Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Задачі в'язкопружності для багатозв'язних ізотропних плит

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Сенченко Юлія Сергіївна

Донецьк - 2011

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Донецькому національному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, профессор Калоєров Стефан Олексійович, Донецький національний університет.

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, профессор Карнаухов Василь Гаврилович, Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України (м. Київ), завідувач відділу термопружності;

доктор технічних наук, профессор Левін Віктор Матвійович, Донбаська національна академія будівництва і архітектури (м. Макіївка), завідувач кафедри вищої та прикладної математики і інформатики.

Захист відбудеться “ _7_ ” квітня _ 2011 р. о 1430 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83001, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83001, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Автореферат розісланий “ 3 ” _березня___ 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ю.В. Мисовський.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

в'язкопружний багатозв'язний плита

Актуальність теми. У багатьох галузях сучасної промисловості і будівництва широко використовуються конструкції з елементами у вигляді тонких пластинок із в'язкопружних полімерних матеріалів. Найчастіше ці пластинки з технічних міркувань можуть мати отвори і сторонні включення. Під дією механічних сил поблизу цих отворів і включень можуть виникати високі концентрації напружень, які суттєво змінюються з часом. Все це необхідно враховувати при проектуванні і розрахунку відповідних елементів конструкцій на міцність.

У зв'язку з цим виникає необхідність розробки методів визначення напружено-деформівного стану (НДС) в'язкопружних пластин з отворами і включеннями, що дозволяють визначати їх НДС в будь-який момент часу. Однак до теперішнього часу ця проблема досить повно розв'язана лише для узагальненого плоского напруженого стану пластин і мало вивчена для випадку згину плит: є лише деякі результати для плит з круговими контурами. Загальні ж методи розв'язання задач в'язкопружного згину багатозв'язних плит з отворами і включеннями довільної конфігурації не розроблені, тому не розв'язано багато задач, які представляють практичний інтерес. Тому розробка методів розв'язання задач теорії згину багатозв'язних плит з отворами і включеннями довільної конфігурації з урахуванням в'язкопружних властивостей їх матеріалів та їх застосування до розв'язання нових класів задач із встановленням закономірностей зміни НДС залежно від часу, геометричних та пружних характеристик плит є однією з актуальних проблем механіки деформівного твердого тіла, теорії і практики розрахунків на міцність елементів конструкцій з в'язкопружних матеріалів. Розв'язанню деяких питань в цій області і присвячено дану дисертаційну роботу.

Метою дисертації є розробка методики визначення НДС однорідних і кусково-однорідних багатозв'язних в'язкопружних плит, розв'язання на її основі практичних задач із встановленням закономірностей впливу часу, геометричних характеристик плит і в'язкопружних властивостей їх матеріалів на НДС. Для досягнення цієї мети необхідно було

- розробити загальну методику розв'язання задач згину в'язкопружних багатозв'язних однорідних і кусково-однорідних плит для областей будь-якої конфігурації;

- з використанням цієї методики отримати теоретичні розв'язки конкретних задач з їх алгоритмізацією;

- розробити комплекси програм для чисельної реалізації отриманих розв'язків;

- провести чисельні дослідження з метою виявлення закономірностей зміни НДС плит в залежності від часу, їх геометричних характеристик і механічних властивостей їх матеріалів.

Об'єктом дослідження є в'язкопружний стан плит з отворами і включеннями, залежне від часу, геометричних характеристик і фізико-механічних властивостей їх матеріалів.

Предметом дослідження є розробка методики визначення в'язкопружного стану багатозв'язних плит з довільними отворами і включеннями, що знаходяться в умовах згину.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі розвинуто засновану на методі малого параметра методику зведення задач згину в'язкопружних плит до послідовності задач класичної теорії згину тонких плит, що розв'язуються з використанням комплексних потенціалів. Отримано основні співвідношення для комплексних потенціалів будь-яких наближень, загальні вирази функцій у разі багатозв'язній області, граничні умови для їх визначення. Розвинуто методику визначення комплексних потенціалів наближень, яка використовує конформні відображення, задовольняння граничним умовам методом найменших квадратів, наведено методику визначення НДС у будь-який момент часу за комплексними потенціалами наближень. Показано збіжність процесу послідовних наближень (використовуваних рядів по малому параметру для комплексних потенціалів), можливість розв'язання за розробленою методикою широких класів задач в'язкопружного згину плит, достовірність отриманих результатів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в роботі дослідження зв'язані з фінансованими Міністерством освіти і науки України фундаментальними науково-дослідними темами “Розробка методів дослідження тіл з композиційних матеріалів з отворами, тріщинами та включеннями під дією механічних сил, температурних і електромагнітних полів” (№ держреєстрації 0107U001459, 2007-2009 рр.) та “Розробка методів дослідження пружного стану тіл під дією механічних, температурних і електромагнітних полів, їх застосування” (№ держреєстрації 0108U001594, 2008-2010 рр.). Провідні результати роботи представлені в звітах за зазначеними НДР.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що

- розвинуто методику зведення задач згину в'язкопружних багатозв'язних однорідних і кусково-однорідних плит до послідовності задач класичної теорії згину тонких плит;

- на розв'язання задач згину в'язкопружних плит з отворами і включеннями поширений чисельно-аналітичний метод розв'язання плоскої задачі в'язкопружності, заснований на використанні конформних відображень, розкладанні функцій в ряди Лорана і за поліномами Фабера, застосуванні дискретного методу найменших квадратів для визначення коефіцієнтів членів рядів, визначенні в'язкопружного стану за комплексними потенціалами наближень;

- розв'язано низку нових задач згину в'язкопружних плит з отворами і включеннями різної конфігурації;

- проведено чисельні дослідження з встановленням закономірностей впливу на значення основних характеристик НДС часу, геометричних характеристик середовищ, фізико-механічних властивостей матеріалів.

Вірогідність отриманих результатів та висновків роботи забезпечується строгістю постановок розглянутих задач і використаних математичних методів; контролем ступеня точності задовольняння граничним умовам у численних точках контурів, практичним збігом (з вельми високим ступенем точності) результатів, одержаних при наближеному (методом малого параметра) і точному (безпосереднє використання принципу Вольтерра) розв'язанні задач; узгодженням отриманих результатів з відомими в літературі, знайденими іншими методами.

Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості використання запропонованих методик розв'язання задач в'язкопружності і програмних засобів для розрахунків робочих параметрів елементів конструкцій з полімерних матеріалів, що містять отвори і включення; в отриманні результатів, що дозволяють оцінювати вплив часу, фізико-механічних властивостей матеріалів, кількості, взаємного розташування та поєднання отворів і включень на НДС елементів конструкцій.

Апробація результатів роботи. Основні положення роботи були представлені та обговорені на ряді засідань об'єднаного наукового семінару з механіки суцільних середовищ кафедр теорії пружності і обчислювальної математики, прикладної механіки і комп'ютерних технологій Донецького національного університету, на ряді наукових конференцій, у тому числі: на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Донецького національного університету у 2007 - 2008 рр.; Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті акад. НАНУ В.І. Моссаковського (м. Дніпропетровськ, 2007 р.); V та VI Міжнародних наукових конференціях «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла» (м. Донецьк - с. Мелекіно, 2008 р., 2010 р.); Міжнародній конференції, присвяченій сторіччю М. Боголюбова (м. Львів, 2009 р.); VII всеросійської конференції з міжнародною участю (м. Самара, Росія, 2010 р.).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на об'єднаному науковому семінарі з механіки суцільних середовищ кафедр теорії пружності і обчислювальної математики, прикладної механіки і комп'ютерних технологій Донецького національного університету; на науковому семінарі відділу термов'язко-пружності Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (м. Київ) під керівництвом д-ра фіз.-мат. наук, проф. В.Г. Карнаухова.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковано в 10 наукових роботах [1-10], серед яких 5 статей у наукових журналах, затверджених ВАК України фахових виданнями [1, 3, 5, 7, 9], 4 у матеріалах і 1 у тезах наукових конференцій [2, 4, 6, 8, 10].

Основні результати отримані автором самостійно. У роботах [1-9] співавтору С.О. Калоєрову належить участь у постановці задач, визначенні методу дослідження та обговоренні отриманих результатів. У роботах [3, 6] співавтору А.І. Баєвій належить участь у проведенні чисельних досліджень та обговоренні одержаних результатів

Особисто автору належать такі, включені до дисертаційної роботи і публікації, наукові результати:

- зведення крайових задач в'язкопружного згину багатозв'язних однорідних і кусково-однорідних плит до послідовності задач класичної теорії згину тонких плит [1, 3, 5, 7, 9];

- отримання загальних уявлень комплексних потенціалів наближень для багатозв'язних плит;

- отримання точних розв'язків задач в'язкопружного згину плити з круговим отвором або жорстким включенням, кругової плити під дією рівномірно розподілених зусиль, для кругової кільцевої плити, для плити з еліптичним отвором, з круговим пружним включенням [3];

- поширення чисельно-аналітичного методу розв'язання плоскої задачі в'язкопружності на розв'язання задач згину тонких плит з отворами і включеннями [1, 5, 7, 9];

- отримання розв'язків низки нових задач в'язкопружності для плити з отворами або пружними включеннями з їх алгоритмізацією;

- створення комплексів програм для чисельної реалізації отриманих розв'язків задач;

- проведення чисельних досліджень з встановленням нових механічних закономірностей впливу на НДС часу, фізико-механічних параметрів матеріалів плит і включень, їх геометричних характеристик, кількості, взаємного розташування відносно один одного [1-10].

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної літератури і двох додатків. Загальний об'єм дисертації складає 212 сторінок, з яких текст дисертації займає 145 сторінок, рисунки основного тексту - 2 сторінки, список літератури - 25 сторінок, додатки - 40 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертаційної роботи; сформульовано мету і основні наукові результати, що виносяться на захист; дано короткий опис роботи, зазначений зв'язок роботи з науковими програмами і темами; охарактеризовані наукова новизна і практичне значення отриманих результатів, особистий внесок автора в спільні публікації; зазначені дані про публікації та апробації результатів роботи.

У першому розділі наведено огляд відомих у літературі моделей в'язкопружності та методів дослідження НДС в'язкопружних тіл, описано розвиток класичної теорії згину тонких плит, дано огляд літератури за темою дисертації. Аналізом літератури охоплено 245 робіт вітчизняних і закордонних авторів. Відзначено провідну роль у розвитку теорії та її застосування щодо розв'язання теоретичних і практичних задач робіт Б.Д. Аніна, Н.Х. Арутюняна, А.П. Бронського, Г.А. Ван Фо Фи, В.П. Голуба, В.С. Гудрамович, О.М. Гузя, Ж.С. Єржанова, Г.М. Іванова, А.А. Ільюшина, С.О. Калоєрова, А.О. Камінського, В.Г. Карнаухова, М.А. Колтунова, О.С. Космодаміанського, В.М. Левіна, Н.С. Можаровського, В.В. Москвітіна, Б.Є. Победрі, Ю.М. Работнова, А.Р. Ржаніцина, М.І. Розовського, Г.М. Савіна, І.К. Сенченкова, Л.П. Хорошуна, Л.М. Шкодіної, Д. Бленда, Дж. Бойля, L. Boltzmann, J.Cl. Maxwell, Р. Крістенсена, V. Voigt, V. Volterra та багатьох інших вітчизняних і закордонних вчених. За допомогою аналізу літературних джерел виявлено галузі теорії та практики, які до теперішнього часу залишалися мало дослідженими. Встановлено, що на цей час розроблено фізичні та математичні основи в'язкопружності, для узагальненого плоского напруженого стану пластин розроблено загальні методи розв'язання задач і розв'язано різні класи задач, для задач згину плит розв'язані лише деякі задачі, загальні методи розв'язання задач для багатозв'язних однорідних і кусково-однорідних плит з отворами і включеннями довільної конфігурації не розроблені, тому не розв'язані практично важливі задачі.

У другому розділі представлено аналогічну розв'язанню плоскої задачі в'язкопружності методику зведення задач згину в'язкопружних плит за допомогою методу малого параметра до послідовності задач класичної теорії згину тонких плит, що використовує комплексні потенціали; наведено основні співвідношення для комплексних потенціалів наближень, граничні умови для їх визначення, загальні уявлення функцій наближень у разі багатозв'язній області; наведено точні розв'язки деяких найпростіших задач.

Розглядається тонка в'язкопружна ізотропна плита з отворами і включеннями, яка перебуває під дією механічних сил в умовах згину. Розв'язання задачі проводиться з використанням комплексних потенціалів теорії згину. Після їх визначення з відповідних граничних умов на основі принципу Вольтерра, заміною пружних сталих відповідними часовими операторами, досліджується НДС плити в будь-який момент часу. Але це можливо в найпростіших задачах, коли для досліджуваних величин виходять аналітичні формули, в які пружні сталі входять явним чином. Для багатозв'язних областей такі розв'язки отримати неможливо. Тому безпосереднє застосування принципу Вольтерра до аналізу НДС багатозв'язних плит неможливо. У зв'язку з цим виникає необхідність і в цих випадках отримати такі розв'язки, які явно містили б пружні сталі. Враховуючи, що НДС плити залежить від модуля об'ємної деформації і коефіцієнта Пуассона і зміна модуля для пружних тіл незначна, можна вважати, що в часі змінюється лише коефіцієнт Пуассона . Цей коефіцієнт менше одиниці і його зміна в часі, тим більш, менше одиниці. Тому зміну цього коефіцієнта можна взяти за малий параметр, тобто представити коефіцієнт Пуассона у виді , де - миттєво-пружне значення цього коефіцієнта, - малий параметр, що дорівнює відхиленню від . Тоді всі величини, які характеризують НДС плити, у т. ч. комплексні потенціали в'язкопружності можна представити рядами за степенями малого параметра :

(1)

де - комплексні потенціали наближень. Підставивши ці ряди в відповідні граничні умови і прирівнявши в отриманих рівностях коефіцієнти при однакових степенях, приходимо до рекурентної послідовності граничних умов для визначення комплексних потенціалів наближень. Для різних типів граничних умов у роботі отримані відповідні їм рекурентні співвідношення. Наприклад, для найбільш загального випадку контакту в'язкопружної плити з пружним включенням для функцій , наближень ці умови отримано такими:



,

(2)

де , , - модуль об'ємної деформації і коефіцієнт Пуассона для матеріалу -го включення, - окремий розв'язок диференціального рівняння для визначення прогину, що залежить від розподілу зусиль по верхній основі плити, - символ Кронекера. При виведенні граничних умов враховано і розкладання невідомих сталих в граничних умовах в ряди за степенями малого параметра з коефіцієнтами , . Тут і далі величини з верхнім індексом відносяться до -го пружного включення, без такого індексу - до в'язкопружної плити.

Для функцій наближень у разі багатозв'язній області отримані загальні уявлення виду

, (3)

Де , ,

,

,

, , - задані значення моментів (на нескінченності або в точках прикладання зосереджених сил), , , , - сталі, які обчислюються через ці моменти; , - функції, голоморфні в розглянутій багатозв'язній області (у випадку нескінченної області, включаючи нескінченно віддалену точку). При отриманні співвідношень (3) враховано, що функції , від пружних сталих, а отже, від не залежать. Тому вони в розкладання входять в члени рядів при .

Після визначення з відповідних граничних умов функцій наближень , , замінивши степені малого параметра для відповідних значень часовими операторами, можна знайти значення сумарних комплексних потенціалів та їх похідних в будь-який момент часу, а по них згинальні моменти і перерізуючі сили. При цьому, виходячи з виразу для малого параметра і властивостей зведення резольвентного оператора Ю. М. Работнова до степеня, маємо

(4)

де , , , - реологічні сталі матеріалу.

У другому розділі наведено також точні розв'язки низки задач. Проведено чисельні розрахунки для плити з алюмінію і міді. Отримано ряд закономірностей. Наприклад, встановлено, що при розв'язанні задач у наведених рядах (1) по малому параметру досить залишати степені малого параметра від 6 до 10, що стаціонарний стан настає, приблизно, через 100 год., але значні зміни відбуваються лише протягом перших 50 год. При переході в стаціонарний стан напружений стан змінюється, часом значно. Це, зокрема, видно з даних рис. 1, 2 і рис. 3, 4 для згину нескінченної плити з круговим отвором або жорстким включенням моментами . На рис. 1, 2 залежно від часу зображені графіки зміни згинальних моментів (від напружень на площадках, перпендикулярних до контуру) в точці , де вони досягають максимальних значень, плити відповідно з круговим отвором або жорстким включенням. Лінії 1 і 2 відносяться до плити з алюмінію і міді. На рис. 3 та 4 наведено графіки розподілу близько контуру отвору і включення в початковому і стаціонарному станах. Суцільні і пунктирні лінії тут і далі відповідають початковому і стаціонарному станам. Видно, що значні зміни моменти зазнають в перші 50 год., при переході в стаціонарний стан значення моментів змінюються на 35% в плиті з отвором, до 2,5 разу - в плиті з жорстким включенням.

Зауважимо, що такі ж результати виходять при прямому використанні принципу Вольтерра, без використання запропонованого наближеного методу малого параметра. Таке використання принципу Вольтерра в даному випадку можливо, тому що в роботі отримано точний розв'язок задачі в пружній постановці. Замінюючи в ньому коефіцієнт Пуассона часовим оператором і обчислюючи згинальні моменти і перерізуючі сили, отримуємо значення цих величин в будь-який момент часу. Як показали розрахунки, отримані значення моментів виявилися практично однаковими зі значеннями, знайденими при використанні описаного вище наближеного методу малого параметра.

Аналогічні результати отримані і для інших розглянутих у цьому розділі задач. Це точні розв'язання задач для кругової плити під дією рівномірно розподілених зусиль, для кругової кільцевої плити, для плити з еліптичним отвором; з круговим пружним включенням. Для цих задач отримані аналогічні закономірності та деякі додаткові до зазначених вище, зокрема, при згині кругового кільця рівномірно завантаженими контурами НДС з плином часу не змінюється, що пов'язано з рівномірною напруженістю поблизу кожного з контурів кільця (незалежністю НДС від центрального кута); для плити з пружним включенням встановлено, що стаціонарний стан настає набагато пізніше, ніж для плити з непідкріпленим або жорстко підкріпленим отвором, приблизно через 700 - 800 год.; на значення моментів, особливо в стаціонарному стані, впливає параметр відносної жорсткості включення : зі збільшенням (відносної жорсткості включення) максимальні значення моментів зменшуються, поки , і збільшуються, коли , для включення можна вважати абсолютно жорстким, при - абсолютно м'яким (отвором).

У третьому розділі роботи розв'язано задачі в'язкопружності для скінчених і нескінченних плит з отворами, циклічна задача. У цьому випадку для визначення комплексних потенціалів використовується диференційна форма граничних умов

(5)

отримана з відповідних граничних умов їх диференціюванням по дузі контуру. Тут ; - інтенсивність моментів на контурі .

У випадку плити зі скінченим числом отворів з використанням конформних відображень і розкладань функцій в ряди Лорана і за поліномами Фабера для похідних комплексних потенціалів наближень отримано вирази

,

(6)

де

, ; ,

(7)

, , , , , , , , - відомі сталі, залежні від геометричних характеристик контурів; - змінні, обчислювані з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності відповідних отворів; , - невідомі сталі, які визначаються з граничних умов на контурах плити. Якщо зовнішній контур відсутній, то , дорівнюють нулю, а інші , знаходяться з умов на контурах отворів. Для визначення вказаних невідомих сталих, виходячи з граничних умов (6), для кожного наближення складаються відповідні функціонали, мінімізація яких призводить до рекурентної послідовності систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Після розв'язання цих систем комплексні потенціали стають відомими і по них, використовуючи зазначений вище прийом, визначаються згинальні моменти і перерізуючі сили в будь-який момент часу. У цьому розділі надано розв'язок також циклічної задачі для кругової кільцевої плити зі скінченим числом різних поясів однакових еліптичних отворів у кожному поясі. Для нескінченної плити зовнішній контур кільця відсутній. З урахуванням циклічності граничні умови задовольняються на контурах кільця і на контурі одного з отворів кожного поясу. Для всіх зазначених задач проведені детальні чисельні дослідження, надано їх аналіз з встановленням закономірностей зміни НДС плити в залежності від її геометричних характеристик і часу. Зупинимося лише на деяких з отриманих результатів.

На рис. 5, 6 для кругової плити, яка згинається по зовнішньому контуру, з еліптичним отвором зображені графіки зміни згинальних моментів в точках і перемички на внутрішньому і зовнішньому контурах (де вони досягають максимальних значень) для різних значень відношення півосей еліпса і відношення відстані між центрами диска і отвору до радіусу диска . Дані цих рисунків відносяться до випадку . Видно, що мінімальні значення згинальні моменти отримують, коли отвір знаходиться в центрі диска (). При зближенні отвору зі зовнішнім контуром відбувається різке збільшення значень моментів у точках малої перемички між отвором і зовнішнім контуром. При цьому збільшується і відносна зміна моментів при переході у стаціонарний стан. Наприклад, при , якщо в точці (де відносна зміна найбільша) для ця зміна дорівнює 0,2%, то для становить близько 7%.

На рис. 7 для прямокутної плити, яка згинається по зовнішньому контуру, з центральним круговим отвором радіуса і відстанями і від контуру отвору до сторін прямокутника зображені графіки розподілу моментів близько контуру отвору для різних відношень відстаней від контуру отвору до сторін прямокутника. Значення величин при відповідають квадратної плиті з круговим отвором. З рис. Б.3.3 видно, що збільшення відношення призводить до зменшення значень моментів у всіх точках (максимальних значень моменти досягають для квадратної плити). При прямокутник можна розглядати як смугу з круговим отвором, яка всебічно згинається. При переході в стаціонарний стан значення моментів зазнають змін, причому ці зміни збільшуються з ростом довжини прямокутника. Так, для випадку , якщо при в точці зміна становить 0,4%, то при становить 2,5%.

На рис. 8 для нескінченної плити, яка згинається моментами , з двома однаковими круговими отворами радіусу зображені графіки розподілу моментів поблизу контуру лівого отвору для різних відстаней між отворами. Негативні значення відповідають випадкам, коли отвори перетинаються. Видно, що зі зменшенням відстані між отворами значення згинальних моментів у зоні між отворами значно зростають вже в пружній постановці, а при переході в стаціонарний стан вони зазнають великі відносні зміни. Так, якщо для значення моментів в точці перемички змінюються на 2,8%, то для - на 4,3%. Перетин контурів отворів призводить до різкого зниження моментів близько контурів як у початковому, так і в стаціонарному стані. Аналогічні результати отримано для випадку плити з круговим та еліптичних отворами. Вони представлені на рис. 9. На відміну від попереднього, в цьому випадку при зближенні отворів у точках перемички виникає концентрація моментів більш високого рівня.

На рис. 10, 11 для кругового кільця, що згинається по зовнішньому контуру, з зовнішнім і внутрішнім радіусами і з одним поясом з 4 циклічно розташованих кругових отворів радіусу зображені графіки розподілу моментів біля внутрішнього контуру кільця і близько контуру отвору в поясі для різних відстаней між внутрішнім контуром кільця і контурами пояса. При цьому , негативні значення відношення відповідають випадкам, коли отвори циклічного пояси перетинають центральний отвір. Видно, що зближення отворів поясу з центральним отвором призводить до збільшення значень моментів близько зазначених контурів. Перетин контурів отворів пояса і центрального отвору призводить до різкого зниження значень цих моментів. Зі зростанням концентрації моментів збільшується і відносна їх зміна при переході в стаціонарний стан. Так, в точці при зміна дорівнює 1,8%, а при становить близько 2,3%.

У третьому розділі дисертації також описані результати докладних чисельних досліджень для квадратної плити з круговим отвором, круглої плити з квадратним отвором, плити зі скінченим числом довільно розташованих отворів, для циклічної задачі, коли в плиті є один або два пояси кругових або еліптичних отворів і центри основних отворів знаходяться на одній або на різних прямих з центральним отвором. І тут встановлено ряд закономірностей механічного характеру. Зокрема, встановлено, що в зонах, в яких спостерігаються незначні зміни моментів, у часі вони практично не змінюються (коло з центральним отвором, круговим, квадратним), у зонах різких концентрацій нерівномірно розподілених у них моментів великі і їх відносні зміни в часі (перемички між контурами). Звуження еліптичних отворів до вузьких щілин (без контакту берегів) призводить до різкого збільшення нерівномірності розподілу моментів і їх зміни у часі не тільки близько даного отвору, але й біля сусідніх контурів. Перетин контурів плити один з одним призводить до різкого зниження моментів у зонах перетинань, як у початковому, так і в стаціонарному стані.

У четвертому розділі роботи надано розв'язання задач в'язкопружності для багатозв'язної плити з пружними включеннями. Для визначення комплексних потенціалів у разі скінченої плити потрібно задовольняти граничним умовам (5) на зовнішньому контурі і контактним умовам на контурах включень.

,

на (10)

При цьому похідні функцій наближень , для плити-матриці знову представляються виразами (6), а похідні функцій наближень для пружних включень , за допомогою розкладання їх в ряди за поліномами Фабера отримані у вигляді

, (11)

де . Для визначення невідомих сталих отримано рекурентну послідовність систем лінійних алгебраїчних рівнянь, після розв'язання яких комплексні потенціали наближень стають відомими і по описаній вище процедурі знаходяться згинальні моменти в будь-який момент часу. У випадку нескінченної плити з включеннями граничні умови на зовнішньому контурі не враховуються і в цьому випадку потрібно задовольняти тільки контактним граничним умовам (10) на контурах включень. У цьому розділі дано розв'язання і циклічної задачі для плити з пружними включеннями.

Чисельні дослідження НДС проведені для скінченої плити з одним пружним включенням, для нескінченної плити з двома однаковими круговими включеннями, а також для плити з циклічно розташованими поясами пружних включень. Результати досліджень наведені в численних таблицях, зображені на рисунках.

На рис. 12 для згину по зовнішньому контуру кругового кільця радіуса з пружним включенням радіусу зображені графіки зміни згинальних моментів у точці плити на контурі спаю для різних значень відношень

і

де , - об'ємні модулі деформацій матеріалів плити і включення. Видно, що зі збільшенням (зі звуженням ширини кільця) значення моментів зростають, із збільшенням відношення (жорсткості включення) значення моментів зменшуються. При включення можна вважати абсолютно м'яким (отвором), при - абсолютно жорстким. При переході в стаціонарний стан моменти зазнають великі зміни, особливо для досить жорстких включень. Так, для при переході в стаціонарний стан зазначені моменти в точці спаю плити з включенням при змінюються на 53%, а при - на 82%.

На рис. 13 для всебічного згину нескінченної плити з одним поясом циклічно розташованих кругових включень зображені графіки зміни моментів в точці плити на контурі спаю центрального включення для різної кількості включень у поясі в залежності від відношення , де - модуль об'ємної деформації матеріалу включень. Вважалося, що радіуси всіх включень однакові й дорівнюють радіусу центрального включення , відношення відстані між центральним включенням і включеннями пояса до радіусу . Видно, що зі збільшенням кількості включень у поясі циклічності значення зменшуються, при цьому зменшується і відносна зміна моментів при переході в стаціонарний стан. Зі збільшенням значення моментів в точках перемички зменшуються, поки , і збільшуються, коли . Для інших точок збільшення призводить до зменшення значень моментів для всіх інтервалів зміни . Видно, що чим жорсткіше матеріал включення, то більша зміна значень моментів при переході в стаціонарний стан, тобто коли досить велике, але . Так, для при переході в стаціонарний стан моменти в точці для змінюються на 47%, а при - змінюються на 77%.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Внаслідок проведених у роботі досліджень розвинений метод розв'язання задач згину в'язкопружних багатозв'язних однорідних і кусково-однорідних плит, наведено його застосування до розв'язання різних класів задач, проведені чисельні дослідження з встановленням нових закономірностей.

Основні наукові результати і висновки, що одержано у роботі, наступні:

1. Розвинуто методику зведення задач згину в'язкопружних багатозв'язних однорідних і кусково-однорідних плит до послідовності задач класичної теорії згину тонких плит.

2. На розв'язання задач згину в'язкопружних плит з отворами і включеннями поширений чисельно-аналітичний метод розв'язання плоскої задачі в'язкопружності, що заснований на використанні конформних відображень, розкладанні функцій в ряди Лорана і за поліномами Фабера, застосуванні дискретного методу найменших квадратів для визначення коефіцієнтів членів рядів, визначенні в'язкопружного стану за комплексним потенціалами наближень.

3. Наведено розв'язки низки нових задач згину в'язкопружних плит з отворами і включеннями різної конфігурації.

4. Складено комплекси програм для чисельної реалізації наведених розв'язків.

5. Описано результати чисельних досліджень щодо встановлення збіжності отриманих розв'язків (рядів по малому параметру), тривалості часу переходу в стаціонарний стан, відносної зміни НДС при переході в стаціонарний стан.

6. Встановлено ряд закономірностей впливу на значення основних характеристик НДС часу, геометричних характеристик і фізико-механічних властивостей розглянутих плит. Встановлено, що з плином часу НДС в'язкопружних плит змінюється і тому при дослідженні НДС таких тіл не можна обмежитися розв'язанням задач класичної теорії згину плит із зневагою реологічних властивостей матеріалів, а потрібно розв'язувати задачі в'язкопружності. Стаціонарний стан плит настає, приблизно, через 100 год. (у випадку пружних включень - через 800 год.), але значні зміни НДС відбуваються лише протягом перших 50 год. (для плити з пружними включеннями - 100 год.). При переході в стаціонарний стан значення моментів змінюються, часом значно, більше 2 разів. Такі зміни спостерігаються, перш за все, в зонах різких концентрацій нерівномірно розподілених у них моментів (перемички між контурами). У зонах ж, у яких спостерігається досить рівномірний розподіл моментів, вони у часі практично не змінюються (коло з центральним отвором, круговим, квадратним). Звуження еліптичних отворів до вузьких щілинах (без контакту берегів) призводить до різкого збільшення нерівномірності розподілу моментів і їх зміни у часі не тільки близько даного отвору, але й біля сусідніх контурів. Перетин контурів плити один з одним призводить до різкого зниження моментів у зонах перетинань, як у початковому, так і в стаціонарному стані. Збільшення жорсткості деякого включення підсилює вплив часу на НДС близько сусідніх. При параметрі відносної жорсткості включення включення можна вважати абсолютно жорстким, при - абсолютно м'яким (отвором).

7. Безпосереднім застосуванням принципу Вольтерра до точного розв'язання для плити з круговим отвором встановлено, що одержувані при цьому значення моментів практично збігаються із знайденими за запропонованим наближеним методом малого параметра, що підтверджує достовірність результатів, одержуваних при використанні методу малого параметра. Результати наведених у дисертаційній роботі досліджень мають як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропоновані методики можуть бути використані при розв'язанні різноманітних інженерних задач.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:

1. Калоеров С. А. Вязкоупругий изгиб многосвязных изотропных плит / С. А. Калоеров, Ю. С. Шипоша // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А: Природн. науки. - 2007. - Вип. 2. - С. 58-65.

2. Калоеров С. А. Вязкоупругий изгиб многосвязных изотропных плит / С. А. Калоеров, Ю. С. Шипоша // Актуальні пробл. механіки суцільного середовища і міцності конструкцій: Тез. доп. Міжнар. наук.-тех. конф. пам'яті акад. НАНУ В.І. Моссаковського, 17-19 жовтня 2007 р., Дніпропетровськ. - Дніпропетровськ: Вид-во ДНУ, 2007. - С. 110.

3. Калоеров С. А. Определение вязкоупругого состояния многосвязных изотропных плит / С. А. Калоеров, А. И. Баева, Ю. С. Шипоша // Теорет. и прикладная механика. - 2008. - Вып. 44. - С. 80-95.

4. Калоеров С. А. Вязкоупругий изгиб многосвязных плит / С. А. Калоеров, Ю. С. Шипоша // Обчисл. мат. і математ. пробл. механіки: Доп. Міжнар. наук. конф. до 100 річчя М. Боголюбова, 29.08-2.09 2009 р., Львів. - Львів, 2009. - С. 126-127.

5. Калоеров С. А. Задача о вязкоупругом изгибе изотропной плиты с упругими включениями / С. А. Калоеров, Ю. С. Шипоша // Теорет. и прикладная механика. - 2009. - Вып. 45. - С. 169-177.

6. Калоеров С. А. Исследования вязкоупругого состояния кольцевой плиты при изгибе / С. А. Калоеров, А. И. Баева, Ю. С. Шипоша // Матер. наук. конф. проф.-виклад. складу, наук. співроб. і аспірантів ДонНУ за підсумками наук.-дослід. роб. за період 2007-2008 рр. Т. 1. - Природн. науки. - Донецьк, 2009. - С. 29-30.

7. Калоеров С. А. Циклическая задача о вязкоупругом изгибе плиты с отверстиями / С. А. Калоеров, Ю. С. Шипоша // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А: Природн. науки. - 2009. - Вип. 1. - С. 100-110.

8. Калоеров С. А. Вязкоупругий изгиб изотропной плиты с упругими включениями / С. А. Калоеров, Ю. С. Сенченко // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. VII всероc. науч. конф. с междунар. участием, 3-6 июня 2010 г., Самара. - Самара: Изд-во СГУ, 2010. - С. 165-166.

9. Калоеров С. А. Циклическая задача о вязкоупругом изгибе кусочно-однородной плиты / С. А. Калоеров, Ю. С. Сенченко // Теорет. и прикладная механика. - 2010. - Вып. 1 (47). - С. 35-44.

10. Сенченко Ю. С. Циклическая задача о вязкоупругом изгибе плиты с упругими включениями / Ю. С. Сенченко // Актуал. пробл. механики деформир. твердого тела: Матер. VI Междунар. науч. конф., 8-11 июня 2010 г., Донецк-Мелекино. - Донецк: Юго-Восток, 2010. - С. 80-83.

АНОТАЦІЇ

Сенченко Ю. С. Задачі в'язкопружності для багатозв'язних ізотропних плит. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла, Донецький національний університет, Донецьк, 2011.

У роботі розвинуто методику, яка заснована на методі малого параметра, зведення задач згину в'язкопружних плит до послідовності задач класичної теорії згину плит, що вирішуються з використанням комплексних потенціалів. На розв'язання задач згину в'язкопружних плит з отворами і включеннями поширений чисельно-аналітичний метод розв'язання плоскої задачі в'язкопружності, заснований на використанні конформних відображень, розкладанні функцій в ряди Лорана і за поліномами Фабера, застосуванні дискретного методу найменших квадратів для визначення коефіцієнтів членів рядів, визначенні в'язкопружного стану за комплексними потенціалам наближень.

Дано розв'язання задачі в'язкопружності для скінчених і нескінчених багатозв'язних плит зі скінченим числом еліптичних отворів або включень при довільному їх розташуванні та поєднанні, циклічної задачі для кільцевої або нескінченної плити з еліптичними отворами або включеннями. Отримано точні розв'язки задач згину плити з круговим отвором, кругової плити під дією рівномірно розподілених по верху зусиль, кругової кільцевої плити, плити з еліптичним отвором, з круговим пружним включенням.

Проведено чисельні дослідження з встановленням закономірностей впливу на значення основних характеристик НДС часу, геометричних характеристик і фізико-механічних властивостей плит. Зокрема, встановлено, що крім відомих в класичній теорії згину тонких плит закономірностей впливу на НДС відстані між отворами і включеннями, їх кількості та геометричних характеристик, мають місце закономірності, обумовлені в'язкопружними властивостями матеріалу. З плином часу НДС в'язкопружних тіл змінюється, часом суттєво і тому при дослідженні НДС таких тіл не можна обмежитися розв'язанням задачі класичної теорії згину плит з нехтуванням реологічних властивостей матеріалів, а потрібно вирішувати задачі в'язкопружності. На зміни значень НДС в часі суттєво впливають відстань між отворами і включеннями, їх кількість. Зближення отворів і включень один з одним і збільшення їх кількості посилює вплив часу на НДС плити.

Результати наведених у дисертаційній роботі досліджень мають як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропоновані методики можуть бути використані при розв'язанні різноманітних задач інженерної практики.

Ключові слова: в'язкопружність, згин плит, комплексні потенціали, конформні відображення, кусково-однорідна плита, метод найменших квадратів, стаціонарний стан, пружний стан.

Сенченко Ю. С. Задачи вязкоупругости для многосвязных изотропных плит. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк, 2011.

В работе развита основанная на методе малого параметра методика сведения задач изгиба вязкоупругих плит к последовательности задач классической теории изгиба плит, решаемых с использованием комплексных потенциалов. На решение задач изгиба вязкоупругих плит с отверстиями и включениями распространен численно-аналитический метод решения плоской задачи вязкоупругости, основанный на использовании конформных отображений, разложений функций в ряды Лорана и по полиномам Фабера, применении дискретного метода наименьших квадратов для определения коэффициентов членов рядов, определении вязкоупругого состояния по комплексным потенциалам приближений.

Дано решение задачи вязкоупругости для конечных и бесконечных многосвязных плит с конечным числом эллиптических отверстий или включений при произвольном их расположении и сочетании, циклической задачи для кольцевой или бесконечной плиты с эллиптическими отверстиями или включениями. Получены точные решения задач об изгибе плиты с круговым отверстием, круговой плиты под действием равномерно распределенных усилий по верхнему основанию, круговой кольцевой плиты, плиты с эллиптическим отверстием, с круговым упругим включением.

Проведены численные исследования с установлением закономерностей влияния на значения основных характеристик НДС времени, геометрических характеристик и физико-механических свойств плит. В частности, установлено, что кроме известных в классической теории изгиба тонких плит закономерностей влияния на НДС расстояния между отверстиями и включениями, их количества и геометрических характеристик, имеют место закономерности, обусловленные вязкоупругими свойствами материала. С течением времени НДС вязкоупругих тел изменяется, порой существенно и поэтому при исследовании НДС таких тел нельзя ограничиться решением задачи классической теории изгиба плит с пренебрежением реологических свойств материалов, а нужно решать задачу вязкоупругости. На изменения значений НДС во времени существенно влияют расстояние между отверстиями и включениями, их количество. Сближение отверстий и включений друг с другом и увеличение их количества усиливает влияние времени на НДС плиты.

Результаты исследований, представленные в диссертационной работе имеют как теоретический, так и практический интерес. Предложенные методики могут быть использованы для решения разнообразных инженерных задач.

Ключевые слова: вязкоупругость, изгиб плит, комплексные потенциалы, конформные отображения, кусочно-однородная плита, метод наименьших квадратов, стационарное состояние, упругое состояние.

Senchenko Yu. S. Problems of viscoelasticity for multiconnected isotropic plates. - The manuscript.

The thesis for the Candidate of physical and mathematical sciences degree on specialty 01.02.04 - mechanics of deformed solid body, Donetsk National University, Donetsk, 2011.

The method of reducing the problem of bending of viscoelastic plates to the task sequence of the classical theory of bending of plates based on the method of small parameter that can be solved by using complex potentials are developed in this work. On the solution of problems of bending of viscoelastic plates with holes and inclusions the numerical-analytical method for solving the plane problem of viscoelasticity is distributed, based on the use the methods of conformal mapping, expansions of functions in Laurent series and Faber polynomials, using discrete least squares method for determining the coefficients of terms of the series, the definition of a viscoelastic state by a complex potential approximation.

The solutions for the problem of viscoelasticity for finite and infinite multi- connected plates with a finite number of elliptical holes and inclusions with arbitrary location and their combination, the cyclical problem for a ring or an infinite plate with elliptic holes or inclusions, are given. The exact solutions for the problems of bending of plates with circular hole, a circular plate under uniformly distributed efforts to upper base, a circular annular plate, with an elliptical hole with a circular elastic inclusion, are obtained.

The numerical investigations with established regularities of influence on the values of the main characteristics of the deflected mode of the time, the geometrical characteristics and physical and mechanical properties of the plates, are carried out. In particular, it was found that in addition to well-known in the classical theory of bending of thin plates the regularities of influence upon deflected mode by the distance between the holes and inclusions, their number and geometric characteristics, there are also regularities from the viscoelastic properties of material. With time deflected mode of viscoelastic bodies substantially changes, so when studying such bodies one shouldn't limit oneself to classic theory of bending of plates , while neglecting rheological properties of materials; it is necessary to solve the problem of viscoelasticity. The changes deflected mode with time are substantially affected by the distance between inclusions, their quantity. The distance between of holes and inclusions, their quantity increasing leads to the influence of time upon deflected mode plate.

The investigations results presented in the thesis have both theoretical and practical importance. The proposed methods can be used for а wide variety of engineering problems solving.

Keywords: viscoelasticity, bending of plates, complex potential, conforming images, piecewise-homogeneous plate, least-squares method, steady state, elastic state.

Размещено на Allbest.ur

...