Взаємодія нелінійних електромагнітних імпульсів з шумом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут монокристалів

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Взаємодія нелінійних електромагнітних імпульсів з шумом

Якушев Д.О.

01.04.02 - теоретична фізика

Харків - 2009

Вступ

Актуальність теми. Розвиток комп'ютерних технологій потребує все більше високошвидкісних та якісних засобів передачі інформації на великі відстані. Технологія передачі сигналів із застосуванням металевих кабелів не в змозі у повній мірі забезпечити вимоги у високошвидкісній передачі даних і практично вичерпала свої можливості. Це привело до необхідності пошуку нових, більш досконалих середовищ для конструювання високошвидкісних ліній зв'язку.

Створення волоконно-оптичних кабелів з наднизьким рівнем втрат привело до революції у комунікаційних технологіях. Переваги оптоволоконних систем, у яких інформація передається закодованими послідовностями електромагнітних імпульсів, не вичерпується тільки високою пропускною здатністю та дальністю зв'язку. До їх числа також відносяться порівняно низька вартість, відсутність електричних з'єднань та підвищена безпека передачі інформації. Також знизилась вартість прокладки волоконно-оптичних ліній, оскільки порівняно з мідними кабелями волоконно-оптичні кабелі мають менші розміри. Оскільки волоконно-оптичні кабелі не потребують використання електричних роз'ємів, працювати з ними набагато безпечніше, ніж з будь-яким іншим різновидом кабелів. Перехоплення повідомлень, що передаються по оптичних кабелях, хоч і можливо, але значно ускладнено, і будь-які його спроби пов'язані з додатковими втратами у лініях, які достатньо легко виявити.

Однією з важливих задач у сучасній нелінійній електродинаміці є проблема взаємодії електромагнітних імпульсів, що передаються лініями зв'язку, з шумом. Справа в тому, що при передачі електромагнітного сигналу на великі відстані доводиться використовувати підсилювачі, які неминуче створюють шум. Взаємодія імпульсів, що передаються, з шумом веде до перекручення імпульсів, що, в свою чергу, може вести до часткової втрати інформації. Необхідно навчитися знаходити кількісні співвідношення, що визначають ступінь вірогідності прийнятої інформації в залежності від параметрів шуму. Задачі, що вирішуються в даній дисертації, належать саме до цієї актуальної проблеми.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відділі теоретичної фізики Інституту радіофізики та електроніки ім. О. Я. Усикова НАН України за особистим планом аспіранта. Вона є складовою частиною наступних проектів:

науково-дослідна робота "Дослідження електромагнітних та акустичних явищ НВЧ діапазону в твердих тілах" (номер державної реєстрації 0100U006335, термін виконання 2001-2003, шифр: "Кентавр-2");

науково-дослідна робота НАН України "Теоретичне дослідження електромагнітних властивостей та розробка методів аналізу напівпровідникових, феритових та діелектричних періодичних наноструктур з метою створення активних пристроїв з тривалою взаємодією" (номер державної реєстрації 0104U006891, термін виконання 2004, шифр: "Надгратка");

науково-дослідна робота "Дослідження регулярних та стохастичних явищ, що обумовлені взаємодією електромагнітних хвиль і потоків заряджених часток з речовиною" (номер державної реєстрації 0103U002260, термін виконання 2004-2006, шифр: "Кентавр-3");

науково-дослідна робота "Дослідження взаємодії електромагнітних та акустичних полів, а також електромагнітних пучків з твердотільними та біологічними структурами" (номер державної реєстрації 0102U003139, термін виконання 2002-2006, шифр: "Структура").

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова математичного апарата, що описує еволюцію нелінійних електромагнітних хвиль, що розповсюджуються лініями зв'язку в присутності джерел шуму, і теоретичне встановлення статистичних властивостей для параметрів нелінійних електромагнітних хвиль шляхом застосування точних або наближених методів. Основними задачами дослідження є:

- Отримання рівняння Фоккера-Планка для параметрів скалярних, векторних та надкоротких солітонних імпульсів. Знаходження точних розв'язків рівняння Фоккера-Планка для функції густини ймовірності солітонних параметрів.

- Узагальнення класичних результатів для статистики параметрів скалярного солітону на випадок великих відстаней розповсюдження сигналу що передається, та великих відхилень солітонних параметрів від їх початкового стану.

- Застосування наближених методів для знаходження наближених розв'язків рівняння Фоккера-Планка.

Об'єктом дослідження є нелінійні електромагнітні імпульси, що розповсюджуються лініями зв'язку.

Предметом дослідження є взаємодія нелінійних електромагнітних імпульсів з шумом, який неминуче є присутнім у лініях зв'язку через дію підсилювачів сигналу, що передається.

Метод дослідження полягає в переході від стохастичних рівнянь, що описують розповсюдження електромагнітних імпульсів в оптичних волокнах з джерелами шуму, до системи рівнянь Ланжевена, що визначає різні параметри електромагнітного сигналу. Ця система використується для отримання рівняння Фоккера-Планка, що визначає функцію густини ймовірності різних характеристик електромагнітного імпульсу. Вирази для функцій густини ймовірності амплітуди та частоти електромагнітного солітону, що підданий впливу шумів, були отримані шляхом точного рішення рівняння Фокера-Планка. Разом з точними методами рішення застосовувались наближені методи - метод ВКБ і так зване гауссове наближення.

Наукова новизна одержаних результатів.

З'ясовано межі застосування класичних результатів для статистики параметрів скалярного електромагнітного солітону у так званому гауссовому випадку, коли має місце ефект Гордона-Хауза. Вперше отримано рівняння Фоккера-Планка для функції густини ймовірності амплітуди, частоти, положення і фази скалярного солітону. Показано, що вплив шуму на скалярний електромагнітний солітон веде до негауссової статистики його параметрів. Отримано точне рішення рівняння Фоккера-Планка для функції густини ймовірності амплітуди та частоти солітону. Методом ВКБ отримано функцію густини ймовірностей амплітуди та центру скалярного солітону.

Отримано вирази для середньоквадратичних відхилень параметрів коротких електромагнітних імпульсів з урахуванням впливу нелінійних та дисперсійних ефектів вищих порядків - таких, як нелінійна дисперсія, раманівське розсіювання та дисперсія третього порядку. Встановлено, що зменшення тривалості імпульсу до субпікосекундного та фемтосекундного діапазонів веде до росту середньоквадратичних відхилень параметрів сигналів у порівнянні з випадком пікосекундних електромагнітних сигналів.

Отримано рівняння Фоккера-Планка для функції густини імовірності всіх шести параметрів векторного електромагнітного солітону. Показано, що вплив шуму на розповсюдження векторного солітона веде до негауссової статистики його параметрів. Знайдено рішення рівняння Фоккера-Планка для функції густини ймовірності амплітуди, частоти та кута поляризації векторного солітону.

Показано, що векторні солітони виявляються більш стійкими до шуму, ніж скалярні солітони, у випадку, коли детермінант шумової матриці близький до нуля.

Практичне значення отриманих результатів. Побудовано математичний апарат, заснований на отриманні і подальшому рішенні рівняння Фоккера-Планка, що дозволяє моделювати розповсюдження електромагнітних імпульсів лініями зв'язку та їх взаємодію з шумом. Розвинуті методи можуть бути використані для дослідження впливу контрольних елементів - таких, як оптичні фільтри, модулятори та інш., на характеристики волоконно-оптичних ліній передачі інформації. Функції густини ймовірностей, що отримані, можуть бути використані для моделювання вірогідності з'явлення помилок у бінарному цифровому потоці інформації. Передбачені незвичайні ефекти заглушення випадкових флуктуацій параметрів солітону Манакова дають можливість контролювати флуктуації параметрів векторних імпульсів шляхом вибору початкових значень їх параметрів. Цей факт дає підстави вважати, що векторні електромагнітні солітони є більш перспективними порівняно з їх скалярними аналогами стосовно якості передачі інформації та можливостей використовування різних модуляційних форматів.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковано у статтях [1-4] і тезах доповідей наукових конференцій [5-7]. Здобувач брав участь у постановці задач, вирішених у дисертації, та у проведенні всіх аналітичних розрахунків. Ідеї та розробки у всіх дослідженнях з теми дисертації в однаковій мірі належать здобувачеві та решті співавторам робіт. У роботі [1] здобувачем були обчислені функції густини ймовірностей амплітуди та частоти скалярного солітону. Ним також були розраховані моменти вищих порядків амплітуди та частоти скалярного та векторного солітонів. У роботі [2] він запропонував спосіб обчислювання асимптотіки функції густини ймовірностей амплітуди, частоти та положення центру солітона. У статті [3] здобувачем була розглянута можливість використовування нелінійних та дисперсійних ефектів вищих порядків та було запропоновано метод опису розповсюдження фемтосекундних електромагнітних імпульсів на підставі рівняння Фоккера-Планка. В роботі [4] здобувачем було отримано рівняння Фоккера-Планка для функцій густини ймовірності різних значень параметрів векторних солітонів та методом ВКБ була отримана функція густини ймовірності амплітуди та кута поляризації.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися й обговорювалися на семінарах відділення фізики твердого тіла та відділу теоретичної фізики ІРЕ ім. А.Я. Усикова НАН України; на 6-й міжнародній конференції "Физические явления в твердых телах" (Харків, Україна, 2003); на 3-й Харківській конференції молодих вчених “Мікрохвильова електроніка та радіолокація”, (Харків, Україна, 2004); на міжнародному симпозіумі "Physics and Engineering of Microwaves, Milimiter, and SubMillimiter Waves" (Харків, Україна, 2004).

Публікації. Результати за темою дисертації опубліковано у 7 роботах: 4 статтях у спеціалізованих національних та міжнародних наукових журналах та 3 тезах доповідей у збірниках праць наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розділу "Висновки" та списку використаних джерел із 87 найменувань. Робота викладена на 122 сторінках машинописного тексту та містить 3 ілюстрації, які не займають окремих сторінок.

1. Основний зміст дисертації

У вступі стисло аналізуються наукові проблеми, розв'язанню яких присвячено дану дисертацію, визначається коло задач, які розглянуто у роботі, визначається актуальність теми дисертації, формулюються мета та задачі дослідження, характеризується наукова новизна отриманих результатів і практична значимість роботи, описується структура дисертації.

У першому розділі "Основні моделі нелінійної волоконної оптики" йде мова про результати, які були отримані раніше іншими дослідниками, дано огляд літератури і встановлено місце досліджень з теми дисертації в колі задач сучасної фізики нелінійних електромагнітних імпульсів, що розповсюджуються в сучасних волоконно-оптичних лініях зв'язку.

У 1971 році Захаров та Шабат [1] показали повну інтегрованість нелінійного рівняння Шредінгера, яке описує розповсюдження електромагнітних імпульсів в оптичних волокнах. З цієї теорії випливає наявність електромагнітних солітонів. Принципова можливість спостереження таких електромагнітних солітонів у волоконно-оптичних світловодах була передбачена Хасегавою і Тапертом [2] у 1973 році. Перші експерименти, в яких спостерігалися електромагнітні солітони, були проведені у 1980 році Моленауром, Столеном та Гордоном [3]. Це стало можливим завдяки покращенню фізичних якостей хвилеводів, в першу чергу завдяки зменшенню рівня енергетичних втрат [4], а також завдяки удосконалюванню лазерних джерел пікосекундних імпульсів. Однак практичне застосування оптичних солітонів спочатку здавалося доволі складним з причини високого значення оптичних втрат. Протягом 80-х років було запропоновано декілька способів рішення цієї проблеми. Хасегава [5] запропонував використовувати раманівське розсіювання для ефективного підсилювання та перебудову електромагнітних солітонів. Пізніше було запропоновано легувати ділянки оптичного волокна іонами рідкоземельних елементів для досягнення збільшення підсилювання на довжині хвилі 1,55 мкм, де хроматична дисперсія волокна мінімальна. У 1988 році Моленаур та Сміт провели піонерські експерименти з передачі інформації на відстань більше 4000 кілометрів [6]. Однак підсилення імпульсів пов'язано з додатковими труднощами. Оскільки підсилювачі оперують у квантовому режимі, вони неминуче генерують додаткові фотони, що виникають унаслідок ефекту спонтанної емісії. Така емісія проявляється як випадковий шум, що додається до сигналу після проходження кожного підсилювача. Під час розповсюдження імпульсу вплив шуму зростає, що веде до випадкових блукань параметрів солітону. Одна з перших теоретичних робіт [7] по дослідженню впливу шуму на розповсюдження електромагнітних солітонів вийшла у 1988 році. Її автори Гордон та Хауз у гауссовому наближенні вивчали вплив шуму підсилювачів на випадкові коливання амплітуди, частоти, положення центру та фази солітону. Таке випадкове блукання параметрів солітону накладає ефективну верхню межу на максимальну можливу відстань, на яку можливо передавати сигнал. Ефект Гордона-Хауза обумовлює одне з головних обмежень на використання солітонів у чистому вигляді.

Другий розділ "Вплив шуму на розповсюдження скалярного солітона" присвячений дослідженню статистики параметрів солітону нелінійного рівняння Шредингера у присутності оптичних фільтрів та шуму підсилювачів. Ця система описується наступним нелінійним рівнянням.

Нелінійний доданок у правій частині рівняння (1) є проявом ефекту Керра в оптичних волокнах: в присутності електромагнітного поля показник заломлення нелінійним чином залежить від інтенсивності електромагнітного поля. Доданок у правій частині рівняння (1) моделює оптичні фільтри. Шум підсилювачів моделюється білим комплексним адитивним шумом з такими кореляційними властивостями:

_ шумова інтенсивність. При обвідна електромагнітного імпульсу має вигляд фундаментального рішення нелінійного рівняння Шредінгера, яке визначається чотирма початковими параметрами, такими, як початкова амплітуда , початкова частота , початкове положення центра , початкова фаза :

У випадку , нелінійне рівняння (1) представляє нелінійне рівняння Шредінгера. Його фундаментальний розв'язок задається формулою:

Оскільки , , мають достатньо малі значення, для з'ясування динаміки солітонних параметрів - амплітуди , частоти , положення центру та фази , можна застосувати адіабатичну теорію збурень

Слід відзначити, що рівняння теорії збурень представляють систему Ланжевена з мультиплікативним шумом. Статистику рішень такої системи можна проаналізувати за допомогою рівняння Фоккера-Планка для функції густини ймовірності солітонних параметрів. Функція густини ймовірності задовольняє початковій умові

Отримати загальний розв'язок цього рівняння неможливо. Однак у випадку можна отримати аналітичний розв'язок рівняння Фоккера-Планка для функції густини ймовірності амплітуди та частоти. Шляхом інтегрування рівняння Фоккера-Планка (2) за положенням центра та фазі можна отримати рівняння Фоккера-Планка для часткової функції густини ймовірності амплітуди та частоти :

Без обмеження загальності завжди можна вибрати

Точне обчислювання функції густини ймовірностей солітонної амплітуди та частоти показує, що функція густини ймовірностей, усупереч сталій думці, стає негауссовою при далеких відстанях розповсюдження солітону. У цій формулі міститься, мабуть, найважливіший результат дисертації.

В третьому розділі "Розповсюдження векторних електромагнітних імпульсів у системі з шумом" досліджено статистику параметрів солітону Манакова у присутності адитивного білого гауссового шуму. Рівняння Манакова описують розповсюдження нелінійних імпульсів у волокнах з анізотропією, пов'язаною з двопроменезаломленням. Два стани поляризації нелінійної хвилі, та , яка розповсюджується у середовищі з двопроменезаломленням в присутності шуму, дається такою системою диференційних рівнянь:

Компоненти комплексного шуму та мають такі кореляційні властивості

Числа визначають компоненти шумової -матриці. У випадку відсутності збурення, коли , система рівнянь (3), (4) представляє систему Манакова. Як було показано Манаковим [13], така система належить до класу повністю інтегрованих систем і може бути проінтегрована методом зворотної задачі розсіювання. Односолітонний розв'язок системи Манакова задається формулами:

Рівняння Манакова аналізуються за допомогою адіабатичної теорії збурень, оскільки інтенсивності шумів та припускаються малими. Як і у випадку скалярного солітону, адіабатична теорія збурень для солітону Манакова веде до системи рівнянь Ланжевена для солітонних параметрів. Статистика останніх проаналізована із застосуванням рівняння Фоккера-Планка для функції густини ймовірностей параметрів солітону Манакова.

За допомогою точного рішення рівняння Фоккера-Планка отримано часткову функцію густини ймовірності частоти та амплітуди. Крім того, за допомогою метода ВКБ отримано функцію густини ймовірностей амплітуди та кута поляризації, а також функцію густини ймовірностей кута поляризації. Вирази для функції густини ймовірностей амплітуди та кута поляризації та функції густини ймовірностей кута поляризації мають вигляд:

,

.

У гауссовому наближенні отримано формули для середньоквадратичних значень усіх солітонних параметрів та їх залежність від початкових кута поляризації та фази . Так, середньоквадратичні відхилення амплітуди, положення центра та частоти задаються формулами

і так само для решти солітонних параметрів):

Де

У випадку, коли детермінант шумової матриці дорівнює нулю, флуктуації амплітуди, положення центра та частоти солітону Манакова можна зробити скільки завгодно малими шляхом відповідного вибору початкових значень фази та кута поляризації :

В четвертому розділі "Вплив шуму на розповсюдження надкоротких солітонних імпульсів" досліджено вплив шуму на розповсюдження солітонних імпульсів тривалістю менш ніж 10-12 секунди.

Пропускна здатність волоконно-оптичної лінії зв'язку тим вище, чим менша тривалість імпульсів, що використовуються для передачі інформації. Тому дослідження імпульсів малої тривалості, що розповсюджуються лініями зв'язку представляє значний інтерес.

В кінці 60-х років минулого століття були розроблені методи і створені відповідні пристрої для отримання імпульсів з тривалістю до кількох пікосекунд. Такі імпульси називаються надкороткими. Приблизно через десять років було подолано рубіж 10-13 с, а до кінця 80-х було отримано імпульси, які містять усього декілька періодів світових коливань.

У випадку, коли тривалість імпульсу коротше ніж 10-12 с, необхідно врахувати нелінійні та дисперсійні члени вищих порядків: раманівське розсіювання, дисперсію третього порядку та дисперсію нелінійності. У присутності ефектів указаного типу розповсюдження імпульсу описується нелінійним рівнянням, яке є узагальненням нелінійного рівняння Шредінгера - рівнянням Шредінгера з правою частиною:

.

Права частина рівняння (5) складається з чотирьох членів, що враховують вплив раманівського розсіювання, дисперсії третього порядку та дисперсії нелінійності, а також шумів. Нормований параметр

,

є мірою раманівського розсіювання, параметр

,

визначає ефект дисперсії третього порядку,

визначає нелінійну дисперсію. _ тривалість імпульсу, _ параметр раманівського розсіювання, _ параметр дисперсії третього порядку, _ параметр дисперсії групової швидкості, _ частота-носій. представляє білий шум інтенсивності :

На відміну від нелінійного рівняння Шредiнгера, рівняння для надкоротких імпульсів описують неінтегровану динамічну систему. У більшості випадків права частина рівняння (5) є достатньо малою. Тому розповсюдження надкоротких імпульсів розглядається у рамках адіабатичної теорії збурень.

Отримано рівняння Фоккера-Планка для функції густини ймовірностей параметрів надкоротких електромагнітних солітонів. Це рівняння було проаналізовано у гауссовому наближенні. У гауссовому наближенні отримані вирази для середньоквадратичних значень солітонних параметрів. Зокрема, середньоквадратичне значення положення центра солітону та його фази мають вигляд:

,

і аналогічно для інших параметрів солітону):

Проведений аналіз показує, що скорочення тривалості імпульсу, що передається, веде до збільшення ймовірності виникнення помилки під час отримання інформації.

фоккер скалярний математичний електромагнітний

Висновки

В дисертаційній роботі побудовано математичний апарат, що описує еволюцію нелінійних електромагнітних хвиль, що розповсюджуються лініями зв'язку в присутності джерел шуму. Теоретично встановлено статистику параметрів нелінійних електромагнітних хвиль, що передаються.

Основні результати дисертації:

Отримано рівняння Фоккера-Планка, яке описує статистику параметрів скалярних, векторних, а також надкоротких електромагнітних солітонів, що розповсюджуються в системі з шумом. Еволюція скалярного та надкороткого солітонного сигналу описується збуреним нелінійним рівнянням Шредингера, а еволюція векторного солітону - збуреною системою Манакова. Оскільки на практиці збурення є достатньо малим, хвильові рівняння аналізуються за допомогою адіабатичної теорії збурень. Рівняння адіабатичної теорії збурень представляють рівняння Ланжевена з мультиплікативним шумом. Показано, що функція густини ймовірності солітонних параметрів має суттєво негауссову форму. Аналітичне або чисельне розв'язання рівняння Фоккера-Планка дає можливість знаходити вірогідність отримання помилки під час передачі інформації в сучасних оптоволоконних лініях зв'язку.

У рамках розвинутого математичного апарату знайдено точний розв'язок рівняння Фоккера-Планка для функції густини ймовірності частоти і амплітуди скалярного солітону. Для випадку ізотропного шуму отримано точний розв'язок рівняння Фоккера-Планка для функції густини ймовірності частоти і амплітуди векторного солітону.

За допомогою наближеного методу ВКБ знайдено функцію густини ймовірності амплітуди, а також частоти та положення центра скалярного солітону. Крім того, за допомогою метода ВКБ отримано функцію густини ймовірності амплітуди і кута поляризації солітону Манакова. Метод ВКБ дозволяє отримати асимптотичні вирази функції густини ймовірності які є дуже важливими, адже саме вони дозволяють обчислювати вірогідність достатньо великих відхилень солітонних параметрів від їх початкових значень.

У гауссовому наближенні було отримано формули, які характеризують вплив шуму на випадкові флуктуації параметрів солітону Манакова. Було показано, що у випадку сингулярної шумової матриці вплив шуму на солітонні амплітуду, положення центра та частоту можна повністю заглушити шляхом відповідного вибору початкових значень солітонних параметрів.

У тому ж гауссовому наближенні було отримано залежності середніх та середньоквадратичних значень амплітуди, частоти, положення центра та фази надкороткого солітону від відстані розповсюдження. У випадку, коли тривалість солітонного сигналу стає коротшою за секунди, важливу роль починають відігравати нелінійні та дисперсійні члени вищих порядків. Збурення, в цьому випадку, має три додаткових члени: раманівське розсіювання, дисперсія третього порядку та дисперсія нелінійності. Показано, що оптичне ущільнення солітонів, що передаються, веде до збільшення випадкових флуктуацій частоти, положення центра та фази.

Список опублікованих автором праць за темою дисертації

1. Derevyanko S. A. Non-Gaussian statistics of an optical soliton in the presence of amplified spontaneous emission / S. A. Derevyanko, S. K. Turitsyn, D. A. Yakushev // Opt. Let. - 2003. - Vol. 28, _ № 21. _ P. 2097-2099.

2. Derevyanko S. A. Fokker-Plank equation approach to the description of soliton statistics in optical fiber transmission systems / S. A. Derevyanko, S. K. Turitsyn, D. A. Yakushev // J. Opt. Soc. Am. B. - 2005 _ Vol. 22, №. 4. _ P. 743 - 752.

3. Derevyanko Stanislav A. Statistics of noise-driven Manakov soliton / A. Derevyanko Stanislav, E. Prilepsky Jaroslaw and A. Yakushev Dennis // J. Phys. A. - 2006 - Vol. 39, № 5. _ P. 1297-1309.

4. Якушев Д. О. Propagation of femtosecond pulses along lightwave communicative systems / Д. О. Якушев // Радиофизика и электроника. - 2005. - Т.10, № 2. - С. 294-297.

5. Derevyanko S. A. Non-Gaussian statistics of an optical solitons in the presence of amplified spontaneous emission / S. A. Derevyanko, S. K. Turitsyn, D. A. Yakushev // Материалы шестой международной конференции "Физические явления в твердых телах". - Харьков (Украина). - 2003. - С. 68.

6. Yakushev D. A. Non-Gaussian statistics of an optical solitons in the presence of amplified spontaneous emission / D. A. Yakushev // Материалы третьей Харьковской конференции молодых ученых "Мікрохвильова електроніка та радіолокація". - Харьков (Украина). - 2004. - С. 35.

7. Yakushev D. A. Non-Gaussian statistics of an optical solitons in the presence of amplified spontaneous emission / D. A. Yakushev // в книге The Fifth International Kharkiv Symposium Physics and Engineering of Microwaves, Millimiter, and SubMillimiter Waves Материалы шестой международной конференции "Физические явления в твердых телах". - Харьков (Украина). - 2004. - С. 395-397.

8. Захаров В. Е. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах / В. Е. Захаров, А. Б. Шабат // ЖЭТФ. - 1971. - T. 61, № 1(7). C. 118-134.

9. Hasegava A. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. I. Anomalous dispersion / A. Hasegava, F. Tappert // Appl. Phys. Lett. - 1973. - Vol. 23, № 3. - P. 142-144.

10. Mollenauer L. F. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and soliton in optical fibers / L. F. Mollenauer, R. H. Stolen, J. P. Gordon // Phys.Rev. Lett. - 1980. - Vol. 45, № 13. - P. 1095-1098.

11. Miya T. Ultimate low-loss single-mode fiber at 1.55 m / T. Miya, Y. Terunuma, T. Hosaka, A. Miyashita // Electron. Lett. - 1979.- Vol. 15, № 4. - P. 106-108.

12. Hasegava A. Amplification and Reshaping of Optical Solitons in a Glass Fiber IV. Use of Simulated Raman Process / A. Hasegava. // Opt. Let. - 1983. - Vol. 8, _ № 12. _ P. 650-652.

13. Mollenauer L. F. Demonstration of soliton transmission over more than 4000 km in fiber with loss periodically compensated by Raman gain / L. F. Mollenauer, K. Smith // Opt. Lett. - 1988. - Vol. 13, № 8. - P.675-677.

14. Gordon J. P. Random walk of coherently amplified solitons in optical fiber transmission / J. P. Gordon, H. A. Haus // Opt. Lett. - 1986. - Vol. 11, № 10. _ P. 665-667.

15. Iannone E. Nonlinear Optical Communication Networks / E. Iannone, F. Matera. _ Wiley: New York, 1998. - P. 286.

16. Kaup D. J. A Perturbation Expansion for the Zakharov-Shabat Inverse Scattering Transform / D. J. Kaup // SIAM J. Appl. Math. _ 1976. _ Vol. 31, _ № 1. _ P. 121-133.

17. Kaup D. J. Perturbation theory for solitons in optical fibers / D. J. Kaup // Phys. Rev. A _ 1990. _ Vol. 42, _ № 9. _ P. 5689-5694.

18. Карпман В. И. Теория возмущений для солитонов / В. И. Карпман, Е. М. Маслов // ЖЭТФ _ 1977. _ T. 73, № 2(8). _ C. 537-559.

19. Haus H. A. Quantum theory of soliton squeezing: a linearized approach / H. A. Haus and Y. Lai // J. Opt. Soc. Am. B _ 1990. Vol. 7. _ № 3. _ P. 386-392.

20. Манаков С. В. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах / С. В. Манаков // ЖЭТФ _ 1974._ T. 67, № 2(8), C. 543-555.

Размещено на Allbest.ru