Математичне моделювання нелінійних процесів фазової синхронізації та хаосу

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ФАЗОВОЇ СИНХРОНІЗАЦІЇ ТА ХАОСУ

01.05.02 ? математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Василенко Ганна Анатоліївна

УДК 517.938

Київ ? 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Міжнародному науково-навчальному центрі інформаційних технологій та систем НАН України і МОН України

Науковий керівник

кандидат технічних наук, професор

Гриценко Володимир Ілліч,

директор Міжнародного науково-навчального центру

інформаційних технологій та систем НАНУ і МОНУ

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Швець Олександр Юрійович,

Національний технічний університет України

“Київський політехнічний інститут”,

професор кафедри математичної фізики

кандидат технічних наук, старший науковий співробітник

Харченко Ігор Іванович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри моделювання складних систем.

Захист відбудеться “ 28 ” квітня 2011 р. о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: Україна, 03680, м. Київ, просп. Академіка Глушкова 4 Д, факультет кібернетики, ауд. 40.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Київського наці-онального університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “ 18 ” березня 2011 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 П.М.Зінько

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Системи фазової синхронізації часто зустрічаються при моделюванні складних нелінійних процесів у різних галузях науки і технологій. Вони привертають значний інтерес дослідників у зв'язку із поєднанням в них простоти формулювання задач та складності динаміки. Зокрема, дослідження динаміки таких систем набуло особливої актуальності завдяки їх новітньому використанню для моделювання процесів детермінованого хаосу, відкриття якого є одним із найважливіжих досягнень в теорії нелінійної динаміки останніх десятиріч.

Явище синхронізації вперше було описано в 17-тому столітті відомим голландським вченим Х.Гюйгенсом, який спостерігав, що коливання двох маятників на одній стіні синхронізуються, тобто співпадають. Систематичне вивчення цього явища та значний розвиток теорії синхронізації відносяться до першої половини минулого століття, коли були опубліковані класичні роботи Е.В.Еплтона, Б. ван дер Поля, О.О.Андронова, О.А.Вітта. Пізніше ефект синхронізації було також відкрито і досліджено в різноманітних пристроях, таких як електронні генератори, силові електричні установки й лазери, йому було знайдено безліч практичних застосувань в інженерії. Зокрема, важливі результати для систем фазової синхронізації, що моделюються системами диференціальних та різницевих рівнянь, отримали А.Ляпунов, І.Блехман, А.Вінфрі, Ю.Неймарк, Б.Безручко, С.Кузнєцов, В.Аніщенко, О.Дмітрієв, А.Піковський, С.Строгац та ін. Формулювання математичного апарату теорії синхронізації відбувалось завдяки дослідженням А.Данжуа, В.І.Арнольда, Й.Курамото та ін. на основі глибокого вивчення фазової динаміки на торі і зведення до відображень кола. У наші дні ``центр ваги'' досліджень змістився в бік вивчення біологічних систем, де синхронізація зустрічається на самих різних рівнях, наприклад, підстроювання серцевого ритму до дихання, синхронна генерація нейронних ритмів, різноманітні форми колективної поведінки комах і тварин, та ін. Одним із важливих практичних застосувань моделей фазової синхронізації є їх використання до розробки новітніх методів лікування неврологічних хвороб, таких як хвороба Паркінсона, епілепсія та ін., що характеризуються синхронізацією нейронів головного мозку. Серед досліджень у цьому напрямку варто виділити роботи П.Тасса, Ю.Л.Майстренка, Р.Борисюка.

Складність та багатогранність задач теорії нелінійних динамічних систем, до яких відносяться й системи фазової синхронізації, потребують подальших досліджень з метою розробки нових і вдосконалення існуючих методів моделювання і вивчення таких систем.

Дисертаційна робота присвячена удосконаленню чисельних та аналітичних методів дослідження нелінійних процесів фазової синхронізації та хаосу в таких нелінійних динамічних системах, як дискретна модель Курамото глобально зв'язаних осциляторів та відображення Арнольда з квазіперіодичним збуренням; більш точно ? розвитку та обґрунтуванню методу визначення областей синхронізації та хаосу і методу дослідження біфуркаційних механізмів втрати синхронізації для розглянутих систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження виконувались у рамках науково-дослідних тем Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем НАНУ і МОНУ: ``Дослідження інтелектуальних інформаційних технологій для розподілених динамічних середовищ'' (державний реєстраційний номер 0105U0010.26, термін виконання 2005-2009 рр.), ``Розробити концептуальні основи та інформаційну технологію управління рухово-координаційними функціями людини'' (держ. реєстр. номер 0105U001156, термін виконання 2005-2008рр.), ``Розробка гнучкої інформаційної системи для дослідження адаптації людини до дії екстремальних факторів навколишнього середовища'' (держ. реєстр. номер 0107U000569, термін виконання 2007-2011 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою даного дослідження є вдосконалення та подальший розвиток теоретичних і методологічних підходів у моделюванні процесів фазової синхронізації та хаосу, і досягнення поставленої мети вимагає вирішення таких завдань:

1) провести моделювання і вивчення явищ фазової синхронізації та фазового хаосу в системах зв'язаних осциляторів;

2) визначити критерії, умови і механізми виникнення синхронізації та хаосу, детально вивчити і описати біфуркації та переходи між різними динамічними станами;

3) визначити за допомогою аналітичних та обчислювальних методів області синхронізації у просторі параметрів, а також існування хаотичних аттракторів і так званого явища мультистабільності.

Об'єктом дослідження в даній роботі є моделі фазової синхронізації, які в ряду з класичною синхронною поведінкою можуть також демонструвати нерегулярну, хаотичну динаміку. Більш точно, досліджуються модель Курамото глобально зв'язаних фазових осциляторів з дискретним часом та система фазового автопідстроювання частоти, яка моделюється відображенням Арнольда з квазіперіодичним збуренням.

Предметом дослідження є явища фазової синхронізації та хаосу, виникнення і збереження стійких просторово-часових структур, побудованих на періодичних або хаотичних розв'язках систем.

Методи дослідження. Для досягнення поставленої мети дисертаційного дослідження застосовано методи математичного і комп'ютерного моделювання, обчислювальної математики та сучасної теорії нелінійних динамічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:

1. Для систем фазової синхронізації удосконалено та обґрунтовано метод знаходження областей синхронізації та хаосу і метод дослідження біфуркаційних механізмів втрати синхронізації; проведено ефективне застосування методів чисельного аналізу до дослідження складних нелінійних динамічних систем фазової синхронізації.

2. Отримано такі нові результати, що вносять вклад у подальший розвиток теорії синхронізації та біфуркаційного аналізу в застосуванні до динаміки дискретного аналогу моделі Курамото глобально зв'язаних фазових осциляторів:

а) у випадку двох зв'язаних осциляторів () описано поведінку траєкторій системи; сформульовано умови виникнення десинхронізованих орбіт та описано різні типи біфуркацій, що ведуть до їх появи; у площині параметрів системи знайдено області фазової синхронізації, а також області співіснування синхронізованих і десинхронізованих траєкторій системи;

б) для системи трьох зв'язаних осциляторів () досліджено стійкість положень рівноваги при різних значеннях параметрів системи; розглянуто частинні випадки співвідношення частот індивідуальних осциляторів, для яких знайдено області фазової синхронізації та описано біфуркації, що призводять до їх руйнування;

в) для моделі чотирьох осциляторів () описано біфуркацію розщеплення усередненних частот індивідуальних осциляторів, яка викликає десинхронізацію в системі; знайдено області резонансних станів системи; встановлено існування нового типу хаотичної поведінки ? фазового хаосу.

3. Для цифрової системи фазового автопідстроювання частоти (ФАПЧ) з частотно-модульованим вхідним сигналом та низькою частотою модуляції вперше:

а) детально описано і класифіковано можливі динамічні стани системи, що моделює дану систему ФАПЧ;

б) знайдено області синхронізації для різних чисел обертання, побудовано біфуркаційні діаграми та визначено типи біфуркацій, що відбуваються при переходах між різними динамічними станами;

в) встановлено існування ``дивних нехаотичних аттракторів'' та визначено область їх існування у площині параметрів системи.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи узагальнюють та доповнюють відповідні дослідження по моделюванню систем фазової синхронізації. Результати, отримані для моделі Курамото зв'язаних осциляторів, можуть бути корисними при розв'язанні складних прикладних задач нейродинаміки, зокрема, для визначення умов синхронізації та існування кластерів в динаміці нейронів головного мозку. Результати, отримані для системи фазового автопідстроювання частоти, можуть бути використані при моделюванні ряду важливих інженерних систем.

Результати даної дисертації є вкладом у розвиток та розширення можливостей біфуркаційного аналізу для дослідження задач існування та стійкості просторово-часових структур у системах розглянутого типу та у подібних моделях, що виникають в різних галузях науки і технологій, таких як біологія, медицина, радіофізика, екологія, економіка та ін.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації, що виносяться на захист, отримано особисто автором. У роботах, написаних із співавторами, дисертанту належать розробка алгоритмів, створення програм, проведення чисельних експериментів та систематизація і графічне зображення їх результатів. Науковому керівнику роботи та співавторам належать визначення загального напрямку досліджень, постановка задач, аналіз та обговорення одержаних результатів.

Більш детально, в роботах, опублікованих із співавторами, дисертанту належать наступні результати: опис і класифікація динамічних станів системи ФАПЧ [1,2,7], визначення типів біфуркацій та областей синхронізації й існування дивних нехаотичних аттракторів для розглядуваної системи ФАПЧ [1,2,7,8], описання поведінки траєкторій моделі Курамото, визначення умов десинхронізації, типів біфуркацій та областей синхронізації [3], описання механізмів десинхронізації, визначення областей резонансних станів системи та існування фазового хаосу, обчислення показників Ляпунова [5,6,9,10]. Робота [4] виконана без співавторів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на семінарах Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем НАНУ та МОНУ, Інституту математики НАНУ, Національного наукового центру з медико-біотехнічних проблем НАНУ, факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, факультету електроніки та електричної інженерії Університетського коледжу м. Дублін (Ірландія), Технічного університету м. Берлін (Німеччина), Федерального політехнічного інституту м. Лозанна (Швейцарія), а також на міжнародних наукових школах і конференціях: ``European Dynamics Days 2000'' (червень 2000 р., Гілфорд, Великобританія); ``Control, Communication and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems'' (листопад 2001 р., Дрезден, Німеччина); ``Synchronization: Theory and Application'' (травень 2002 р., Ялта, Україна); ``Circuits and Systems for Communications ICCSC'04'' (липень 2004 р., Москва, Росія); ``Dynamics Days Europe 2005'' (липень 2005 р., Берлін, Німеччина); ``Crimean School Nonlinear Dynamics, Chaos, and Applications'' (травень 2006 р., Ялта, Україна); ``Constructive Role of Noise in Complex Systems'' (липень 2006 р., Дрезден, Німеччина); ``From Complex Systems Theory to Clinical Neurology '' (червень 2007 р., Дрезден, Німеччина); ``Chaos and Dynamics in Biological Networks'' (травень 2008 р., Каржес, Франція); ``Mathematical Modeling in Neuroscience'' (липень 2008 р., Київ, Україна); ``Complex Dynamics in Large Coupled Systems'' (листопад 2008 р., Берлін, Німеччина); ``Nonlinear Dynamics of Electronic Systems'' (червень 2009 р., Рапперсвіль, Швейцарія); ``Український Математичний Конгрес 2009'' (серпень 2009 р., Київ, Україна); ``Chaos and Dynamics in Biological Networks - II'' (травень 2010 р., Каржес, Франція); ``Nonlinear Dynamics on Networks'' (липень 2010 р., Київ, Україна).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 10 наукових працях загальним обсягом 6,9 друкарських аркушів (з яких 6 д.а. належать здобувачу), з них 6 публікацій ? у фахових періодичних наукових журналах, 4 ? у збірниках наукових праць та тез міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 90 найменувань на 10 сторінках, і 4 додатків на 4 сторінках. Загальний обсяг дисертації складає 112 сторінок; робота містить 61 рисунок, у тому числі й ті, що займають 10 повних сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, проаналізовано процес виникнення наукової задачі, етапи її розвитку та сучасний стан досліджень, а також визначені мета, задачі, об'єкт, предмет і методи дослідження, наукова новизна та практичне значення одержаних наукових результатів.

У першому розділі подано огляд літератури за темою дисертації. Зокрема, приведено основні терміни та означення з теорії нелінійних динамічних систем і хаосу та теорії синхронізації, визначено основний об'єкт дослідження ? динамічну систему з дискретним часом.

Нехай ? деяке відображення, яке породжує наступну динамічну систему:

(1)

де , ? вектор з .

Означення 1. Говорять, що в системі фазової синхронізації (1) має місце режим повної синхронізації, якщо для всіх

і траєкторія системи (1) є обмеженою.

Очевидно, що при повній синхронізації, асимптотично з часом, динаміка в системі (1) у фазовому просторі реалізується на головній діагоналі

Таким чином, основним методом дослідження та моделювання синхронізації в системах зв'язаних осциляторів є вивчення явища існування та стійкості синхронізуючих аттракторів на діагоналі .

Означення 2. В системі (1) має місце режим глобальної фазової синхронізації, якщо для всіх та

і траєкторія системи (1) є обмеженою.

У цьому розділі розглянуто стан розвитку наукової думки, приведено основні відомості та невирішені питання в області дослідження процесів фазової синхронізації та хаосу і обґрунтовано вибір конкретних задач для дослідження. Зокрема, в останні десятиріччя значний інтерес дослідників приділяється моделям зв'язаних осциляторів. Японський вчений Й.Курамото вивів із рівнянь Гінзбурга-Ландау наступну систему, що моделює динаміку глобально зв'язаних фазових осциляторів.

Системою Курамото називають модель такого виду:

(2)

де ? фазові змінні на -вимірному торі, ? частоти осциляторів, ? параметр зв'язку.

На практиці, застосування теоретичних досліджень, як правило, здійснюються з дискретизацією по часу, тому важливим є знати, як динаміка системи змінюється при введенні дискретизації. Другий розділ дисертації присвячено дослідженню динаміки системи Курамото з дискретним часом, а також відображень, до яких її можна звести, зокрема ? відображення Арнольда. Як продовження цих досліджень, у третьому розділі вивчається динаміка відображення Арнольда із зовнішнім квазіперіодичним збуренням.

У другому розділі дисертаційної роботи досліджується динаміка моделі Курамото глобально зв'язаних фазових осциляторів з дискретним часом, що є системою нелінійних різницевих рівнянь на торі. У порівнянні з системами з неперервним часом, різницеві рівняння, як правило, демонструють більш складну та багату динаміку, і в той же час, є більш зручними для практичного моделювання реальних процесів, особливо з допомогою обчислювального експерименту. Метою даного розділу є дослідити динаміку дискретного аналога моделі Курамото та порівняти її з динамікою моделей з неперервним часом.

Провівши дискретизацію системи Курамото по часу, отримуємо модель:

(3)

де ? фазові змінні на -вимірному торі, , , ? частоти, ? параметр зв'язку.

Для того, щоб досліджувати взаємодію та колективну динаміку осциляторів, зручно зафіксувати один із них та понизити розмірність системи, перейшовши до системи у різницях наступною заміною змінних:

де .

Таким чином, приходимо до -вимірної системи різницевих рівнянь:

(4)

де змінні обчислюються по модулю , та .

Дискретна модель Курамото при . Розглядається система двох зв'язаних осциляторів, динаміка кожного з яких описується відображенням зсуву на колі:

(5)

де , , , ? відповідні частоти фазових осциляторів, і ? сила зв'язку. Після заміни змінних , і позначивши , отримуємо відображення Арнольда:

(6)

де обчислюється по модулю .

У випадку двох осциляторів аналітично знайдено області фазової синхронізації.

Твердження 1. Нехай значення параметрів відображення (6) задовольняють умовам:

де визначається наступним чином:

 (7)

де задовольняє співвідношенню:

а крива BC1 ? задається в неявному вигляді як

(8)

де ? значення нестійкої нерухомої точки з інтервалу

(9)

а ? точка, в якій функція набуває максимального значення на інтервалі ,

(10)

Тоді і тільки тоді для відображення Арнольда (6) існує єдиний синхронізуючий аттрактор, який є або періодичним циклом, або обмеженим хаотичним аттрактором, і таким чином, в системі осциляторів (5) має місце фазова 1:1 синхронізація.

Знайдені області синхронізації та співіснування синхронізованих і десинхронізованих траєкторій зображено на рис.1(а). Також проведено вивчення біфуркацій та описано поведінку траєкторій системи для різних значень параметрів, зокрема рис.1(б) ілюструє біфуркацію граничної кризи, через яку виникають десинхронізовані траєкторії системи.

Динаміка моделі Курамото при . Систему трьох зв'язаних осциляторів заміною зміних можна привести до наступної двовимірної системи

(11)

де , ? різниці фазових змінних , і , , , де , і ? це відповідні частоти фазових осциляторів, і ? параметр зв'язку.

У загальному випадку динаміка систем Курамото розмірності більше 2 є надзвичайно складною, і детальний аналіз їх динаміки в літературі відсутній. Більше того, для таких систем отримати границі областей фазової синхронізації аналітично, як правило, не вдається. Тому в даному розділі розглянуто різні випадки співвідношення частот індивідуальних осциляторів для тривимірної системи, та дослідження проводиться із застосуванням як теоретичних методів нелінійної динаміки, так і чисельних методів.



(а) (б)

Рис. 1: (а) Область фазової синхронізації системи (5) (позначено щільною штриховкою), область співіснування синхронізованих і десинхронізованих траєкторій (рідка штриховка) та біфуркаційні криві для відображення Арнольда (6): SN - сідло-вузол, PD - подвоєння періоду, BC - гранична криза; дроби вказують числа обертання для відповідних язиків Арнольда. (б) Поява десинхронізованих орбіт відображення (6).

Для випадку знайдено положення рівноваги, детально описано поведінку траєкторій системи, типи біфуркацій та визначено області фазової синхронізації у площині параметрів системи, як зображено на рис.2(a).

Твердження 2. Нехай . Тоді система (11) має шість положень рівноваги: стійкий дикритичний вузол, два нестійких вузли та три сідлові особливі точки.

Області синхронізації при зображено на рис.2(b). Для загального випадку з використанням чисельного експерименту проведено порівняльний аналіз з метою виявити, як розташування областей синхронізації змінюється зі зміною значень параметрів.

Динаміка моделі Курамото при . Динаміка скінченновимірної системи Курамото з неперервним часом досі залишається недостатньо вивченою, і одним з недавніх результатів її дослідження є відкриття нового багатовимірного хаотичного режиму, названого фазовий хаос. Було знайдено, що цей тип хаотичної поведінки спостерігається в системах розмірності 4 та більше.

(а) (б)

Рис. 2: Області синхронізації та співіснування синхронізованих та десин-хронізованих траєкторій для відображення (11): (a) при , (b) при . Біфуркаційні криві позначаються наступним чином: BC1-BC5 ? граничні кризи, SN ? сідло-вузол, 2 SNs ? дві одночасні біфуркації сідло-вузол, PD1, PD2 ? біфуркації подвоєння періоду, NS ? біфуркація Неймарка-Секера для орбіти періоду 2, що народжується в біфуркації PD1.

Розглянемо чотиривимірну модель Курамото глобально зв'язаних фазових осциляторів з дискретним часом:

(12)

де визначає дискретний час, ? фазові змінні, ? натуральні частоти окремих осциляторів, і ? параметр зв'язку.

Обмежимо наш аналіз випадком, коли частоти окремих осциляторів рівномірно розподілені на деякому інтервалі : , , та .

Після пониження розмірності, переходимо до аналізу відповідної системи в різницях (4), і було знайдено, що її динаміка може бути періодичною, квазіперіодичною або хаотичною. Загальний вигляд областей існування різних типів поведінки у площині параметрів системи подано на рис.3. Структура язиків Арнольда на діаграмі стандартна. Границями цих областей є криві біфуркації сідло-вузол для періодичних орбіт, що існують всередині цих язиків.

Рис. 3: Області стійкості головних періодичних орбіт системи в різницях (4). Числами позначено періоди стійких циклів із відповідних язиків Арнольда. Ці цикли втрачають трансверсальну стійкість вздовж кривої , ? крива граничної кризи хаотичного аттрактора.

Динаміка системи є оборотною при . Для більших значень , динаміка є необоротною, та відбувається перехід до хаосу через каскад подвоєння періоду. Але неочікуваним та цікавим результатом є поява хаотичної поведінки для порівняно малих значень і , де інтуїтивно можна було б очікувати виникнення когерентності між осциляторами. У цьому випадку нелінійна взаємодія осциляторів спричиняє хаотичність колективної фазової динаміки навіть при тих значеннях параметрів, що відповідають періодичній поведінці незв'язаних осциляторів. При , система має симетричний інваріантний многовид , і саме на многовиді існують періодичні цикли, які відповідають зображеним на рис.3. язикам Арнольда. Зі зменшенням аттрактори на діагоналі втрачають трансверсальну стійкість, ця біфуркація позначена як на рис.3. Язики Арнольда продовжуються вниз до осі , але відповідні періодичні орбіти з цих язиків уже не є трансверсально стійкими, хоч і залишаються стійкими всередині многовиду . При поза многовидом існують інші аттрактори, включаючи хаотичний, позначений як фазовий хаос. В області між кривими та система проявляє мультистабільність: співіснують два аттрактора, один належить , а інший знаходиться поза цим многовидом. Для того, щоб визначити існування хаотичного аттрактора, було використано метод показників Ляпунова, і явище мультистабільності також можна проілюструвати, порахувавши показники Ляпунова для різних аттракторів. На рис.4 зображено графіки показників Ляпунова, які пораховані при зміні параметра вперед і назад. Дві гладкі криві праворуч відповідають періодичному аттрактору, що існує всередині двовимірного многовиду , а криві, зображені у лівій частині рисунка, відповідають аттрактору, що існує поза діагоналлю .



Рис. 4: Графіки показників Ляпунова, пораховані при зміні параметра вперед і назад, для двох аттракторів системи. Хаотичний аттра-ктор існує поза многовидом , періодичний ? на многовиді .

Приведені графіки демонструють, що періодична орбіта в втрачає трансверсальну стійкість при , коли трансверсальний показник Ляпунова змінює знак. Графік додатного показника Ляпунова підтверджує існування хаотичного аттрактору, і також можна бачити, що цей аттрактор руйнується у граничній кризі при . Таким чином, поява фазового хаосу при порівняно малих значеннях параметру зв'язку та дестабілізація періодичних орбіт в язиках Арнольда ? це два нових та незвичайних явища в динаміці розглядуваної системи зв'язаних осциляторів.

У третьому розділі дисертаційної роботи проведено дослідження динаміки замкнутої схеми фазової синхронізації, яка широко використовується в інженерії та прикладних науках ? системи фазового автопідстроювання частоти (ФАПЧ) першого порядку з частотно-модульованим сигналом та низькою частотою модуляції. Така система моделюється відображенням Арнольда зі збуренням, і у позначеннях, що загальноприйняті для відображень кола в теорії нелінійних динамічних систем, математичну модель системи ФАПЧ можна записати таким чином:

 (13)

де , , і . Параметр позначає фазовий зсув, - величина нелінійності, - це амплітуда зовнішньої стимуляції та - частота стимуляції. Якщо для деяких цілих та , то це система з періодичною стимуляцією, інакше - з квазіперіодичною.

Динаміка системи, в якій присутній вплив двох періодичних сигналів з несумірними частотами, може бути періодичною, квазіперіодичною або хаотичною. У даному розділі детально описано можливі динамічні стани розглядуваної системи при різних значеннях параметрів. За допомогою методів показників Ляпунова та показників фазової чутливості було знайдено області існування нехаотичних аттракторів з так званою ``дивною'' геометричною структурою, а також було визначено області фазової синхронізації, які в даній системі мають незвичайну регулярну структуру. На рис.5 приведено зображення областей синхронізації мод для чисел обертання 0, , , і т.д. Зі збільшенням нелінійності від нуля ширина кожної з цих областей синхронізації коливається між та досить регулярним чином. Кожна із цих перших областей складається з кількох частин, що мають форму майже регулярного ромба, у якого одна діагональ є перпендикулярною до осі , а інша має довжину приблизно рівну . Язик Арнольда з числом обертання нуль має найбільш регулярну структуру та найбільшу кількість ромбоподібних частин, які закінчуються біля лінії .

Було проведено дослідження, як така структура та форма областей змінюються зі зміною значень параметрів системи. Коливання ширини областей синхронізації зі зміною нелінійності мають місце лише для малих значень частоти стимуляції, і їх ще не було описано іншими дослідниками.

Рис.5: Області синхронізації мод при та .

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі проведено чисельно-аналітичне моделювання динаміки та визначення особливостей поведінки систем фазової синхронізації, що характеризуються складною періодичною, квазіперіодичною або хаотичною динамікою. Як показано в роботі, вивчення поведінки систем фазової синхронізації є актуальною задачею, результати якої знаходять широке застосування у різних галузях науки і технологій. Зважаючи на потреби практики та невирішені питання в теорії систем фазової синхронізації, в роботі сформульовані та розв'язані такі взаємопов'язані задачі:

1) отримано нові результати та внесено вклад у подальший розвиток загальної теорії моделювання та вивчення явищ фазової синхронізації в застосуванні до динаміки дискретного аналогу моделі Курамото глобально зв'язаних фазових осциляторів розмірності 2, 3, 4; у рамках цього вивчення проведено також дослідження динаміки одновимірних відображень (зокрема, відображення Арнольда), до яких зводиться дискретна модель Курамото при певних умовах;

2) як подальше розширення даної тематики, проведено дослідження динаміки відображення Арнольда з квазіперіодичним зовнішнім збуренням малої частоти.

Із застосуванням методів математичного моделювання та сучасної теорії нелінійних динамічних систем, у дисертації удосконалено та обґрунтовано метод визначення областей фазової синхронізації та хаосу, а також метод дослідження біфуркаційних механізмів виникнення і збереження стійких просторово-часових структур.

Більш детально, було отримано такі нові наукові результати:

* для дискретного аналогу моделі Курамото глобально зв'язаних фазових осциляторів:

? у випадку двох зв'язаних осциляторів () детально описано поведінку траєкторій системи; сформульовано умови виникнення десинхронізованих орбіт та типи біфуркацій, що ведуть до їх появи; у площині параметрів системи знайдено та графічно зображено області фазової синхронізації, а також області співіснування синхронізованих і десинхронізованих траєкторій системи;

? для системи трьох зв'язаних осциляторів () було знайдено положення рівноваги та досліджено їх стійкість у просторі параметрів системи; розглянуто частинні випадки співвідношення частот індивідуальних осциляторів, для яких знайдено області фазової синхронізації у площині параметрів системи і описано біфуркації, що призводять до її руйнування;

? для моделі чотирьох осциляторів () описано характеристики біфуркації розщеплення усередненних частот індивідуальних осциляторів, яка викликає десинхронізацію в системі; було знайдено області резонансних станів в площині параметрів системи; встановлено існування нового хаотичного режиму ? фазового хаосу та досліджено біфуркації, що призводять до його появи.

* для цифрової системи ФАПЧ із частотно-модульованим вхідним сигналом та низькою частотою модуляції вперше:

? детально описано і класифіковано можливі динамічні стани системи;

? знайдено області синхронізації для різних чисел обертання, побудовано біфуркаційні діаграми та визначено типи біфуркацій, що відбуваються при переходах між різними динамічними станами системи;

? доведено існування ``дивних нехаотичних аттракторів'' та визначено область їх існування у площині параметрів системи.

Таким чином, результати дисертаційної роботи є вкладом у розвиток та розширення можливостей з моделювання систем фазової синхронізації, у розвиток біфуркаційного аналізу для дослідження періодичних, квазіперіодичних та хаотичних розв'язків та просторово-часових структур у системах розглянутого типу та у подібних моделях, що виникають у різних галузях науки і технологій.

Результати, отримані для моделі Курамото глобально зв'язаних осциляторів, узагальнюють та доповнюють відповідні дослідження динаміки ансамблів зв'язаних осциляторів, які застосовуються в таких галузях науки і технологій, як біологія, медицина, радіофізика, екологія, економіка та ін. Зокрема, ці результати можуть бути корисними при розв'язанні певних прикладних задач нейродинаміки (наприклад, для визначення умов синхронізації та існування кластерів в динаміці нейронів головного мозку) і вже використовуються при проведенні науково-дослідних робіт у галузі моделювання нелінійних процесів у нейрофізіології співробітниками таких установ:

1) Національний науковий центр з медико-біотехнічних проблем НАН України, Лабораторія математичного моделювання нелінійних процесів;

2) Інститут фізіології ім. О.О. Богомольця НАН України;

3) Державний науково-дослідний центр прикладної інформатики НАН і МОН України;

4) Український інститут стратегічних досліджень МОЗ України.

Факт впровадження результатів у цих установах підтверджується відповідними довідками.

Проведені дисертантом дослідження динаміки системи ФАПЧ призвели до отримання оригінальної структури областей синхронізації, а також до цікавого відкриття, що для такої порівняно простої інженерної системи можна спостерігати такий незвичайний і складний тип поведінки, як ДНА. Отримані результати також орієнтовані на моделювання ряду важливих прикладних задач інженерії та електроніки.

курамото осцилятор фазовий синхронізація

CПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Статті у фахових наукових журналах:

1. Vasylenko A. Dynamics of phase-locked loop with FM input and low modulating frequency / Vasylenko A., Feely O. // Int. Journ. of Bif. and Chaos. ? 2002. ? Vol.12, No 7. ? P. 1633-1642.

2. Vasylenko A. Mode-locking in quasi-periodically forced system with very small driving frequency / [Vasylenko A., Maistrenko Yu., Feely O., Feudel U.] // Int. Journ. of Bif. and Chaos. ? 2004. ? Vol.14, No 5. ? P. 1643-1654.

3. Vasylenko A. Modelling the phase synchronization in systems of two and three coupled oscillators / Vasylenko A., Maistrenko Yu., Hasler M. // Nonlinear Oscillations. ? 2004. ? Vol.7, No 3. ? P. 311-327.

4. Василенко Г.А. Фазова динаміка та синхронізація в системі зв'язаних осциляторів / Василенко А.А. // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка, кібернетика. ? 2007. ? В.7. ? С. 7-13.

5. Maistrenko V. Phase chaos and multistability in the discrete Kuramoto model/ [Maistrenko V., Vasylenko A., Maistrenko Yu., Mosekilde E.] // Nonlinear Oscillations. ? 2008. ? Vol.11, No 2. ? P. 217-229.

6. Maistrenko V. Phase chaos in the discrete Kuramoto model/ [Mai-strenko V., Vasylenko A., Maistrenko Yu., Mosekilde E.] // Int. Journ. of Bif. and Chaos. ? 2010. ? Vol.20, No 6. ? P. 1811-1823.

Тези і матеріали конференцій:

7. Vasylenko A. Nonlinear dynamics of first-order digital phase-locked loop with frequency-modulated input signal / Vasylenko A., Feely O. // Proceedings of the 1st European Interdisc. School Euroattractor 2000. ? Pabst Science Publishers, 2001. ? P. 205-214.

8. Vasylenko A. Mode-Locking and strange nonchaotic attractors in a digital phase-locked loop with FM input / Vasylenko A., Feely O., Maistrenko Yu. // Proceedings of the ECCTD. ? Helsinki, 2001. ? Vol. II. ? P. 169-172.

9. Vasylenko A. Impact of discreteness on hyperchaos in the Kuramoto model / Vasylenko A., Maistrenko V., Maistrenko Yu. // Proceedings of NDES. ? Zurich, 2009. ? P. 74-77.

10. Vasylenko A. Hyperchaos in time-discrete Kuramoto model / Vasylenko A., Maistrenko V., Maistrenko Yu. // Proceedings of Ukrainian Mathematical Congress. ? Kyiv, Ukraine, 2009. ? http://www.imath.kiev.ua/ congress2009/Abstracts.

АНОТАЦІЯ

Василенко Г.А. Математичне моделювання нелінійних процесів фазової синхронізації та хаосу. ? Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 ? математичне моделювання та обчислювальні методи. ? Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2010.

У дисертаційній роботі проведено чисельно-аналітичне моделювання систем фазової синхронізації, що характеризуються складною періодичною, квазіперіодичною або хаотичною поведінкою, а саме ? моделі Курамото з дискретним часом та одновимірних відображень, до яких зводиться дана модель при певних умовах. Як подальше розширення даної тематики, проведено дослідження динаміки відображення Арнольда з квазіперіодичним зовнішнім збуренням малої частоти. У роботі детально описано і класифіковано можливі динамічні стани розглянутих систем, визначено види біфуркаційних механізмів виникнення і збереження стійких просторово-часових структур; знайдено області фазової синхронізації та хаосу у площині параметрів.

Ключові слова: математичне моделювання, системи зв'язаних осциляторів, фазова синхронізація, біфуркація, стійкість, аттрактор, хаос, показник Ляпунова.

АННОТАЦИЯ

Василенко А.А. Математическое моделирование нелинейных процессов фазовой синхронизации и хаоса. ? Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 ? математическое моделирование и вычислительные методы. ? Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2010.

Представленная дисертационная работа посвящена численно-аналитическому моделированию систем фазовой синхронизации, которые характеризуются сложным периодическим, квазипериодическим или хаотическим поведением, а именно - модели Курамото с дискретным временем и отображения Арнольда с квазипериодическим внешним воздействием.

Во введении обоснована актуальность темы данной работы, проанализирован процесс возникновения рассматриваемой научной задачи, этапы ее развития и современное состояние исследований в этой области; определены цели, объект, предмет и методы изучения. В первом разделе представлен обзор литературы и результатов других ученых по теме диссертации, указаны неисследованные вопросы и определено место данного исследования в развитии общей теории моделирования и изучения явлений фазовой синхронизации и хаоса.

Во втором и третьем разделах диссертации сформулированы и решены такие взаимосвязанные задачи:

1) моделирование и изучение явлений фазовой синхронизации и хаоса в дискретной модели Курамото глобально связанных фазовых осциляторов, а также отображений, к которым она сводится, в частности, отображения Арнольда;

2) как дальнейшее расширение тематики, изучена динамика системы фазовой автоподстройки частоты, что моделируется отображением Арнольда с квазипериодическим внешним возмущением.

Для этих моделей был усовершенствован и обоснован метод определения областей фазовой синхронизации и хаоса, а также метод исследования бифуркационных механизмов возникновения и сохранения устойчивых пространственно-временных структур. Были детально описаны и классифицированы возможные динамические состояния систем и их бифуркации; в плоскостях параметров систем найдены области фазовой синхронизации и существования хаотического движения, в частности, обнаружено, что для отображения Арнольда с квазипериодическим воздействием малой частоты области синхронизации имеют необыкновенную регулярную структуру, и можно наблюдать появление особого типа сложной динамики ? странные нехаотические аттракторы.

Работу завершают выводы, список литературы и приложения.

Ключевые слова: математическое моделирование, системы связанных осциляторов, фазовая синхронизация, бифуркация, устойчивость, аттрактор, хаос, показатель Ляпунова.

ANNOTATION

Vasylenko A.A. Mathematical modelling of nonlinear processes of phase synchronization and chaos. ? Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.05.02 ? mathematical modelling and numerical methods. ? Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2010.

The thesis is devoted to numerical-analytical modelling of the systems of phase synchronization that exhibit complex periodic, quasiperiodic or chaotic behaviour, in particular ? model Kuramoto with discrete time and some one-dimensional maps that are obtained from this model under certain conditions. As further extension of this subject the dynamics of the Arnol'd map with external quasiperiodic forcing of small frequency is investigated. In the work possible dynamical states of the considered systems were classified and described in detail, types of the bifurcation mechanisms of appearance and preservation of the stable spaciotemporal structures were defined; regions of the phase synchronization and chaos in the system parameters space were obtained.

Key words: mathematical modelling, systems of coupled oscillators, phase synchronization, bifurcation, stability, attractor, chaos, Lyapunov exponent.

Размещено на Allbest.ru

...