Классическая модель спина

Размещено на http://www.allbest.ru/

КЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СПИНА

ABSTRACT

В рамках классической электродинамики предложен вариационный метод теоретического исследования движения точечного электрического заряда в сплошной среде, имеющей собственные колебания поляризации. Показано, что в однородной и изотропной среде возможно формирование самосогласованной системы из силового центра на основе локализованной поляризации среды и вращающегося вокруг центра точечного заряда, породившего эту поляризацию. Показано, что момент импульса вращающегося заряда квантуется с «эффективной постоянной Планка» , близкой по значению к квантовомеханической постоянной . Минимальное значение момента импульса равно , а его квант изменения равен .

ВВЕДЕНИЕ

Дж. Уленбек и С. Гаудсмит [1] впервые предположили, что электрон обладает спиновым моментом и соответствующим ему магнитным моментом, для объяснения наблюдаемого зеемановского расщепления спектральных линий в атомах щелочных металлов. Дж. Мак-Коннел в своей книге «Квантовая динамика частиц» [2] обсуждает проблему связи спина с возможностью вращательного движения уединенного электрона. Он приходит к выводу, что наличие спина у электрона не означает, что он может рассматриваться как частица, вращающаяся вокруг некоторой оси. В [2] подчеркивается, что спин представляет собой чисто квантовое явление, которое не имеет аналога в классической теории, являющейся предельным случаем квантовой при равной нулю постоянной Планка .

В релятивистской квантовой теории П.А. М. Дирака [3], описывающей движение электрона, естественным образом возникает векторный оператор, имеющий такие же перестановочные соотношения между проекциями, как и у оператора его орбитального момента движения в пространстве. Но этот оператор не действует на функции пространственных координат и, следовательно, как бы не связан с движением электрона в пространстве. Поэтому говорят, что дираковский оператор спина описывает «внутренний угловой момент электрона» или «спиновый момент». Но, с другой стороны, спин электрона способен складываться с орбитальным его моментом, обусловленным, например, вращательным движением в поле атомного ядра. Можно, кажется, сделать вывод, что спин связан с вращательным движением электрона. Этот вывод подтверждается и наличием у электрона связанного со спином магнитного момента. А ведь магнитное поле порождается движущимся в пространстве зарядом. Тем не менее, и в научных публикациях, и в учебной литературе не связывают спин электрона с его стационарным вращательным движением вокруг выделенной оси.

Скорее всего, это связано с тем, что неизвестен механизм, который в однородном и изотропном пространстве для уединенного электрона формировал бы выделенную ось. Неизвестен такой механизм и в классической механике и электродинамике. Ниже мы покажем, что такой механизм может существовать, если пространство не является пустым, а заполнено однородной и изотропной средой. Для этого рассмотрим движение точечного электрического заряда в поляризующейся сплошной однородной и изотропной среде. Покажем, что в такой системе возможно стационарное вращение точечного заряда по круговым орбитам в отсутствие силового центра и существование квазиспина, как квантованного момента импульса одной частицы. Как утверждает квантовая теория поля, электрон или адрон поляризуют физический вакуум. Поэтому существование спина у элементарных частиц также может быть связано с их стационарным вращением в вакууме в отсутствие силового центра, вернее, в поле самосогласованного силового центра, созданного самой элементарной частицей путем деформации вакуума.

ОСОБЕННОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ СРЕДЫ ДВИЖУЩИМСЯ ТОЧЕЧНЫМ ЗАРЯДОМ

В нашей статье [4] описаны весьма необычные особенности поляризации среды прямолинейно движущимся точечным зарядом. Также как и в [4], здесь мы предположим, что поляризующаяся изотропная среда имеет собственные поляризационные колебания. Положим, что продольные колебания имеют частоту , а поперечные - . В таком случае диэлектрическая проницаемость среды , как показано в [5,6], будет зависеть от частоты действующего электрического поля по формуле:

(1)

где - значение диэлектрической проницаемости на высоких частотах . Вследствие однородности среды не будет зависеть от местоположения рассматриваемой точки в пространстве. Выражение (1) очевидным образом согласуется с соотношением Лиддена-Сакса-Теллера

(2)

где - диэлектрическая проницаемость на частотах . Если на среду действует электрическое поле свободного (например, точечного) заряда с индукцией в точке с радиусом-вектором в момент времени , то напряженность электрического поля в среде . Фурье-образы по времени этих полей связаны между собой соотношением (в системе единиц СИ):

(3)

где - электрическая постоянная.

Для дальнейших расчетов удобно перейти от силовых полей и к их дивергенциям:

(4)

Тогда соотношение (3) превращается в связь фурье-компонент по времени соответствующих плотностей зарядов на частоте :

. (5)

Соотношение (5) удобнее тем, что в рассматриваемом случае движущихся зарядов проще задавать поле в виде, включающем несколько вариационных параметров для последующего согласования состояния движения свободного заряда с воздействием на него поляризационного заряда с плотностью

поляризация точечный заряд спиновый

. (6)

Таким образом, применяемый нами здесь метод в некоторой степени аналогичен вариационному методу нахождения основного состояния квантовомеханической системы.

Решение нашей задачи начинается с задания в цилиндрической системе координат функции

(7)

которая описывает вращение точечного заряда в плоскости, перпендикулярной оси вращения , с радиусом орбиты , частотой вращения , с отклонением от центра орбиты в плоскости вращения и угловой переменной . Переменные и являются вариационными параметрами. Причем, - функцию необходимо рассматривать как периодическую функцию своего аргумента. Ведь свободный заряд, вращаясь по окружности, с течением времени периодически оказывается в любой точке орбиты с заданным . Такую периодическую функцию для анализа удобно представить в виде разложения в ряд Фурье указанной -функции, заданной на интервале изменения ее аргумента:

, (8)

где - целое число.

Произведем Фурье-преобразование функции (7) по времени с заменой (8). В результате получим:

(9)

Следовательно, согласно (5)

, (10)

а разность описывает плотность поляризационного заряда.

Для определения характера перемещения в пространстве поляризационного заряда произведем обратное Фурье-преобразование по функции (10). Прежде всего, отметим, что величина имеет особенность как функция частоты . Учитывая, что поляризационные колебания среды всегда затухают с течением времени, т.е., что их частоты имеют отрицательную мнимую часть интегрирование по частоте выполним методами функций комплексной переменной, считая, что величины бесконечно малы и положительны. В таком случае величину в (10) удобно представить в виде:

=. (11)

Поэтому после обратного Фурье-преобразования функции (10) одно слагаемое окажется отличающимся лишь множителем от выражения (7). Следовательно, плотность заряда будет включать плотность точечного заряда, расположенного в пространстве-времени также, как свободный заряд, но в раз меньшую по величине. Очевидно, что этот заряд представляет собой свободный заряд, экранированный высокочастотной поляризацией среды, описываемой параметром в выражении (1). Другая составляющая плотности распределения , соответствующая второму слагаемому в (11), никогда, насколько нам известно, не исследовалась в электродинамике сплошных сред со времен ее становления. Введем обозначение

(12)

и рассчитаем, согласно (12), функцию

. (13)

Интегрирование по в формуле (13) приводит к соотношению:

(14)

Для вычисления суммы по в (14) рассмотрим интеграл

(15)

по окружности бесконечного радиуса в плоскости комплексного переменного , где

. (16)

Функция имеет простые полюсы в точках

с вычетами, равными единице. Функция

(17)

при ведет себя как , то есть стремится к нулю при

.

При она стремится к нулю при

.

Следовательно, в основном интервале

числитель подынтегрального выражения в (15) не растет, а, благодаря знаменателю, убывает быстрее, чем при по любому пути. Следовательно, интеграл (15) равен нулю по лемме Жордана и равна нулю сумма вычетов подынтегрального выражения в (15). Но сумма вычетов в полюсах функции , очевидно, равна сумме по в выражении (14). Кроме того, у множителя при в (15) имеется также два простых полюса. Таким образом, находим, что

(18)

С учетом этого, вместо (14) получается выражение:

(19)

Таким образом, распределение оказывается одномерным, равным нулю вне орбиты свободного заряда. Может ли распределение своим воздействием обеспечить равномерное (с постоянной угловой скоростью) движение свободного заряда по орбите, не ускоряя и не замедляя его? Для ответа на этот вопрос рассмотрим знаки величины непосредственно перед движущимся по орбите свободным зарядом и непосредственно за ним, то есть при малом, но меньше 0, или малом, но больше 0. Эти знаки, оказывается, определяются величиной . Пусть, например,

.

Тогда в обоих случаях будет близок к значению , а будет равен малому положительному или отрицательному значению. Таким образом, при плотность перед свободным зарядом и позади него на орбите будет различной. В такой ситуации на свободный заряд на орбите будет действовать сила, имеющая отличную от нуля тангенциальную составляющую. Следовательно, состояние вращения с не будет стационарным. Можно легко заметить, что тангенциальная составляющая силы, действующей на свободный заряд, исчезает только в том случае, если отношение является полуцелым или целым. Однако, при целом знаменатель в фигурной скобке в (19) обращается в ноль, а обращается в бесконечность. При полуцелом отношении

плотность не имеет особенностей как функция :

(20)

где - целое число, включая 0, а , как указано выше, можно изменять в пределах от 0 до .

Частоты вращения при целом и полуцелом можно назвать частотами параметрического резонанса между орбитальным движением свободного заряда и колебаниями среды. Таким образом, полученное выше соотношение (19) фактически показывает, что в случае полуцелого возможно бесконечное повторение циклов равномерного вращения точечного свободного заряда вместе с поляризационным, распределенным по орбите (20).

Интересно, что в случае полуцелого интеграл по пространству от дает независящую от времени величину

,

которая, с учетом соотношения Лиддена-Сакса-Теллера, в сумме с - образным зарядом дает величину . Такую же величину получают в электродинамике для покоящегося в среде заряда. Рассматриваемый здесь точечный заряд не совершает поступательного движения и поэтому имеет вместе с поляризационным зарядом величину . Мы считаем, что эта величина суммарного заряда подтверждает правильность выбранной модели и произведенных нами расчетов величины . В случае целого циклическое вращение свободного заряда наращивает при каждом цикле плотность , и с начала вращения при к любому конечному моменту она достигает бесконечной величины. Следовательно, при целом вращение не является стационарным в полном смысле слова. Этот случай аналогичен обычному резонансу, при котором в каждом цикле амплитуда колебаний маятника, увеличиваясь, стремится к бесконечности. Подробное исследование поступательного движения заряда в рассматриваемой среде с учетом квантовых эффектов описано в [4, 6, 7].

Формула (20) представляет зависимость значений от на орбите свободного заряда в случае

при и . Согласно (20), плотность поляризационного заряда отлична о нуля только на орбите свободного заряда и в точке его расположения

равна нулю. Вблизи этой точки она противоположна по знаку заряду . При величина достигает максимума при

,

а при

опять обращается в ноль. При изменение приводит к осцилляциям , но всегда в ближайшем окружении свободного заряда, то есть, при

,

поляризационный заряд отрицателен. Вне этого интервала суммарный поляризационный заряд равен нулю. Следовательно, полный заряд на всей орбите и на интервале

одинаков. Симметричные относительно точки

элементы поляризационного заряда имеют одинаковые знак и величину. Следовательно, сила, действующая со стороны поляризационного заряда на свободный, будет центростремительной и одинаковой при любом . Таким образом, свободный заряд, поляризующий среду, способен совершать в однородной и изотропной среде стационарное вращательное движение по орбитам, радиусы которых могут быть найдены с помощью подгоночного параметра . Множество этих орбит, очевидно, будет дискретным, характеризуемым полуцелым «квантовым» числом . Свободный заряд на этих орбитах будет иметь момент импульса вращательного движения. Поскольку в рассматриваемой системе отсутствует силовой центр вращательного движения, то указанный момент импульса можно называть не орбитальным, а «спиновым».

ОСОБЕННОСТИ СПИНОВОГО ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Обсудим сначала состояние поляризационного поля при стационарном вращательном движении свободного заряда. Прежде всего отметим, что частота считается независящей от волнового вектора волны поляризации. Это означает, что групповая скорость поляризационных волн в нашей модели равна нулю. Это предположение и является основой существования найденного выше стационарного состояния. Если же групповой скоростью поляризационных волн пренебречь нельзя, то, как показано ранее [6,8], дивергенция поля поляризации, порождаемого движущимся свободным зарядом, не будет локализоваться на траектории его движения. В таком случае стационарность рассматриваемого здесь состояния оказывается проблематичной. Но такая модель, как классическая модель спина, имеет право на существование.

Очевидно, что в отсутствие дисперсии частоты в качестве базисных элементов поляризующегося поля можно рассматривать как гармоники этого поля, соответствующие каждая определенному волновому вектору, так и локализованные каждый в своей точке пространства осцилляторы поля, способные иметь любое направление дипольного момента. Например, рассмотрим с последней точки зрения случай с «квантовым» числом , когда весь поляризационный заряд в каждой точке орбиты имеет знак, противоположный знаку . Поэтому можно утверждать, что в процессе возбуждаемых свободным зарядом колебаний дипольных моментов каждого осциллятора поля, в среднем, эти моменты всегда направлены к орбите тем полюсом, знак которого совпадает со знаком поляризационного заряда на орбите. Значит, дипольные моменты осцилляторов поля практически не осуществляют реориентационных вращательных движений. В случаях с такие движения возможны. Но, учитывая, что в зеркально симметричных относительно плоскости орбиты точках поляризационного низкочастотного поля дипольные моменты осцилляторов также зеркально симметричны, можно заключить, что суммарный момент импульса этих осцилляторов равен нулю. Поэтому далее обсуждаться будет только вращательный момент свободного заряда в рассмотренном выше стационарном состоянии.

Центростремительное ускорение обеспечивает этому заряду взаимодействие с распределенным по орбите поляризационным зарядом (20) при частотах вращения

,

плотность которого в цилиндрической системе координат имеет вид:

. (21)

Так как согласно (6) и (21) вращение и точечного, и распределенного зарядов является стационарным, то удобно рассмотреть момент . В этот момент точечный заряд расположен в точке с координатами .

Центростремительную составляющую силы, действующей на свободный заряд со стороны поляризационного можно рассчитывать по формуле:

(22)

где указывает местоположение на орбите элемента поляризационного заряда при ; - электрическая постоянная.

После подстановки в формулу (22) выражений (6) и (21) и интегрирования функций получается простое интегральное выражение:

. (23)

Интеграл в (23) при любом оказывается равным .

Если свободный заряд имеет массу , то уравнение его движения можно представить в виде соотношения:

. (24)

Оно позволяет определить радиус - ой орбиты стационарного вращения свободного заряда в отсутствие силового центра:

. (25)

Следовательно, линейная скорость движения заряда по орбите не зависит от :

. (26)

Это удивительное постоянство скорости движения заряда на всех орбитах, включая орбиты бесконечного радиуса, порождает желание ее оценить, например, для электрона в какой-либо сплошной среде. При Гц, скорость электрона оказывается примерно равной см/с. Используя это значение с помощью соотношения (26) легко получить величину наименьшего радиуса электронной орбиты: .

Это значит, что приближение сплошной среды для электрона в нашей модели использовать допустимо. Интересно определить и момент импульса любого заряда на рассматриваемых орбитах

. (27)

Оказывается, момент импульса квантован. Наименьшее его значение равно половине кванта , а изменяться он может при переходе с орбиты на орбиту на целое число квантов. Для электрона в рассматриваемой среде , что неожиданно близко к значению постоянной Планка . Ведь постоянная Планка также является квантом изменения момента импульса в квантовой механике. Поскольку наименьшее значение момента импульса любого заряда на рассматриваемых орбитах равно половине кванта , то заряд на этих орбитах можно считать моделью фермиона не только в состоянии с наименьшим квантовым числом спина , но и при любых значениях этого квантового числа, то есть и в высокоспиновых состояниях.

В нашей модели, также как и в природных условиях, электрозаряженный фермион обладает магнитным моментом. Весь заряд, расположенный на орбите в предлагаемой нами модели, состоит из свободного и двух типов поляризационного (высокочастотного и низкочастотного). Как показано выше, суммарный заряд равен

.

Распределение его по орбите не однородное, более того - знакопеременное. Поэтому для оценки магнитного момента воспользуемся средней силой тока , протекающего по -ой орбите:

. (28)

Магнитный момент, создаваемый этим током по орбите радиуса , будет равен [9]:

. (29)

Как указывает соотношение (29) магнитный момент во всех спиновых состояниях фермиона пропорционален числу . Поэтому гиромагнитное отношение для всех значений будет одинаковым и равным

. (30)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Система, состоящая из однородной и изотропной среды, являющейся динамической подсистемой, и частицы, взаимодействующей с этой средой, может иметь состояния движения с активной ролью среды. В этих состояниях среда, подстраиваясь к движению частицы с запаздыванием, способна формировать состояния, не соответствующие симметрии среды. Выше показано, что примером таких состояний может служить состояние вращательного движения частицы в среде в отсутствие в ней силового центра.

2. Запаздывание реакции среды связано с существованием конечных частот , собственного ее движения, что приводит к резонансным эффектам в движении частицы в среде. В рассмотренном выше случае это приводит к выделению частот параметрического резонанса ( ) в совместном движении среды и частицы. Причем стационарное движение возникает лишь на частотах .

3. Уравнение движения классической частицы связывает с каждой частотой стационарного движения соответствующий радиус орбиты таким образом, что линейная скорость движения частицы по всем стационарным орбитам оказывается одинаковой.

4. Это свойство скорости приводит к тому, что момент импульса частицы также квантуется - пропорционален . Квант изменения момента импульса при переходе с одной орбиты на другую. Минимальное значение момента импульса при равно половине кванта . По этому признаку момент импульса рассмотренной частицы, движущейся по орбите в отсутствие силового центра, можно назвать спиновым моментом фермиона в нижайшем по спину и в высокоспиновых состояниях.

5. Удивительно, но условие квантования момента импульса рассмотренной выше системы совпадает с требованием: на длине орбиты должно укладываться целое число полуволн поляризационного заряда. Подобным образом может быть сформулировано и условие Н. Бора квантования орбит электрона в атоме водорода (то есть в присутствии силового центра), с той разницей, что в нем на длине орбиты укладывается целое число длин волн Де Бройля.

6. В связи с этим наша модель позволяет волну Де Бройля назвать волной поляризации электромагнитного и электрон-позитронного вакуумов электроном, движущимся вокруг ядра атома.

7. Квантованным оказывается и магнитный момент заряженной частицы на указанных орбитах, так как он пропорционален квантовому числу .

ЛИТЕРАТУРА

1. G. Uhlenbeck und Goudsmit. // Naturwissenschaften. 13, 953 (1925).

2. Дж. Мак-Коннел. Квантовая динамика частиц. М. Иностранная Литература, 1962, 314 с.

3. П.А. М. Дирак. Принципы квантовой механики. М. Наука, 1979, 408 с.

4. Э.Н. Мясников, З.П. Мастропас. // ФТТ. Т. 51, вып. 5 (2009), с. 966-971.

5. М.С. Бродин, С.В. Марисова, Э.Н. Мясников. Поляритоны в кристаллооптике. Киев. Наукова Думка, 1984, 218 с.

6. Э.Н. Мясников, А.Э. Мясникова, З.П. Мастропас. // ЖЭТФ. Т. 129, вып. 3 (2006), с. 548-565.

7. A.E. Myasnikova. // Phys.Rev. B. 52, 10457 (1995).

8. E.N. Myasnikov, A.E. Myasnikova, F.V. Kusmartsev.// Phys.Rev. B. V.72, 224301 (2005).

9. И.Е. Тамм. Основы теории электричества. М. Наука, 1989.

Размещено на Allbest.ru