Двовимірні локалізовані структури в нелінійних середовищах

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Формування локалізованих структур є універсальною властивістю багатьох нелінійних середовищ. Просторові солітони виникають в результаті балансу між дифракційним (дисперсійним) розпливанням та нелінійним самофокусуванням. Різноманітність фізичних систем, де можуть формуватись нелінійні локалізовані структури охоплює багато різних областей фізики: нелінійну оптику, фізику плазми, фізику рідких кристалів, фізику низьких температур та ін. Проте формування локалізованих структур у всіх цих нелінійних системах описується порівняно невеликою кількістю математичних моделей, що носять універсальний характер.

Одновимірні нелінійні моделі в окремих важливих випадках є інтегровними, тобто дозволяють повний аналітичний опис, наприклад, в рамках методу оберненої задачі розсіяння. Локалізовані хвильові пакети, які зберігають свою форму при поширенні та при зіткненнях між собою, називають солітонами. Такі розв'язки природно виникають в одновимірних інтегровних моделях і добре вивчені на сьогоднішній день, хоча самі одновимірні моделі мають досить обмежене практичне застосування. В двовимірному або тривимірному випадку нелінійні рівняння, як правило, вже не є інтегровними, проте для них також можна отримати локалізовані розв'язки, які також прийнято називати солітонами. Такі солітони також можуть зберігати форму при поширенні, але при зіткненнях вона не зберігається.

В дисертаційній роботі окрім фундаментальних солітонів, тобто солітонів з одиничним максимумом інтенсивності, досліджено більш складні двовимірні локалізовані структури: солітони з вузлами, що є структурами з розподілом інтенсивності у вигляді світлої плями, оточеної світлими кільцями, вихори, що є структурами з ненульовим кутовим моментом, мультисолітони, що є зв'язаними станами декількох фундаментальних солітонів та також можуть мати ненульовий кутовий момент.

Мета і задачі дослідження. Основною метою даної роботи було знайти нові типи локалізованих структур, які можна спостерігати експериментально. Для цього потрібно було знайти стаціонарні розв'язки для відповідних нелінійних моделей та дослідити їх стійкість. У випадку нестійкого поширення потрібно оцінити час життя таких нестійких структур і визначити, за яких умов цей час життя буде достатнім для їх експериментального спостереження. Поставлені в дисертації задачі полягають у проведенні:

· аналітичного дослідження в рамках моделі, яка базується на узагальненому нелінійному рівнянні Шредінгера (УНРШ) з нелокальною нелінійністю, що містить інтегральне ядро у вигляді гаусоїди, умов формування та загальних властивостей двовимірних солітонів, вихорів, солітонів з вузлами та мультисолітонів;

· аналітичного дослідження в рамках моделі УНРШ з нелокальною тепловою нелінійністю умов формування та загальних властивостей двовимірних мультисолітонів, зокрема диполів, триполів та квадруполів;

· чисельного знаходження стаціонарних розв'язків двовимірного УНРШ, що описують локалізовані структури, проведення лінійного аналізу стійкості отриманих розв'язків щодо малих азимутальних збурень, чисельних експериментів по еволюції збурених стаціонарних розв'язків на основі УНРШ;

· аналітичного та чисельного дослідження властивостей та умов існування двовимірних векторних солітонів, зокрема солітон-солітонних пар, в середовищах з притягувальною внутрішньою та відштовхувальною міжкомпонентною взаємодіями, аналізу стаціонарних розв'язків відповідної зв'язаної системи нелінійних рівнянь Шредінгера;

· чисельного дослідження стійкості солітон-солітонних пар на основі чисельного моделювання еволюції збурених стаціонарних розв'язків.

1. Основні поняття, що використовуються в наступних розділах, а також проведено аналіз проблем, що виникають при дослідженні локалізованих структур в різноманітних нелінійних середовищах

Наведено ключові пункти при отриманні нелінійного рівняння Шредінгера (НРШ) для двовимірних оптичних солітонів [Kivshar Y. S., 2003] та розглянуто його основні властивості. Описано можливі типи локалізованих розв'язків, що можуть бути отримані при розв'язуванні рівнянь такого типу. Розглянуто основні типи нестійкої поведінки нелінійних локалізованих структур та методи їх стабілізації.

2. Основні властивості фундаментальних солітонів, солітонів з вузлами, вихрових солiтонiв та складних солiтонiв типу диполя в сильно нелокальних середовищах та проведено аналiз їх стiйкостi

Зокрема тут доведено можливiсть стабiлiзацiї мультизарядних вихрових солiтонiв в нелокальних нелiнiйних середовищах.

Розглянута модель, яка описує поширення огинаючої хвильового пакету Ш та базується на обезрозміреному УНРШ:

, (1)

з нелінійним відгуком И, що враховує просторову нелокальність:

, (2)

де функцiя R(r) -- ядро нелокальностi, -- поперечна компонента Лапласiану, z -- безрозмірна еволюційна змінна. В різних задачах в якості еволюційної змiнної може виступати будь-яка змінна, що визначає еволюцiю розв'язкiв. Тут це координата в напрямку поширення пучка. Одиниця виміру цієї координати має різний фізичний зміст в залежності від задачі та зазвичай її називають дифракційною довжиною.

Якщо просторово масштабований розподiл iнтенсивностi хвильового пакету |Ш|2 набагато ширший за ефективну ширину ядра нелокальностi R(r), нелiнiйний член перетворюється на нелiнiйнiсть типу Кера (И > |Ш|2). В протилежному випадку, тобто в сильно нелокальному режимi, УНРШ переходить в лiнiйне рiвняння Шредiнгера з потенцiалом у виглядi гармонiчного осцилятора [Snyder A. W., 1997].

В даному розділі розглядається феноменологiчний нелокальний нелiнiйний вiдгук з регулярним ядром у виглядi гаусоїди:

, (3)

де б -- параметр нелокальностi. Зберiгаючи основнi властивостi нелокальних середовищ, така модель дозволяє проводити точнi аналiтичнi обрахунки. Розглянуто одиничні солітонні та вихрові структури. Стацiонарнi розв'язки рiвняння (1) представляються в циліндричних координатах у наступній формi:

, (4)

де ц i r -- азимутальний кут i радiальна координата вiдповiдно, Л -- стала поширення пучка, z -- безрозмірна еволюційна змінна. Розв'язки (4) описують або солiтон, коли m = 0, або вихровий солiтон з топологiчним зарядом m, коли m > 0. Пiдставивши (4) в (1) і (2), отримаємо наступне iнтегро-диференцiйне рiвняння для функцiї ш(r):

, (5)

де:

,

.

Розгляд розв'язків цього рівняння проведено за допомогою аналiтичного аналiзу, що ґрунтується на варiацiйному пiдходi.

Як вiдомо [Snyder A. W., 1997], нелокальне НРШ в сильно нелокальнiй границi (коли просторово масштабована функцiя вiдгуку є набагато ширшою за область локалiзацiї хвильового пакета) переходить в лiнiйне рiвняння Шредiнгера з потенцiалом у виглядi гармонiчного осцилятора. Оскiльки моди Лагерра-Гауса є власними станами двовимiрного лiнiйного осцилятора, то логічно припустити, що варiацiйний метод з пробною функцiєю у формi:

дасть точний опис всiх власних мод, особливо в сильно нелокальному режимi. Тут Ln(m) (x) -- узагальнений полiном Лагерра, n -- число вузлiв радiального профiлю, m -- топологiчний заряд, о = r?a(z), де a(z) -- перший варiацiйний параметр. Варiацiйний параметр a(z) характеризує радiус солiтонної структури:

,

де -- середньо квадратичний радiус, N -- потужнiсть пучка, що задається умовою нормування. Другий варiацiйний параметр називають фазовою кривиною. Амплiтуда h(z) не є варiацiйним параметром, оскільки може бути отримана з умови нормування.

Основною перевагою обраної пробної функції є те, що в результатi отримано явну аналiтичну залежнiсть фiзичних властивостей дослiджуваної структури вiд варiацiйних параметрiв, якi теж мають зрозумiле фiзичне значення. З iншого боку, оскільки форма пробної функцiї є фіксованою, вона не дозволяє описувати процеси, що супроводжуються суттєвою деформацiєю початкової структури. В рамках варiацiйного методу неможливо дослiджувати стiйкiсть локалiзованих структур по вiдношенню до збурень, що пов'язанi зi змiною форми i які не можуть бути представленi як малi змiни варiацiйних параметрiв.

Найбільш важливим з практичної точки зору результатом варіаційного аналізу є знайдена аналітична залежнiсть N(a), яка дає можливість отримати в явному вигляді порогове значення числа квантiв, нижче якого вихор або солiтон не можуть iснувати:

.

Використовуючи подiбну процедуру, були розглянуті необертальні (m = 0) розв'язки з одним (n = 1) i двома вузлами (n = 2). Цi структури також характеризуються певними пороговими значеннями числа квантiв, які було знайдено в даному розділі.

На основі залежності N(a) було побудовано графiки параметричної залежностi N(л). Результати для залежностi N(л), отриманi за допомогою варiацiйного аналiзу, наведено на рис. 1 для фундаментальних солiтонiв i вихрових солiтонiв. Описана варiацiйна процедура дає можливiсть для аналiзу будь-яких стацiонарних радiально-симетричних локалізованих структур.

Окрiм того, використовуючи варіаційний аналіз, було вивчено радiально-симетричну динамiку локалiзованих хвильових пакетiв, що поширюються в напрямку вiсi z. Однак, оскiльки пробна функцiя є радiально-симетричною, то варiацiйний пiдхiд не дає можливостi вивчити стiйкiсть стацiонарних розв'язкiв по вiдношенню до азимутальних збурень, що порушують симетрiю. Умови стiйкостi стацiонарних розв'язкiв вiдносно малих узагальнених двовимiрних збурень також було отримано в даному підрозділі, але за допомогою чисельного моделювання та лiнiйного аналiзу.

Для проведення чисельного моделювання рівняння (5) переписується у вигляді інтегрального рівняння:

, (6)

з функцією Гріна у вигляді:

(7)

де Im (x) i Km(x) -- модифiкованi функцiї Бесселя першого i другого роду вiдповiдно. На рис. 1 наведено залежнiсть N(л), отриману за допомогою чисельного моделювання. Отримані результати в цiлому добре узгоджуються з варiацiйними оцiнками. Зауважимо, що нелокальна границя б2 << Л вiдповiдає великим значенням параметра л i, як видно з рис. 1, великим значенням потужностi пучка N.

Далі виконано дослідження стійкості отриманих розв'язків. Для цього нестацiонарний розв'язок поблизу стiйкого стану шукається у виглядi:

, (8)

де введено малі збурення:

,

тут щ -- частота, L -- азимутальне квантове число збурення. В результатi лінеаризації НРШ отримується система рiвнянь відносно е±. Отриману систему можна розглядати як задачу на власнi значення щ і власні функції е± з граничними умовами е±>0, при r>?. Цю спектральну задачу було розв'язано чисельно. Якщо уявна частина хоча б одного з власних значень щ є додатньою, то це означає, що збурення буде зростати, отже розв'язок є нестiйким. Величину Im(щ) називають iнкрементом зро-стання азимутального збурення. Цю задачу потрiбно було дослiджувати окремо для рiзних значень L для визначення стiйкостi рiзних мод азимутальних збурень.

Результати лiнiйного аналiзу були пiдтвердженi великою кiлькiстю чисельних розрахунків для динамiки збурених стацiонарних розв'язкiв. Для розв'язку нелокального НРШ з функцією відгуку (3) було застосовано метод розщеплення кроку з оберненням лiнiйного оператору за допомогою швидкого перетворення Фур'є, що також вiдомий як SSFT (Split Step Fourier Transform method) [Agrawal G. P., 2001]. При дослiдженнi часової еволюцiї в якостi початкових умов для знаходження солiтонiв вищих порядкiв було використано чисельно знайденi стацiонарнi вихровi розв'язки i варiацiйнi профiлi.

В чисельних розрахунках було застосовано рiзнi види збурень, такi як випадковий шум, радiально симетричнi та азимутально перiодичнi збурення. Результати чисельного моделювання добре узгоджуються з результатами, отриманими на основі лінійного аналізу: вихровi солiтони стають стiйкими вище критичної потужностi, яка в межах наведених знаків співпадає з потужністю, передбаченою лiнiйним аналiзом стiйкостi (, ).

Висновки

мультисолітон шредінгер двовимірний векторний

В даній роботі було проведено систематичне дослідження різних двовимірних локалізованих структур в декількох нелінійних моделях, що базуються на формалізмі узагальненого нелінійного рівняння Шредінгера.

1. Для моделі з нелокальним нелінійним відгуком з ядром у вигляді гаусоїди:

· Аналітично, в рамках варіаційного методу, та чисельно знайдено стаціонарні розв'язки, що відповідають фундаментальним солітонам, однозарядним та двозарядним вихорам, солітонам з одним та двома вузлами, для різних значень параметра л, що характеризує нелінійний зсув хвильового числа та ступінь нелокальності. Для всіх розглянутих структур знайдено залежності потужності пучка від л.

· За допомогою лінійного аналізу стійкості показано, що модуляційна нестійкість вихорів пригнічується в сильно нелокальному режимі та знайдено критичні значення параметра л, що обмежують області стійкості для однозарядного (лcr ? 9,1) та двозарядного (лcr ? 23,8) вихорів. Результати лінійного аналізу підтверджено прямими чисельними розрахунками.

· Чисельно досліджено еволюцію солітонів з вузлами і показано, що вони стають стійкими в сильно нелокальному режимі.

· Чисельно знайдено стаціонарні дипольні розв'язки та знайдено критичне значення параметра лth ? 21, вище якого диполі є стійкими. Отриманий результат перевірено аналітичними варіаційними розрахунками.

2. Для моделі з тепловою нелінійністю:

· Аналітично, в рамках варіаційного методу, а також чисельно знайдено стаціонарні мультисолітонні розв'язки для різних значень параметра л. Побудовано залежності від л основних характеристик локалізованих структур - ширини пучка, інтенсивності, амплітуди і т.ін.

· Чисельно досліджено стійкість диполів та показано, що вони є стійкими лише в досить вузькій області значень параметра 1,9 < л < 4.

· Триполі та квадруполі, хоча і виявились нестійкими, можуть поширюватись на значні відстані для значень л, що відповідають області стійкості диполя.

· Показано, що обертальні мультисолітони стають стійкими в сильно нелокальному режимі та знайдено відповідне критичне значення лcr ? 15.

· Чисельно знайдено розв'язки типу векторних вихорів. Такі розв'язки не проявляють азимутальної нестійкості і можуть вважатись єдиним прикладом стійких вихорів вищих порядків в середовищах з тепловою нелінійністю.

Результати, отримані для двох розглянутих нелокальних нелінійних моделей, дозволяють стверджувати, що форма ядра нелокальності є принциповою для стійкості локалізованих структур.

3. Аналітично та чисельно знайдено векторні локалізовані розв'язки в системі з притягувальною взаємодією всередині компонент та відштовхувальною взаємодією між компонентами. Побудовано залежності інтенсивностей кожної з компонент від параметра л для різних значень параметра крос-взаємодії у.

4. Дослідження еволюції векторних солітонів показало принципову можливість стабілізації надкритичного лазерного пучка за допомогою іншого пучка меншої інтенсивності.

5. Знайдено стаціонарні локалізовані розв'язки системи рівнянь Гроса-Пітаєвського, які описують двокомпонентний БАК в зовнішній магнітній пастці та визначено область значень хімічних потенціалів, де можуть існувати такі стаціонарні розв'язки.

Література

1. Yakimenko A.I. Dynamics of two-dimensional coherent structures in nonlocal nonlinear media / A.I. Yakimenko, V.M. Lashkin, O.O. Prikhodko // Phys. Rev. E. -- 2006. -- Jun. -- Vol. 73, № 6. -- P. 066605.

2. Lashkin V. Two-dimensional nonlocal multisolitons / V. Lashkin, A. Yakimenko, O. Prikhodko // Physics Letters A. -- 2007. -- Vol. 366, № 4-5. -- Pp. 422 - 427.

3. Yakimenko A.I. Bright vector solitons in cross-defocusing nonlinear media / A.I. Yakimenko, O.O. Prikhodko, S.I. Vilchynskyi // Phys. Rev. E. -- 2010. -- Jul. -- Vol. 82, № 1. -- P. 016605.

4. Stable multisolitary structures in plasmas with nonlocal nonlinearities / A.I. Yakimenko, V.M. Lashkin, O.O. Prikhodko// Book of abstracts “International Conference on Plasma Physics”. - Kyiv : ICPP 2006. - P. 66.

5. Nonlocal multi-solitons / A.I. Yakimenko, V.M. Lashkin, O.O. Prikhodko // Book of abstracts “International Workshop on Nonlinear Physics and mathematics”. - Kyiv, 2006. - P. 48.

Размещено на Allbest.ru