Нелинейные волны в среде со слабой дисперсией

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нелинейные волны в среде со слабой дисперсией

волновой диссипация бюргерс акустика

Скорость звука в газах и жидкостях мало зависит от частоты. Поэтому при характерной для задач акустики и гидродинамики слабой дисперсии условия фазового синхронизма (5.17) могут выполняться для сотен гармоник. Решить аналитически и даже численно систему из сотен нелинейных укороченных уравнений вида (5.16) невозможно, спектральный подход здесь малопродуктивен.

Удобнее пользоваться полевым описанием нелинейных волновых процессов для акустики и гидродинамики в терминах возмущения плотности ', давления p' и колебательной скорости u'.

Простые волны

В отсутствии диссипации в среде поля u(r, t), (r, t) и p(r, t) связаны уравнениями непрерывности

/t + div (u) = 0, (6.1)

движения (Эйлера)

[u/t + (u)u] = F = -p (6.2)

и состояния

p = p(). (6.3)

Для плоского движения среды, когда переменные p, и u зависят только от координаты х и в случае продольных волн, когда отлична от нуля только проекция u_x = u, уравнения (6.1) и (6.2) запишутся в более простом виде

/t + (u)/x = 0, (u/t + uu/x) = -p/x.

Будем называть простой волной волновой процесс, в котором все параметры функционально зависят от одного из них, причем эти связи не содержат интег-ралов и производных, например = (u), p = р(u), или u = u(), p = р(). Для простой плоской волны уравнения (6.1) и (6.2) принимают вид

. (6.4)

Из уравнений (6.4) следует, что

.

Но для простых волн фиксирование u фиксирует и , значит, равны и правые части этих уравнений:

.

Обозначая

c² = p/, (6.5)

получим c²/u = ²u/, или



u/ = с/, (6.6)

что позволяет в явном виде получить функциональные связи простых волн

. (6.7)

Подставляя выражение (6.6) в уравнения (6.4), получим:

. (6.8)

Нетрудно показать, что решение второго уравнения системы (6.8), соответствующее граничному условию u(x = 0) = Ф(t), имеет вид

. (6.9)

Для адиабатического процесса уравнение состояния (6.3) принимает вид

p = p₀(/₀). (6.10)

Подставляя это выражение в уравнение (6.5), получим

.



Продифференцируем это уравнение по u. Обозначая

, (6.11)

с учетом соотношения (6.6) получим:

Следовательно, dc/du = ( - 1)/2, то есть

c = c₀ u( - 1)/2. (6.12)

Поскольку для адиабатического уравнения состояния (6.10)

,

уравнение состояния (6.10) с учетом соотношения (6.12) позволяет получить функциональные зависимости для простых волн в виде



Уравнение (6.9) при этом принимает вид

. (6.13)

Таким образом, относительно неподвижной системы координат возмущение, соответствующее фиксированному значению u, движется со скоростью

U = c₀ + u( + 1)/2. (6.14)

Точки, у которых u > 0, движутся со скоростью U > c₀ и соответствуют областям сжатия, а точки, у которых u < 0, движутся со скоростью U < c₀ и соответствуют областям разрежения. Поэтому исходный профиль волны по мере движения деформируется.

Введем безразмерный параметр M = u/c₀ - число Маха. Для M << 1 преобразуем аргумент в соотношении (6.13):

.

Тогда волна (6.13) принимает вид

, (6.15)

который удовлетворяет укороченному уравнению простых волн

. (6.16)



Пусть на границу среды падает гармоническая волна

u(0, ) = Ф() = u₀sin().

Тогда, решая уравнение (6.15) относительно , получим

= arcsin(u/u₀) - zu/u₀, (6.17)

где обозначено . Таким образом, при распространении волны к ее исходному профилю = arcsin(u/u₀) добавляется прямая, наклон которой пропорционален z. При z = 1 образуется разрыв, и волна из гармонической превращается в пилообразную. Это соответствует расстоянию

.

Превращение гармонической волны в пилообразную и образование разрывов означает появление высших гармоник. Для спектрального анализа запишем уравнение (6.17) в виде ряда Фурье:

.

Тогда для коэффициентов ряда получим разложение Беселя - Фубини:



(6.18)

Отметим, что формула (6.18) справедлива только при z < 1, так как при

z > 1 функция становится неоднозначной и не может быть разложена в ряд Фурье. Кроме того, при любой форме волны ее импульс постоянен. Если

Ф() = 0, то

Таким образом, реальный фронт нужно провести так, чтобы от обеих частей перехлеста отсекались равные площади.

Нелинейные волны в диссипативной среде

При наличии в среде вязкого трения уравнение движения Эйлера (6.2) переходит в уравнение Навье - Стокса:

[u/t + (u)u] = -p + u + ( + /3) grad div u, (6.19)

где и - коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости соответственно. Для звуковых продольных волн rot u = 0. Рассмотрим случай малых амплитуд, когда = ₀ + ', p = p₀ + p', |'| << ₀, |p'| << p₀. Взяв уравнение состояния (6.3) в виде адиабаты (6.10), получим с точностью до линейных членов: p' = 'p₀/₀, соответственно, уравнение Навье - Стокса (6.19) с учетом соотношения (6.11) принимает вид:

, (6.20)

где обозначено b = + 4/3 - диссипативный коэффициент. Уравнение непрерывности (6.1) при этом принимает вид:

'/t + ₀div (u) = 0. (6.21)

Возьмем градиент от правой и левой частей уравнения (6.21) и подставим в уравнение (6.20), предварительно продифференцировав его по времени:

- (6.22)

волновое уравнение для среды с диссипацией.

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, это уравнение становится скалярным и одномерным:

. (6.23)

Заметим, что без учета диссипативного слагаемого, то есть при b = 0, решение уравнения (6.23) имело бы вид двух волн постоянного профиля, распространяющихся в разных направлениях: u = f₁(t - x/c₀) + f₁(t + x/c₀).

Рассмотрим волну, движущуюся вправо u = f₁(t - x/c₀), и предположим, что при малой диссипации профиль волны при распространении меняется медленно (метод медленно меняющегося профиля):

u = f₁(t - x/c₀, x), || << 1 (6.24)

Введем сопровождающую систему координат = t - x/c₀, x' = x:

.

Подставим вычисленные значения производных в уравнение (6.23) и оставим только слагаемые первого порядка малости по и b. Заметим, что слагаемые нулевого порядка малости при этом сокращаются:

.

Проинтегрируем это уравнение по и, считая, что u( ) = 0, получим уравнение типа уравнения теплопроводности:

. (6.25)

Здесь учтена вязкость среды, но не ее нелинейность, и подставлено x' = x. С другой стороны, для нелинейных волн в среде без диссипации справедливо уравнение простых волн (6.16).

Замечая, что левые части уравнений (6.25) и (6.16) совпадают, запишем общее уравнение Бюргерса для нелинейных волн в диссипативной среде:

. (6.26)

Для анализа уравнения (6.26) удобно ввести безразмерные коэффициенты. Для гармонического входного воздействия u(0, ) = u₀sin() положим V = u/u₀,

= , .

Тогда уравнение Бюргерса принимает вид

V/z = VV/ + Г²V/², (6.27)

где обозначено Г = 1/(2Re), Re = c₀₀u₀/(b) - акустическое число Рейнольдса.

Заметим, что замена Хопфа - Коула

V = 2Г ln(U)/ (6.28)

сводит уравнение Бюргерса (6.27) к линейному дифференциальному уравнению

U/z = Г²U/². (6.29)

Наиболее простыми решениями уравнения (6.29) являются функции



U = A - exp(-Гz)cos() и , где

- интеграл ошибок, А и В - константы, находимые из граничных условий. Подстановка (6.28) дает соответствующие решения в виде:

. (6.30)

Чтобы решения (6.30) были ограничены при любом z > 0, необходимо A > 1 и

B > 1. Случай A >> 1 и B >> 1 соответствует предельному переходу к линейному режиму уравнения (6.25). При A > 1 и B > 1 функции (6.30) описывают существенные нелинейные искажения волны.

Первая из формул (6.26) описывает распространение периодической волны, которая при Гz << 1 не является синусоидальной волной. Однако при

z >> 1/Г вторым слагаемым в знаменателе можно пренебречь в сравнении с А, это значит, что диссипация "сглаживает" профиль, и на больших расстояниях волна вновь становится затухающей синусоидальной. Напомним, что нелинейность без диссипации приводит к существенному искажению профиля волны при z 1, то есть при Г >> 1 (Re << 1) диссипация подавляет нелинейность.

Второе решение вида (6.30) описывает одиночный импульс несимметричной колоколообразной формы, который при распространении расплывается и сглаживается, а его высота уменьшается. На больших расстояниях импульс превращается в гаусов, что соответствует линейному решению уравнения (6.25).

Важным частным решением уравнения Бюргерса является стационарная, то есть не меняющая форму при распространении, волна. Подставим в уравнение (6.27) условие V/z = 0 и, проинтегрировав по , получим обыкновенное дифференциальное уравнение

.

Повторное интегрирование дает ударную волну с толщиной фронта 2Г:

. (6.31)

Таким образом, уравнение Бюргерса описывает структуру и местоположение фронта ударной волны и, в отличие от уравнения простых волн (6.16), не требует привлечения дополнительных условий типа "равных площадей" и не предполагает разрыв бесконечно тонким. Конечная толщина фронта определяется конкуренцией между нелинейностью и диссипацией.

Нелинейные волны в диспергирующей среде

Малая дисперсия оказывает слабое влияние на изменение профиля волны на расстоянии порядка длины волны, поэтому для анализа, так же как и в случае слабой диссипации, можно воспользоваться методом медленно меняющегося профиля. Дисперсию нелинейных волн описывает уравнение, похожее на уравнение Бюргерса (6.26):

, (6.32)



где вместо диссипативного члена учтен член , ответственный за дисперсию.

Для обоснования этого слагаемого учтем, что за дисперсию продольных волн ответственна дискретность (периодичность) структуры (см. п. 4.4). Для решетки с периодом а справедлив закон дисперсии вида (4.21):

.

При а с учетом выражения для скорости звука в нулевом приближении это уравнение можно переписать в виде

.

Построим теперь дифференциальное уравнение, описывающее такой закон дисперсии. Для этого сопоставим переменным и k операторы -i/t и i/х соответственно (символический метод):

.

В рамках метода медленно меняющегося профиля положим u = u(, x), где = t - x/c₀, и, вычисляя производные с точностью до линейных по членов:

,



получим линеаризованное уравнение Кортевега - де-Вриза:

. (6.33)

Заметим теперь, что уравнение (6.32) отличается от уравнения (6.33) только слагаемым , описывающим нелинейность в уравнении простых волн (6.16). Линеаризованное уравнение (6.33) соответствует степенному закону дисперсии

k() = /c₀ + ³. (6.34)

Введем те же безразмерные величины, что и при решении уравнения Бюргерса (6.26): V = u/u₀, = , , тогда уравнение (6.32) принимает вид

. (6.35)

При D << 1 преобладает нелинейность, а при D >> 1 - дисперсия, то есть роль параметра D аналогична роли числа Г в уравнении Бюргерса (6.26).

Будем искать решение уравнения (6.35) в виде стационарной бегущей волны, полагая V/z = 0 и интегрируя полученное обыкновенное дифференциальное уравнение один раз по :

. (6.36)

Уравнение (6.36) описывает движение материальной точки в потенциальном поле W(V). Здесь переменная V играет роль координаты, а переменная - времени. Вводя переменную Y = dV/d, можно из уравнения (6.36) получить уравнение фазовых траекторий

DY²/2 = H - W(V). (6.37)

Вид функции W(V) и соответствующие фазовые траектории для различных значений параметра Н, играющего роль полной энергии, приведены на рис. 6.1. Особые точки: центр А и седло В. Вблизи центра А - замкнутые эллиптические фазовые траектории, что соответствует гармоническим колебаниям. Следовательно, при малых амплитудах стационарное решение уравнения Кортевега - де-Вриза является гармонической волной. При увеличении амплитуды фазовые траектории отличаются от эллиптических, и стационарное решение остается периодическим, но уже не гармоническим.

Наконец, движение по сепаратрисе из точки неустойчивого равновесия В через точку устойчивого равновесия А до точки С и бесконечно долгое возвращение в точку В описывает стационарное решение в виде уединенной волны - солитона (рис. 6.2):

V = ach-²(b) - 1. (6.38)

Для того чтобы определить параметры в выражении (6.38), подставим его в уравнение (6.36), положив V₀ = 1:

4Db²(2ch²(b) - 3) = 2ch²(b) - a,

то есть а = 3, 4Db² = 1, значит,



. (6.39)

Формула (6.39) показывает, что произведение амплитуды солитона 3u₀ на квадрат его характерной длительности постоянно и равно , то есть определяется только свойствами среды. Чем больше амплитуда солитона, тем меньше его длительность. Кроме того, решение (6.39) описывает возмущение, распространяющееся со скоростью звука с₀ на фоне постоянного потока u = -u₀.

Можно искать солитонное решение уравнения (6.35), удовлетворяющее условию V( ) 0, то есть описывающее солитон, бегущий по невозмущенной среде. Этому условию удовлетворяет функция

, (6.40)

которая описывает солитон, распространяющийся со сверхзвуковой скоростью. Можно показать, что если на входе среды задано воздействие, не совпадающее по форме с солитоном, то при распространении из-за нелинейных искажений такая волна распадается на солитоны.



Рис. 6.1. Фазовый портрет солитона	Рис. 6.2. Профиль солитона

Размещено на Allbest.ru

...