Размещено на http://www.allbest.ru/

Волны в периодических структурах

Распространение волны в среде с периодически меняющимися свойствами (многослойные акустические или световые фильтры, замедляющие системы, цепочечные фильтры и т. д.) сопровождается появлением особенностей, наиболее заметных, когда длина волны сравнивается с периодом изменения свойств системы.

1. Сплошная среда со слабыми периодическими неоднородностями

Пусть c2(x) = c02[1 - cos(2Kx)], где К = /а, а - пространственный период неоднородностей. Если || << 1, то неоднородность слабая, запишем в этом случае волновое уравнение (1.1) в виде

.

Если в среде распространяется гармоническая волна u(t, x) = A(x)exp(-it), то для ее амплитуды получаем уравнение

. (4.1)

Будем искать решение уравнения (4.1) в виде ряда по малому параметру :

(4.2)

Подставляя соотношения (4.2) в волновое уравнение (4.1) и собирая слагаемые, пропорциональные 0 и 1, получим

, (4.3)

. (4.4)

Уравнение нулевого приближения (4.3) имеет решение в виде

A0 = B1exp(ik0x) + B2exp(-ik0x),

тогда правая часть уравнения (4.4) принимает вид

. (4.5)

Рассмотрим два случая. Если k0 K, то решение уравнения (4.4) с правой частью в виде (4.5) как сумма свободных и вынужденных колебаний имеет вид

.

Здесь имеется слагаемое, модуль которого при k1 0 неограниченно растет, что не имеет физического смысла. Поэтому следует брать k1 = 0, = c0k0, то есть поправка к частоте в неоднородной частоте при k0 K отсутствует.

Если же k0 = K, то выражение (4.5) принимает вид

.

Слагаемые, пропорциональные , также приведут к неограниченному росту решения уравнения (4.4) вдоль оси х (резонанс). Чтобы решение было ограниченным, необходимо выполнение следующих условий:

2k1B1 + k0B2/2 = 0, k0B1/2 + 2k1B2 = 0.

Эта система линейных относительно B1 и B2 уравнений имеет нетривиальное решение при условии равенства нулю определителя системы

,

что в соответствии с уравнением (4.2) дает поправку первого приближения к частоте при k0 = K:

= c0k0 c0k0/4. (4.6)

Учет следующих поправок изменит зависимость (k0) при k0 K, но разрыв вида (4.6) при k0 = K останется, то есть появляется запрещенная полоса частот 0/2 (рис. 4.1). Волны с частотами, лежащими в этой полосе, в системе быстро затухают. Заметим, что условие k0 = K означает, что = а/2, то есть имеется брегговское отражение и взаимодействие прямой и обратной волн.

Рис. 4.1. Дисперсионная кривая

Рис. 4.2. Решения уравнения Матье

2. Метод ММА для волн в периодических структурах

Будем искать решение уравнения (4.1) в виде волны медленно меняющейся амплитуды:

A(x) = A+(x)exp(-ikx) + A-(x)exp(ikx), (4.7)

|d2A+/dx2| << k|dA+/dx|, |d2A-/dx2| << k|dA-/dx|. (4.8)

Пусть K = k - , << |k|. Тогда, подставляя формулу (4.7) с учетом соотношения (4.8) в уравнение (4.1), получим, что все члены нулевого порядка малости сократятся. Пренебрегая вторым порядком малости и собирая слагаемые, пропорциональные exp(ikx) и exp(-ikx), получим два укороченных уравнения:

dA+/dx = -ikA-exp(2ix)/4, dA-/dx = ikA+exp(-2ix)/4. ( 4.9)

Найдем сначала первый интеграл системы уравнений (4.9). Для этого умножим первое уравнение на A+*, а второе - на A-*, затем из полученных уравнений и их комплексных сопряжений образуем комбинацию

A+*dA+/dx + A+dA+*/dx - A-*dA-/dx - A-dA-*/dx = d(|A+|2 - |A-|2)/dx = 0,

то есть

|A+|2 - |A-|2 = const. (4.10)

Продифференцируем теперь первое уравнение системы (4.9) и подставим в него выражение для dA-/dx из второго уравнения, в результате получим

d2A+/dx2 - 2idA+/dx - (k/4)2A+ = 0.

Решение этого линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

, (4.11)

константы интегрирования С1 и С2 определяются из граничных условий. Пусть неоднородная среда занимает полупространство x > 0, и на это полупространство падает слева волна с амплитудой A+(0). Если A+(х ) = 0, то С1 =0,

С2 = A+(0). Тогда

. (4.12)

Чтобы найти амплитуду обратной волны A-(х), воспользуемся интегралом энергии вида (4.10), который для полубесконечной среды можно записать в виде

|A+(х)|2 - |A-(х)|2 = |A+()|2 - |A-()|2 = 0,

то есть

|A+(х)|2 = |A-(х)|2. (4.13)

Таким образом, амплитуда обратной волны тоже описывается уравнением (4.12).

Если < k/4, то показатель экспоненты в уравнении (4.12) действительный, и волна затухает, отдавая свою энергию волне A-(х), которая нарастает от 0 при х = до A+(0) при х = 0. Это означает, что частота падающей волны находится в полосе непрозрачности (ср. рис. 4.1). Коэффициент отражения от такой полубесконечной неоднородной среды равен 1. Если же > k/4, то показатель экспоненты в уравнении (4.12) мнимый, амплитуды волн A(х) осциллируют в пространстве и слабо связаны. Затухания нет, то есть частота падающей волны вышла за пределы полосы непрозрачности.

3. Уравнение Матье и уравнение Хилла

Если неоднородности среды нельзя считать малыми, полученные приближенные решения уравнения (4.1) уже неприменимы. Введем новые обозначения: Kx = , k2/K2 = , k2/K2 = . Тогда уравнение (4.1) примет вид

d2A/d2 + [ + cos(2)]A = 0 (4.14)

- уравнение Матье. Его общее решение имеет вид:

A() = C1F1()exp() + C2F2()exp(-). (4.15)

Здесь F1 и F2 - функции с периодом . Если - мнимое число, то решение (4.15) соответствует суперпозиции двух незатухающих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Действительному или комплексному значению соответствуют затухающие волны.

Основные результаты, полученные при исследовании уравнения Матье (4.14), приведены на рис. 4.2.

В незаштрихованных областях плоскости переменных и величина комплексная или действительная, а в заштрихованных - мнимая. На границах действительная часть обращается в нуль. Прямые = и = - делят плоскость на три части. В области I при < - волны распространяться не могут, в области II при > || заштрихованные области сужаются по мере увеличения и в пределе становятся прямыми, параллельными линии = -. В области III, где < , заштрихованные области прозрачности становятся широкими, а области непрозрачности - узкими. Полуось абсцисс > 0, = 0 соответствует однородной среде, вблизи оси при << неоднородность слабая. Функции Матье F1(x) и F2(x), через которые выражается решение (4.15) уравнения (4.14), хорошо изучены и табулированы.

В более общем случае, если неоднородность необязательно гармоническая, но периодическая, распространение волн описывается уравнением Хилла

d2A/dx2 + k2[1 + f(x)]A = 0, (4.16)

где f(x) - произвольная периодическая функция. Такое уравнение описывает распространение волны в слоистой периодической структуре. Пусть система состоит из чередующихся слоев двух сред с различными скоростями распространения волны, то есть f(nd < x < nd + l2) = f2, f(nd + l2 < x < (n + 1)d) = f1, l1 + l2 = d. Обозначим k2[1 + f1] = k12, k2[1 + f2] = k22. Общее решение уравнения Хилла (4.16) с такой периодической неоднородностью имеет вид:

С другой стороны, теорема Флоке (аналог теоремы Блоха) утверждает, что волна, распространяющаяся в среде с периодической неоднородностью, должна иметь вид , причем F(x + nd) = F(x). Это значит, что

,

то есть на интервале l2 < x < d решение уравнения Хилла (4.16) должно иметь вид

.

Поскольку функция А(х) и ее производная А'(х) должны быть непрерывны при

х = 0 и х = l2,

то из условий и условия l1 + l2 = d, обозначая , получим систему уравнений:

.

Условие существования нетривиального решения этой системы - равенство нулю ее детерминанта:

y2 - y[2cos(k1l1)cos(k2l2) - (k1/k2 + k2/k1)sin(k1l1)sin(k2l2)] + 1= 0. (4.17)

Не решая непосредственно уравнения (4.17), вспомним, что произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену, а их сумма - коэффициенту при линейном члене, то есть у1у2 = 1 или . Тогда

. (4.18)

Условие прозрачности системы соответствует действительным значениям числа , то есть , а условие непрозрачности - комплексным значениям числа , то есть . Рассмотрим простой частный случай k1l1 = k2l2. Тогда дисперсионное уравнение (4.18) принимает вид

, (4.19)

где с1 = /k1 - фазовая скорость в первом слое, с2 = /k2 - фазовая скорость во втором слое.

Уравнение (4.19) удобно решать графически. Построим график его правой части как функции величины l1/с1 (рис. 4.3). Заштрихованные области соответствуют границам полос непрозрачности. Закон дисперсии в такой среде легко построить численно или графически (рис. 4.4).

Рис. 4.3. Зоны непрозрачности

Рис. 4.4. Закон дисперсии для слоистой структуры

4. Волны в дискретных структурах

Рассмотрим простейшую одномерную модель: атомы массой М, соединенные пружинками с одинаковой жесткостью с ближайшими соседями. Уравнение движения l-го атома имеет вид

, (4.20)

где u(l) - смещение l-го атома. Будем рассматривать гармонические колебания цепочки и положим u(l) = Aexp[i(t - kal)], где а - период цепочки. Тогда

2M = [2 - exp(-ika) - exp(ika)] = 4sin2(ka/2),

откуда легко найти закон дисперсии:

. (4.21)

колебание оптический гармонический волна

В линейном приближении получаем , где - скорость звука. В общем случае из уравнения (4.21) следует, что |(k)| m, где . График закона дисперсии вида (4.21) приведен на рис. 4.5. Отметим, что уравнение (4.20) является разностной формой обычного волнового уравнения (1.1) без потерь, дисперсия здесь является следствием дискретности структуры.

Для более сложной задачи - чередующихся атомов с массами M и m - уравнения движения имеют вид:

(4.22)

Решение системы уравнений (4.22) будем искать в виде

u(l) = Bexp[i(t - kal)], u(l + 1) = bexp[i(t - kal)].

Тогда

2MB = 2[B - bcos(ka)], 2mb = 2[b - Bcos(ka)].

Нетривиальные решения этой системы уравнений возможны при равенстве нулю ее детерминанта

4Mm - 22a(M + m) + 42sin2(ka) = 0,

откуда легко находится закон дисперсии:

. (4.23)

График зависимости (4.23), приведенный на рис. 4.6, имеет две ветви: акустическую ветвь (моду) - и оптическую ветвь (моду) +, разделенные запрещенной полосой частот .

Рассмотрим закон дисперсии (4.23) для длинноволновых колебаний при

ka << 1:

.

Для оптических колебаний vгр = d+/dk = 0, то есть оптические длинноволновые колебания в цепочке не распространяются. Для них B -bm/M, то есть соседние атомы движутся в противофазе. Для акустической ветви = c0k, B b, то есть соседние атомы колеблются синфазно.

Рис. 4.5. Закон дисперсии однородной цепочки

Рис. 4.6. Закон дисперсии неоднородной цепочки

Размещено на Allbest.ru