Разные типы законов статистических распределений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема 4. Разные типы законов статистических распределений

Мы достаточно детально познакомились с нормальным законом. Это очень часто встречающийся закон распределения случайных величин. Он уже известен вам из молекулярной физики - это закон распределения Максвелла. Действительно, одномерное распределение частиц газа по скоростям в одномерном рассмотрении представляется в виде:

,

если обозначить через , то мы получим нормальный закон:

.

Смысл величины - это есть число частиц в рассматриваемом объеме, например, в единице объема, т.е. концентрация. В самом деле, по своему смыслу, концентрация есть число частиц с любыми скоростями в единице объема.

Последнюю формулу можно представить и по-другому. Заметим, что , где - есть часть кинетической энергии, связанной с движением по оси х (энергия есть скаляр, поэтому нельзя говорить, что есть проекция энергии на ось х). Далее, величина , где есть тепловая энергия частиц. Здесь принимается идея о равнораспределении энергии по степеням свободы. Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением одномерного движения, то вместо 3 в последней формуле надо написать 1, т.е. надо заменить . Тогда закон Максвелла можно представить для одной степени свободы в таком виде:

,

здесь - некоторый коэффициент, который находится из условия нормировки. Полученное выражение - есть важнейший закон статистической физики - т.н. закон распределения Гиббса.

Если к сказанному добавить ту информацию, которую я привел на прошлых лекциях, то становится понятной роль нормального закона распределения. Рассмотрим теперь другие законы. Очень важными для приложений и физики, в частности, являются 2 таких закона как биномиальный и Пуассона. биномиальный пуассон химический шаровой

Биномиальный закон распределения

Представим себе такую ситуацию. Пусть мы имеем последовательную реализацию независимых случайных экспериментов, которые заключаются в следующем: либо интересующее нас событие А происходит с некоторой вероятностью р, либо не происходит, очевидно, вероятность последнего есть 1-р. Серию таких экспериментов называют последовательностью Бернулли. Наша задача состоит в следующем: рассчитать вероятность того, что в результате n экспериментов событие А реализуется m раз. Этот закон распределения рассчитывается сравнительно легко. Идея такая. Поскольку события независимые, то вероятность m реализаций события А есть . При этом нас интересует, чтобы в остальных экспериментах событие А не реализовалось. Вероятность последнего есть: . Т.о., вероятность наступления m событий А в одной серии из n экспериментов равна: Пока что мы определили вероятность появления какой-то одной конфигурации благоприятных исходов. Теперь нам надо получить полную вероятность с учетом того, что благоприятный исход может быть реализован различными способами. Для наглядности поясню сказанное следующим образом. Пусть мы имеем случайное число, которое может принимать 2 значения: 0 и 1. Провели n экспериментов. Получили последовательность n чисел: 0 и 1. Пусть нас интересует событие, закодированное 1. Рассмотрим какие могут быть варианты последовательностей.

(0; 0; … 0; 0)

(1; 0; … 0; 0)

(0; 1; … 0; 0)

(0; 0; … 0; 1)

. . . . . . . . . . .

m

(1; 1; …1; 0; … 0)

n

(0; 1; …1; 0; … 0)

(1; 1; …1; 1; … 1)

Т.о., то, что подсчитали - это лишь вероятность реализации благоприятного исхода в одной серии экспериментов. Теперь мы должны подсчитать полное число вариантов возможных комбинаций из n элементов с m благоприятными исходами и просуммировать их. В каждой серии экспериментов вероятность благоприятного исхода нами подсчитана. Теперь надо эту вероятность умножить на число возможных комбинаций серий. Из комбинаторики известно, что это есть сочетание из n элементов по m - это:

.

Окончательно интересующая нас вероятность равна:

Это и есть биномиальный закон распределения. Называется он так потому, что математическая структура его похожа на разложение бинома.

В некоторых руководствах можно встретить, что этот закон представляет интерес лишь с теоретической точки зрения. На самом деле это не так. Под этот закон попадают такие эксперименты, как, например, бросание монетки: орел-решка, проверки исхода чего-либо по альтернативному признаку подходит - не подходит, выполнение какого-то задания с результатами попал - не попал (стрельба). И т.д.

Можно показать, что среднее (или МО) и дисперсия равны:

;

График распределения при переходит в нормальный закон.

Закон Пуассона

Этот закон описывает результаты экспериментов, в которых подсчитываются события, происходящие случайно, но в определенном среднем темпе. Оказывается, этот закон очень важен в атомной и ядерной физике, где подсчитывается число распадов нестабильных частиц.

Будем считать, что у нас есть образец радиоактивного материала, и мы подсчитываем число распадов в единицу времени. Если мы повторяем эксперимент (имеется в виду берем определенный образец и измеряем число распадов, затем опять берем образец такого же элемента и такого же количества и снова определяем число распадов в единицу времени и т.д.). Далее рассуждения такие. Для того или иного ядра есть вероятность р распасться и вероятность (1-р) не распасться. Следовательно наша задача похожа на задачу из биномиального закона. Но если говорить о распадах, то вероятность для данного ядра распасться мала, но число распадов (благоприятных исходов ) велико. Поскольку их произведение конечно, то мы можем использовать биномиальный закон и сделать в нем предельный переход: . Расчеты показывают, что закон распределения принимает вид:

Выясним смысл параметров. Посчитаем среднее число распавшихся ядер, если мы повторяем эксперимент много раз. Очевидно:

Дисперсия оказывается равной: . Из того, что я рассказывал о наилучших оценках параметров и их ошибках, следует, что в результате эксперимента мы будем иметь оценку для числа распавшихся в единицу времени ядер следующее: .

Распределение Пуассона еще называют распределением для редких событий. Название понятно из сказанного. Оно вытекает из огромного числа атомов в образцах, как следствие малой вероятности распада данного атома.

Пример

Пусть 1-й экспериментатор измерил число частиц космического излучения в течение 1 мин и получил, скажем, 9 отсчетов. Пусть 2-й экспериментатор нашел 12.

Спрашивается: согласуются ли результаты? Стандартное отклонение из закона Пуассона равно Следовательно, результаты совпадают в пределах ошибок.

Пусть 3-й экспериментатор провел аналогичные исследования, но в течение 10 мин. Если взять за основу первого экспериментатора, 3-й ожидает получить в 10 раз больше отсчетов, т.е. 90, но получил 120. Это совпадает с тем, что можно ожидать, если взять за основу 2-го экспериментатора. Но совпадает ли это с первым? . Это отличается почти в 3 раза от 90. Следовательно, что-то у первого экспериментатора было не правильно.

Гистограмма

Первое, что можно сказать, - это то, что статистический анализ требует многократных измерений. Как работать с этими массивами чисел, как их представлять в наглядной форме? Можно их упорядочивать в порядке возрастания или убывания. Можно еще как-то пытаться выуживать информацию. Наиболее удобный способ - это построение гистограммы, или статистического ряда. Идея такая.

Если работаем с дискретными числами, то имеет смысл рассчитать частоту появления того или иного числа и отложить ее на графике в зависимости от значения числа.

Если в результате эксперимента получаются непрерывные числа, то поступать следует немного по-другому. Из набора измеренных чисел выбираем наименьшее и наибольшее и этот интервал изменений измеряемой величины делим на частей. Каждую такую часть называют либо разрядом, либо опять же интервалом. Сейчас часто стали употреблять английское слово бин (bin). Затем подсчитывают, сколько чисел попало в данный бин и это число делят на общее число экспериментов. Фактически, это тоже частота. По результатам таких расчетов строится кривая, следующего типа, которая и называется гистограммой. Это есть закон распределения изучаемой величины, полученный экспериментально.

Рис. 4.1. Пример гистограммы

Вопрос: как выбирать ширину бина? Ее нельзя выбирать слишком большой и слишком малой. Если , то мы будем иметь предельную гистограмму или, собственно, закон распределения случайной величины.

Критерий согласия Пирсона «-квадрат»

Предположим, мы провели серию из экспериментов и измерили набор случайных величин . Нас интересует, распределена ли данная величина по какому-то закону. Причем закон может быть любым. Первое, что следует сделать, это определить числовые характеристики - среднее и разброс . Следующий шаг - строим гистограмму. Для этого надо выбрать ширину бина. Очевидно, ширина бина должна быть такой, чтобы в него попадало несколько измерений. Хорошо, чтобы она при этом была меньше разброса. В результаты мы приходим к очевидному выводу: общее количество измерений должно быть велико. После этого мы вычисляем, сколько измерений попадает в k-й бин (или интервал). Пусть это число будет . С другой стороны, если закон распределения известен, то мы можем подсчитать частоту попадания случайной величины в k - й интервал как - интеграл берется по соответствующему интервалу (бину). Теперь нужно ввести меру количественной оценки различия и . Пирсон показал, что следующая мера при больших практически не зависит от закона распределения случайной величины и от , а зависит только от числа интервалов k, точнее, от количества степеней свободы , здесь есть число связей, накладываемых по условию задачи, например, условие нормировки:

Плотность функции распределения имеет вид:

Обычно в работе используют затабулированные значения .

Качественный анализ приведенной формулы для показывает, что если наблюдаемые и ожидаемые величины близки, то будет мало, в переделе 0. Если каждое слагаемое в сумме порядка единицы, то вся сумма будет порядка . Следовательно, можем считать, что если , то ожидаемое и наблюдаемое распределения близки. Если , то можно думать, что экспериментальное и ожидаемое распределения не согласуются.

Более детально работа с критерием выполняется следующим образом.

Смысл функции распределения таков. Вероятность

в силу трактовки как случайной величины дает оценку вероятности того, что расхождение между ожидаемой величиной и полученной экспериментально носят случайный характер, что может быть обусловлено разными причинами, например, недостаточным количеством экспериментов. Если окажется, что вероятность того, что мала, то случайность здесь ни при чем. Иными словами, расхождения неслучайные и имеют какой-то смысл, например, неправильная модель.

1. Вычисляется по приведенной формуле значение .

2. Определяется число степеней свободы .

3. По таблицам находится вероятность того, что величина, имеющая распределение , превзойдет полученное значение . Если эта вероятность мала, то Н - гипотеза о согласованности теоретического и экспериментальной распределений отбрасывается. Если же она велика, то можно признать, что она не противоречит опытным данным. Но нельзя определенно сказать, что гипотеза верна.

Какое значение для вероятности принять за пороговое? Это не есть задача статистики. Здесь имеет место аналогия с доверительным интервалом.

В заключение можно еще сказать вот что. Пусть - независимые нормально распределенные случайные величины со средним = 0 и среднеквадратичным отклонением 1. Тогда распределена по закону . Пусть опять - независимые нормально распределенные случайные величины, но с дисперсией . Тогда величина будет иметь единичную дисперсию, и .

Пример:

исследования Марсакова и Сучкова об особенностях распределения содержания химических элементов в шаровых скоплениях и вытекающие отсюда новые представления об эволюции Галактики.

Размещено на Allbest.ru