Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна Академія Наук України

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача

УДК 539.3

Визначення напружено-деформованого стану структурно-неоднорідних пластин і оболонок на основі уточненої теорії

01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Тучапський Роман Ігорович

Львів 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Марчук Михайло Володимирович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, завідувач відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Козлов Володимир Ілліч, Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, провідний науковий співробітник відділу термомеханіки;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Дробенко Богдан Дем'янович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, провідний науковий співробітник відділу теорії фізико-механічних полів.

Захист відбудеться «30» червня 2009 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д35.195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

Автореферат розіслано «30» травня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук О. В. Максимук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Пластинчаті та оболонкові елементи конструкцій знаходять широке застосування в різних галузях техніки. Розвиток авіа- і кораблебудування, нафтогазового комплексу, освоєння космосу пов'язані з використанням тонкостінних конструктивних елементів, що у свою чергу зумовлює зростання розмаїття їх форм і структури та приводить до необхідності розвитку теорії й розробки методів розв'язування задач для пластин і оболонок з анізотропних і структурно-неоднорідних матеріалів.

У сучасній теорії оболонок досягнуті значні успіхи як у розробці теоретичних засад, так і в розв'язуванні конкретних задач.

Одначе, як зазначено в оглядовій статті Я. М. Григоренка та О. Я. Григоренка, “… на теперішній час більш повно розв'язані задачі про статичну й динамічну поведінку оболонок простої форми й однорідної структури. Недостатньо повно проведені систематичні дослідження відповідних конструкцій складної форми й структури з урахуванням анізотропії загального виду, неоднорідності пружних властивостей, зумовлених технологією виготовлення, впливом зовнішніх полів, структурними й конструктивними особливостями”.

У сьогоденні метод скінченних елементів (МСЕ) стає одним з домінуючих серед методів, що використовуються для дослідження найрізноманітніших фізичних і механічних процесів.

Але навіть такий універсальний метод, як МСЕ, не можна вважати в достатній мірі сформованим. Як зазначено в монографії О. І. Голованова, О. М. Тюлєнєвої та А. Ф. Шигабутдінова, не дивлячись на велику кількість існуючих скінченних елементів (СЕ), “… лише обмежена частина їх дійсно ефективна при розрахунку тонких оболонок”.

Тому розвиток математичних моделей і розробка ефективних методів розв'язування задач визначення напружено-деформованого стану анізотропних структурно-неоднорідних пластин і оболонок на даний час є важливим науковим і практичним завданням.

Зв'язок роботи з науковими планами, темами і програмами. Дослідження за темою дисертації виконувалися в рамках держбюджетних наукових тем за відомчим замовленням НАН України: “Створення математичних моделей та теоретико-експериментальних методів дослідження деформативності і міцності конструкцій з композитів з урахуванням впливу термомеханічних та технологічних факторів” (1998-2002 р.р., державний реєстраційний номер 0198U002529); “Математичне моделювання, теоретичні та експериментальні методи дослідження фізико-механічних полів у конструкціях із композитів і їх динамічних характеристик з урахуванням міжфазних недосконалостей та контактної взаємодії” (2003-2006 р.р., державний реєстраційний номер 0103U000128), “Розвиток математичних моделей і методів дослідження нелінійної динаміки тонкостінних елементів конструкцій із композитних матеріалів стосовно прогнозування їх конструктивної міцності та надійності” (2007-2010 р.р., державний реєстраційний номер 0107U000358), “Моделювання напруженого стану технічних і природних структур з дефектами і врахуванням теплових полів та контактних процесів” (2007-2011 р.р., державний реєстраційний номер 0107U000360).

Метою роботи є розвиток математичних моделей деформування податливих поперечним зсувам та стисненню анізотропних пластин і оболонок та розробка на основі варіаційного підходу скінченно-елементного методу визначення напружено-деформованого стану структурно-неоднорідних тонкостінних конструкцій.

Для досягнення зазначеної мети:

– узагальнено підхід І. Н. Векуа до побудови теорій ізотропних пружних оболонок на випадок анізотропії та нелінійних геометричних співвідношень;

– запропоновано та проаналізовано варіант уточненої теорії анізотропних тонких і пологих оболонок з нелінійними геометричними залежностями в тензорній та векторній формах;

– побудовано білінійний СЕ оболонки за врахування поперечних зсувів і стиснення та використання методики подвійної апроксимації деформацій для усунення явища заклинювання й методу штрафу для зупинки фальшивих осциляцій функції стиснення;

– запропонований скінченно-елементний підхід поширено на багатошарові структурно-неоднорідні пластини й оболонки;

– сформульовано варіаційну постановку задачі визначення напружено-деформованого стану тонких анізотропних оболонок за врахування податливості поперечним зсувам і стисненню та доведено існування і єдиність слабкого розв'язку;

– записані варіаційні рівняння змішаного принципу Райснера для тонких шаруватих структур симетричної будови за товщиною з однаковими конфігураціями серединних поверхонь шарів; для багатошарової структури з відмінними конфігураціями серединних поверхонь шарів вихідними є рівняння, отримані шляхом мінімізації їх повної потенціальної енергії на множині допустимих узагальнених переміщень;

– на основі алгоритму заповнення по ребрах многокутників, який застосовується в растровій графіці, розроблено автоматизований спосіб формування скінченних елементів для багатошарових конструкцій;

– отримано за допомогою розробленого програмного забезпечення розв'язки задач про напружено-деформовані стани пластин, оболонок і тонкостінних конструкцій за адекватного моделювання умов закріплення й навантаження, урахування деформацій трансверсальних зсувів і стиснення та відмінних фізико-механічних властивостей і конфігурацій серединних поверхонь складових елементів для багатошарових структур.

Об'єкт дослідження - напружено-деформований стан тонких анізотропних однорідних і багатошарових пластин і оболонок, тонкостінних конструкцій з відмінними фізико-механічними властивостями податливих до деформацій поперечного зсуву й стиснення шарів.

Предмет дослідження - математичні моделі лінійного та геометрично нелінійного деформування анізотропних тонкостінних конструкцій, методи знаходження розв'язків задач про напружено-деформований стан тонкостінних конструкцій.

Методи досліджень. Для побудови теорій пружних оболонок використано методи розвинення функцій у ряди за поліномами Лежандра, апарат тензорного числення й теорії поверхонь. Для здійснення розбиття на скінченні елементи областей у просторі гауссових параметрів бази параметризації оболонок або пакетів оболонок залучено алгоритм заповнення по ребрах, який застосовується в растровій графіці. При знаходженні розв'язків сформульованих крайових задач застосовано варіаційні принципи механіки деформівного твердого тіла, метод скінченних елементів, метод граничних елементів та інші методи обчислювальної математики.

Наукова новизна роботи полягає в наступному:

– на основі узагальнення підходу І. Н. Векуа до побудови теорій лінійного пружного деформування ізотропних оболонок отримано у векторній і тензорній формах наближені рівняння рівноваги, співвідношення пружності та нелінійні геометричні співвідношення для анізотропних тонких і пологих оболонок;

– за допомогою варіаційного принципу отримано систему рівнянь та граничні умови варіанту уточненої теорії анізотропних пластин і оболонок з урахуванням податливості до трансверсальних зсувів та стиснення;

– зроблено варіаційні постановки крайових задач уточненої теорії податливих до трансверсальних деформацій зсувів та стиснення анізотропних пластин і оболонок та доведено існування і єдиність їх розв'язків;

– побудовано прямокутний скінченний елемент із подвійною апроксимацією деформацій анізотропних пластин і оболонок за врахування поперечних зсувів та стиснення;

– запропоновано прямокутні скінченні елементи для багатошарових з однаковими й відмінними конфігураціями серединних поверхонь шарів пластин і оболонок на основі єдиних і окремих кінематичних і статичних гіпотез для їх складових;

– досліджено вплив геометричних параметрів і структурних неоднорідностей на деформативність і напружений стан багатошарових пластин і оболонок;

– виявлено тенденцію поведінки напружень у нижньому шарі багатошарової пластини з накладкою, що знаходиться під дією нормального розподіленого навантаження, у залежності від кількості шарів.

Обґрунтованість і достовірність наукових результатів забезпечується коректністю та строгістю математичних постановок задач, використанням апробованих математичних методів а також узгодженістю результатів розрахунків, отриманих у роботі з відомими результатами інших авторів. ізотропний анізотропія симетричний пружний

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Одержані в роботі математичні моделі деформування анізотропних податливих до поперечного зсуву та стиснення однорідних і багатошарових пластин і оболонок, а також розроблений на основі варіаційної постановки крайових задач скінченноелементний підхід можуть бути використані для дослідження поведінки структурно- неоднорідних тонкостінних конструкцій за дії реальних експлуатаційних навантажень. Запропоновані алгоритми та отримані шляхом їх використання розв'язки та висновки, що з них випливають, знайдуть застосування в інженерній практиці при прогнозуванні та оцінці деформативності й міцнісних характеристик відповідальних пластинчатих і оболонкових конструкцій у галузі машинобудування та науково-дослідних установах.

Апробація результатів роботи. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на Міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь” (Київ, 2001), конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача (Львів, 2005), ХІІІ Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2006), Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті академіка НАН України В. І. Моссаковського (1919-2006 рр.) “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (Дніпропетровськ, 2007), ІІ Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 2008), Міжнародному науковому семінарі “Актуальні проблеми нелінійної механіки оболонок”, присвяченому пам'яті заслуженого діяча науки ТАРСР проф. О. В. Саченкова (Казань, 2008).

У повному обсязі результати дисертації доповідалися й обговорювалися на науковому семінарі відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, на спеціалізованому кваліфікаційному семінарі “Математичні проблеми механіки руйнування і поверхневих явищ” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України під керівництвом члена-кореспондента НАН України, доктора фізико-математичних наук, професора Г. С. Кіта, науковому семінарі відділу термопружності Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України під керівництвом доктора фізико-математичних наук, професора В. Г. Карнаухова.

Публікації. Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковані у 12 наукових працях [1-12], з них 5 статей [1-5] - у рецензованих наукових журналах з Переліку фахових видань ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук.

Основні результати дисертації отримані автором самостійно. Серед наукових праць за темою дисертації дві роботи опубліковані без співавторів. У спільних публікаціях особистий внесок дисертанта складає: виведення основних рівнянь і співвідношень, участь у розробці методів і числових алгоритмів розв'язування задач, аналізі отриманих результатів і формулюванні висновків.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, які містять 35 рисунків, 2 таблиці, висновків, а також списку використаних джерел зі 145 найменувань. Загальний обсяг роботи становить 139 сторінок.

короткий зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації; відзначено зв'язок роботи з науково-дослідними темами, сформульовано мету та завдання досліджень; висвітлено наукову новизну, достовірність і практичне значення отриманих результатів; надано відомості про публікації за темою дисертації та особистий внесок автора в них, апробацію результатів дисертації, її структуру та обсяг; коротко викладено зміст роботи.

У першому розділі надано огляд робіт з розглянутих у дисертації питань і коротко викладена історія розвитку методів дослідження багатошарових оболонок.

Класична теорія оболонок, яка ґрунтується на гіпотезах Кірхгофа-Лява, розроблена й викладена в роботах В. З. Власова, Й. І. Воровича, К. З. Галімова, О. Л. Гольденвейзера, Л. Донелла, М. А. Колтунова, А. І. Лур'є, К. Маргерра, Х. М. Муштарі, В. В. Новожилова, П. М. Огібалова, С. П. Тимошенка, К. Ф. Черниха.

Однією з головних тенденцій у сучасній техніці є максимальне використання потенційних можливостей різноманітних нових матеріалів. Для цього необхідно з високою точністю враховувати особливості роботи цих матеріалів за різних умов навантаження. Розрахунки, проведені за допомогою класичної теорії, можуть приводити до значних похибок.

Найпоширенішою теорією, що слугує уточненням класичної теорії, є теорія пластин і оболонок, що базується на зсувній моделі С. П. Тимошенка, котра заснована на гіпотезі про незалежний поворот нормалі й уперше була сформульована в роботах С. П. Тимошенка та поширена Е. Райснером на пластини й оболонки. Лінійна теорія пластин і оболонок на основі гіпотези С. П. Тимошенка розвинута в роботах І. Альтенбаха, С. О. Амбарцумяна, В. В. Болотіна, І. Н. Векуа, А. Т. Василенка, В. В. Васильєва, К. З. Галімова, А. К. Галіньша, Я. М. Григоренка, О. М. Гузя, О. В. Максимука, Р. Міндліна, П. М. Нагді, Ю. В. Немировського, Б. Л. Пелеха, В. Г. Піскунова, А. В. Плеханова, М. А. Сухорольського, В. П. Тамужа, М. Г. Тамурова, Ю. М. Тарнопольського, Г. А. Тетерса, І. Ю. Хоми, Л. П. Хорошуна, М. П. Шереметьєва та інших учених.

Нелінійній зсувній теорії присвячені роботи Н. А. Алумяе, Е. І. Беспалової, А. С. Вольміра, Й. І. Воровича, К. З. Галімова, Е. І. Григолюка, Я. М. Григоренка, О. М. Гузя, Б. Я. Кантора, Я. Ф. Каюка, М. С. Корнішина, М. Ф. Морозова, А. П. Мукоєда, Х. М. Муштарі, М. П. Семенюка, А. М. Фролова, І. С. Чернишенка та інших.

У зв'язку з упровадженням у техніку нових шаруватих композитних матеріалів постала необхідність розв'язування задач для елементів конструкцій з таких матеріалів.

Теорії багатошарових оболонок зі скінченною зсувною жорсткістю розвинуті в роботах А. Т. Василенка, В. В. Болотіна, Е. І. Григолюка, О. Я. Григоренка, Я. М. Григоренка, В. І. Козлова, Г. М. Куликова, В. А. Лазька, О. В. Максимука, Ю. Н. Новічкова, Б. Л. Пелеха, Р. Б. Рікардса, М. А. Сухорольського, В. П. Тамужа, Г. А. Тетерса, П. П. Чулкова та інших.

Завдяки бурхливому розвитку обчислювальної техніки в розв'язуванні задач механіки твердого деформівного тіла великого значення набули чисельні методи, які ґрунтуються на варіаційних постановках. Серед них особливе місце займає МСЕ, котрий завдяки універсальності й економічності обчислювальних алгоритмів є одним з основних методів розрахунку різноманітних конструкцій. Це стосується також пластин і оболонок, скінченноелементному аналізу яких присвячені праці А. С. Городецького, І. І. Дияка, В. С. Зарубіна, Б. Я. Лащеникова, А. М. Маслєннікова, В. Г. Піскунова, О. О. Рассказова, Р. Б. Рікардса, Л. А. Розіна, А. С. Сахарова, Я. Г. Савули, М. М. Шапошнікова, Г. А. Шинкаренка, Айронса (B. M. Irons), Аргіріса (J. H. Argiris), Бабушки (I. Babuska), Галлагера (R. H. Gallager), Зенкевича (O. C. Zienkiewicz), Одена (J. T. Oden), Піана (T. H. Pian), Спілкера (R. L. Spilker), Стренга (G. Streng), Сьярле (P. G. Ciarlet), Фікса (G. J. Fix).

Перші роботи по застосуванню МСЕ до розв'язування задач про деформування оболонок ґрунтувались на дискретизації рівнянь теорії оболонок на основі гіпотези Кірхгофа-Лява. При цьому проявився неприємний ефект, пов'язаний з тим, що класична теорія оболонок, яка базується на гіпотезі Кірхгофа-Лява, у виразах для мінімізованих функціоналів містить другі похідні від шуканої функції прогину, що вельми ускладнює побудову узгоджених скінченно-елементних апроксимацій.

Використання уточненої теорії оболонок, що базується на зсувній моделі, функціонали якої відповідних варіаційних задач містять тільки перші похідні від переміщень, дозволяє застосовувати схеми МСЕ, побудовані на апроксимаціях полів переміщень з пониженими вимогами на гладкість цих полів. Розвиток формулювань такого типу представлено, зокрема, у роботах Т. Дж. Р. Гуґеса, М. В. Марчука, Р. Б. Рікардса, Я. Г. Савули, І. С. Мухи та ін.

Проблемі побудови багатошарових зсувних скінченних елементів присвячені роботи М. А. Алфутова, Є. В. Бикова, О. І. Голованова, П. О. Зинов'єва, В. О. Каледіна, М. В. Марчука, Б. Г. Попова, І. А. Прокопишина, А. О. Рассказова, А. А. Рассохи, Р. Б. Рікардса, С. С. Соловйова, О. М. Тюленевої, А. К. Чате, А. Ф. Шигабутдінова та інших учених.

У зсувній теорії оболонок зазвичай розглядається варіант так званої п'ятимодальної теорії, у якій поле переміщень характеризується п'ятьма незалежними функціями: трьома переміщеннями серединної поверхні й двома функціями, що характеризують поворот нормалі.

Проблема розробки варіанту шестимодальної теорії, у якій поле переміщень характеризується шістьма функціями, що характеризують переміщення, повороти й стиснення нормалі, і теорій багатошарових оболонок на основі гіпотези ламаної лінії та гіпотез С. П. Тимошенка, прийнятих для всього пакету шарів у цілому, що слугують узагальненням шестимодальної теорії однорідних оболонок, залишаються актуальними питаннями. Це й визначило напрямок досліджень: розробити математичні моделі, провести аналіз рівнянь, побудувати схеми розрахунку однорідних та шаруватих оболонок на основі МСЕ.

У другому розділі поширено на нові класи задач (зокрема, на клас геометрично нелінійних задач) два методи побудови теорій тонких і пологих пружних оболонок, що полягають у розвиненні функцій у ряди за поліномами Лежандра та отримано геометричні й фізичні рівняння уточненої лінійної теорії тонких анізотропних оболонок з урахуванням поперечних зсувів і стиснення, а також заданих законів розподілу по товщині поперечних дотичних і нормальних напружень.

Перший підхід запропонований І. Н. Векуа й вимагає представлення у векторній формі рівнянь і співвідношень теорії пружності та дозволяє користуватись будь-якими координатними системами, нормально зв'язаними із серединною поверхнею оболонки. Другий підхід широко висвітлений у літературі й не вимагає використання вектор-функцій, але змушує користуватись ортогональними координатними системами, нормально зв'язаними із серединною поверхнею оболонки спеціального виду.

Розглядається тонка оболонка постійної товщини із серединною поверхнею , лицевими і та лінійчатими бічними поверхнями .

Поверхню віднесено до криволінійних ортогональних координат , , які відраховуються вздовж ліній головних кривин, поперечна координата відраховується в напрямку зростання зовнішньої нормалі до поверхні .

Фізичні компоненти вектора переміщення , об'ємних сил , тензора деформації , тензора напружень було розвинено в ряди за поліномами Лежандра з коефіцієнтами , , , відповідно, , котрі, за І. Н. Векуа, називаються моментами відповідних величин; номер коефіцієнта називається порядком відповідного моменту.

Надалі, якщо індекс буде позначений грецькою буквою, то він пробігатиме значення 1, 2, а також, якщо в якому-небудь співвідношенні будуть вільні індекси, то це означатиме, що дане співвідношення справедливе для всіх допустимих для них значень.

Приймається наступна кінематична гіпотеза: у процесі деформації прямолінійні й нормальні до серединної поверхні оболонки волокна не викривляються, а тільки повертаються на деякий кут, але можуть змінювати свою довжину й не залишатись перпендикулярними до деформованої поверхні.

За таких припущень переміщення розподілені по товщині оболонки за лінійним законом:

. (1)

Складові деформації визначаються виразами:

, , ,

де , , - мембранні деформації, , , - деформації згину й кручення серединної поверхні, , - деформації поперечного зсуву, , - деформації поперечного зсуву, що виникають від дії напружень стиснення, а характеризує поперечне стиснення.

Геометричні співвідношення мають наступний вигляд:

,?(),

,

, ,?(),

, (2)

де , - параметри Ляме, , - кривини координатних ліній поверхні .

Деформації довільної точки оболонки за допомогою співвідношень (2) виражені через узагальнені переміщення , що є функціями двох поверхневих координат. Це так звана шестимодальна теорія оболонок. Приймаючи в співвідношеннях (2) , отримуємо, що деформації виражені через п'ять узагальнених переміщень. Це так звана п'ятимодальна теорія оболонок. Додатково припускаючи , приходимо до класичної теорії тонких оболонок, побудованої на базі гіпотези Кірхгофа-Лява, у якій деформації виражаються через три незалежні функції переміщень .

Розподіл тангенціальних напружень приймається лінійним по товщині оболонки

,

а розподіл поперечних дотичних і нормальних напружень описується прийнятим законом їх розподілу вздовж нормальної координати:

,

(3)

Тут й - зовнішні тангенціальні й нормальні зусилля на поверхнях і відповідно.

Фізичні співвідношення мають наступний вигляд:

, ,

, ,

,

, , (4)

де , - матриці тангенціальних і поперечних жорсткостей, - модуль поперечного стиснення, а , , , , , , , - матриці-стовпчики:

, , ,

, , ,

, .

Співвідношення (4) можна отримати, застосувавши змішаний варіаційний принцип або процедуру Бубнова-Гальоркіна в запропонованій М. В. Марчуком формі.

У третьому розділі шляхом використання змішаного варіаційного принципу Райснера ще раз отримані фізичні співвідношення, а також рівняння рівноваги й граничні умови уточненої теорії оболонок, та описано білінійний прямокутний скінченний елемент оболонки, який базується на дискретизації рівнянь і співвідношень даної теорії.

Рівняння рівноваги елемента оболонки за умови відсутності зовнішніх тангенціальних зусиль на поверхнях і мають наступний вигляд:

,

(),

, (5)

Де

, .

Система гауссових параметрів , здійснює відображення поверхонь , і на деяку область , що належить площині змінних , . Вважаємо, що область - обмежена й у загальному випадку многозв'язна, а її границя - це об'єднання відрізків, паралельних до осей координат.

Умови для частини граничного контуру, що паралельна осі або лежить на ній, мають такий вигляд:

або ; або ;

або ; або ;

або ; або . (6)

Для частини контуру, що паралельна осі або лежить на ній, умови мають такий вигляд:

або ; або ;

або ; або ;

або ; або . (7)

Тут , - задані на відповідних частинах граничного контуру функції.

Далі в дисертації розглянуто математичні проблеми даної теорії, що стосуються постановки крайових задач, шляхів доведення теорем існування і єдиності в певних класах розв'язків.

Шляхом використання принципу Даламбера до рівнянь рівноваги в узагальнених переміщеннях, які є наслідком підстановки геометрично нелінійних деформаційних співвідношень при та в рівності (4) й результату в (5), отримані рівняння вільних нелінійних коливань, податливих до зсуву композитних пластин. Відзначено їх співпадіння з рівняннями, отриманими іншим методом.

Описано основні етапи розв'язування задачі (2)-(7) за допомогою МСЕ: тріангуляцію області , побудову матриць жорсткості СЕ і постпроцесорне визначення моментів напружень. Сформульовано достатні умови для збіжності наближеного розв'язку задачі (2)-(7) до точного. Отримано необхідні умови для збіжності, що породжують групу вимог, спрямованих на покращення порядку збіжності. Ці вимоги пов'язані з потребою точного відтворення станів зі сталими деформаціями в СЕ. Здійснено узагальнення побудованої схеми розрахунку на випадок замкнутих в одному з напрямків оболонок.

Тріангуляція області здійснювалась таким чином, щоб сторони всіх СЕ були паралельними координатним осям , . На СЕ шукані функції апроксимуються білінійними поліномами, заданими в локальній системі координат , , наступним чином:

,

.

Тут , - локальні координати вузлів СЕ,

, , , , , , , .

Зрозуміло, що при зменшенні розмірів СЕ деформації в них будуть прямувати до сталих. Тому у випадку, коли вузлові переміщення відповідають стану зі сталими деформаціями, треба, щоб цей стан дійсно реалізувався в СЕ, або хоча б подбати, щоб деформації, які найбільше впливають на величину похибки, представлялись адекватніше.

Можна показати, що для стану чистого згину для й описаний елемент має порядок збіжності , де - характерний розмір елемента. У зв'язку із цим при збільшенні відношення довжини СЕ до його товщини збіжність погіршується. Таке явище для СЕ тонких пластин і оболонок називається заклинюванням і пов'язане воно з появою фальшивих зсувних і мембранних деформацій при чистому згині.

О. І. Головановим проведено дослідження точності апроксимації чистого згину для плоского чотирикутного елемента пластини, побудованого на основі п'ятимодальної гіпотези Тимошенка. Аналогічні висновки отримано для СЕ пластини в прямокутній декартовій системі координат з паралельними координатним осям сторонами, побудованого на базі співвідношень розглянутої шестимодальної уточненої теорії. З'ясовано, що звичайні апроксимації деформацій й при чистому згині перетворюються в нуль у точках , і , відповідно. Ці точки називаються точками суперзбіжності, або точками Барлоу.

У випадках, коли параметри Ляме й кривини постійні на , для усунення явища “заклинювання” СЕ при зменшенні їх товщини застосовано методику подвійної апроксимації деформацій, яка полягає в побудові окремих апроксимацій деформацій усередині СЕ, які приводять до заклинювання, використовуючи значення їх звичайних апроксимацій у точках суперзбіжності.

Представлена версія МСЕ реалізована у вигляді прикладної програми для ЕОМ.

Для апробації методики розглянуто защемлену по всьому контуру квадратну в плані пластинку (рис. 1), яка знаходиться під дією рівномірно розподіленого по верхній лицевій поверхні навантаження , при , , . Параметр змінювався. Область було розбито на 100 СЕ ().

Табл. 1

	20	100	500	1000
1	2,7518	3,4398	4,2998	3,4398
2	2,6407	0,4926	0,0282	0,0057
3	3,2154	3,4622	4,2989	3,4384
Множник

В табл. 1 наведені значення прогинів у центрі пластинки при різних . Рядок 2 відповідає елементу зі звичайною апроксимацією, а рядок 3 - елементу з подвійною апроксимацією деформацій. Для порівняння в рядку 1 наведені розв'язки, отримані С. П. Тимошенком на основі гіпотез Кірхгофа. При достатньо малих для пластин зі скінченною зсувною жорсткістю розв'язок може помітно відрізнятись. Цей факт пояснює значну відмінність між даними з рядків 1 і 3 для . Використання СЕ зі звичайною апроксимацією деформацій на сітці для приводить до заниженого значення прогину в центрі пластинки. На сітці цей елемент дав значення максимального прогину , яке практично співпадає зі значенням, яке дав СЕ з подвійною апроксимацією деформацій на сітці .

Дані з табл. 1 свідчать про те, що при зменшенні товщини СЕ з подвійною апроксимацією демонструють хорошу стабільність, а використання звичайного СЕ приводить до незадовільної точності.

На рис. 2 наведено епюри параметра, який характеризує поперечне стиснення пластинки в перерізі з координатою . Лінія 1 отримана із застосуванням методу штрафу. Лінія 2 отримана на основі звичайного виразу для потенціальної енергії пластинки. Стиснення у цьому випадку має осциляцію.

На рис. 3 зображена зона в куті пластинки, де величина поперечного стиснення переважає величину прогину.

На рис. 4 наведено залежність напруження поперечного стиснення від поперечної координати при . Як бачимо, напруження при розподілені за нелінійним законом.

У четвертому розділі розглянуто два варіанти теорії багатошарових структур та розроблено підхід до побудови на їх основі числових моделей за допомогою МСЕ.

Перший підхід застосовувався для розрахунку шаруватих конструкцій, що складаються з однорідних шарів сталої товщини зі співпадаючими й відмінними конфігураціями серединних поверхонь.

Усі шари такої структури пронумеровано по порядку, починаючи з нуля. Серединну поверхню нижнього лицевого шару віднесено до криволінійних ортогональних координат , , які відраховуються вздовж ліній головних кривин.

Поперечна координата відраховується в сторону зростання зовнішньої нормалі до поверхні . Система криволінійних координат , нормально зв'язана із серединною поверхнею -го шару, задається наступними простими перетвореннями

, ,

де - координата серединної поверхні -го шару.

Фізичні компоненти вектора переміщень точок -го шару , тензора деформації -го шару , тензора напружень у -ому шарі було розвинено в ряди за поліномами Лежандра з коефіцієнтами , , відповідно.

Вважаються справедливими наступні гіпотези:

1. Кінематична гіпотеза про характер розподілу переміщень по товщині -го шару має вигляд

,

де - півтовщина -го шару.

2. В осях, що співпадають з координатними напрямками, співвідношення пружності для -го шару мають вигляд

, , ,

, ,

де і - матриці тангенціальних жорсткостей і поперечних зсувних податливостей -го шару, - модуль поперечного стиснення -го шару, а , , , , , , , - матриці-стовпчики, що визначаються за формулами:

, ,

, ,

, ,

, .

3. На поверхнях розділу шарів виконуються умови нерозривності для компонент вектора переміщень

.

Сформульовано задачі першого варіанту уточненої теорії багатошарових оболонок як задачі мінімізації повної потенціальної енергії шаруватої конструкції на множині допустимих узагальнених переміщень. Побудовано прямокутний білінійний елемент шаруватих структур описаного типу з подвійною апроксимацією деформацій.

Для конструкцій, які можна розбити поверхнями , на підобласті з однорідною структурою, запропоновано алгоритм побудови скінчено-елементного розбиття бази параметризації, що використовує відомий алгоритм заповнення многокутників по ребрах, який застосовується в растровій графіці.

Другий підхід застосовувався до тонких шаруватих оболонок симетричної будови за товщиною з однаковими конфігураціями серединних поверхонь шарів.

Така оболонка розбивається на шари поверхнями, еквідистантними до серединної поверхні , яку віднесено до криволінійних ортогональних координат , , що відраховуються вздовж ліній головних кривин. Поперечна координата відраховується в сторону зростання зовнішньої нормалі до поверхні .

В основу другого варіанту покладені гіпотези (1) та (3) відносно характеру розподілу переміщень і напружень по товщині пакету. Поперечні напруження є неперервними функціями нормальної координати скрізь у конструкції, у тому числі на поверхнях розділу шарів.

Геометричні співвідношення мають вигляд (2).

Моменти тангенціальних напружень визначаються так:

, ,

де - кількість шарів, - відстань від поверхні до нижньої границі -го шару. Шари пронумеровано по порядку від нижнього до верхнього.

Шляхом застосування змішаного варіаційного принципу Райснера отримані рівняння рівноваги (5), граничні умови (6), (7) і співвідношення пружності для деформацій і напружень .

СЕ, побудований на основі рівнянь другого варіанту теорії, слугує простим узагальненням СЕ однорідних оболонок, описаного в третьому розділі.

Наведено приклади розрахунку пластин і циліндричних оболонок з накладками за співвідношеннями першого варіанту уточненої теорії багатошарових пластин і оболонок та досліджено вплив на напружено-деформований стан цих конструкцій геометричних і фізико-механічних параметрів.

Відмічена достатня узгодженість результатів чисельного розв'язування адаптивним непрямим методом граничних елементів задачі осесиметричної теорії пружності для жорстко защемленого на торцях порожнистого циліндра під внутрішнім тиском та результатів, отриманих за допомогою розробленої схеми МСЕ на основі другого варіанту уточненої теорії багатошарових оболонок.

За схемою першого варіанту досліджувалась деформація оболонки, складеної з двох циліндричних шарів з різними пружними й геометричними характеристиками.

Серединну поверхню внутрішнього шару віднесено до криволінійних ортогональних координат , , де - поздовжня координата, - кругова координата; зовнішня нормаль спрямована в бік лицевої поверхні внутрішнього шару з більшим радіусом. Меридіональний переріз конструкції схематично зображено на рис. 5.

Зовнішній шар навантажений тиском , а його торці вільні. Торці внутрішнього шару жорстко защемлені, а його внутрішня поверхня й частина його зовнішньої поверхні, яка не контактує із зовнішнім шаром, - вільні від навантажень.

Розрахунки проводились при наступних значенням геометричних та фізико-механічних параметрів:

, , , , , , , , , , .

Параметр змінювався.

На рис. 6-9 зображено залежність моментів переміщень точок шарів і напружень у шарах від осьової координати при . Результати, представлені пунктирними лініями, отримані із застосуванням методу штрафу. Як бачимо, стиснення внутрішнього шару незначне в порівнянні з прогином, а нормальні напруження - незначні в порівнянні з тангенціальними напруженнями в серединній поверхні шару. А в зовнішньому шарі стиснення досягає значної величини навіть у порівнянні з величиною прогину й нормальне напруження за величиною переважає тангенціальні напруження в точках серединної поверхні шару.

Проведено аналіз зміни епюр прогинів серединних поверхонь і напружень у кільцевому напрямку в залежності від параметру . Чисельні результати, представлені на рис. 10 і 11 і отримані при , , , . Можна бачити, що прогини й напруження практично постійні в області , досягаючи там значної величини. Відзначено схожість кривих на рис. 10 і 11, які відповідають однаковим значенням параметру .

Основні результати та висновки

1. Отримано систему рівнянь рівноваги, співвідношень пружності та нелінійних геометричних залежностей для тіла з криволінійною анізотропією в тензорній і векторній формах і її наближений аналог для тонких і пологих оболонок постійної товщини.

2. Здійснено порівняння двох методів побудови теорій пружних оболонок, що полягають у розкладі функцій у ряди за поліномами Лежандра. З'ясовано, що рівняння, отримані за допомогою першого й другого методів, співпадають.

3. Запропоновано алгоритм побудови скінчено-елементного розбиття областей у просторі гауссових параметрів бази параметризації оболонки або пакету оболонок, що використовує відомий алгоритм заповнення многокутників по ребрах, який застосовується в растровій графіці.

4. Розроблено підхід до побудови числових моделей деформування багатошарових пластин і оболонок за допомогою методу скінченних елементів при адекватному моделюванні геометрії конструкцій, їх умов закріплення та навантаження, урахуванні поперечних деформацій, стиснення, анізотропії, фізико-механічних властивостей окремих шарів.

5. На основі запропонованих моделей отримано наближені розв'язки задач про визначення напружено-деформованого стану композитних пластин, оболонок та структурно-неоднорідних конструкцій, що дозволило виявити наступні ефекти:

– напруження в жорстко защемленій квадратній пластині з навантаженою зовнішнім тиском накладкою з вільними краями зазнають розривів у точках площин країв накладки;

– для жорстко защемлених пластин і накладок під тиском з вільними краями та однаковими товщинами й фізико-механічними параметрами криві для кутів поворотів співпадають при малих значеннях параметра тонкостінності, а при його зростанні розходяться;

– зі збільшенням кількості шарів жорстко защемленої багатошарової пластини з накладкою під тиском з вільними краями спостерігається тенденція до зникнення розривів тангенціальних та зсувних напружень у точках площин країв накладки;

– у жорстко защемленій пластині з накладкою під тиском з вільними краями графік нормального напруження має яскраво виражену складку в області простору гауссових параметрів бази параметризації конструкції, що містить контур, який відповідає бічним поверхням накладки;

– у нижньому шарі жорстко защемленої двошарової пластини з накладкою під тиском з вільними краями графік нормального напруження має дві яскраво виражені складки в описаній у попередньому пункті області;

– в однорідній оболонці при дії розподіленого по лицьовій поверхні нормального навантаження наявні зони серединної поверхні, де величина поперечного стиснення переважає величину прогину. Цей ефект локалізований у кутових областях, прилеглих до закріплених у нормальному напрямку торців;

– у жорстко защемленій на торцях циліндричній оболонці з навантаженим зовнішнім тиском бандажем з вільними торцями напруження неперервні, але крива осьового тангенціального напруження в точках серединної поверхні внутрішнього шару має злам, а графік кільцевого тангенціального напруження в точках серединної поверхні внутрішнього шару гладкий.

– стиснення навантаженого зовнішнім тиском бандажа з вільними торцями на циліндричній оболонці з жорстко защемленими торцями, у випадку його більшої податливості до поперечних деформацій, може досягати значної величини навіть у порівнянні з величиною прогину, а нормальне напруження в ньому за величиною може переважати тангенціальні напруження в точках його серединної поверхні.

основні результати дисертації опубліковані в роботах

1. Дияк І. І. Чисельне дослідження задачі осесиметричної теорії пружності адаптивним непрямим методом граничних елементів / І. І. Дияк, Р. І. Тучапський // Вісник Львівського університету, сер. прикладна математика та інформатика. 2000. Вип. 2. С. 110-115.

2. Марчук М. В. Нелінійні коливання податливих трансверсальним деформаціям зсуву та стиснення композитних пластин / М. В. Марчук, В. С. Пакош, Р. І. Тучапський // Машинознавство. 2001. № 11(53). С. 19-22.

3. Марчук М. В. Про один спосіб розбиття двовимірної області на скінченні елементи в задачах нелінійного деформування шаруватих оболонок / М. В. Марчук, Р. І. Тучапський // Прикл. проблеми мех. і мат. 2006. Вип. 4. С. 153-161.

4. Марчук М. В. Система основних рівнянь нелінійної теорії пружності для тонких і пологих оболонок / М. В. Марчук, Р. І. Тучапський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2007. 50, № 3. С. 178-186.

5. Марчук М. В. Прямокутний скінченний елемент пластин і оболонок при врахуванні поперечних зсувів і обтиснення з подвійною апроксимацією деформацій / М. В. Марчук, Р. І. Тучапський // Машинознавство. 2008. № 12(138). С. 3-17.

6. Тучапський Р. І. Дослідження напружено-деформованого стану пластин і оболонок, податливих трансверсальним деформаціям зсуву та стиснення, за допомогою методу скінченних елементів / Р. І. Тучапський // Сучасні проблеми механіки та математики: В 3-х т. Львів, 2008. Т. 1. С. 214-216.

7. Тучапський Р. І. Дослідження напружено-деформованого стану закріплених по краях шаруватих пластин і оболонок, податливих трансферсальним деформаціям зсуву та стиснення, за допомогою методу скінченних елементів / Р. І. Тучапський // Сучасні проблеми механіки та математики: В 3-х т. Львів, 2008. Т. 1. С. 217-218.

8. Марчук М. В. О некоторых особенностях конечно-элементного решения задач о напряженно-деформированном состоянии слоистых пластин и оболочек / М. В. Марчук, Р. И. Тучапский // Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек. Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 2008. С. 92-93.

9. Марчук М. В. Метод наближеного розв'язування початково-крайових задач, що моделюють нелінійне динамічне деформування композитних оболонок і пластин / М. В. Марчук, М. М. Хом'як, В. С. Пакош, Р. І. Тучапський // Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь. Тези доповідей. Київ, 2001. С. 89.

10. Марчук М. В. Система основних рівнянь нелінійної теорії пружності у векторній формі / М. В. Марчук, Р. І. Тучапський // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача. Тези доповідей. Львів, 2005. С. 39-40.

11. Марчук М. В. Про один спосіб розбиття двовимірної області на скінченні елементи / М. В. Марчук, Р. І. Тучапський // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповідей ХІІІ Всеукраїнської наукової конференції. Львів, 2006. С. 100.

12. Марчук М. В. Новий спосіб побудови скінченно-елементного розбиття двовимірної області для розрахунку ракетного двигуна на твердому паливі / М. В. Марчук, Р. І. Тучапський // Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій: Тези доповідей Міжнародної науково-технічної конференції пам'яті академіка НАН України В. І. Моссаковського. Дніпропетровськ: ДНУ, 2007. С. 399-400.

Анотація

Тучапський Р. І. Визначення напружено-деформованого стану структурно-неоднорідних пластин і оболонок на основі уточненої теорії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2009.

Поширено на нові класи задач методи побудови теорій тонких і пологих пружних оболонок, що полягають у розвиненні функцій у ряди за поліномами Лежандра.

Побудовано теорії багатошарових анізотропних пластин і оболонок з однаковими й відмінними конфігураціями серединних поверхонь шарів на основі єдиних і окремих кінематичних та статичних гіпотез для шарів, податливих до деформацій поперечних зсувів і стиснення.

Для кожної теорії на базі її гіпотез побудовано білінійний прямокутний скінченний елемент багатошарової структури з аналітично заданою базою параметризації з подвійною апроксимацією деформацій, який у якості вузлових невідомих використовує моменти фізичних компонент вектора переміщень.

Наведено приклади розрахунку однорідних і шаруватих конструкцій: оболонок зі складними конфігураціями серединних поверхонь, пластин з накладками, циліндричних оболонок з накладками й бандажами.

Ключові слова: багатошарові пластини й оболонки, структурно-неоднорідні тонкостінні конструкції, зсув, стиснення, варіаційний принцип, метод скінченних елементів, подвійна апроксимація деформацій, метод штрафу.

Abstract

Tuchapskyj R. I. Determination of stressed-strained state of structurally inhomogeneous plates and shells on the basis of the refined theory. - Manuscript.

Thesis for the Candidate's Degree in Physics and Mathematics (speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids). Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, L'viv, 2009.

The methods of constructing the theories of thin and shallow elastic shells are developed for new classes of problems which lie in expanding of functions into series with respect to the Legendre polynomials.

The theories of multilayer anisotropic plates and shells with identical and different configurations of the median surfaces of layers are constructed on the basis of unique and separate kinematic and static hypotheses for layers pliable to deformations of transversal shears and compression.

For each theory on the basis of its hypotheses a bilinear rectangular finite element of multilayer structure with analytically given base of parameterization with dual approximation of strains is constructed. The element utilizes the moments of physical components of displacement vector as node unknowns.

The examples of calculation the homogeneous and layer designs are presented: the shells with complex configurations of the median surfaces, plates with straps, cylindrical shells with straps and bandages.

Keywords: multilayer plates and shells, structurally inhomogeneous thin-walled designs, shear, compression, variational principle, finite element method, dual approximation of strains, penalty method.

Аннотация

Тучапский Р. И. Определение напряженно-деформированного состояния структурно-неоднородных пластин и оболочек на основе уточненной теории. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2009.

Распространены на новые классы задач два метода построения теорий тонких и пологих упругих оболочек, которые заключаются в разложении функций в ряды по полиномам Лежандра. Первый подход, предложенный И. Н. Векуа, требует представления в векторной форме уравнений и соотношений теории упругости и позволяет пользоваться любыми координатными системами, нормально связанными со срединной поверхностью оболочки. Второй подход не требует использования вектор-функций, но заставляет пользоваться ортогональными координатными системами, нормально связанными со срединной поверхностью оболочки специального вида.

Рассмотрены два варианта теории многослойных анизотропных пластин и оболочек податливых деформациям поперечных сдвигов и сжатия. Первый базируется на отдельных кинематических и статических гипотезах для слоев и применялся для расчета слоистых конструкций, состоящих из однородных слоев постоянной толщины с совпадающими и отличающимися конфигурациями срединных поверхностей. Второй базируется на единых кинематических и статических гипотезах для слоев и применялся к тонким слоистым оболочкам симметричного строения по толщине с одинаковыми конфигурациями срединных поверхностей слоев.

Для каждой теории на базе её гипотез построен билинейный прямоугольный конечный элемент многослойной структуры с аналитически заданной базой параметризации с двойной аппроксимацией деформаций, который в качестве узловых неизвестных использует моменты физических компонент вектора перемещений. Проведен анализ построенных элементов с точки зрения выполнения требований сходимости. Для устранения явления “заклинивания” элементов при уменьшении их толщин применена оригинальная методика двойной аппроксимации деформаций по точкам суперсходимости, предложенная А. И. Головановым. Для остановки фальшивых осцилляций сжатия применен метод штрафа. Предложен оригинальный алгоритм построения конечно-элементного разбиения базы параметризации конструкции, который использует известный алгоритм заполнения многоугольников по рёбрам, применяемый в растровой графике.

Приведены примеры расчета однородных и слоистых конструкций: оболочек со сложными конфигурациями срединных поверхностей, пластин с накладками, цилиндрических оболочек с накладками и бандажами. Исследовано влияние геометрических и физико-механических параметров на напряженно-деформированное состояние конструкций. Выявлен сложный характер распределения напряжений в прямоугольных пластинах и цилиндрических оболочках с накладками. Выполнено сравнение результатов численного решения задач осесимметричной теории упругости с помощью адаптивного непрямого метода граничных элементов и задач теории оболочек с помощью метода конечных элементов.

Ключевые слова: многослойные пластины и оболочки, структурно-неоднородные тонкостенные конструкции, сдвиг, сжатие, вариационный принцип, метод конечных элементов, двойная аппроксимация деформаций, метод штрафа.

Размещено на Allbest.ru

...