Размещено на http://www.allbest.ru/

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ЮРІЯ ФЕДЬКОВИЧА

УДК 538.958(07), 538.971

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

СПЕКТРИ ТА ВЗАЄМОДІЯ КВАЗІЧАСТИНОК У КОМБІНОВАНИХ НАНОСИСТЕМАХ АКСІАЛЬНОЇ СИМЕТРІЇ

01.04.10 - фізика напівпровідників і діелектриків

МАХАНЕЦЬ ОЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ

Чернівці - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної фізики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича, Міністерство освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор

Ткач Микола Васильович,

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри теоретичної фізики.

Офіційні опоненти: член-кор. НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор

Литовченко Володимир Григорович,

Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України, завідувач відділу фізики поверхні та мікроелектроніки;

доктор фізико-математичних наук, професор

Пелещак Роман Михайлович,

Дрогобицький державний педагогічний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри загальної фізики;

доктор фізико-математичних наук, професор

Гудима Юрій Васильович,

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, професор кафедри загальної фізики.

Захист відбудеться 26 листопада 2010 р. о 17⁰⁰ на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 76.051.01 при Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Університетська, 19 (корпус 2, Велика фізична аудиторія).

Відгуки на автореферат просимо надсилати на адресу:

Ученому секретарю ЧНУ, 58012, м. Чернівці, вул. Коцюбинського, 2.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Лесі Українки, 23.

Автореферат розіслано: „ 21 ” жовтня 2010 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Курганецький М.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

електронний екситонний спектр циліндричний

Актуальність теми дисертації зумовлена тим, що вона присвячена дослідженню стаціонарних та квазістаціонарних станів квазічастинок (електронів, фононів і екситонів) у складних комбінованих закритих та відкритих циліндричних квантових дротах, шестигранних нанотрубках та масивах квантових точок циліндричної форми.

Якщо загальні теоретичні основи вивчення енергетичних спектрів та хвильових функцій електрона у складних багатоямних високосиметричних (плоских, сферичних та циліндричних) наногетеросистемах уже розроблені і непогано описують фізичні явища та процеси, що спостерігаються експериментально, то теорія електронного, фононного та екситонного спектрів у наносистемах зі складними геометричними формами, чи в надгратках квантових точок або відсутня взагалі, або лише починає розвиватися.

Розвиток нанотехнологій останніми роками привів до створення нових різноманітних комбінованих наноструктур: квантових точок, що розташовані у квантових дротах і плівках, квантових дротів у взаємних перетинах із квантовими плівками, „нанолісів”, масивів квантових точок та нанотрубок і т.п. Теорія електронного, фононного і екситонного спектрів у наносистемах складних просторових конструкцій навіть закритого типу перебуває на початковому етапі розвитку. Головна проблема полягає у тому, що необхідно узгоджувати внутрішню симетрію складних квазічастинок (наприклад екситонів) та просторову симетрію самих наноситем. Саме такий випадок досліджується у цій роботі на прикладі екситонного спектра подвійної циліндричної квантової точки, що розташована у квантовому дроті; квантової точки, утвореної перетином квантового дроту і квантової плівки та у масиві шестигранних напівпровідникових нанотрубок, розташованих у зовнішньому середовищі.

Ситуація стає ще складнішою при побудові теорії квазістаціонарних станів електронів, дірок чи екситонів у відкритих циліндричних резонансно-тунельних структурах. Оскільки такі системи можуть бути базовими елементами наносенсорів і квантових каскадних лазерів, то розуміння фізичних процесів, які там відбуваються, є безумовно актуальним. Основна проблема при дослідженні таких систем полягає у тому, що для розрахунку динамічної провідності необхідно розв'язувати повне рівняння Шредінгера, яке враховує взаємодію електрона зі змінним у часі електромагнітним полем. Крім того, для таких систем не існує добре розроблених методів теоретичної фізики, які би дозволили послідовно розраховувати взаємодію квазічастинок з класичними і квантованими полями. У цій дисертаційній роботі пропонується один із можливих підходів до розв'язання таких задач - апроксимація відкритої системи відповідною закритою з великими розмірами зовнішніх ям.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами та темами. Дослідження, результати яких представлені в дисертації, виконані згідно з програмою наукової тематики кафедри теоретичної фізики Чернівецького національного університету „Дослідження спектрів поглинання та випромінювання квазічастинок у комбінованих напівпровідникових наногетеросистемах різної розмірності” (0106U008361) та в рамках держбюджетної теми „Оптичні та динамічні характеристики складних комбінованих напівпровідникових наногетеросистем різної розмірності” (0107U001238).

У межах цієї тематики в дисертації методами теоретичної фізики (S-матриці, теорії функцій Гріна, теорії збурень, варіаційним методом Бете, модифікованим методом приєднаних плоских хвиль) досліджено особливості формування стаціонарних і квазістаціонарних спектрів електронів, дірок, екситонів та фононів у закритих і відкритих циліндричних квантових точках, що розташовані у квантових дротах, на перетині квантового дроту і квантової плівки, а також у надгратках квантових точок та масивах нанотрубок.

Метою дисертаційної роботи є створення теорії екситонного спектра у просторово комбінованих наносистемах закритого та відкритого типів з циліндрично-симетричними елементами, в масивах шестигранних нанотрубок та створення теорії активної електронної провідності відкритих циліндричних квантових дротів, як двобар'єрних резонансно-тунельних структур.

Для досягнення мети передбачалося виконання таких завдань:

створити теорію електронного та екситонного спектра (з урахуванням енергії зв'язку) у надгратці циліндричних напівпровідникових квантових точок;

з метою зіставлення з експериментом побудувати послідовну теорію енергетичного спектра і хвильових функцій екситона (з урахуванням екситон-фононної взаємодії) у масиві шестигранних напівпровідникових нанотрубок;

побудувати теорію енергетичного спектра електрона, дірки і екситона (з урахуванням енергії зв'язку) у закритих циліндричних наносистемах зі складною просторовою структурою: циліндричний КД (ЦКД) з двома квантовими точками та ЦКТ, що утворюється перетином квантового дроту і квантової плівки;

створити теорію фононного спектра та методом -матриці дослідити залежності резонансних енергій та ширин квазістаціонарних станів електронів і екситонів у напівпровідникових „відкритих” ЦКТ, що розташовані у квантових дротах і квантових ямах;

дослідити еволюцію електронного й екситонного спектрів від стаціонарного до квазістаціонарного у триямній закритій ЦКТ у КД при збільшенні розмірів зовнішніх ям до фізичної безмежності;

дослідити властивості резонансних енергій та ширин квазістаціонарних станів електрона у простій відкритій циілндричній КТ у КД. Установити межі застосовності методу -матриці за малих значень товщин потенціальних бар'єрів. Виявити область застосовності -бар'єрного підходу при дослідженні квазістаціонарних станів квазічастинок у „відкритих” ЦКТ;

у наближенні слабкого сигналу побудувати теорію активної провідності та дослідити її залежність від геометричних параметрів циліндричної напівпровідникової двобар'єрної резонансно-тунельної структури (РТС).

Об'єктами дослідження є надгратка циліндричних напівпровідникових квантових точок та ; шестигранні напівпровідникові нанотрубки ; циліндричний КД у середовищі ; циліндричний КД, що під прямим кутом перетинає плоску квантову плівку (); циліндричні напівпровідникові „закриті” та „відкриті” КД, що містять КТ на основі напівпровідників та .

Предметом дослідження є енергетичні спектри електронів, дірок, екситонів та фононів у наногетеросистемах, а також провідність відкритого циліндричного КД.

Методи досліджень. Енергетичні спектри електронів (дірок) розраховувалися шляхом аналітичного розв'язування стаціонарного рівняння Шредінгера в наближенні ефективних мас та в моделі прямокутних потенціалів. Розрахунок електронних та екситонних спектрів у надгратці циліндричних КТ здійснювався модифікованим методом приєднаних плоских хвиль з використанням моделі квазідвовимірного екситону типу Сугано-Шінади. Енергія зв'язку екситона у всіх циліндричних наносистемах знаходилася методом теорії збурень із залученням модифікованого варіаційного методу Бете у випадку шестигранних нанотрубок. Розрахунок фононних спектрів у закрито-відкритих циліндричних наносистемах та перенормованого фононами електронного та екситонного спектрів у масиві шестигранних нанотрубок виконувався методом функцій Гріна у моделі діелектричного континууму. Розрахунок резонансних енергій та ширин квазістаціонарних станів квазічастинок у відкритих системах виконувався методом -матриці, та шляхом використання відповідних параметрів функції розподілу густини ймовірності , та коефіцієнта прозорості . Нестаціонарне рівняння Шредінгера для електрона, що взаємодіє з електромагнітним полем, у циліндричній нано-РТС розв'язується за допомогою часової теорії збурень у наближенні малого сигналу. Аналітичний вираз для провідності такої РТС отримується з використанням квазістатичного наближення. Безпосередні розрахунки усіх спектральних параметрів квазічастинок здійснювалися числовими методами за допомогою ЕОМ.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що у дисертації вперше:

1) на основі модифікованого на випадок квазіплоскої системи методу приєднаних плоских хвиль побудовано теорію електронного та екситонного спектрів у надгратці циліндричних квантових точок (НЦКТ). Показано, що енергія екситонного збудження складно залежить, як від геометричних характеристик НЦКТ, так і від глибини потенціальних ям та величини ефективних мас квазічастинок, які утворюють екситон;

2) розроблено послідовну теорію електроннних та екситонних енергетичних спектрів у масиві шестигранних напівпровідникових нанотрубок (ШНТ) з урахуванням екситон-фононної взаємодії. Встановлено, що у нанотрубці InP/InAs/InP положення у шкалі енергій і величини інтенсивностей експериментальних піків люмінісценції добре узгоджуються з розрахованими теоретично;

3) побудовано теорію енергетичних спектрів електрона і екситона у комбінованій наносистемі, що є квантовим дротом, який під прямим кутом перетинає плоску квантову плівку у зовнішньому середовищі. Показано, що через просторову складність наносистеми, електронні стаціонарні стани крім трьох квантових чисел (, , ), характеризуються ще двома числами (, ), від яких залежать хвильові функції і енергії квазічастинки;

4) побудовано послідовну теорію електронного та екситонного спектрів у складному закритому циліндричному КД з двома КТ з урахуванням енергії зв'язку електрона та дірки і проаналізовано вплив зовнішнього постійного електричного поля на спектральні параметри квазічастинок;

5) розвинуто теорію резонансних квазістаціонарних станів електрона, дірки, екситона та фононних спектрів у відкритій напівпровідниковій ЦКТ, що розташована або в циліндричному квантовому дроті, або в плоскій квантовій плівці, які перебувають у зовнішньому середовищі. Унаслідок доброї локалізації у просторі ЦКТ потенціальними бар'єрами товщиною у кілька моношарів, екситони Брейт-Вігнерівського типу мають достатні часи життя і можуть спостерігатися експериментально;

6) показано, що у простій відкритій ЦКТ у ЦКД величини резонансних енергій та резонансних ширин квазістаціонарних станів (КСС) найбільш адекватно визначаються функцією розподілу (за енергією) густини ймовірності знаходження електрона . З'ясовано, що спектральні параметри квазічастинок у простій відкритій двобар'єрній ЦКТ у ЦКД завжди і з достатньою точністю можуть бути апроксимовані відповідними спектральними параметрами квазічастинок у триямній закритій ЦКТ у ЦКД;

7) розроблено теорію активної провідності циліндричної нано-РТС. Уведено важливе поняття середнього контура провідності, відповідні проекції якого безпосередньо визначають основні спектральні параметри (резонансні енергії та ширини) КСС електронів у досліджуваній відкритій РТС. Показано, що у залежності від геометричних параметрів циліндричної нано-РТС і величин енергій моноенергетичних електронів, що налітають на неї, ці системи можуть бути активними елементами чи квантового каскадного лазера, чи наносенсора.

Теоретична та практична цінність отриманих результатів полягає у тому, що розвинута теорія дозволяє розв'язувати задачі знаходження екситонного спектра у складних закритих комбінованих наногетеросистемах з аксіальною симетрією, шестигранних нанотрубках та надгратках квантових точок. Розроблений математичний апарат розрахунку спектрів квазічастинок та отримані позитивні результати дають надію для теоретичного дослідження ще більш складних просторових конструкцій наносистем, створених експериментально.

Запропонована теорія активної провідності не тільки пояснює фізичні процеси, що відбуваються в активних елементах наносенсорів чи нанорозмірних квантових каскадних лазерів, але й дає принципову можливість за відомим контуром провідності експериментально визначати резонансні енергії та ширини КСС електронів у відкритих РТС.

Виконані дослідження стимулюватимуть постановку експериментів з метою створення нових нанорозмірних електронних приладів.

Особистий внесок автора. У працях [1-5, 7-11] з дослідження екситонних спектрів у надгратках циліндричних квантових точок та шестигранних нанотрубках дисертант брав участь у постановці задачі, виборі методів їх розв'язування, обговоренні результатів та проводив усі числові розрахунки.

Здобувачу належить ідея, постановка задачі, вибір методу розрахунків та самі аналітичні розрахунки у роботах [12-19], пов'язаних із дослідженням екситонних спектрів у складних закритих циліндричних комбінованих наногетеросистемах.

Дисертантом у працях [21-26] здійснено постановку задачі, виконано аналітичні розрахунки -матриць, фононних дисперсійних рівнянь та проведено аналіз результатів обчислень з формулюванням висновків при дослідженні фононних та екситонних спектрів у закрито-відкритих симетричних циліндричних комбінованих наногетеросистемах.

Здобувач брав участь у обговоренні моделі і методів дослідження квазістаціонарних електронних та екситонних станів і провідності циліндричних резонансно-тунельних наноструктур у роботах [27-31]. Ним отримано аналітичний вираз для активної провідності циліндричної РТС, виконано числові розрахунки, здійснено їх аналіз і сформульовано висновки.

У працях [6, 20] дисертант брав участь у обговоренні моделі дослідження, аналізі результатів теоретичних і числових розрахунків.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційного дослідження доповідалися на міжнародних і вітчизняних наукових конференціях, симпозіумах і семінарах, тези або матеріали яких опубліковані у відповідних збірниках праць:

2-й міжнародний Смакуловий симпозіум „Фундаментальні і прикладні проблеми сучасної фізики” (Тернопіль, 2000); 1^st International Conference on Advanced Optoelectronics and Lasers (Alushta, Crimea, Ukraine, 2003); ІІ-IV Українські наукові конференції з фізики напівпровідників (за участю зарубіжних науковців) УНКФН (Чернівці-Вижниця, Україна, 2004 р.; Одеса, Україна, 2007 р.; Запоріжжя, Україна, 2009 р.); The European Materials Conference “E-MRS 2004 FALL MEETING“ (Warsaw, Poland, 2004); I International Conference “Electronics and Applied Physics” (Kyiv, Ukraine, 2005); II-IV International Workshop “Relaxed, nonlinear and acoustic optical processes; materials - growth and optical properties” (Lutsk-Shatsk Lakes, Ukraine, 2005; 2006; 2008); 12^th International Conference on II-VI Compounds (Warsaw, Poland, 2005); 7^th -8^th International Balkan Workshop on Applied Physics (Constanta, Romania, 2006; 2007); National Conference of Applied Physics CNFA 2006 (Iasi, Romania, 2006); VIII Ukrainian-Polish and III East-European Meeting on Ferroelectrics Physics (Lviv, Ukraine, 2006); The Fifth Romanian Conference on Advanced Materials (Bucharest-Magurele, Romania, 2006); Міжнародна науково-практична конференція „Структурна релаксація у твердих тілах” (Вінниця, Україна, 2006 р.); ХІ-XII Міжнародні конференції „Фізика і технологія тонких плівок та наносистем” МКФТТПН-ХІ (Івано-Франківськ, Україна, 2007 р.; 2009 р.); VI Міжнародна школа-конференція „Актуальні проблеми фізики напівпровідників” (Дрогобич, Україна, 2008 р.); IV Міжнародна наукова конференція „Фізика невпорядкованих систем (Львів, Україна, 2008 р.); Всеукраїнський семінар з теоретичної та математичної фізики до 80-річчя професора А.В.Свідзинського ТМФ'2009 (Луцьк, Україна, 2009 р.); The third conference “Statistical Physics: Modern Trends and Applications” (Lviv, Ukraine, 2009); 4-та Міжнародна науково-технічна конференція „Сенсорна електроніка та мікросистемні технології” (Одеса, Україна, 2010 р.)

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 55 наукових праць, 31 з яких - статті у фахових міжнародних і вітчизняних журналах.

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних літературних джерел, який налічує 329 найменувань бібліографічних посилань. Загальний обсяг роботи - 277 сторінок, включаючи 80 рисунків і 3 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, вказано його зв'язок із науковими програмами, планами та темами, сформульовано мету і завдання дисертаційної роботи, висвітлено її наукове і практичне значення, подано інформацію про апробацію результатів і публікації автора.

У першому розділі у наближенні ефективних мас та прямокутних потенціалів досліджено електронний та екситонний енергетичні спектри у надгратці циліндричних напівпровідникових квантових точок (НЦКТ) (рис.1) , розташованих у середовищі та у середовищі .

Уважаються відомими всі геометричні параметри системи: радіус основи квантової точки (КТ) - , висота - , відстані між основами КТ у двох сусідніх шарах - , відстань між сусідніми КТ одного шару - . Ураховуючи, що розглядається система з гранично слабким зв'язком між квазічастинками в різних шарах, відобразимо цю фізичну умову тим, що будемо вважати неможливим вихід електрона за межі кожного окремого шару КТ товщиною , тобто електрон перебуває у безмежно глибокій потенціальній ямі вздовж аксіальної осі однієї з КТ.

Стаціонарне рівняння Шредінгера для електрона, легкої чи важкої дірки

(1)

розв'язується методом приєднаних плоских хвиль (ППХ), який модифікується на випадок плоскої системи. Отже електронна хвильова функція отримується у вигляді:

,(2)

а її плоска складова (), згідно з методом ППХ, утворюється лінійною комбінацією функцій Бесселя, “зшитих” з плоскими хвилями, розкладеними також за функціями Бесселя:

, (3)

де - магнітне квантове число, - об'єм плоскої елементарної комірки, - двовимірний хвильовий вектор плоскої оберненої ґратки, і - полярні координати вектора .

Невідомі коефіцієнти розкладу знаходяться з умови мінімуму відповідного функціоналу енергії, що, зрештою, приводить до секулярного рівняння:

,(4)

з якого і визначається енергетичний спектр електрона в НЦКТ у межах глибини квантової ями (). Вираз для утворюється комбінацією функцій Бесселя цілого порядку. Через громіздкість він не приводиться. Відзначимо, що цілком аналогічно отримується секулярне рівняння для визначення енергетичного спектра легкої чи важкої дірок.

Розрахунок енергій основної електронної (діркової) мінізони показує, що вона добре апроксимується квадратичною залежністю від квазіімпульса

,,(5)

де - енергія Рідберга і - ширина мінізони, виражені в меВ; величини і виражені в радіусах Бора; - маса вільного електрона у вакуумі.

На рис.2 наведена залежність дна електронної мінізони () від геометричних характеристик НЦКТ . З рисунка видно такі характерні особливості.

Рух електрона в площині надгратки, в межах енергій, що відповідають мінізоні, можливий лише за умови, що відношення висоти до радіуса циліндричної квантової точки () перевищує деяке критичне значення (). У іншому випадку () електрон рухається вільно, "не відчуваючи" квантових ям надгратки.

Величина критичного значення слабко зростає зі збільшенням відстані між ямами () за довільних радіусів ям () і суттєво зменшується зі збільшенням за фіксованого .

Якісний аналіз отриманих залежностей такий. Справді, наявність критичного значення обумовлена тим, що зв'язаний стан в окремій (що утворює зону через наявність надгратки) квантовій точці можливий лише при певних співвідношеннях між її геометричними параметрами, що визначають її мінімальний об'єм, при якому такі стани можливі. Збільшення при фіксованому , або ж збільшення при фіксованому еквівалентне збільшенню "потужності" квантової ями, тому природно приводить до зміщення дна зони в область менших енергій, тобто наближає цей рівень до дна ями . Зрозуміло, що поведінка діркової мінізони в залежності від геометричних характеристик НЦКТ якісно цілком аналогічна до електронної, а кількісна різниця обумовлена лише відмінністю ефективних мас та потенціальних енергій цих квазічастинок.

Нові цікаві особливості енергетичного спектра з'являються у НЦКТ з напівпровідників групи , зокрема . У такій системі валентна зона двократно вироджена у точці зони Брілюена, а при відході від цієї точки виродження знімається, що дозволяє говорити про закони дисперсії двох квазічастинок із різними ефективними масами (важкі і легкі дірки).

Нееквівалентність ефективних мас легкої і важкої дірок, а також наявність потенціальної ями у НЦКТ призводить до того, що таке виродження за енергією знімається навіть при , а величина розщеплення енергій мінізон () легкої і важкої дірки при може суттєво залежати від геометричних характеристик НЦКТ.

На рис. 3 приведено залежності величини розщеплення енергій мінізон легкої і важкої дірок в точці зони Бріллюена від відстані () між циліндричними квантовими точками при різних значеннях висоти () і радіуса () КТ для =0,3.

З рисунка видно таке. Збільшення відстані між ЦКТ збільшує величину розщеплення , а збільшення висоти чи радіуса () КТ навпаки приводить до зменшення значення . Такий характер залежності від геометричних характеристик НЦКТ можна зрозуміти із простих фізичних міркувань, якщо врахувати те, що по-перше, мінізона, що відноситься до легкої дірки, завжди знаходиться вище мінізони важкої дірки у шкалі енергій потенціальної ями (); по-друге важка дірка, що має більшу ефективну масу, є більш “інертною” до зміни геометричних розмірів НЦКТ. Тобто, при збільшенні величини відстані () (, ) між циліндричними КТ (збільшення відстані еквівалентне збільшенню ширини потенціального бар'єру) мінізона, що належить до легкої дірки піднімається у межах енергій квантової ями на більшу величину, ніж мінізона важкої дірки, що призводить до незначного збільшення . У випадку збільшення висоти () чи радіуса () КТ (збільшення об'єму квантової ями) мінізона легкої дірки в межах квантової ями опускається швидше, ніж мінізона, пов'язана з важкою діркою, а оскільки , то величина розщеплення буде зменшуватися.

Електрон, легка чи важка дірка у НЦКТ з гранично слабким зв'язком між квазічастинками в сусідніх шарах КТ здійснюють квазіплоский рух з квазіімпульсом і у відповідних мінізонах характеризуються відомими двохвимірними ефективними масами , і , що дозволяє знайти спектр і хвильові функції зв'язаних станів цих квазічастинок.

Екситонне рівняння Шредінгера вдається розв'язати у припущенні, що НЦКТ є континуумом з постійною діелектричною проникливістю (), яка визначається середнім значенням обернених величин проникливостей складових системи. Розв'язки такого рівняння визначають спектр квазідвохвимірного екситона Сугано-Шінади з енергією екситонного збудження:

, (, ),(6)

де , - енергії дна електронної і діркової мінізон, - приведена маса екситона.

Розрахунок енергій (6) для НЦКТ і показав, що вони визначаються складною залежністю як від геометричних характеристик НЦКТ, так і від глибини потенціальних ям і від величин ефективних мас квазічастинок, які утворюють екситон у НЦКТ.

Нарешті зауважимо, що енергія збудження екситона Сугано-Шінади в НЦКТ може бути достатньо глибоко в забороненій зоні тривимірного кристалу чи і дуже чутлива до зміни висоти КТ, що повинно добре проявлятися на експерименті.

У другому розділі побудовано теорію екситонного спектра, експериментально отриманого масиву шестигранних нанотрубок (ШНТ) (рис. 4), з урахуванням взаємодії екситона зі всіма типами поляризаційних коливань системи.

Оскільки відстань між нанотрубками у масиві значно перевищує їх поперечні розміри, то трубки можна вважати ізольованими і досліджувати спектри квазічастинок у одній з них.

Ефективні маси та потенціальні енергії електрона (дірки) у площині, перпендикулярній до осі трубки, як функції змінних (), мають симетрію шестикутника, тому змінні у рівняннях Шредінгера типу (1) не відділяються, і вони не розв'язуються точно. Наближений розв'язок доцільно шукати варіаційним методом Бете, увівши в гамільтоніані основну частину так, щоб величини та були функціями лише від змінних (тобто замінюючи шестикутники колами відповідних радіусів , , ). Різниця енергій, яка виникла в результаті відмінностей між масами та і між потенціалами та враховується в гамільтоніані як збурення. Згідно з методом Бете, радіус найменшого кола () вважається варіаційним параметром, за яким і здійснюється мінімізація функціоналу енергії електрона (дірки). У результаті отримується енергетичний спектр () та хвильові функції () ( - радіальне, а - магнітне квантові числа) електрона (дірки).

Енергії зв'язку електрона і дірки у станах розраховуються у системі центру мас шляхом усереднення потенціальної енергії взаємодії на хвильових функціях електрона і дірки, що описують їх рух у площині, перпендикулярній до аксіальної осі з використанням методу оптимальної апроксимації потенціалу таким аналітичним виразом, з яким екситонне рівняння Шредінгера вже розв'язується точно. Отже енергетичний спектр екситона у шестигранній нанотрубці (без урахування взаємодії з фононами) є таким:

,(7)

де - ширина забороненої зони матеріалу нанотрубки.

Аналітичний розрахунок перенормованого взаємодією з обмеженими та інтерфейсними фононами екситонного спектра у нанотрубці здійснювався методом функцій Гріна в моделі діелектричного континууму для фононів.

У результаті врахування всіх механізмів взаємодії квазічастинок між собою і з фононами спектр екситонних енергій має вигляд:

.(8)

Тут () парціальні зміщення енергетичних рівнів електрона (дірки), зумовлені взаємодією цих квазічастинок з обмеженими, а () - з інтерфейсними фононами. Унаслідок слабкості зв'язку обох квазічастинок з фононами парціальні зміщення визначаються дійсними частинами відповідних масових операторів.

Розроблена теорія дала можливість виконати числовий розрахунок екситонного спектра та інтенсивностей квантових переходів на прикладі експериментально реалізованого масиву ШНТ . Результати теоретичного розрахунку спектрів квазічастинок й інтенсивностей переходів наведено на рис. 5.

З рисунка 5а, б видно, що за експериментально типових товщин нанотрубки ( нм), та за фіксованих квантових чисел , у найглибшій квантовій ямі () наносистеми існує основний () і чотири збуджених (=2, 3, 4, 5) діркових енергетичних рівні і лише один електронний. Енергії всіх цих рівнів зі збільшенням товщини нанотрубки швидко зменшуються, як і повинно бути з фізичних міркувань.

Збуджені енергетичні рівні електрона, як легкої квазічастинки, розташовуються вище від дна мілкої потенціальної ями () (тонована область на рисунку). Ці рівні розташовані рідко між собою і тому антикросінги, зумовлені зміною товщини () глибокої ями, не помітні. Оскільки ж ефективна маса дірки велика, то в області енергій вище дна її мілкої ями енергетичні рівні розташовані достатньо щільно, тому (як видно з рис. 5б) у їхніх залежностях від товщини спостерігаються слабо виражені антикросінги, які виникають унаслідок “взаємодії” трьох квантових ям наногетеросистеми.

Зауважимо, що експериментально реалізована наносистема має такі геометричні розміри, при яких абсолютні величини енергій зв'язку екситона в усіх станах () виявляються на один-два порядки меншими, ніж енергії розмірного квантування () електрона чи дірки, тому й залежність енергій екситонних станів у низькоенергетичній частині спектра, в основному, зумовлена особливостями поведінки розмірно-квантованих енергій електрона і дірки, що добре видно з рис. 5в.

Відзначимо, що зміщення екситонних рівнів за рахунок взаємодії з поляризаційними фононами також не перевищують 10 меВ, хоча енергія основного стану () перенормовується, в основному, інтерфейсними фононами, а збудженого () - обмеженими поляризаційними фононами внутрішнього середовища () системи.

Результати розрахунку інтенсивностей міжзонних квантових переходів у залежності від товщини () нанотрубки у межах приведені на рис. 5г.

На рис. 5 в,г, для чіткості подальшого аналізу, енергії екситона та інтенсивності, як функції товщини у одних і тих же станах (), зображені різними лініями у залежності від величини інтенсивності переходу: якщо: - лінія жирна, - тонка, пунктирна або штрихова.

З рисунків 5 в, г видно, що зі збільшенням товщини енергія основного екситонного стану лише зменшується (), а інтенсивність переходу є значною () і лише зростає. При енергії основного екситонного стану відповідає енергія , на якій в експерименті спостерігається максимум інтенсивності випромінювального переходу (рис. 5 д, e). Виявлені залежності і від зумовлені, головним чином, тим, що зі збільшенням енергії розмірного квантування електрона і дірки зменшуються, а інтеграл перекриття - збільшується.

Крім щойно проаналізованого переходу з інтенсивністю усі інші переходи серії () відбуваються між енергетичними рівнями електрона і дірки, хвильові функції яких мають різну симетрію. Вони слабо перекриваються, а тому інтенсивності такі малі (), що в масштабі рис. 5 г вони не помітні.

Переходи серії () більш різноманітні, оскільки в інтервалі товщин електронний рівень розташований лише над дном мілкої ями, а діркові рівні з квантовими числами зі зменшенням ширини ями „витісняються” з глибокої ями в мілку. Унаслідок цього при зменшенні величини , поки рівень дірки знаходяться у своїй найглибшій ямі симетрія електронних і діркових хвильових функцій така, що вони слабо перекриваються, тому інтенсивності цих переходів малі () і в масштабі рис. 5 г вони не помітні. Однак при достатньому зменшенні величини діркові рівні послідовно „витісняються” у мілку яму, тому на певних ділянках кривих симетрія діркових хвильових функцій стає близькою до симетрії хвильових функцій електрона в стані з . Це призводить до значного перекриття хвильових функцій обох квазічастинок, а отже, і до різкого збільшення інтенсивності переходу. Саме такими обставинами зумовлений інтенсивний високоенергетичний пік (рис. 5 е), отриманий експериментально. Його максимуму при , як видно з рис. 5 в, г, д, e, відповідає екситонний енергетичний рівень з великою інтенсивністю () квантового переходу.

У третьому розділі побудовано послідовну теорію екситонного спектра (з урахуванням взаємодії між електроном і діркою) у складних закритих циліндричних комбінованих наносистемах:

а) наногетеросистема, яка складається з циліндричного напівпровідникового квантового дроту (КД) радіуса , що під прямим кутом перетинає плоску квантову плівку товщиною , утворюючи при цьому циліндричну квантову точку.

б) складний циліндричний напівпровідниковий квантовий дріт (), який містить дві квантові точки однакового матеріалу (), що розділені тонким шаром-бар'єром ().

Для знаходження хвильових функцій та спектрів електронів і дірок у згаданих наносистемах, розв'язується стаціонарне рівняння Шредінгера в циліндричній системі координат . Циліндрична симетрія системи дозволяє відділити змінні та знайти явний вигляд хвильових функцій квазічастинок у кожній із областей наносистеми. Умови неперервності хвильових функцій та потоків густин їх імовірностей на всіх межах поділу наносистеми, разом з умовою нормування, однозначно визначають усі невідомі коефіцієнти, що входять у хвильові функції та енергетичні спектри електронів і дірок. Екситонний спектр енергій знаходиться шляхом наближеного розв'язування відповідного стаціонарного рівняння Шредінгера методом теорії збурень.

У результаті спектр екситонних енергій визначається виразом:

.(9)

Тут - ширина забороненої зони матеріалу КТ, - енергії невзаємодіючих між собою електрона й дірки, а енергія взаємодії електрона () з діркою ():

(10)

де - діелектрична проникливість матеріалу квантових точок. Хвильові функції стаціонарних станів екситона є мультиплікацією хвильових функцій стаціонарних станів електрона і дірки:

.(11)

Зауважимо, що у випадку КТ, утвореної перетином квантового дроту і квантової плівки (система а)) енергетичний спектр та хвильові функції електрона (дірки) окрім трьох квантових чисел (, , ) характеризуються ще й числами , . Число - номер розв'язку рівняння Шредінгера, що зумовлений обмеженням руху квазічастинки з квантового дроту в оточуюче середовище в радіальному напрямку. Число - зумовлене обмеженням руху квазічастинки з квантової плівки в оточуюче середовище у напрямку паралельному до аксіальної осі.

На основі розробленої теорії у цьому розділі досліджено залежність енергетичних спектрів квазічастинок (електронів, дірок, екситонів) від геометричних параметрів обох типів систем.

На рис. 6 для системи а), в якості прикладу, зображено залежності енергій електрона від радіуса квантового дроту () при фіксованій висоті циліндричної КТ і фіксованих числах , , та при квантовому числі .

З рисунка видно, що зі збільшенням усі енергетичні рівні зміщуються в область менших енергій. За фіксованих , , спектральні рівні утворюють групи за квантовим числом , у які входять рівні з різним значенням квантового числа . Отже, основному енергетичному рівню відповідає стан з числами , , та з квантовими числами , , .

Енергії групи рівнів із і зі збільшенням радіуса квантового дроту зменшуються і, як і повинно бути в граничному випадку (), наближаються до значень енергій, що відповідають двом енергетичним станам електрона та дірки у плоскій КП () наносистеми , розташованій у середовищі .

Поведінка енергетичних рівнів електрона і дірки при збільшенні висоти циліндричної КТ подібна до тієї, що була при збільшенні радіуса квантового дроту, але змінюється ієрархія енергетичних рівнів. Тепер вони утворюють групи за квантовим числом , у які входять стани з різними квантовими числами .

Відзначимо, що оскільки, розрахована за формулою (10), енергія зв'язку екситона виявляється на порядки меншою від енергій розмірного квантування електрона і дірки, то й залежність екситонної енергії від геометричних параметрів наносистеми, в основному зумовлена відповідними залежностями () і їхнім спільним внеском у енергію екситона згідно з (9).

На рис. 7 для КД з двома КТ (система б) зображено залежність енергій електрона, дірки, енергій зв'язку екситона й енергій екситонного збудження від висоти однієї з квантових точок при .

З рис. 7 видно, що на залежностях від висоти енергетичних спектрів електрона , дірки та екситона спостерігаються антикросінги. Вони зумовлені ефектом розщеплення рівнів унаслідок тунельного зв'язку між обома квантовими точками однакової симетрії. Зі збільшенням товщини шару-бар'єра величини аникросінгів монотонно зменшуються з виходом на насичення, як і повинно бути з фізичних міркувань.

З рис. 7.в також видно, що енергія зв'язку екситона у всіх станах немонотонно залежить від висоти , досягаючи певних мінімальних і максимальних значень. Таку поведінку легко зрозуміти із простих фізичних міркувань. Справді, якщо електрон і дірка знаходяться у своїх основних станах, то енергія їхнього зв'язку буде максимальною при . Тоді і електрон, і дірка локалізовані в просторі квантової точки висотою і перекриття їхніх хвильових функцій значне.

З появою і збільшенням висоти іншої квантової точки висотою енергія зв'язку зменшується, оскільки хвильові функції як електрона, так і дірки все більше проникають в область КТ висотою , ефективно збільшуючи при цьому відстань між квазічастинками. Мінімальне значення енергії зв'язку досягається при , коли обидві квазічастинки з однаковою імовірністю перебувають в області обох однакових квантових точок (точка антикросінгу в залежностях енергій електрона і дірки від ). Далі знову дещо зростає, що відповідає збільшенню локалізації електрона і дірки в області КТ висотою . Перейшовши через максимум, енергія зв'язку далі зменшується, оскільки зменшується локалізація електрона і дірки в просторі широкої ями висотою .

Зовнішнє електричне поле, суттєво змінює густини ймовірностей знаходження електрона і дірки у складових наносистеми. Збільшення напруженості електричного поля змінює густину ймовірності так, що ймовірність перебування електрона у стані значно зростає у другій ямі за напрямком поля і відчутно зміщує спектр енергій в довгохвильову область, а у стані - у першій, що приводить уже до незначного зміщення у тому ж напрямку. Зміна напруженості поля мало впливає на просторову локалізацію дірки у станах і .

Різна поведінка електрон-них і діркових спектрів зумовила цікаву поведінку екситонного спектра залежно від напруженості електричного поля (рис. 8.). Нижня пара екситонних рівнів зі збіль-шенням напруженості поля зміщується в область менших енергій, оскільки величина “червоного” зміщення елек-тронного рівня значна. Причина ж слабого “фіолето-вого” зміщення двох верхніх екситонних рівнів зумовлена ефективним збільшенням висоти потенціального бар'єра для дірки при збільшенні напруженості електричного поля . Отже, зміною величини напруженості постійного електричного поля, прикладеного до внутрішнього бар'єру наногетеросистеми, можна суттєво керувати спектральними параметрами квазічастинок у цій системі.

У четвертому розділі досліджено енергетичний спектр електронів, екситонів та фононів у складних комбінованих відкритих циліндричних наногетросистемах:

І. Складний циліндричний напівпровідниковий квантовий дріт (КД), який містить квантову точку, оточену двома однаковими квантовими антиточками. Дріт перебуває у зовнішньому середовищі, яке є безмежним бар'єром для електронів та екситонів. Тому наносистема розглядається, як відкрита в аксіальному і закрита в радіальному напрямках.

ІІ. Напівпровідникова квантова плівка (КП), яка містить циліндричну квантову точку і коаксіальну їй квантову антиточку. Плівка є ізольованою від зовнішнього середовища непроникним для електронів та екситонів потенціальним бар'єром. Тому така система розглядається як відкрита у радіальному і закрита в аксіальному напрямках для квазічастинок, що містяться у циліндричній КТ.

Квазістаціонарні спектри електрона і дірки у таких наносистемах розраховуються в межах формалізму -матриці. Аналітичні вирази для відповідних -матриць отримуються як розв'язки стаціонарних рівнянь Шредінгера типу (1). Згідно зі загальною теорією при достатньо потужному потенціальному бар'єрі полюси знайденої -матриці в комплексній площині енергій:

(12)

визначають резонансні енергії електрона () чи дірки () () і резонансні ширини () квазістаціонарних станів.

Рівняння Шредінгера для екситона методом -матриці точно не розв'язується. Тому, екситонний спектр можна дослідити лише за такого потужного потенціального бар'єра, при якому виконується умова . Тоді резонансні ширини екситонних смуг визначаються адитивно:

,(13)

а резонансні енергії - формулою, цілком подібною до (9), з енергією зв'язку, визначеною на хвильових функціях повністю закритої циліндричної КТ.

Для обох типів наносистем на основі напівпровідників і виконувався числовий розрахунок залежності резонансних енергій і часів життя () електронів і дірок від геометричних параметрів обох відкрито-закритих наносистем.

На рис. 9 зображено залежності резонансних енергій (, ) квазістаціонарних станів електрона і дірки від товщин (, ) бар'єрів у циліндричній КТ у квантовому дроті (І) і в квантовій плівці (ІІ) при фіксованих значеннях висоти і радіуса циліндричної квантової точки. З рисунка видно, що величини резонансних енергій і у відповідних квантових станах слабо залежать від розмірів шарів-бар'єрів у обох випадках. Це зрозуміло, оскільки збільшення ширин бар'єрів, не змінюючи об'єму квантової ями системи, більше впливає на час життя, ніж на величини енергій.

У обох наносистемах (КД і КП), що містять циліндричні КТ, основні резонансні рівні електронів і дірок відповідають станам , , . При цьому, чим більша вимірність простору, в який відкрита квантова точка, тим нижче у потенціальну яму опускається основний резонансний рівень квазічастинки. Послідовність розташування резонансних рівнів електрона, чи дірки у шкалі енергій однакова в одній і тій же наносистемі (КД чи КП), але, крім основного стану, вона різна в різних наносистемах. Так, у випадку квантової точки, розташованої у квантовому дроті, першим в яму „втягується” рівень з квантовими числами , , , а потім -- з квантовими числами , , . У випадку квантової точки, розташованої у квантовій плівці - навпаки.

На рис. 10 зображено залежності часів життя електрона () в КТ у КД та в КП () від розмірів бар'єрів () при .

З рисунка видно, що зі збільшенням товщин потенціальних бар'єрів часи життя електрона і дірки в обох наносистемах різко (експоненційно) зростають, оскільки при цьому різко зменшується імовірність тунелювання квазічастинки крізь бар'єр.

На рис. 11 зображено залежності резонансних енергій (), та часів життя () нижньої частини екситонного спектра від товщини бар'єра (). При цьому кулонівська взаємодія електрона і дірки враховується лише як така, що перенормовує положення резонансних рівнів.

З рисунка видно, що резонансні енергії екситонних станів і в циліндричній КТ у квантовому дроті, і в квантовій плівці слабо залежать від розмірів відповідних бар'єрів, а часи життя експоненційно зростають зі збільшенням товщин бар'єрів. При цьому виявилося, що за будь-яких розмірів бар'єрів і резонансні енергії, і часи життя у основних резонансних станах екситонів у циліндричній КТ, розташованій в квантовому дроті, більші, ніж тоді, коли вона розташована у квантовій плівці (, ). Однак, для збуджених станів це вже не так. Зокрема видно, що , але .

Отже, виявилося, що у залежності від вимірності простору, в який можуть проникати квазічастинки з однієї і тієї ж відкритої циліндричної квантової точки, їх спектральні характеристики хоча і мають якісно подібні залежності від геометричних параметрів наносистеми, значно відрізняються кількісно.

Що ж до теорії фононних спектрів, то в коаксіальних багатошарових циліндричних дротах чи сферичних наносистемах вона будується, в основному, в моделі діелектричного континууму. При цьому фононний спектр містить обмежені та інтерфейсні фонони. Оскільки квантові дроти вважаються необмеженими, то потенціал поля поляризації інтерфейсних фононів досягає максимумів на бокових межах підсистем і характеризується аксіальним квазіімпульсом . У випадку циліндричної квантової точки зі скінченими висотою і радіусом, розрахунок фононного спектру ускладнюється наявністю бокової поверхні і двох плоских (основа і вершина) поверхонь циліндра. При цьому інтерфейсні фонони поділяються на два типи: SSO -- фонони бокової поверхні і TSO - фонони плоских (вершинних) поверхонь.

У цьому розділі в моделі діелектричного континууму одержано аналітичний вигляд потенціалів полів поляризації та відповідні дисперсійні рівняння для визначення спектрів обмежених та інтерфейсних фононів.

Числові розрахунки показали, що для обох типів систем обмежені фонони - бездисперсійні, а всі гілки інтерфейсних фононів перебувають між енергіями поздовжніх і поперечних фононів масивних аналогів складових елементів наносистем. Інтерфейсні фонони обох наносистем мають слабку дисперсію всіх гілок при всіх значеннях відповідних квантових чисел. За фіксованих значень квантових чисел кількість гілок TSO- і SSO-фононів визначається числом меж між контактуючими елементами наногетеросистеми.

У п'ятому розділі побудовано теорію спектральних параметрів (резонансних енергій і ширин) квазістаціонарних станів (КСС) електрона і в наближенні слабкого поля розраховано динамічну провідність циліндричної резонансно-тунельної структури (РТС), що є напівпровідниковим квантовим дротом радіуса , який ізольований від зовнішнього середовища і містить квантову точку висотою , що розташована між двома квантовими антиточками (бар'єрами) з товщинами і . Геометрична та енергетична схеми системи зображені на рис. 12.

У наближенні ефективних мас та прямокутних потенціальних бар'єрів шляхом аналітичного розв'язування стаціонарного рівняння Шредінгера типу (1) отримуються аксіальні складові () електронних хвильових функцій, на основі яких знаходиться явний вигляд -матриці

,(14)

коефіцієнта прозорості:

(15)

та функції () розподілу густини ймовірності знаходження електрона у відкритій циліндричній КТ у КД:

, (). (16)

Вирази () є складними комбінаціями плоских хвиль і через їхню громіздкість приводяться лише у дисертаційній роботі.

Аналогічні, але значно простіші, вирази для -матриці (), коефіцієнта прозорості () та розподілу густини ймовірності () отримуються у -бар'єрній апроксимації () прямокутних потенціальних бар'єрів циліндричної РТС.

Відзначимо, що величини та , як функції енергії , мають вигляд кривих з піками казілоренцевого типу, яким відповідають КСС електрона в наносистемі. Положення максимумів кожного із піків у шкалі енергій визначають резонансні енергії (РЕ) та , а інтервал енергії, що визначається відстанню (в шкалі енергій) між двома точками з ординатами, що дорівнюють половині суми максимуму і сусіднього високоенергетичного мінімуму піка, визначає резонансні ширини (РШ) та .

На рис. 13 для двобар'єрної РТС на основі напівпровідників , зображено результати розрахунку різними методами залежності резонансної енергії та резонансної ширини першого КСС (,,) електрона у відкритій ЦКТ від величини співвідношення між ширинами потенціальних бар'єрів при фіксованій величині .

З рис. 13 видно, що в реалістичній моделі з прямокутними потенціальними бар'єрами, та різними ефективними масами електрона в різних середовищах досліджуваної наносистеми, у залежності від співвідношення між товщинами бар'єрів відкритої циліндричної КТ три методи () розрахунку дають або практично одинакові результати (при ), або абсолютно різні результати (при ). Ті ж величини РЕ та РШ по всій області зміни співвідношення між товщинами обох бар'єрів у більш грубому -підході, який ігнорує різницю ефективних мас електрона, виявилися значно завищеними. Резонансні енергії на десятки відсотків, а ширин - у кілька разів. Це говорить про можливість застосування -підходу тільки в якості грубих якісних оцінок спектральних параметрів КСС у відкритих системах.

Природно, виникає питання про те, який із наведених трьох методів визначення та найбільш адекватно описує фізичну картину при будь-яких товщинах бар'єрів і відповідного співвідношення (), особливо в області слабких бар'єрів, або ж при малих значеннях , коли різні методи дають абсолютно різні значення резонансних енергій та ширин (рис. 13).

Відповідь можна знайти проаналізувавши граничний випадок перетворення двобар'єрної відкритої циліндричної КТ у КД в однобар'єрну РТС при повному зникненні одного із бар'єрів. Із фізичних міркувань зрозуміло, що КСС однобар'єрної системи повинні бути віртуальними, тобто характеризуватися відмінними від нуля і безмежності спектральними характеристиками. З аналізу поведінки функцій та (рис. 13) видно, що при лише та , тоді як , а , як характеристика КСС, не існує взагалі. Тому, очевидно, що найбільш адекватною функцією, яка характеризує КСС електрона у циліндричній РТС, слід вважати саме функцію розподілу густини ймовірності знаходження електрона всередині відкритої циліндричної КТ.

Для розрахунку провідності циліндричної РТС (рис. 12) будемо вважати, що потік невзаємодіючих між собою електронів з концентрацією потрапляє зліва на двобар'єрну РТС, рухаючись у напрямку, паралельному до аксіальної вісі.

Провідність РТС визначається густиною струму () електронів через наносистему, яка, у цій моделі, визначається хвильовою функцією електрона, що взаємодіє зі змінним у часі електромагнітним полем з частотою і амплітудою напруженості електричного поля . Хвильова функція у циліндричній системі координат (, , ) задовольняє повному рівнянню Шредінгера:

,(17)

де - основний гамільтоніан електрона (стаціонарної задачі), а - гамільтоніан взаємодії електрона зі змінним у часі електромагнітним полем.

Відділивши змінні , , , рівняння типу (17) для -ої складової хвильової функції розв'язується у наближенні слабкого сигналу, припускаючи, що амплітуда електричного поля мала. Тоді загальний розв'язок () в одномодовому наближенні шукається у вигляді:

, (18)

де функція є розв'язком відповідного стаціонарного рівняння Шредінгера.

Ураховуючи (17) і (18), отримуються рівняння для визначення обох складових функцій :

.(19)

Розв'язками неоднорідних рівнянь (19) є суперпозиція функцій:

,(20)

де

(21)

(22)

, .

Умови неперервності цих хвильових функцій і відповідних їм потоків на всіх межах наноситеми еквівалентні системі восьми лінійних неоднорідних рівнянь, із яких однозначно визначаються всі вісім невідомих коефіцієнтів (), хвильові функції , а отже і шукана хвильова функція .

...