Неусталені режими сумісного руху резервуару еліпсоїдальної форми, частково заповненого рідиною

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 532.595

НЕУСТАЛЕНІ РЕЖИМИ СУМІСНОГО РУХУ РЕЗЕРВУАРУ ЕЛІПСОЇДАЛЬНОЇ ФОРМИ, ЧАСТКОВО ЗАПОВНЕНОГО РІДИНОЮ

01.02.01 - Теоретична механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Ружицький Ігор Сергійович

Київ - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:	доктор технічних наук, професор Лимарченко Олег Степанович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри механіки суцільних середовищ
Офіційні опоненти:	член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Нікішов Володимир Іванович, Інститут гідромеханіки НАН України, заступник директора з наукової роботи; кандидат фізико-математичних наук, доцент Подчасов Микола Павлович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, старший науковий співробітник відділу теорії коливань.

Захист відбудеться «____» _____________ 2011 року о ___ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий «____» ________________ 2011 року.

Вчений секретарспеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук Г.П. Пелюх

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена розвитку теорії хвильового руху рідини з вільною поверх-нею в резервуарі еліптичної форми у випадку різних кінематичних та динамічних типів збурення системи, включаючи режим кругової хвилі, що приводять до прояву нелінійних ефектів, і орієнтована переважно на дослідження перехідних процесів. Вивчення вказаного класу задач зумовлено потребами машинобудуван-ня і, насамперед, авіаційної та космічної техніки. Раніше такі задачі досліджу-валися переважно на основі лінійних моделей, а також нелінійних моделей для ре-зервуарів лише циліндричної форми. Дослідження останніх років показали, що формальне перенесення результатів на випадок нециліндричних баків призводить до математичних протиріч і не дозволяє одержати фізично достовірні результати.

Найбільш вагомі результати у нелінійному моделюванні динаміки тіл з рі-диною із вільною поверхнею було отримано в роботах І.Б. Богоряда, Р.Ф. Ганієва, Л.В. Докучаєва, І.О. Луковського, Г.Н. Мікішєва, О.С. Лимарченка, М.М. Моісе-єва, Г.С. Нариманова, Д.Є. Охоцимського, В.Д. Кубенка, П.С. Ковальчука, О.М. Ти-мохи, В.І. Столбецова, Б.І. Рабіновіча, В.П. Шмакова, H. Bauer, J. Miles, R. Ibrahim та інших авторів, а також в роботах багатьох інших вітчизняних та закордонних вчених.

Актуальність теми. Дослідження нелінійних коливань рідини з вільною поверхнею для випадку сумісного руху нециліндричного резервуару та зарод-ження в ньому кругової хвилі представляє великий теоретичний та практичний інтерес та активно розвивається. Резервуари з рідиною є невід'ємною складовою частиною космічних апаратів з рідинним ракетним двигуном, літаків, гелікопте-рів, нафтосховищ та реакторів, а також використовуються в хімічній та нафто-хімічній промисловості. Такі системи знаходяться в складних умовах дії вібра-ційних, імпульсних, сейсмічних, вітрових та інших навантажень. Врахування ру-хомості рідини з вільною поверхнею є домінуючим фактором, який визначає ди-наміку руху таких технічних об'єктів, що вкрай важливо для ракетно-космічних систем, оскільки відносна маса рідини може сягати 90%. Разом з тим, цей на-прямок є вивченим недостатньо і чисельних результатів для таких задачах у сучасній літературі мало. Хоч задачі про коливання рідини в резервуарах є кла-сичними і вивчались протягом багатьох років, але переважна більшість рез-ультатів отримана або в рамках лінійної теорії визначення частот і форм коли-вань, або для резервуарів циліндричної форми. Крім того, в більшості випадків припускається, що рух резервуара заданий. Дослідження останніх років показали, що найбільш ефективним для задач про сумісний рух системи резервуар-рідина є застосування варіаційних методів. Історично нелінійні задачі динаміки резервуарів з рідиною розвивалися на основі методу збурень в диференціальній та варіаційній формах. Особливо визначні результати при дослідженні динаміки нециліндричних резервуарів з рідиною отримали І.О. Луковський, О.С. Лимар-ченко, Г.С. Нариманов, Л.В. Докучаєв, І.Б. Богоряд, Р.Ф. Ганієв, В.А. Троценко, О.М. Тимоха, М.Я. Барняк, В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук, Г.Н. Мікішєв, І.Т. Се-лезов М.М. Мойсеєв, В.І. Столбецов, А.А. Петров, J. Miles, H. Bauer, O. Faltinsen, O. Rognebakke. В роботах цих вчених було використане як класичне застосування принципу Гамільтона-Остроградського, так і некласичне на основі варіаційного принципу Бейтмена. Варіаційні алгоритми у поєднанні з методами модальної де-композиції дозволяють будувати нелінійні дискретні моделі коливань рідини, які пройшли апробацію у багатьох випадках кінематичного та динамічного збуджен-ня руху (періодичні та нестаціонарні режими). Використання цих методів для ви-падку резервуарів нециліндричної форми показало, що необхідним є:

Введення недекартової параметризації області, яку займає рідина.

Виконати побудову моделі, яка включає достатньо велику кількість форм коливань рідини особливо для випадку вивчення нестаціонарних режимів.

Забезпечити виконання умов розв'язності крайової задачі про коливання рі-дини уточненим задоволенням умов неперетікання рідини на стінках ре-зервуара, включаючи неперетікання не лише на змочуваній в незбуреному стані бічній поверхні резервуара, а і на деякому її продовженні, куди можуть сягати гребені хвиль в процесі збуреного руху.

Розвинути алгоритми і методи контролю точності розв'язків, включаючи контроль виконання законів збереження та симетрії.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є:

Побудувати ефективну скінченновимірну нелінійну модель системи для до-слідження коливань рідини в резервуарі, що має форму еліпсоїда обертан-ня, зокрема, на основі вимог умов розв'язності задачі, які еквівалентні ви-конанню умов неперетікання рідини на стінках резервуара, включаючи умо-ву неперетікання не лише на змочуваній в незбуреному стані бічній по-верхні резервуару, а і на деякому її продовженні, куди можуть досягати гре-бені хвиль в процесі збуреного руху, і збереження об'єму рідини.

Дослідити типові режими руху системи та виявити особливості поведінки системи для випадку резервуарів еліптичної форми.

Дослідити особливості зародження кругової хвилі на поверхні рідини в еліптичному резервуарі та особливості розвинення сумісного руху рідини і резервуару в нестаціонарних режимах.

В ході роботи необхідно було виконати наступні завдання:

Переглянути постановку задачі про коливання рідини для нециліндричного резервуару та методи її розв'язання з точки зору уточненого задоволення умов розв'язності задачі для випадку еліпсоїда обертання.

Побудувати ефективну модель дослідження динаміки рідини з вільною по-верхнею в еліптичному резервуарі та виконати чисельну реалізацію даного алгоритму.

На основі розв'язання групи тестових задач дослідити достовірність отри-маної моделі, меж її застосування, точність задоволення граничних умов і виконання законів симетрії і збереження енергії.

Дослідити хвильові процеси в рухомому та нерухомому еліптичних баках при кінематичному та динамічному збудженні руху. Проаналізувати нелі-нійні властивості утворення хвиль та особливості розвинення коливання рі-дини при нестаціонарних режимах руху.

Дослідити особливості зародження кругової хвилі на поверхні рідини в еліптичному резервуарі і вплив рідинного наповнення резервуару на рух еліптичного резервуару в режимі кругової хвилі.

Об'єктом дослідження даної роботи є механічна система, що складається з еліптичного резервуару та рідини, що його частково заповнює, в перехідних ре-жимах сумісного руху системи в нелінійному діапазоні зміни параметрів, зокрема, режим зародження кругової хвилі.

Предметом дослідження є розробка ефективної достовірної нелінійної скінченновимірної моделі динаміки сумісного руху резервуару еліптичної форми і рідини, яка частково його заповнює, і дослідження на її основі перехідних про-цесів у випадку нестаціонарних режимів руху, включаючи режим зародження кругової хвилі на вільній поверхні рідини.

Метод дослідження базується на сукупному застосуванні аналітичних методів нелінійної механіки, варіаційних методів математичної фізики до меха-нічної задачі у варіаційному формулюванні; опис задачі здійснюється з викори-станням недекартової параметризації області, яку займає рідина. Для виконання умов розв'язності задачі і побудови координатних функцій, які задовольняють умову неперетікання не лише на змочуваній у незбуреному стані твердій границі, а і на певному подовженні бічної поверхні резервуару, куди сягають гребені хви-лі, застосовано метод допоміжної області. На основі аналітичного виключення всіх кінематичних в'язей до розв'язання варіаційної задачі отримано нелінійну дискретну модель мінімальної розмірності, яку одержуємо для еліптичного резер-вуару на основі сукупного застосування класичного варіаційного принципу Га-мільтона-Остроградського і методу модальної декомпозиції.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що:

Розроблено методику побудови нелінійної моделі динаміки рідини в резер-вуарах еліптичної форми, орієнтовану на дослідження перехідних процесів динаміки сумісного руху еліптичного резервуару і рідини з вільною поверх-нею.

На основі тестових прикладів і порівняння з відомими результатами інших авторів показано переваги побудованого алгоритму розв'язання задачі по точності задоволення кінематичних умов і умов розв'язності крайової за-дачі, виконання законів збереження та симетрії для випадку нециліндрич-ного резервуару у формі еліпсоїда обертання і можливостей моделювання задач сумісного руху системи.

Розглянуто клас задач про кінематичні і динамічні режими збудження руху рідини у еліптичному резервуарі, досліджено нелінійні властивості утворен-ня хвиль та особливості розвинення коливання рідини і резервуару при не-стаціонарних режимах руху.

Досліджено особливості зародження кругової хвилі на поверхні рідини в еліптичному резервуарі і вплив рідинного наповнення на рух еліптичного резервуару в режимі кругової хвилі.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується коректністю постановки задачі, контролем точності виконання граничних умов, умов розв'язності задачі, законів симетрії та збереження енергії, маси, а також порівнянням одержаних ре-зультатів з результатами інших авторів, включаючи експериментальні результати.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження виконано відповідно до плану науково-дослідної теми кафедри меха-ніки суцільних середовищ Київського національного університету імені Тараса Шевченка: „Якісні та аналітичні методи дослідження і моделювання нелінійних систем та фізико-механічних полів” (номер державної реєстрації 0106U005863, 2006-2010) та до плану науково-дослідницької теми відділу Динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України: „Розробка і дослід-ження некласичних математичних моделей динаміки багатовимірних механічних систем типу „тверде тіло-рідина” (номер державної реєстрації 0111U001031, 2011-2015).

Практична цінність отриманих результатів. Розвинені методи і алгоритми, а також одержані результати чисельного моделювання, можуть бути застосовані для аналізу прикладних задач динаміки авіаційних і космічних систем, систем пов'язаних з транспортуванням рідких вантажів, з розробкою алгоритмів керу-вання і аналізом розвинення процесів сумісного руху рідини і резервуару при нестаціонарних режимах, а також для пояснення і прогнозування складних проце-сів хвилеутворення та взаємодії компонент у системі еліптичний резервуар-рі-дина, включаючи режим кругової хвилі.

Особистий внесок дисертанта. Представлені до захисту результати були от-римані здобувачем особисто. В опублікованих у співавторстві з науковим керів-ником роботах дисертанту належить реалізація алгоритму для випадку еліптично-го резервуару, чисельна реалізація методу, дослідження групи тестових і приклад-них задач по аналізу динаміки явищ, що спостерігаються в системі, дослідження зародження кругової хвилі в еліптичному резервуарі, а також формулювання уза-гальнених властивостей в системі і висновків по роботі. Науковому керівнику О.С. Лимарченку належить постановка задачі, ідея методу та участь в обговоренні і систематизації одержаних результатів.

Апробація роботи. Наукові та практичні результати були розглянуті на семі-нарах та міжнародній науковій конференції.

Основні результати по темі дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній науковій конференції „Аналітичні методи механіки і комплексного аналізу”, Київ, 29 червня - 5 липня 2009 та науковій конференції молодих вчених „Хвильові задачі гідродинаміки”, Київ, 5 жовтня - 6 жовтня 2010.

Результати по темі дисертації доповідались і були підтримані на: семінарі ка-федри механіки суцільних середовищ Київського національного університету імені Тараса Шевченка механіко-математичного факультету під керівництвом професора Л.В. Мольченка (м. Київ, травень 2010); семінарі відділу гідродинаміки хвильових процесів Інституту гідромеханіки НАН України під керівництвом про-фесора І.Т. Селезова (м. Київ, травень 2010); семінарі “Сучасні проблеми механі-ки” Київського національного університету імені Тараса Шевченка під керівниц-твом професора В.В. Мелешка (м. Київ, червень 2010); Республіканському семі-нарі при Інституті гідромеханіки НАН України під керівництвом академіка НАН України В.Т. Грінченка (м. Київ, червень 2010); спільному семінарі відділу ди-ференціальних рівнянь та теорії коливань та відділу динаміки та стійкості багато-вимірних систем Інституту математики НАН України під керівництвом академіка НАН України А.М. Самойленка (м. Київ, березень 2011).

Публікації. По темі дисертації опубліковано 5 праць, з них 4 роботи -- у вітчизняних фахових виданнях [1-4] , які входять до переліку ВАК України, і 1 -- у збірнику тез міжнародної конференції [5].

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновку та списку використаних літературних джерел, який нараховує 217 найменувань на 27 сторінках. Повний обсяг дисертації становить 133 сторін-ки, з них 106 сторінок займає основний текст, включаючи 27 рисунків та 4 табли-ці

Автор висловлює глибоку вдячність науковому керівникові професору Олегу Степановичу Лимарченку за постановку задачі та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної теми, проаналізовано су-часний стан наукової проблеми, якій присвячено дисертаційну роботу, сфор-мульовано положення, що виносяться на захист.

В першому розділі подано стислий огляд літератури з дослідження коливань системи резервуар-рідина. Виконано аналіз аналітичних методів у нелінійній динаміці рідини з вільною поверхнею.

Рис. 1. Прийняті позначення

В другому розділі, на основі варіаційного принципу Гамільтона-Остро-градського, наведено математичну модель динамічної системи, яка складається із двох взаємодіючих компонентів: еліптичного резер-вуару та рідини, яка його частково заповнює. Прове-дено постановку задачі з використанням недекартової параметризації еліптичної області, яку займає рідина. Припускаємо, що резервуар здійснює поступальний рух під дією активних зовнішніх сил, рідина є ідеальною, однорідною, нестисливою і в початковий момент часу рух її безвихровий. Крайову задачу про рух ідеальної нестисливої рідини в рухомому резервуарі можна представити так:

, в ; , на ;

, на ; , на (1)

Рух описуємо в декартовій системі координат Oxyz, яка зв'язана з резервуаром. Для задачі введено такі позначення: ц Ї потенціал швидкостей рідини; -- об-ласть, яку займає рідина; Ї зовнішня нормаль до поверхні, індекс «0» вказує, що поверхня або область розглядаються в незбуреному стані; Ї рів-няння вільної поверхні рідини, S Ї збурена вільна поверхня рідини; Ї збурена змочена межа області ( Ї зміна поверхні контакту рідини, яка викликана збуренням руху, ), Ї збурення вільної поверхні рідини, =gz Ї по-тенціальна енергія зовнішніх сил, що діють на рідину, Ї рівняння твірної порожнини, задане в циліндричній системі координат, H Ї глибина рідини, а співпадає з незбуреною вільною поверхнею рідини.

Математичне формулювання (1) динаміки системи резервуар-рідина з віль-ною поверхнею є сукупністю кінематичних і динамічної граничних умов. Кінема-тичні умови розглядаються як механічні в'язі, які накладають обмеження на ва-ріації невідомих при описі механічної системи на основі принципу Гамільтона-Остроградського. При цьому динамічні граничні умови випливають з варіаційно-го принципу Гамільтона-Остроградського як природні.

Нелінійність крайових умов на вільній поверхні та невідомий закон зміни в часі вільної поверхні та області визначення потенціалу швидкостей рідини ство-рюють основну складність для розв'язання нелінійних крайових задач гідро-динаміки обмеженого об'єму рідини із вільною поверхнею. Для опису руху рі-дини так само, як і в роботах інших авторів, вводиться недекартова пара-метризація області, яку займає рідина :

(2)

Центр системи координат знаходиться в центрі незбуреної вільної поверхні ріди-ни, вісь Oz направлена вгору, Ї система циліндричних координат, яка за-мінюється на нову недекартову (; і в незбуреному стані --). У прийнятій недекартовій системі координат область, яку займає рідина, набуває циліндричної форми, але метрика цієї області вже не-евклідова. У старих змінних рівняння вільної поверхні представити у ви-гляді неможливо, а в новій параметризації існує представлення рів-няння вільної поверхні рідини, в розв'язаному відносно координати таке, що:

або (3)

Далі це дозволяє застосувати методи теорії збурень і метод Канторовича для побудови нелінійної скінченновимірної моделі динаміки резервуару з рідиною.

Розклади змінних шукаємо у вигляді:

де (4)

а формулювання лінійної спектральної задачі буде:

на ф; на ; на S0;. (5)

Зауважимо, що система функції повна на .

Варіаційне формулювання задачі динаміки системи можна отримати на основі варіаційного принципу Гамільтона-Остроградського

I = 0, де , , (6)

де Ї густина рідини, Ї маса резервуару, Ї маса рідини, Ї при-скорення вільного падіння. Для розв'язання задачі використовуються прямі ме-тоди математичної фізики, зокрема, метод Канторовича.

Отже, для побудови дискретної моделі здійснюється:

побудова системи координатних функцій, що задовольняють умові розв'язнос-ті задачі,

вибір амплітуд збурення форм коливань і параметрів руху резервуару як не-залежних параметрів, що характеризують рух рідини з вільною поверхнею,

перехід від континуальної системи до дискретної (для системи невільної)

виключення кінематичної граничні умови на вільній поверхні,

побудова функції Лагранжа, що відповідає вільній системі.

Схема побудови дискретної моделі включає два етапи перетворення функції Лагранжа та може бути представлена так:

,

що ілюструє перехід спочатку від континуальної системи до дискретної (система невільна), а потім, виключаючи кінематичні граничні умови на вільній поверхні, отримуємо функцію Лагранжа, яка відповідає числу ступенів вільності системи.

На відміну від випадку, коли резервуар має циліндричну форму,

треба вводити недекартову параметризацію області, що займає рідина;

умови розв'язності задачі, які за своїм характером є кінематичними обмеженнями, і повинні бути виконані до реалізації варіаційної задачі;

система координатних функцій, за якими відбувається розклад потенціалу швидкостей, наближено задовольняє не лише умову неперетікання на змо-чуваній границі, а й умови неперетікання на певному продовженні змочу-ваної межі області рідини, куди можуть сягати гребні хвиль;

специфікою задачі є введення в розклади (4) функції , яка з'являється через необхідність задоволення умови збереження об'єму рідини в її збуре-ному русі для нециліндричної області.

в розв'язок входить сукупність геометричних нелінійностей, яка приводить до додаткової нелінійної взаємодії між формами коливань.

У третьому розділі на основі аналізу умов розв'язності поставленої задачі сформульовано модифіковану задачу про визначення власних чисел та коорди-натних функцій для розв'язання нелінійної задачі. Реалізовано алгоритм побудо-ви розкладів змінних, які задовольняють лінійні кінематичні граничні умови. Ви-конано аналітичне виключення кінематичної нелінійної граничної умови на віль-ній поверхні.

Умова розв'язності нелінійної задачі Неймана (1) може бути записана у вигляді

(7)

Виконання умови розв'язності задачі Неймана вимагає рівності нулю кожного з трьох його доданків, які визначені на різних поверхнях. Перший доданок відповідає вимозі неперетікання через незмочену в незбуреному стані стінку баку в слабкому сенсі. Другий доданок відповідає виконанню умови неперетікання рідини на деякому продовженні стінки бака над вільною поверхнею. Зазначимо, що в роботах інших авторів цим обмеженням нехтують. Третій доданок відпо-відає вимозі збереження об'єму рідини в збуреному русі. За своїм змістом всі ці умови мають кінематичний характер, тому задовольняти ці умови необхідно на етапі побудови розкладів змінних до реалізації варіаційного принципу.

Рис. 2. Метод допоміжної області

Для розв'язання представленої задачі вико-ристовуються фундаментальні розв'язки рівнян-ня Лапласа у вигляді гармонічних поліномів . Оскільки для тіла обертання відділення кутової координати виконується точ-но, фактично далі розв'язується окремо задача для кожного фіксованого значення m. На відміну від класичної постановки задачі додатково ви-магається виконання умови неперетікання на деякому продовженні бічної поверхні резерву-ару ДУ, куди можуть сягати гребені хвиль в процесі збуреного руху.

Для реалізації цієї вимоги використовується метод допоміжної області, який реалізує ослаблення впливу особливої точки на контурі і дає змогу реалізувати з високою точністю виконання умови неперетікання на продовженні стінок резер-вуару, куди можуть досягати гребені хвиль. На відміну від класичного методу, для якого до постановки задачі не входить характер зміни поверхні ДУ над рівнем незбуреної вільної поверхні, метод допоміжної області відображає залежність розв'язку задачі від характеристик ДУ. Одержані розв'язки для об'єму задо-вольняють умову неперетікання на У+ДУ. Далі за координатні функції задачі на вільній поверхні приймалися значення потенціалу на перерізі області , що відповідає реальній незбуреній вільній поверхні (рис. 2). На цій поверхні вико-нувалася ортогоналізація функцій для одного значення параметру розкладу за ку-товою координатою m; а власні числа визначалися за методом Релея. Такий спосіб визначення координатних функцій базується на розв'язку лінійної задачі, доповне-ної вимогами виконання частини кінематичних обмежень нелінійної задачі.

З теореми про те, що безвихровий рух ідеальної однорідної нестисливої рідини повністю визначається рухом її границь, випливає, що число ступенів вільності всього об'єму рідини з вільною поверхнею дорівнює числу ступенів вільності ру-ху самої вільної поверхні. З останнього випливає, що доцільно вибрати параметри та за незалежні змінні, а змінну ц вважати залежною.

Член розкладів змінних (4) визначається з вимоги збереження об'єму рідини в її збуреному русі. Представимо у вигляді: , де індекси визначають порядок малості членів відносно амплітудних параметрів . З умови одержуємо ( визначається квадратурами від та значеннями на ):

(8)

Реалізація процедури задоволення нелінійної кінематичної граничної умови на вільній поверхні рідини виконується на основі сумісного використання методу Га-льоркіна та асимптотичних методів нелінійної механіки. Розклади змінних підстав-ляються в умову далі розкладаємо функції в ряд Тейлора від-носно вільної поверхні, домножаємо обидві частини рівняння на , інтегруємо по та отримаємо розв'язок у вигляді (індекси в дужках відповідають порядкам малості окремих доданків відносно )

(9)

де коефіцієнти в сумах (8) і (9) є квадратурами від координатних функцій на не-збуреній вільній поверхні рідини або виразами від твірної функції еліпсоїда.

Тепер розклади (4) за умови виконання співвідношень (8), (9) і визначення координатних функцій на основі методу допоміжної області задовольняють всі кі-нематичні умови задачі і умови розв'язності.

В четвертому розділі досліджується побудова дискретної моделі системи за допомогою методу Канторовича, який застосовується до варіаційного формулю-вання задачі динаміки системи на основі варіаційного принципу Гамільтона-Ос-троградського. Після проведення інтегрування виразів по просторових координа-тах і підстановки виразів (8) і (9) отримуємо дискретну функцію Лагранжа, що відповідає вільній механічній системі, з якої одержимо рівняння Лагранжа ІІ роду

	(10)

	(11)

Система (10), (11) описує сумісний рух резервуару з рідиною в незалежних узагальнених координатах та при довільній кількості форм коливань.

Для чисельної реалізації задачі були застосовані такі 10 координатних функцій

(12)

де Ї розв'язок задачі про уточнене визначення форми коливань рідини кутового номера m, якому відповідає k-те власне число (прийнято розташування координатних функцій відповідно до зростання власних чисел).

Для оцінки точності розв'язку приймалася відносна похибка

.

В даній роботі був реалізований алгоритм для випадку резервуару у формі еліпсоїда обертання. Еліпсоїд отримується стисканням або розтягненням сфери по вертикалі. Умовно будемо називати такі еліпсоїди стисненим і розтягнутим. Для обчислень розглядалися приклади: розтягнутого еліпсоїда а = 1, b = 1.4, H = 0.7, сфери а = 1, b = 1, H = 0.5 та стисненого еліпсоїда а = 1, b =0.7, H = 0.35.

Далі наводимо результати розв'язання задачі для еліпсоїдів і для контроль-ного варіанта сфери для форми m=1, k=1 та m=2, k=1 за методом допоміжної об-ласті, результати розв'язку задачі наведені у Таблиці 1, де також для порівняння в кожному рядку нижче наводимо результати, одержані за класичним методом.

Таблиця 1.

Форма резервуару	a = b = R сфера	a < b розтягнутий еліпс	a > b стиснений еліпс
Номер форми	M=1, k=1	M=2, k=1	M=1, k=1	M=2, k=1	m=1, k=1	m=2, k=1
Частотний параметр	1,207783 1,207710	2,307694 2,307513	1,467960 1,467925	2,685332 2,685292	0,928072 0,927943	1,846582 1,846137
1. Відносна похибка при z=0,15	0,001075 0,247945	0,001217 0,255330	0,000699 0,104320	0,000643 0,081021	0,002428 0,439198	0,002876 0,468619
2. Відносна похибка при z=0	0,000136 0,000296	0,000165 0,000301	0,000102 0,000272	0,000089 0,000187	0,000317 0,000186	0,000382 0,000193
3. Відносна похибка при z=-0,15	0,000009 0,000043	0,000037 0,000042	0,000023 0,000035	0,000024 0,000022	0,000049 0,000025	0,000011 0,000021

Метод допоміжної області / Класичний метод

Аналіз виконання граничних умов неперетікання на стінках бака у характерних точках: на незбуреній вільній поверхні рідини, на 0,15 нижче і на 0,15 вище , куди можуть сягати гребені хвиль, засвідчує ефективність застосування мето-ду допоміжної області у порівнянні з класичним.

Чисельні дані свідчать, що метод допоміжної області дає більш точні резуль-тати задоволення умови неперетікання, як на (приблизно в два рази), так і особливо на (приблизно в 250 разів), де класичний метод дає незадовільні ре-зультати. При цьому частотні параметри координатних функцій, визначені за ме-тодом Релея, відрізняються від частот коливань з точністю до . Негативні ре-зультати, пов'язані з наявністю кутової точки, практично не проявляються, ос-кільки за методом допоміжної області реальна кутова точка стає внутрішньою точкою області . Зауважимо також, що похибка визначення форм коливань для випадку розтягнутого еліпсоїда виходить більшою, ніж у випадку стисненого еліпсоїда, що визначається збільшенням нахилів стінок до вертикалі.

Відмітимо також, що похибки дано в безрозмірних величинах, які відпові-дають одиничній амплітуді. При розв'язанні реальних задач похибки будуть в 5-10 разів менше, оскільки амплітуди не перевершують 0,15-0,2. Слід відзначити також, що метод допоміжної області незначно завищує частотний параметр , що узгоджується із законами механіки Ї накладання додаткових механічних в'язей приводить до збільшення частоти.

Аналогічні результати було одержано для всіх координатних функцій (12), які далі були використані для розв'язання нелінійної задачі. Одержані координатні функції з прийнятною точністю задовольняють умови неперетікання як на бічній поверхні (), що відповідає незбуреній рідині, так і на її певному продовженні, куди можуть сягати гребені нелінійних хвиль ().

Розв'язано ряд тестових завдань для контролю виконання законів симетрії та збереження. Встановлено, що закони симетрії виконуються при повороті системи на кожні , а також підтверджено, що початкове збурення вільної поверхні не призводить до збудження форм коливань у перпендикулярній площині, що узгод-жується з теоремою про рух центра мас системи. Розрахунки похибок виконання закону збереження енергії показують, що її зміни за 8 періодів коливань не пере-вищують 1%, що є задовільним результатом.

В п'ятому розділі наведено результати розв'язання задач про розвинення перехідних процесів, в тому числі, про зародження кругової хвилі в рухомому еліптичному резервуарі з рідиною при різних видах кінематичного та динамічного збудження вільної поверхні рідини. Проведено дослідження впливу рідинного наповнення на рух резервуару в режимі кругової хвилі.

При дослідженні руху системи еліптичний резервуар-рідина при кінематич-ному та динамічному збудженні встановлено, що рухомість резервуару призво-дить до більшого збудження вищих форм коливань рідини; імпульсне силове збудження призводить до більшого прояву нелінійних механізмів взаємодії між формами коливань. В нелінійному діапазоні збурень спостерігається несиметрич-ність профілю хвиль, коли висота гребеня хвилі більша ніж глибина западини, що підтверджується експериментальними дослідженнями нелінійних властивостей поверхневого хвилеутворення. Цей ефект зумовлений збудженням першої та другої симетричних форм на основі механізмів квадратичних та кубічних зв'яз-ків з амплітудою коливань по головній формі. У випадку рухомого резервуару в зміні амплітуд коливань окремих форм значно сильніше проявляється ефект су-перпозиції кількох коливальних процесів, і гармонічний закон зміни амплітуди спотворюється значно сильніше.

Досліджено задачу про зародження кругової хвилі в еліптичному резервуарі. У початковий момент часу резервуар та рідина знаходяться у стані спокою. Рух системи з початкового стану спокою збуджується силою з круговим годографом: Fx=Аsinщt, Fy=Вcosщt. Для аналізу динамічних процесів розглядалися три час-тотних діапазони збудження руху системи силою з частотою, що співпадає з частотою першої форми коливань рідини, а також більшою і меншою від неї. Для відображення процесу розвитку кругової хвилі розглядається залежність азимуту максимальної амплітуди хвилі (горба) від часу. При цьому кожне наступне коло обертання супроводжується стрибкоподібною зміною азимута на , що відпо-відає на малюнках вертикальній ділянці кривих. Дослідження показали (рис. 3), що при коливаннях з силою з частотою, яка більша (суцільна крива) та менша ніж резонансна частота (штрихова крива), кругова хвиля практично рівномірно обер-тається у напрямку дії сили. Проте рух кругової хвилі відбувається з нерівно-мірною швидкістю обертання, що зумовлене проявом нелінійних механізмів.

Рис. 3. Зміна в часі азимуту кругової хвилі для нерезонансних частот	Рис.4. Зміна в часі азимуту кругової хвилі для резонансної частоти

Найбільш складним виявляється режим, у якому частота сили збудження наближається до першої резонансної частоти коливань системи (рис. 4). В цьому випадку спостерігаються окремі ділянки, коли кругова хвиля уповільнює своє обертання і, протягом певного проміжку часу азимут залишається сталим (рух в одній площині), або здійснює свій рух у протилежному напрямку. Було виявлено, що вплив нелінійностей проявляється значно сильніше у моменти часу, коли ам-пулітуда хвилі спадає, тобто коли головний внесок у формування кругової хвилі вносять не головні (перші) форми коливань, а вищі форми, які збуджуються за ра-хунок нелінійних механізмів. В підсумку це приводить до втрати односпрямова-ності і рівномірності руху кругової хвилі. Чисельно підтверджено на якісному рів-ні експериментальні результати, які свідчать, що в деякі моменти часу може спо-стерігатися «плоский» та «зворотний» рух кругової хвилі.

В режимі кругової хвилі досліджено вплив на рух резервуару рідинного наповнення, а також параметрів збудження. Розглянуто рух системи при спів-відношенні маси резервуару до маси рідини, рівного 0,2, із початкового стану спокою під дією сили з круговим годографом: Fx=0,2sin7t, Fy=0,2cos7t (суцільна крива) і для порівняння випадок, коли рідина «замерзла» (штрихова лінія), що відповідає нескінченному значенню параметра відношення маси резервуару до маси рідини (рис. 5). Рух резервуару у цих випадках істотно відрізняється як за амплітудою, так і за напрямком систематичного відхилення осі резервуару від по-чаткового положення. Для встановлення характеру впливу нелінійностей на рух резервуару при цих же параметрах було розглянуто випадок, коли значення сили було зменшене в 25 разів (рис. 6). В цьому випадку коливання рідини відбувалися виключно в лінійному діапазоні зміни збурень.

Рис. 5. Траєкторія руху осі резервуару (нелінійна модель).	Рис. 6. Траєкторія руху осі резервуару (лінійна модель).

Рис. 7. Траєкторія руху осі резервуару при значенні частоти щ=5

Рис. 8. Траєкторія руху осі резервуару при значенні частоти щ=5,8

Як видно з рис. 6, на відміну від випадку коливань в нелінійному діапазоні (рис. 5, суцільна крива), спостерігається істотна зміна характеру руху резервуару. Як і у випадку «твердого» заповнення, спостерігається дрейф резервуару у на-прямку осі Ох. Тобто, саме нелінійність сприяє зміні характеру і напрямку сис-тематичного руху резервуару. Більший прояв впливу нелінійних процесів спосте-рігається при зменшенні відношення маси резервуару до маси рідини та при збіль-шенні значення сили, яка діє на резервуар, що викликає зростання амплітуд коли-вань рідини.

Було досліджено групу тестових задач з різною мірою прояву нелінійностей і при різних співвідношеннях маси резервуару і рідини. Зокрема, було виявлено, що при співвідношенні маси резервуару до маси рідини, рівного 10 і більше, траєкторія руху резервуару за своїм напрямком і характером майже співпадає з випадком «замерзлої» рідини. Дослідження показали, що для розглянутого зна-чення частоти збуджувальної сили до значення співвідношення маси резервуару і маси рідини, рівного 0,25, спостерігається систематичний дрейф осі резервуару в напрямку осі Ох, проте вже для значень 0,24 і менше, характер руху змінюється і дрейф або відсутній взагалі, або спостерігається в напрямку осі Oy.

Далі було проаналізовано динаміку впливу на рух резервуару зміни частоти сили щ від 3,6до 7. Було виявлено, що для частоти 3,6 та нижче, зміна від-ношення маси резервуару до маси рідини істотного впливу не має.

Для фіксованого значення відношення маси резервуару до маси рідини на рівні 0,2, без змін цього параметру та при фіксованих інших параметрах системи за по-слідовного при цьому збільшенні значення частоти до рівня щ=4,5 та вище нього, яскраво спостерігається відхилення від односпрямованого характеру руху, що видно на рис. 7 для значення частоти щ=5. Ще яскравіше спостерігаємо від-хилення від односпрямованого характеру руху на рис. 8 для значення частоти щ=5,8.

ВИСНОВКИ

Для задачі про нелінійні сумісні коливання системи, що складається з резер-вуару еліпсоїдальної форми та рідини з вільною поверхнею, яка його частково заповнює, розглянуто математичне формулювання задачі у вигляді варіаційно-го принципу Гамільтона-Остроградського і сукупності кінематичних гранич-них умов і умов розв'язності задачі. Показано, що для ефективного застосуван-ня методів збурень при реалізації варіаційних принципів і алгоритмів виклю-чення кінематичних обмежень і умов розв'язності задачі, доцільно використо-вувати спеціальну недекартову параметризацію області, яку займає рідина. 

На основі аналізу умов розв'язності нелінійної задачі про коливання рідини в еліптичному резервуарі і використання методу допоміжної області побудовано систему координатних функцій для розв'язання нелінійної задачі про вільні та вимушені коливання ідеальної рідини, які задовільняють умовам неперетікання не лише на змочуваній у незбуреному стані бічній поверхні еліптичного резер-вуару, а і на бічній поверхні, куди можуть досягати гребені хвиль. Для довіль-ної кількості форм коливань рідини проведено аналітичне виключення всіх кі-нематичних граничних умов і умови збереження об'єму рідини.

На основі варіаційного принципу Гамільтона-Остроградського побудовано не-лінійну дискретну модель задачі про коливання рідини, що частково заповнює еліптичну порожнину, орієнтовану на дослідження перехідних процесів суміс-ного руху системи. Параметри нелінійної моделі визначено в квадратурах при довільній кількості форм коливань, що розглядаються.

Побудовано алгоритм чисельного дослідження задачі про просторовий рух ідеальної нестисливої рідини для випадку резервуарів еліптичної форми при сумісному русі резервуара і рідини, досліджено параметри руху резервуару, картини хвиль на вільній поверхні рідини, силову взаємодію рідини зі стінками резервуара в різних нестаціонарних режимах руху.

Досліджено групу тестових задач про перехідні режими сумісного руху резер-вуара з рідиною. Показано виконання законів симетрії, збереження енергії для системи; вивчено роль вісесиметричних і антисиметричних форм коливань в нестаціонарних задачах. Для випадку сферичної порожнини одержано узгод-ження з відомими результатами.

Досліджено процес зародження кругової хвилі в еліптичному резервуарі при спеціальному способі збудження руху резервуара. Встановлено діапазони од-носпрямованого руху кругової хвилі і діапазон, в якому кругова хвиля може певний проміжок часу рухатися в одній площині, або обертатися в зворотному напрямі.

Досліджено рух резервуара при зародженні кругової хвилі. Встановлено, що при дії сили з круговим годографом на стінки резервуару, для великих значень співвідношення маси резервуару до маси рідини дрейф резервуару відбуваєть-ся в напрямку вісі Ох, а при зменшенні значення цього співвідношення харак-тер дрейфу суттєво змінюється, такий же характер впливу на дрейф резервуару відмічено і при збільшенні частоти в збурюючій силі з круговим годографом.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Лимарченко О.С. Побудова координатних функцій для нелінійної задачі динаміки рідини з вільною поверхнею в еліптичному резервуарі / О.С. Лимарченко, І.С. Ружицький // Вісник Київського університету, серія Фізико-математичні науки, №1, 2009. - С. 59-62.

Лимарченко О.С. Вплив рухомості еліптичного резервуару на нелінійне хвилеутворення на поверхні рідини / О.С. Лимарченко, І.С. Ружицький // Вісник Київського університету, серія Фізико-математичні науки, №3, 2009. - С. 81-84.

Лимарченко О.С. Зародження кругової хвилі на вільній поверхні рідини в рухомому еліпсоїді / О.С. Лимарченко, І.С. Ружицький // Вісник Київського університету, серія Фізико-математичні науки, №4, 2009. - С. 43-46.

Лимарченко О.С. Математична модель коливань рідини з вільною поверхнею в еліптичному резервуарі / О.С. Лимарченко, І.С. Ружицький // Комплексний аналіз і течії з вільними границями: Збірник праць Інституту математики НАН України. - 2010. - Т.7, № 2. - С. 408-415.

Ружицький І.С. Математична модель коливань рідини з вільною поверхнею в еліптичному резервуарі / Ружицький І.С. // Тези доповідей міжнар. конф. „Аналітичні методи механіки і комплексного аналізу”. - Київ: Інститут математики НАН України, 2009. - С. 72-73.

АНОТАЦІЯ

Ружицький І.C. Неусталені режими сумісного руху резервуару еліпсоїдальної форми, частково заповненого рідиною. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут математики НАН України, Київ, 2011.

Дисертація містить результати досліджень задачі моделювання нелінійної динаміки сумісного руху обмеженого об'єму рідини і резервуара еліпсоїдальної форми. Дослідження виконано на основі варіаційних принципів і методів неліній-ної механіки з використанням алгоритму попереднього виключення кінематич-них граничних умов, що дозволило розробити коректну та ефективну нелінійну математичну модель для дослідження перехідних процесів нелінійної динаміки сумісного руху системи еліпсоїдальний резервуар-рідина. Для аналітичного фор-мулювання задачі введено недекартову параметризацію області, що займає ріди-на. На основі варіаційного принципу Гамільтона-Остроградского і методу мо-дальної декомпозиції побудовано ефективну нелінійну дискретну модель системи.

Для задачі про нелінійні коливання рідини з вільною поверхнею в еліптич-ному резервуарі побудовано систему функцій, яка на відміну від форм власних коливань рідини, додатково задовольняє кінематичну граничну умову непереті-кання крізь стінку резервуару, куди можуть сягати гребені нелінійних хвиль. Для різних випадків еліптичного резервуару побудовано системи координатних функ-цій і для них визначені похибки задоволення граничних умов. Також, для оцінки достовірності побудованої моделі в ході обчислювальних експериментів здійсню-валася перевірка законів збереження і симетрії в динамічній системі. Досліджено комплекс задач розвинення хвиль під час руху рідини із вільною границею для ви-падків різних способів кінематичного та динамічного збудження руху, в тому чис-лі у формі кругової хвилі, що приводять до прояву нелінійних ефектів. Показано, що у випадку зародження кругової хвилі нелінійні механізми внутрішньої взаємо-дії зумовлюють зміни як напрямку руху кругової хвилі, так і у напрямку система-тичного переміщення резервуару. Отримані результати узгоджуються на якісно-му рівні, а в окремих випадках і кількісно, з теоретичними результатами дослід-жень інших авторів та з експериментальними дослідженнями.

Ключові слова: рідина, вільна поверхня, еліптичний резервуар, збудження руху, контроль точності, кругова хвиля, систематичний рух резервуару.

еліптичний резервуар кругова хвиля

АННОТАЦИЯ

Ружицкий И.С. Неустановившиеся режимы совместного движения резервуа-ра эллипсоидальной формы, частично заполненного жидкостью. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-матема-тических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт математики НАН України, Киев, 2011.

Диссертация содержит результаты исследований задачи моделирования не-линейной динамики совместного движения ограниченного объема жидкости и ре-зервуара эллипсоидальной формы. Исследовано зарождение круговой волны на свободной поверхности жидкости в резервуаре эллипсоидальной формы. Иссле-дование выполнено на основе вариационных принципов и методов нелинейной механики с использованием алгоритма предварительного исключения всех кине-матических граничных условий, что позволило разработать корректную и эф-фективную нелинейную математическую модель для исследования переходных процессов нелинейной динамики совместного движения системы эллипсои-дальный резервуар-жидкость. Для аналитического формулирования задачи вве-дена недекартовая параметризация области, занимаемой жидкостью. На основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, с предварительным удо-влетворением всех кинематических граничных условий, и метода модальной декомпозиции построена эффективная нелинейная дискретная модель системы “подвижный эллиптический резервуар-жидкость”.

Для задачи о нелинейных колебаниях жидкости со свободной поверхностью в эллиптическом резервуаре построена система функций, которая, в отличие от форм собственных колебаний жидкости, дополнительно удовлетворяет кинемати-ческому граничному условию неперетекания через стенку резервуара, куда могут достигать гребни нелинейных волн. Для трех случаев эллиптического резервуара (сфера, эллипсоид сжатый и растянутый относительно вертикальной оси) по-строены системы координатных функций и для них определены погрешности удо-влетворения граничных условий. Кроме того, для оценки достоверности по-строенной модели путем численных экспериментов проводился контроль выпол-нения законов сохранения и симметрии в динамической системе. Исследован комплекс задач развития волн на свободной поверхности жидкости для случаев разных способов кинематического и динамического возбуждения движения, в том числе в форме круговой волны, которые приводят к проявлению нелинейных эффектов. Показано, что в случае зарождения круговой волны, нелинейные меха-низмы внутреннего взаимодействия приводят к изменению как направления дви-жения круговой волны, так и направления систематического перемещения резер-вуара. Полученные результаты согласовываются на качественном уровне, а в от-дельных случаях и количественно, с теоретическими результатами исследований других авторов и с экспериментальными исследованиями.

Ключевые слова: жидкость, свободная поверхность, эллиптический резер-вуар, возбуждение движения, контроль точности, круговая волна, систематичес-кое перемещение резервуара.

SUMMARY

Ruzhytskyi I.S. Nonsteady modes of combined motion of reservoir of ellipsoidal shape, partially filled by liquid. - Manuscript.

Thesis for Candidate's Degree of Physical and Mathematical Sciences on speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - Institute of mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2011.

Thesis contains results of investigations of the problem about nonlinear oscillations of liquid in a tank of ellipsoidal shape. Investigation is conducted on the ba-sis of variational principles and methods of perturbations theory with the use of algorithm of preliminary elimination of kinematics boundary conditions, which makes it possible to develop correct and effective nonlinear mathematical model for investiga-tion of transient processes of nonlinear dynamics of combined motion of the system of tankliquid in the case of ellipsoidal reservoir. For analytical description of liquid we introduced non-Cartesian parametrization of the domain, occupied by liquid. Based on the Hamilton-Ostrogradsky variational principle and modal decomposition method an efficient non-linear discrete system of model is constructed.

For the problem about nonlinear oscillations of liquid with a free surface in elliptic reservoir we constructed a system of functions, which in contrast to normal modes of liquid oscillations supplementary satisfies nonflowing kinematic boundary condition on tank walls, where crests of nonlinear waves can reach. For different variants of elliptic reservoir we constructed systems of basis functions and determined for them errors of realization of boundary conditions. For estimation of validity of the created model in numerical experiments we also carried out verification of conservation laws and symmetry laws for the system. The complex of problems of wave development for motion of liquid with a free surface in the case of different kinematical and dynamic variants of motion excitation, including generation of circular wave, which results in manifestation of nonlinear effects, was investigated. It was shown, that nonlinear mechanisms of internal interaction can result in variation of both direction of circular wave and direction of systematical displacement of reservoir. The obtained results are in good qualitative and in some cases quantitative concordance with theoretical results of other authors and experimental investigations.

Key words: liquid, free surface, elliptic reservoir, excitation of motion, accuracy control, circular wave, systematical motion of reservoir.

Размещено на Allbest.ru

...