Розв'язання задач про вільні коливання кругових циліндричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці на основі сплайн-апроксимації

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С.П. ТИМОШЕНКА

УДК 539.3

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

розв'язання задач про вільні коливання кругових циліндричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці на основі сплайн-апроксимації

Соколова

Людмила Віталіївна

Київ

2011



ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана в Інституті механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Григоренко Олександр Ярославович,

завідувач відділу обчислювальних методів

Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Карнаухов Василь Гаврилович,

завідувач відділу термопружності

Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка

НАН України;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Борисейко Олександр Віталійович,

доцент кафедри прикладної та теоретичної механіки

Київського національного університету

ім. Тараса Шевченка.

Захист відбудеться "27" вересня 2011 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. П. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки

ім. С. П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57,

вул. П. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий " 25 " 08 2011 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01

доктор фізико-математичних наук

О.П. Жук



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Циліндричні оболонки знаходять широке застосування в різних галузях сучасної техніки завдяки своїм механічним та експлуатаційним властивостям і є важливою частиною конструкцій, що використовуються в авіа-будуванні, суднобудуванні, космічній техніці, будівництві та інших галузях промис-ловості. В інженерних розрахунках при дослідженні міцності та надійності оболон-кових конструкцій, що знаходяться в складному коливальному русі, важливо врахо-вувати динамічні характеристики елементів системи, в тому числі частоти і форми вільних коливань циліндричних оболонок. Використання циліндричних оболонок змінної товщини, виготовлених із сучасних композитних матеріалів, значно сприяє оптимізації роботи оболонкових систем, тому вивчення впливу зміни товщини обо-лонки на характер її вільних коливань представляє важливу науково-технічну задачу.

аналіз власних коливань оболонок з геометричними та фізико-механічними особливостями, а саме нетонких ортотропных оболонок змінної товщини, виготов-лених із матеріалів з низьким коефіцієнтом поперечного зсуву, вимагає застосуван-ня адекватної моделі теорії оболонок. Використання моделі С.П. Тимошенка, яка базується на гіпотезі прямої лінії, дозволяє врахувати різні типи деформації по товщині оболонки і, відповідно, підвищити точність оцінок динамічних характеристик зазначених оболонок.

Дослідженню спектрів частот і форм власних коливань тонких ізотропних циліндричних оболонок сталої товщини присвячена певна кількість робіт, однак останнім часом підвищується інтерес до вивчення відповідних характеристик нетонких анізотропних оболонок змінної товщини, що зумовлено новими завданнями сучасної техніки. Не вважаючи на актуальність таких досліджень, вони є одиничними через складності обчислювального характеру, оскільки вихідна задача, що описує власні коливання зазначених оболонок в уточненій постановці, зводиться до системи рівнянь в частинних похідних із змінними коефіцієнтами. розв'язання відповідної крайової задачі вимагає застосування добре розроблених сучасних чисельно-аналітичних методів.

Отже розробка ефективного підходу до розв'язання задач про вільні коливання ортотропних циліндричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці при різних крайових умовах на контурах є актуальною проблемою механіки деформівного твердого тіла, що має теоретичний інтерес і практичне значення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що проведені в дисертаційній роботі, виконано у відповідності з науковими темами: 1.3.1.358-07. "Розробка нових нетрадиційних підходів на основі дискретно-контінуальних методів і комбінованих моделей до дослідження деформування і руйнування композитних матеріалів для розв'язання проблем міцності і довговічності сучасних конструкцій" (№ ДР 0107U000435, 2007-2010); 1.3.1.494п-09 "Розробка підходу на основі сплайн-апроксимації до розв'язання задач про механічну поведінку ортотропных циліндричних та конічних оболонок змінної товщини в уточненій постановці" (№ ДР 0109U004706, 2009-2010) і 1.3.1.370-09. "Розробка нових підходів до дослідження деформування складних оболонкових систем з неоднорідних анізотропних матеріалів при різних видах навантажень на основі методів чисельного аналізу" (№ ДР 0109U004184, 2009-2010).

Мета і завдання дослідження. Мету і завдання запропонованого дослідження можна сформулювати наступним чином:

· розробка ефективного підходу до чисельного розв'язання двовимірних задач динаміки ортотропних кругових циліндричних оболонок змінної в одному і двох координатних напрямках товщини в уточненій постановці;

· побудова алгоритму і реалізація на ПК програмного комплексу для чисельного розв'язання задач вказаного класу, що дає можливість проводити дослідження вільних коливань нетонких оболонок з врахуванням зміни геометриних та механічних параметрів;

· розв'язання широкого класу задач теорії оболонок на основі розробленого підходу, а також проведення аналізу впливу різних законів зміни товщини, пружних характеристик матеріалу та різних типів граничних умов на нижчі частоти і відпові-дні їм форми вільних коливань нетонких ортотропних кругових циліндричних оболонок змінної товщини.

Об'єктом дослідження є динамічна поведінка ортотропних нетонких кругових циліндричних оболонок, товщина яких змінюється в одному (круговому) і двох координатних напрямках при різних умовах закріплення граничного контуру.

Предметом дослідження є спектр частот і форм вільних коливань нетонких циліндричних оболонок вказаного класу в залежності від зміни механічних і геометричних характеристик та типу крайових умов.

Методи дослідження. Дослідження проводились у рамках некласичної теорії оболонок, що базується на гіпотезі прямої лінії. На основі співвідношень уточненої теорії оболонок сформульовано двовимірну крайову задачу для системи диференціальних рівнянь у частинних похідних зі змінними коефіцієнтами, яка зводиться до одновимірної задачі на власні значення методом сплайн-коллокації. Остання розв'язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в таких положеннях, що виносяться на захист:

· на основі рівнянь уточненої теорії оболонок, що ґрунтується на гіпотезі прямої лінії, виведено розв'язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами та різні варіанти граничних умов, що описують вільні коливання нетонких ортотропних кругових циліндричних оболонок змінної товщини та дозволяють провести апроксимацію шуканого розв'язку базисними сплайнами третього степеня;

· розроблено ефективний підхід до розрахунку частот і форм вільних коливань ортотропних кругових циліндричних оболонок змінної товщини при довільних граничних умовах, що дозволяє на основі сплайн-апроксимації розв'язків в одному з координатних напрямків привести вихідну двовимірну крайову задачу до одновимірної задачі на власні значення; остання розв'язуеться стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку; відповідний алгоритм реалізовано в програмному комплексі на ПК;

· проведено розв'язання задач даного класу та досліджено залежність динаміч-них характеристик кругових циліндричних оболонок змінної товщини від геометри-них і механічних параметрів, законів зміни товщини та граничних умов; виявлено закономірності у розподілі частот і форм вільних коливань циліндричних оболонок.

Достовірність одержаних в роботі результатів забезпечено використанням обґрунтованої математичної моделі уточненої теорії оболонок, коректністю формулювання задачі, тестуванням розробленого підходу на ряді задач даного класу і контролем точності розрахунків на основі індуктивних оцінок.

Наукове значення роботи полягає в тому, що проведено розв'язання широкого класу нових задач про вільні коливання циліндричних ортотропных оболонок змінної товщини в одному і двох координатних напрямках в уточненій постановці за допомогою розробленого ефективного чисельно - аналітичного підходу на основі сплайн-апроксимації.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблений підхід та резуль-тати розв'язання задач про вільні коливання нетонких ортотропних кругових цилін-дричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці, а також проведений аналіз нижчих частот коливань відповідних конструктивних елементів в залежності від зміни геометричних і механічних параметрів та умов закріплення контурів мо-жуть бути використані в науково-дослідних організаціях і конструкторських бюро для проведення розрахунків та оцінки міцності і надійності елементів конструкцій.

Особистий внесок здобувача. В роботах [1-7], опублікованих у співавторстві з науковим керівником і кандидатом фізико-математичних наук, старшим науковим співробітником відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенко НАН України Єфімовою Т.Л., дисертанту належить виведення розв'язувальних рівнянь руху кругових циліндричних оболонок, розробка методики розв'язування вихідної задачі, побудова алгоритму та його реалізація в програмному комплексі на ПК, розв'язання конкретних задач і аналіз результатів; науковому керівнику О.Я.Григоренко належить постановка задач і обговорення отриманих результатів; Єфімова Т.Л. приймала участь в проведенні розрахунків.

В роботі [1] дисертантом проведено дослідження нижчих частот вільних коливань замкнених ізотропних циліндричних оболонок змінної товщини в круговому напрямку при різних граничних умовах. Проведено порівняння з відповідним спектром частот коливань оболонок сталої товщини.

В роботі [2] досліджено вплив зміни геометричних параметрів оболонки на частоти вільних коливань замкнених ізотропних циліндричних оболонок змінної товщини при різних умовах закріплення країв.

В роботі [3] досліджено вплив зміни геометричних і механічних параметрів на спектр частот вільних коливань незамкнених ізотропних і ортотропных циліндричних оболонок змінної товщини в одному і двох координатних напрямках.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на наступних конференціях і семінарах:

1) XII Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Україна, Київ, 2008);

2) V Міжнародній науковій конференції актуальних проблем механіки деформівного твердого тіла (Україна, Донецьк-Мєлєкіно, 2008);

3) Міжнародній науковій конференції моделювання та дослідження стійкості динамічних систем (Україна, київ, 2009)

4) ІІІ Міжнародній конференції обчислювальної та прикладної математики (Україна, київ, 2009)

5) XIII Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Україна, Київ, 2010);

6) науково-практичних семінарах кафедри вищої математики Київського національного університету будівництва та архітектури (Київ, 2007-2011)

6) наукових семінарах відділу обчислювальних методів Інституту механіки

ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 2007-2011);

7) науковому семінарі Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України за напрямком "механіка оболонкових систем" (Київ, 2011);

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 7 робіт, в тому числі 3 статті у фахових журналах і збірниках [1-3], які входять до переліку ВАК України, а також 4 роботи у збірниках матеріалів і праць конференцій [4-7].

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 138 сторінок, в тому числі 18 рисунків, 27 таблиць, список використаних джерел із 160 найменувань на 16 сторінках. Автор щиро дякує науковому керівнику, доктору фізико-математичних наук, професору Григоренку Олександру Ярославовичу за постановку задачі, плідні консультації при обговоренні результатів роботи.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі описано сучасний стан проблеми, що розглядається в дисертаційній роботі, обґрунтовано актуальність вибраної теми. Сформульовано мету та завдання дослідження, розкрито наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі наведено огляд наукових робіт, присвячених розв'язанню задач про вільні коливання циліндричних оболонок на основі різних теорій оболонок аналітичними і чисельними методами, а також огляд робіт, тематика яких пов'язана з циліндричними оболонками змінної товщини.

Важливу роль у розробці загальної теорії оболонок зіграли праці С.О. Амбарцумяна, В.З. Власова, О.М. Гузя, Я.М. Григоренка, О.Л. Гольденвейзера, О.М. Кільчевського, А.І. Лурьє, А. Лява, Х.М. Муштарі, В.В. Новожилова, Е. Рейснера, С.П. Тимошенка та ін.

Розв'язанню деяких класів задач динамічної поведінки оболонок складної форми в різних постановках присвячені роботи О.І. Беспалової, В.В.Болотіна,

В.Д. Будака, А.Т. Василенка, О.Я. Григоренка, В.І. Гуляєва, Е.І. Григолюка,

Я.О. Жука, В.Л. Заруцького, М.В. Марчука, Б.Я. Кантора, В.Г. Карнаухова, В.І.Козлова, В.Д. Кубенка, Л.В. Курпи, Р.М. Кушніра, П.З. Лугового, А. Лейса,

Ч.В. Ліма, Дж.М. Лінберга, К.М. Лью, В.Ф. Мейша, Л.В. Мольченка, М.Д. Олсона, О.Д. Ониашвілі, М. Петіта, Б.Л. Пелеха, В.Г. Піскунова, О.О. Рассказова,

І.К. Сенченкова, В.І. Сторожева, І.Ю. Хоми, В.К. Чибірякова, М.О. Шульги,

О.М. Шупікова та ін.

Проведений аналіз наукових робіт показав, що дослідженню динамічних характеристик нетонких кругових циліндричних оболонок змінної товщини в одному (круговому) і в двох координатних напрямках при різних граничних умовах присвячені одиничні роботи через значні труднощі обчислювального характеру. В більшості робіт проводилися дослідження ізотропних або ортотропних оболонок сталої товщини, пологих оболонок змінної товщини, тонких ізотропних циліндричних оболонок змінної товщини в напрямку твірної. У зв'язку з цим виникає необхідність у розробці ефективного підходу до розв'язання задач про вільні коливання нетонких кругових циліндричних оболонок з урахуванням зміни товщини в одному та двох координатних напрямках, характеру анізотропії матеріалу при різних типах граничних умов.

У другому розділі наведено основні рівняння уточненої теорії оболонок, що базується на гіпотезі прямої лінії. Виведено розв'язувальні рівняння руху кругових циліндричних ортотропных оболонок змінної товщини.

В рамках уточненої теорії Тимошенко-Міндліна розглядаються вільні коливання ортотропных нетонких кругових циліндричних оболонок, віднесених до ортогональної криволінійної системи координат z, и, г, де z=const, и = const - лінії головних кривин серединної поверхні, а г - нормальна координата до серединної поверхні оболонки. Виходячи з основних співвідношень уточненої теорії оболонок після ряду перетворень отримано розв'язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами у переміщеннях та повних кутах повороту, що описує вільні коливання ортотропних циліндричних оболонок змінної товщини:



(1)

де u, v, w - переміщення точок координатної поверхні в напрямках z, и, г; - повні кути повороту прямолінійного елементу; R - радіус серединної поверхні оболонки; , , , - модулі пружності, зсуву та коефіцієнти Пуассона відповідно;



,

- коефіцієнти жорсткості оболонки; ? модулі зсуву; - товщина оболонки.

, , , , (2)

, , .

Для постановки двовимірної крайової задачі, потрібно систему (1) доповнити п'ятьма граничними умовами на кожному контурі. Граничні умови можуть бути задані у вигляді комбінації жорсткого закріплення, шарнірного опирання та вільного краю. Для замкнених циліндричних оболонок застосовуються умови симетрії в круговому напрямку.

Припускаючи, що всі точки оболонки коливаються гармонічно з круговою частотою щ, і враховуючи наступні подання:

(3)

(далі знак "~" опускається), після певних перетворень отримуємо розв'язувальну систему диференціальних рівнянь відносно функцій , з параметром щ:

(4)

У системі (4) коефіцієнти .

Для замкнених оболонок при и задавалися умови симетрії

. (5)

На контурах незамкненої оболонки розглядались крайові умови I-IV, записані в наступному вигляді:

I. при z = 0 та z = L контур жорстко закріплений u = v = w = Ши = Шz = 0; при и = 0 та и = и1 контур жорстко закріплений u = v = w = Ши = Шz = 0. II. при z = 0 та z = L контур жорстко закріплений u = v = w = Ши = Шz = 0; при и = 0 та и = и1 контур . III. при z = 0 та z = L контур шарнірно опертий , при и = 0 та и = и1 контур шарнірно опертий . IV. при z = 0 та z = L контур шарнірно опертий , при и = 0 та и = и1 контур жорстко закріплений u = v = w = Ши = Шz = 0.	(6)

У третьому розділі розроблено методику розв'язання отриманої двовимірної крайової задачі. Запропонований підхід базується на застосуванні методу сплайн-колокації в напрямку координати z та методу дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку в напрямку координати и. На його основі побудовано алгоритм, який реалізовано в програмному комплексі на сучасних ПК. Розв'язок системи рівнянь (4) шукатимемо у вигляді:

(7)

де - шукані функції змінної и, задані лінійні комбінації В-сплайнів третього степеня на рівномірній сітці Д: , які задовольняють граничні умови на контурах .

Граничні умови містять тільки значення розв'язувальних функцій та їх перших похідних, які прирівнюються до нуля на краях , тоді функції можна представити так:

а) якщо розв'язувальна функція дорівнює нулю на обох краях, то

,

, ;

,

;-(8)

б) якщо похідна по z від розв'язувальної функції дорівнює нулю на обох краях, то

,

,

;

, ; (9)

в) якщо на одному з країв розв'язувальна функція, а на іншому похідна по z дорівнюють нулю, то за допомогою комбінації функцій , з (9) та , з (8) можемо задовольнити граничні умови на обох краях.

Точки колокації , вибираємо за такою схемою:

;

, де

, -

вузли сплайну

(N = 2p + 1);

;

,

- корені полінома Лежандра другого степеня.

Підставляючи вирази (7) у співвідношення (4) і враховуючи, що вони є розв'язками цих рівнянь в точках колокації о_k, k = 0, N, отримаємо систему звичайних диференціальних рівнянь 10(N+1) порядку відносно невідомих u_i(и), v_i(и), w_i(и), Ш_zi(и), Ш_иi(и) (i = 0, N), яку можна подати у нормальному вигляді Коші:

,(10)

де ; ,

,

,

,

,

A(и, щ) - квадратна матриця порядку 10(N+1). Підставивши співвідношення (7) у граничні умови на краях z = const, отримуємо граничні умови для системи (10), які можна записати в загальному вигляді наступним чином:

,(11)

де B₁ і B₂ - прямокутні матриці порядку

5(N + 1)10(N + 1).

Отже розв'язання вихідної двовимірної крайової задачі, що описується системою лінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних зі змінними коефіцієнтами (4), зводиться до розв'язання задачі на власні значення для системи звичайних диференціальних рівнянь високого порядку (10)-(11) з невідомим числовим параметром щ.

Оскільки матриця А може бути погано обумовленою внаслідок крайових і локальних ефектів, що спостерігаються в оболонках, для розв'язання крайової задачі (10)-(11) використовуємо стійкий чисельний метод дискретної ортогоналізації. За знайденими власними числами обчислюються власні вектори задачі (10)-(11), а за допомогою співвідношень (7) - власні форми коливань циліндричних оболонок.

Наведено алгоритм, розроблений з використанням даної методики, перелік програм загального призначення та зазначено принципи побудови спеціальних підпрограм програмного комплексу в залежності від зміни товщини оболонки в одному і двох координатних напрямках, геометричних параметрів, ортотропії матеріалу при різних граничних умовах.

У четвертому розділі за допомогою розробленого підходу розв'язано задачі про вільні коливання нетонких кругових замкнених і незамкнених циліндричних оболонок зі змінною в одному та двох координатних напрямках товщиною. проведено аналіз впливу зміни геометричних параметрів оболонки, ортотропії матеріалу, граничних умов та законів зміни товщини на динамічні характеристики зазначених оболонок.

Обґрунтовано достовірність отриманих результатів тестуванням на ряді задач даного класу та показана точність розв'язання задач за допомогою індуктивних прийомів.

Проведено порівняння результатів розрахунків, проведених за тривимірною теорією та на основі розробленого підходу для ізотропних та ортотропных замкнених оболонок сталої товщини при різному числі точок колокації та дискретної ортогоналізації.

В таблиці 1 приведені значення частотного параметра

(m ? номер частоти), отримані за тривимірною теорією та за уточненою теорією на основі метода сплайн-апроксимації при різному числі точок колокації. Розглядалась шарнірно оперта замкнена ізотропна циліндрична оболонка сталої товщини з параметрами: , , , .

Таблиця 1

Порівняння частот вільних коливань оболонок,

розрахованих за тривимірною теорією та на основі сплайн-апроксимації

Тривимірна теорія	Уточнена теорія
	Число точок колокації
m	Щm	Параметри хвилеутворення	N = 10	N = 14	N = 18	N = 22
1	0,06964	n = 2, k=1	0,0708	0,0707	0,0707	0,0707
2	0,09142	n =3 , k=1	0,0939	0,0939	0,0938	0,0938
3	0,09899	n =1, k=1	0,0987	0,0987	0,0987	0,0986
4	0,10017	n =1, k=0	0,1000	0,1000	0,1000	0,1000
5	0,14486	n =4, k=1	0,1472	0,1472	0,1472	0,1472
6	0,15494	n =2, k=2	0,1569	0,1555	0,1552	0,1551
7	0,16748	n =3, k=2	0,1697	0,1685	0,1682	0,1681
8	0,16802	n =1, k=2	0,1699	0,1686	0,1683	0,1683

Максимальна різниця між значеннями, отриманими за тривимірною теорією та за уточненою теорією на основі сплайн-апроксимації складає 2,6% для другої частоти, а для інших частот менша за 1,6%, що говорить про можливість застосування уточненої теорії для достатньо коротких оболонок (L = 2R). Незначна зміна частот при зростанні числа точок колокації (до 1%), свідчить про високу точність та надійність методики сплайн-колокації.

Задачі про вільні коливання кругових циліндричних оболонок змінної товщини розглядались при умовах закріплення контурів I - IV (6). Для замкнених оболонок застосовано умови симетрії (5).

Досліджувались вільні коливання замкнених ізотропних циліндричних оболонок з товщиною, змінною в круговому напрямку.

Розглядалась ізотропна замкнена циліндрична оболонка, товщина якої змінюється в круговому напрямку за законом

H = H₀(1+ б cos pи),

p = 2l, l = 1, ... 20,

б = 0; 0,1; 0,2; 0,3, при жорсткому закріпленні на контурах z = const. H₀= 2, L = 20,

R = 10, н = 0,3. Розрахунки проведено при N = 18 (N - число точок колокації). На

рис. 1 зображено поперечні перерізи оболонок, що розглядаються, при р = 2 і р = 8 та представлено залежність перших трьох частот вільних коливань

від параметра б. Досліджувався вплив параметрів зміни товщини p і б на частоти вільних коливань оболонок. Найбільша зміна частот спостерігається при малих значеннях параметра р (2 ? p ? 8). Так при р = 2 і р = 4 перша частота зростає на 0,67% і 1,22% відповідно при збільшенні параметра б, друга зменшується на 3,28% і 6,46%. Третя частота зменшується до 1%. При p = 6; 8 всі три частоти зменшуються при збіль-шенні б, причому найсильніше змінюється друга частота (до 7,57%). При збільшенні параметра р (10 ? p ? 40) всі три частоти зменшуються незначно із збільшенням б.

Розглядались ізотропні замкнені циліндричні оболонки, товщина яких змінюється в круговому напрямку за законом H = H₀(1+ б cos 2и), H₀ = 2, н= 0,3. Досліджувалась залежність частот вільних коливань зазначених оболонок від їх геометричних параметрів (довжини та радіусу серединної поверхні). На рис. 2 представлено залежність першої частоти

вільних коливань оболонок, що розглядаються (б = 0 (1; 3) - оболонки сталої товщини,

б = 0, 2 (2; 4) - оболонки змінної товщини) від відношень L/R і R/L при різних граничних умовах на контурах z = const: жорсткому закріпленні (1, 2) та шарнірному опиранні (3, 4).

При зміні довжини циліндра (рис. 2а) вплив параметра б на перші частоти вільних коливань є суттєвим тільки при шарнірному закріпленні торців (до 8%) для коротких оболонок (15 ? L ? 20). При збільшенні довжини циліндра перша частота зменшується. При збільшенні відношення R/L (рис. 2б) розбіжність між відповідними частотами становить до 2% при жорсткому закріпленні торців і до 10% при шарнірному опиранні.

Порівнювались частоти вільних коливань незамкнених ортотропных цилін-дричних оболонок змінної товщини з різними пружними властивостями матеріалу. Розглядалась оболонка, товщина якої змінюється за квадратичним законом

,

, в круговому напрямку при граничних умовах І. В таблиці 2 приведено значення частотного параметра

в залежності від пружних характеристик матеріалу і параметра б. Розрахунки проводились при N = 18 (N - число точок колокації).

Таблиця 2

Перші частоти вільних коливань незамкнених ортотропных оболонок

б	-0,3	-0,2	-0,1	0	0,1	0,2	0,3
С1	0,0900	0,0899	0,0898	0,0897	0,0895	0,0893	0,0890
С2	0,0879	0,0879	0,0880	0,0880	0,0879	0,0879	0,0878
С3	0,0805	0,0807	0,0808	0,0810	0,0810	0,0811	0,0811

Видно, що найбільшою є перша частота вільних коливань оболонок, виготовлених із матеріалу С1 і при збільшенні б вона спадає. Найнижчою є перша частота коливань оболонок, виготовлених із склопластику С3 і при збільшенні параметра б - зростає.

Параметри ортотропії оболонок наведено в таблиці 3.

Таблиця 3

Механічні параметри склопластиків

Характеристики пружності	Співвідношення волокон
	5:1 (С1)	2:1 (С2)	1:1(С3)
ниz	0,149	0,105	0,123
нzи	0,0648	0,077	0,110
Ez (104 МПа)	4,76	3,68	3,09
Eи (104 МПа)	2,07	2,68	2,74
Gzи (104 МПа)	0,531	0,505	0,396
Gzг (104 МПа)	0,501	0,447	0,366
Gгz (104 МПа)	0,434	0,414	0,369

Проведено порівняльний аналіз спектрів частот вільних коливань незамкнених циліндричних оболонок з товщиною, змінною в круговому напрямку за такими законами, що задовольняють умовам збереження маси оболонки:

А - - лінійний закон,

В - - квадратичний закон,

С - - тригонометричний закон, .

На рис. 3 представлені перерізи оболонки змінної товщини в круговому напрямку за законом С при б = -0,3 (Рис. 3а) і б = 0,3 (Рис. 3б).

Розглядались ізотропні та ортотропні оболонки (С1) при різних граничних умовах (I - IV).

Значення перших чотирьох частот коливань

,

(m ? номер частоти), незамкненої ізотропної оболонки з параметрами

, , ,

при граничних умовах ІІІ представлені в таблиці 4.

Таблица 4

Частоти вільних коливань ізотропних оболонок змінної товщини

		A	B	C
	б = 0	б = 0,3	Д %	б = 0,3	Д %	б = 0,3	Д %
1	0,0707	0,0705	0,28%	0,0707	0%	0,0701	0,85%
2	0,0939	0,0935	0,43%	0,0929	1,06%	0,0918	2,25%
3	0,0987	0,0984	0,30%	0,1016	2,94%	0,1044	5,78%
4	0,1000	0,0999	0,10%	0,1091	9,22%	0,1159	15,9%

Встановлено, що спектр частот коливань оболонок, товщина яких змінюється за лінійним законом (А) практично не відрізняється від спектру частот коливань оболонок сталої товщини (б = 0). Більш суттєвих змін набувають спектри частот вільних коливань оболонок, товщина яких змінюється за квадратичним (В) та тригонометричним (С) законами.

На рис.4 представлені форми вільних коливань ізотропних оболонок, що відповідають переміщенню w, при зміні товщини оболонки за законом В.

При даному законі зміни товщини оболонки не виявлено значного впливу змінної товщини на форми коливань. Максимальні переміщення w знаходяться на прямій і мало відрізняються від відповідних форм коливань незамкнених оболонок сталої товщини.

Досліджувався вплив різних способів закріплення країв на вільні коливання незамкнених ізотропних та ортотропных циліндричних оболонок змінної в круговому напрямку товщини за квадратичним законом (В) і з наступними геометричними параметрами: , . На рис. 5 представлена залежність перших частот вільних коливань зазначених оболонок від способу закріплення країв оболонки та параметра товщини б. На рис. 5а представлена залежність перших значень частотного параметра

вільних коливань ізотропної оболонки з н = 0,3 від параметра б; на рис. 5б - ортотропної оболонки, виготовленої з матеріалу С1,

.

Найвищими є частоти вільних коливань оболонок при жорсткому закріпленні країв (граничні умови І), а найнижчими при шарнірному опиранні країв (граничні умови ІІІ) як для ізотропних так і для ортотропных оболонок. Аналогічні закономірності спостерігаються і для інших частот, що розглядались (m = 2; 3; 4).

Досліджувався вплив зміни геометричних параметрів на вільні коливання незамкнених циліндричних оболонок змінної товщини в двох координатних напрямках.

На рис. 6 представлена залежність першої частоти вільних коливань ізотропної (рис. 6а) та ортотропної (рис. 6б) оболонок, товщина яких змінюється в двох координатних напрямках за законом

при граничних умовах I (жорстке закріплення). Геометричні параметри оболонки: ,,. Для ізотропної оболонки ,

.

Ортотропна оболонка виготовлена із матеріалу С1,

.

Перша частота є найменшою при б = 0,3 і в = -0,3, а найбільшою при б = -0,3 і в = 0,3 незалежно від механічних параметрів матеріалу. Причому збільшення становить до 16,7% для ізотропної оболонки і 18,9% для ортотропної. Таким чином, змінюючи параметри б і в, можна впливати на спектр частот вільних коливань оболонок змінної товщини, що дає можливість оптимального проектування різних конструкцій.



ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розроблено ефективний підхід до розв'язання двовимірних задач про вільні коливання ізотропних і ортотропных кругових циліндричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці при різних граничних умовах, що базується на застосуванні методу сплайн-колокації для зведення двовимірної крайової задачі до одновимірної та розв'язанні останньої стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку. Проведено аналіз впливу зміни товщини в одному і двох координатних напрямках, геометричних параметрів, механічних характеристик матеріалу, різних граничних умов на спектр частот і форм коливань нетонких циліндричних оболонок, виявлено ряд закономірностей розподілу частот і форм коливань, що мають практичне значення при оцінці міцності і надійності елементів конструкцій.

При цьому отримано такі конкретні результати:

1. На основі співвідношень уточненої теорії оболонок, що базується на гіпотезі прямолінійного елементу, виведено розв'язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами та відповідними граничними умовами, що описує вільні коливання ортотропных кругових циліндричних оболонок змінної товщини.

2. Розроблено методику розрахунку частот і форм вільних коливань оболонок класу, що досліджується, яка полягає у використанні методу сплайн-колокації для зведення вихідної двовимірної крайової задачі до одновимірної задачі на власні значення і розв'язанні одержаної одновимірної задачі стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку при точному задоволенні граничних умов.

3. Запропонований підхід реалізовано в обчислювальному комплексі для ПК, за допомогою якого можна проводити розрахунки багатоваріантних задач даного класу при різних видах геометричних і механічних параметрів, характеру зміни товщини та довільних умовах закріплення контурів.

4. Достовірність результатів, що одержані в роботі, забезпечено використанням обґрунтованої математичної моделі теорії оболонок, коректністю формулювання задачі, тестуванням розробленого підходу на ряді задач даного класу і контролем точності розрахунку на основі індуктивних оцінок.

5. На основі запропонованого підходу одержано розв'язки ряду задач і проведено аналіз спектру частот і форм коливань кругових циліндричних оболонок змінної товщини при різних умовах закріплення країв: розглянуто замкнені ізотропні та ортотропні оболонки змінної товщини в круговому напрямку, незамкнені ізотропні та ортотропні оболонки з товщиною, змінною в одному і двох координатних напрямках з метою дослідження впливу пружних характеристик матеріалу, геометричних параметрів, характеру зміни товщини та крайових умов на частоти і форми вільних коливань.

6. Проаналізовано вплив різних законів зміни товщини в круговому напрямку, що задовольняють вимогам збереження маси оболонки, на частоти вільних коливань незамкнених ізотропних та ортотропных оболонок при різних граничних умовах.

7. Виявлені ефекти і отримані закономірності представлено на графіках і в таблицях.

8. Розроблений на базі запропонованого підходу алгоритм, обчислювальний комплекс для ПК і отримані в роботі результати можуть бути використані в науково-дослідних організаціях для оцінки міцності і надійності елементів конструкцій, що мають форму кругових циліндричних оболонок змінної товщини.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Григоренко А.Я. Свободные колебания круговых цилиндрических оболочек переменной толщины в уточненной постановке / А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова, Л.В. Соколова // Теорет. и прикладная механика. - 2007. - Вып. 43. - С. 111-117.

2. григоренко А.Я. об одном подходе к исследованию свободных колебаний цилиндрических оболочек переменной в круговом направлении толщины в уточненной постановке / А.Я. григоренко, Т.Л. Ефимова, Л.В. Соколова // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2009. - T. 52, № 3. - С. 103-115.

3. григоренко А.Я. О свободных колебаниях нетонких цилиндрических оболочек переменной толщины на основе метода сплайн-коллокации / А.Я. григоренко, Т.Л. Ефимова, Л.В. Соколова // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2010. - 53, № 4. - С. 169-179.

4. григоренко О.Я. Розв'язання системи диференціальних рівнянь, що описує власні коливання кругових циліндричних оболонок зі змінною товщиною / О.Я.Григоренко, Т.Л.Єфімова, Л.В. Соколова // Тези доповідей XII Міжнародної конференції ім. акад. М. Кравчука, Київ 15-17 травня 2008 р. - К.: НТУУ КПІ, 2008 - С. 109.

5. григоренко А.Я. Применение метода сплайн-аппроксимации для решения задач о свободных колебаниях цилиндрических оболочек переменной толщины / А.Я. Григоренко, Т.Л.Ефимова, Л.В.Соколова // Тези доповідей міжнародної конференції моделювання та дослідження стійкості динамічних систем (DSMSI-2009). - Київ, 2009. - с. 199.

6. григоренко А.Я. решение систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами на основе метода сплайн-аппрок-симации / А.Я. Григоренко, Т.Л.Ефимова, Л.В.Соколова // Тези доповідей ІІІ Міжна-родної конференції обчислювальної та прикладної математики - київ, 2009. - C. 31.

7. григоренко А.Я. Расчет свободных колебаний нетонких цилиндрических оболочек переменной толщины / А.Я. Григоренко, Т.Л.Ефимова, Л.В.Соколова // Тези доповідей XIII Міжнародної конференції ім. акад. М. Кравчука, т. 2, Київ 13-15 травня 2010 р., - К.: НТУУ КПІ, 2010. - С. 102.



АНОТАЦІЯ

Соколова Л.В. Розв'язання задач про вільні коливання кругових циліндричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці на основі сплайн-апроксимації. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, Київ, 2011. сплайн колокація координатний покроковий

Дисертація присвячена розробці ефективного підходу до розв'язання класу задач про вільні коливання кругових циліндричних оболонок змінної товщини при різних умовах закріплення контурів в уточненій постановці, що описуються крайовою задачею для системи диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами.

Для розв'язання даної задачі пропонується підхід, що базується на зведенні двовимірної крайової задачі до одновимірної задачі на власні значення методом сплайн-колокації вздовж одного з координатних напрямків. Отримана одновимірна задача розв'язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку.

На основі розробленого підходу проведено розрахунки динамічних характеристик циліндричних оболонок при різному характері зміни товщини, геометричних параметрів, ортотропії матеріалу та різних граничних умовах.

Ключові слова: циліндричні оболонки, змінна товщина, уточнена теорія, задача на власні значення, метод сплайн-колокації, метод дискретної ортогоналізації.



АННОТАЦИЯ

Соколова Л.В. Решение задач о свободных колебаниях кругових цилиндрических оболочек переменной толщины в уточненной постановке на основе сплайн-аппроксимации. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2011.

Диссертация посвящена разработке эффективного подхода к решению в уточненной постановке класса задач о свободных колебаниях ортотропных круговых цилиндрических оболочек переменной толщины при различных условиях закрепления контуров на основе совместного применения метода сплайн-коллокации и устойчивого численного метода дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска.

Задача о свободных колебаниях круговых цилиндрических оболочек переменной толщины в уточненной постановке описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных десятого порядка с переменными коэффициентами и соответствующими краевыми условиями на контурах оболочки.

Для решения данной задачи предлагается подход, основанный на сведении двумерной краевой задачи к одномерной задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью применения метода сплайн-коллокации вдоль одного из координатных направлений. Полученная одномерная задача на собственные значения решается устойчивым численным методом дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска.

На основе предложенного подхода разработан алгоритм, реализованный в программном комплексе на языке FORTRAN для ПК, с помощью которого был проведен расчет ряда новых задач о свободных колебаниях ортотропных круговых цилиндрических оболочек переменной в одном и в двух координатных направлениях толщиной при различных условиях на контурах.

Проанализировано влияние геометрических и механических параметров на свободные колебания замкнутых круговых цилиндрических оболочек переменной толщины в круговом направлении при различных граничных условиях.

Рассмотрены незамкнутые круговые изотропные и ортотропные цилиндрические оболочки с переменной в одном и в двух координатных направлениях толщиной при различных условиях закрепления краев.

Проведен сравнительный анализ спектров частот свободных колебаний изотропных и ортотропных незамкнутых круговых цилиндрических оболочек, толщина которых изменяется по различным законам в круговом направлении, удовлетворяющим требованию сохранения массы оболочки.

Полученные закономерности и выявленные эффекты, приведенные в работе на графиках и в таблицах, могут быть использованы для оценки прочности и надежности элементов конструкций и деталей машин, имеющих форму круговых цилиндрических оболочек переменной толщины.

Ключевые слова: цилиндрические оболочки, переменная толщина, уточненная теория, задача на собственные значения, метод сплайн-коллокации, метод дискретной ортогонализации.



SUMMARY

Sokolova L.V. Solution the free vibration problems of circular cylindrical shells with variable thickness in refined formulation on the basis of spline-approximation. - Manuscript.

Thesis for candidates degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid. - S. P. Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2011.

Thesis is devoted to development of the effective approach to solving in refined formulation of the class of problems on the free vibrations of circular cylindrical shells with variable thickness by various conditions on the edges. The problems are described by the system of partial differential equations of 10^th power with variable coefficients.

The approach proposed is based on reduction of two-dimensional boundary-value problem to one-dimensional using the spline-collocation method along one coordinate. The one-dimensional eigenvalues problem obtained is solved by the stable numerical discrete orthogonalization method in combination with step-by-step search method.

On the basis of the approach developed the computations of free vibrations of circular cylindrical shells with variable thickness by various conditions on the edges, depending on orthotropy of material, kind of geometry and variable thickness in one and both coordinate directions was carried out.

Key words: cylindrical shells, variable thickness, refined formulation, eigenvalues problem, spline-collocation method, discrete orthogonalization method.

Размещено на Allbest.ru

...