Асимптотична динаміка нелінійних пружних пластин з пам'яттю

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР ІМ. Б.І. ВЄРКІНА

УДК 517.94

Асимптотична динаміка нелінійних пружних пластин з пам'яттю

01.01.03 - математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Потьомкін Михайло Юрійович

Харків 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Чуєшов Ігор Дмитрович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, завідувач кафедри математичної фізики та обчислювальної математики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент Скрипник Ігор Ігорович, Інститут прикладної математики і механіки (м. Донецьк), старший науковий співробітник відділу рівнянь математичної фізики

кандидат фізико-математичних наук, доцент Резуненко Олександр В'ячеславович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, доцент кафедри математичного аналізу

Захист відбудеться 25 травня 2011 р. о 1500 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, просп. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: м. Харків, просп. Леніна, 47.

Автореферат розісланий "22" квітня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О.

термопружний бергер атрактор

АНОТАЦІЯ

Потьомкін М.Ю. Асимптотична динаміка нелінійних пружних пластин з пам'яттю. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 математична фізика. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна, Харків, 2011.

У дисертаційній роботі вивчається асимптотична поведінка розв'язків задач термопружних пластин в різних постановках. Спільною рисою всіх розглянутих моделей є урахування нелінійного нелокального за просторовою змінною доданку Бергера та температурної дисипації.

Розглянуто систему рівнянь, яка описує термопружну пластину, температура якої задовольняє класичному закону Фур'є. Доведено, що розв'язки породжують неперервну динамічну систему, яка має скінченновимірний глобальний атрактор. Були отримані оцінки на розмірність та обмеженість елементів атрактора в нормі простору, регулярнішого за фазовий, ці оцінки вдалося отримати рівномірними по параметру, який відповідає за механічну дисипацію. Також для цієї системи вдалося показати, що еволюційний оператор є ін'єктивним.

Розглянуто систему рівнянь, яка описує термов'язкопружну пластину, в якій враховано нескінченну пам'ять як в змінній, що відповідає за механічні коливання (прогин), так і в змінній, що відповідає за температурні коливання. Як і в попередньому випадку, вдалося показати, що розв'язки породжують неперервну динамічну систему, яка має скінченновимірний глобальний атрактор. Були отримані результати про близькість розв'язків та атракторів цієї задачі та ґраничної задачі, яка формально отримується, якщо ядра пам'яті прирівняти до дельта-функцій.

В третій системі температурна дисипація враховувалася лише на частині області. Було показано, що рішення системи породжують неперервну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор.

Ключові слова: термопружність, нескінченна пам'ять, складові задачі, компактний глобальний атрактор, напівнеперевність атрактора за параметром.

АННОТАЦИЯ

Потёмкин М.Ю. Асимптотическая динамика нелинейных упругих пластин с памятью. Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 математическая физика. Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина, Харьков, 2011.

В диссертационной работе изучается асимптотическое поведение решений задач термоупругих пластин в разных постановках. Общей чертой всех рассмотренных моделей является учёт температурной диссипации и нелинейного нелокального по пространственной переменной слагаемого Бергера. Это слагаемое учитывает вклад горизонтальных сил, сжимающих пластину по краю. Уравнения с таким слагаемым находят себе частые применения в численных расчетах пластин.

Линейные постановки задач, рассмотренных в диссертации, были изучены ранее различными авторами, во всех случаях была получена экспоненциальная устойчивость. Полностью изучено также уравнение пластины с нелинейностью Бергера, но без учёта теплового режима. Термоупругие пластины с нелинейностью Бергера ранее не рассматривались.

Первая система описывает колебания пластины с учетом тепла согласно классическому закону Фурье. Показано, что решения этой системы уравнений порождают непрерывную динамическую систему, обладающую компактным глобальным аттрактором. В задаче присутствует параметр , пропорциональный воздействию механической диссипации на исходную систему. Показано, что фрактальную размерность глобального аттрактора можно оценить числом, независящим от . Установлена дополнительная гладкость элементов аттрактора и получена их равномерная по оценка в более гладких нормах. Показано также, что эволюционный оператор рассматриваемой динамической системы обладает свойством обратной единственности. Рассмотрена также система, описывающая термоупругую пластину с учетом внутренней вязкости материала. Для этой модели удалось повторить те же результаты об асимптотическом поведении, что и для исходной модели раздела. Необходимость её рассмотрения заключается в том, что она является предельным случаем для системы с памятью.

Вторая система учитывает бесконечную память как в переменной, отвечающей за механические колебания пластины (прогиб), так и в переменной, отвечающей за температуру. Задача переписана в так называемом дафермосовском виде. Показано, что решения уравнений порождают непрерывную динамическую систему, обладающую компактным глобальным аттрактором конечной фрактальной размерности, и элементы аттрактора обладают дополнительной регулярностью. Введены два параметра релаксации и . Предельный случай, когда эффект памяти пропадает, соответствует пределу . Доказано, что решения исходной задачи приближаются к решению предельной задачи при равномерно на конечных интервалах по времени при соответствующих начальных данных и в специальной топологии. Доказана полунепрерывность сверху семейства аттракторов при .

Третья система учитывает температуру согласно классическому закону Фурье, но только на части пластины. Показано, что решения системы порождают непрерывную динамическую систему, обладающую компактным глобальным аттрактором. При этом, геометрические условия позволяют части пластины, обеспечивающей диссипацию, иметь сколь угодно малую площадь. Следует отметить, что по сравнению с двумя предыдущими задачами оказалось нетривиальным доказательство градиентности, то есть утверждения о том, что энергия системы может оставаться постоянной только на стационарных траекториях.

При доказательстве корректной разрешимости использовались методы, развитые в теории полугрупп линейных ограниченных операторов. Основным инструментом в изучении асимптотического поведения послужили так называемые стабилизационные оценки, методы применения которых при изучении глобальных аттракторов, их фрактальной размерности и полунепрерывности сверху относительно присутствующих в задаче параметров, развиты в работах И.Д. Чуешова и И. Лашецкой.

Ключевые слова: термоупругость, бесконечная память, составные задачи, компактный глобальный аттрактор, полунепрерывность аттрактора по параметру.

ABSTRACT

Potomkin M. Asymptotic dynamics of nonlinear elastic plates with memory. Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics by speciality 01.01.03 mathematical physics. B.Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2011.

Asymptotic behavior of solutions of thermoelasticity plate problems in different formulations is studied in the dissertation work. The temperature dissipation and the nonlinear nonlocal with respect to spatial variable Berger term are taken into account.

System of partial differential equations that describes thermoelastic plate with temperature satisfying the classical Fourier law is considered. It is proved that its solutions generate a continuous dynamical system which possesses a finite dimensional compact global attractor. Estimates on fractal dimension and norm of elements from attractor in spaces more regular then phase one were obtained. These estimates are uniform with respect to parameter corresponding to mechanical dissipation. Also, it is shown that evolutionary operator is injective.

System of partial differential equations that describes thermoviscoelastic plate with infinite memory both in mechanical variable (deflection) and in temperature one is considered. As in a previous case, it is proved that solutions generate a continuous dynamical system which possesses a finite-dimensional compact global attractor. The results about closeness of solutions and attractor of this problem to solutions and attractor, respectively, of the problem that formally obtained if one substitute delta-functions in place of memory kernels are obtained.

In third system thermal dissipation is taken into account on part of a plate. It is proved that solutions generate a continuous dynamical system which possesses a compact global attractor.

Key words: thermoelasticity, infinite memory, compound problems, compact global attractors, semicontinuity of attractors with respect to parameter.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Основним об'єктом вивчення асимптотичної (при великих значеннях часу) поведінки нелінійних дисипативних динамічних систем є компактний глобальний атрактор. Теорія глобальних атракторів розвинута в роботах А.В. Бабіна, М.І. Вішика, О.О. Ладиженської, Дж.К. Хейла, Ч. Фояша і Р. Темама. Добре вивчені глобальні атрактори нелінійних хвильових рівнянь і нелінійних рівнянь теорії коливань пластин з різними видами механічної дисипації, а також нелінійних рівнянь параболічного типу. Виявилося, що часто можна довести, що глобальні атрактори є скінченновимірними, регулярними та напівнеперервними відносно змін параметрів задачі. Для доведення цих властивостей ефективним є метод отримання стабілізаційних оцінок, розвинутий в роботах І. Лашецької та І.Д. Чуєшова.

В дисертації розглядаються різні рівняння коливань пластин з нелінійністю, яка вперше була отримана М. Бергером для стаціонарного випадку. Динамічний випадок вперше вивчений в роботі Н.Ф. Морозова, асимптотична поведінка вивчалася Дж. Болом, Р. Дікі, Ж.Н. Дмитриєвою та І.Д. Чуєшовим. Рівняння пластини з нелінійністю Бергера є, з одного боку, спрощенням загальної системи фон Кармана, а, з іншого боку, враховує нелінійність у залежності деформацій від відхилень і наявність горизонтальних зусиль, які стискають пластину з краю. Багатьма авторами (зокрема, С.П. Тимошенком) зазначалося, що рівняння пластини з нелінійністю Бергера часто знаходить собі застосування у чисельних розрахунках.

Основним теоретичним питанням асимптотичної поведінки дисипативних систем є питання про те, наскільки слабкою може бути допустима дисипація енергії в системі для того, щоб гарантувати існування компактного глобального атрактора.

У випадку пластин є декілька способів моделювання лінійної дисипації енергії. В роботах Дж.К. Хейла и І.Д. Чуєшова для пластини Бергера при наявності лінійної механічної дисипації було доведено існування компактного глобального атрактора. В роботах І. Лашецької і І.Д. Чуєшова були детально розглянуті випадки нелінійної механічної дисипації. Слабкішою за механічну є температурна дисипація. Відома експоненціальна стабілізація лінійної термопружної системи і існування компактного глобального атрактора для термопружної системи з нелінійністю фон Кармана. Асимптотична динаміка термопружної системи з нелінійністю Бергера не вивчалася раніше і представляє значний інтерес.

Останнім часом широко вивчаються моделі з нескінченним запізненням, що викликано необхідністю розгляду матеріалів, які потребують уточнення опису ефектів в'язкості і теплопровідності. Зокрема, класичний закон теплопровідності Фур'є має недолік, який зумовлений тим, що, відповідно цьому закону, теплове збурення в одній точці нескінченно швидко поширюється по всьому тілу. Закон Катанео і його узагальнення, закон Гертіна-Піпкіна, цього недоліку не мають. В недавніх роботах була доведена експоненціальна стійкість лінійної термов'язкопружної пластини з пам'яттю. Нелінійні термов'язкопружні пластини з пам'яттю раніше не розглядалися. Вивчення їх асимптотичної динаміки представляє значний інтерес.

Температурну дисипацію пластини можна послабити, враховуючи її лише на частині пластини. В цьому випадку природно вважати, що термічна і ізотермічна частини складаються з різних матеріалів. Виникає питання, наскільки малою може бути та частина, яка забезпечує температурну дисипацію, щоб система в цілому мала компактний глобальний атрактор. Дж. Рівера довів, що у випадку лінійної моделі і виконання деяких природних умов на параметри, які відповідають за матеріал, з якого зроблені обидві частини пластини, її експоненціальна стійкість зберігається, навіть коли термопружна частина має наскільки завгодно малу площину. Представляє особливий інтерес розгляд асимптотичної поведінки нелінійних рівнянь подібного типу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертаційної роботи проводилися на кафедрі математичної фізики та обчислювальної математики механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна. Напрямок досліджень передбачено тематичним планом науково-дослідної роботи за темою "Асимптотична та якісна поведінка розв'язків еволюційних рівнянь з частинними похідними" (номер держреєстрації 0106U001535).

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є опис асимптотичної поведінки розв'язків систем нелінійних рівнянь коливань термопружних пластин в різних постановках.

Для досягнення цієї мети передбачалося вирішити наступні задачі:

Розглянути систему рівнянь, яка описує коливання термопружної пластини з нелінійністю Бергера. З'ясувати, чи породжують її рішення неперервну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор. В позитивному випадку отримати оцінки на фрактальну вимірність атрактора і на норми елементів атрактора в більш регулярному просторі, ніж фазове. З'ясувати, чи є ці оцінки рівномірними по параметру, який враховує механічну дисипацію, і чи має місце властивість напівнеперервності атрактора, коли параметр механічної дисипації наближається до нуля.

Розглянути систему рівнянь, яка описує коливання термов'язкопружної пластини з нелінійністю Бергера і з урахуванням пам'яті. З'ясувати, чи породжують її розв'язки неперервну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор кінцевої фрактальної вимірності та додаткову регулярність. Сформулювати та довести твердження про близькість розв'язків термов'язкопружної системи рівнянь з пам'яттю до розв'язків початково-крайової задачі, коли параметри релаксації наближаються до нуля, тобто, коли ядра, які відповідають за урахування пам'яті, вироджуються в дельта-функції. Встановити напівнеперервність атракторів задачі термов'язкопружної пластини з пам'яттю при збіганні параметрів релаксації до нуля.

Розглянути систему рівнянь, яка описує коливання складової термопружної пластини з нелінійністю Бергера. З'ясувати, чи породжують її рішення неперервну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор.

Об'єкт дослідження. Початково-крайові задачі для систем рівнянь термопружної пластини Бергера з класичним законом Фур'є розповсюдження тепла, термов'язкопружної пластини Бергера з законом Гертині-Піпкіна, складеної пластини з термопружною і ізотермальною частинами.

Предмет дослідження. Коректна розв'язність і асимптотична поведінка траєкторій динамічних систем, які відповідають різним задачам термопружності пластин.

Методи досліджень. В роботі використовуються фундаментальні методи функціонального аналізу і теорії динамічних систем. Коректна розв'язність задач була отримана за допомогою теорії напівгруп лінійних обмежених операторів. У випадку задачі з пам'яттю для побудови напівгрупи необхідно було ввести нові змінні, які відповідають за пам'ять. Для доведень існування компактного глобального атрактора використовувалися загальні критерії для градієнтних систем. Однією з умов цих критеріїв є властивість асимптотичної гладкості динамічної системи. Для доведення цієї властивості використовувався критерій Церона-Лопеса. Ключовим інструментом були так звані стабілізаційні нерівності, отримання яких дозволяло застосовувати критерій Церона-Лопеса і досліджувати властивості глобальних атракторів, їх залежність від параметрів. В задачі про складену термопружну пластину для доведення асимптотичної гладкості використовувався критерій, вперше запропонований А. Ханмамедовим і розвинутий І. Лашецькою і І.Д. Чуєшовим.

Наукова новизна отриманих результатів. В дисертаційній роботі вивчалася асимптотична поведінка рішень різних систем термопружних пластин з нелінійністю Бергера. Були отримані наступні нові результати:

* доведено, що система рівнянь, яка описує коливання термопружної пластини з нелінійністю Бергера з класичним законом Фур'є, породжує неперервну динамічну систему з скінченновимірним глобальним атраткором; доведено, що оцінки для глобального атрактора на фрактальну розмірність і обмеженість в більш гладкому просторі, ніж фазове, можуть бути вибраними рівномірно по параметру, який відповідає за механічну дисипацію, та встановлена властивість напівнеперервності атрактора, коли цей параметр збігається до нуля; доведено, що еволюційний оператор, який відповідає задачі, є ін'єктивним;

* доведено, що система рівнянь, яка описує коливання термов'язкопружної пластини з нелінійністю Бергера з урахуванням пам'яті і з законом розповсюдження тепла Гертина-Піпкіна, породжує неперервну динамічну систему з скінченновимірним глобальним атрактором; коли параметри релаксації збігаються до нуля, на скінченному часовому інтервалі доведена збіжність розв'язків задачі з пам'яттю до відповідного розв'язку задачі без пам'яті; доведена напівнеперервність атракторів, коли параметри релаксації збігаються до нуля;

* доведено, що система рівнянь задачі про складену термопружну пластину з нелінійністю Бергера породжує неперервну динамічну систему з компактним глобальним атрактором.

Практичне значення отриманих результатів. Робота має теоретичний характер та відповідає на питання про поведінку рішень системи рівнянь теорії нелінійних термопружних пластин при великих значеннях часу. Властивість фрактальної скінченновимірності дає принципіальну можливість зведення аналізу нескінченновимірної динаміки систем, які вивчаються в роботі, до скінченновимірних систем. Властивість напівнеперервності атракторів дає можливість використовувати прості моделі для описання асимптотичної поведінки моделей.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що представлені до захисту, отримані автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на Міжнародній науковій школі-конференції "Тараповські читання" (Харків, 2008), Дванадцятій та Тринадцятій міжнародній конференції імені М. Кравчука (Київ, 2008, 2010), Міжнародній конференції "Моделювання динамічних систем та вивчення стабілізації" (Київ, 2009), Міжнародній конференції "Нелінійні диференційні рівняння в частинних похідних" (Дніпропетровськ, 2010), на семінарі математичного відділу Технічного університету в Дармштадті, Німеччина (керівник семінару професор Г.-Д. Альбер), на семінарі кафедри математичної фізики та обчислювальної математики Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна (керівник семінару член-кореспондент НАН України, професор І.Д. Чуєшов), на засіданні Харківського математичного співтовариства, на семінарі математичного відділення ФТІНТ НАН України ім. Б.І. Вєркіна (керівник семінару академік НАН України, професор Є.Я. Хруслов). Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 10 роботах, у тому числі у 5 статтях ([1][5])в наукових виданнях, які включені до переліку ВАК України, та у 5 тезах доповідей конференцій ([6][10]). Стаття [2] написана у співавторстві, здобувачу належить доведення властивості зворотної єдності та існування компактного глобального атрактора. Структура то обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та переліку використаних джерел. Повний обсяг роботи складає 128 сторінок, перелік використаних джерел займає 13 сторінок та складається з 143 найменування. Результати роботи, що подані до захисту, сформульовано та доведено в розділах 25.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, наукову новизну роботи, визначено мету та задачі, а також об'єкт та предмет дослідження. Подано відомості про апробацію результатів дослідження та публікації автора за темою дисертації.

Перший розділ містить огляд літератури за темою дисертації. Також подані основні визначення та факти, що використовуються в наступних розділах роботи.

У другому розділі розглянуто деякий клас задач Коші наступного виду:

(1)

Функції та вважаються невідомими, а рівняння системи (1) виконуються в просторах і . Простори , і є гільбертовими і має місце компактне вложення . Введемо також гільбертовий простір з наступним скалярним добутком:

Необмежені лінійні оператори і задані на та набувають значень у просторах і відповідно. Функція нелінійна та набуває значень у просторі . Введемо також лінійний оператор , який має наступний вигляд:

Для системи (1) припускається наступне:

* є інфінітіземальним генератором -напівгрупи стискань;

* задовольняє локальній умові Ліпшиця, тобто для кожного існує константа така, що

для будь-яких таких, що ;

* існує функціонал , заданий на просторі , локально обмежений, та його похідна Фреше задовольняє рівності ; нехай також існує такі і , що виконується наступна нерівність:

(2)

Першим головним результатом розділу є наступна теорема:

Теорема 1 Нехай виконані припущення (А1)-(А3). Розглянемо будь-які , і . Позначимо . Тоді існує єдиний слабий розв'язок задачі (1). Якщо позначити , то неперервна динамічна система. Якщо , то відповідний розв'язок є сильним.

Визначення слабих і сильних розв'язків задачі, інфінітіземального оператора -напівгрупи стискань та метод доведення теореми 1 взяті з теорії напівгруп лінійних обмежених операторів. Оператор є еволюційним оператором для системи (1), а простір грає роль фазового простору. Неперервність динамічної системи означає, що розв'язок неперервно залежить (в топології фазового простору ) від початкових даних та належить до простору функцій неперервних за часовою змінною зі значеннями в просторі .

Далі для розгляду питань залежності розв'язків задачі від параметрів припустимо, що оператор і простір , а тоді й простір , залежать від параметра , де деяка множина значень параметра . Залежність від будемо позначати наступним чином: , , і .

Для вивчення асимптотичної поведінки зробимо наступні припущення:

* (A4) Якщо для будь-якого , то для будь-якого . Функція визначається для будь-якого наступним чином:

* (A5) Нехай множина стаціонарних точок і існує таке , незалежне від , що

* (A6) Для будь-якої додатно інваріантної множини , яка належить шару для деякого , незалежного від , і будь-яких і , які належать множині , має місце стабілізаційна оцінка:

(3)

для деяких , и , залежних від , але незалежних від .

Другий основний результат розділу сформульований у наступній теоремі.

Теорема 2 Нехай виконані умови (A1)-(A6), причому константи і в нерівності (2) не залежать від . Тоді динамічна система має компактний глобальний атрактор скінченної фрактальної розмірності , причому:

* глобальний атрактор складається з повних траєкторій, які є підмножинами . Існує така додатна константа , незалежна від , що для будь-якої траєкторії , яка належить атрактору, має місце оцінка:

* існує таке додатне число , незалежне від , що

Умова (A4) означає, що динамічна система має строгу функцію Ляпунова. Умова (A6) необхідна для доведення того, що динамічна система є асимптотично гладкою. Доведення цієї властивості та всіх тверджень теореми 2 спирається на результати робіт І. Лашецької та І.Д. Чуєшова, присвячених стабілізаційним оцінкам та їх застосуванням.

Результати цього розділу мають загальний характер та є допоміжними для вивчення асимптотичної поведінки розв'язків диференційних рівнянь в частинних похідних, які розглядаються в третьому, четвертому та п'ятому розділах.

У третьому розділі розглянуто наступну систему диференційних рівнянь у частинних похідних:

(4)

Символи і позначають оператор Лапласа та оператор градієнта відповідно, числовий параметр, скалярна функція. Невідомі функції і залежать від просторової змінної , де обмежена область з гладкою межею , та часової змінної . Невідомі функції задовольняють одній з трьох крайових умов:

(5)

(6)

(7)

де . Тут зовнішній вектор нормалі.

Рівняння (4) з описує коливання пластини. Доданок враховує те, що на краю пластини діють стискаючі горизонтальні сили. Так, якщо усереднена по межі нормальна складова горизонтального переміщення пластини є негативною, то , і у противному випадку. Нелокальний доданок отримується з урахуванням геометричних нелінійностей (тобто, нелінійних доданків в виразі деформації через переміщення) і гіпотези Бергера про незалежність першого інваріанта тензора деформації від просторової змінної . Також система враховує температурні коливання в пластині.

Позначимо , якщо розглядається задача (4) з крайовими умовами (5) або (7), і , якщо розглядається задача (4) з крайовими умовами (6).

Основним результатом розділу є наступна теорема.

Теорема 3

* Нехай і , тоді існує єдиний слабий розв'язок задачі (4). Якщо позначити , то пара є неперервною динамічною системою.

* Для будь-якого існує компактний глобальний атрактор і такі константи і незалежні від , що (а) атрактор складається з повних траєкторій , і ці траєкторії задовольняють оцінці:

(б) сімейcтво атракторів напівнеперервно зверху при , тобто

та (в) атрактори скінченновимірні, причому .

Доведення цієї теореми спирається на результати розділу 2. При застосуванні теореми 2 основною трудністю було отримати стабілізаційну нерівність (3). Була доведена наступна лема.

Лема 1 Нехай і два таких розв'язка задачі (4), що

для будь-якого і деякого . Позначимо і набори початкових даних цих розв'язків. Тоді існують додатні константи і такі, що вони не залежать від і має місце нерівність:

Має місце також результат про зворотну єдність.

Теорема 4 Розглянемо . Якщо , то .

Основою доведення цієї теореми є класичний метод доведення зворотної єдності, запропонований Гідалья. Цей метод дозволяє доводити зворотну єдність для рівнянь , де симетричний оператор, а прийнятна нелінійність. Основна проблема доведення теореми 4 була в тому, що лінійна частина рівнянь (4) не є симетричною. Але шляхом заміни невідомих функцій вдалося звести рівняння до вигляду , де прийнятний антісиметричний оператор. Для такого рівняння виявилося можливим застосувати метод Гідалья.

В третьому розділі також розглянуто наступну систему:

(8)

з краєвими умовами (5).

Єдина відмінність цієї системи від (4) у другому доданку першого рівняння (з коефіцієнтом ). Має місце наступний результат.

Теорема 5 Нехай і . Тоді існує єдиний слабий розв'язок задачі (8). Якщо позначити , тоді пара є неперервною динамічною системою, яка має скінченновимірний компактний глобальний атрактор.

Доведення цієї теореми спирається на ті ж самі методи, що і доведення теореми 3. Необхідність розгляду системи (8) викликана потребами наступного розділу.

Результати третього розділу опубліковані в статтях [1, 2].

У четвертому розділі вивчається асимптотична поведінка розв'язків наступної системи:

(9)

Ядра , , і гладкі скалярні додатні функції, , і числові параметри. Всі інші позначення такі ж, як і в третьому розділі. Припускається також, що існує таке , що і . Невідомі функції і задовольняють крайовим умовам:

Система (9) описує коливання пластини, причому до гіпотез, прийнятих при виведенні рівняння (4), додається урахування нескінченної пам'яті.

Для вивчення системи в термінах теорії динамічних систем необхідно переписати систему в вигляді автономного рівняння. Для цього використані змінні Дафермоса. Розглянемо функції і . Будемо вважати, що для кожного вони приймають значення відповідно у просторах і . Тут і . Введемо оператори

які задаються наступним чином:

Мають місце рівності і . Додав їх до системи (9) і врахував усі введені позначення, перепишемо систему (9) у наступному вигляді:

(10)

Позначимо

Має місце наступний результат про коректну розв'язність задачі (10).

Теорема 6 Для будь-якого існує єдиний розв'язок задачі (10).

Причому, якщо позначити , тоді неперервна динамічна система.

Далі у розділі вивчається поведінка розв'язків при . Відмітимо, якщо у системі (10) формально перейти до ґраниці при , то система (10) вироджується у наступну:

(11)

з крайовими умовами

.

Як доведено в теоремі (5), розв'язки системи (11) породжують неперервну динамічну систему . Причому, ця динамічна система має скінченновимірний компактний глобальний атрактор .

Введемо наступні проектори:

визначені наступним чином:

, і

Перший основний результат розділу формулюється в наступній теоремі.

Теорема 7 Нехай і . Припустимо також, що замкнутий шар в просторі з радіусом . Тоді величини

збігаються до нуля при .

Тут

Для доведення цієї теореми розглядається система рівнянь відносно різниці розв'язка задачі (10) з початковими даними

і п'ятикомпонентного вектору такого, що є розв'язком системи (11) з початковими даними , а функції і розв'язують відповідно наступні задачі Коші в просторах і :

Для отриманої системи застосовується звичайний метод мультиплікаторів (або енергетичний метод). Отримані оцінки доводять твердження теореми.

Другий основний результат розділу присвячений існуванню глобальних атракторів та їх властивостям.

Теорема 8 Для будь-яких додатних і динамічна система має компактний глобальний атрактор .

При цьому, сімейство напівнеперервно зверху в ґраниці при , тобто

збігається до нуля при .

В доведенні цієї теореми основним кроком, як і при доведенні теореми 3, було отримання стабілізаційної оцінки, сформульованої в наступній лемі.

Лема 2 Нехай і два таких розв'язка задачі (10), що

для будь-якого і деякого . Позначимо

 набори початкових даних цих розв'язків.

Тоді існують додатні константи і такі, що вони не залежать від і має місце нерівність:

Результати четвертого розділу опубліковані в статтях [3, 4].

В п'ятому розділі вивчається асимптотична поведінка розв'язків наступної системи:

(12)

Припускається, що область складається з двох підобластей і таким чином, що і . Нехай також спільна межа для областей і . Введемо також і , де і межі областей і відповідно. Поле нормальних векторів на задано таким чином, що є зовнішнім для . числові параметри. Нелінійні функції і задаються наступним чином:

тут дійсне число.

Крайові умови на і на і :

Крайові умови на функцію :

Умови спряження на :

Позначимо

.

Головний результат цього розділу сформульований в наступній теоремі.

Теорема 9 Для будь-якого існує єдиний слабий розв'язок задачі (12). Причому, якщо позначити , то неперервна динамічна система.

Якщо , і існує така точка , що для кожного , тоді динамічна система має компактний глобальний атрактор.

Для доведення цієї теореми знадобилося подолати дві перешкоди. По-перше, в цій задачі не вийшло отримати стабілізаційну оцінку типу (3) (умова (А6)), яка при доведенні теореми 2 використовується для перевірки того, що динамічна система асимптотично гладка.

Натомість вдалося довести, що для будь-якого і додатно інваріантної обмеженої множини існує таке, що

(13)

де функція визначена на і така, що

для будь-якої послідовності . З загальних результатів відомо, що динамічна система, для якої виконується така оцінка (13), асимптотично гладка.

По-друге, перевірка умови (А4) в порівнянні з задачами третього та четвертого розділів виявилася складною.

Так, якщо стала на траєкторії

то отримуємо, що функція , функція не залежить від , а функція задовольняє наступному рівнянню:

причому, , і на сталі за часом.

Потрібно було довести, що стала і, таким чином, траєкторія стаціонарна.

Вдалося побудувати "наглядові" оцінки для значень функції в області через значення на межі і з їх допомогою довести, що стала функція.

Результати п'ятого розділу опубліковані в статті [5].

ВИСНОВКИ

В роботі розглянуті різні нелінійні задачі термопружності пластин. Основне питання в вивченні цих задач їх глобальна стійкість у сенсі існування компактного глобального атрактора і вивчення його властивостей. Метод отримання стабілізаційних оцінок виявився основним для отримання необхідних тверджень.

Розглянута система диференційних рівнянь в частинних похідних, яка описує коливання термопружної пластини з нелінійністю Бергера. Показано, що розв'язки цієї системи рівнянь породжують неперервну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор. В задачі присутній параметр , пропорційний впливу механічної дисипації на систему. Показано, що фрактальна розмірність глобального атрактора можна оцінити числом, незалежним від . Встановлена додаткова гладкість елементів атрактора і отримана їх рівномірна оцінка в більш гладких нормах. Показано також, що еволюційний оператор розглянутої динамічної системи має властивість зворотної єдності. Розглянута аналогічна система але з структурною механічною дисипацією. Доведено, що її розв'язки породжують неперервну динамічну систему, яка має скінченновимірний компактний глобальний атрактор.

Розглянута система диференційних рівнянь в частинних похідних, яка описує коливання термов'язкопружної пластини з пам'яттю і нелінійністю Бергера. Задача переписана в так званому дафермосівському вигляді. Показано, що розв'язки рівнянь породжують неперервну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор скінченної фрактальної розмірності і елементи атрактора мають додаткову регулярність. Введені два параметри релаксації . Ґраничний випадок, коли ефект пам'яті зникає, відповідає ґраниці . Доведено, що розв'язки задачі наближаються до розв'язків ґраничної задачі при рівномірно на скінченних інтервалах при відповідних початкових даних і в спеціальній топології. Доведена напівнеперервність сімейств атракторів при .

Розглянута система диференційних рівнянь в частинних похідних, яка описує коливання складової термопружної пластини з нелінійністю Бергера. Показано, що рішення системи породжують неперервну динамічну систему, яка має глобальний атрактор. При цьому, геометричні умови дозволяють частині пластини, яка забезпечує температурну дисипацію, мати наскільки завгодно малу площу.

ПУБЛІКАЦІЇ

[1] Потёмкин М.Ю. Асимптотическое поведение решений нелинейной задачи термоупругости пластин / Потёмкин М.Ю. // Доповіді НАН України. 2009. № 2. С. 26-31.

[2] Giorgi C. Global attractors for the extensible thermoelastic beam system/Giorgi C., Naso M.G., Pata V., Potomkin M.// J. Differential Equations. 2009. Vol. 246. P. 3491-3517.

[3] Potomkin M. Asymptotic behavior of thermoviscoelastic Berger plate/ Potomkin M.// Communications on Pure an Applied Analysis. 2010. Vol. 9., No. 1. P. 161-192.

[4] Potomkin M. On Singular Limit and Upper Semicontinuous Family of Attractors of Thermoviscoelastic Berger plate/Potomkin M.// J. of Math. Phys., An., Geom. 2010. Vol. 6, No. 3. P. 1-32.

[5] Potomkin M. On Transmission Problem for Berger Plates on an Elastic Base/ Potomkin M.//J. of Math. Phys., An., Geom. 2011. Vol. 7, No. 1. P. 96-102.

[6] Потёмкин М.Ю. Асимптотическое поведение решений задачи термоупругости пластинки Бергера с учётом памяти/ Потёмкин М.Ю.// Двенадцатая международная научная конференция имени академика М. Кравчука. Материалы конференции. Том 1. Киев, 2008. С. 321.

[7] Потёмкин М.Ю. Аттрактор динамической системы, отвечающей задаче колебаний термоупругой пластины с памятью/ Потёмкин М.Ю.// Сборник материалов международной научной конференции "Тараповские Чтения". Харьков, 2008. С. 173-175.

[8] Potomkin M. On Singular Limit of Thermoviscoelastic Berger Plate/Potomkin M.// Dynamical System Modelling and Stability Investigation/ Thesis of conference reports. Kyiv, 2009. P. 171.

[9] Potomkin M. A Nonlinear Transmission Problem for Thermoelastic Plate/ Potomkin M.// Тринадцатая международная научная конференция имени академика М. Кравчука. Материалы конференции. Том 1. Киев, 2010. С. 27.

[10] Potomkin M. Thermoelastic Plate Problems with Berger Nonlinearity/Potomkin M.//Международная конференция Nonlinear Partial Differential Equations. Днепропетровск, 2010. C. 45-46.

Размещено на Allbest.ru

...