Мультифрактальний флуктуаційний аналіз самоподібних структур

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇHИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ ФІЗИКИ

УДК 539.2

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНИЙ ФЛУКТУАЦІЙНИЙ АНАЛІЗ САМОПОДІБНИХ СТРУКТУР

01.04.02 -- теоретична фізика

Борисюк Вадим Миколайович

Суми - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Сумському державному університеті

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор

заслужений діяч науки і техніки України

Олємской Олександр Іванович,

Інститут прикладної фізики НАН України,

завідувач лабораторіі мікроструктурних

досліджень реакторних матеріалів.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Яновський Володимир Володимирович,

Інститут монокристалів НАН України

завідувач відділу теорії конденсованої речовини

доктор фізико-математичних наук, професор

Головач Юрій Васильович,

Інститут фізики конденсованих систем

НАН України

провідний науковий співробітник відділу

конденсованих систем.

Захист відбудеться “21” січня 2010 року о год. на засіданні спеціалізованої вченої ради

K 55.250.01 при Інституті прикладної фізики НАН України за адресою: 40030, м. Суми, вул. Петропавлівська, 58.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту прикладної фізики НАН України за адресою: м. Суми, вул. Римського-Корсакова, 3.

Автореферат розіслано “15” грудня 2009 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради О.І. Ворошило

АНОТАЦІЯ

флуктуаційний мультифрактальний формалізм

Борисюк В.М. Мультифрактальний флуктуаційний аналіз самоподібних структур . - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика, Інститут прикладної фізики, Суми, 2009.

У дисертаційній роботі досліджені статистичні властивості складних систем із фрактальним фазовим простором, а також природних самоподібних структур, представлених часовими рядами.

Показано, що поведінка складних систем з мультифрактальним фазовим простором може бути описана у рамках формалізму неадитивної статистики Цаліса і теорії мультифракталів. Чисельне моделювання фазового простору підтверджує аналітичну картину поведінки фрактальних характеристик складної системи.

Дослідження самоподібних часових рядів проведено методом мультифрактального флуктуаційного аналізу. Мультифрактальний аналіз часових рядів напружень, що виникають при плавленні ультратонкого шару мастила, дозволив виділити самоподібні режими плавлення, а також встановити наявність далекодіючих кореляцій і природу фрактальних властивостей. Встановлено, що інфляційна криза впливає на статистичні властивості відповідного ряду обмінних курсів валют і призводить до появи в ньому кореляцій, які також наявні в рядах біомедичних вимірів.

Проведено мультифрактальний аналіз рентгенівських дифрактограм конденсованого середовища при різних температурах відпалення та самоподібних поверхонь надпоруватих конденсатів.

Ключові слова: складні системи, самоподібність, фазовий простір, мультифрактальний спектр, часові ряди, рентгенівські дифрактограми, надпоруваті конденсати.

АННОТАЦИЯ

Борисюк В.Н. Мультифрактальный флуктуационный анализ самоподобных структур. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика, Институт прикладной физики, Сумы, 2009.

В диссертационной работе исследованы статистические свойства сложных систем, обладающих фрактальным фазовым пространством, а также естественных самоподобных структур, представленных временными рядами. Показано, что поведение сложных систем с мультифрактальным фазовым постранством может быть описано в рамках формализма неаддитивной статистики Цаллиса и теории мультифракталов. В результате оптимизации мультифрактального спектра найдена связь статистического веса со сложностью системы. Численным моделированием фазового пространства сложных систем с использованием метода множителей, позволяющего учесть отрицательные значения спектральной функции, подтверждена предложенная аналитическая картина поведения мультифрактальных характеристик. На основе метода множителей предложен алгоритм прямого расчета функции мультифрактального спектра, позволяющий получить её отрицательные значения.

Методом мультифрактального флуктуационного анализа проведено исследование естественных временных рядов и статистических последовательностей, допускающих аналитическое рассмотрение. Исследовались временные ряды изменений напряжений, возникающих при плавлении ультратонкого слоя смазки. Их анализ позволил выделить самоподобные режимы плавления, а также установить наличие дальних корреляций между значениями напряжений. Проведено исследование процесса аномальной диффузии. Показано, что переход полётов Леви в нормальную диффузию сопровождается существенным уменьшением ширины мультифрактального спектра. В качестве естественных временных рядов исследованы зависимости обменных курсов валют и последовательности биомедицинских измерений. Установлено влияние внешних факторов типа инфляционного кризиса на статистические свойства ряда, приводящее к появлению в нём временных корреляций.

Исследованы кривые рентгеновской дифракции конденсированных сред при различных температурах отжига. Установлено влияние структурных превращений, происходящих в среде при отжиге (в частности, выделение новой фазы), на статистические свойства зависимости интенсивности пучка от угла отражения. Проведен анализ диффузного фона дифрактограмм, установлена его самоподобная структура и наличие корреляций. Обобщение на многомерные структуры позволило исследовать поверхности высокопористых конденсатов углерода, алюминия и титана, полученных методом магнетронного распыления. Исследования проводились с использованием численной модели, в которой микроскопические изображения конденсатов представлялись в виде поверхности, координаты точек которой соответствуют положению и яркости пикселей на фотографиях. В результате анализа выяснены особенности строения самоподобной структуры поверхности образцов на различных масштабах увеличения.

Ключевые слова: сложные системы, самоподобие, фазовое пространство, мультифрактальный спектр, временные ряды, рентгеновские дифрактограммы, высокопористые конденсаты.

ABSTRACT

Borusyuk V.M. Multifractal fluctuation analysis of the self-similar structures. - Manuscript.

Thesis for a candidate sciences degree in physical and mathematical sciences by speciality 01.04.02 - theoretical physics, Institute of Applied Physics, Sumy, 2009.

The aim of the dissertation is to investigate both statistical properties of the complex systems with fractal phase space and self-similar natural structures presented by time series.

It is shown that behavior of the complex systems with a self-similar phase space can be described within the framework of the Tsallis nonextensive thermostatistics on the basis of the multifractal theory. Analytical description of the fractal characteristics are verified by numerical modeling of the phase space.

Time series are investigated on the basis of the multifractal detrended fluctuation analysis. Investigation of the ultrathin lubricant melting stress time series shows the self-similar regimes of the melting and the presence of the long-range time correlations. It is shown that financial crisis affects on the statistical properties of the corresponding currency exchange rating series and causes appearance of time correlations which are appeared in the biomedical measurements series as well.

Within the framework of multifractal analysis, the X-ray patterns of both solids and self-similar surfaces of the high-porous condensates are investigated. Precipitation of new phase is shown to change statistical properties of X-ray diffraction curves.

Key words: complex systems, self-similarity, phase space, multifractal spectrum, time series, X-ray patterns, high-porous condensates.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом збільшується кількість досліджень у фізиці та інших галузях науки, об'єктами яких є структури, що мають фрактальну будову. Притаманна їм властивість самоподібності є основою дослідження складних статистичних систем з мультифрактальним фазовим простором, а також природних об'єктів, серед яких виділяють деякі різновиди матеріалів, часові ряди змін статистичних даних та інші фрактальні об'єкти. У зв'язку з цим розроблення аналітичних і чисельних методів аналізу самоподібних структур є одним з важливих напрямів у фізиці складних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі фізичної електроніки Сумського державного університету і пов'язана з виконанням держбюджетної теми “Статистична теорія складних систем економічного типу” (номер державної реєстрації 0106U001940, термін виконання 2006-2008 рр.).

Мета і завдання досліджень. Метою дисертаційної роботи є дослідження статистичних властивостей складних систем з фрактальним фазовим простором, а також природних самоподібних структур, представлених часовими рядами та іншими статистичними послідовностями подібного типу. Реалізація першої частини названої програми зводиться до аналітичної побудови моделі фазового простору складних систем, яка потім підтверджується у рамках чисельного експерименту. Дослідження реальних самоподібних структур полягає у розробленні чисельної процедури аналізу мультифрактальних об'єктів і фізичної інтерпретації отриманих результатів.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі наукові задачі:

- описати статистичні властивості складних систем, використовуючи формалізм неадитивної термостатистики;

- розробити чисельну процедуру моделювання мультифрактального фазового простору складних систем;

- розробити чисельний алгоритм мультифрактального флуктуаційного аналізу самоподібних часових рядів;

- у рамках розробленого методу дослідити часові ряди для фізичних, економічних і медичних об'єктів;

- провести узагальнення чисельного алгоритму мультифрактального аналізу часових рядів на багатовимірні структури;

- дослідити фрактальні поверхні конденсатів, отриманих магнетронним розпиленням.

Об'єктом дослідження є статистичні властивості самоподібних складних систем.

Предметом досліджень є самоподібні структури, зокрема, мультифрактальний фазовий простір складних систем, часові ряди та поверхні надпоруватих конденсатів.

Методи дослідження. Під час опису термодинамічних властивостей самоподібного фазового простору використовувався апарат неадитивної статистики, доповнений теорією мультифрактальних множин. Чисельне моделювання фазового простору проводилося на основі алгоритмів математичного моделювання у рамках методів покриттів і множників. Для дослідження часових рядів був використаний алгоритм методу мультифрактального флуктуаційного аналізу, а для дослідження самоподібних поверхонь використовувався алгоритм аналізу, узагальнений на випадок багатовимірних фрактальних об'єктів.

Наукова новизна отриманих результатів

1. Для складних систем з мультифрактальним фазовим простором показано, що статистична вага монотонно зростає як зі збільшенням складності системи, так і показника мультифрактала.

2. Аналітично встановлений мультифрактальний спектр фазового простору підтверджується чисельним моделюванням, що ґрунтується на використанні методу множників.

3. Показано, що мультифрактальний аналіз часових рядів змін напружень, які виникають при плавленні ультратонкого шару мастила, дозволяє виділити самоподібні режими плавлення, а також встановити причину появи мультифрактальних властивостей.

4. Для систем економічного типу, поведінку яких відображають часові ряди обмінних курсів валют, встановлено характер впливу інфляційної кризи на статистичні властивості ряду та появу дальнодіючих кореляцій.

5. Показано, що ускладнення мікроструктури конденсованих середовищ, зокрема виділення нової фази, призводить до істотних змін статистичних властивостей дифузного фону рентгенівських дифрактограм. У рамках методу мультифрактального аналізу встановлена наявність кореляцій у фоновій компоненті дифрактограм. Результати проведеного аналізу дозволяють зробити висновок про фрактальну будову кривих рентгенівської мікродифракції досліджених матеріалів.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблений метод опису складних систем, що мають самоподібний фазовий простір, дозволяє визначати повний набір термодинамічних характеристик сучасних конструкційних матеріалів та об'єктів наноелектроніки (феромагнетиків, спінового скла, двовимірної електронної плазми у турбулентнісному режимі, систем з аномальною дифузією Леві, гранульованих систем, твердих тіл, що піддані іонному бомбардуванню), а також гравітаційних систем, сонячних нейтрино, чорних дірок, елементарних частинок, що зіштовхуються з високою енергією, квантових систем, які проявляють ефекти заплутування, та багато інших.

З іншого боку, мультифрактальний аналіз часових рядів дозволяє прогнозувати поведінку фінансових ринків, а також є основою медичної діагностики у поведінці біологічних об'єктів. У дослідженнях структури конденсованого середовища, де найбільш поширеним методом є дифракція проникаючого випромінювання, розроблена методика мультифрактального аналізу дифузного фону відкриває широкі можливості у дослідженні тонких деталей структури сучасних матеріалів. І, нарешті, важливе прикладне значення мають запропоновані методи дослідження структури поверхонь напилених конденсатів, що мають складну фрактальну структуру.

Особистий внесок здобувача. У роботі [1] участь автора дисертації полягала у вивченні літературних джерел, аналітичному і чисельному знаходженні залежності статистичної ваги від складності системи, а також в обговоренні отриманих результатів і роботі над публікацією. У роботах [2,3,7] автором був реалізований і протестований чисельний алгоритм аналізу часових рядів, відібрані дані для досліджень та пояснені отримані результати. У роботах [4,8] дисертантом розроблена чисельна схема моделювання фазового простору складних систем, знайдені і побудовані необхідні залежності, проведено порівняння аналітичних і чисельних результатів. У роботах [5,6] дисертантом був проведений чисельний аналіз часових рядів змін напружень, розраховані необхідні залежності та пояснені отримані результати.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися і обговорювалися на таких семінарах і конференціях:

-- Міжнародній науковій конференції “Фізика невпорядкованих систем”, присвяченій 75-річчю від дня народження професора Ярослава Дутчака (Львiв, 2008 р.);

-- Всеукраїнській конференції молодих вчених “Сучасне матеріалознавство: матеріали та технології” (Київ, 2008 р.);

-- Міжнародній конференції студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики “ЕВРИКА-2009” (Львiв, 2009 р.);

-- Міжнародній конференції молодих вчених та аспірантів ІЕФ-2009 (Ужгород, 2009 р.);

-- cемінарах Інституту прикладної фізики НАН України.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи викладено у 4 статтях, опублікованих у спеціалізованих наукових журналах, що відповідають вимогам ВАК України, і 4 збірниках тез конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, загальних висновків і списку використаних джерел (97 найменувань на 11 сторінках). Обсяг дисертації становить 121 сторінку (46 рисунків по тексту).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовується актуальність теми. Сформульовано мету й завдання досліджень, визначено новизну, практичне значення результатів, особистий внесок здобувача та структуру роботи. Наведено зв'язок із науковими програмами досліджень наукової установи, в якій виконувалася робота.

Перший розділ роботи “Основи статистичної теорії складних систем” складається з трьох підрозділів.

У першому підрозділі на основі аналізу літератури розглянуто основні принципи статистичної теорії. Наведено методику отримання статистичного розподілу станів, а також розподілу ймовірностей для складних систем.

У другому підрозділі розглянуто різні шляхи узагальнення класичної статистичної теорії на прикладі статистик Цаліса та Каніадакіса, а також базово-деформованої статистики.

У третьому підрозділі наведено основні положення теорії фракталів. На прикладах самоподібних множин, що допускають аналітичний опис, розглянуто методику отримання фрактальних вимірностей.

Другий розділ дисертації “Фрактальна структура фазового простору складних систем” складається з двох підрозділів.

У першому підрозділі проводиться аналітичне дослідження складних систем із самоподібним фазовим простором. Показано, що оптимізація мультифрактального спектра фазового простору у тому випадку, коли статистична вага визначається степеневою залежністю

(1)

де - об'єм фазового простору, а - мультифрактальний масовий показник, дозволяє віднайти зв'язок повної статистичної ваги зі складністю системи. У випадку найпростішої залежності

(2)

зі зростанням складності та показника мультифрактала статистична вага зростає відповідно до залежностей, показаних на рис. 1.

У випадку гладкого фазового простору цей зв'язок може бути виражений через експоненціальну залежність

(3)

з питомою складністю . При малому перебільшенні мінімальної складності та при слабкій мультифрактальності () маємо:

(4)

У протилежному випадку вказаний зв'язок набирає вигляду

(5)

Для аналітичного моделювання мультифрактального спектра фазового простору та масового показника , які пов'язані між собою перетворенням Лежандра, використовується функція гіперболічного тангенса, деформованого використанням експонент Цаліса та Каніадакіса.

У другому підрозділі проведено чисельне моделювання фазового простору складних систем. На прикладі бінарного мультифрактала Кантора протестовано метод множників, який дозволяє отримати від'ємні значення спектральної функції за рахунок використання процедури усереднення за зразками. Відповідна процедура розрахунку середнього значення масового показника мультифрактала передбачає використання усередненої по розподілу множників статистичної суми :

(6)

та показника Гьольдера

(7)

У результаті спектральна функція визначається рівністю

(8)

За допомогою каскадного мультиплікативного процесу з випадковим вибором імовірностей перерозподілу міри на кожному рівні генерації побудовано фрактальну множину з потрібними властивостями, яку можна ототожнювати із самоподібним фазовим простором. На рис. 2 наведено спектральну функцію змодельованої структури у порівнянні із аналітичними межами зміни.

Показано, що за допомогою метода множників, використовуючи середні величини

(9)

перша з яких подає заморожене значення, що визначається статистичним усередненням з імовірністю

(10)

друга - відпалене середнє, одержане перебором значень множників, кожному із яких відповідає незмінна ймовірність , можна прямим чином визначити спектральну функцію через рівняння

(11)

У рамках такого підходу показник Гьольдера зводиться до замороженого середнього, тоді як спектральна функція складної системи визначається різницею замороженого середнього значення логарифма деформованого множника і логарифма відпаленого середнього .

Третій розділ дисертації “Мультифрактальний аналіз самоподібних часових рядів” складається з п'яти підрозділів. Реалізовано чисельну схему мультифрактального аналізу та проведено дослідження часових рядів аналітичних залежностей і реальних статистичних вимірів.

У першому підрозділі наводяться опис алгоритму методу мультифрактального флуктуаційного аналізу та результати його тестування. Вказаний метод полягає у використанні дисперсії ряду

(12)

залежно від масштабу розгляду та рівнянь Лежандра

(13)

що дозволяють знайти повний набір мультифрактальних характеристик, які описують поведінку ряду. Тестуванням методу на біноміальних рядах та рядах зі степеневою функцією розподілу, що допускають аналітичний опис, показано досить високу точність результатів, а отже, і правомірність його використання.

У другому підрозділі розглядається реологічна модель, що описує плавлення ультратонкого шару мастила, затиснутого між двома атомарно-гладкими твердими поверхнями. Записано рівняння Ланжевена у вигляді

(14)

де - зсувна компонента напружень, під дією яких мастило плавиться. У рівнянні введено узагальнену силу та ефективну інтенсивність шуму , а також дельта-корельоване стохастичне джерело , що являє собою білий шум. У стаціонарному випадку, коли розподіл напружень не залежить від часу, побудовано фазову діаграму з областями рідкісного (), сухого (), переривчастого (), рідкісного метастійкого та стійкого () тертя.

Показано, що у випадку, коли коливання температури набагато більші від інтенсивності шумів напружень і деформації, при малих значеннях напружень спостерігається самоподібний режим плавлення мастила, який визначається однорідною функцією розподілу.

Проведено мультифрактальний аналіз для всіх режимів тертя і показано, що мультифрактальні властивості часових рядів змін напружень визначаються степеневим видом функцій розподілу напружень та наявністю у системі кореляцій.

У третьому підрозділі розглянуто часовий ряд, що відповідає процесу аномальної дифузії і представлений часовою залежністю координати частинки, що дифундує відповідно до дискретного стохастичного рівняння

(15)

Показано, що перехід польотів Леві у нормальну дифузію супроводжується істотним звуженням мультифрактального спектра, що зумовлений зникненням розріджених областей фазового простору, якими характеризуються польоти Леві.

У четвертому підрозділі досліджено поведінку економічної системи, відображену у часовому ряді курсу валютних коливань. Проведено мультифрактальний аналіз залежності динаміки зміни курсу долара США до російського рубля за період із серпня 1995 р. до травня 2008 р., що охоплює інфляційну кризу осені 1998 року.

У результаті досліджень показано, що після кризи відповідна ділянка часового ряду характеризується спектральною функцією з більш ширшим інтервалом зміни , ніж до кризи, а також наявністю далекодіючих кореляцій за їх майже повної відсутності у докризовий період.

У п'ятому підрозділі показано, що метод мультифрактального аналізу може бути застосовано для біомедичних систем. При дослідженні типової електрокардіограми встановлено її фрактальну природу та наявність часових кореляцій у серцевих ритмах.

Четвертий розділ дисертації “Мультифрактальний аналіз даних рентгенівської дифракції та електронної мікроскопії” складається з двох підрозділів.

У першому підрозділі досліджено криві рентгенівської дифракції конденсованого середовища для зразка матеріалу хітозану і апатиту кальцію Ca(PO)(OH) при різних температурах відпалення. Як часовий ряд представлені залежності інтенсивності відбитого випромінювання від подвійного кута дифракції (рис. 5).

Показано, що досліджувані рентгенограми проявляють мультифрактальну поведінку, найбільше виражену при температурі відпалення 700C, коли діапазон зміни показника Херста дорівнює , а інтервал розкиду фрактальних вимірностей відповідно . Зі збільшенням температури інтервали зміни показника Херста і фрактальної вимірності спочатку зростають, а при 700C спадають (рис. 6), що, вочевидь, обумовлено виділенням нової фази - трикальційфосфату Ca(PO) - і супроводжується зміною самоподібної структури дифузного фону на відповідних дифрактограмах.

У другому підрозділі в рамках узагальненого на багатовимірні структури методу мультифрактально флуктуаційного аналізу проведено дослідження поверхні надпоруватих конденсатів вуглецю, алюмінію і титану, отриманих при використанні накопичувальної іонно-плазмової системи, що здатна забезпечити умови стаціонарної квазірівноважної конденсації. Відповідно до існуючої методики кожному зображенню поверхні конденсату ставилася у відповідність чисельна модель у вигляді двовимірного масиву даних, що відповідають яскравості пікселів у зображенні, а їх номери визначають координати точок масиву (рис.7).

Аналіз отриманих у такий спосіб структур показав, що їх мультифрактальні характеристики не залежать від масштабу розгляду поверхні зразка, що підтверджує припущення про самоподібну структуру поверхонь досліджуваних конденсатів.

ВИСНОВКИ

У роботі досліджені складні системи, що мають самоподібний фазовий простір, часові ряди статистичних даних та фрактальні поверхні напилених конденсатів.

Головні результати дисертації можуть бути представлені такими висновками.

1. Складні системи з мультифрактальним фазовим простором описуються у рамках формалізму неадитивної статистики Цаліса, що ґрунтується на теорії мультифракталів. Оптимізація мультифрактального спектра показує, що статистична вага монотонно зростає як зі збільшенням складності системи, так і показника мультифрактала.

2. Чисельне моделювання фазового простору досягається на основі методу множників, використання якого не вимагає самоусереднення складних систем і допускає наявність від'ємних значень функції мультифрактального спектра.

3. Часові ряди змін напружень, що відповідають самоподібному режиму плавлення ультратонкої плівки мастила, мають мультифрактальну структуру і характеризуються наявністю далекодіючих кореляцій між членами ряду. Ослаблення степеневого характеру розподілу цих кореляцій призводить до звуження мультифрактального спектру.

4. Статистичні властивості часових рядів, що відповідають системам економічного типу, сильно залежать від зовнішніх умов, зміна яких здатна привести до перебудови динаміки зміни ряду. Зокрема, інфляційна криза істотно впливає на ширину мультифрактальних спектрів рядів обмінних курсів валют і призводить до появи далекодіючих кореляцій.

5. Ускладнення мікроструктури конденсованого середовища, зокрема виділення нової фази, призводить до істотної зміни статистичних властивостей дифузного фону рентгенівських дифрактограм. Їх фонова компонента характеризується далекодіючими кореляціями, які визначають фрактальну структуру кривих рентгенівської мікродифракції.

СПИСОК ОСНОВНИХ ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА

[1] Olemskoi A.I. Multifractal spectrum of phase space related to generalized thermostatistics / A.I. Olemskoi, V.O. Kharchenko, V.N. Borisyuk // Physica A. - 2008. - V. 387. P. 1895-1906.

[2] Олемской А.И. Мультифрактальный анализ временных рядов / А.И. Олемской, В.Н. Борисюк, И.А. Шуда // Вісник Сумського державного університету. Серія Фізика, математика, механіка. - 2008. - Vol. 2 С. 70-81 .

[3] Олемской А.И. Мультифрактальный анализ рентгеновских дифрактограмм сложных конденсированных сред / А.И Олемской, С.Н. Данильченко, В.Н. Борисюк, И.А. Шуда // Металлофизика и новейшие технологии. - 2009. - T.31, №6. - С.777-789.

[4] Олємской О.І. Моделювання фазового простору складних систем / О.І Олємской, В.М. Борисюк, І.О. Шуда // Журнал фізичних досліджень. - 2009. - T.13, №2. - С.2002 (9 с.).

[5] Хоменко О.В. Дослідження часових рядів зсувних напружень при плавленні ультратонкої плівки мастила / О.В. Хоменко, Я.О. Ляшенко, В.М. Борисюк // Фізика невпорядкованих систем: матеріали Міжнар. конф., 14 - 16 жовтня 2008 р. - Львів, 2008. - C. 68.

[6] Хоменко О.В. Мультифрактальний анализ временных рядов напряжений при самоподобном плавлении ультратонкой пленки смазки / О.В. Хоменко, Я.О. Ляшенко, В.М. Борисюк // Сучасне матеріалознавство: матеріали та технології: тези доповіді Всеукр. конф., 12 - 14 листопада 2008 р. - Київ, 2008.

[7] Борисюк В.М. Мультифрактальний аналіз рентгенівських дифрактограм / В.М. Борисюк, О.І. Олємской // ЕВРИКА-2009: тези доповіді Міжнар. конф., 20 - 22 травня 2009 р. - Львів, 2009. - C. B1.

[8] Борисюк В.М. Моделювання фазового простору складних систем / В.М. Борисюк, О.І. Олємской // ІЕФ-2009: тези доповіді Міжнар. конф., 25 - 28 травня 2009 р. - Ужгород, 2009. - С. 67.

Размещено на Allbest.ru

...