Потери напора при установившемся равномерном движении жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Потери напора при установившемся равномерном движении жидкости (потери по длине)

Потери напора при равномерном движении пропорциональны длине участка русла, и поэтому их называют потерями напора по длине. Потери напора при резкоизменяющемся движении считаются сосредоточенными в месте, где поток деформируется, и их называют местными потерями напора µ.

Чтобы установить структуру зависимости для вычисления потерь напора по длине, рассмотрим потери напора h_l на единицу длины, т.е. гидравлический уклон

J_e =h_l/l (2.1)

и определим, от каких характеристик потока он зависит. Будем рассматривать поток с расходом Q в круглоцилиндрической трубе диаметром D. Жидкость несжимаемая, ее механические свойства определяются плотностью р и динамическим коэффициентом вязкости µ .

Кроме того, так как напор представляет собой поток механической энергии, отнесенный к весовому расходу

Q_B = pgQ,

потери напора будут зависеть и от ускорения силы тяжести.

Все указанные параметры потока, кроме характеристик внутренней поверхности трубы, сравнительно легко измеряются. Для оценки влияния шероховатости стенок трубы на потери напора рассмотрим только такие поверхности, шероховатость которых описывается одной величиной -- высотой выступов шероховатости . Такую шероховатость называют зернистой (рис. 5.19,а). В действительности влияние на поток может оказывать_t не только высота выступов, но и их взаимное расположение на поверхности стенки, их очертание и т.п. Например, при прочих равных условиях выступы, имеющие очертание, представленное на рис. 5.19, б оказывают большее сопротивление течению жидкости и, следовательно, вызывают большие потери напора, чем выступы, представленные на рис. 5.19,в.

Стенка трубы

Рис. 5.19. Виды шероховатых стенок: а -- зернистая шероховатость; бив -- различные виды структурированной шероховатости; г -- естественная шероховатость

При естественной шероховатости, имеющей место вследствие либо технологических особенностей изготовления труб (металлических, бетонных, деревянных и т.п.), либо вследствие их коррозии, либо по каким-то другим причинам (рис. 5.19,г), трудно бывает установить не только высоту выступов (хотя бы среднюю), но даже место, откуда надо отсчитывать эту высоту. О том, как ввести в гидравлические расчеты характеристику внутренней поверхности в случаях, представленных на рис. 5.19, будет сказано далее, а пока рассмотрим зернистую шероховатость, а геометрическую высоту выступов будем называть абсолютной шероховатостью Д. Итак,

J_e =f(p,µ ,Q, D , Д , g). (2.2)

выберем в качестве независимых безразмерных произведений Re= pvD/µ, v²/gD.

Первое из них представляет собой известное число Рейнольдса Re_D, а второе называют относительной шероховатостью Д_r =Д/D. Итак, используя анализ размерности, вместо (2.2) можно принять

J_e=J_e(Re_D, Д_r, v²/gD) (2.3)

Где Re_D = vD/v, Д_r = Д/D.

Как показали экспериментальные исследования, число Рейнольдса можно использовать не только в качестве критерия для установления режима движения жидкости (разд. 5.13), но и как параметр, определяющий внутреннюю структуру турбулентного потока. Эксперементальное изучение потоков жидкости в трубах и каналах показало, что во многих практически важных случаях потери напора пропорциональны квадрату скорости и не зависят от вязкости жидкости. На этом основании, чтобы получить наиболее простую для практического использования структуру зависимости для J_e, выражение (2.3) представляют в виде

Тогда, J_e = (Re_D,Д_r)v² / gD = 2f(Re_D , Д_r) *v²/2g *1/D (2.4)

Из этой зависимости получим выражение для потери напора h_l, одновременно выделив скоростной напор v²/2g как величину, входящую в уравнение Бернулли в виде отдельного слагаемого. Обозначив 2f(Re_D, _г) через Л(Re_D, Д_г), получим формулу Вейсбаха--Дарси:

h_l = (Re_D , Д_r)* v²/2g *1/D. (2.5)

Функция (Re_{D, г}) - Коэффициент гидравлического трения.

Вид функции

= (Re_{D, г})

в виде графика был установлен экспериментальным путем и представлен И. Никурадзе, который выполнил в 1920-х годах свои исследования в Германии. Этот график, представленный на рис. 5.20, носит название графика Никурадзе.

Рис. 5. 20 Схематизация графика Никурадзе для зависимости = (Re_{D, г})

Он имеет следующие особенности. По горизонтальной оси отложено Re_D в логарифмическом масштабе, чтобы охватить возможно больший диапазон значений Re_D и в то же время достаточно детально представить область малых значений Re_D < 10⁴ относящихся к ламинарному движению. Для того чтобы определить зависимость от относительной шероховатости Д_r , на этом же графике каждому фиксированному значению Д_r ставится в соответствие отдельная кривая = ( Re_D ).

Вертикальные линии Re_D = (Re_D)'_кр и Re_D = (Re_D)Ѕ_kp отделяют зону устойчивого ламинарного режима Л и зону, где может существовать только турбулентный режим Т, от переходной зоны П , где могут иметь место или тот или другой режимы (см. разд. 5.13). При построении этого графика принимают (Re_D)'_кр = 2300, а (Re_D)Ѕ_кр = 4000.

При ламинарном движении не зависит от шероховатости и определяется по формуле

. (2.6)

Подставив это выражение в (2.5), найдем

h_l = * l/D*v²/2g = 64/Re_D*l/D*v²/2g = 64µ/vD*l/D*v²/2g = 32µ/g* v/D²=128/рg*µ/D⁴*Q

Q = рD²/4*V

Как видно из (2.6), потери напора при ламинарном движении пропорциональны средней скорости в первой степени или при заданном расходе Q обратно пропорциональны четвертой степени диаметра трубы. Этот результат экспериментально был установлен в 40-х годах прошлого века французским врачом Пуазейлем, и ламинарное движение жидкости в цилиндрических трубах называют течением Пуазейля. При числах Re_D (см. рис. 5.20), лежащих в диапазоне (Re_D)мММ_кр < Re_D< (Re_D)Ѕ_кр , обычно предполагают, что движение турбулентное (ламинарное движение здесь неустойчиво, и, если не предпринять специальных мер (см. разд. 5.13), оно будет турбулентным). Поэтому на область П распространяют зависимости для , экстраполируя их из области турбулентного режима движения Т.

При турбулентном режиме движения выделяют три области: I, II и III (см. рис. 5.20), которые отделяются друг от друга штриховыми линиями нижних и верхних предельных чисел Рейнольдса: (Re_D)м_пред и (Re_D)Ѕ_пред . Область I характеризуется тем, что в ней коэффициент гидравлического трения не зависит от относительной шероховатости и все линии, отвечающие различным значениям , сливаются в одну, представляющую всю зону I. Эта линия, которая при Re_D<10⁵ на рис. 5.20 имеет вид прямой, достаточно хорошо аппроксимируется зависимостью, предложенной немецким ученым Блазиусом,

(2.8)

Подставив (2.8) в (2.5), получим, что в этой области h_l ~ v^1.75; область I называется областью гидравлически гладких труб; это следует понимать так: хотя шероховатость в трубах всегда имеется, но при Re_D < (Re_D)'_пред она не оказывает влияния на потери напора. При больше значениях Re_D в той же трубе коэффициент будет зависеть от шероховатости _г.

Область III характеризуется тем, что в ней коэффициент гидравлического трения не зависит от числа Рейнольдса, а зависит только от относительной шероховатости _г; графически это проявляется в том, что линии = (Re_{D, г}) в этой области параллельны оси Re_D. Поскольку здесь = (_г) , то, согласно зависимости (2.7), потери напора h_l~v²; поэтому область III называют областью квадратичного сопротивления.

В области II коэффициент гидравлического трения зависит от Re_D и от _г; согласно (5.111), здесь h,~v^1.75…2.0 Учитывая, что переход из области П в область III обычно происходит при увеличении числа Re_D, что достигается практически увеличением средней скорости в трубе, область II называют областью доквадратичного сопротивления.

Никурадзе было сделано обобщение только для зернистой (искусственной) шероховатости; для естественной шероховатости график зависимости = (Re_{D, г}) имеет в основном те же особенности, однако каждому виду естественной шероховатости следует поставить в соответствие высоту выступов некоторой фиктивной эквивалентной зернистой шероховатости, в зависимости от численного значения которой определяется величина . Эквивалентность некоторой зернистой шероховатости и заданной естественной шероховатости устанавливается на основе гидравлических исследований потерь напора в трубах с обеими указанными (зернистой и естественной) шероховатостями; значение л в обеих трубах должно быть одинаковым в области квадратичного сопротивления.

При естественной шероховатости расчетная высота выступов эквивалентной зернистой шероховатости назначается с помощью специальных таблиц, где значение Д определяется в зависимости от словесного описания состояния внутренней поверхности трубы, которое зависит от технологии изготовления и монтажа трубы, от условий ее эксплуатации и т.п. (табл. 5.1).

В газопроводах потери энергии часто оцениваются не как потери напора h_l, а как потери давления р по длине. При этом формула Вейсбаха--Дарси представляется в виде

. (2.9) при условии (2.

а коэффициент гидравлического трения рассчитывается так же, как для несжимаемых жидкостей.

Таблица 5.1. Значения параметров шероховатости для разных материалов

Поверхность	Высота выступов , мм	Коэффициент шероховатости.n
Исключительно гладкие поверхности
(эмалированные, глазурованные и т.п.)	0,02	0,010(0,009--0,013)
Цементная штукатурка:
ожелезненная или чисто заглаженная	0,1(0,02...0,3)	<0,010
обычная	0,3(0,1...0,8)	<0,012
Трубы стальные
бесшовные новые чистые	0,014(0,01...0,02)	0,010(0,009-0,011)
сварные новые чистые	0,05(0,03...0,12)	0,012(0,011--0,013)
умеренно заржавленные	0,5(0,3...0,7)	0,014(0,013-0,015)
Трубы чугунные:
новые	0,7(0,25... 1,0)	0,015(0,013-0,016)
корродированные	1,3(1,00...1,5)	0,020(0,016-0,025)
Деревянные лотки из досок:
строганых	2(0,5...8,0)	0,014(0,010-0,018)
нестроганых	3(0,8--10,0)	0,016(0,0012-0,019)
Бетонированная стенка	2(0,3...5,0)	0,013(0,012-0,015)
Кирпичная кладка	3(1,0...6,0)	0,015(0,013-0,017)
Бутовая кладка	20(5...70)	0,021 (0,017-0,025)
Булыжная мостовая	25(15...3О)	0,022(0,020.-0,025)
Канализационные трубы:
бетонные и железобетонные	2	0,014
керамические	1,25	0,013
Земляные каналы прямолинейные:
чистые, после эксплуатации	50(15.200)	0,022(0,018-0,024)
с короткой травой и водорослями		0,028(0,024...0,033)
чистое дно, кустарник на откосах		0,06(0,04-0,08)
Естественные водотоки (реки):
чистые прямолинейные без перекатов и
омутов		0,030(0,025.-0,033)
чистые извилистые с омутами и
перекатами		0,040(0,033-0,045)
очень заросшие с застрявшими
тяжелыми стволами и порослью		0,11(0,075-0,15)

Приводятся наиболее вероятные значения для средних условий; в скобках указываются возможные пределы колебаний.

графику является табл. 5.1, в которой представлены значения Д для различных трубопроводов в зависимости от их материала, технологии изготовления и монтажа, условий эксплуатации. График рис. 5. 21 называют графиком Кольбрука--Уайта, а в США -- графиком Муди.

Зависимости = (Re_{D, г}) для турбулентного режима движения хорошо аппроксимируются формулой Альтшуля (при _г < 0,007):

^0,25 (2.10)

Коэффициент гидравлического трения 'к а в области квадратичного сопротивления формулой Шифринсона:

(2.11)

В области гладкого сопротивления (_г~ 0) формула (2.10) дает хорошее совпадение с зависимостью Блазиуса (2.8).

Формула Шези. При расчете потерь напора в открытых руслах (реках, каналах) вместо формулы Вейсбаха--Дарси, как правило, используют формулу Шези:

(2.10)

где С -- коэффициент Шези, /с. Эта формула была предложена в начале XIX века на основе исследований французского инженера А. Шези, связанных с водоснабжением Парижа.

Первоначально она была представлена в виде

v = 50 (2.12)

Если принять во внимание, что, как показали последующие эксперименты, для большинства потоков, встречающихся в инженерно-строительной практике, значения С изменяются в пределах (40...60) vм/с, то формулу (2.12), устанавливающую с ошибкой, не превышающей 20%, зависимость средней скорости от потери напора, следует признать чрезвычайно удачной. Впоследствии зависимость коэффициента Шези С от шероховатости и размеров русла была достаточно хорошо изучена. Для его вычисления была разработана шкала коэффициентов шероховатости n, эквивалентная шкале абсолютных шероховатостей ; обе эти характеристики шероховатости, которые определяются по словесному описанию поверхности русла, приведены в табл. 5.1. Кроме того, рекомендованы зависимости и таблицы для определения значений С. Наиболее широкое распространение в связи с ее простотой получила формула Маннинга:

С= (2.11)

где n -- коэффициент шероховатости; R -- гидравлический радиус.

Отметим, что для большинства открытых потоков значение гидравлического радиуса R мало отличается от глубины потока h.

Cвязь между коэффициентом Шези С и коэффициентом гидравлического трения :

h_l = l / C²R*v² (2.13)

и, имея в виду течение в круглоцилиндрической трубе, примем D = 4R; выделив скоростной напор, получим

h_l = 8g/C²*l / D*v²/2g (2.14)

Сравнивая () и (2.5), найдем

(2.15)

Полученная связь между и С на первый взгляд указывает на полную эквивалентность формул Шези и Вейсбаха--Дарси. Однако формула и таблицы, используемые для определения численного значения С, не позволяют учесть влияния числа Рейнольдса Re на потери напора. Если принять во внимание приведенный выше анализ зависимости = (Re_{D, г}) то станет очевидно, что область применения формулы Шези -- это область квадратичного сопротивления, в которой и не зависит от Re_D.

На практике формулы Шези и Маннинга применяют главным образом для расчета потерь напора в открытых руслах (реках, каналах), в которых режим движения воды всегда турбулентный и, как правило, имеет место область квадратичного сопротивления.

(2.16)

(2.17)

Предпосылки для определения местных потерь напора

Включенные в трубопровод устройства, наличие которых обусловливает резкоизменяющееся движение, называют местными гидравлическими сопротивлениями. Примерами таких устройств являются: резкое расширение или сужение трубопровода, регулирующие устройства (краны, задвижки), средства измерения расхода (диафрагмы, счетчики, водомеры), колена, обеспечивающие изменение направления оси трубопровода, сетки фильтров и т.п.

Предположим, что для расчета характеристик потока в трубопроводе используется уравнение Бернулли и на каких-либо участках трубопровода движение резкоизменяющееся. Потери напора на этих участках называют местными (так как они сосредоточены на сравнительно небольшой длине трубопровода) и обозначают h_{j .} Для вычисления местных потерь напора необходимо установить зависимости, аналогичные зависимостям для вычисления потерь по длине. Для получения таких зависимостей будем основываться на следующих предпосылках.

1. Потери напора (диссипация механической энергии, отнесенная к весовому расходу) на участке резкоизменяющегося движения зависят от внутренней структуры турбулентного потока. Как и при равномерном движении, структура потока определяется механическими свойствами жидкости (p,µ), расходом Q, геометрическими размерами и формой трубы (канала) на участке, который обусловливает резкое изменение потока (рис. 5.22), а также ускорением силы тяжести g. Отметим, что такая характеристика внутренней поверхности трубы (канала), как шероховатость, в этом случае играет несущественную роль и из рассмотрения исключается. Таким образом, полагаем, что

hj = f₁, (р,µ ,Q,g, параметры размеров и формы гидравлического сопротивления). (2.13)

Например, в сравнительно простом случае, когда гидравлическое сопротивление состоит из круглоцилиндрических участков (см. рис. 5.22), такими параметрами являются a, D₁ D₂, D₃; в других случаях таких параметров может быть значительно больше.

Рис. 5.22. Резкоизменяющееся напорное движение жидкости/

2. Если выбрать в канале некоторое характерное поперечное сечение потока (например, 1--1 на рис. 5.22), то остальные размеры канала можно представить как безразмерные, отнеся их к размерам выбранного сечения. При этом параметры данного участка трубы можно характеризовать одной размерной величиной (например, значением D₁), а безразмерные величины D₂/D₁ D₃/D₁ a/D₁, будут определять форму участка трубы.

Вводя в расчет один линейный размер D₁, целесообразно, как и при равномерном движении, вместо Q ввести в расчет среднюю скорость в этом сечении: . Учитывая вышеизложенное, перепишем (2.13):

H_j =D₁ f₂(p, µ, v₁, D₁, D₂/D₁, D₃/D₁, a/D₁, g). (2.18)

Из пяти размерных величин, входящих в это выражение, можно составить две безразмерные комбинации:

Re_D =pv₁D₁/µ=v₁D₁/v и (2.17)

и представить (2.18) в виде

. (2.19)

Как и при равномерном движении, будем считать, что это число Re_D определяет внутреннюю структуру турбулентного потока. Однако предшествующие рассуждения пока не позволили установить рациональную структуру зависимости для определения h_j.

3. Как показали экспериментальные исследования, при резкоизменяющемся движении потери напора имеют место главным образом на тех участках потока, на которых он расширяется (например, на участке между сечениями с--с и 2--2 на рис. 5.22). При сжатии потока (участок между 1 -- 1 и с--с) потери напора значительно меньше. Это связано в определенной мере с двумя обстоятельствами:

а) на участках расширения обычно существуют водоворотные области, объем которых значительно больше, чем на участках сужения; эти области взаимодействуют с транзитным потоком (при турбулентном движении за счет водообмена через граничную поверхность Г), забирают у него и диссипируют значительное количество энергии;

б) при турбулентном режиме движения, который в основном и представляет практический интерес, на участках расширения возрастают значения пульсационной скорости и часть кинетической энергии осредненного движения (которую оценивают и измеряют величиной скоростного напора) переходит в энергию пульсационного движения (которая выпадает из баланса механической энергии, описываемого уравнением Бернулли, и в свою очередь быстро переходит в тепло).

Имея это в виду, для определения структуры функции f₃ в зависимости (2.19) для h_j рассмотрим потерю напора при резком расширении установившегося турбулентного потока и, получив для нее зависимость, используем структуру этой зависимости для других случаев резкоизменяющегося движения.

Потери напора при резком расширении установившегося турбулентного потока несжимаемой жидкости. Формула Борда

Задача о потерях напора при резком расширении была решена французским инженером-гидравликом Борда в XVIII веке, и полученное им решение практически не претерпело уточнений до сих пор. Пусть поток из трубы 1 диаметра D₁ попадает в трубу 2 с диаметром D₂ (рис. 5.23). Средняя скорость в трубе 1 равна v₁, а в трубе 2 -- v₂. Согласно уравнению неразрывности, для несжимаемой жидкости v₁S₁=v₂S_2, где S₁ и S₂ - площади поперечных сечений труб 1 и 2, соответственно.

Будем считать, что на выходе из трубы 1 поток расширяется и на некотором расстоянии, обычно измеряемом несколькими диаметрами трубы 2, в сечении 2'-2' он вновь занимает все поперечное сечение трубопровода. На этом участке образуется тороидальная водоворотная область, которая охватывает со всех сторон транзитный поток. В сечении 2'--2' движение резкоизменяющееся, скорости распределены весьма неравномерно; лишь на расстоянии в несколько D₂ от сечения 2'--2', где кончается водоворотная область, расположено сечение 2--2, в котором движение плавноизменяющееся.

Рис. 5.23. Резкое расширение турбулентного потока

Уравнение Бернулли для сечений 1 -- 1 и 2--2 представим в виде

Z₁+p₁/Sg+a₁v²₁/2g = z₂+P₂/Sg+a₂v²₂/2g+h_pp+h_l, (2.15)

коэффициент учитывающий равномерное распределение скорости по сечению жидкости

где h_pp -- потеря напора при резком расширении; h_l, -- потеря напора по длине на участке длиной L от сечения 1 -- 1 до сечения 2--2.

Здесь z₁ = z₂ = 0, поэтому вклад в изменение кинетической энергии вносят поверхностные внешние силы давления, которые действуют по сечениям 1 -- 1 и 2--2:

(2.16)

с учётом v₁S₁ = v₂S₂

(2.20)

При условии что скорости в сечениях 1 -- 1 и 2--2 распределены равномерно ,Это достаточно хорошо отвечает действительности (с точностью 7...10 %) при турбулентном движении. Подставляя (2.20) в (2.16), имеем

После элементарных преобразований получаем окончательную формулу для вычисления потерь напора при резком расширении потока:

 (2.17)

Эта зависимость и называется формулой Борда.

Формулу (2.17) преобразуем, выразив v₂ и v_1; согласно уравнению неразрывности, и представим в виде

v₁S₁ = v₂S₂

h_pp = (1- S₁/S₂)²*v₁²/2g . (2.18)

Зависимость в формуле (2.18) используем при получении формулы для местных потерь напора в общем случае.

Общий случай расчета местных потерь потерь напора при резкоизменяющемся движении. Формула Вейсбаха для расчета местных потерь напора

Для того, чтобы в зависимости (2.14) установить структуру функции f₃ для общего случая местных потерь напора, сравним эту зависимость с формулой Борда в виде (2.18). Согласно (2.18), потеря напора при резком расширении трубопровода пропорциональна квадрату скорости. Так как диссипация механической энергии в общем случае резко изменяющегося движения имеет место главным образом на участках резкого расширения потока (см. разд. 5.17), то функцию f₃ целесообразно представить в виде

(2.19)

Чтобы в окончательной зависимости выделить скоростной напор / 2g, обозначим

(2.20)

Здесь индекс j обозначает вид того или иного сопротивления и характеризует геометрическую форму ограничивающей поток жидкости внутренней поверхности устройств, включенных в трубопровод. В случае местного сопротивления, представленного на рис. 5.22, характеристиками геометрической формы являются три симплекса D₂/D_1; D₃/D_1; D₃/D₁;a/D₁

резкое расширение (рис. 5.23) характеризуется отношением D₂/D₁; для других местных сопротивлений (диафрагмы, краны, задвижки и т.п.) характеристики геометрической формы определяются указанием конструкции устройства (см., например, разд. 5.20). Подставив (2.20) в (2.19), а (2.19) в (2.14), получим формулу Вейсбаха для потерь напора в местном сопротивлении:

(2.21)

где (Re_D) -- коэффициент местной потери напора.

формула Борда (2.18), в которой

не зависит от числа Рейнольдса, справедлива лишь при Re_D > 10⁴

При числах Re_D < 10⁴, а особенно при малых числах Re_D, когда имеет место ламинарный режим движения жидкости, коэффициент местной потери напора зависит от Re_D.

Рис. 5.24. Зависимость коэффициента от числа Рейнольдса Re: при отношении D₂/D₁: 1 - 1,43; 2-- 1,96; 3-- 2,5; 4- 3,15; 5-4,25; 6 -- 7,15; 7-- 9,8; при Re₁ > 10⁴ справедлива формула Борда (2.18)

Как правило, полагают, что и в других местных сопротивлениях при Re_D > 10⁴ коэффициенты местных потерь напора не зависят от числа Рейнольдса, и в гидравлических справочниках (и в частности, в разд. 5.20, 5.21) приводят именно эти, не зависящие от Re_D значения _j.

При экспериментальном определении коэффициентов потерь напора и при расчетах потерь напора с помощью справочных данных следует иметь в виду, что устройство, представляющее гидравлическое сопротивление, создает резкоизменяющееся движение в трубе и ниже и выше по течению. Так, например, деформация потока, связанная с поворотом на 90°, имеет место на участке трубы от (3...5)D выше по течению до (2O...25)D ниже по течению, который назовем участком влияния; вне этого участка движение равномерное. Если местные сопротивления расположены в трубе так, что их участки влияния не накладываются друг на друга, то потери напора на каждом из них не зависят от наличия соседних; они могут рассчитываться по формуле Вейсбаха и суммироваться. В противном случае местные гидравлические сопротивления влияют друг на друга, причем степень их влияния не поддается теоретической оценке и в случае необходимости должна быть установлена специальными гидравлическими экспериментами

Классификация трубопроводов. Основные задачи расчета трубопроводов

При установившемся движении несжимаемой жидкости в трубопроводах имеют место потери напора по длине (т.е. при равномерном или плавноизменяющемся движении) -- h_l и местные потери напора (т.е. при резкоизменяющемся движении) -- h_j. Сравнивая их по величинам, можно выделить два крайних случая.

1. Сумма местных потерь напора пренебрежимо мала по сравнению с суммарными потерями по длине:

(2.21)

Это обычно имеет место, если длина трубы l > 1000 D, где D -- диаметр трубы, поэтому такие трубопроводы называют длинными.

2. Потери по длине пренебрежимо малы по сравнению с местными потерями:

(2.22)

Такие трубопроводы называют весьма короткими. Наиболее типичными представителями весьма коротких трубопроводов являются так называемые насадки -- трубы небольшой длины (цилиндрические или конические), присоединенные к отверстию в стенке резервуара. В цилиндрических насадках можно пренебречь потерями напора по длине по сравнению с местными потерями, если их длина l < 8D.

В общем случае, когда необходимо учитывать и местные потери напора и потери по длине, трубопроводы называют короткими.

Если часть трубопровода расположена выше уровня воды в резервуаре, который его питает (рис. 6.1), то такой трубопровод называют сифонным или просто сифоном. Его расчет принципиально не отличается от расчета обычного трубопровода. Здесь только необходимо иметь в виду,

Рис. 6.1. Сифонный трубопровод (серым цветом выделен участок трубы, в котором давление меньше атмосферного)

что в сифоне всегда имеет место вакуум (давление в некоторых областях потока ниже атмосферного), и следует проверять, не будет ли вакуум h_BaK больше вакуума допускаемого (h_вак)_доп (для воды (п_вак)_доп = (6...7) м вод. ст.) при котором возможны разрывы сплошности потока и образование паровоздушных полостей (см. разд. 1.7). Эти явления, с одной стороны, нежелательны при эксплуатации трубопровода, а с другой стороны, они существенно усложняют расчет.

При гидравлическом расчете трубопроводов различают две основные задачи.

1. Прямая задача. Заданы геометрические форма и размеры трубопровода (длины и диаметры на всех участках, форма внутренней поверхности -- шероховатость), все устройства для регулирования и измерения характеристик потока (задвижки, диафрагмы и т.п.), форма сопряжения трубопровода с питающим и питаемым резервуарами, т.е. гидравлические сопротивления, которые обусловливают местные потери напора.

При этом можно рассматривать два варианта: а) задан расход в трубопроводе, требуется найти суммарные потери напора в нем; б) заданы суммарные потери напора в трубе (например, разность уровней в питающем и питаемом резервуарах, см. рис. 6.1), требуется найти расход воды в трубопроводе.

2. Обратная задача. Заданы расход и суммарные потери напора в трубопроводе, геометрическая форма которого (шероховатость стенок, наличие поворотов, диафрагмы, задвижек и т.п.) известна. Требуется найти диаметр трубопровода.

В обеих задачах может представлять интерес и распределение давления вдоль трубопровода, так что в результате решения задачи обычно должны быть построены пьезометрическая и напорная линии.

Расчет коротких трубопроводов

Для вывода расчетной зависимости применим уравнение Бернулли, используя следующую схему.

1. Намечаем два сечения, в которых движение плавноизменяющееся и для которых будем записывать уравнение Бернулли.

Сечения следует выбирать так, чтобы как можно больше слагаемых, входящих в уравнение Бернулли, было в этих сечениях задано. Если кроме уравнения Бернулли не предполагается использовать какие-либо другие равенства, то следует так выбирать сечения, чтобы в уравнении Бернулли было неизвестно лишь одно слагаемое. Так, при решении задачи для трубопровода, представленного на рис. 6.2, считаем, что сечение 1 -- 1 совпадает со свободной поверхностью: здесь известно, что давление P₁ равно атмосферному р_а, скорость жидкости Vj равна нулю (считаем, что резервуар достаточно большой и скоростным напором вследствие снижения уровня воды в нем и изменением отметки свободной поверхности по сравнению с суммарными потерями напора можно пренебречь). Далее задаем, что сечение 2--2 совпадает с выходным сечением трубопровода; здесь известно, что давление р₂ =р_а, а скорость v₂ равна выходной скорости.

При решении прямой задачи в варианте: a) задают отметку уровня свободной поверхности жидкости в резервуаре z₁ а неизвестной является v₂, в варианте б) задают v₂ (или расход Q) и определяют отметку z₁.

Рис. 6.2. Истечение жидкости из резервуара через короткий трубопровод в атмосферу

2. Намечаем плоскость сравнения. Это произвольная горизонтальная плоскость; для упрощения решения задачи выбрать ее следует так, чтобы z₁ или z₂ обратились в ноль: например, плоскость 0--0 на рис. 6.2 проведена так, что z₂ = 0.

3. Записываем уравнение Бернулли

z₁ + p₁/pg + ₁v₁/2g = z₂ + p₂/pg + ₂v₂/2g + h_f (2.22)

Определяем значения слагаемых, входящих в (6.З).



В практических расчетах обычно полагают = 1,0. Представляем общие потери напора h_f в виде суммы

h_f = h_l1 +h_ll1' + h_l11”; +h_ВХ+h_pp +h_з, (2.23)

где ,

потери напора по длине; v, и v₁₁ -средние скорости на I и II участках трубопровода, соответственно, v₁₁ = v₂, а из уравнения неразрывности ; , - коэффициенты гидравлического трения на первом и втором участках трубопровода;

~~ потери напора на вход в трубопровод;

-потеря на резкое расширение;

-- потеря на задвижке.

5. Подставляя полученные результаты в (2.22), получаем

(2.24)

Если решается прямая задача (т.е. заданы D₁, и D₁₁ ) и рассматривается вариант а),(задано значение Q), то легко найти на каждом участке v₁, v₂ и соответствующие числа Re_D = vD/v. Затем, используя справочные данные, определяем абсолютную шероховатость и коэффициенты местных потерь напора и далее по относительной шероховатости _r = /D и числу Рейнольдса Re_D находим . Для этого можно воспользоваться либо графиком Кольбрука--Уайта (см. рис. 5.21), либо какой-нибудь эмпирической зависимостью, аппроксимирующей этот график, -- (5.114), (5.116) или (5.117). Значение Н вычисляется по зависимости (2.24).

Вариант б) прямой задачи (задано значение Н, а вычисляется Q), то зависимость (2.24) представляют в виде

(2.25)

или ,

где -- коэффициент расхода трубопровода, -- площадь выходного сечения.

Зависимость (6.5) представляет собой общую расчетную формулу для коротких трубопроводов с произвольным (не только круглым) поперечным сечением. В этой формуле коэффициент расхода

, (2.26)

где -- коэффициент потери по длине. Значения и следует включать в расчет, учитывая отличие площади поперечного сечения трубопровода на участке, к которому они относятся, от площади выходного сечения, как это сделано в формуле (2.25).

Поскольку и Q, и v₁, и v₁₁ неизвестны, то нельзя определить значения Re_D, а следовательно, и . Задачу обычно решают методом последовательных приближений, причем в качестве первого приближения целесообразно принять, что и j соответствуют области квадратичного сопротивления и не зависят от Re_D. Тогда, определив по значению относительной шероховатости и , а также значения вычисляем в первом приближении Q⁽¹⁾. По этому значению Q⁽¹⁾ вычисляем Re_D и находим уточненные значения и , , используя которые вычисляем по формуле (2.25) расход во втором приближении Q⁽²⁾. Как показывает опыт расчетов, обычно Q⁽²⁾ отличается от Q⁽¹⁾ не более чем на 5 %, что считается достаточным, чтобы ограничиться вторым приближением и считать искомое значение Q = Q⁽²⁾. Если Q⁽²⁾ сильно (более чем на 5 %) отличается от Q⁽¹⁾, следует сделать третье приближение.

Обратную задачу, когда заданы Q и Н, а неизвестны значения D₁,и D₁₁ решают графически. Задавая несколько значений D₁ (при постоянном заданном условием задачи отношении D₁,и D₁₁) и принимая расход равным заданному, сводят задачу к первому варианту прямой задачи; строят зависимость Н = f (d₁ ) и по заданному значению Н определяют требуемое значение D1 (рис. 6.3), а затем по заданному отношению D₁/D₁₁ находят D₁. Здесь следует отметить, что полученные в результате расчета значения D₁ и D₁₁, как правило, должны быть округлены в большую или меньшую сторону и приняты в соответствии с сортаментом на трубы.

Расчет коротких труб обычно следует заканчивать построением пьезометрической и напорной линий. Для этого вычисляют значения h_вх,h_д1, h_{pp ,} h_l11, h, их, как показано на рис. 6.2, строят напорную линию Е--Е. Пьезометрическую линию Р--Р строят, откладывая от напорной линии вниз величину скоростного напора на данном участке трубы. Пьезометрическая линия проходит через центр тяжести выходного сечения 2--2, так как здесь избыточное давление равно нулю и

z₂ +p₂/ = ^Z2

Сифонные трубопроводы

Сифонные трубопроводы рассчитываются так же, как и обычные короткие напорные трубопроводы (см. разд. 6.2).

Для того, чтобы сифон начал работать как напорный трубопровод, его необходимо "зарядить", т.е. заполнить жидкостью. Например, в сифонном водосбросе гидроузла (рис. 6.5) зарядка происходит в тот период, когда уровень воды в верхнем бьефе (УВБ) начинает превышать нормальный подпорный уровень (НПУ); безнапорный поток воды через гребень водослива, имеющего отметку УНПУ, при УУВБ > УНПУ увлекает за собой воздух из сифона, и он заполняется водой. В других случаях требуются специальные операции для зарядки сифонов.

Рис. 6.5. Сифонный водосброс

Если для переливания жидкости из сосуда 1 в сосуд 2 (рис. 6.6) отверстие с запирающей арматурой (краном) в стенке сосуда 1 ниже уровня свободной поверхности располагать нецелесообразно, то используют гибкий шланг. Чтобы зарядить такой сифон, следует либо отсосать воздух из шланга, погрузив один из его концов в жидкость, находящуюся в сосуде 1, либо заполнить шланг жидкостью и, зажав его концы, установить его в рабочее положение, а затем освободить концы, создав возможность перетекания жидкости из сосуда 1 в сосуд 2.

Рис. 6.6. Переливание жидкости с помощью сифонного шланга

Еще одна особенность расчета сифонов -- необходимость контроля вакуума с тем, чтобы значение (h_вaк)_max было меньше (h_вак)_доп. Здесь отметим, что значение (h_вaк)_max следует определять не в центре тяжести живого сечения, а в самой высокой его точке (в точке а на рис. 6.5), так как возможно, что локальное значение (h_вaк)_max будет больше значения(h_вaк)_доп что приведет либо к возникновению кавитации, либо к образованию каверны, заполненной паровоздушной смесью, и к срыву напорного режима движения жидкости в сифоне.

Трубопровод с насосом

Трубопровод, с помощью которого насос подает воду из водоема в резервуар, расположенный на берегу. Он состоит из всасывающей трубы I и трубы II, подающей воду от насоса в резервуар. Такой трубопровод начинает действовать при включении насоса, когда вся система заполнена водой. Поэтому на входе во всасывающую трубу устанавливают обратный клапан, который закрывает вход в трубу, если вода начинает вытекать из нее в водоем после остановки насоса. Кроме того, вход во всасывающую трубу оборудуют сеткой, предотвращающей попадание в нее плавающего мусора и рыб. На трубе II устанавливают задвижку, которая закрывается после остановки насоса. Если обратный клапан не удержал воду в трубе I, то перед началом работы насоса, открыв задвижку, можно через насос заполнить трубу I из резервуара.

Будем полагать, что диаметры, длины и шероховатости труб заданы, и определим, какова должна быть разность напоров на выходе и входе в насос (т.е. Н_нас), чтобы обеспечить подачу расхода Q в резервуар.

Рис. 6.7. Схема трубопровода с насосом

Пьезометрическая и напорная линии для рассматриваемой задачи представлены на рис. 6.7.

Для обеспечения устойчивого режима работы насоса и трубопровода необходимо, чтобы вакуум в трубе и, в частности, на входе в насос не

превышал значения (h_вак)max = (6...7) м вод. ст. Значение максимального вакуума в данном случае на входе в насос найдем из уравнения (6.27), которое представим в виде

z₁ + p₁/ + ₁v₁/2g = z₂ + p₂/+ ₂v₂²/2g +h_кл +h_l1 + h_ll + h_l2

Для уменьшения значения (h_вак)_тах, если оно превышает (v_вак)_доп дует увеличить диаметр всасывающей трубы или понизить отметку оси насоса, т.е. уменьшить расстояние а, называемое высотой всасывания.

Если выразить средние скорости в трубопроводе через расход Q, то необходимый рабочий напор, создаваемый насосом, можно представить в виде

Н_Нас =a + b + H_тp(Q),

где H_тр(Q)~ Q².

h_ll + h_l2 (2.27)

Пусть для перекачивания воды используется центробежный насос, который оснащен асинхронным электрическим двигателем, имеющим значительный запас мощности и, следовательно, практически постоянную скорость вращения. Рабочая характеристика такого насоса представляет собой зависимость

Н_нас =f_нас(Q).

Она является паспортной характеристикой насоса и приводится в каталоге насосов. Если нанести зависимости для Н_нас и Н_тр на один график (рис. 6.8), то точка пересечения соответствующих кривых определяет рабочую точку гидравлической системы, представленной на рис. 6.7.

Рис. 6.8. Графическое определение рабочей точки трубопровода с насосом

При подборе насоса для этой системы следует иметь в виду, что его номинальный расход должен быть не меньше необходимого расхода Q_тр, а номинальный напор близок к значению (Н_нас)_раб, соответствующему рабочей точке; при этом коэффициент полезного действия _нас. насоса будет максимальным.

Вытяжная дымовая труба

Функцией вытяжной трубы является создание потока воздуха из здания через печь, топку котла и т.п. в атмосферу (рис. 6.9,а). Устойчивый поток воздуха в такой трубе возникает под действием двух естественных побудительных факторов:

-- при обдувании ветром оголовка трубы в выходном сечении возникает локальное понижение давления, при этом давление внутри здания может оказаться достаточным для создания потока воздуха из здания в атмосферу в условиях изотермического процесса, т.е. когда печь не топится;

-- если печь топится и труба заполнена воздухом (дымом), температура которого выше, чем в атмосфере (а плотность, соответственно, меньше), то под действием силы тяжести более легкий теплый воздух (дым) "вытесняется" вверх, согласно закону Архимеда.

Рассмотрим раздельное и совместное действия этих факторов.

1. Оголовок вытяжной трубы может представлять собой просто окончание цилиндрической трубы (рис 6.9,6), может быть оборудован защитным колпаком, предупреждающим попадание в трубу атмосферных осадков (рис. 6.9,в), или оснащен устройством, улучшающим его аэродинамическое качество (дефлектором). Конструкции этих устройств должны быть осесимметричны, чтобы обеспечить одинаковые условия обтекания при любом направлении ветра.

Локальное понижение давления р относительно атмосферного давления р_а в окрестности выходного сечения трубы оценим зависимостью

Рис. 6.9. Дымовая труба: а -- общая схема; б --- обтекание выходного сечения; в -- дефлектор

(2.28)

где v_B -скорость ветра на уровне оголовка трубы; к -- коэффициент, значения которого зависят от конструкции оголовка; р_в -- плотность воздуха. На рис. 6.10 представлена экспериментальная зависимость коэффициента k = k(v_T/v_B) для цилиндрической трубы и для трубы с оголовком, снабженным колпаком; -- сумма коэффициентов потерь напора в системе печь--труба--оголовок.

Рис. 6.10. Зависимость k = k(v_T/v_B) для цилиндрической трубы (1), для трубы с оголовком, снабженным колпаком (2)

Рассмотрим в качестве примера дымовую трубу, представленную на рис. 6.11, и запишем уравнение Бернулли для сечений 1 -- 1 и 2--2, указанных на этом рисунке, полагая, что температура воздуха, а следовательно, и его плотность р_в в помещении и вне его одинаковы:

Z₁ + p₁/p_вg + ₁v₁/2g = z₂ + p₂Дp/p_вg + ₂v₂²/2g + h_f (2.29)

где p₁ и р₂ -- атмосферные давления на высоте z₁ и z₂; (p₂-p) -- давление в сечении 2--2; v₁ = 0, v₂ = v_T, v_T -- скорость потока воздуха в трубе; = 1,0 ; h_f -- потери напора от сечения 1 -- 1 до сечения 2-2,

h_f = h_BX + h_l + h_n, потеря на вход

h_BX =, потеря по длине

;

для предварительных расчетов можно принять потеря на поворот

,

длина трубы, D_T -- ее диаметр.

Рис. 6.11. К расчету изотермического потока воздуха в дымовой трубе

2. Для демонстрации расчета объемного расхода Q_дтеплого воздуха (дыма), выбрасываемого в атмосферу благодаря второму фактору, рассмотрим дымовую трубу, представленную на рис. 6.12. Пусть труба заполнена теплым воздухом (дымом), плотность которого р_д меньше плотности атмосферного воздуха. Запишем уравнение Бернулли для потока воздуха в трубе, выбрав сечения 1 -- 1 и 2--2 и плоскость сравнения 0--0, как показано на рис. 6.12:

Z₁ + p₁/p_дg + ₁v₁²/2g = z₂ + p₂/p_дg + ₂v₂²/2g + h_f (2.30)

где v, = 0, v₂ = v_T; = 1,0; потеря напора

h_f = h_вх+h_п+ h_l+h_п, потеря на вход

h_BX = , потеря по длине

.

*

Рис. 6.12. К расчету потока нагретого воздуха в дымовой трубе

Подставив выражение для потерь напора в уравнение (2.30), получим:

(2.31)

Значение (p1 - p2) определим, предполагая, что распределение давления в атмосфере и внутри здания (вне трубы) гидростатическое, т.е. используя (6.34):

p1 -p2 = p_Bg(z₂ -zi) = pвgН. (2.32)

Подставив 2.32) в (2.31), получим

 (2.33)

Искомый расход Q определим, умножив v_т на площадь сечения трубы. Согласно (6.39), скорость нагретого воздуха (дыма) и его расход в трубе возрастают с увеличением высоты трубы Н. Кроме того, из формулы (2.33) следует, что положительная тяга, когда поток воздуха направлен из здания наружу, имеет место только при условии р_я < р_в. Если печь не топится и труба заполнена воздухом, температура которого равна температуре внутри здания, то положительная тяга возникает только тогда, когда температура наружного воздуха ниже температуры воздуха внутри здания (плотность газа обратно пропорциональна температуре). Поэтому печь легко затопить в морозную погоду, и , напротив, в жаркую безветренную погоду тяга может быть отрицательной, и пока печь и труба не прогреются выше температуры наружного воздуха и теплый дым не заполнит трубу, дым из печи будет поступать внутрь здания.

Для уменьшения потери кинетической энергии воздуха, выбрасываемого из трубы в атмосферу, и увеличения тяги на выходе из трубы устраивают диффузорный участок (рис. 6.13), который эффективно работает при угле конуса (<13° (см. разд. 8.5).

3. Совместное действие обоих факторов. Как правило, скорость нагретого воздуха в трубе, возникающая под действием архимедовой силы, соизмерима и даже превосходит скорость ветра, поэтому эффективность побуждающего фактора, связанного с обдуванием оголовка трубы ветром, в штатном режиме работы трубы (т.е. когда печь топится) невелика. Более того, устройство дефлекторов и колпаков, которые создают дополнительное сопротивление потоку воздуха в трубе, уменьшают тягу и скорость потока в трубе (если она создается за счет нагретого воздуха в трубе); поэтому дефлекторы, как правило, не устанавливают, а для высоких труб, которым атмосферные осадки не опасны, нет необходимости в установке колпаков. Оголовки невысоких труб небольшого диаметра оборудуются и коническим диффузором и колпаком.

Побуждающий фактор, связанный с обдуванием оголовка трубы ветром, играет весьма важную роль в начале работы печи, когда ее разжигают. За счет этого фактора теплый воздух (дым) из печи поступает не внутрь помещения, где находится печь, а засасывается в трубу, которая заполняется нагретым воздухом ("заряжается"), и в результате возникает значительно более интенсивная тяга (больший объемный расход воздуха), обусловленная вторым фактором.

При проектировании печных труб зданий следует иметь в виду, что под действием ветра с наветренной стороны здания образуется область, в которой давление выше, чем атмосферное давление, вводимое в расчет зависимостью (6.34). Если выходное сечение трубы находится в этой области (как показано, например, на рис. 6.14), то под действием локального повышенного давления тяга и расход дыма уменьшатся, а при сильном

Рис. 6.13. Оформление выходного сечения дымовой трубы

Рис. 6.14. Неправильное расположение выходного сечения дымовой трубы

Расчет длинных трубопроводов

Расчет длинных трубопроводов выполняется по упрощенной схеме, согласно следующим предпосылкам.

1. Основная область применения этих расчетов -- водопроводные сети, в которых, как показал опыт, из экономических соображений целесообразно назначать такие средние скорости течения жидкости, при которых имеет место область квадратичного сопротивления, так что в этих расчетах считают, что коэффициент гидравлического трения . зависит только от относительной шероховатости _г.

2. Основной характеристикой водопроводных сетей является не средняя скорость v, а расход жидкости Q в трубопроводе.

3. Более удобной характеристикой длинного трубопровода является не потеря напора по длине, а уклон напорной линии J_e (гидравлический уклон). Отметим, что в длинных трубопроводах скоростной напор v²/2g (как и местные потери напора) пренебрежимо мал по сравнению с потерями напора по длине. Учитывая вышеизложенное, формулу Вейсбаха--Дарси переписываем в виде

...