Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА академія наук УКРАЇНИ

Інститут ПРИКЛАДНОЇ ФІЗИКИ

УДК 539.2

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ПРОЦЕСИ ВПОРЯДКУВАННЯ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ З ВНУТРІШНІМ ШУМОМ

01.04.02 - теоретична фізика

Дворниченко Аліна Василівна

Суми - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Сумському державному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, доцент Харченко Дмитро Олегович, Інститут прикладної фізики НАН України провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, професор

Олємской Олександр Іванович, Інститут прикладної фізики НАН України завідувач лабораторією „Мікроструктурнихд осліджкнь реакторних матеріалів”;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Татаренко Валентин Андрійович, Інститут металофізики НАН України ім. Г.В. Курдюмова провідний науковий співробітник відділу теорії твердого тіла.

Захист відбудеться “ 21 ” січня 2010 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 55.250.01 при Інституті прикладної фізики НАН України за адресою: м. Суми, вул. Петропавловська 58, конференц-зал.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної фізики НАН України.

Автореферат розісланий “ 15 ” грудня 2009 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук, Ворошило О.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. З'ясування та встановлення механізмів нерівноважних фазових переходів та відповідної кінетики перетворення представляє актуальну наукову задачу сучасної теоретичної фізики та відповідає потребам практики (інтенсифікація тепло- та масообміну, отримання наддрібного зерна або переохолоджених аморфних сплавів та інше).

Розвиток теорії рівноважних фазових переходів Ландау, її узагальнення на випадок нерівноважних систем все більше застосовується при вивченні мікроструктурних перетворень в матеріалах, що знаходяться в умовах, істотно віддалених від рівноваги, а саме при опроміненні полімерів, розчинів, сплавів та дії флуктуаційних сил, здатних принципово змінювати динаміку процесів мікроструктурних перетворень.

До них відносяться процеси структуроутворення, встановлення хімічного порядку, фазове розшарування, тощо. Незважаючи на суттєве розвинення теорії нерівноважних явищ, обумовлених впливом зовнішніх джерел флуктуацій, ефекти самоорганізації бінарних систем з флуктуаційними силами, пов'язаними із відповідними дисипативними процесами (внутрішньою кінетикою) залишалися не вивченими.

Дослідження кінетики фазових переходів в системах з динамікою, що не зберігається (наприклад, анізотропні магнетики), та з динамікою, що зберігається (уніаксальні феромагнетики), встановлення організуючої ролі флуктуацій при структуроутворенні є першостепеневою при вивченні мікроструктурних перетворень у теорії конденсованого стану.

Тому актуальність даної роботи пов'язана з розвиненням теорії фазових переходів, фазового розшарування та структуроутворення для розподілених бінарних систем еквіатомного складу з джерелами внутрішніх флуктуацій, пов'язаних з виконанням флуктуаційно-дисипаційної теореми. В цій роботі, присвяченій виявленню особливостей протікання нерівноважних фазових переходів, індукованих дією внутрішнього шуму, проводиться детальне з'ясування умов впорядкування та встановлення макроскопічних характеристик досліджуваних систем, які зазнають процеси фазового розшарування та структуроутворення, що протікають реверсивним чином.

Такі фазові переходи є узагальненням нерівноважних індукованих шумом переходів на випадок розподілених стохастичних систем коли окрім зміни модальності спостерігається втрата симетрії стаціонарного розподілу випадкового поля. Актуальність дослідженням таких процесів пов'язується з тим, що відповідні процеси упорядкування не обумовлюються втратою стійкості невпорядкованої фази, а визначаються нерівноважним потенціалом ефективної енергії. Розвинені у роботі підходи є узагальненням теорії Ландау на випадок нерівнвоажних систем з флуктуаціями великих інтенсивностей, що є актуальнім з точки зору фундаментальних досліджень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Сумському державному університеті та пов'язана з виконанням держбюджетних тем ''Теорія нерівноважних фазових переходів в стохастичних системах'' (номер державної реєстрації 0106U003496, термін виконання 2008р.) та ''Динаміка процесів впорядкування в нерівноважних системах'' (номер державної реєстрації 0108U007354, термін виконання 2008р.).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка теоретичної схеми, яка дозволяє описати характер фазових переходів в системах з динамікою, що зберігається та не зберігається, а також структуроутворення з ентропійно-керованим механізмом в стохастичних системах з внутрішнім шумом. Для досягнення поставленої мети в дисертаційній роботі вирішуються наступні завдання:

- встановити умови протікання нерівноважних реверсивних фазових переходів та переходів гістерезисного типу в системах з динамікою, що не зберігається;

- описати процес фазового розшарування на ранніх та пізніх стадіях з встановленням впливу залежних від поля концентрації флуктуацій на закон росту розмірів зерен;

- розвинути формалізм теорії середнього поля для систем з динамікою, що зберігається, для опису реверсивного протікання фазового розшарування;

- встановити механізми формування просторових структур в стохастичних системах реакційно - дифузійного типу та виявити умови підтримування шумом процесів структуроутворення;

Об'єктом досліджень є процес самоорганізації розподілених стохастичних систем, що проявляється в структуроутворенні, індукованому дією внутрішнього шуму.

Предметом досліджень є стохастичні системи з залежним від поля кінетичним коефіцієнтом та внутрішнім шумом.

Методи досліджень. Розвинутий в роботі формалізм ґрунтується на методах стохастичної динаміки, теорії середнього поля та відповідної феноменологічної схеми, теорії фазового розшарування, методах варіаційного обчислення, нелінійної динаміки, методах чисельного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів.

- Вперше показано, що в системах, які характеризуються симетричним потенціалом густини вільної енергії дія внутрішнього шуму, пов'язаного з залежним від поля кінетичним коефіцієнтом, приводить до реверсивного фазового переходу, обумовленого порушенням симетрії та якісними змінами стаціонарного розподілу випадкового поля. В системах із несиметричним потенціалом густини вільної енергії, внутрішній шум індукує перебіг фазових переходів гістерезисного типу.

- Вперше при дослідженні процесів фазового розшарування з залежним від поля концентрації кінетичним коефіцієнтом встановлено, що дія внутрішнього шуму не приводить до дестабілізації однорідного стану на ранніх стадіях розпаду. На пізніх стадіях внутрішній шум уповільнює динаміку зростання розміру зерен: його дія приводить до закону росту розміру зерна від часу у вигляді , з динамічним показником , залежним від параметра швидкості спадання залежного від поля кінетичного коефіцієнта.

- Вперше розвинуто формалізм теорії середнього поля для систем з внутрішнім шумом з динамікою, що зберігається та залежним від поля кінетичним коефіцієнтом. Показано, що нерівноважні процеси фазового розшарування проходять реверсивним чином при зміні інтенсивності шуму та підкоряються механізму ентропійно-керованих фазових переходів.

- Вперше встановлено умови формування структур в стохастичних системах реакційно - дифузійного типу з внутрішнім шумом за механізмом ентропійно-керованих фазових переходів. З'ясовано, що формування стійких просторових структур реалізується в обмеженому інтервалі інтенсивності внутрішнього шуму.

- З'ясовано, що при зміні інтенсивності внутрішнього шуму формуються нуклеативні структури, які змінюються структурами, характерним для спінодального розпаду, та трансформуються у лінійні з дефектами.

Практичне значення одержаних результатів. Розвинуті в роботі підходи дозволяють проводити теоретичне моделювання рівноважних фазових переходів та нерівноважних процесів впорядкування зі стрктуроутворенням в магнетиках, бінарних розчинах та сплавах, полімерних рідинах, що знаходяться в умовах віддалених від рівноваги. Вони мають важливе практичне значення для прогнозування макроскопічних властивостей матеріалів.

Отримані в роботі результати дозволяють описати реверсивне протікання впорядкування в магнітних матеріалах (манганітах), реверсивне впорядкування опромінених сплавів, які зазнають фазового розшарування та формування структур в матеріалах з квазіхімічними реакціями (мембрани, плівки полімерів, сплавів).

Фундаментальне значення результатів та розвинутий підхід полягає у подальшому розвитку теорії нерівноважних процесів впорядкування, що дозволяє з'ясувати особливості механізму ентропійно-керованих фазових переходів.

Особистий внесок здобувача. Автор брав участь у пошуку та аналізу літературних джерел за тематикою досліджень, написанні статей та тез доповідей. В роботах [1-4] автору також належать аналітичні результати теорії середнього поля для систем з внутрішнім шумом, отримання біфуркаційних та фазових діаграм, чисельне моделювання. В роботі [5] дисертанту належать розрахунки, пов'язані з проведенням аналізу на стійкість, отримання фазових діаграм, розробка чисельних алгоритмів та проведення комп'ютерного експерименту.

Апробація результатів дисертаційної роботи. Основні результати дисертаційної роботи докладалися і обговорювалися на наукових семінарах Інституту прикладної фізики НАН України, Інституту магнетизму НАН та МОН України, Інституту монокристалів НАН України, а також на таких конференціях: Міжнародна конференція молодих учених з теоретичної і експериментальної фізики “Еврика” Львів, Україна, 2008; Міжнародна конференція “Современные проблемы физики металлов”, Київ, Україна, 2008, International conference in statistical physics, Crete, Greece, 2008, Міжнародна конференція ''Международная конференция по физике радиационных явлений и радиационному материаловедению'', Алушта, Україна, 2008, ІХ всеукраїнська школа-семінар і конкурс молодих вчених зі статистичної фізики та теорії конденсованих речовин, Львів, Україна, 2009, III International conference “Statistical physics: Modern Trends and Applications”, Львів, Україна, 2009, а також на міжнародному колоквіумі ''Phase transitions in materials processed under gravity'' (Центр аерокосмічних досліджень, Інститут фізики матеріалів в космосі), Кельн, Німеччина, 2008, наукових семінарах Інститута Поля Шеррера, Віліген, Швейцарія, 2008.

Публікації. Основні результаті, представлені в дисертації, опубіковано в 14 наукових виданнях, з яких 5 статей - у спеціалізованих наукових вітчизняних та закордонних журналах, що входять до переліку ВАК України; 9 тез доповідей у збірниках наукових праць міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (188 найменувань). Повний обсяг дисертації становить 146 сторінки включно зі списком використаних джерел. У роботі міститься 50 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкриваються сутність і стан наукової проблеми, мета і задачі дослідження, подається загальна характеристика дисертації.

В першому розділі “Ефекти самоорганізації стохастичних систем та методи їх аналізу” проводиться огляд літературних джерел стосовно методів дослідження стохастичних систем, моделей систем з внутрішнім шумом, а також деяких їх класів.

Розглядаються підходи до чисельного моделювання стохастичних систем, викладаються способи визначення необхідних статистичних характеристик та обговорюються теоретичні та експериментальні дані, які ілюструють досліджувані в роботі ефекти самоорганізації, а саме: реверсивні фазові переходи в системах з динамікою, що не зберігається, реверсивні процеси фазового розшарування в системах з динамікою, що зберігається, та структуроутворення в фізико-хімічних системах.

Другий розділ “Фазові переходи в системах з динамікою, що не зберігається та внутрішнім мультиплікативним шумом”, присвяченій виявленню ролі флуктуаційного джерела, що задовольняє флуктуаційно-дисипативній теоремі.

Основним об'єктом у розділі є рівняння еволюції поля x(r,t) (локальної намагніченості зразка, ? drx(r,t) ? const), яке має вигляд:

(1)

де M(x)=1/(1+бx²) - рухливість, форма якої встановлюється з наступних умов: динаміка системи вповільнюється поблизу чистих станів (M мале при x ? 0), флуктуації є великими у змішаному стані (M велике при x = 0); т(x;r,t) - внутрішній мультиплікативний шум, який відповідає флуктуаційно-дисипаційній теоремі, для якого

т(r,t)=0, т(r,t)т(r',t')=2²M(x)C(t-t';r-r');

² - інтенсивність (ефективна температура теплової бані); б - параметр релаксації.

В рамках моделі Гінзбурга-Ландау функціонал вільної енергії має вигляд

F[x]=dr(V(x)+D/4d(x)²), ?/?r,

де V(x) - густина вільної енергії; D - коефіцієнт просторової неоднорідності. Для проведення статистичного аналізу картини самоорганізації, було отримане ефективне рівняння Фоккера-Планка для густини ймовірності P[x(r),t]. В рамках числення Стратоновича рівняння Фоккера-Планка має вигляд:

(2)



Подальше аналітичне дослідження ґрунтується на використанні функціоналу стаціонарного розподілу

P_st[x]exp(-U_ef[x]/²), U_ef[x]=F[x]+²/2S_ef[x],(3)

який визначається функціоналом Ляпунова (типу вільної енергії F) та ефективною ентропією S_ef=?drlnM(x), індукованою дією флуктуацій.

Показано, що у однорідних системах (D=0, x(r,t)=x(t)), завдяки цій складовій стаціонарна функція розподілу P_s(x)exp(-U_ef(x)/²) змінює кількість екстремумів. Таки при одноямному симетричному локальному потенціалі V(x)=-/2x²+x⁴/4 при <0, при перевищенні інтенсивністю шуму критичного значення _c²=-/б внаслідок біфуркації подвоєння виникають дві макроскопічні фази. Вони характеризуються найбільш імовірним значеннями стохастичної змінної x0=(1/2б){б-1[б(2+)+1+4²б²]^1/2}. Таким чином внутрішній шум приводить до нерівноважних переходів.

В рамках поданої моделі проведено аналіз рнерівноважних фазових переходів у розподіленій системі (D0). З аналізу стійкості Фур'є-перетворення першого моменту маємо:

(4)

флуктуація структуроутворення нуклеативний

Звідси витікає, що дія внутрішнього мультиплікативного шуму не приводить до дестабілізації неупорядкованого стану x=0 на ранніх стадіях.

Для дослідження індукованих шумом фазових переходів використано наближення середнього поля Вейса, в рамках якого відбувається перехід від функціоналу стаціонарного розподілу (3) до відповідної функції за умови (x)²(-x)². Параметр порядку x визначається з розв'язку рівняння самоузгодження x=?xP_st(x;)dx, де стаціонарний розподіл P_st(x; )exp(-U_ef(x; )/²) задається потенціалом U_ef(x; )=V(x)+D(-x)²+(²/2)ln(M(x)).

Поведінка параметра порядку передбачувана при >0 коли обидва, локальний V(x) та ефективний U_ef(x) потенціали бістабільні. Із зростанням параметра б - швидкості спадання M(x), спостерігається впорядкування при від'ємних значеннях , що відповідає моностабільному локальному потенціалу V. При >0 система є впорядкованою до критичної точки переходу по інтенсивності шуму ². Зі зменшенням керуючого параметра , система впорядкована лише в фіксованій області амплітуди шуму. Це означає, що зі збільшенням інтенсивності шуму спостерігається формування впорядкованих станів при малих ², тоді як при великих ², флуктуації руйнують впорядкування, встановлюючи симетрію стаціонарного розподілу.

Як випливає з дослідження однорідної системи такі фазові переходи не пов'язані із втратою стійкості на ранніх стадіях, а зумовлюються внеском ефективної ентропії. Тому відповідні ентропійно-керовані фазові переходи (entropy driven phase transitions) подають узагальненя індукованих шумом переходів в нульмірних системах на випадок розподілених систем і характеризуються зміною модальності розподілу.

Механізм реверсивних фазових переходів доводиться зміною поведінки стаціонарного розподілу при заданих значеннях параметра порядку (втратою симетрії). У випадку моностабільного потенціалу U_ef(x;) з <0 та малим значенням інтенсивності шуму ², система невпорядкована. Відповідна функція густини ймовірності має симетричну форму, з максимумом, центрованим в x=0. Зі збільшенням амплітуди шуму, коли система становиться впорядкованою (точка b), відповідна функція густини ймовірності характеризується зміщеним екстремумом.

Подальше збільшення ² при переході через штрихову лінію (точка с) приводить до індукованого шумом переходу - стаціонарний розподіл має бімодальну форму. Оскільки параметр порядку має ненульове значення, то бімодальний розподіл несиметричний. У точці d система невпорядкована: відповідний розподіл бімодальний, але має симетричну форму.

Отримані аналітичні результати узгоджуються з результатами незалежного чисельного експерименту, виконаного на двовимірній квадратній гратці, розміром NN.

Макроскопічна поведінка системи визначається параметром порядку

та сприйнятливістю

,

де сумування проводиться по вузлам гратки i, число яких N².

У випадку двоямного потенціалу локального потенціалу спостерігається картина фазового переходу „порядок-безпорядок” (квадрати) - зі збільшенням інтенсивності шуму при >0 параметр порядку поступово спадає, а сприйнятливість значно збільшується поблизу точки фазового переходу. При <0 (трикутники) реалізується реверсивний фазовий перехід: упорядкований стан виникає лише в обмеженій області інтенсивності шуму, дві точки фазового переходу ілюструються двома піками узагальненої сприйнятливості - зростанням флуктуацій поля x при малих та великих ² в околі критичних значень.

Розглядаючи поведінку системи з несиметричним локальним потенціалом, V(x)=x⁴/4+x³/3-x²/2 було встановлено, що кубічна складова (0) в локальному потенціалі приводить до ефекту фазових переходів гістерезисного типу. Для встановлення впливу внутрішнього шуму на процеси впорядкування, досліджується поведінка параметра порядку в залежності від інтенсивності шуму ². Встановлено, що варіація інтенсивності шуму ² та б приводить до зміни ефективної ентропії і як наслідок - до біфуркацій.

З нього видно, що при б0 та D=0 (крива 1) параметр порядку завжди додатній, незалежно від вибору та . При D0, просторова взаємодія сприяє S-подібній поведінці параметра порядку залежно від інтенсивності шуму. Збільшення швидкості спадання флуктуацій в чистих станах (збільшення б) приводить до гістерезису на залежності параметра порядку.

Подана картина впливу шуму на положення критичних точок була проаналізована в рамках макроскопічного підходу, у припущенні D, коли кореляціями випадкового поля можна знехтувати. У такому разі вважається припустимою апроксимація A(x)A(x), для довільної функції A(x). В результаті замість рівняння Ланжевена (1) приходимо до рівняння для параметра порядку =x у вигляді

.

Його можна переписати у вигляді рівняння Ландау-Халатнікова d/dt=-M()dF`/d, де розвинення потенціалу ефективної вільної енергії у ряд за дозволяє записати F`=-_ef/2²+/3³+/4⁴, де =1-б²², _ef=-б². Звідси випливає перенормування керуючого параметру внаслідок дії флуктуацій.

Третій розділ “Фазове розшарування бінарних систем з внутрішнім мультиплікативним шумом” присвячено дослідженню процесів фазового розшарування в стохастичних системах бінарного типу A_c0B_1-c0, що описуються полем концентрації x=c₀-c із динамікою, що зберігається (?drx(r,t)=const).

Рівняння еволюції поля x(r,t) має вигляд

(6)

де M(x) має аналогічний вигляд як і в розділі 2, величина б задається співвідношенням між коефіцієнтами об'ємної D_b та поверхневої D_s дифузій, як б1-D_b/D_s; (r,t) - внутрішній мультиплікативний шум, який відповідає флуктуаційно-дисипаційній теоремі, для якого (r,t)=0, (r,t)(r`,t`)=2²(r-r`)(t-t`); ² - інтенсивність. Функціонал вільної енергії задається функціоналом Гінзбурга-Ландау з симетричним локальним потенціалом.

Дослідження фазового розшарування на ранніх стадіях показало, що дія внутрішнього шуму не зумовлюється на стійкості однорідного стану x(r,t)=0. Із аналізу динаміки структурного фактору S(k,t)=x(k,t)x(-k,t), заданого рівнянням

_tS(k,t)=-k²(Dk²-+б²)S(k,t)+2²k²-2б²?dqS(q,t)(7)

випливає, що шум приводить лише до перенормування критичного значення керуючого параметру та зменшення критичного значення хвильового числа k_c=[(-б²)/D]^1/2, нижче якого зростають нестійкі моди. З чисельного розв'язання рівняннь (6), (7) випливає, що при зростанні параметра дисипації або інтенсивності шуму міжфазні границі стають більш дифузними.

На пізніх стадіях окрім динаміки структурного фактору та другого статистичного моменту J=N^-2_ix_i² було тестовано закон зростання розмірів зерен R(t)=k(t)^-1, де k(t) обчислювалось усередненням за хвильовими числами у першій зоні Брилюена. В загальному випадку маємо R(r)t^z, де z - динамічний показник. В рамках проведених чисельних експериментів на пізніх стадіях було встановлено, що спостерігається уповільнення росту розмірів доменів при збільшенні б. З видно, що у випадку адитивного шуму (б=0) динамічний показник приймає значення z1/3, тоді як при б=1 отримуємо z1/4. Таким чином, з ростом б реалізується кроссовер динамічних режимів у дифузійній області. Проведений розрахунок залежності динамічного показника від параметра швидкості спадання флуктуацій б показав монотонно спадаючу залежність z(б).

Для дослідження статистичних властивостей системи у стаціонарному випадку одержано рівняння еволюції густини розподілу стохастичного поля концентрації у вигляді

_tP=-?dr_x(M(_xF)-²/2(_xM))P-²?dr_x²(M)P(8)

У наближенні середнього поля стаціонарний розподіл подається виразом

і задається не лише середнім полем x, але й ефективним постійним полем h, що відіграє роль хімічного потенціалу для рівноважних систем. Для обчислення h та x, використовується рівняння самоузгодження x=?xP_s(x,x,h)dx. В однорідному випадку (нижче точки переходу) середнє поле однакове скрізь і дорівнює початковим значенням, тобто x=x₀, що дає постійну ефективного поля h. Вище точки переходу система розділяється на дві фази з однаковими x₁=-x₂ та h має бути однаковим для цих двох фаз і має дорівнювати нулю. При фіксованому x=x₀ тривіальне значення поля h визначає точку переходу _T²=²(x₀,h), тоді як критична точка _c² визначається за умови h=0, тобто _c²=_T²(x₀=0).

Дослідження поведінки середнього поля x показало, що при зростанні параметра просторової взаємодії D при одноямному локальному потенціалі V(x) відбувається реверсивне протікання фазового переходу при зміні інтенсивності шуму. З ростом дві критичні точки _1c² та _2c² розбігаються, результатом чого є звичайний фазовий перехід до однорідного стану з підвищенням інтенсивності флуктуацій. Відповідна фазова діаграма на ілюструє положення точок переходу та критичних точок у процесі фазового розшарування. Збільшення параметра дисипації б зменшує значення , при яких спостерігається впорядкований стан.

Для підтвердження отриманих аналітично результатів проводився незалежний чисельний експеримент. Оскільки (?x(r,t)dt=const), то в якості параметра порядку використано другий статистичний момент J=N^-2_ix_i², а узагальнена сприйнятливість =(J²-J²)/². Реверсивне поводження J в залежності від інтенсивності шуму, відповідна узагальнена сприйнятливість має два характерних піки у вказаному інтервалі ² що підтверджує зростання флуктуацій в околі двох точок фазового переходу.

Використання макроскопічного наближення дозволило встановити точки переходу та критичні значення керуючого параметру аналітично. Дійсно, поклавши D стаціонарний розподіл подається виразом P(x,x)=( x-x), що, в свою чергу, дозволяє визначити точки переходу та критичні точки з рівняння h=M(x)dV(x)/dx-(²/2)dM(x)/dx. Тоді, в однорідному випадку <_T маємо x=x₀, а тому поле h залежить від початкових умов. При >_T маємо h=0, і тому поклавши x=x₀ одержуємо _T=(б²²-x₀²(1+бx₀²))/(1+бx₀²). При x₀=0 критичною точкою буде _c=б²², що узгоджується з лінійним аналізом на стійкість.

В четвертому розділі “Формування просторових структур в стохастичних системах реакційно-дифузійного типу” проводиться аналіз умов формування просторових структур, індукованих дією внутрішнього шуму. В рамках стандартних положень розглядається динаміка поля концентрації x(r,t) бінарної системи з дифузійним потоком

J(x(r,t))=-D_ef(x(r,t))(x(r,t)),

де D_ef(x) - концентраційно залежний коефіцієнт дифузії; =F/x - хімічний потенціал, F(x) задається функціоналом Гінзбурга-Ландау; у розгляд вводиться складова f(x(r,t)), що описує квазіхімічні реакції. Тоді відповідне детерміністичне рівняння еволюції приймає вигляд _tx=f(x(r,t))-J(x(r,t)).

Його аналогом є рівняння

_tx=-(D_ef)^-1U/x,

де U - функціонал Ляпунова детермінованої динаміки, його перша варіація має вигляд

U[x]=-?drx{f(x)D_ef(x)+D_ef(x)(D_ef(x))}(9)

Розглядаючи систему в реальних умовах, до розгляду введено флуктуації, що задовольняються флуктуаційно-дисипаційну теорему. Тоді узагальнена стохастична модель набирає вигляду:

.(10)

Тут (r,t) є гаусівським шумом, для якого: (r,t)=0, (r,t)(r`,t`)=2²(r-r`)(t-t`); ² - інтенсивність. Статистичні властивості системи (14) визначаються густиною ймовірності реалізації x в момент часу t в точці r.

В рамках числення Стратоновича було одержано рівняння Фоккера-Планка, стаціонарний розв'язок якого має вигляд

P_st[x]=Nexp(U_ef[x]/²), U_ef[x]=U[x]-²/2?drlnD_ef(x),(12)

який одержується в квадратурах і визначається функціоналом Ляпунова та ентропійним внеском S_ef=?drln[D_ef(x)]^-1. Стаціонарні структури x_s(r), що відповідають екстремумам функціоналу U_ef[x], знаходяться з розв'язку варіаційної задачі:

(13)

Однорідні стани визначаються розв'язком рівняння

(14)

Коефіцієнт дифузії приймається у вигляді D_ef=1/(1+бx²); реакційна складова визначається відповідно до хімічної кінетики і була вибрана у вигляді f(x)=-x³-x²+x (модель Шльогля тримолекулярної реакції), що може бути викликана дією зовнішнього джерела, наприклад, опромінення. Тут коефіцієнти та пов'язані з константами швидкостей реакцій. Функціонал вільної енергії задається моделлю Гінзбурга-Ландау. В рамках поданої моделі проведено аналіз на стійкість однорідних станів. Рівняння еволюції структурного фактора має вигляд

_tS(k,t)=-2(k²(Dk²-)--б²)+2².

З нього видно, що внутрішній мультиплікативний шум в класі таких моделей приводить до нестійкості нульового стану.

Дослідження умов формування просторових структур спирається на аналіз особливостей поведінки однорідної системи. Показано, що у такому випадку функція розподілу набуває вигляду P_stexp(-U_ef(x)/²). Для знаходження найбільш ймовірних станів, розв'язувалось рівняння (14). Встановлено, що функціональна залежність D_ef(x) веде до біфуркації подвоєння - зміни числа екстремумів ефективного потенціалу.

При ²=0 форма ефективного потенціалу U_ef(x) є топологічно ідентичною формі вихідного потенціалу W(x)=-?f(x`)dx`. З ростом інтенсивності шуму ² мінімум U_ef, що знаходився в x_, прямує до нуля, при ²=_s²=/б ефективний потенціал має двократно вироджену точку x₀=x_=0. При _s²<²<₀² точка x₀ відповідає мінімуму, тоді як x_ визначається положенням максимуму функції U_ef. Ці два мінімуми різні за глибиною U_ef(0)>U_ef(x₊). При ²=₀² мінімуми потенціалу U_ef однакові, тобто U_ef(0)=U_ef(x₊). З подальшим ростом ² маємо U_ef(0)<U_ef(x₊). Рівність U_ef(x_)=U_ef(x₊) задовольняється при ²=_c², тоді _c² - точка біфуркації. При ²>_c², ефективний потенціал має лише один мінімум. Тому, при такому індукованому шумом переході спостерігається зсув екстремумів потенціалу, трансформація глобального мінімуму в локальний, втрата його стійкості і, зміна числа екстремумів функції.

Розглядаючи умови формування структур, індукованих дією шуму, приймалося, що x=x(r), і розв'язувалася варіаційна задача U_ef[x]/x=0 у вигляді рівняння (13).

Встановлено, що структури утворюються в околі мінімумів U_ef. Аналіз на стійкість просторових структур виконувався у припущенні x(r)=x(0)+exp(r), де вектор показників Ляпунова =+ik поділяється на вектори дійсних та уявних частин і , відповідно. Для визначення дійсних та уявних частин показників Ляпунова розв'язувалося рівняння

,(15)

де похідні обчислюються в околі однорідних стаціонарних станів . Із розв'язків рівняння стійкості (15) було встановлено, що структури стають стійкими лише в обмеженому інтервалі інтенсивностей шуму та змінюють свій вигляд. Так при нуклеативні структури утворюються в околі однорідного стану . В інтервалі реалізують протяжні структури, аналогічні модульованим структурам при спінодальному розпаді в околі стану .

Нарешті в області стаціонарні структури реалізуються в околі стану . Вони є лінійними і насичені дефектами (дислокаціями). Встановлено, що лінійні структури існують до значень інтенсивностей шуму , тобто внутрішні флуктуації здатні підтримувати структуроутворення навіть коли вихідна система не здатна їх генерувати в заданому інтервалі параметрів. Таким чином процеси структуроутворення в таких системах суттєво пов'язані з механізмом ентропійно-керованих фазових переходів. При чисельному моделюванні рівняння Ланжевена (10) за піками структурного фактору встановлено періоди структур, які співпали з розрахунковими на заданих інтервалах інтенсивності флуктуацій.

Висновки

1. Внутрішній мультиплікативний шум в системах з динамікою, що не зберігається приводить до фазових переходів типу порушення симетрії, що є узагальненням нерівноважних переходів в однорідних. Протікання таких фазових переходів не пов'язано з втратою стійкості невпорядкованої фази на ранніх стадіях еволюції, а визначається ентропійним внеском, заданим залежністю кінетичного коефіцієнта від польової змінної, що приводить до зміни кількості екстремумів стаціонарного розподілу випадкового поля.

2. Дія внутрішнього мультиплікативного шуму в системах з симетричним локальним потенціалом приводить до реверсивного проходження процесу впорядкування при зміні інтенсивності шуму. Реверсивний характер фазових переходів проявляється при умові унімодальності локального потенціалу. Для систем, які характеризуються несиметричним локальним потенціалом, внутрішній мультиплікативний шум приводить до гістерезисного характеру фазових переходів.

3. Для систем з динамікою, що зберігається та залежним від поля концентрації кінетичним коефіцієнтом встановлено, що дія внутрішнього мультиплікативного шуму уповільнює кінетику процесу розшарування як на ранніх, так і на пізніх стадіях. Встановлено, що такий шум приводить до відхилення від закону росту розміру зерен в дифузійній області з динамічним показником , який спадає з ростом параметра дисипацій .

4. В стаціонарному випадку в рамках теорії середнього поля та чисельного моделювання показано, що при зміні інтенсивності внутрішнього шуму реалізується реверсивне протікання фазового розшарування з ентропійно-керуючим механізмом.

5. Процес формування просторових структур в системах реакційно-дифузійного типу з внутрішнім шумом відповідає ентропійно-керованому механізму нерівноважних фазових переходів. Встановлено, що при зміні рівня флуктуацій утворюються нуклеативні, модульовані структури спінодального розпаду та полосові структури з лінійними дефектами. Структуроутворення реалізується в обмеженому інтервалі інтенсивності шуму.

список опублікованих праць за темою дисертації

1. Харчено Д.О. Фазові переходи в системах із внутрішнім мультиплікативним шумом / Д.О.Харчено, А.В.Дворниченко // Журн.фіз.досл.-2008.-Т.12.-№1.-С.1002-1(9).

2. Kharchenko D.O. Phase transitions induced by thermal fluctuations / D.O.Kharchenko, A.V.Dvornichenko // Eur.Phys.J.B. - 2008. - V.61. - P.95-103.

3. Харченко Д.О. Середньопольовий підхід до нерівноважних фазових переходів у системах із внутрішнім та зовнішнім мультиплікативними шумами / Д.О.Харчено, А.В.Дворниченко, І.О.Лисенко // Укр.Фіз.Журн. - 2008. - Т.53, N.9.-С.917-930.

4. Kharchenko D.O. Phase separation in binary systems with internal multiplicative noise / D.O.Kharchenko, A.V.Dvornichenko // Physica A. - 2008. - V.387. - P.5342-5354.

5. Харченко Д.О. Формирование стационарных структур в стохастических системах реакционно-диффузионного типа / Д.О.Харченко, С.В.Кохан, А.В.Дворниченко // Металлофизика и новейшие технологии. - 2009. - T.31, N.1. - P.23-45.

6. Дворниченко А.В. Вплив внутрішнього шуму на самоорганізацію стохастичної системи із динамікою, що не зберігається / А.В.Дворниченко, І.О.Лисенко // Збірник тез доповідей міжнародної конференції студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики ''Еврика-2008''. // Львів. - 2008. - С.А13.

7. Дворниченко А.В. Вплив внутрішнього шуму на характер фазового розшарування // Збірник тез доповідей міжнародної конференції студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики ''Еврика--2008''. // Львів. - 2008. - С.А5.

8. Д.О.Харченко. Формирование стационарных структур в стохастических системах реакционно--диффузионного типа / Д.О.Харченко, С.В.Кохан, А.В.Дворниченко // Сборник тезисов международной конференции ''Современные проблемы физики металлов''. // Киев. - 2008. - С.188.

9. O.Kharchenko. Modeling of ordering and compositional patterning in binary alloys driven by irradiation and fluctuations / D.O.Kharchenko, A.V.Dvornichenko, S.V.Kokhan // Труды ''XVIII международной конференции по физике радиационных явлений и радиационному материаловедению''. // Алушта. - 2008. - С.15.

10. Д.О.Харченко. Процессы фазового расслоения в бинарных стохастических системах с внутренним шумом / Д.О.Харченко, А.В.Дворниченко, И.О.Лысенко // Сборник тезисов международной конференции ''Современные проблемы физики металлов''. // Киев. - 2008. - С.189.

11. D.O.Kharchenko. Stationary noise sustained structures in systems with chemical reactions / D.O.Kharchenko, A.V.Dvornichenko // International conference in statistical physics. // Crete-Greece. - 2008. - P.57.

12. Дворниченко А.В. Процеси впорядкування в бінарних системах з внутрішнім мультиплікатиним шумом / А.В.Дворниченко // ІХ всеукраїнська школа-семінар і конкурс молодих вчених зі статистичної фізики та теорії конденсованих речовин. // Львів. - 2009. - С.22.

13. Дворниченко А.В. Моделювання процесів розпаду бінарних систем з внутрішнім мультиплікативним шумом / А.В.Дворниченко, Д.О. Харченко // ІХ всеукраїнська школа-семінар і конкурс молодих вчених зі статистичної фізики та теорії конденсованих речовин. // Львів. - 2009. - С.33.

14. D.O.Kharchenko Entropy-driven mechanism for ordering, phase separation and patterning in binary stochastic systems / D.O.Kharchenko, A.V.Dvornichenko // III International conference “Statistical physics: Modern Trends and Applications”. // Lviv. - 2009. - P.8.

Анотація

Дворніченко А.В. Процеси впорядкування стохастичних систем з внутрішнім шумом. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Інститут прикладної фізики НАН України, м.Суми, 2009.

Дисертацію присвячено встановленню ролі внутрішнього джерела флуктуацій у процесах упорядкування, фазового розшарування та структуроутворення в розподілених стохастичних системах бінарного типу.

Встановлено, що в розподілених системах із залежним від поля кінетичним коефіцієнтом нерівноважні фазові переходи не пов'язуються із втратою стійкості однорідного стану.

Вони обумовлені зміною модальності стаціонарного розподілу випадкового поля викликаною дією внутрішнього шуму.

В системах із симетричним потенціалом вільної енергії аналітично та чисельно доведено, що внутрішній шум приводить до реверсивних фазових переходів при зміні його інтенсивності.

Для систем із несиметричним потенціалом індуковані шумом фазові переходи мають гістерезисний характер.

При дослідженні процесів фазового розшарування встановлено, що на ранніх стадіях розпаду такий шум стабілізує однорідний стан, дія шуму приводить до зменшення області нестійких мод.

На пізніх стадіях його дія призводить до уповільнення росту розмірів зерен.

У стаціонарному випадку розвинено теорію середнього поля для аналізу процесів фазового розшарування.

У стохастичних системах реакційно-дифузійного типу проведено аналіз умов формування стаціонарних структур, індукованих внутрішнім джерелом флуктуацій.

Показано, що такі структури утворюються в околі однорідних стійких станів та існуються в обмеженій області інтенсивності шуму. Встановлено, що при зростанні інтенсивності шуму нуклеативні структури змінюються лінійними з дефектами.

Ключові слова: фазовий перехід, шум, параметр порядку, фазове розшарування, структурний фактор, просторова структура.

АННОТАЦИЯ

Дворниченко А.В. Процессы упорядочения стохастических систем с внутренним шумом. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Институт прикладной физики НАН Украины, г.Сумы, 2009.

Диссертация посвящена установлению роли внутреннего источника флуктуаций в процессах упорядочения, фазового расслоения и структурообразования в распределенных стохастических системах бинарного типа.

Установлено, что в распределенных стохастических системах с зависимым от поля кинетическим коэффициентом и внутренним шумом, удовлетворяющим флуктуационно-диссипационной теореме, неравновесные фазовые переходы не связываются с потерей устойчивости однородного неупорядоченного состояния. Они обусловлены изменением модальности стационарного распределения случайного поля, вызванной действием внутреннего шума.

Показано, что его включение приводит к описанию стационарного поведения в рамках неравновесного функционала, учитывающего исходный функционал свободной энергии и добавку, играющую роль эффективной энтропии, обусловленную зависимым от поля кинетическим коэффициентом. Соответствующие фазовые переходы в таких системах являются обобщением неравновесных переходов в однородных системах, связанных с изменением числа экстремумов распределения на случай распределенных систем, где фазовые переходы связаны с изменением симметрии распределения. Аналитически численно установлено, что в системах с симметричным унимодальным потенциалом свободной энергии внутренний шум приводит к реверсивным фазовым переходам при изменении его интенсивности. Для систем с несимметричным потенциалом индуцированные шумом фазовые переходы носят гистерезисный характер. При исследовании процессов фазового расслоения в бинарных системах установлено, что на ранних стадиях распада такой шум стабилизирует однородное состояние. При быстром спадании уровня шума при переходе в чистые состояния межфазные границы становятся более диффузными, действие шума приводит к уменьшению области существования неустойчивых мод. На поздних стадиях распада выяснено, что с повышением скорости спадания флуктуаций в чистых состояниях наблюдается отклонение от закона Лифшица-Слезова, происходит замедление роста размеров зерен, динамический показатель меняется от 1/3 до 1/4. В стационарном случае развита теория среднего поля, поясняющая реверсивное протекание процессов упорядочения в таких системах. В стохастических системах реакционно-диффузинного типа с нефиковской диффузией проведен анализ условий формирования стационарных пространственных структур, индуцированных действием внутреннего шума. Показано, что такие структуры формируются вблизи однородных состояний, определяемых неравновесным потенциалом, задающим стационарное распределение. Установлено, что устойчивые структуры реализуются в ограниченной области интенсивности шума. Показано, что с ростом уровня флуктуаций нуклеативные структуры сменяются полосовыми с линейными дефектами.

Ключовые слова: фазовый переход, шум, параметр порядка, фазовое расслоение, структурный фактор, пространственная структура.

ABSTRACT

Dvornichenko A.V. Ordering processes in stochastic systems with internal fluctuations. - Manuscript.

Thesis for a candidate degree in physics and mathematics, speciality 01.04.02 - theoretical physics. - Institute of Applied Physics of NAS of Ukraine, Sumy, 2009.

The dissertation is devoted to set a role internal fluctuation source in ordering processes, at phase separation and pattern formation in binary stochastic systems.

It was found that in spatially extended stochastic systems with a field dependent kinetic coefficient nonequilibrium phase transitions are not related to a short-time instability of the disordered state.

It is stipulated by the modality change of the stationary distribution caused by internal noise action.

I was explained by analytical and numerical analysis that in systems with symmetric potential of the free energy the internal noise leads to re-entrant phase transitions with an increase in its intensity.

In systems with asymmetric free energy potential phase transitions of a hysteresis kind can be realized.

Studying phase separation processes it was found that at early stages of the separation this kind of noise stabilizes a homogeneous state.

An action of the noise decreases the domain of unstable modes.

It was shown numerically that the noise promotes slow dynamics of the domain size growth at late stages of the decomposition.

Considering stationary states, the mean field approximation is developed to study the phase separation.

Conditions for pattern formation induced by the internal noise influence in stochastic systems are investigated.

It was shown that the following spatial patterns are: nucleation, stripes with defects.

It was shown that such the structures are formed in the vicinity of homogeneous states and exist inside a fixed noise intensity interval.

Key words: phase transition, noise, order parameter, phase separation, structure function, spatial pattern.

Размещено на Allbest.ru

...