Локалізовані вихорові об’єкти у двовимірній гідродинаміці

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ

УДК 532.5, 532.511, 532.1-2

01.04.02 - теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛОКАЛІЗОВАНІ ВИХОРОВІ ОБ'ЄКТИ У ДВОВИМІРНІЙ ГІДРОДИНАМІЦІ

Кулик Костянтин Миколайович

Харків - 2011



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті монокристалів НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Яновський Володимир Володимирович, Інститут монокристалів НАН України, завідувач відділу теорії конденсованого стану речовини

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Ермолаев Олександр Михайлович, Харківський національній університет ім. В. Каразина, завідувач кафедри теоретичної фізики

доктор фізико-математичних наук, професор Мелешко В'ячеслав Володимирович, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки

Захист відбудеться « 20 » квітня 2011р. о 14.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.169.01 Інституту монокристалів НАН України (61001, м. Харків, пр. Леніна, 60)

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, пр. Леніна, 60.

Автореферат розісланий « 16 » березня 2011р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат фізико-математичних наук М.В. Добротворська



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження динаміки вихрових гідродинамічних течій завжди залишається актуальними. Це пов'язано з тим, що нас оточують різноманітні гідродинамічні системи, в яких присутні вихрові об'єкти різних типів. Різноманітність та нетривіальність таких течій змушує до нових досліджень у різних галузях науки та техніки. Природно, що вивчення складних течій починається з детального опису простих випадків. Ці течії далі використовують для якісного та кількісного аналізу все більш складних вихрових течій. Базисним елементом при дослідженні вихрових течій двовимірної гідродинаміки є точковий вихор. Роль цього вихору, за значенням, відповідає ролі плоскої хвилі в опису хвильових явищ.

При дослідженнях двовимірних ламінарних і турбулентних течій використовується кінцева система взаємодіючих точкових вихорів з різною інтенсивністю, що дає можливість опису виключно широкого класу течій. Такі моделі широко використовуються при чисельному моделюванні різноманітних гідродинамічних явищ, починаючи з опису обтікання твердих тіл рідиною і закінчуючи моделюванням, і прогнозуванням синоптичних явищ в атмосфері Землі. Не зважаючи на те, що такий підхід до вивчення складних течій добре розвинений, виникає необхідність у визначенні всіх можливих локалізованих вихрових об'єктів, як точних рішень гідродинамічних рівнянь. Використовуючи такі об'єкти можливо досягти більш повного опису як відомих, так і нових складних течій, як течій індукованих не тільки відомими раніше точковими вихорами, але і знайденими новими вихровими утвореннями. Тому, використання повного набору елементарних гідродинамічних квазічастинок може розширити спектр досліджуваних проблем і гарантувати більшу адекватність отриманих результатів.

Вище викладене визначає актуальність теми дисертації по дослідженню локалізованих вихрових течій і їх основних властивостей, з'ясування можливості використання їх як своєрідних гідродинамічних квазічастинок.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у відповідності з планом науково дослідних робіт Інституту монокристалів НАН України, а саме тем відомчого замовлення:

- "Дослідження хаотизації у складних композитних системах та аномальні кінетичні явища" (шифр "Композит" № держреєстрації 0104U03918) - 2004-2006р.р.

- "Дослідження класичних та квантових властивостей складних нелінійних систем з розгалуженням" (шифр "Когерентність" № держреєстрації 0107U000855) - 2007-2009р.р.

- "Визначення квантових, термодинамічних та транспортних властивостей систем малих розмірів" (шифр "Нанотех" № держреєстрації 0110U002401)- початок виконання 2010р.,

а також відповідно до індивідуального плану аспіранта.

Мета і завдання дослідження. Мета дослідження полягає в пошуку нових локалізованих вихрових течій у двовимірної гідродинаміці, з'ясування можливості їх використання у якості гідродинамічних квазічастинок поряд з відомими точковими вихорами, виявлення нових ефектів взаємного впливу їх один на одного. гідродинаміка точковий вихор квазічастинка

Для досягнення поставленої мети необхідно було вирішити наступні основні завдання:

- запропонувати метод пошуку точних локалізованих вихорів у двовимірній ідеальній гідродинаміці та виявити локалізовані вихори нового типу;

- знайти і вивчити складні стаціонарні вихрові об'єкти, які є точними рішеннями рівнянь гідродинаміки і містять локалізовані вихори;

- встановити вплив нових локалізованих вихрів один на одного, їх взаємодію з добре відомими точковими вихорами;

- знайти ефекти у зміні еволюції точкового вихору біля стінки під впливом потенційної хвилі.

Об'єкт дослідження: локалізовані вихрові утворення у двовимірній ідеальній гідродинаміці.

Предмет дослідження: двовимірні гідродинамічні течії нестисливої рідини.

Методи дослідження: теорія рівнянь в частинних похідних, методи рішень рівнянь в частинних похідних і звичайних диференціальних рівнянь, методи теорії біфуркацій, методи якісного аналізу звичайних диференціальних рівнянь, методи гамільтонових систем, теорія узагальнених функцій, теорія функцій комплексних змінних, комп'ютерне моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримані такі нові результати:

1. Використовуючи запропонований метод пошуку локалізованих вихрових утворень, виявлено точковий вихор нового типу. Це точковий вихор дипольного типу, що є точним рішенням рівнянь ідеальної двовимірної гідродинаміки.

2. Доведено можливість використання точкового вихору дипольного типу поряд зі звичайним точковим вихором, як добре визначену квазічастинку для опису складних гідродинамічних вихорових течій. Отримано загальні нелінійні рівняння руху системи довільної кількості взаємодіючих точкових вихорів і точкових вихорових диполів.

3. Доведено, що система взаємодіючих вихорів і диполів - гамільтонова і віднайдені додаткові закони збереження, що перебувають в інволюції. Показано, що задача взаємодії одного вихору та диполя є точно інтегрованою.

4. Знайдено точні рішення еволюції точкового вихору і точкового вихорового диполя, повністю прокласифіковано та вивчено всі можливі режими поведінки такої системи.

5. Доведено, що вплив потенційної хвилі, що діє на точковий вихор, який знаходиться біля стінки, призводить до появи якісно нових режимів його руху. Отримано критерії утворення таких режимів і детально вивчені всі можливі режими руху вихору під впливом потенційної хвилі.

Практичне значення одержаних результатів. Виявлено новий тип точкового вихору, що дозволяє описувати більш широкий клас вихорових течій. Такий опис досягається у більш простому формалізмі гамільтонової механіки, а поле швидкості однозначно відновлюється за положенням локалізованих вихорів. Виникає новий напрям: вивчення впливу дипольних вихорів на ламінарні, турбулентні течії і взаємодія їх з іншими об'єктами гідродинамічних середовищ.

Отримані точні рішення для гідродинамічних течій можна використовувати в якості основного стану або нульового наближення для різноманітних методів збурення, що дозволить вивчати безліч, більш складних гідродинамічних течій. Крім цього вони можуть використовуватися як тестові дані, при перевірці різних алгоритмів чисельного розрахунку з досліджень гідродинамічних течій.

Отримані результати доводять значну зміну в поведінці точкових вихорів біля стінки при впливі на них потенційної хвилі. Таким чином, з'являється можливість використання хвиль для управління контрольованим чином вихоровими течіями як у технологічних процесах (перенесення домішки), так і в природних явищах.

Особистий внесок здобувача . Усі основні результати, що винесені на захист, отримані здобувачем особисто. У роботах, опублікованих у співавторстві [1-5], здобувачеві належать основні розрахунки, побудова графічних залежностей; він приймав активну участь у постановці деяких задач, обговоренні отриманих результатів і написанні текстів статей.

Так у работах [1,2] здобувачем було отримано рівняння руху точкового вихору біля стінки при наявності потенційної хвилі. Проведено якісний аналіз такої системи, визначено області параметрів системи з різними варіантами еволюції. Побудовано фазові діаграми і описано всі режими руху точкового вихора. В роботі [3] здобувачем був запропонований метод виведення рівнянь руху широкого класу квазічастинок двовимірної ідеальної гідродинаміки. Проведено обчислення нелінійних диференціальних рівнянь. Отримано рівняння руху сингулярностей, показано, що така система має гамільтонов вигляд і були знайдені закони збереження. У роботі [4] здобувачем доведена можливість точного інтегрування задачі еволюції взаємодіючих одного точкового вихора і одного точкового вихора дипольного типу. Отримано рівняння руху, проведено аналіз рівнянь, в наслідок чого визначено області параметрів системи з якісно різними режимами руху вихорів. Описано всі можливі режими еволюції системи. В роботі [5] здобувачем знайдено новий клас точних стаціонарних рішень двовимірної ідеальної гідродинаміки. Нові розв`язки мають складні сингулярності, це особливі точки індекс векторного поля яких більше одениці. Отримані в роботі розв`язки записуються у елементарних функціях та відповідають широкому класу точних локалізованих стаціонарних рішень двовимірних рівнянь Ейлера з сингулярностями, індекс яких дорівнює 3.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах Інституту монокристалів НАНУ, а також на наступних міжнародних конференціях

International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (QEDSP 2006), Kharkiv, Ukraine, September 19-23, 2006.

International Conference of Students and Young Scientists in Theoretical and Experimental Physics (HEUREKA 2008), Lviv, Ukraine, May 19-21, 2008.

International Conference "Crystal Materials' 2010" (ICCM' 2010), Kharkiv, Ukraine, May 31-June 03, 2010.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 8 робіт, у тому числі, 5 статей [1-5], які опубліковані у фахових виданнях, що задовольняють вимогам ВАК України, та 3 тези доповідей міжнародних конференцій [6-8].

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу та чотирьох розділів, висновків та списку літератури з 201 джерела. Робота містить 29 малюнків, повний обсяг з 144 сторінок, з яких 133 основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується вибір і актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та основні задачі дослідження, методи й теоретичні основи розв'язання поставлених задач, розкрито наукову новизну положень, які виносяться на захист, визначено наукову та практичну цінність проведених досліджень.

Перший розділ присвячено огляду літератури за темою дисертаційної роботи. Представлені теоретичні основи теорії вихорів, та розглянуті основні результати, які отримано в рамках вивчення вихорових явищ у гідродинаміці. Приведено приклади відомих вихорових об'єктів як точних рішень рівнянь гідродинаміки. Детально розглянуто головні типи вихорових рухів. Особливу увагу приділено розгляду вихорів, які можуть відігравати роль квазичастинок для опису широких класів вихорових течій. Такий клас вихорів - точкових вихорів, відомий у двовимірній гідродинаміці. Головна перевага, яка досягається з використанням таких вихорів, полягає у спрощенні опису багатьох гідродинамічних течій. Це досягається завдяки опису взаємодіючих точкових вихорів гамільтоновою системою звичайних диференційних рівнянь, на відміну від пошуку розв'язків рівнянь у частинних похідних для пошуку гідродинамічних течій загального положення. При цьому не відбувається втрати інформації про течію, бо за положеннями точкових вихорів однозначно відновлюється все поле швидкості по відомому співвідношенню. Тобто, значення швидкості рухів рідини стає відомим у всіх точках простору. Саме це робить такі вихори дуже привабливими для використання у дослідженнях багатьох гідродинамічних проблем. Крім цього у першому розділі наведено велику кількість проблем, які було вирішено з використанням точкових вихорів. Точкові вихори цікаві і з точки зору гамільтонових систем як джерело незвичайних нелінійних систем з додатковими законами збереження. В наслідок цього задача трьох вихорів точно інтегрована, тоді як звичайні взаємодіючи частинки інтегруються тільки у випадку двох тіл. Таким чином, точкові вихори відіграють дуже важливу роль для вихорових течій яку можна зіставити з роллю плоских хвиль для хвильових течій. Таке велике значення точкових вихорів робить вельми важливим пошук усіх можливих типів вихорів, які володіють аналогічними можливостями та ще не відомі у двовимірній гідродинаміці. На підставі узагальнення науковіх робіт зроблено висновок про необхідність і актуальність пошуку локалізованіх вихорів у гідродинамічних системах.

У другому розділі був запропонований метод пошуку вихорових об'єктів як точних локалізованих рішень рівнянь двовимірної ідеальної гідродинаміки. Характерною рисою цього методу є пошук рішень серед класу узагальнених функцій, що веде, після їх підстановки, до розпаду вихідного рівняння на дві компоненти. Перша компонента відповідає функціям, які відмінні від нуля у всьому просторі, а друга компонента сильно локалізованим у кінцевому наборі точок загальним функціям. Звернення до нуля першої компоненти дає залежність поля швидкості у просторі від положення локалізованих вихорів, а занулення другої компоненти визначає рівняння рухів локалізованих точкових вихорів. У результаті було доведено, що нелінійні рівняння ідеальній гідродинаміки мають в якості узагальнених локалізованих рішень не тільки добре відомі точкові вихори, а й точкові вихори дипольного типу. Крім цих двох типів точкових вихорів, інші мультипольні вихори не можуть бути точними нестаціонарними розв'язками двовимірної ідеальній гідродинаміки. Отримано систему рівнянь, яка визначає закони руху взаємодіючих точкових вихорів обох типів. Встановлено, що система взаємодіючих - точкових вихорів та - точкових вихорів дипольного типу, відноситься до класу гамільтонових систем. В результаті було отримано гамільтоніан системі взаємодіючих вихорів

(1)

,

де перша група додатків описує енергію взаємодії системи точкових вихорів, друга - енергію взаємодії точкових вихорів та точкових вихорів дипольного типу, а третя - відповідає за взаємодію точкових вихорів дипольного типу. У цьому гамільтоніані - інтенсивність -го вихору, який знаходиться у точці , а - дипольний момент -го точкового вихора дипольного типу, що розташований у точці . Рівняння руху, в такому випадку, записуються у вигляді

(2)

Ця гамільтонова система вихорів має крім енергії, ще і додаткові закони збереження, які були знайдені. Крім нестаціонарніх течій, які збуджуються такими системами взаємодіючих точкових вихорів, у цьому розділі було розглянуто і стаціонарні рішення двовимірної гідродинаміки.

Так, було знайдено новий клас точних стаціонарних рішень двовимірних рівнянь Ейлера. У процесі пошуку таких рішень використовувалась добре відома форма рівняння Ейлера у формі скобки Пуасона

(3)

де - функція тока, яка визначає поле швидкості течії та її завихреність , а - одиничний антисиметричний тензор. Позначення відповідає двовимірному оператору Лапласа. Запропоновано нову гіпотезу про функціональний вигляд стаціонарних рішень двовимірних рівнянь Ейлера

.

За ії допомогою знайдені нові рішення, які містять складні сингулярності, до яких відноситься і дипольна сингулярність. Пошук точних стаціонарних конфігурацій, як рішень двовимірніх гідродинамічних рівнянь, зводиться до пошуку функції току, яка буде задовільняти стаціонарним рівнянням Ейлера. При пошуку таких рішень використовано комплексні змінні, що значно спростило їх пошук. В результаті був отриманий явний вигляд цієї функції

(4)

,

де - функція комплексного змінного , а поліном має вигляд:

(5)



де задовільне ціле число. Таким чином, було отримано зліченну множину нових стаціонарних локалізованих вихорових утворень в залежності від значення .

Рис.1. Приклад фазових портретів складних вихорових структур для n=2 та n=4, відповідно.

На рис.1 представлено приклади картини ліній току деяких отриманих стаціонарних вихорових утворень. Видно, що всі вони мають замкнуту зовнішню лінію току подібну до ліній току рідини, яка обертається як тверде тіло. Однак у середині області існує внутрішня тонка структура ліній току, яка утворює нетривіальний рух рідини у внутрішній частині вихору. Виходячи з виду отриманих вихорових структур, був зроблений висновок, що з ростом буде відбуватися поява ще більшої кількості вихорів-сателітів навколо особливої точки, яка знаходиться в центрі.

У третьому розділі розглянуто випадок точно інтегрованої задачі еволюції системи взаємодіючих одного точкового вихору, та точкового вихору дипольного типу. Гамільтонова система рівнянь, яка відповідає цьому випадку, складається із шести диференційних рівнянь для відповідной кількості змінних. Тому в цьому розділи було виконано перехід до скороченого опису поведінки такої системи. Було доведено, що без втрати інформації про поведінку таких вихорів таку систему можливо описувати навіть у двовимірному фазовому просторі як гамільтонову систему з ефективним гамільтоніаном. Вигляд такого гамільтоніану було одержано. Головною специфікою цього гамільтоніану була його визначеність тільки на півплощині. Труднощі, які виникають у зв'язку з цим, можливо уникнути, якщо розглянути цю систему у чотирьох-вимірному фазовому просторі. Тоді рівняння руху, які описують еволюцію системи взаємодіючих точкового вихору та точкового вихору дипольного типу, мають вигляд

. (6)

Система рівнянь записана в термінах відстані між звичайним точковим вихором та точковим вихором дипольного типу . Така система є гамільтоновою. Таким чином, крім енергії, були знайдені ще і додаткові закони збереження, що дозволило довести точно інтегрованість такої задачі.

Був проведений якісний аналіз всіх можливих режимів руху системи, в результаті була побудована біфуркаційна діаграма областей параметрів, які відповідають різним режимам руху. Виявлено всі можливі режими еволюції такої системи, які представлені на рис.2. Якісно ці режими можливо розділити на три випадки. Перший відповідає релаксації на кінцеву відстань між вихорами, другий - нескінченному режиму відштовхування вихорів та спеціальній вироджений режим відсутності взаємодії між вихорами.



Рис.2. Два якісно різних режиму рухів системи: а) - вихід на стаціонарний стан, б) - нескінченне відштовхування.

Крім цього було знайдено точні розв'язки приведених вище рівнянь у всіх можливих режимах. Виявилось, що такі розв'язки можливо встановити не тільки в квадратурах, але і у явному вигляді через елементарні функції. Завдяки цьому легко встановити не тільки якісну картину поведінки, а і усі кількісні характеристики поведінки таких вихорів.

Четвертий розділ присвячено вивченню впливу потенційної хвилі на рух точкового вихору, який знаходиться біля непроникливої стінки. Розглянуто всі випадки розповсюджування потенціальної хвилі біля непроникливої границі. Це розповсюдження хвилі вздовж стінки, та падіння під деяким кутом до неї і відбиттям хвилі від стінки. Потенціали поля швидкості для всіх випадків легко одержати.

Використовуя теорему вмороженості вихрових ліній у поле швидкості та теорему Гельмгольца, було отримано рівняння рухів точкового вихору поблизу непроникної границі під впливом заданої потенційної хвилі. Вплив вихора на хвилеві рухи при числі Маха менш одиниці можна не враховувати. Відомо, що ці поправки пропорційні квадрату числа Маха, і у головному наближенні їх будемо ігнорувати. У безрозмірних змінних рівняння рухів вихору, наприклад, у полі хвилі, яка падає і вибивається від стінки, має вигляд 

(7)

, (8)

де введено безрозмірні змінні , , та виконано перехід у рухливу систему відліку , а - частота хвилі, - її хвильовий вектор. Видно, що виникають безрозмірні параметри , та , які характеризують амплітуду хвилі та інтенсивність вихору . Така кількість безрозмірних параметрів вказує, апріорі, на велику кількість можливих режимів руху.

При відсутності потенційних коливань система рівнянь зводиться до відомих рівнянь руху точкового вихора біля стінки, які описують виключно простий режим руху. Точковий вихор рухається уздовж границі з постійною швидкістю та зі збереженням відстані до границі. Поведінка вихора під впливом хвилі якісно змінюється.

Проведений якісний аналіз дозволив визначити області параметрів на біфуркаційній діаграмі () для всіх випадків взаємодії хвилі та точкового вихору. Це дозволило побудувати характерні фазові портрети для кожної області параметрів.

Нижче наведено приклади фазових портретів для значень параметрів з двох різних областей.



Рис.3.Характерні фазові портрети у різних областях параметрів.

На лівому фазовому портреті (Рис.3) представлено елементарна комірка, наявність якої характерно для всіх фазових портретів. При збільшенні значень безрозмірних параметрів фазові портрети стають більш складними внаслідок зростання кількості таких елементарних комірок. На рис.3 у правій частині представлено початкове ускладнення фазового портрету. Складна структура траєкторій руху вихора на фазових портретах демонструє значну зміну в поведінці вихорів при наявності потенційних хвиль. Перебудови фазових портретів при зміні параметрів (), які було описано вище, необхідно доповнити впливом третього параметра на зміну фазових портретів. При аналізі системи було встановлено, що вигляд фазових портретів при зміні знака параметра якісно змінюється. Еліптичні нерухомі точки стають гіперболічними та навпаки, при цьому їхнє положення не змінюється. Таким чином, проведений аналіз дозволяє повністю визначити зміни структури фазового портрету при зміні всіх трьох параметрів (). При окремому виборі параметрів система рівнянь стає гамільтоновою з гамільтоніаном незалежним від часу. Це дозволяє отримати точні рішення рівнянь у квадратурах.

Для випадку розповсюдження хвилі паралельно границі також був проведений якісний аналіз, який довів, що фазовий простір стратифікується на лінії рухів вихору, які паралельні границі. В результаті аналізу було виявлено два якісно різних режимів руху вихора. Вихор релаксує до стійкого вузла та стає нерухомим у вибраній рухомій системі відліку. Інший режим: вихор рухається вздовж стінки зі швидкістю, яка має періодичну компоненту на фоні сталої складової швидкості.

Виявилося, що цей випадок, коли хвиля розповсюджується вздовж стінки, відноситься до класу точно інтегрованих. Це дозволило отримати точні розв'язки рівнянь руху, та переконатися як у правильністі якісного аналізу, так і знайти всі кількісні характеристики руху вихора.

Таким чином було показано, що вплив потенційних хвиль призводить до значної якісної зміни режиму руху вихора, який знаходиться біля стінки. Найдені критерії реалізації всіх можливих режимів еволюції системи.



ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі запропоновано метод пошуку нових локалізованих точкових вихрових об'єктів, як точних рішень рівнянь ідеальної двовимірної гідродинаміки . У результаті проведених досліджень, було доведено:

1. Існування двох гідродинамічних квазічастинок. Це добре відомі точкові вихори і новий тип вихорів - точкові вихори дипольного типу. Також було показано, що локалізовані мультипольні вихори більш високих порядків ніж дипольні, як точні рішення гідродинамічних рівнянь не реалізуються.

2. Для довільного числа взаємодіючих точкових вихорів і точкових дипольних вихорів були отримані точні рівняння руху. Показано, що дані рівняння мають гамільтонів вигляд і володіють додатковими законами збереження, три з яких знаходяться в інволюції. Даний факт дозволив довести точну інтегровність задачі взаємодії одного точкового вихору і одного точкового вихору дипольного типу.

3. Отримано новий клас точних стаціонарних рішень рівнянь двовимірної нестискаємої рідини, що представляють собою складну особливу точку оточену вихровими сателітами. Було отримано рівняння руху сингулярностей і визначені умови стаціонарності, що дозволяє гарантувати стаціонарність отриманих складних вихрових конфігурацій. Побудовано найпростіші варіанти складних стаціонарних вихрових утворень.

4. Виявлено можливість точного інтегрування задачі руху взаємодіючих одного точкового вихору і одного точкового вихору дипольного типу. Знайдено точні рішення. Це дозволило встановити всі режими руху цих квазічастинок, що взаємодіють один з одним, а також критерії реалізації цих режимів.

5. Розглянуто випадок впливу потенційної хвилі на точковий вихор, що знаходиться біля непроникною стінки. Були встановлені всі можливі режими руху точкового вихору у стінки. Показано, що потенційна хвиля навіть малої амплітуди призводить до значних змін у поведінці вихрового об'єкту, що знаходиться біля границі. Таким чином показана можливість управління вихровими утвореннями, впливаючи на них потенційними хвилями.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Kulik K.M. Vortex evolution near a solid wall under the influence of a potential wave/ K.M.Kulik, A.V.Tur, V.V. Yanovsky// Ukr. J. Phys. - 2006. - V.51, №10. - P. 1010-1018.

2. Kulik K.M. The influence of incident and reflected potential wave on the point vortex evolution near a solid surface/ K.N.Kulik, A.V.Tur, V.V. Yanovsky// Problems of atomic science and technology. - 2007. - №3(2). - P. 280-284.

3. Yanovsky V.V. Singularities Movement Equations in 2-Dimensional Ideal Hydrodynamics of Incompressible Liquid/ V.V.Yanovsky, A.V.Tur, K.N.Kulik// Phys.Lett. A. - 2009. - V.373, № 29. - P. 2484-2487.

4. Kulik K. Interaction of Point and Dipol Vortices in an Incompressible Liquid/ K.Kulik, A.Tur, V.Yanovsky// Theor.Mat.Phys. - 2010. - V.162, №3. - P.383-400.

5. Tur A.V. New vortex structures in the two-dimensional hydrodynamic/ A.V.Tur, K.N.Kulik, V.V. Yanovsky // Functional Materials. - 2010. - V.17, №4. - P.477-482.

6. Kulik K.N. Influence of the falling and reflected potential wave on evolution of the point vortex at the solid wall/ K.N.Kulik, A.V.Tur, V.V. Yanovsky// Book of Abstracts International Conference on Quantum Electrodynamics And Statistical Physics (QEDSP2006), Kharkiv, September 19-23, 2006. - Kharkiv, Ukraine, 2006. - PE7.

7. Kulik K.M. Movement point vortex and vortex dipole in ideal hydrodynamics/ K.M.Kulik, A.V.Tur, V.V. Yanovsky// International Conference of Students and Young Scientists in Theoretical and Experimental Physics (HEUREKA 2008), Lviv, 2008. - Book of Abstract. - A12, Lviv, Ukraine.

8. Kulik K.M. Localized vortices as quasiparticles in two-dimensional hydrodynamics /K.M.Kulik, A.V.Tur, V.V. Yanovsky// International Conference "Crystal Materials' 2010" (ICCM' 2010), Kharkiv. - Abstracts book, - C22, Kharkiv, Ukraine.

АНОТАЦІЯ

Кулик К. М. Локалізовані вихорові обє'кти у двовимірній гідродинаміці. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - теоретична фізика. - Інститут монокристалів НАН України, Харків, 2011.

Дисертацію присвячено пошуку нових точних локалізованих рішень двовимірних рівнянь ідеальної гідродинаміки. Знайдені рішення істотно розширюють набір квазічастинок і, відповідно, класи гідродинамічних течій індукованих таким розширеним набіром локалізованих вихорів. Доведено, що задачі взаємодії знайдених локалізованих вихрових об'єктів - точкових вихорів дипольного типу один з одним і з відомими точковими вихорами описуються точно в рамках замкнутої кінечновимірної системи. Таким чином, нові вихрові об'єкти можуть використовуватися в якості гідродинамічних квазічастинок.

Досліджено найпростіші випадки взаємодії невеликої кількості локалізованих вихрів і виділено випадки, які допускають точне інтегрування . Проведено повний аналіз можливих режимів еволюції і знайдено критерії їх реалізації. Розглянуто випадок впливу потенційної хвилі на рух точкового вихору, який рухається поблизу непроникної твердої стінки. Побудовано рівняння еволюції такої системи для випадків руху вихора біля стінки в полі падаючої та відбитої хвиль і для випадку поширення хвилі паралельно стінці. Отримано розв'язки рівнянь руху, проведено якісний аналіз, в результаті побудовано характерні фазові портрети і проаналізовано всі можливі режими руху точкового вихору.

Ключові слова: двовимірна ідеальна гідродинаміка, точковий вихор, гамільтонов формалізм, точковий дипольний вихор, точний розв'язок, режим руху.



АННОТАЦИЯ

Кулик К. Н. Локализованные вихревые объекты в двумерной гидродинамике. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Институт монокристаллов НАН Украины, Харьков, 2011.

Диссертация посвящена поиску новых точных локализованных решений двумерных уравнений идеальной гидродинамики. Найденные решения существенно расширяют набор квазичастиц и, соответственно, классы гидродинамических течений, индуцированных таким расширенным набором локализованных вихрей. Для поиска таких решений был предложен метод, позволяющий получать как уравнения движения локализованых вихревых образований, так и соотношения, определяющие поле скорости течений по заданным положениям локализованых вихрей.

В диссертации найден новый тип точечных вихрей дипольного типа. Получены точные уравнения движения для произвольного числа взаимодействующих точечных вихрей и обнаруженных локализованных вихревых объектов - точечных вихрей дипольного типа. Показано, что эти уравнения являются гамильтоновыми и обладают дополнительными законами сохранения, три из которых находятся в инволюции. Следствием этого является точная интегрируемость двухчастичной системы, состоящей из точечного вихря и точечного вихря дипольного типа. Таким образом, новые вихревые объекты могут использоваться в качестве специфических гидродинамических квазичастиц.

Детально исследован простейший случай взаимодействия точечного локализованного вихря и точечного вихря дипольного типа. Для этого был использован переход к специальным переменным, в которых эта задача интегрируется не только в квадратурах, но и в элементарных функциях. Проведен полный анализ возможных режимов эволюции и найдены критерии их реализации. Показано, что в такой системе могут возникать только три качественно различных режима эволюции.

Также были обнаружены новые точные стационарные решения уравнений Эйлера, которые описывают вихревые структуры сложной формы. В отличии от уже известных решений, новые решения содержат сложные сингулярности. Счетное множество этих решений определяется целочисленным индексом n. В таких образованиях особая точка окружена вихревыми сателлитами, число которых с ростом индекса n возрастает, образуя симметричные вихревые ожерелья, окружающие особую точку. Полученные решения выражаются через элементарные функции. Сам факт существования точных решений со сложными особенностями является довольно важным, поскольку сложные особенности являются структурно устойчивыми, точно также как эллиптические и гиперболические точки.

Рассмотрен случай влияния потенциальной волны на движение точечного вихря, находящегося у непроницаемой твердой границы. Построены уравнения эволюции такой системы для случаев движения вихря возле стенки в поле падающей и отражённой волны, и для случая распространения волны паралельно стенке. Получены точные решения уравнений движения, проведен качественный анализ, в результате были построены характерные фазовые портреты и проанализированы все возможные режимы движения точечного вихря. Область параметров, определяющих характер эволюции вихря делится на области, при выборе параметров из которых реализуется качественно отличный режим движения. Приведены примеры фазовых портретов для некоторых областей параметров. Показано, что характер движения вихря под влиянием потенциальной волны качественно меняется. Было доказано, что состояние равномерного движения вихря с сохранением расстояния до стенки, под воздействием волны легко разрушается. При этом возникает изменение как расстояния между вихрем и стенкой, так и скорости вихря. Следует отметить, что изменяются продольная и поперечная компоненты скорости вихря. Установлены эффекты, возникающие при изменении угла падения волны, приводящие к изменению характера движения вихря у стенки.

Ключевые слова: двумерная идеальная гидродинамика, точечный вихрь, гамильтонов формализм, точечный дипольный вихрь, точное решение, режим движения.



ABSTRACT

Kulik K. M. Localized vortical objects in two-dimensional hydrodynamics. - Manuscript.

Candidate's thesis on Physics and Mathematics, speciality 01.04.02 - theoretical physics. - Institute for Single Crystals of NAS of Ukraine, Kharkiv, 2011.

This thesis is devoted to searching of new exact localized solutions of the two-dimensional equations of ideal hydrodynamics. The solutions found significantly expand the set of quasiparticles, and respectively, the classes of hydrodynamic flows induced by such expanded set of localized vortices. It is proved, that the problem of interaction of founded localized vortex objects - point dipole type vortices, with each other and with known point vortices, allows exact description for a closed finite system. So new vortical objects can be used as hydrodynamic quasiparticles.

Simplest cases of interaction of a small number of localized vortices are investigated, exactly integrable cases are marked. A complete analysis of possible modes of evolution is carried, criteria for their implementation is found. The case of influence of potential wave on the movement of a point vortex, located at the impenetratable solid boundary is considered. We construct the evolution equation for such system for the cases of the vortex motion near the wall in the field of incident and reflected waves and in the case of wave propagation parallel to the wall. The solutions of equations of motion are obtained, qualitative analysis is done, and as a result we construct typical phase portraits and analyze all possible modes of movement of a point vortex.

Key words: two-dimensional ideal hydrodynamic, point vortex, Hamiltonian formalism, point dipole vortex,exact solution, regime of motion.

Размещено на Allbest.ru

...