівняння коливань дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок отримані на основі принципу Гамільтона-Остроградського. Чисельний метод розв'язування задач ґрунтується на застосуванні інтегро-інтерполяційного методу побудови скінчено-різницевих схем по просторовим координатам та явної скінченно-pізницевої схеми типу “хрест” по часовій координаті.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

в постановці двовимірних динамічних задач теорії підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер в рамках геометрично лінійного варіанту теорії пружних оболонок та стержнів типу С.П. Тимошенка при нестаціонарному навантаженні;

в розвитку чисельного методу розв'язування задач нестаціонарних коливань підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер, що базується на інтегро-інтерполяційному методі апроксимації вихідних рівнянь по просторових координатах та явній скінчено-різницевій апроксимації по часовій координаті;

в теоретичному дослідження стійкості різницевих схем для рівнянь коливань дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок;

в розробці алгоритмів і програм, що дозволяють реалізувати розв'язування досліджуваних динамічних задач на ПК;

вперше комплексно отримано розв'язки двовимірних неосесиметричних задач теорії підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер під дією нестаціонарного навантаження в широкому діапазоні зміни геометричних та фізико-механічних параметрів оболонки та ребер при різних видах граничних умов;

в виконанні аналізу результатів та виявленню нових властивостей і закономірностей протікання хвильових процесів, які обумовлені дискретністю розміщення підкріплюючих ребер, в підкріплених еліпсоїдальних оболонках при нестаціонарних навантаженнях.

Достовірність одержаних результатів визначається: строгістю та коректністю постановок вихідних задач (рівняння коливань підкріплених еліпсоїдальних оболонок в рамках теорії оболонок та стержнів типу С.П. Тимошенка); теоретичним обґрунтуванням збіжності скінчено-різницевих схем (апроксимація скінчено-різницевих рівнянь, перевірка практичної збіжності обчислювального процесу; використання умови стійкості, яка гарантує стійкий розрахунок); контрольованою точністю чисельних розрахунків; проведенням тестових розрахунків і порівнянням їх результатів з відомими в літературі; відповідністю встановлених закономірностей загальним властивостям коливань тонкостінних елементів конструкцій та якісною узгодженістю результатів розрахунків з висновками, отриманими на підставі міркувань фізичного характеру.

Практичне значення одержаних результатів. Розв'язки нових задач динаміки дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок при нестаціонарному навантаженні, а також розроблені методи, алгоритми та програми розрахунку задач на ПК можуть бути використані для дослідження прикладних задач в науково-дослідних організаціях та конструкторських бюро при проектуванні еліпсоїдальних елементів конструкцій в ракетобудуванні, авіабудуванні, кораблебудуванні, будівництві. Розроблені прикладні програми для ПК володіють високою точністю обчислень, надійністю, універсальністю, економічністю оперативної пам'яті ПК та часу розрахунку. Математична модель та алгоритми можуть бути узагальнені для широкого класу оболонок. Використання розроблених алгоритмів дозволяє проводити розрахунки з оцінки меж міцності елементів конструкцій, оцінки меж застосування більш простих теорій, а також створити працездатні оболонкові конструкції з оптимальними параметрами при врахуванні конструктивних, технологічних та експлуатаційних факторів і виключити необхідність у проведенні експериментальних досліджень, які потребують великих часових і матеріальних затрат.

Особистий внесок здобувача. В дисертаційній роботі особисто автору належать вивід рівнянь коливань, розробка методів їх розв'язання, створення алгоритмів і програм, проведення чисельних розрахунків на ПК та аналіз отриманих результатів. В роботах [3, 7, 8] автору належить постановка і розв'язання задач нестаціонарної поведінки дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок. В роботах написаних у співавторстві з науковим керівником доктором фізико-математичних наук, професором В.Ф. Мейшем [1, 2, 4, 5, 6, 9, 10], співавтору належить загальний задум проведення досліджень, загальна постановка диференціальних задач, обговорення і аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на наукових конференціях та семінарах:

Міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми технічної механіки - 2007” (Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ, 2007);

Міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми технічної механіки - 2008” (Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ, 2008);

ХІІ Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука (Київ, 2008);

V Міжнародна наукова конференція “Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела”, (Донецк - Мелекино, 2008);

Конференція молодих вчених “Механіка деформівного твердого тіла” (Київ, 2008);

Міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми технічної механіки - 2009” (Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ, 2009);

Міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми технічної механіки - 2010” (Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ, 2010).

Окремі положення дисертації, а також дисертація в цілому доповідалися на наукових семінарах кафедри вищої математики Національного університету біоресурсів і природокористування України (Київ, 2006 - 2009); на семінарі кафедри механіки суцільних середовищ Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (Київ, 2009); на семінарах відділу динаміки та стійкості суцільних середовищ Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 2010); на семінарі за науковим напрямком “Механіка композитних та неоднорідних середовищ” Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 2010).

Публікації. По матеріалах дисертації опубліковано 10 наукових праць. З них 4 статті, які опубліковані у фахових виданнях, затверджених ВАК України та 6 тез міжнародних наукових конференцій. 7 праць опубліковані в співавторстві, 3 праці - одноосібно.

Структура роботи та обсяг дисертації. Робота складається із вступу, чотирьох розділів, які містять 31 рисунок і 2 таблиці, висновків та списку використаних джерел із 159 найменувань, що розміщенний на 17 сторінках. Повний обсяг дисертації становить - 162 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, професору В.Ф. Мейшу за постійну увагу до роботи, допомогу та корисні поради при написанні дисертаційної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Найбільш повно сучасний стан досліджень в області динаміки підкріплених оболонок викладено в монографіях та оглядових роботах І.Я. Аміро, І.В. Андріанова, Ю.П. Жигалко, В.О. Заруцького, А.І. Ліхоєда, П.З. Лугового, О.О. Малініна, І.С. Малютіна, Л.І. Маневича, В.Ф. Мейша, В.Г. Паламарчука та інших. Згідно вказаних робіт, практична більшість досліджень проводилася з використанням розрахункової схеми, що ґрунтується на рівняннях прикладної теорії оболонок Кірхгофа-Лява і теорії стержнів Кірхгофа-Клебша. В основному, розглянуто задачі на власні коливання та вимушені коливання підкріплених оболонок при гармонічних навантаженнях.

Задачі динамічної поведінки підкріплених оболонок при нестаціонарних навантаженнях в рамках класичної теорії розглянуто в роботах О.Є. Богдановича, Т.Б. Кошкіної, О.К. Мишонкова, А.К. Перцева та інших. Застосування теорії оболонок і стержнів типу С.П. Тимошенка для розв'язування задач нестаціонарних коливань підкріплених оболонок розглянуто в роботах Н.А. Абросімова, В.Г. Баженова (Нижній Новгород), П.З. Лугового, В.Ф. Мейша, Л.Г. Романенка, І.Т.Філіппова, Є.Т.Янютіна та інших. В більшості робіт розглянуті осесиметричні та неосесиметричні коливання підкріплених циліндричних, конічних та сферичних оболонок. Практично відсутні роботи по дослідженню динамічної поведінки підкріплених еліпсоїдальних оболонок.

Таким чином, наведений аналіз досліджень коливань підкріплених оболонок показав, що задача вивчення вимушених осесиметричних та неосесиметричних коливань підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретності розміщення ребер при нестаціонарному навантаженні являється актуальною, як з теоретичної так і з прикладної точки зору.

В другому розділі викладено постановку динамічних задач та рівняння осесиметричних та неосесиметричних коливань підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретності розміщення ребер при нестаціонарному навантаженні.

Вважаємо, що деформований стан гладкої оболонки може бути визначений через компоненти узагальненого вектора переміщень серединної поверхні гладкої оболонки. Деформований стан -го підкріплюючого ребра, направленого вздовж вісі , визначається через компоненти узагальненого вектора переміщень центрів ваги поперечних перерізів -го ребра, а відповідно деформований стан -го підкріплюючого ребра, направленого вздовж вісі - вектором Покладаємо, що оболонка та дискретні підкріплюючі ребра жорстко з'єднані між собою по лініях контакту.

Умови контакту між оболонкою та і-тим ребром мають вигляд

де - відстань від серединної поверхні гладкої еліпсоїдальної оболонки до лінії центрів ваги поперечних перерізів -го ребра; - висота -го підкріплюючого ребра; - координата лінії проектування центрів ваги поперечних перерізів -го ребра на координатну серединну поверхню обшивки. Знак “+” відповідає випадку зовнішнього підкріплення ребер, а знак “-” обирається у випадку внутрішнього підкріплення ребер.

Аналогічним чином записуються умови контакту між оболонкою та j-тим підкріплюючим ребром.

Для виведення рівнянь коливань підкріпленої еліпсоїдальної оболонки з врахуванням дискретного розміщення ребер використовується варіаційний принцип Гамільтона-Остроградського, згідно якого

де П, К - повна потенціальна та кінетична енергії пружної системи, А- робота зовнішніх сил, і - фіксовані моменти часу.

Після виконання операцій варіювання та інтегрування в варіаційному рівнянні (2), з врахуванням інтегральних характеристик напружень для гладкої оболонки і підкріплюючих ребер та умов контакту обшивка - -те ребро (1) і обшивка - -те ребро, отримаємо три групи рівнянь:

рівняння коливань в гладкій області;

рівняння коливань для -го ребра, направленого вздовж вісі ;

рівняння коливань для -го ребра, направленого вздовж вісі .

Рівняння коливань дискретно підкріпленої еліпсоїдальної оболонки доповнюються початковими і граничними умовами, що витікають з варіаційного принципу (2).

В третьому розділі представлені алгоритми розв'язування задач осесиметричних та неосесиметричних коливань підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер при нестаціонарному навантаженні. Проведено теоретичне дослідження стійкості різницевих схем для рівнянь коливань дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок та отримано необхідну умову стійкості.

Вихідна група рівнянь, що описує динамічну поведінку дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок, являє собою дві системи рівнянь. Одна з них - це рівняння коливань дискретно підкріпленої еліпсоїдальної оболонки (рівняння коливань гладкої оболонки та рівняння коливань підкріплюючих ребер), друга - співвідношення узагальненого закону Гука для кожного з вказаних елементів.

Рівняння коливань в гладкій області та для -го (або -го ) ребра являють собою систему диференціальних рівнянь в частинних похідних по змінним при наявності просторових розривів по координаті (або ). Просторовими розривами є лінії проектування центрів ваги поперечних перерізів повздовжніх або поперечних ребер на серединну поверхню гладкої еліпсоїдальної оболонки. Виходячи з цього факту, чисельний алгоритм розв'язання вихідної задачі будується наступним чином: шукається розв'язок в гладкій області еліпсоїдальної оболонки і окремо для підкріплюючих ребер. Чисельний алгоритм розв'язування вихідної задачі ґрунтується на застосуванні інтегро-інтерполяційного методу побудови скінченно-різницевих схем по просторовим координатам та явної скінченно-pізницевої схеми типу “хрест” по часовій координаті.

Перехід від неперервної системи до скінченно-різницевої виконується в два етапи:

перший етап полягає в скінченно-різницевій апроксимації рівнянь коливань в зусиллях-моментах;

другий етап полягає у скінчено-різницевій апроксимації величин зусиль-моментів і відповідних їм величин деформацій.

В роботі використовується явна скінчено-різницева схема, яка є умовно стійкою. У зв'язку з цим проведено теоретичне дослідження стійкості різницевих схем та отримано необхідну умову стійкості.

В четвертому розділі приведено розв'язки конкретних задач динамічного деформування підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер під дією нестаціонарного розподіленого навантаження. Досліджено закономірності протікання хвильових процесів в дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонках в широкому діапазоні зміни геометричних та фізико-механічних параметрів оболонки і ребер. Дослідження проводились для дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок з різними граничними умовами (жорстке защемлення країв, вільно опертий край, вільний край). Досліджено вплив дискретно розміщених поздовжніх і поперечних ребер та їх способу кріплення (внутрішнє, зовнішнє) на напружено-деформований стан підкріплених еліпсоїдальних оболонок.

В роботі розглянуто дискретно підкріплені еліпсоїдальні оболонки з наступними граничними умовами:

- жорстко защемлені краї

- вільно опертий край в напрямку координати

- вільний край в напрямку координати

Початкові умови для всіх компонент узагальненого вектора переміщень нульові при

Поперечні підкріплюючі ребра розміщувались вздовж координати в перерізах

На рис. 3 - 8 приведені найбільш характерні криві для величин , , , які дозволяють проводити аналіз напружено-деформованого стану досліджуваної структури. В силу симетрії наводяться залежності для вказаних величин по координаті в діапазоні. На всіх рисунках крива з індексом 1 відповідає моменту часу , крива з індексом 2 - , крива з індексом 3 - . Рис. 3 - 4 відповідають залежностям величини від просторової координати в перерізі в залежності від зовнішнього (рис. 3) або внутрішнього (рис. 4) кріплення ребер.

На рис. 5 - 6 зображено залежності величини від просторової координати у вказаному перерізі в залежності від зовнішнього (рис. 5) або внутрішнього (рис. 6) кріплення ребер. На рис. 7 - 8 зображено залежності величини від просторової координати у вказаному перерізі в залежності від зовнішнього (рис. 7) або внутрішнього (рис. 8) кріплення ребер. Як слідує з приведеного графічного матеріалу, можна візуально визначити місця розташування підкріплюючих ребер в перерізах Спосіб кріплення ребер приводить в ряді випадків до різниці між максимальними амплітудами вказаних величин: для величин прогину різниця сягає 30% , для напружень - 25% , для зусиль - 43%. Аналіз одержаних результатів дозволяє зробити висновок, що при зовнішньому розміщенні ребер максимальні амплітуди величин і більші від відповідних максимальних амплітуд величин при внутрішньому розміщенні ребер, а для навпаки - менші.

Розглянута задача про вимушені неосесиметричні коливання дискретно підкріпленої поперечними ребрами еліпсоїдальної ортотропної оболонки в області (7), в якої вільно опертий край в напрямку координати - умови (4) і жорстко защемлений край в напрямку координати - умови (3) з початковими умовами (6) під дією нестаціонарного розподіленого навантаження (8).

Задача розглядалась при наступних геометричних параметрах оболонки:

Фізико-механічні параметри оболонки обирали для випадку ортотропного матеріалу. Покладали, що, , модуль пружності - сталий і, а змінюються, , при цьому, приймають значень для одного з п'яти випадків:

Геометричні і фізико-механічні параметри підкріплюючих ребер:

Поперечні підкріплюючі ребра розміщувались вздовж координати в перерізах

На рис. 9 - 10 приведено найбільш характерні криві для величини від просторової координати в перерізах (рис. 9) і (рис. 10) в момент часу . Розглядався час досягнення величиною максимального значення по модулю. В силу симетрії приводяться залежності для величини по координаті в діапазоні.

Як слідує, з приведеного графічного матеріалу, можна візуально визначити місця розміщення підкріплюючих ребер в перерізах та їх характер впливу на напружено-деформований стан підкріпленої структури. Аналіз отриманих чисельних результатів дозволяє зробити висновок, що крива для другого випадку, наближається до кривої для третього випадку, який є ізотропним. Тому можна зробити висновок, що другий випадок ортотропії майже відповідає ізотропному випадку. Величина максимального прогину (випадок п'ять) в перерізі наближено в 1, 56 разів більша від величини максимального прогину в перерізі , тобто.

Розглядалась задача про вимушені неосесиметричні коливання дискретно підкріпленої поперечними ребрами еліпсоїдальної оболонки в області (7), в якої вільний край в напрямку координати - умови (5), і жорстко защемлений край в напрямку координати - умови (3) з початковими умовами (6) під дією нестаціонарного розподіленого навантаження (8).

Задача розглядалась при наступних геометричних і фізико-механічних параметрах оболонки (випадок ізотропного матеріалу):

Геометричні і фізико-механічні параметри підкріплюючих ребер:

Поперечні підкріплюючі ребра розміщувались вздовж координати в перерізах

Рис. 11 - 12 відповідають залежностям величин і від просторової координати в перерізі (в силу симетрії наводяться залежності по координаті в діапазоні). На всіх рисунках крива з індексом 1 відповідає моменту часу , крива з індексом 2 - , крива з індексом 3 - .

Як слідує, з приведеного графічного матеріалу, можна візуально визначити місця розміщення підкріплюючих ребер в перерізах . Отримані чисельні результати дозволяють характеризувати напружено-деформований дискретно підкріпленої еліпсоїдальної оболонки в будь-який момент часу на досліджуваному інтервалі згідно вище вказаних постановок.

Розглядалась задача про вимушені неосесиметричні коливання підкріпленої повздовжніми ребрами еліпсоїдальної оболонки з жорстко защемленими краями (3) в області (7) з початковими умовами (6) під дією нестаціонарного розподіленого навантаження (8). Схематичне зображення поздовжньо підкріпленої еліпсоїдальної оболонки наведено на рис. 13.

Задача розглядалась при наступних геометричних і фізико-механічних параметрах оболонки (випадок ізотропного матеріалу):

Геометричні і фізико-механічні параметри підкріплюючих ребер:

Поздовжні підкріплюючі ребра розміщувались вздовж координати в перерізах рис. 14 - 15 відповідають залежностям величин і від просторової координати в перерізі (в силу симетрії наводяться залежності по координаті в діапазоні ). Одержані чисельні результати дозволяють проводити аналіз напружено-деформованого стану досліджуваної структури. На всіх рисунках крива з індексом 1 відповідає моменту часу , крива 2 - і крива 3 - . Як слідує, з приведеного графічного матеріалу, можна візуально визначити місця розміщення підкріплюючих ребер в перерізах і їх характер впливу на напружено-деформований стан підкріпленої еліпсоїдальної оболонки. В області кріплення ребер максимальний прогин в порівнянні з прогином в гладкій області оболонки менший наближено в 3 рази, а зусилля - наближено в 3,5 разів.

Також в даному розділі розглянуто питання достовірності одержаних в роботі результатів, яка забезпечується: строгістю і коректністю постановок вихідних задач (рівняння коливань підкріплених еліпсоїдальних оболонок в рамках теорії оболонок та стержнів типу С.П. Тимошенка); теоретичним обґрунтуванням збіжності скінчено-різницевих схем (апроксимація скінчено-різницевих рівнянь, перевірка практичної збіжності обчислювального процесу; використання умови стійкості, яка гарантує стійкий розрахунок); контрольованою точністю чисельних розрахунків; проведенням тестових розрахунків і порівнянням їх результатів з відомими в літературі; відповідністю встановлених закономірностей загальним властивостям коливань тонкостінних елементів конструкцій та якісною узгодженістю результатів розрахунків з висновками, отриманими на підставі міркувань фізичного характеру.

У висновках коротко сформульовані основні результати дисертаційної роботи.

Проведено постановку динамічних задач теорії підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер з використанням геометрично лінійного варіанту теорії оболонок та стержнів типу С.П. Тимошенка.

Виведено рівняння коливань дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок та природних граничних умов з використанням варіаційного принципу Гамільтона-Остроградського.

Розвинено і обґрунтовано чисельний метод розв'язування задач нестаціонарних осесиметричних та неосесиметричних коливань підкріплених еліпсоїдальних оболонок з врахуванням дискретного розміщення ребер. На основі розвиненого чисельного методу для розв'язування вихідних задач створені обчислювальні алгоритми і програми для ПК. Чисельний метод базується на використанні інтегро-інтерполяційного методу побудови скінченно-різницевих схем по просторовим координатам та явної скінченно-різницевої схеми по часовій координаті. Розроблені алгоритми дозволяють отримувати розв'язки нових класів динамічних задач механіки оболонок. Виконано теоретичне дослідження стійкості різницевих схем. Проведено дослідження збіжності отриманих чисельних розв'язків і адекватності математичних моделей, а також зіставлення чисельних результатів з відомими аналітичними розв'язками.

На основі вихідної розрахункової моделі та розроблених чисельних алгоритмів отримано розв'язки нових динамічних задач нестаціонарних коливань дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок з різними геометричними, фізико-механічними параметрами оболонок і ребер та граничними умовами (жорстко защемлені краї, вільно опертий край, вільний край). Досліджено вплив дискретно розміщених поздовжніх та поперечних ребер і їх способу кріплення (внутрішнє, зовнішнє) на неосесиметричні коливання дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонок при нестаціонарному навантаженні.

Проведено аналіз числових результатів, закономірностей та механічних ефектів, які характерні для хвильових процесів в дискретно підкріплених еліпсоїдальних оболонках при нестаціонарному навантаженні.

Для випадку поперечно підкріплених еліпсоїдальних оболонок проведено порівняння числових результатів для величин прогину, напружень та зусиль при внутрішньому та зовнішньому розміщенні ребер. Зокрема, при конкретних геометричних та фізико-механічних параметрах еліпсоїдальної оболонки та ребер, приведених в роботі, кількісна різниця по максимальним амплітудам для величин прогину сягає 30% , для напружень - 25% , для зусиль - 43%, в залежності від способу кріплення ребер. При зовнішньому розміщенні ребер максимальні амплітуди для величин і більші від відповідних максимальних амплітуд для величин при внутрішньому розміщенні ребер, а для навпаки - менші.

Для випадку поперечно підкріплених ортотропних еліпсоїдальних оболонок показано вплив ортотропії матеріалу на напружено-деформований стан вихідної конструкції.

1. Мейш В.Ф. Математичне моделювання хвильових процесів в еліпсоїдальних оболонках при нестаціонарних навантаженнях / В.Ф. Мейш, Н.В. Майбородіна // Математичні проблеми технічної механіки - 2007: міжнар. наук. конф., 23 - 26 квітня 2007 р.: тези доповідей - Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ, 2007. - С. 59.

2. Мейш В.Ф. Исследование напряженно-деформированного состояния дискретно подкрепленных продольными ребрами эллипсоидальных оболочек при нестационарных распределенных загрузках / В.Ф. Мейш, Н.В. Майбородина // Теоретическая и прикладная механика - 2007. - Вып. 43. - С. 150 - 155.

3. Майбородіна Н.В. Неосесиметричне деформування дискретно підкріплених поперечними ребрами еліпсоїдальних оболонках при нестаціонарних навантаженнях // Математичні проблеми технічної механіки - 2008: міжнар. наук. конф., 21 - 24 квітня 2008 р.: тези доповідей - Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ, 2008. - С. 133.

4. Мейш В.Ф. Чисельні алгоритми розв'язування задач динаміки для дискретно підкріплених повздовжніми ребрами еліпсоїдальних оболонках при нестаціонарних навантаженнях / В.Ф. Мейш, Н.В. Майбородіна // ХІІ Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука: міжнар. наук. конф., 15 - 17 травня 2008 р.: тези доповідей - Київ, 2008. - С. 266.

5. Мейш В.Ф. Неосесимметричные колебания эллипсоидальных оболочек при нестационарных распределенных нагрузках / В.Ф. Мейш, Н.В. Майбородина // Прикл. механика. - 2008. - Т. 44, № 9. - С. 73 - 84.

6. Мейш В.Ф. К расчету неосесимметричных колебаний дискретно подкрепленных поперечными ребрами гибких эллипсоидальных оболочек при нестационарных нагрузках/В.Ф.Мейш, Н.В. Майбородина // Прикл. механика. - 2008. - Т. 44, № 10. - С. 63 - 73.

7. Майбородіна Н.В. Коливання дискретно підкріплених еліпсоїдальних ортотропних оболонок при нестаціонарних навантаженнях // Вісник Київського університету. Серія: фіз. - мат. науки. - 2008. - Вип. № 4. - С. 71 - 74.

8. Майбородина Н. В. Нелинейные колебания дискретно подкрепленных продольными ребрами эллипсоидальных оболочек при нестационарных нагрузках // Механіка деформівного твердого тіла: конференція молодих вчених, 21 жовтня 2008 р.: тези доповідей - Київ, 2008 // Прикл. механика. - 2009. - Т. 45, № 3. - С. 131.

9. Мейш В.Ф. Динамічна поведінка підкріплених поперечними ребрами ортотропних оболонок при розподілених нестаціонарних навантаженнях / В.Ф. Мейш, Н.В. Майбородіна // Математичні проблеми технічної механіки - 2009: міжнар. наук. конф., 20 - 23 квітня 2009 р.: тези доповідей - Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ, 2009. - С. 51.

10. Мейш В.Ф. До постановки та розв'язку задач про нелінійні коливання підкріплених повздовжніми ребрами еліпсоїдальних оболонок при нестаціонарних навантаженнях / В.Ф. Мейш, Н.В. Майбородіна // Математичні проблеми технічної механіки - 2010: міжнар. наук. конф., 20 - 23 квітня 2010 р.: тези доповідей - Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ, 2010. - С. 101.

Диссертация посвящена исследованию динамического поведения подкрепленных эллипсоидальных оболочек с учетом дискретного размещения ребер при нестационарной нагрузке. На основании вариационного принципа Гамильтона-Остоградского получены уравнения колебаний, соответственные природные граничные и начальные условия для дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек в рамках геометрически линейной теории оболочек и стержней типа С.П. Тимошенко. Развит численный метод и созданы численные алгоритмы для решения осесимметричных и неосесимметричных задач нестационарных колебаний дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек. Численный алгоритм основывается на использовании интегро-интерполяционного метода построения конечно-разностных схем по пространственным координатам и явной конечно-разностной схемы типа “крест” по временной координате. На основании исходной расчетной модели и разработанных численных алгоритмов получены решения новых динамических задач для дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек под действием нестационарной нагрузки и проведен анализ напряженно-деформированного состояния в широком диапазоне изменения геометрических, физико-механических параметров оболочек и ребер при различных граничных условиях. Исследовано влияние дискретно размещенных продольных, поперечных ребер и их способа крепления (внутреннее, внешнее) на неосесимметрические колебания подкрепленных эллипсоидальных оболочек при нестационарной нагрузке. Выполнено теоретическое исследование устойчивости разностных схем и получено необходимое условие устойчивости. Исследовано численную сходимость полученных результатов на примере динамического поведения дискретно подкрепленной продольными ребрами эллипсоидальной оболочки с жестко защемленными краями при нестационарной нагрузке. Проведено тестовые расчеты и сравнение их результатов с известными в литературе. Полученные результаты позволяют анализировать особенности напряженно-деформированного состояния подкрепленных эллипсоидальных оболочек с учетом дискретного расположения ребер в любой момент времени на исследованном интервале. Проведено анализ численных результатов, закономерностей и механических эффектов, которые характерны для волновых процессов в дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочках при нестационарной нагрузке.

Ключевые слова: эллипсоидальные оболочки, подкрепленные оболочки, геометрически линейная теория оболочек и ребер, численные методы, нестационарные колебания.

Mayborodina N.V. Wave processes in discretely supported ellipsoidal shells at non-stationary loading. - Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solids. - S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2010.

The dissertation is devoted research of dynamic behaviour discretely supported ellipsoidal shells at non-stationary loading. On the basis of a variation principle of Hamilton-Ostogradskogo the motion equations, initial and edge conditions for discretely supported ellipsoidal shells within the limits of geometrically linear theory of shells and ribs of type of S.P.Timoshenko are received. The numerical method is developed and numerical algorithms for the decision problems of non-stationary behaviour discretely supported ellipsoidal shells are created.

On the basis of initial settlement model and the developed numerical algorithms decisions of new dynamic problems for discretely supported ellipsoidal shells under the influence of non-stationary loading are received and the analysis of the intense-deformed condition in a wide range of change of geometrical, physicomechanical parametres of shells and ribs is carried out under various boundary conditions.

Key words: ellipsoidal shells, supported shells, geometrically linear theory of shells and ribs, numerical method, non-stationary vibrations.

Размещено на Allbest.ru