Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача

УДК 539.3

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Плоскі задачі термопружності для тіл з тріщинами уздовж дуг кіл з урахуванням повного гладкого контакту їх берегів

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Басса Наталія Михайлівна

Львів - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України та у Львівському національному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Опанасович Віктор Костянтинович, Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України, м. Львів, доцент кафедри механіки.

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Кіт Григорій Семенович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів, завідувач відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ;

доктор технічних наук, доцент Кундрат Микола Михайлович, Національний університет водного господарства та природокористування МОН України, м. Рівне, професор кафедри обчислювальної математики.

Захист відбудеться " 3 " липня 2009 року о 15⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

Автореферат розіслано " 3 " червня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук, професор О.В. Максимук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У багатьох галузях сучасного судно-, авіа- і приладобудування, в енергетиці, гірничій справі та в нафтовій промисловості широко використовуються складні конструкції, які працюють в умовах силових і температурних навантажень. Міцність та довговічність таких тіл залежить від наявності у них тріщиноподібних дефектів, які можуть виникнути ще на етапі їх виготовлення чи під час експлуатації. В околі таких дефектів наявне локальне зростання температурних градієнтів, що сприяє значному збільшенню температурних напружень, які в свою чергу призводять до руйнування конструкцій лише під дією теплових потоків навіть без прикладення силового навантаження.

У процесі експлуатації реальних тіл береги тріщин можуть прийти у безпосередній контакт, особливо при наявності в них криволінійних розрізів. Однак переважна більшість дослідників не враховували цього явища, тобто вважали, що береги тріщини не взаємодіють між собою. Отримати розв'язок задачі з урахуванням контакту берегів тріщин значно важче, оскільки заздалегідь невідомі і область контакту, і контактний тиск між берегами тріщин.

Розвитком теорії та методів розв'язування просторових та плоских задач теорії пружності з урахуванням взаємодії берегів тріщин займались В.В. Божидарнік, Р.В. Гольдштейн, Д.В. Гриліцький, М.Д. Гриліцький, О.М. Гузь, Ю.В. Житніков, П.А. Загубіженко, В.В. Зозуля, Г.С. Кіт, М.Г. Кривцун, М.М. Кундрат, В.В. Лобода, Б.Л. Лозовий, Р.М. Луцишин, О.В. Меньшиков, М.В. Меншикова, В.В. Михаськів, В.І. Моссаковський, В.К. Опанасович, В.І. Острик, В.В. Панасюк, М.П. Саврук, О.О. Стрельнікова, Г.Т. Сулим, А.Ф. Улітко, Л.А. Фільштинський, М.В. Хай, Г.П. Черепанов, І.П. Шацький, O. Aksogan, M. Comninou та ін.

Дослідження показують, що взаємодія берегів тріщин впливає на перерозподіл поля напружень і деформацій в околі дефекту, отже контакт берегів тріщин потрібно враховувати для більш точної оцінки міцності і довговічності конструкції. Тому вплив різних механічних та теплофізичних чинників на умови контакту берегів теплопроникних або теплоізольованих криволінійних тріщин становить значний науковий та практичний інтерес. Напружено-деформований стан тіла з криволінійними тріщинами із гладкою зміною геометрії у багатьох випадках можна оцінити на основі розв'язку, отриманого для тріщин, розміщених уздовж дуги еквівалентного кола. Це дає можливість застосовувати порівняно прості перетворення, на основі яких отримаємо аналітичні або числові розв'язки.

На даний час в науковій літературі є незначна кількість робіт, в яких розглядаються тріщини уздовж дуги кола за повного контакту їх берегів і не виявлено досліджень, пов'язаних з дослідженням напружено-деформованого стану тіл з довільно орієнтованими дуговими тріщинами, береги яких гладко контактують уздовж усієї їх довжини під дією рівномірно розподілених зусиль на нескінченності.

У зв'язку з цим є актуальною розробка методики розв'язування плоских стаціонарних задач термопружності для ізотропних тіл з тріщинами уздовж дуг кіл, береги яких гладко контактують уздовж усієї довжини тріщин (далі вживаємо термін “повний контакт”), та дослідження на її основі впливу теплового потоку і рівномірно розподілених зусиль на нескінченності на повний контакт берегів тріщин в залежності від їх взаємного розміщення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках держбюджетних тем кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка: “Задачі динамічної та квазістатичної термопружності для структурно-неоднорідних тіл і середовищ з тонкими включеннями та дослідження зв'язаних термомеханічних процесів при фрикційному контакті” (2001 р., № держреєстрації 0199U003622); “Некласичні моделі та методи досліджень перехідних процесів у структурно-неоднорідних пружних середовищах” (2002-2003 рр., № держреєстрації 0102U003570) та держбюджетних тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України: “Розробка аналітико-чисельних методів дослідження напруженого стану неоднорідних тіл з тепловими та залишковими деформаціями та дефектами структури” (2005-2006 рр., № держреєстрації 0103U000131), “Розробка моделей та методів розрахунку теплового і напружено-деформованого стану структурно-неоднорідних елементів конструкцій з урахуванням фізичної нелінійності матеріалу” (2007-2008 рр., № держреєстрації 0107U000357), “Моделювання напруженого стану технічних і природних структур з дефектами і врахуванням теплових полів та контактних процесів” (2007-2008 рр., № держреєстрації 0107U000360).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методики розв'язування плоских стаціонарних задач термопружності для ізотропних тіл з тріщинами уздовж дуг кіл, береги яких зазнають повного контакту, та дослідження на цій основі термопружного стану тіла з такими дефектами і впливу теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль на нескінченності на умови повного контакту берегів тріщин в залежності від їх розміщення.

Досягнення вказаної мети передбачає вирішення таких завдань:

· математичне формулювання задач теплопровідності та термопружності для тіл з теплопроникними тріщинами, які розміщені уздовж дуг кіл, береги яких приходять у повний контакт;

· розробка методики розв'язування плоских стаціонарних задач теплопровідності та термопружності для ізотропних тіл:

? з теплоізольованими або теплопроникними тріщинами, які розміщені уздовж контуру кола з урахуванням повного контакту берегів тріщин;

? з довільно орієнтованими теплопроникними тріщинами уздовж дуг кіл, береги яких гладко контактують уздовж усієї довжини;

· вивчення на цій основі закономірностей впливу наявності в тілі теплопроникних чи теплоізольованих дугових тріщин та їх взаємодії на повний контакт берегів тріщин;

· виявлення умов існування повного контакту берегів зазначених дефектів за дії на нескінченості теплового і силового навантаження та розрахунок спричинених цим контактом компонент напружено-деформованого стану тіла.

Об'єктом дослідження є термопружний стан ізотропних тіл, що описується двовимірною теорією пружності, з дуговими теплопроникними тріщинами, аналіз умов існування повного контакту берегів вказаних тріщин та розрахунок спричинених цим контактом компонент напружено-деформованого стану тіла при різному розміщені тріщин.

Предметом дослідження є створення методики розв'язування плоских стаціонарних задач термопружності для ізотропних тіл з теплопроникними розміщеними уздовж дуг кіл тріщинами з урахуванням повного контакту їх берегів, при дії теплового та силового навантаження.

Методи дослідження: методи теорії функцій комплексної змінної, комплексні потенціали плоскої задачі термопружності, метод ортогональних поліномів, метод механічних квадратур до розв'язування сингулярних інтегральних рівнянь, а також розвинутий автором підхід щодо побудови системи сингулярних інтегральних рівнянь при дослідженні термопружного стану тіл з теплопроникними тріщинами уздовж довільно орієнтованих дуг кіл, береги яких гладко контактують під дією теплового та силового навантаження.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

· розроблено методику розв'язування плоских стаціонарних задач термопружності для ізотропних тіл з теплопроникними тріщинами уздовж дуг кіл, береги яких приходять у повний контакт під дією однорідного теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль на нескінченності;

· встановлено діапазон зміни відношення заданих зусиль на нескінченності, тобто їх граничні значення, коли відбувається повний контакт берегів тріщин, встановлено, де слід сподіватися відставання їх берегів, якщо відношення зусиль на нескінченності буде більшим за граничне;

· досліджено вплив теплового потоку на повний контакт берегів теплопроникних або теплоізольованих тріщин та на діапазон значень відношення заданих зусиль на нескінченності, при якому береги тріщин гладко контактуватимуть уздовж усієї довжини при різних параметрах задачі;

· побудовано розв'язок нових задач теорії пружності для ізотропних тіл з довільно орієнтованими тріщинами уздовж дуг кіл, береги яких зазнають повного контакту під дією рівномірно розподілених зусиль;

· з'ясовано умови, за яких виникає повний контакт берегів дугових тріщин та можливе формулювання задач у такій постановці.

Достовірність отриманих результатів забезпечується строгістю та коректністю математичних постановок задач з використанням основних положень теорії пружності; застосуванням відомих, перевірених іншими дослідниками аналітичних та числових методів; узгодженням одержаних результатів для деяких часткових випадків з відомими у науковій літературі; фізичною інтерпретацією отриманих результатів.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблений у роботі підхід по дослідженню термопружного стану тіл з теплопроникними тріщинами, які розміщені уздовж дуг кіл з урахуванням повного контакту їх берегів, дає можливість визначити коефіцієнти інтенсивності напружень та оцінити міцність деталей конструкцій з вказаними дефектами на основі відомих у науковій літературі критеріїв руйнування. Даний підхід, маючи самостійне значення в задачах теплопровідності, може бути застосованим і до тіл, які перебувають в умовах антиплоскої деформації.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 16 наукових праць [1-16], у тому числі 4 статті [1-4] у фахових наукових журналах з переліку ВАК України, 1 стаття в інших наукових виданнях [7], 5 в матеріалах [5, 9, 13, 14, 16] і 6 у тезах [6, 8, 10-12, 15] конференцій.

Основні результати, що стосуються змісту дисертації, отримані здобувачем самостійно. У публікаціях, які написані у співавторстві, науковому керівнику Опанасовичу В.К. належать постановки задач, основні ідеї їх розв'язування, систематизація та обговорення висновків за результатами виконаних досліджень; у роботах [3, 11] співавтору Коцюмбасу Н. належить проведення числового аналізу під керівництвом дисертантки та обговорення отриманих результатів; у праці [7] співавтор Лучко Й.Й. приймав участь в обговорені та аналізі результатів. Здобувачу належать розв'язування сформульованих задач, усі аналітичні перетворення та числові дослідження, також участь у формулюванні постановок задач і висновків за результатами досліджень, систематизації результатів. Результати досліджень, опубліковані в працях [2, 13], отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на 5-ій, 6-ій і 7-ій Міжнародних наукових конференціях “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000 р., Львів, 2003 р., 2006 р.), 4-ій Польсько-українській конференції “Сучасні проблеми в механіці неоднорідних середовищ” (Лодзь, 2001 р.), 5-му Міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (Луцьк, 2002 р.), Міжнародній науково-технічній конференції “Проблеми математичного моделювання сучасних технологій” (Хмельницький, 2002 р.), 5-му та 7-му - Українсько-польських наукових симпозіумах “Актуальні задачі механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2003 р., Львів, 2007 р.), Всеукраїнських наукових конференціях “Сучасні проблеми механіки” до 80-річчя Д.В. Гриліцького (Львів, 2004 р.) і до 100-річчя М.П. Шереметьєва (Львів, 2005 р.), Відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України “Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи” (Львів, 2005 р.), 2-ій Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 2008 р.).

У повному обсязі робота доповідалась на науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка, на розширеному науковому семінарі відділу термомеханіки та на проблемному семінарі за напрямком “Математичні проблеми механіки руйнування та поверхневих явищ” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, на об'єднаному семінарі кафедри обчислювальної математики Національного університету водного господарства та природокористування і кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, які містять 45 рисунків, висновків та переліку літератури з 192 назв. Загальний обсяг роботи 142 сторінки.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи та її зв'язок з науково-дослідними темами установ, де вона виконана, сформульовано мету та завдання досліджень, висвітлено наукову новизну та достовірність отриманих результатів, їх теоретичне та практичне значення, зазначено кількість публікацій за темою дисертації та особистий внесок здобувача у них, надано відомості про апробацію результатів дисертації, її структуру та обсяг, тезисно викладено зміст роботи.

У першому розділі наведено огляд наукових праць, в яких вивчаються питання, близькі за напрямком до теми дисертації; висвітлено стан проблеми дослідження термопружного та напружено-деформованого стану тіл з тріщинами. Відзначено роботи, що пов'язані з розв'язуванням плоских та просторових задач термопружності для тіл з криволінійними тріщинами з урахуванням контакту їх берегів. Зазначене місце дисертаційної роботи в даній проблематиці.

У другому розділі наведено основні співвідношення плоскої задачі теплопровідності та термопружності для визначення термопружного стану тіла з тріщинами уздовж дуг одного кола, а також записано основні залежності, зручні для використання, коли тріщини розміщені уздовж довільно орієнтованих дуг, які наведемо нижче.

Нехай безмежне пружне ізотропне тіло, що віднесене до декартової системи координат, ослаблене множиною розрізів , , розміщених уздовж дуг кіл різних радіусів. Центри кіл, уздовж дуг яких розміщені тріщини, в системі координат визначаються координатами. З точкою пов'яжемо початок -ої декартової системи координат, а вісь проведена через середину -ої тріщини та утворює кут з віссю. Поряд з декартовими системами координат розглянемо полярні системи координат з полюсом у точках та полярними осями. стаціонарний теплопровідність ізотропний тіло

Будемо вважати, що тіло знаходиться під дією заданого теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль на нескінченності (рис. 1). Тоді температуру та основні співвідношення для визначення термопружного стану тіла у локальних системах координат запишемо у вигляді

У третьому розділі досліджено термопружний стан тіла, яке містить теплоізольованих тріщин, що розміщені уздовж дуг кола радіуса при умові, що береги тріщин приходять в повний контакт під дією рівномірно розподілених зусиль і , причому зусилля утворює кут з віссю і для стиску , та постійного теплового потоку інтенсивності , який утворює кут з віссю на нескінченності (рис. 2).

Виберемо декартову систему координат з початком в центрі кола, уздовж якого розміщені тріщини. Поряд з декартовою системою координат розглянемо полярну систему координат з полюсом у точці та полярною віссю. Сукупність дуг, уздовж яких розміщені тріщини позначимо через , , , , область в середині кола через, зовні - через.

В роботі знайдено аналітичні вирази для визначення температурних контактних напружень та коефіцієнтів інтенсивності напружень та наведено їх графічні залежності для однієї та двох рівних симетрично розміщених відносно початку координат теплоізольованих тріщин. Зупинимось на деяких результатах числового аналізу.

Розглянемо випадок, коли береги тріщини, яка характеризується центральним кутом, зазнають повного контакту лише під дією теплового потоку на нескінченості.

Розподіл зведених контактних напружень між берегами теплоізольованої тріщини при різних значеннях кута нахилу теплового потоку подано на рис. 3-4 для кута розхилу тріщини та відповідно.

Числовий аналіз показав, що існує два граничні кути нахилу теплового потоку та, для яких зведені контактні напруження між берегами тріщини в деякій точці, яка характеризується центральним кутом, перетворюються в нуль, а при або при - вони одного знаку. Причому для кута при куті розхилу тріщини кут, а для -. На основі числового аналізу можна зробити висновок про існування такого кута, що якщо, то при можна сподіватися відставання берегів тріщини в околі нижнього кінця тріщини (), а якщо - ближче до центру тріщини. Якщо, то контактні напруження між берегами тріщини змінюють знак, тобто потрібно розглянути задачу в іншій постановці, враховуючи відставання берегів тріщини. Крім того, зведені контактні напруження із збільшенням кута розхилу тріщини зростають за абсолютною величиною. Зауважимо, що при і при зведені контактні напруження симетричні відносно осі симетрії тріщини, а для кутів та при антисиметричні за величиною.

На рис. 5 подана залежність граничних кутів нахилу теплового потоку та від кута розхилу тріщини. Вкажемо на існування залежності, що узгоджується із фізикою досліджуваного явища. Як видно з рис. 5 при (), якщо (), то контакт уздовж усієї довжини тріщини можливий при будь-якому куті розхилу тріщини.

Коли тіло на нескінченості знаходиться тільки під дією теплового потоку з числового аналізу можна зробити такі висновки:

? область контакту не залежить від радіуса кола, уздовж дуги якого розміщена тріщина;

? якщо контакт відбувається для даних , і , то контакт буде відбуватися і для, і , причому розподіл контактних напружень в цьому випадку буде дзеркальним відображенням відносно осі контактних напружень при додатному;

? якщо контакт відбувається при заданих і та заданому напрямку теплового потоку, то при зміні його напрямку на протилежний - контакту вже не буде;

? контакт берегів тріщини достатньо досліджувати при ;

? для кожного кута розхилу тріщини і відповідного йому , якщо () при (), то береги тріщини завжди зазнаватимуть повного контакту, а при - частково контактуватимуть.;

? при (), якщо (), то контакт уздовж усієї довжини тріщини можливий при будь-якому куті розхилу тріщини .

На рис. 6-7 подано розподіл контактних напружень уздовж берегів тріщини під дією на нескінченості тільки рівномірно розподілених зусиль (штрихові криві) та при сумісній дії теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль (суцільні криві) для кута розхилу тріщини при , і для сплаву АМг-6 з характеристиками , , при різних значеннях відношення заданих зусиль на нескінченності

Зауважимо, що існують граничні значення, при яких контактні напруження між берегами тріщини в деяких точках перетворюються в нуль. Для випадку, коли на нескінченності задано тільки силове навантаження, позначимо їх через і (,), а при сумісній дії теплових і силових навантажень - і ( ,). Як бачимо з рис. 6 при дії тільки силового навантаження контактні напруження перетворюється в нуль на кінцях тріщин при і у центрі при (штрихові криві), а при відбувається відставання берегів тріщини в околі її кінців, а при - у центральній частині тріщини. При сумісній дії теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль на нескінченності контактні напруження одного знаку (суцільні криві), отже дія теплового потоку спричинила до збільшення діапазону зміни граничних значень відношення зусиль на нескінченності, при якому береги тріщини зазнаватимуть повного контакту при однакових параметрах задачі.

На основі рис. 7 можна зробити висновок, що коли відношення головних зусиль на нескінченності, то відбувається відставання берегів тріщини у її центральній частині, а коли - в околі її кінців, а коли для відношення зусиль на нескінченності виконується нерівність, то береги тріщини завжди контактуватимуть незалежно від кута розхилу тріщини . Крім того, при сумісній дії теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль на нескінченості контактні напруження і умови, при яких відбувається повний контакт, залежать від радіуса кола, уздовж дуги якого розміщена тріщина.

Наведемо деякі результати для випадку двох рівних теплоізольованих тріщин, які симетрично розміщені відносно осей координат і та характеризуються центральним кутом розхилу тріщин.

Якщо на нескінченості заданий лише тепловий потік, то числовий аналіз свідчить, що якщо береги однієї з тріщин зазнають повного контакту, то контактні напруження між берегами іншої тріщини додатні або міняють знак.

Наведемо результати впливу рівномірно розподілених зусиль на нескінченності на повний контакт берегів тріщин за відсутності теплового потоку.

Розподіл контактних напружень уздовж берегів тріщин для кута розхилу тріщини подано на рис. 8 при ( ;) та на рис. 9 при ( ;). Зазначимо, що при для контактні напруження рівні нулю на кінцях тріщин, а при - в її центральній частині. Із ростом кута контактні напруження при перетворюються в нуль тільки на нижньому кінці тріщини, а при в деякій точці тріщини, але не у центрі.

На рис. 10 подано залежності граничних значень відношення зусиль на нескінченності за повного контакту берегів тріщин від кута розхилу тріщини при. Для будь-якого , що задовольняє нерівність, повний контакт відбувається завжди.

Для кута на рис. 11 зображено графічні залежності граничних значень відношення зусиль на нескінченності, за яких береги тріщин зазнаватимуть повного контакту від зміни кута. Зауважимо, що при береги тріщин контактуватимуть, коли лежить в межах діапазону, а при - якщо або. Якщо змінювати від до, то криві для і будуть симетричними відносно прямої, тому їх не наводимо.

На основі числового аналізу можна зробити висновки, що для заданого кута розхилу тріщини і зміні кута нахилу зусилля з віссю на нескінченності для всіх та повний контакт берегів тріщин відбувається завжди. Отже, знаючи кут розхилу тріщин, відношення головних напружень на нескінченості і кут можна прогнозувати, чи будуть контактувати береги тріщин по всій довжині чи лише по її частині. В останньому випадку потрібно видозмінити постановку задачі, враховуючи відставання берегів тріщини.

За сумісної дії теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль на нескінченості для сплаву АМг-6 та для кута при і, щоб береги тріщин контактували уздовж усієї довжини, якщо, то повинно змінюватися в межах діапазону, якщо - в межах , а при повного контакту між берегами обох тріщин не буде. Отже, для даного розміщення тріщин дія теплового потоку, коли до тіла прикладене силове навантаження, значно зменшила діапазон граничних значень відношення заданих зусиль на нескінченності, при якому береги тріщин зазнаватимуть повного контакту.

У четвертому розділі розглядається безмежна ізотропна пластина з теплоізольованими поверхнями, яка містить теплопроникних тріщин, які розміщені уздовж дуг кола радіуса при умові, що береги тріщин приходять в повний гладкий контакт під дією рівномірно розподілених зусиль та постійного теплового потоку на нескінченності (рис. 2).

Із-за ускладнення крайових умов на берегах тріщин розв'язок задачі теплопровідності за допомогою теорії функцій комплексної змінної зведено до системи інтегро-диференціальних рівнянь відносно стрибка температури між берегами тріщин, розв'язок якої знайдено чисельно за допомогою методу ортогональних поліномів, при цьому розв'язок задачі термопружності будується подібно до попереднього розділу. Знайдено явні вирази для визначення контактних напружень та коефіцієнтів інтенсивності напружень.

Здійснено числовий аналіз для випадку однієї тріщини уздовж дуги кола та двох рівних симетрично розміщених відносно системи координат дугових тріщин. Зупинимось на результатах числового аналізу для випадку однієї теплопроникної тріщини, береги якої зазнають повного контакту лише під дією теплового потоку на нескінченості. На рис. 12-13 подано розподіл зведених контактних напружень між берегами тріщини при різних значеннях кута нахилу теплового потоку для кута розхилу тріщини (рис. 12) та (рис. 13) при, де - коефіцієнт теплопроникності.

На рис. 14 зображено розподіл зведених контактних напружень на берегах тріщини при різних значеннях коефіцієнта теплопроникності для кута розхилу тріщини і . Крива 1 побудована для , 2 - , 3 - , 4 - , 5 - , 6 - відповідно. З рис. 14 можна зробити висновок, що при збільшені коефіцієнта теплопроникності отримаємо абсолютно провідну тріщину, яка не впливає на температурне поле пластини та її напружено-деформований стан, тому що контактні напруження прямують до нуля.

Якщо порівняти відповідні результати для теплоізольованих та теплопроникних тріщин (рис. 3-4 та рис. 12-13), то для теплопроникної тріщини можна зробити подібні висновки, як і для теплоізольованої, правда наявність в тілі теплопроникної тріщини призводить до зменшення як контактних напружень між берегами тріщини, так і граничних кутів нахилу теплового потоку , , при яких береги тріщин зазнаватимуть повного контакту.

Якщо коефіцієнт теплопроникності тріщин, то числові результати співпадають з відповідними аналітичними результатами попереднього розділу.

У п'ятому розділі визначено термопружний стан безмежної ізотропної пластини з теплоізольованими поверхнями, що віднесена до декартової системи координат і ослаблена множиною теплопроникних розрізів , , які розміщені уздовж довільно орієнтованих дуг кіл різних радіусів, причому тріщини не перетинаються і не співдотикаються (рис. 1). Береги тріщин приходять у повний контакт під дією рівномірно розподілених зусиль і та сталого теплового потоку інтенсивності на нескінченості.

З використанням теорії функцій комплексної змінної та комплексних потенціалів плоскої задачі термопружності на основі залежностей (1)-(3) та (6)-(7) розв'язок задач теплопровідності та термопружності зведено до системи сингулярних інтегральних рівнянь відносно стрибка температури

Рівняння (8) і (9) доповнено умовами, які виражають неперервність температури у вершинах тріщин та однозначність переміщень при обході контурів тріщин і їх розв'язок знайдено чисельно за допомогою методу механічних квадратур.

Здійснено числовий аналіз для випадку двох тріщин, які розміщені: уздовж дуг неконцентричних і концентричних кіл та дуг одного кола. Наведено графічні залежності для контактних напружень, коефіцієнтів інтенсивності напружень та встановлено умови існування розв'язків задач у такій постановці при різних параметрах задачі. Наведемо деякі результати цього аналізу.

Для випадку двох тріщин, які розміщені уздовж дуг концентричних кіл, розподіл зведених контактних напружень між берегами тріщин при , , і заданому на нескінченності тепловому потоці подано на рис. 15, причому перша крива відповідає випадку теплоізольованих тріщин, друга - випадку теплопроникних тріщин, третя (четверта) крива - випадку, коли перша (друга) тріщина теплоізольована, а друга (перша) теплопроникна. Крива п'ять (шість) відповідає випадку однієї теплоізольованої (теплопроникної) тріщини. Для теплопроникних тріщин.

З рис. 15 видно, що зведені контактні напруження за величиною на першій (меншій) тріщині є більші, ніж на другій (довшій), а збільшення кута розхилу тріщин призводить до збільшення величини контактних напружень. Наявність в пластині теплопроникної тріщини призводить до зменшення зведених контактних напружень порівняно з теплоізольованою тріщиною при заданому на нескінченності тепловому потоці.

Коли тіло знаходиться лише під дією навантаження на нескінченності для , , на рис. 16 зображено залежність відношення граничних значень заданих зусиль на нескінченності для кожної тріщини за повного контакту її берегів, а на рис. 17 при подано зведені коефіцієнти інтенсивності напружень у вершинах від відстані між центрами кіл.

На основі рис. 16 можна зробити висновки, що береги обох тріщин зазнаватимуть повного контакту, якщо задовольнятиме нерівність , а коли (або ), то береги другої тріщини контактуватимуть уздовж усієї своєї довжини, а на першій тріщині буде відставання у центрі тріщини (на кінцях). Якщо (або ), то у центрі (на кінцях) обох тріщин можна сподіватися відставання берегів.

Зауважимо, що для даного розміщення тріщин. З рис. 16 і 17 можна зробити висновки, що при збільшені відстані між центрами кіл відношення граничних значень заданих зусиль на нескінченності, при якому відбувається повний контакт берегів тріщин, та коефіцієнти інтенсивності напружень прямують до однакової величини і збігаються з результатами для однієї тріщини.

В часткових випадках числові результати даного розділу співпадають з відповідними результатами, які отримані в попередніх розділах.

Основні результати роботи та висновки

У дисертаційній роботі розроблено методику розв'язування плоских стаціонарних задач термопружності для ізотропних тіл з тріщинами уздовж дуг кіл, береги яких гладко контактують уздовж усієї довжини (повний контакт) під дією теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль на нескінченності, на основі якої досліджено термопружний стан тіла з такими дефектами та вплив теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль на нескінченності на умови повного контакту берегів тріщин в залежності від їх розміщення.

Отримано такі основні результати:

1. Записано у зручній для практичного використання формі основні співвідношення плоскої задачі термопружності для тіл з тріщинами, які розміщені уздовж довільно орієнтованих дуг.

2. Запропоновано методику розв'язування плоских стаціонарних задач термопружності для ізотропних тіл з теплопроникними тріщинами уздовж дуг кіл, береги яких приходять у повний контакт під дією теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль на нескінченності.

3. За допомогою теорії функцій комплексної змінної та комплексних потенціалів плоскої задачі термопружності, з використанням запропонованої методики, розв'язано нові плоскі задачі термопружності для тіл:

? з теплоізольованими тріщинами, які розміщені уздовж дуг одного кола, знайдено явні вирази для похідної від стрибка температури та комплексного потенціалу плоскої задачі термопружності, що в комплексі описують термопружний стан тіла та дають аналітичну форму запису контактних напружень між берегами тріщин і коефіцієнтів інтенсивності напружень;

? з теплопроникними тріщинами, які розміщені уздовж дуг одного кола, комплексний потенціал температурного поля подано через стрибок температури між берегами тріщин, який за допомогою методу ортогональних поліномів визначено з системи інтегро-диференціальних рівнянь, а комплексний потенціал плоскої задачі термопружності знайдено в аналітичному вигляді;

? з довільно орієнтованими теплопроникними тріщинами, які розміщені уздовж дуг кіл, розв'язок задач теплопровідності та термопружності зведено до системи сингулярних інтегральних рівнянь відносно невідомого стрибка температури та дотичних компонент вектора переміщення між берегами тріщин відповідно, числовий розв'язок яких побудовано методом механічних квадратур.

4. Здійснено числовий аналіз нових задач та виявлено вплив теплового потоку та рівномірно розподілених зусиль на нескінченності на повний контакт берегів дугових тріщин.

5. В часткових випадках отримано відомі в науковій літературі результати та вперше досліджено напружено-деформований стан тіл з довільно орієнтованими дуговими тріщинами, береги яких під дією рівномірно розподілених зусиль на нескінченності зазнають повного контакту.

6. На основі побудованих розв'язків та числового аналізу встановлено наступне:

? якщо тіло перебуває лише під дією заданого теплового потоку на нескінченності, знайдено граничний кут нахилу теплового потоку, при якому береги тріщин зазнаватимуть повного контакту;

? виявлено діапазон значень відношення заданих зусиль на нескінченності, коли відбувається повний контакт берегів тріщин, граничну величину кута розхилу тріщини повного контакту для заданого навантаження та місця, де слід сподіватися відставання берегів тріщини, якщо відношення зусиль на нескінченності буде більшим за граничне;

? зовнішнє температурне навантаження, коли до тіла прикладене силове навантаження, може істотно змінити (збільшити або зменшити) діапазон значень відношення зусиль на нескінченності, при якому береги тріщин контактуватимуть уздовж усієї довжини в залежності від геометричних і фізико-механічних параметрів задачі;

? порівнюючи числові результати для теплоізольованих та теплопроникних тріщин приходимо до висновку, що наявність в тілі теплопроникної тріщини призводить і до зменшення величини контактних напружень на берегах тріщин та коефіцієнтів інтенсивності напружень, і до зменшення граничного кута нахилу теплового потоку та діапазону значень відношення зусиль на нескінченності, за якого відбувається повний контакт берегів тріщин.

Основний зміст дисертації відображено у публікаціях

1. Опанасович В. Контактна задача для пластини з двома тріщинами різних довжин уздовж дуги кола / В. Опанасович, Н. Копоть // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. ? 2002. ? Вип. 60. ? С. 155-160.

2. Копоть Н. Контактна задача для пластини з двома теплоізольованими тріщинами різних довжин уздовж дуги кола / Н. Копоть // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. ? 2004. ? Вип. 63. ? С. 99-107.

3. Опанасович В. Контактна задача для пластини з двома тріщинами, які розміщені уздовж дуг неконцентричних кіл / В. Опанасович, Н. Копоть, Н. Коцюмбас // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2006. - Вип. 65. - С. 114-122.

4. Опанасович В. Термопружний стан пластини з довільно орієнтованими теплопроникними тріщинами уздовж дуг кіл з урахуванням гладкого контакту берегів тріщин / В. Опанасович, Н. Басса // Машинознавство. - 2008. - № 11. - С. 19-24.

5. Опанасович В. Контактна задача для пластини з теплопроникливою тріщиною по дузі кола / В. Опанасович, Н. Копоть // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур : V міжнародна наукова конференція, 20-23 вересня 2000 р. : матер. конф. - Луцьк, 2000. - Т. 2. - С. 47-50.

6. Opanasovich V. Contact problem for a plate with two uneven cracks on a circlearch / V. Opanasovich, N. Kopot'// Current Problems in Mechanics of Nonhomogeneous Media : IV Polish-Ukrainian Conference, 4-8 September 2001 : abstracts. ? Lodz, 2001. ? P. 43.

7. Опанасович В.К. Контактна задача для пластини з двома теплоізольованими тріщинами по дузі кола / В.К. Опанасович, Й.Й. Лучко, Н.М. Копоть // Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів і конструкцій: збірник наукових праць. - Львів, 2002. - С. 142-147.

8. Опанасович В.К. Контактна задача для пластини з двома тріщинами, які розміщені по дугах кіл різних радіусів / В.К. Опанасович, Н.М. Копоть // Проблеми математичного моделювання сучасних технологій : міжнародна науково-технічна конференція, 2-4 жовтня 2002 р. : тези доп. ? Хмельницький, 2002. - С. 101.

9. Опанасович В. Контактна задача для пластини з тріщинами уздовж дуг концентричних кіл / В. Опанасович, Н. Копоть // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур : VI міжнародна наукова конференція, 26-29 травня 2003 р. : матер. конф. - Львів, 2003. ? С. 328-331.

10. Опанасович В. Контактна задача для пластини з двома тріщинами, які розміщені уздовж дуг неконцентричних кіл / В. Опанасович, Н. Копоть // Актуальні задачі механіки неоднорідних структур : п'ятий українсько-польський науковий симпозіум, 18-23 вересня 2003 р. : тези доп. - Луцьк, 2003. - C. 51-52.

11. Опанасович В. Числовий аналіз контактної задачі для пластини з двома тріщинами, які розміщені уздовж дуг / В. Опанасович, Н. Копоть, Н. Коцюмбас // Сучасні проблеми механіки (до 80-річчя Д.В. Гриліцького) : всеукраїнська наукова конференція, 2-5 листопада 2004 р. : тези доп. - Львів, 2004. - C. 65-66.

12. Опанасович В. Термопружна контактна задача для пластини з двома теплоізольованими тріщинами, які розміщені уздовж дуг неконцентричних кіл / В. Опанасович, Н. Басса // Сучасні проблеми механіки (до 100-річчя М.П. Шереметьєва) : всеукраїнська наукова конференція, 5-8 грудня 2005 р. : тези доп. - Львів, 2005. - С. 50-51.

13. Копоть Н.М. Термопружна контактна задача для пластини з двома теплоізольованими тріщинами уздовж дуг концентричних кіл / Н.М. Копоть // Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи : XIX відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України : матер. конф. - Львів, 2005. - С. 248-251.

14. Опанасович В. Термопружна контактна задача для пластини з двома тріщинами уздовж дуг концентричних кіл / В. Опанасович, Н. Басса // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур : VII міжнародна наукова конференція, 20-23 вересня 2006 р. : матер. конф. - Львів, 2006. - Т. 2. - С. 91-93.

15. Опанасович В. Термопружна контактна задача для пластини з двома теплопроникними тріщинами уздовж дуг кола / В. Опанасович, Н. Басса // Актуальні задачі механіки неоднорідних структур : сьомий українсько-польський науковий симпозіум, 5-9 вересня 2007 р. : тези доп. - Львів, 2007. - С. 81-82.

16. Опанасович В. Термопружний стан пластини з теплоізольованими тріщинами уздовж дуг кола з урахуванням гладкого контакту берегів тріщин / В. Опанасович, Н. Басса // Сучасні проблеми механіки та математики : II міжнародна наукова конференція, 25-29 травня 2008 р. : матер. конф. - Львів, 2008. - Т. 1. - С. 186-188.

Анотація

Басса Н.М. Плоскі задачі термопружності для тіл з тріщинами уздовж дуг кіл з урахуванням повного гладкого контакту їх берегів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2009.

У дисертаційній роботі досліджено термопружний стан ізотропних тіл з розміщеними уздовж дуг кіл тріщинами, береги яких гладко контактують уздовж усієї довжини під дією рівномірно розподілених зусиль та сталого теплового потоку на нескінченності. З використанням методів теорії функцій комплексної змінної та комплексних потенціалів, розроблено методику розв'язування нових плоских задач термопружності для тіл з теплопроникними тріщинами, розміщеними уздовж довільно орієнтованих дуг кіл. За її допомогою розв'язок задач теплопровідності та термопружності зведено до системи сингулярних інтегральних рівнянь відносно невідомих функцій стрибків температури та дотичних компонент вектора переміщення берегів тріщин відповідно, числовий розв'язок цих рівнянь побудовано методом механічних квадратур. Якщо тріщини розміщені уздовж дуг одного кола, невідомий стрибок температури між берегами тріщин визначено з системи інтегро-диференціальних рівнянь, для розв'язку якої використано метод ортогональних поліномів, а комплексний потенціал плоскої задачі термопружності знайдено в аналітичному вигляді. Для теплоізольованих тріщин, розміщених уздовж дуг кола, знайдено явні вирази для похідної від стрибка температури між берегами тріщин та комплексного потенціалу плоскої задачі термопружності, що в комплексі описують термопружний стан тіла.

Здійснено числовий аналіз контактних напружень між берегами тріщин та коефіцієнтів інтенсивності напружень. Виявлено умови, коли існує повний гладкий контакт берегів тріщин, де і як почне відбуватися відставання їх берегів при зміні зовнішнього навантаження, взаємного розміщення тріщин чи кута їх розхилу.

Ключові слова: ізотропне тіло, термопружний стан, тріщина уздовж дуги кола, гладкий контакт, комплексні потенціали, контактні напруження, коефіцієнти інтенсивності напружень.

Аннотация

Басса Н.М. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами вдоль дуг окружностей с учетом полного гладкого контакта их берегов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2009.

В диссертационной работе с использованием методов теории функций комплексной переменной и комплексных потенциалов разработана методика решения новых плоских задач термоупругости для тел с теплопроницаемыми трещинами вдоль дуг окружности или с системой произвольно ориентированных дуговых трещин, берега которых гладко контактируют вдоль всей длины под воздействием равномерно распределенных усилий и постоянного теплового потока на бесконечности.

Диссертация состоит из введения, пяти разделов, выводов и библиографического списка.

Введение содержит общую характеристику роботы.

В первом разделе представлен обзор исследований по изучению термоупругого состояния тел с криволинейными трещинами как с учетом, так и без учета контакта их берегов, а также отмечены актуальность и новизну сформулированных в диссертации задач.

Во втором разделе представлены основные соотношения плоской задачи теплопроводности и термоупругости для определения термоупругого состояния тела с трещинами вдоль дуг окружности, а также записаны основные зависимости, удобные для использования, когда трещины размещены вдоль произвольно ориентированных дуг.

В третьем разделе исследовано термоупругое состояние тела с теплоизолированными трещинами, которые размещены вдоль дуг окружности. Найдены явные выражения для производной от скачка температуры между берегами трещин и комплексных потенциалов плоской задачи термоупругости, что в комплексе описывают термоупругое состояние тела.

В четвертом разделе для теплопроницаемых трещин, размещенных вдоль дуг одной окружности, скачок температуры между берегами трещин определен из системы интегро-дифференциальных уравнений, решаемой с помощью метода ортогональных полиномов, а комплексный потенциал плоской задачи термоупругости найден в аналитическом виде.

В пятом разделе для теплопроницаемых трещин, которые размещены вдоль произвольно ориентированных дуг окружностей, решение задач теплопроводности и термоупругости сведено к системе сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестного скачка температуры и касательных компонент вектора перемещения между берегами трещин соответственно, решаемой численно с помощью метода механических квадратур.

Построены графические зависимости для контактных напряжений между берегами трещин, коэффициентов интенсивности напряжений и для отношения главных напряжений на бесконечности, когда контакт берегов трещин происходит по всей их длине при разных параметрах задач. Определены условия, при которых существует полный гладкий контакт берегов трещин, и места, где следует ожидать отставания их берегов, если условия контакта не выполняются.

Ключевые слова: изотропное тело, термоупругое состояние, трещина вдоль дуги окружности, гладкий контакт, комплексные потенциалы, контактные напряжения, коэффициенты интенсивности напряжений.

Abstract

Bassa N.M. Plane thermoelasticity problems for solids with cracks on circle arcs with taking into account the complete smooth contact of the crack faces. - Manuscript.

The thesis presented for a Candidate's degree in physics and mathematics by speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, L'viv, 2009.

In thesis the thermoelastic state of isotropic solids with cracks on the arcs of circles has been investigated. It is assumed that the crack faces have smooth contact on all length of the crack under the influence of a uniformly distributed stresses and thermal flow at infinity. The procedure to solve new plane thermoelasticity problems for solids with arbitrarily oriented heat-permeable cracks on the circle arcs has been developed. This procedure is based on the complex variable functions theory and complex potentials. With using it the solution of the thermoconductivity and thermoelasticity problems has been reduced to a system of singular integral equations for the unknown jumps of the temperature and tangent components of displacement vector on the crack faces respectively. The numerical solution of these equations has been constructed by the mechanical quadratures method. When the cracks are placed on the contour of the circle then the unknown jumps of temperature have been determined from a system of the integro-differential equations, which is solved by the orthogonal polynomial method. An explicit form of complex potential for the thermoelasticity problem has been obtained. The temperature jump derivative between crack faces and the complex potential of the plane thermoelasticity problem for the heat insulated cracks which are placed along the circle arcs have been represented in an explicit form.

The contact stresses between crack faces and stress intensity factors have been investigated. The conditions of existence of complete smooth contact of crack faces have been cleared up. The lag of crack faces has been studied under changing of the external loading, relative cracks position or angle of their opening.

Key words: isotropic solid, thermoelastic state, crack on the circle arc, smooth contact, complex potentials, contact stresses, stress intensity factors.

Размещено на Allbest.ru

...