Напружено-деформований стан клиноподібних пружних тіл з прямолінійними тріщинами

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 539.3

01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНИЙ СТАН КЛИНОПОДІБНИХ ПРУЖНИХ ТІЛ З ПРЯМОЛІНІЙНИМИ ТРІЩИНАМИ

Некислих Катерина Михайлівна

Київ-2011



Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі теоретичної та прикладної механіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, доцент Острик Володимир Іванович, Інститут прикладної фізики НАН України, м. Суми, провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Мартиненко Михайло Антонович, Національний університет харчових технологій, м Київ, завідувач кафедрою вищої математики

кандидат фізико-математичних наук, доцент Куценко Олексій Григорович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри механіки суцільних середовищ

Захист відбудеться « 14 » грудня 2011 року о 1415 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, вул. Глушкова, 4-е, механіко-математичний факультет, ауд. 41.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01601 МПС, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий « 4 » листопада 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат фізико-математичних наук, доцент А.В. Ловейкін



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сучасному етапі розвитку науки і техніки необхідність зменшення матеріаломісткості елементів конструкцій, машин та приладів, що працюють за умов різного роду інтенсивних навантажень, забезпечення їх міцності, надійності та довговічності є актуальною і важливою задачею. Прогресивні підходи вирішення цієї проблеми шляхом використання нових матеріалів потребує ефективних методів дослідження напружено-деформованого стану твердих тіл в околі концентраторів напружень, якими є кутові точки поверхні, включення та тріщини.

При вивченні напружено-деформованого стану клиноподібних пружних тіл, які є досить поширеними моделями багатьох елементів конструкцій і містять дефекти типу тріщин, використовуються, як правило, числові, числово-аналітичні та асимптотичні методи дослідження. На сьогодні майже відсутні детальні дослідження вказаного напрямку з використанням точних аналітичних методів. Саме розробці аналітичного підходу і отриманню точних аналітичних розв'язків крайових задач рівноваги пружних тіл у вигляді клина з тріщинами присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності з індивідуальним планом підготовки аспіранта кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка та у рамках бюджетних науково-дослідних тем „Мікромеханіка тонких плівок на комбінованій шаруватій пружній основі - експериментальні методи індентування надтонких плівок та теоретичні розрахунки” (2006-2010 рр., № державної реєстрації 0106U005865), „Крайові задачі динаміки пружних тіл зі спряженими польовими фізико-механічними властивостями та їх застосування в неруйнівному контролі, сенсорних мікроелектромеханічних системах та хвильових гіроскопах” (2011-2015 рр., № державної реєстрації 0111U006678).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методики дослідження напружено-деформованого стану клиноподібних пружних тіл з прямолінійними тріщинами.

Досягнення поставленої мети передбачає вирішення таких завдань:

розробити загальну методику побудови аналітичних розв'язків крайових задач двовимірної теорії пружності для клина з прямолінійними тріщинами з використанням інтегрального перетворення Мелліна та методу Вінера - Ґопфа;

отримати аналітичні розв'язки плоских задач про рівновагу пружного клина з прямолінійними крайовими або внутрішніми тріщинами на осі симетрії клина;

дослідити контакт берегів крайової тріщини у пружному клині;

вивчити напружено-деформований стан клиноподібного тіла при його розклинюванні вздовж крайової тріщини.

Об'єкт дослідження - клиноподібні пружні тіла з крайовими або внутрішніми прямолінійними тріщинами, що знаходяться на лінії симетрії клина. клин тріщина меллін вінер

Предмет дослідження - напружено-деформований стан пружного клина, коефіцієнти інтенсивності напружень, розкриття тріщини, довжини зон контакту та відставання.

Методи дослідження. Основний метод, який застосовується для розв'язання крайових задач є метод Вінера - Ґопфа. Для побудови загального розв'язку та розв'язку основної змішаної задачі для пружного клина використовується інтегральне перетворення Мелліна, для зведення інтегральних рівнянь крайових задач до функціональних рівнянь - інтегральне перетворення Фур'є, для знаходження коренів трансцендентних рівнянь - чисельний метод Ньютона та асимптотичний метод.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

із застосуванням методу Вінера - Ґопфа розроблено єдиний підхід до визначення напружено-деформованого стану клиноподібних пружних тіл з прямолінійними тріщинами на осі симетрії;

одержано точний аналітичний розв'язок неоднорідної задачі про рівновагу пружного клина з напівнескінченною тріщиною на осі симетрії клина, до берегів якої прикладені зосереджені нормальні сили;

знайдено аналітичний розв'язок задачі про рівновагу пружного клина з прямолінійною внутрішньою тріщиною на його осі симетрії;

вивчено рівновагу пружного клина з крайовою тріщиною при врахуванні контакту берегів тріщини;

побудовані аналітичні розв'язки задач про розклинювання пружного клина жорстким клином або жорсткою пластинкою сталої товщини уздовж крайової тріщини на осі симетрії клина;

розв'язана задача про розклинювання пружного клина жорсткою пластинкою сталої товщини з урахуванням відставання берегів тріщини поблизу вершини клина від поверхонь пластинки.

Достовірність наукових результатів забезпечується коректністю постановок граничних задач, використанням добре апробованих математичних моделей та застосуванням строго обґрунтованих аналітичних методів, точністю виконання граничних умов та збіжністю отриманих результатів, а також підтверджується співставленням отриманих результатів з даними, наведеними в літературних джерелах для окремих випадків.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що вони дозволяють визначити параметри руйнування клиноподібних тіл з тріщинами і можуть бути використані в розрахунковій практиці проектних організацій, що працюють у галузях будівництва, машинобудування, приладобудування тощо.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. Напрямок досліджень, вибір методів розв'язання поставлених задач та участь в обговоренні отриманих результатів належить науковому керівникові В. І. Острику. Здобувач виконала усі аналітичні перетворення при побудові розв'язків та здійснила їх числову реалізацію, провела аналіз і порівняння отриманих результатів з відомими, брала участь у обговоренні результатів, їх інтерпретації та систематизації.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на II Міжнародній науковій конференції „Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 2008); 9-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (2009); конференції молодих учених „Підстригачівські читання - 2010” (Львів, 2010); VIII Міжнародній науковій конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2010); XVIII Міжнародній науково-технічній конференції „Прикладные задачи математики и механики” (Севастополь, 2010); Міжнародній науковій конференції „Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях” (Харків, 2011).

У цілому робота доповідалась на: семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка; об'єднаному семінарі кафедр механіки суцільних середовищ та теоретичної та прикладної механіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 11 наукових праць, з яких 5 статей у наукових фахових виданнях, що затверджені ВАК України, 1 стаття у міжнародному журналі та 5 робіт опубліковано у тезах доповідей та матеріалах конференцій.

Структура дисертації. Робота складається зі вступу, 4 розділів, висновків, списку використаної літератури, що включає 204 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 173 сторінки, із них 157 сторінок основного тексту. Робота містить 43 рисунка та 16 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету та завдання дослідження, вказано методи розв'язання поставлених задач, визначено новизну і достовірність одержаних результатів, їх практичне значення, наведено відомості про публікації та висвітлено особистий внесок в них здобувача, вказано рівень апробації результатів.

У першому розділі дисертації проведено огляд літератури, присвяченої задачам теорії пружності для клиноподібних тіл з тріщинами, проаналізовані результати й методи розв'язання таких задач, та виявлені питання, які потребують подальшого вивчення: контакт берегів тріщини у пружному клині, наявність обертання на нескінченності, можливість відставання при розклинюванні пружного тіла.

Задачам теорії тріщин присвячено багато публікацій, серед яких монографії В.М. Александрова, Б.І. Сметаніна, Б.В. Соболя; О.Є. Андрейківа; Л.Т. Бережницького, М.В. Делявського, В.В. Панасюка; Л.Т. Бережницького, В.В. Панасюка, М.Г. Стащука; Г.С. Васильченка, П.Ф. Кошелева; О.М. Гузя; А.О. Камінського; Л.М. Качанова; Г.С. Кіта, М.Г. Кривцуна; Г.С. Кіта, О.В. Побережного; Г.С. Кіта, М.В. Хая; О.М. Лінькова; М.А. Махутова; Є.М. Морозова, Г.П. Нікішкова; М.Ф. Морозова; М.І. Мусхелішвілі; Д. Нотта; В.В. Панасюка; В.В. Панасюка, М.П. Саврука, О.П. Дацишин; В.З. Партона; В.З. Партона, В.Г. Борисковського; В.З. Партона, Є.М. Морозова; Г.Я. Попова; Г.М. Савіна; М.П. Саврука; М.П. Саврука, П.М. Осива, І.В. Прокопчука; Л.Й. Слепяна; В.М. Фінкеля; Г.П. Черепанова; Г.П. Черепанова, Л.В. Єршова; T.L. Anderson; E.E. Gdoutos; M.K. Kassir, G.C. Sih; I.N. Sneddon, B.M. Lowengrub та інші.

Розв'язанням задач теорії пружності для клина з тріщинами займалися В.М. Александров, Р.Д. Банцурі, М.Р. Галаджева, Л.А. Кіпніс, Р.М. Луцишин, М.І. Махоркін, М.П. Саврук, А.Е. Садихов, В.Х. Сирунян, Б.І. Сметанін, Г.Т. Сулим, А.А. Храпков, O.L. Bowie, M. Civelek, H.E. Doran, F. Erdogan, R.D. Gregory, B. Gross, Irwin G. R., T. Kondo, D.M. Neal, F. Quchterlony, J.E. Srawley, R.P. Srivastav, S.F. Stone, O. Tamate, R.A. Westmann, L.A. Wigglesworth.

У другому розділі із застосуванням методу Вінера Ґопфа отримано аналітичні розв'язки задач плоскої деформації пружного клина, бічні грані якого вільні від напружень, з прямолінійними тріщинами на його осі симетрії. Розглянуто випадки скінченної тріщини, що виходить з вершини клина, напівнескінченної тріщини, яка починається на деякій відстані від вершини клина та внутрішньої скінченної тріщини.

У п. 2.1 у полярній системі координат будується розв'язок основної змішаної задачі для пружного клина , , що знаходиться в стані плоскої деформації, якщо на одній грані клина задана радіальна похідна нормальних переміщень і відсутні дотичні напруження , а на іншій - задані напруження , ( - модуль зсуву). Розв'язок цієї задачі отримано із застосуванням інтегрального перетворення Мелліна. Зокрема, на грані клина нормальні напруження виражаються інтегралом

, (1)

де - число Пуассона, - трансформанти Мелліна функцій (). Співвідношення (1) використовуються як подання розв'язку в розглянутих нижче задачах для клина з тріщинами.

У п. 2.2 наводиться розв'язок задачі про рівновагу пружного клина зі скінченною тріщиною , довжини , яка виходить з вершини клина. Грані клина , вільні від напружень, а на берегах тріщини , діє сталий тиск . При такому навантаженні тріщина розкривається; її максимальне розкриття у вершині клина, яке позначимо , потребує визначення при розв'язанні задачі.

Оскільки плоска деформація клина симетрична відносно його осі, обмежимося розглядом верхнього півклина , . Виходячи з того, що окружні переміщення на початку полярної системи координат повинні приймати нульове значення, будемо вважати, що полярна вісь зв'язана з вершиною верхнього півклина і в процесі деформації клина залишається паралельною осі симетрії клина.

Змішані крайові умови задачі запишуться у вигляді

(), (), (),

, (). (2)

Введемо невідому функцію радіальної похідної нормальних переміщень верхнього берега тріщини (). Поданням розв'язку (1) (, ) задовольнимо першу крайову умову (1). Виконуючи заміни , , , () отримуємо інтегральне рівняння на півосі з різницевим ядром:

(), (3)

, , , .

, .

Розповсюдивши інтегральне рівняння (3) на всю числову вісь, застосувавши до нього інтегральне перетворення Фур'є і вводячи невідомі функції комплексної змінної

, , (4)

аналітичні відповідно у півплощинах і (, ), отримуємо функціональне рівняння Вінера - Ґопфа

(, ), (5)

,

Після факторизації коефіцієнта і правої частини рівняння (5):

,

, ,

, (6)

де , () - корені рівнянь і відповідно із півплощини , отримуємо розв'язок функціонального рівняння (5) у вигляді

, , . (7)

Розв'язок інтегрального рівняння (3) знаходимо оберненим перетворенням Фур'є першої рівності (4). Враховуючи (7) будемо мати

. (8)

За допомогою леми Ватсона знаходимо поведінку нормальних напружень поблизу вершини тріщини і визначаємо коефіцієнт інтенсивності напружень

, . (9)

Вираз для у декілька іншій формі отримано в роботі H.E. Doran шляхом факторизації коефіцієнта функціонального рівняння в інтегралах типу Коші.

За теорією лишків отримано розподіли нормальних напружень на лінії продовження тріщини та окружні переміщення берегів тріщини у вигляді рядів за коренями , () трансцендентних рівнянь.

У п. 2.3 задача про рівновагу пружного клина з напівнескінченною тріщиною розв'язана у двох постановках: за умови відсутності обертання на нескінченності і без накладання зазначеної умови.

Спочатку будуємо розв'язок задачі за умови, що обертання на нескінченності відсутнє. Розглядаємо плоску деформацію пружного клина , з напівнескінченною тріщиною , , до берегів якої в точках , , прикладені зосереджені нормальні сили . Грані клина , вільні від напружень, а на нескінченності в кожному з півклинів і напруження мають головний вектор , направлений перпендикулярно до осі клина.

Введенням невідомої функції колових нормальних напружень на лінії продовження тріщини і використанням експоненціальної заміни задачу зведено до інтегрального рівняння на півосі з різницевим ядром, яке розв'язується методом Вінера - Ґопфа аналогічно попередній задачі. Отримані формули для обчислення нормальних напружень на лінії продовження тріщини, коефіцієнта інтенсивності напружень та нормальних переміщень верхнього берега тріщини. У випадку , для маємо значення, отримане в роботах Л.А. Кіпніса та А.Е. Садихова. Необхідний для відсутності обертання на нескінченності момент визначається із умови рівноваги.

Якщо розв'язувати задачу з обертанням на нескінченності, то колові переміщення будуть лінійними на нескінченності і тому їх перетворення Мелліна не існує. Далі будується розв'язок задачі, вільний від обмеження щодо відсутності обертання на нескінченності. При цьому береги розрізу на нескінченності повертаються один від одного, а головний момент напружень на нескінченності дорівнює нулю. Останній розв'язок будується із попереднього методом суперпозиції з однорідним розв'язком, в якому напруження на нескінченності мають задані головні моменти, протилежні для кожного з півклинів.

Для побудови однорідного розв'язку, з заданим на нескінченності моментом розглядається допоміжний стан від дії на кожному березі тріщини пари зосереджених сил - сили у точці і сили у точці - з відсутністю обертання і головного вектора на нескінченності.

Розв'язок, який відповідає допоміжному стану, виписується за побудованим вище розв'язком. Асимптотика цього розв'язку при необмеженому віддаленні зосереджених сил від вершини клина показує, що напруження і переміщення у кожній точці клина прямують до нуля обернено пропорційно квадрату відстані точок прикладання сил від вершини клина. Це дає змогу, за допомогою допоміжного розв'язку отримати розв'язок однорідної задачі з заданим моментом і обертанням на нескінченності, якщо сили зносити на нескінченність, а їх величини збільшувати пропорційно квадрату відстані до вершини клина.

Також показано, що розв'язок задачі з вільним обертанням на нескінченності можна отримати безпосередньо, застосовуючи узагальнене перетворення Мелліна функцій степеневого зростання на нескінченності.

На рис. 1 показано розподіл безрозмірних нормальних напружень на лінії продовження тріщини (), на рис. 2 - безрозмірні нормальні переміщення верхнього берега тріщини (, ) у випадку, коли клин є чвертьплощиною (). Криві 1 відповідають умові відсутності обертання на нескінченності, криві 2 - вільному обертанню і відсутності моментів на нескінченності. При цьому відносна координата прикладання зосереджених сил на берегах тріщини , сили на нескінченності відсутні. Криві 3 показують розподіл величин , у випадку дії на нескінченності заданих моментів (, ).

У п. 2.4 отримано аналітичний розв'язок задачі про рівновагу пружного клина з прямолінійною внутрішньою скінченною тріщиною (), яка розташована на його осі симетрії. Бічні грані клина вільні від напружень, а на берегах тріщини діє сталий тиск .

Задача зводиться до інтегрального рівняння з різницевим ядром на скінченному проміжку. Інтегральне рівняння розв'язано узагальненим методом Вінера - Ґопфа зведенням його до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь, використовуючи підхід робіт М.П. Ганіна, М.М. Ігнатенко, В.Х. Кіріллова, Ю.А. Антипова. Розв'язок нескінченної системи алгебраїчних рівнянь знаходиться у рядах за степенями малого параметра . Для визначення коефіцієнтів рядів отримані рекурентні співвідношення.

Коефіцієнти інтенсивності напружень, нормальні напруження на лінії подовження тріщини та нормальні переміщення верхнього берега тріщини виражені через розв'язок нескінченної системи алгебраїчних рівнянь.

Отримані значення коефіцієнтів інтенсивності напружень порівнювалися з відповідними значеннями чисельних (O. Tamate, T. Kondo) та асимптотичних (Б.І. Сметанін) розв'язків. З'ясовано, що відносна похибка чисельного розв'язку O. Tamate, T. Kondo не перевершує 2%, а асимптотичний розв'язок Б.І. Сметаніна практично співпадає з точним при , тобто коли .

У третьому розділі методом Вінера - Гопфа побудовано аналітичні розв'язки задач про рівновагу пружного клина з прямолінійною тріщиною, яка виходить з вершини клина і розташована на його осі симетрії, у випадку дії на гранях клина розтягуючих або стискаючих зосереджених сил при врахуванні контакту берегів тріщини.

У п. 3.1 інтегральним перетворенням Мелліна отриманий розв'язок задачі розтягу зосередженими силами суцільного клина без тріщини. Цей розв'язок показує, що нормальні розтягуючі напруження в інтервалі на лінії симетрії клина переходять у напруження стиску в зоні прилеглій до вершини клина () та всередині клина ().

У зв'язку з цим, якщо на осі симетрії клина внести крайову тріщину, то в залежності від довжини тріщина може бути або повністю розкритою, або частково розкритою.

У п. 3.2 розглянуто випадок повністю розкритої тріщини. Розглядається плоска деформація пружного клина , з тріщиною , довжини , яка виходить із вершини і знаходиться на лінії симетрії клина. У точках , граней клина діють зосереджені сили , нормальні до осі симетрії клина. Лінія дії зосереджених сил проходить на відстані від вершини клина.

Рис. 3

Задача зводиться до інтегрального рівняння з різницевим ядром на напівнескінченному проміжку, яке розв'язується методом Вінера - Гопфа. Обчислені безрозмірні переміщення верхнього берега тріщини, коли клин є чверть площиною (, рис. 3). Розрахунки проведені для числа Пуассона . Криві 1-4 відповідають значенням відносної відстані лінії дії сил від вершини клина 0,7; 0,8; 0,9; 1. З наближенням відстані до критичного значення береги тріщини наближаються один до одного і змикаються у вершині при (крива 4). Значення відносної критичної відстані для кутів піврозхилу клина , , , відповідно дорівнюють 1.79, 2.65, 5.37,

13.32. Для кутів для будь-якої відстані тріщина залишається розкритою.

Обчислено також значення безрозмірних коефіцієнтів інтенсивності напружень для різних значень кута і відносної відстані .

У п. 3.3 розглянуто задачу у випадку контакту берегів тріщини, в області , прилеглої до вершини клина. Узагальненим методом Вінера - Ґопфа задача зводиться до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь, яка розв'язана у рядах за степенями малого параметра. Розмір області контакту берегів тріщини визначено із умови однозначності переміщень.

Розподіл нормальних напружень в області контакту (рис. 4) показує, що напруження в області контакту є напруженнями стиску . Але у достатньо малій зоні контактні напруження стають додатними, що вказує на часткове відставання берегів тріщини поблизу вершини клина. Завдяки малості цієї зони, її вплив на напружено-деформований стан пружного клина поза малим околом його вершини є незначним. Обчислення проведені для випадку, коли клин є чверть площиною () (число Пуасона ). Безрозмірними є величини . Криві 1-4 відповідають значенням відносної координати точок прикладання зосереджених сил на гранях клина , 4, 4.5; 5. Критичне значення відносної координати точок прикладання зосереджених сил, при якому береги тріщини змикаються лише у вершині клина, складає величину . Їй відповідає критичне значення відстані лінії дії зосереджених сил від вершини клина Також обчислені значення відносних розмірів області контакту і безрозмірних коефіцієнтів інтенсивності напружень для різних значень відносної координати точок прикладання зосереджених сил на гранях клина.



Рис. 4

У четвертому розділі в умовах плоскої деформації, розглядаються задачі про розклинювання пружного клина жорстким клином або жорсткою пластинкою сталої товщини уздовж крайової тріщини, яка знаходиться на осі симетрії пружного клина і виходить до його вершини.

Рис. 5

У п. 4.1 отримано розв'язок задачі про розклинювання пружного клина жорстким клином (рис. 5). Грані жорсткого клина контактують з берегами тріщини на проміжку , де - невідомий розмір області контакту. Сили тертя в області контакту не враховуються. Грані пружного клина , та береги тріщини поза областю контакту () вільні від напружень

Змішані крайові умови на межі верхнього півклина мають вигляд



, , ,

, , . (10)

Інтегральне рівняння задачі узагальненим методом Вінера - Ґопфа зводиться до нескінченної системи алгебричних рівнянь, яка розв'язана у рядах за степенями малого параметра. Для визначення розміру області контакту служить умова однозначності переміщень.

На рис. 6 показано розподіли безрозмірних нормальних напружень в області контакту у випадках, коли клин є чвертьплощиною (, крива 1) або півплощиною (, крива 2), а глибина занурення жорсткого клина . Напруження в області контакту є напруженнями стиску (). Але у випадку у достатньо малій зоні () контактні напруження стають додатними, що вказує на часткове відставання берегів тріщини від поверхні жорсткого клина поблизу вершини пружного клина. Зона додатних напружень зменшується із збільшенням кута і взагалі зникає для . Ясно, що за наявності зони відставання (при ) необхідно переглянути постановку задачі, але завдяки малості цієї зони при , її вплив на напружено-деформований стан пружного клина поза малим околом його вершини є незначним. У випадку ж малих кутів



Рис. 6

задачу слід розглядати в уточненій постановці, коли друга крайова умова (10) розповсюджується і на зону відставання . Відносний розмір області контакту майже не залежить від кута і дорівнює .

Значення безрозмірних коефіцієнтів інтенсивності напружень для різних значень відносного занурення жорсткого клина порівнювалися з результатами наближеного розв'язку Р.М. Луцишина. Точність наближеного розв'язку виявилась достатньо високою.

У п. 4.2 отримано розв'язок задачі про розклинювання пружного клина пластинкою сталої товщини . У крайових умовах (10) умови на колові переміщення приймають вигляд , .

На рис. 7, 8 зображено розподіли безрозмірних нормальних напружень в області контакту за різних кутів піврозхилу пружного клина при відносному розмірі області контакту . Криві 1-4 на рис. 7 відповідають значенням кута , , , , криві 1-3 на рис. 8 - значенням , , .



Як видно із рис. 7, для пружного клина з півкутом на частині області контакту , прилеглій до вершини клина, контактні напруження стають додатними, що вказує на часткове відставання берегів тріщини від поверхні жорсткої пластинки. У цьому разі (при ) побудований розв'язок втрачає зміст і для отримання фізично змістовного розв'язку необхідно переглянути постановку задачі. Якщо ж (рис. 8), нормальні напруження є напруженнями стиску () у всій області контакту , тобто відставання не має місця і знайдений розв'язок задачі є фізично змістовним.

У п. 4.3 розглянута попередня задача (із п. 4.2) в уточненій постановці з урахуванням відставання берегів тріщини від поверхонь жорсткої пластинки поблизу вершини клина. Вважаємо, що береги тріщини () контактують з поверхнями пластинки вздовж відрізку (), а на проміжку - відстають від поверхонь пластинки, так що вершина кожного з півклинів зміщується з осі симетрії клина на відстань (). Розмір зони відставання, так само як і відстань , заздалегідь невідомі і підлягають визначенню. Сили тертя в області контакту не враховуємо. Грані пружного клина , , та береги тріщини поза областю контакту (, ) вільні від напружень.



Рис. 9

Завдяки симетрії задачі крайові умови формулюємо для верхнього півклина , :

(, ), (),

(), , , (). (11)

Задача зводиться до інтегрального рівняння на системі проміжків:

(, ), (12)

де (, ), (, ), , , а ядро виписане у формулах (3).

Інтегральне рівняння (12) розв'язано зведенням його до нескінченної системи алгебричних рівнянь, застосовуючи метод Вінера - Ґопфа і узагальнюючи підхід роботи Ю.А. Антипова, у якій побудовано розв'язок інтегрального рівняння з різницевим ядром на скінченному інтервалі. Отримана нескінченна система алгебричних рівнянь є регулярною і відноситься до систем типу Пуанкаре - Коха, так як її коефіцієнти експоненціально затухають. Її розв'язок знаходився за допомогою методу послідовних наближень та методу редукції.

У табл. 1 представлено значення безрозмірних коефіцієнтів інтенсивності напружень для різних значень відносної глибини занурення жорсткої пластинки і кута піврозхилу пружного клина . Для порівняння у дужках наведено відповідні значення при нехтуванні відставанням (задача із п. 4.2). Якщо не враховувати відставання, то похибка може досягати 3,5%.

Таблиця 1 - Значення

0.1	0.1761 (0.1822)	0.2121 (0.2156)	0.2339 (0.2360)	0.2717 (0.2721)
0.3	0.3541 (0.3645)	0.3982 (0.4033)	0.4213 (0.4241)	0.4555 (0.4560)
0.5	0.5766 (0.5863)	0.6124 (0.6166)	0.6289 (0.6310)	0.6508 (0.6511)
0.7	0.9049 (0.9101)	0.9230 (0.9250)	0.9306 (0.9316)	0.9400 (0.9402)
0.9	1.7465 (1.7454)	1.7471 (1.7474)	1.7477 (1.7479)	1.7484 (1.7485)

У табл. 2 наведено значення відносних розмірів зони відставання берегів тріщини від поверхонь жорсткої пластинки для різних значень відношення і кута . Оціночними для вказаних значень можуть слугувати відносні розміри зони додатних контактних напружень із задачі у спрощеній постановці без урахування відставання берегів тріщини поблизу вершини клина від поверхонь жорсткої пластинки (п. 4.2.). Відповідні оціночні значення, які представлено в дужках, приблизно у півтора рази менші самих значень . Із табл. 2 видно, що зона відставання займає значну частину зануреної зони пластинки і в деяких випадках може досягати до 90% останньої.



Таблиця 2 - Відносний розмір зони відставання

0.1	0.8727 (0.6405)	0.7768 (0.5363)	0.6911 (0.4597)	0.4622 (0.2892)
0.3	0.8426 (0.6136)	0.7379 (0.5068)	0.6492 (0.4305)	0.4254 (0.2664)
0.5	0.8015 (0.5793)	0.6899 (0.4718)	0.6005 (0.3973)	0.3868 (0.2424)
0.7	0.7476 (0.5371)	0.6347 (0.4326)	0.5483 (0.3622)	0.3494 (0.2191)
0.9	0.6845 (0.4902)	0.5773 (0.3929)	0.4971 (0.3281)	0.3154 (0.1978)



ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі із застосуванням методу Вінера - Ґопфа, отримані аналітичні розв'язки задач про рівновагу пружного клина з прямолінійними тріщинами на його осі симетрії, про контакт берегів тріщини та задач про розклинювання пружного клина жорстким клином або жорсткою пластинкою. Задачі для крайової тріщини розв'язані методом Вінера - Ґопфа і розв'язок знайдено у вигляді рядів за коренями трансцендентних рівнянь, а задачі для внутрішніх тріщин узагальненим методом Вінера - Ґопфа зведені до нескінченних систем алгебричних рівнянь.

Отримано такі основні результати:

1. В задачах про рівновагу пружного клина зі скінченною тріщиною при вершині та із внутрішньою скінченною тріщиною, у порівнянні з роботами інших авторів, отримані аналітичні розв'язки з аналізом розподілу напружень на лінії продовження тріщини та окружних переміщень берегів тріщини.

2. Розв'язана неоднорідна задача про рівновагу пружного клина з напівнескінченною тріщиною на осі симетрії клина як за відсутності обертання, так і при вільному обертанні на нескінченності. Показано, що коефіцієнт інтенсивності напружень при віддаленні діючих на берегах тріщини зосереджених сил від вершини клина асимптотично не змінюється за відсутності обертання і лінійно зростає при вільному обертанні.

3. Задача про рівновагу пружного клина з крайовою тріщиною при його вершині у випадку дії на гранях клина розтягуючих або стискуючих зосереджених сил розв'язана з урахуванням контакту берегів тріщини. При цьому:

- у випадку розтягу клина виявлене критичне значення відстані лінії дії сил від вершини клина, при якому береги тріщини починають контактувати у вершині клина;

- встановлено, що при стиску клина існує деякий інтервал точок прикладання стискуючих сил, коли тріщина частково розкривається поблизу вершини клина, а на іншій частині тріщини її береги знаходяться у контакті; при подальшому віддаленні стискуючих сил від вершини клина тріщина розкривається повністю;

- показано, що при розтязі пружного клина зосередженими силами, прикладеними на певному інтервалі бокових граней клина, береги тріщини контактують поблизу вершини клина з незначним відставанням в малому околі вершини клина.

4. В задачах про розклинювання пружного клина жорстким клином або жорсткою пластинкою проаналізована можливість відставання берегів тріщини від поверхні жорсткого клина або пластинки. Так, для розклинювання пластинкою сталої товщини поверхні пластинки щільно прилягають до берегів тріщини, якщо кут піврозхилу клина перевищує . Для задача розв'язана в уточненій постановці з урахуванням відставання берегів тріщини поблизу вершини клина від поверхонь пластинки. Показано, що за рахунок відставання область контакту може значно зменшуватись.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Некислих К. М. Розклинювання крайової тріщини у пружному клині / К. М. Некислих, В. І. Острик // Фізико-хімічна механіка матеріалів. - 2009. - 45, № 6. - С. 100-108.

2. Некислих К. М. Розклинювання пружного клина / К. М. Некислих, В. І. Острик // Вісник Київського університету. Сер.: фізико-математичні науки. - 2009. - № 3. - С. 91-96.

3. Некислих К. Розтяг і стиск зосередженими силами пружного клина з крайовою тріщиною / К. Некислих, В. Острик // Машинознавство. - 2009. - № 10. - С. 3-8.

4. Улітко А. Ф. Розклинювання пружного клина жорсткою пластинкою за умови контакту з відставанням / А. Ф. Улітко, К. М. Некислих, В. І. Острик // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2010. - 53, № 1. - С. 109-119.

5. Некислих К. Контакт берегів крайової тріщини у пружному клині / К. Некислих, В. Острик // Машинознавство. - 2010. - № 1-2. - С. 8-13.

6. Некислых Е. М. Задачи об упругом равновесии клина с трещинами на оси симметрии / Е. М. Некислых, В. И. Острик // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2010. - № 5. - С. 111-129.

7. Некислих К. Рівновага пружного клина з крайовими тріщинами вздовж лінії симетрії / Катерина Некислих, Володимир Острик // Сучасні проблеми механіки та математики: в 3-х т. - Львів, 2008. - Т. 2. - С. 67-69.

8. Некислих К. Контакт берегів крайової тріщини у пружному клині / Катерина Некислих, Володимир Острик // 9-й Міжнар. симп. українських інженерів-механіків у Львові: праці. - Львів: Кінпатрі ЛТД, 2009. - С. 89-91.

9. Некислих К. Розклинювання пружного клина жорсткою пластиною / Катерина Некислих // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур / під заг. ред. І. О. Луковського, Г. С. Кіта, Р. М. Кушніра. - Львів: ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, 2010. - С. 373-375.

10. Некислих К. М. Двовимірна задача про розклинювання пружного клина / К. М. Некислих // Прикладні завдання математики та механіки: матеріали XVIII міжнар. наук.-техн. конф., Севастополь, 13-17 верес. 2010 р. / М-во освіти і науки України, Севастоп. нац. техн. ун-т [та ін.]. - Севастополь: Вид-во СевНТУ, 2010. - С. 61-64.

11. Некислих К. М. Рівновага пружного клина з внутрішньою тріщиною на осі симетрії / К. М. Некислих // Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях: тезисы докладов междунар. конф., Харьков, 17-22 апреля 2011 г. / под ред. Г. Н. Жолткевича, Н. Н. Кизиловой, П. С. Кабалянца. - Х.: Вировец А. П. „Апостроф”, 2011. - С. 82-83.



АНОТАЦІЯ

Некислих К.М. Напружено-деформований стан клиноподібних пружних тіл з прямолінійними тріщинами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2011. Розроблено єдиний підхід до визначення напружено-деформованого стану клиноподібних пружних тіл з прямолінійними тріщинами на осі симетрії. Із застосуванням методу Вінера - Ґопфа знайдені аналітичні розв'язки задач теорії пружності для клина з тріщинами в умовах плоскої деформації. Для задач про рівновагу пружного клина зі скінченною тріщиною при його вершині та напівнескінченною тріщиною отримані точні розв'язки, а задачі зі скінченною внутрішньою тріщиною зведені до нескінченних систем алгебричних рівнянь.

Неоднорідна задача про рівновагу пружного клина з напівнескінченною тріщиною на осі симетрії клина розв'язана як за відсутності обертання, так і при вільному обертанні на нескінченності. Задача про рівновагу пружного клина з крайовою тріщиною при його вершині у випадку дії на гранях клина зосереджених сил розв'язана з урахуванням контакту берегів тріщини, який може виникати біля вершини клина або біля вершини тріщини.

В задачах про розклинювання пружного клина жорстким клином або жорсткою пластинкою проаналізована можливість відставання берегів тріщини від поверхні жорсткого клина або пластинки в залежності від кута піврозхилу клина. Задача також розв'язана в уточненій постановці з урахуванням відставання берегів тріщини поблизу вершини клина від поверхонь пластинки.

Ключові слова: пружний клин, тріщина, коефіцієнт інтенсивності напружень, зони контакту, розклинювання, метод Вінера - Ґопфа.

АННОТАЦИЯ

Некислых Е.М. Напряженно-деформированное состояния клиновидных упругих тел с прямолинейными трещинами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2011.

Разработан единый подход к определению напряженно-деформированного состояния клиновидных упругих тел с прямолинейными трещинами на оси симметрии. С использованием метода Винера - Хопфа найдены аналитические решения задач теории упругости для клина с трещинами в условиях плоской деформации. Для задач о равновесии упругого клина с конечной трещиной при его вершине и полубесконечной трещиной получены точные решения, а задачи с конечной внутренней трещиной сведены к бесконечным системам алгебраических уравнений.

Неоднородная задача о равновесии упругого клина с полубесконечной трещиной на оси симметрии клина решена как при отсутствии вращения, так и при свободном вращении на бесконечности. Показано, что коэффициент интенсивности напряжений при удалении действующих на берегах трещины сосредоточенных сил от вершины клина асимптотически не изменяется при отсутствии вращения и линейно возрастает при свободном вращении.

Задача о равновесии упругого клина с краевой трещиной при его вершине в случае действия на гранях клина сосредоточенных сил решена с учетом контакта берегов трещины, который может возникать около вершины клина или у вершины трещины. В случае растяжения клина обнаружено критическое значение расстояния линии действия сил от вершины клина, при котором берега трещины начинают контактировать у вершины клина. Установлено, что при сжатии клина существует некоторый интервал точек приложения сжимающих сил, когда трещина частично раскрывается вблизи вершины клина, а на другой части трещины ее берега находятся в контакте; при дальнейшем удалении сжимающих сил от вершины клина трещина раскрывается полностью.

В задачах о расклинивании упругого клина жестким клином или жесткой пластинкой проанализирована возможность отставания берегов трещины от поверхности жесткого клина или пластинки. Так, при расклинивании пластинкой постоянной толщины поверхности пластинки плотно прилегают к берегам трещины, если угол полураствора клина превосходит . Для задача решена в уточненной постановке с учетом отставания берегов трещины вблизи вершины клина от поверхностей пластинки. Показано, что за счет отставания область контакта может значительно уменьшаться.

Ключевые слова: упругий клин, трещина, коэффициент интенсивности напряжений, зоны контакта, расклинивание, метод Винера - Хопфа.



ABSTRACT

Nekislykh K.M. Strain-stress state of wedge-shaped elastic bodies with rectilinear cracks. - Manuscript.

Thesis for the Candidates's Degree in Physics and Mathematics by speciality: 01.02.04 - mechanics of deformable bodies. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2011.

The single approach to determination of stress-strained state of wedge-shaped elastic bodies with rectilinear cracks on the axis of symmetry was developed. Using the Wiener - Hopf method the analytical solutions of the problems of elasticity theory for a wedge with cracks in conditions of plane deformation were found. Exact solutions for the problems concerning the equilibrium of the elastic wedge with a finite crack at its vertex and semi-infinite crack were obtained, and the problems with finite internal crack were reduced to the infinite systems of algebraic equations.

The inhomogeneous problem concerning the equilibrium of the elastic wedge with a semi-infinite crack on the axis of wedge symmetry both with condition of absence of rotation and free rotation on the infinite distance was solved. The problem concerning the equilibrium of the elastic wedge with an edge crack at its vertex in case of action of point forces on the wedge edges was solved considering crack edges contact, which can arise near the wedge vertex or near crack vertex.

In the problems concerning wedging of an elastic wedge with a hard wedge or a hard plate possibility crack edges detachment from the surface of the hard wedge or plate depending on wedge half-angle was analyzed. The problem concerning the specified setting with consideration of crack edges detachment near the wedge vertex was also solved.

Key words: elastic wedge, crack, stress intensity factor, contact areas, wedging, Wiener - Hopf method.

Размещено на Allbest.ru

...