Опис непружного деформування матеріалів, чутливих до виду напруженого стану

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара

УДК 539.3

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ОПИС НЕПРУЖНОГО ДЕФОРМУВАННЯ МАТЕРІАЛІВ,

ЧУТЛИВИХ ДО ВИДУ НАПРУЖЕНОГО СТАНУ

Поліщук Олександр Сергійович

Дніпропетровськ - 2011

Дисертація є рукописом.

Робота виконана на кафедрі теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Черняков Юрій Абрамович, Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, професор кафедри теоретичної та прикладної механіки

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Стеблянко Павло Олексійович, Дніпродзержинський державний технічний університет, завідувач кафедри вищої математики

доктор фізико-математичних наук, професор Кузьменко Василь Іванович, Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, професор кафедри математичного моделювання

Захист відбудеться "24" червня 2011 р. о 13:00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара за адресою: м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 35, корпус 5, ауд. 85.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці ім. О. Гончара Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара за адресою: 49010, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий " 20 " травня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор технічних наук, професор А.П. Дзюба

Анотації

Поліщук О.С. Опис непружного деформування матеріалів, чутливих до виду напруженого стану. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, Дніпропетровськ, 2011.

В дисертаційній роботі існуюча теорія пластичності (теорія мікродеформації, заснована на підході Кадашевіча-Новожилова), яка приводить до початкової умови пластичності Губера-Мізеса, шляхом введення нового локального закону деформування узагальнюється на випадок чутливості матеріалу до виду напруженого стану. Для практичного застосування узагальненого варіанту теорії запропонована і реалізована у вигляді програми для ПЕОМ неявна схема числового інтегрування, обґрунтовано вибір експериментів для визначення нововведених констант матеріалу. Теорія мікродеформації з модифікованим локальним законом деформування застосована до опису надпружної поведінки сплавів з пам'яттю форми при складному навантаженні. Ефективність теорії підтверджена порівнянням з експериментами незалежних авторів на просте і складне навантаження. В роботі побудований варіант теорії мікродеформації, в якому враховані два взаємодіючих механізми непружного деформування: ковзання і двійникування. Цей варіант дозволяє більш повно описувати як деформування ряду традиційних конструкційних сталей, так і нових матеріалів, що проявляють істотну чутливість до виду напруженого стану. Достовірність результатів дисертації забезпечується використанням апробованих фізичних і феноменологічних законів і положень теорії визначальних співвідношень; порівнянням теоретичних побудов з результатами класичних теорій пластичності і, там, де це можливо, з експериментальними даними. Результати роботи можуть бути використані в будівництві, машинобудуванні і металургії.

Ключові слова: чутливість до виду напруженого стану, пластичність полікристалічних тіл, надпружність, двійникування.

Полищук А.С. Описание неупругого деформирования материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара, Днепропетровск, 2011.

В диссертационной работе существующая теория пластичности (теория микродеформации, основанная на подходе Кадашевича-Новожилова), которая приводит к начальному условию пластичности Губера-Мизеса, обобщается на случай чувствительности материала к виду напряженного состояния. мікродеформація надпружний сплав

В теории микродеформации представительный макрообъем рассматривается как множество взаимодействующих микрочастиц с различными тензорами ориентации и пределами текучести. Обобщение теории проведено за счет введения нового представления тензора ориентации микрочастиц. В результате в рамках теории микродеформации получен широкий класс начальных условий пластичности и законов упрочнения, в которых учтены все три инварианта тензора напряжений. Также предложенное обобщение устанавливает связь между рассмотренными ранее вариантами теории микродеформации и частными случаями других микроструктурных теорий, позволяя получать их в рамках одной схемы без перестройки определяющих соотношений.

Для практического применения обобщенного варианта теории микродеформации предложена и реализована в виде программы для ПЭВМ неявная схема численного интегрирования, которая позволяет находить траекторию деформирования по известной траектории нагружения и наоборот. Также обоснован выбор экспериментов для определения нововведенных констант материала, отвечающих за учет чувствительности к виду напряженного состояния.

Теория микродеформации применена к описанию сверхупругого поведения сплавов с памятью формы (СПФ) при сложном нагружении. СПФ проявляют существенную чувствительность к виду напряженного состояния и обладают рядом весьма необычных по сравнению с конструкционными сталями, свойств. С целью описания эффекта сверхупругости в теорию введен модифицированный механизм локального деформирования, отражающий основные особенности свойственного СПФ мартенситного превращения. Эффективность этого варианта теории микродеформации подтверждена сравнением с экспериментами независимых авторов на простое и сложное нагружение.

Обобщением результатов диссертационной работы является вариант теории микродеформации, в котором учтены два взаимовлияющих механизма неупругого деформирования: скольжение и двойникование. Этот вариант позволяет более полно описывать как деформирование ряда традиционных конструкционных сталей, так и новых материалов, проявляющих существенную чувствительность к виду напряженного состояния.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием апробированных методов научных исследований, физических и феноменологических положений теории определяющих соотношений; сравнением теоретических построений с результатами классических теорий пластичности и, там, где это возможно, с существующими экспериментальными данными. Результаты работы могут быть использованы в строительстве, машиностроении и металлургии для описания поведения ряда новых материалов, проявляющих существенную чувствительность к виду напряженного состояния.

Ключевые слова: чувствительность к виду напряженного состояния, пластичность поликристаллических тел, сверхупругость, двойникование.

Polishchuk A. S. Modelling of inelastic response of stress state sensitive materials. Manuscript.

Thesis for degree of the candidate of Science in Physics and Mathematics by specialty: 01.02.04 - mechanics of deformable solid. - Dnepropetrovsk National University named after Oles Honchar, Dnepropetrovsk, 2011.

The existing theory of plasticity, (theory of micro strains, based on approach of Kadashevich and Novozhilov) which leads to the initial Von Mises yield condition is generalized to materials exhibiting strength differential by introducing new local deformation law. For practical application of the generalized version of the theory new fully implicit stress update algorithm is proposed and implemented as PC program. Also the selection of experiments which can be used to determine newly introduced material constants is grounded. Theory of micro strains with modified local deformation law is used to the model superelastic response of shape memory alloys under complex loading. Performance of the theory is confirmed by comparison with the experiments of independent authors on proportional and complex loading. The variant of the theory which accounts both slip and twinning mechanisms is proposed in the thesis. It allows for more accurate modeling of both traditional steels and new materials with significant stress state sensitivity. The reliability of the results is guaranteed by proven physical and phenomenological laws and regulations of constitutive mechanics. The results are compared with classical plasticity and if possible, with experiments. The results of the thesis may be used in construction, engineering and metallurgy.

Key words: strength differential, polycrystalline plasticity, superelasticity, twinning.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Чутливість матеріалу до виду напруженого стану в загальному випадку означає залежність характеристик його непружного деформування від співвідношення головних напружень. Така поведінка матеріалу відома давно і має визначну роль, наприклад, в геомеханіці і, навпаки, зазвичай, не враховується при описі деформування традиційних конструкційних сталей. Однак, останні десятиліття в промисловості спостерігається тенденція до використання нових матеріалів, у тому числі металів і сплавів, для яких зазначений ефект є суттєвим (границі текучості при розтягу та стиску можуть відрізнятись в 1.5-2 рази). До таких матеріалів відносяться деякі сплави алюмінію, титану, нікелю, магнію, цинку, міді тощо. Застосування нових матеріалів в сучасних високоточних технологіях машинобудування, медицини, космічної галузі ставить високі вимоги до визначальних співвідношень, які використовуються для розрахунку елементів конструкцій.

Робились спроби описати деформування нових матеріалів в рамках теорій пластичної течії шляхом врахування всіх трьох інваріантів тензору напружень в рівняннях поверхні течії і закону зміцнення матеріалу. Однак, прості феноменологічні теорії пластичності мають ряд відомих недоліків. Так, для опису деяких видів складного навантаження в рамках таких теорій доводиться використовувати спеціальні прийоми і вводити додаткові константи та функції. У результаті, визначальні співвідношення сильно ускладнюються і вимагають чималу кількість базових експериментів для визначення всіх параметрів матеріалу. Також добре відомо, що теорії течії з гладкими поверхнями пластичності не здатні описати непружну поведінку матеріалу в околі точок зламу траєкторії навантаження.

Більш широкі можливості мають теорії пластичності, в яких в тій чи іншій мірі використані фізичні уявлення про реальну мікроструктуру матеріалів. Мікроструктурний підхід в теорії визначальних співвідношень розвивався в роботах вітчизняних та зарубіжних вчених: Дж. Асаро, Ж.П. Бажанта, С.Б. Батдорфа, І.Ф. Беселінга, Б. Будянського, Ю.І. Кадашевича, С.Р. Калідінді, М.Я. Леонова, В.Г. Малініна, В.В. Новожилова, Дж. Райса, К.Н. Русинка, Дж. В. Хатчінсона, Дж. Тейлора, Р. Хілла, Ю.А. Чернякова, М.Ю. Швайка, Ю.М. Шевченка. Однак, питання, що пов'язані з урахуванням впливу виду напруженого стану для такого роду теорій, недостатньо розвинені. Це обумовлено тим, що у мікроструктурних теоріях умова пластичності і закон зміцнення, як правило, не задаються безпосередньо, а випливають із закладених в модель уявлень про мікроструктуру матеріалу.

Інші труднощі при описі нових матеріалів пов'язані з тим, що чутливість їх механічної поведінки до виду напруженого стану часто пов'язана з наявністю механізмів непружного деформування, відмінних від ковзання. Краще за все це твердження ілюструють так звані сплави з пам'яттю форми (СПФ). У цих матеріалах при напруженнях, значно менших, ніж границя пластичності, настає мартенситне фазове перетворення, в результаті якого матеріал здатний одержувати великі (до 30 %) деформації. Фізико-механічні властивості СПФ висвітлені в роботах С.М. Ваймана, В.А. Лихачова, С. Міязакі, М. Токуди, К. Оцуки, а вагомий внесок у створення визначальних співвідношень для СПФ внесли Дж. Г. Бойд, Д.К. Лагудаш, В.І. Левітас, К. Лекселент.

Мартенситне перетворення тісно пов'язане з механічним двійникуванням кристалічної решітки, яке разом з ковзанням, є фундаментальним механізмом утворення непружних деформацій у полікристалічних тілах. Механізм двійникування та його врахування у теорії пластичності розглянуто в роботах П. Ван Хоута, С.Р. Калідінді, А.К. Малмейстера, К.Н. Тома. Однак, слід зауважити, що моделі, в яких враховують і ковзання, і двійникування, зазвичай, будуються на рівні окремих систем ковзання в монокристалах і через свою складність не можуть бути застосовані в реальності.

Викладене свідчить про те, що побудова теорії непружного деформування, яка б описувала чутливість матеріалу до виду напруженого стану та супутні ефекти, в тому числі, при складному навантаженні, є актуальною задачею механіки деформівного твердого тіла.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках індивідуального плану роботи аспіранта та в рамках досліджень, які виконувалися в Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара за держбюджетною науково-дослідною темою № 1-177-09 "Математичне, комп'ютерне та експериментальне моделювання контактних взаємодій і механічної поведінки матеріалу з урахуванням зміни мікроструктури"", номер державної реєстрації № 0109U000122, 2009-2010 рр.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження було розвиток теорії непружного деформування для опису механічної поведінки чутливих до виду напруженого стану матеріалів. Поставлена мета досягається шляхом вирішення наступних завдань:

- огляд досліджень стосовно врахування виду напруженого стану у визначальних співвідношеннях та розвиток підходу Кадашевича - Новожилова (теорія мікродеформації) шляхом узагальнення механізму деформування мікрочастинок;

- побудова неявної схеми числового інтегрування рівнянь теорії мікродеформації та її реалізація у вигляді програми для ПЕОМ;

- вибір базових експериментів для визначення констант матеріалу, що характеризують вплив виду напруженого стану на непружне деформування;

- побудова визначальних співвідношень та експериментальна перевірка модифікованої теорії мікродеформації, в якій механізмом непружного деформування є мартенситне фазове перетворення;

- узагальнення теорії мікродеформації з одночасним урахуванням двох механізмів утворення пластичної деформації: ковзання і двійникування.

Об'єкт дослідження - процеси непружного деформування в матеріалах, що проявляють чутливість до виду напруженого стану.

Предмет дослідження - теорія непружного деформування, яка враховує вплив виду напруженого стану на механічну поведінку матеріалу.

Методи дослідження - відомі методи математичного опису процесів непружного деформування (пластичності і мартенситного перетворення) з урахуванням особливостей мікроструктури матеріалу. У процесі побудови визначальних співвідношень широко використані методи тензорної алгебри та аналізу. Вирішені в роботі задачі зведено до задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь спеціального виду, яку розв'язано за допомогою прямого і оберненого методів Ейлера.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

- запропонований варіант теорії мікродеформації, що враховує всі три інваріанти тензора напружень при описі непружного деформування матеріалу;

- побудована і реалізована у вигляді програми для ПЕОМ неявна схема інтегрування рівнянь теорії мікродеформації, що дозволяє вирішувати задачу знаходження траєкторії деформування по заданій довільній траєкторії навантаження (і навпаки);

- розроблений ряд рекомендацій щодо вибору базових експериментів для визначення параметрів матеріалу, що визначають вплив виду напруженого стану на непружну поведінку матеріалу;

- сформульований і застосований до реальних матеріалів, які проявляють надпружну поведінку, модифікований варіант теорії мікродеформації, що враховує мартенситне перетворення;

- базовий і модифікований варіанти теорії мікродеформації узагальнені на випадок одночасної дії двох механізмів непружної деформації: ковзання і двійникування.

Достовірність одержаних результатів забезпечується використанням відомих апробованих моделей, фізичних і феноменологічних законів теорії визначальних співвідношень; порівнянням теоретичних побудов з результатами класичних теорій пластичності і, там, де це можливо, з існуючими експериментальними даними.

Практичне значення одержаних результатів полягає в розробці ряду узагальнень відомої апробованої теорії мікродеформації, які значно розширюють рамки її застосування, а також в створенні універсальної програми для ПЕОМ, що дозволяє проводити розрахунки в рамках отриманих визначальних співвідношень. Результати роботи можуть бути використані для опису поведінки ряду нових матеріалів в будівництві, машинобудуванні та металургії тощо. Результати дисертації були використані в навчальному процесу Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара при викладанні навчальних дисциплін "Теорія пластичності", "Нелінійна механіка руйнування" .

Особистий внесок здобувача. Основні результати роботи отримані автором самостійно. Постановка наукових завдань і обговорення результатів досліджень проведено разом з науковим керівником, професором Ю.А. Черняковим. Здобувачеві належить ідея введення узагальненого представлення для множини орієнтацій мікрочасток, яка використана для побудови варіанту теорії мікродеформації, що враховує вплив виду напруженого стану [1-3, 12]. У роботах [4, 10] здобувачем побудована і реалізована у вигляді програми для ПЕОМ неявна схема числового інтегрування рівнянь теорії мікродеформації. Спільно з науковим керівником сформульована і вирішена задача про вибір базових експериментів, достатніх для визначення констант матеріалу, що регулюють вплив гідростатичного тиску і кута виду напруженого стану [7, 8]; розрахунки проведені здобувачем самостійно. Постановка задачі про опис надпружної поведінки сплавів з пам'яттю форми [5,9,13] та ідея її вирішення належить науковому керівникові; одержання остаточних рівнянь теорії, проведення розрахунків і верифікація теорії проведені автором самостійно. За такою ж схемою одержані результати робіт [6,11,14], в яких будується узагальнений варіант теорії мікродеформації, що враховує механізми ковзання і двійникування.

Апробація дисертаційної роботи. Результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на 10 міжнародних наукових конференціях:

- Міжнародній науковій конференції "Modelling of Heterogeneous Materials with Applications in Construction and Biomedical Engineering"(Прага, Чехія, 2007);

- Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки та математики" (Львів 2008);

- 5-й і 6-й Міжнародних наукових конференціях "Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла" (сел. Мелекіно, Донецька область, 2008, 2010);

- 8-й, 9-й і 10-й Міжнародних наукових конференціях "Математичні проблеми технічної механіки" (Дніпродзержинськ 2008, 2009, 2010);

- Міжнародній науковій конференції "Advanced problems in Mechanics of Heterogeneous Media and Thin-Walled Structures" (Дніпропетровськ 2010);

- Міжнародній науковій конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (Львів 2010);

- 3-й Міжнародній науковій конференції "Nonlinear Dynamics" (Харків 2010).

У повному обсязі результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на науковому семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи відображені у 14 наукових працях, з яких 5 статей опубліковані у фахових наукових виданнях, затверджених ВАК України, та 9 - у тезах доповідей і матеріалах конференцій.

Структура дисертації. Робота складається зі вступу, 4 розділів, висновків та списку використаної літератури. Повний обсяг дисертації становить 133 сторінки. Дисертація містить 41 рисунок і 1 таблицю. Список використаної літератури містить 134 найменування.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність розробки визначальних співвідношень для матеріалів, характеристики непружного деформування яких залежать від виду напруженого стану, сформульовано мету і завдання дослідження, визначено новизну одержаних результатів, їх наукове і практичне значення, рівень їх достовірності та апробації; наведено відомості про публікації та особистий внесок у них здобувача.

У першому розділі спочатку наводиться огляд відомих результатів, що стосуються врахування впливу виду напруженого стану в теорії пластичності. На його основі в якості параметрів, що характеризують вид напруженого стану, можна обрати кут виду напруженого стану і відношення гідростатичного тиску до інтенсивності дотичних напружень. В простіших теоріях течії можна врахувати вплив цих параметрів на початкову умову пластичності і закон зміцнення шляхом завдання відповідних рівнянь з урахуванням всіх трьох інваріантів тензору напружень. Серед мікроструктурних теорій в цьому контексті інтерес представляє теорія пластичності, що враховує мікродеформації, яка була вперше запропонована в роботах Ю.І. Кадашевича і В.В. Новожилова. Цей варіант теорії приводив до початкової умови пластичності Губера-Мізеса. Однак, самі автори теорії зазначали можливість її узагальнення шляхом розгляду нових локальних механізмів деформації. Спираючись на ці факти, в цьому ж розділі дисертаційної роботи будується узагальнення теорії мікродеформації на випадок чутливості матеріалу до виду напруженого стану.

В узагальненому варіанті теорії макрооб'єм також представляється як множина мікрочастинок з різними границями текучості та тензорами орієнтації . Пластична деформація мікрочастинок (далі мікропластична деформація, або просто мікродеформація) проходить в напрямку їх орієнтації

, (1)

де - інтенсивність швидкості мікропластичної деформації.

Напруження в мікрочастинках (далі мікронапруження) представляються у вигляді сумми активних та внутрішніх напружень:

. (2)

Активні напруження пов'язані із деформуванням самих мікрочастинок і задовольняють локальній умові пластичності:

, (3)

де на відміну від базового варіанту теорії мікродеформації в загальному випадку не дорівнює одиниці.

Внутрішні напруження виникають внаслідок взаємодії мікрочастинок. Закон їх еволюції задається у вигляді

, (4)

де - ядро, яке визначає взаємовплив мікрочастинок з різними орієнтаціями та границями текучості, - щільність розподілу границь текучості.

Непружне деформування широкого класу реальних полікристалічних металів вдалось описати в рамках вибора ядра, запропонованого в работах Ю.І. Кадашевича, В.В. Новожилова і Ю.А. Чернякова. Цей вибір ядра приводить до закону еволюції внутрішніх напружень у вигляді:

(5)

- множина мікрочастинок, в яких проходить активна мікропластична деформація, - константи матеріалу, які відповідають за різні механізми зміцнення.

Пластичні деформації всього макрооб'єму складаються із мікропластичних деформацій всіх частинок:

, (6)

де - для активних і - для решти мікрочастинок.

Пружні деформації задовольняють закону Гука

, (7)

де - тензор пружних жорсткостей.

Замикає систему вищенаведених рівнянь співвідношення типу Крьонера, яке встановлює зв'язок між відхиленнями локальних напружень і пластичних деформацій від відповідних макроскопічних значень:

, (8)

де - константа матеріалу, яка на практиці може бути виражена через інші параметри, які мають більш прозорий фізичний сенс.

Вищенаведені співвідношення утворюють замкнену систему рівнянь з точністю до вибору множини напрямків мікрочастинок і щільності розподілу границь текучості . Питання, пов'язані з розподілом границь текучості, були детально вивчені раніше і в даній роботі не розглядаються. А множина представляє інтерес, оскільки в теорії мікродеформації початкова умова пластичності і закон зміцнення визначаються саме її структурою. Так, в початковому варіанті теорії приймалось

(9)

що призводило до початкової умови пластичності Губера-Мізеса.

Пізніше було детально вивчене більш загальне представлення

, (10)

яке дозволяло врахувати вплив гідростатичного тиску на непружне деформування і приводило до початкової умови пластичності Друкера-Прагера (та Губера-Мізеса при ).

В дисертаційній роботі пропонується узагальнений підхід до задання множини орієнтацій мікрочастинок. Підхід базується на представленні довільного тензору у вигляді суми трьох діад, утворених його головними напрямками, в той час, як раніше девіатор орієнтації мікрочастинки представлявся у вигляді розкладення по базисних векторах п'ятивимірного простору Іллюшина. Найпростіше представлення, яке запропоновано в рамках наведеного узагальнення, має вигляд

, (11)

, ,

, , ,

де - одиничний тензор другого рангу, і - константи матеріалу, які регулюють вплив кута виду напруженого стану і гідростатичного тиску відповідно.

Останнє представлення задає двопараметричне сімейство поверхонь текучості, в якому є можливість врахувати вплив всіх трьох інваріантів тензору напружень (рис. 1):

, (12)

де , , ,

Рис.1. Сліди на площині початкових поверхонь текучості, до яких приводить узагальнений варіант теорії мікродеформації при різних значеннях і .

Можна скористатись і більш загальним виразом, в якому вплив кута виду напруженого стану регулює не константа, а функція :

, (13)

.

В цьому випадку клас поверхонь текучості, які можна одержати, значно розширюється.

З урахуванням наведених узагальнень одержані визначальні співвідношення теорії мікродеформації у стандартному вигляді:

, , (14)

.

де - одиничний тензор четвертого рангу, - тензор пружних жорсткостей,

, , ,

оператор означає інтегрування по всім активним мікрочастинкам, по аналогії з (6).

В другому розділі розглядаються задачі, які, неодмінно, виникають при практичному застосуванні узагальненого варіанту теорії мікродеформації. Так, верифікація, підбір констант матеріалу і, власне, застосування визначальних співвідношень при розв'язку задач механіки деформівного твердого тіла, неодмінно призводять до проблеми знаходження траєкторії деформування для відомої траєкторії навантаження, або навпаки. Зважаючи на непросту структуру визначальних співвідношень теорії мікродеформації, для розв'язання зазначеної задачі необхідно використовувати спеціальні методи.

Завдяки своїй універсальності, останнім часом набувають актуальність числові методи інтегрування визначальних співвідношень, основна ідея яких полягає в розбитті траєкторій напружень і деформацій на малі ділянки. В теорії мікродеформації дискретизується і множина мікрочастинок, завдяки чому всі функції виду можна характеризувати значеннями в дискретному наборі точок. Раніше для інтегрування рівнянь теорії мікродеформації використовувався тільки прямий метод Ейлера, який є досить простим в реалізації, але призводить до швидкого накопичення похибки, що робить актуальним розробку більш досконалих методів. В дисертаційній роботі побудована неявна схема інтегрування визначальних співвідношень узагальненого варіанту теорії мікродеформації.

1. Задаються початкові значення невідомих. Пластичні деформації і змінні стану приймаються рівними значенням з попереднього кроку, . Обчислюється пружний предиктор (він дає нульове наближення напружень). Множина визначається, як множина мікрочастинок, для яких виконана локальна умова пластичності.

2. Обчислюється нове наближення основних невідомих величин:

,

, :

, (15)

, (16)

, (17)

Де

,

,

.

3. Оновлюється множина активних мікрочастинок. Спочатку приймається . Потім до додаються мікрочастинки, для яких стала виконуватись локальна умова пластичності і виключаються ті, для яких за результатами попереднього кроку , або вже не виконується локальна умова пластичності.

4. Перевіряється умова збіжності:. Якщо вона виконана, то ітераційний процес завершується і дали розглядається наступна ділянка траєкторії.

5. Наступна ітерація , і перехід до кроку 2.

Проведені дослідження показали, що при однакових вимогах до точності неявна схема інтегрування дає виграш у швидкості близько 30% у порівнянні з явною, яка використовувалась раніше. Виграш від використання неявної схеми збільшується при посиленні вимог до точності, що актуально при розгляді процесів складного навантаження.

Інша задача, яка неодмінно виникає на практиці, пов'язана з визначенням констант матеріалу. В базовому варіанті теорії мікродеформації 5 скалярних констант. Вони визначаються за відомою схемою на основі методу перебору. Запропоновані в першому розділі узагальнення вводять в теорію дві додаткові константи (або константу і функцію), які регулюють вплив гідростатичного тиску та кута виду напруженого стану на початкову умову пластичності та закон зміцнення матеріалу.

Спеціальні експерименти для безпосереднього визначення зазначених вище констант відомі, але вони досить складні і рідко проводяться. Тому на практиці, зазвичай, використовують експериментальні діаграми напруження - деформації для найбільш простих видів навантаження (одноосьовий розтяг, стиск, кручення тощо…). Однак тут виникає проблема: ефекти, пов'язані з чутливістю до виду напруженого стану (в тому числі різниця жорсткості при розтягу та стиску), можуть бути викликані як впливом гідростатичного тиску, так і впливом кута виду напруженого стану. Це твердження ілюструють два варіанти вибору констант матеріалу в теорії мікродеформації. В першому випадку враховується вплив гідростатичного тиску , , , , , . В другому випадку - кута виду напруженого стану, , , , , , .

Відповідні розрахункові діаграми зображені на рис. 2. Цікаво, що експеримент на кручення також не дозволяє вирішити проблему визначення констант. В той час, як експерименти на двоосьовий розтяг або стиск є досить ефективними. Якщо проаналізувати початкові поверхні текучості (рис. 2), то можна зробити висновок, що будь-які експерименти на сумісний розтяг/стиск та кручення тонкостінної трубки виявляються неефективними.

На практиці можуть бути відсутні і необхідні експерименти на просте навантаження. В цих випадках доводиться використовувати для калібровки теорії частину з доступних експериментів на складне навантаження. Такий підхід, на перший погляд, не викликає сумніву. Однак проведені розрахунки (рис. 3) показують, що, наприклад, експерименти на складне навантаження по дволанковим траєкторіям із різними кутами зламу також не є ефективними. Таким чином, ефективність експериментів на складне навантаження необхідно обґрунтовувати в кожному конкретному випадку.

Рис. 2. Діаграми одноосьового розтягу, стиску (зліва) та початкові поверхні текучості (справа) для двох різних наборів констант матеріалу.



Рис. 3. Дволанкові траєкторії навантаження і відповідні розрахункові траєкторії деформування для двох варіантів вибору констант матеріалу

Проведені розрахунки приводять до висновку, що експерименти, для яких траєкторії навантаження лежать в ІІ та ІV чвертях площини , не будуть ефективними, на відміну від експериментів з траєкторіями в першій та третій чвертях, які можуть бути використані для визначення параметрів матеріалу, що регулюють вплив виду напруженого стану.

В третьому розділі дисертаційної роботи розглядається застосування узагальненого варіанту теорії мікродеформації до реальних матеріалів. Розглядаються, так звані, сплави з пам'яттю форми (СПФ) - широка група сплавів, які завдяки спеціальному кристалічному перетворенню (так зване, мартенситне перетворення) можуть набувати великих зворотніх деформацій. Інтерес до цих матеріалів в роботі пов'язаний з тим, що вони проявляють суттєву чутливість до виду напруженого стану. З мартенситним перетворенням пов'язані два основні ефекти, які характерні для сплавів з пам'яттю форми: надпружніть и повний ефект пам'яті форми. В дисертаційній роботі розглядається надпружна поведінка СПФ (рис. 4), яка полягає в тому, що матеріал після навантаження до напружень, які значно перевищують границю пропорційності, та після зняття навантажень без будь-яких зовнішніх впливів повертається до початкового недеформованого стану.

Наявність таких виняткових властивостей у СПФ стала причиною їх активного впровадження в промисловість одразу після їх відкриття в середині XX століття. Зараз їх використовують при створенні супутникових антен, в технології холодного зварювання, при побудові так званих інтелектуальних споруд, виробництві температурних датчиків, високоефективних пружин та акумуляторів механічної енергії.

Практичне застосування СПФ стало причиною створення цілого ряду моделей для опису їх механічної поведінки, в тому числі, надпружного деформування. Існуючі моделі можна умовно розділити на дві великі групи: феноменологічні та мікромеханічні. Моделі, що відносяться до першої групи, зазвичай, будуються шляхом узагальнення теорії течії і мають відповідні переваги та недоліки. Мікромеханічні моделі мають досить широкі можливості: можуть бути використані як для опису непружного деформування, так і для моделювання утворення деформаційної текстури. Однак ці моделі створюються з урахуванням окремих систем ковзання в монокристалах і є надто складними, щоб застосувати їх до реальних елементів конструкцій. Теорія мікродеформації, звісно, теж є більш складною, ніж, наприклад, теорії течії, однак є позитивний досвід її застосування при постановці та розв'язку крайових задач і задач теорії стійкості, в тому числі, методом скінчених елементів. Зважаючи на це, є доцільним створення модифікації теорії на випадок надпружної поведінки матеріалу.

Основним механізмом непружного деформування, на відміну від базового варіанту теорії, тепер є мартенситне перетворення. При цьому враховуються дві основні його властивості: обмеженість і зворотність. На мікрорівні задається локальний закон перетворення:

, , . (18)

Необхідні умови перетворення мають вигляд: - для прямого перетворення і - для зворотнього перетворення. Мікронапруження, як і раніше, представляються у вигляді суми активних і внутрішніх напружень.

, (19)

де нижній індекс "" означає, що величина задана по різному для прямого і зворотнього перетворень.

Новий закон еволюції враховує взаємовплив процесів прямого і оберненого перетворень:

(20)

Для опису чутливості матеріалу до виду напруженого стану використовуються узагальнення, запропоновані в першій главі роботи. Варіант теорії для опису надпружної поведінки включає 11 констант матеріалу, які включають 2 пружні константи і 2 константи, які необхідні тільки для опису циклічного навантаження. Варіант теорії зводиться до стандартних визначальних співвідношень у швидкостях. Для їх числового інтегрування використовується варіант неявної схеми з другої глави. Верифікація теорії проводилась шляхом порівняння розрахунків з двома серіями експериментів незалежних авторів: експерименти Бувета (2002) зі сплавом і експерименти Грабе (2009) з поширеним СПФ - нікеліном титану (). Результати порівняння теорії з експериментами Грабе наводяться нижче.



Рис. 4. Кручення з наступним розвантаженням

Основні константи теорії визначені з експериментальної діаграми кручення В цій серії експериментів навантаження велось за жорсткою схемою, тобто задавалась траєкторія деформування, а відповідні напруження фіксувалися спеціальними датчиками. Тут і далі пунктирна лінія відповідає експериментальним даним, а суцільна - результатам розрахунків. (рис. 4) з наступним розвантаженням: ГПа, , МПа, МПа, МПа, МПа, , , , . Для визначення констант, що регулюють вплив виду напруженого стану, додатково використана діаграма на складне навантаження по круговій траєкторії (рис. 5). Решта експериментів (рис. 6, 7) служить для верифікації теорії. Важливо зазначити, що у всіх цих експериментах траєкторія деформування є багатоланковою, включає розвантаження по деформаціям в кінці і проходить через всі чотири чверті площини . Це дозволяє зробити висновок, що такі експерименти забезпечують комплексну перевірку як можливості теорії враховувати чутливість матеріалу до виду напруженого стану, так і її здатність описувати специфіку надпружної поведінки. Порівняння з експериментам показало, що теорія описує всі якісні особливості поведінки матеріалу. Кількісне відхилення може бути пов'язане з недосконалістю як теорії, так і самих експериментів. Останній фактор є особливо актуальним при розгляді надпружної поведінки СПФ у зв'язку з необхідністю точного температурного контролю при проведенні експерименту.

Рис. 5. Складне навантаження по круговій траєкторії.

Рис. 6. Складне навантаження по прямокутній траєкторії



Рис. 7. Складне навантаження по траєкторії у формі піщаного годинника

В четвертому розділі дисертаційної роботи проводиться узагальнення результатів роботи. Класичні теорії пластичності, в тому числі і базовий варіант теорії мікродеформації, описують пластичні деформації, що виникають завдяки механізму ковзання. Однак поряд з ковзанням відомий ще один механізм утворення непружних деформацій - це механічне двійникування. Його справедливо не враховують в класичних теоріях пластичності, оскільки в традиційних конструкційних сталях воно наступає при напруженнях, які значно перевищують границю текучості.

В контексті даної роботи двійникування представляє особливий інтерес. Перш за все, двійникування решітки, по своїй суті, залежить від виду діючого зусилля (розтяг чи стиск). Причому в матеріалах, які проявляють суттєву чутливість до виду напруженого стану, двійникування часто наступає при напруженнях, менших, ніж границя текучості. Цікаво і те, що розглянуте в третьому розділі мартенситне перетворення також відбувається за рахунок двійникування кристалічної решітки. Зважаючи на вищесказане, можна зробити висновок, що сумісне врахування двійникування і ковзання є актуальним для більш повного опису механічної поведінки як традиційних, так і нових металів і сплавів.

На мікрорівні задаються механізми ковзання і двійникування:

, , , , (21)

(22)

До розгляду вводяться множини мікрочастинок, в яких проходить ковзання , двійникування та роздвійникування :

,

, (23)

.

Закони еволюції, які враховують взаємовплив механізмів ковзання та двійникування, мають вигляд:

, (24)

, (25)

Введення в теорію двох взаємодіючих механізмів деформування на рівні мікрочастинок значно ускладнює її. Однак структура остаточних визначальних співвідношень у швидкостях залишається такою ж, як і раніше. Для їх числового інтегрування може бути використана неявна схема із глави 2 після відповідного узагальнення.

На рис. 8 зліва показана експериментальна (Мак Кормік, 2006) і теоретична діаграми одноосьового розтягу зразка з нікеліду титану. Важливо, що така складна крива не є результатом використання інтерполяції і витікає виключно із закладених в теорію локальних механізмів деформації. На рис. 8 справа зображені теоретичні діаграми при різних видах пропорційного навантаження з наступним розвантаженням до нульових напружень. Видно, що наявність як зворотніх, так і незворотніх деформацій суттєво впливає на поведінку матеріалу. Проведені в дисертаційній роботі розрахунки при складному навантаженні також підтверджують останній висновок.

Рис. 8. Одноосьовий розтяг (теорія та експеримент) зліва та порівняння теоретичних діаграм при різних видах пропорційного навантаження справа

Висновки

Основні результати та висновки дисертаційної роботи полягають в наступному:

1. Узагальнення теорії мікродеформації на випадок чутливості матеріалу до виду напруженого стану проведене за рахунок введення загального представлення множини орієнтацій мікрочастинок. Це представлення дозволяє одержувати широкий клас початкових умов пластичності, що до сих пір було характерним виключно для простих теорій течії з гладкими поверхнями текучості.

2. Запропоноване представлення множини орієнтацій мікрочастинок встановлює тісніший зв'язок між розглянутими раніше окремими варіантами теорії мікродеформації та частковими випадками інших мікроструктурних теорій, дозволяючи одержувати їх шляхом завдання універсальних функцій і без перебудови визначальних співвідношень.

3. Обернений метод Ейлера може бути використаний для вирішення задачі інтегрування визначальних співвідношень теорії мікродеформації і є більш ефективним, ніж прямий метод.

4. Ефекти, які властиві чутливим до виду напруженого стану матеріалам, можуть бути в однаковій мірі пов'язані як із впливом гідростатичного тиску, так і виду девіатору напруженого стану. У зв'язку з цим, необхідно ретельно обґрунтовувати вибір експериментів, які використовуються для визначення параметрів матеріалу, що відповідають за врахування чутливості до виду напруженого стану.

5. Експерименти, для яких траєкторії навантаження знаходяться в ІІ та ІV чвертях площини , є неефективними, на відміну від експериментів з траєкторіями в першій та третій чвертях, які можуть бути використані для визначення параметрів матеріалу, що регулюють вплив виду напруженого стану.

6. Теорія мікродеформації спроможна описати надпружне деформування сплавів з пам'яттю форми при складному навантаженні за рахунок врахування двох основних властивостей мартенситного перетворення (обмеженість та зворотність) на рівні локальних законів деформації мікрочастинок. Це також підтверджує, що представлення мікроструктури матеріалу, запропоноване Ю.І. Кадашевичем та В.В. Новожиловим може бути використане для опису деформування принципово нових матеріалів та відповідних ефектів.

8. Базовий та модифікований варіанти теорії мікродеформації можуть бути об'єднані в одну модель, яка враховує взаємовплив двох механізмів утворення непружних деформацій - ковзання і двійникування. Загальна структура визначальних співвідношень об'єднаної моделі залишається такою ж, як і в базовому варіанті.

9. Одночасне врахування ковзання та двійникування дає можливість більш повно описувати непружне деформування широкого класу як традиційних, так і нових матеріалів.

Список опублікованих робіт за темою дисертації

1. Полищук А. Об учете третьего инварианта в теории микродеформации / А. Полищук, Ю. Черняков // Современные проблемы механики и математики: Международная научная конференция. - Львов. - 2008. - С. 104-106.

2. Полищук А.С. Обобщенный вариант теории микродеформаций / А.С. Полищук, Ю.А. Черняков // Теоретическая и прикладная механика. - 2008. - Вып. 44. - С. 158-163.

3. Полищук А.С. Унификация определяющих соотношений микроструктурных теорий неупругого деформирования / А.С. Полищук, Ю.А. Черняков // Міжнародна наукова конференція. Математичні проблеми технічної механіки, 21-24 квітня 2008 року. - Дніпропетровськ-Дніпродзержинськ. - 2008. - C. 25-26.

4. Полищук А.С. Неявная схема численного интегрирования уравнений теории микродеформации / Полищук А.С. // Вестник Днепропетровского университета. Механика. - 2009. - 17, №.5. - С. 138-147.

5. Полищук А.С. Вариант теории микродеформации для сверхупругих материалов / А.С. Полищук, Ю.А. Черняков // Вісник Запорізького національного університету. Фізико-математичні науки. - 2009. - №1. - С. 174-181.

6. Полищук А.С. Вариант теории пластичности, учитывающий деформацию двойникованием / А.С. Полищук, Ю.А. Черняков // Міжнародна наукова конференція. Математичні проблеми технічної механіки, 20-23 квітня 2009 року. - Дніпродзержинськ-Дніпропетровськ. - 2009. - C. 52.

7. Поліщук О. Деякі питання ідентифікації параметрів в теорії пластичності для матеріалів, чутливих до виду напруженого стану / О. Поліщук, Ю. Черняков // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: Міжнародна наукова конференція. - Львів. - 2010. - С. 493-494.

8. Полищук А.С. Некоторые вопросы верификации теорий пластичности для металлов с различным сопротивлением растяжению и сжатию / А.С. Полищук, Ю.А. Черняков // Математичні методи та фізико-механічні поля. Наук. журнал. - Львів. - 2010. - Том 53, № 4. - С. 96 - 106.

9. Полищук А.С. Описание сверхупругого поведения сплавов с памятью формы с помощью теории микродеформации / А.С. Полищук // Міжнародна наукова конференція. Математичні проблеми технічної механіки, 19-22 квітня 2010 року. - Дніпродзержинськ. - 2010. - С. 57.

10. Полищук А.С. Применение неявной схемы интегрирования в теории микродеформации, учитывающей двойникование / А.С. Полищук, Ю.А. Черняков // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Международная научная конференция. - Донецк. - 2010. - С. 75-79.

11. Полищук А.С. Учет двойникования в теории микродеформации / А.С. Полищук, Ю.А. Черняков // Доп. НАН України. - 2010. - №4. - С. 67-72.

12. Chernyakov Yu.A. The theory of Plasticity, Involving Micro Strains: Modelling of Inelastic Deformation of Geomaterials / Yu. A. Chernyakov, A.S. Polishchuk, V.P. Shneider // Modelling of Heterogeneous Materials with Application in Construction and Biomedical Engineering: ECCOMAS Thematic Conference hosted by the Czech Technical University, 25-27 June 2007. - Prague. - 2007. - P. 278-279.

13. Chernyakov Yu.A. Modelling superelastic response of shape memory alloys subjected to complex loading / Yu.A. Chernyakov, A.S. Polishchuk // Advanced problems in Mechanics of Heterogeneous Media and Thin-Walled Structures. - Dnipropetrovs`k. - 2010. - P. 97-113.

14. Chernyakov Yu.A. On accounting for deformation by twinning in the theory of microstrains / Yu.A. Chernyakov, A.S. Polishchuk // Nonlinear dynamics: proceedings of international conference. - Kharkov. - 2010. - P. 473-477.

Размещено на Allbest.ru

...