Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної фізики

УДК 539.2

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Особливості формування впорядкованих структур у складних динамічних та статистичних системах

01.04.02 - теоретична фізика

Харченко Василь Олегович

Суми - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті магнетизму НАН та МОН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Білоколос Євген Дмитрович, Інститут магнетизму НАН та МОН України завідувач відділом теоретичної фізики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Яновський Володимир Володимирович, Інститут монокристалів НАН України завідувач відділом теорії конденсованої речовини;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Лисенко Олександр Володимирович, Сумський державний університет доцент кафедри загальної та теоретичної фізики

Захист відбудеться “ 9 ” липня 2009 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 55.250.01 при Інституті прикладної фізики НАН України за адресою: м. Суми, вул. Петропавловська 58, конференц-зал.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної фізики НАН України.

Автореферат розісланий “ 6 ” червня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат фізико-математичних наук Інституту магнетизму НАН та МОН України Мордик С.М.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. На даний момент нерівноважна статистична механіка є галуззю теоретичної фізики, що активно розвивається. Вона дозволяє пояснити широкий клас нерівноважних явищ у конденсованих середовищах, а також описати процеси самоорганізації в фізико-хімічних системах. Однак, не дивлячись на досягнення даної теорії, відкритими є питання про вплив зовнішніх нелінійних середовищ на процеси і характер формування когерентної (часової і просторової) поведінки елементів фізичних систем, особливості реалізації хаотичного режиму та керування хаосом, встановлення ролі флуктуаційних сил, що переводять складні динамічні системи в стани, які не реалізуються при детерміністичних умовах та, зокрема, з'ясування особливостей реалізації складних статистичних систем з мультифрактальним фазовим простором. Вирішенням даних завдань є актуальним напрямом сучасної теоретичної фізики. Це дозволяє не тільки вивчити процеси, що протікають в таких системах, але й вказати на принциповий характер режимів поведінки нелінійних оптично-бістабільних систем, моделей стохастичних розподілених систем, що зазнають фазових переходів за участю квазіхімічних реакцій (наприклад, при опромінюванні матеріалів) і встановити характеристики ієрархічно організованих ансамблів, типу спінового скла.

У даній дисертаційній роботі розвивається теоретична схема, що дозволяє всесторонньо представити особливості процесів структуроутворення у нелінійних динамічних системах, побудованих на простих фізичних уявленнях про нелінійні зворотні зв'язки, нелінійні процеси релаксації повільних мод і флуктуаційний характер діючих сил. У зв'язку з цим, вирішувані в дисертації задачі з'ясування ролі нелінійних середовищ в багатокомпонентних системах при формуванні дисипативних структур, хаосу, фазових переходів і особливостей статистичної поведінки фрактальних систем є вельми актуальними. Це дозволяє застосувати отримані в роботі результати не тільки до загальнотеоретичного підходу побудови відповідних моделей, але й знайти практичну реалізацію в твердотільних лазерах, розчинах полімерів і спін-скляному стані речовин.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в теоретичному відділі Інституту магнетизму НАН та МОН України і пов'язана з виконанням держбюджетних тем “Розвиток методів теоретичної фізики для вирішення сучасних завдань фізики твердого тіла” (номер державної реєстрації 0106U002039, термін виконання 2006-2009 рр.) та “Динаміка процесів упорядкування в нерівноважних системах” (номер державної реєстрації 0108U007354, термін виконання 2008 р.).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є виявлення умов переходу до когерентної поведінки нелінійних динамічних і стохастичних систем та встановлення фрактальної картини фазового простору складних статистичних систем. Для досягнення поставленої мети в дисертаційній роботі вирішуються наступні завдання:

– на основі узагальненої синергетичної моделі Лоренца-Хакена з'ясувати характер впливу зовнішньої нелінійної сили і нелінійної залежності часу релаксації амплітуди гідродинамічної моди від її величини на процес формування часових дисипативних структур;

– визначити умови реалізації хаотичного режиму в узагальненій синергетичній моделі і встановити статистичні і фрактальні властивості атрактора, що реалізується;

-на основі мультифрактального аналізу складних статистичних систем з'ясувати зв'язок між термодинамічними функціями і мультифрактальними характеристиками відповідного фазового простору;

-для розподілених стохастичних систем із залежним від поля кінетичним коефіцієнтом і внутрішнім мультиплікативним шумом описати процеси впорядкування, що супроводжуються реалізацією просторових структур.

Об'єктом досліджень є процес формування впорядкованих структур у складних однорідних і розподілених динамічних та статистичних системах із мультифрактальним фазовим простором.

Предметом досліджень є нелінійні однорідні динамічні системи, основані на моделі Лоренца-Хакена, розподілені стохастичні системи з внутрішнім мультиплікативним шумом та складні системи з мультифрактальним фазовим простором, які описуються неадитивною статистикою.

Методи досліджень. Розвинений у роботі формалізм ґрунтується на методі аналізу біфуркації Андронова-Хопфа, методах динамічного і статистичного дослідження хаотичного атрактора, теорії мультифракталів, методах стохастичної динаміки, теорії середнього поля Вейса та методах чисельного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів:

-достатньою умовою для формування дисипативних структур у двокомпонентних динамічних системах, основаних на синергетичній моделі Лоренца-Хакена, є нелінійна залежність часу релаксації амплітуди гідродинамічної моди від її величини;

-у трикомпонентній моделі Лоренца-Хакена, модифікованій нелінійною залежністю часу релаксації параметра порядку, перехід до хаотичного режиму відбувається за механізмом біфуркації подвоєння періоду та внаслідок реалізації стохастичного шару; відповідний атрактор є хаотичним та дивним і утворює монофрактали у фазовому просторі з фрактальними розмірностями від D 2.01 до D 2.05;

-у складних статистичних системах з мультифрактальним фазовим простором, які описуються неадитивною статистикою, термодинамічні функції (вільна енергія, ентропія та внутрішня енергія) задаються спектром мультифрактальних розмірностей;

-у стохастичних розподілених системах реакційно-дифузійного типу із залежним від поля коефіцієнтом дифузії та внутрішнім мультиплікативним шумом критичність фазового переходу, що супроводжується формуванням просторових структур, визначається конкуренцією між флуктуаційною складовою та локальною динамікою системи.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати дозволяють з'ясувати умови прояву когерентної поведінки з утворенням часових дисипативних структур, сценарії переходу до хаосу з виникненням хаотичного дивного атрактора та встановити можливості керування хаосом. Застосування теоретичних розрахунків до напівкласичних моделей дворівневих оптично-бістабільних систем дозволяє прогнозувати вплив додаткових нелінійних середовищ, уведених до резонатора, на характер випромінювання. Застосування мультифрактального аналізу до складних статистичних систем із самоподібним фазовим простором дозволяє описати ієрархічну організацію спін-скляних станів і пов'язати відповідні термодинамічні величини з характеристиками мультифрактала. Розвинуті методи стохастичного та статистичного аналізу дозволяють пояснити особливості утворення просторових структур при фазових переходах в бінарних системах реакційно-дифузійного типу (подвійні рідини, полімери, бінарні тверді розчини).

Особистий внесок здобувача. Роботи [1,2,9-13] виконані автором самостійно. Роботи [3-8] виконані спільно із співавторами. У роботах [3,8] дисертант брав участь у аналітичному обчисленні асимптотик мультифрактальних функцій та чисельно розраховував мультифрактальні функції. У роботі [4] автор брав участь в постановці задачі, чисельно розраховував біфуркаційні діаграми, характеристики хаотичного режиму, а також будував фазові портрети. В статті [5] дисертант брав участь у постановці задачі та самостійно проводив всі обчислення. У роботах [6,7] здобувач проводив чисельні розрахунки біфуркаційних і фазових діаграм, будував фазові портрети.

Апробація результатів дисертаційної роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на наукових семінарах Інституту магнетизму НАН та МОН України, Інституту монокристалів НАН України, Інституту прикладної фізики НАН України, а також на таких конференціях: Міжнародна конференція молодих учених з теоретичної і експериментальної фізики “Еврика” Львів, Україна, 2006 - 2008; Конференція молодих учених з фізики напівпровідників “Лашкарьовські читання”, Київ, Україна, 2007; Конференція молодих учених і аспірантів “ІЕФ - 2007”, Ужгород, Україна, 2007; Міжнародна конференція “Современные проблемы физики металлов”, Київ, Україна, 2008.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 13 наукових працях, з яких 7 статей - у спеціалізованих наукових журналах, що входять до переліку ВАК України; 6 тезисів доповідей у збірниках наукових праць міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (151 найменувань). Повний обсяг дисертації становить 142 сторінки включно зі списком використаних джерел. У роботі міститься 45 рисунків.

Основний зміст роботи

У вступі вказано актуальність теми дослідження, сформульовано мету роботи, визначено її наукову новизну і практичне значення. Встановлено предмет і об'єкт дослідження. Висвітлено зв'язок дисертаційної роботи з науково-дослідницькими роботами. Визначено особистий внесок здобувача у публікаціях у співавторстві та вказано відомості про апробацію результатів дисертаційної роботи.

Перший розділ “Ефекти часового та просторового впорядкування складних систем” складається з трьох підрозділів і висвітлює сучасний стан досліджуваної проблеми, в ньому обговорюються відповідні математичні моделі, раніше одержані результати за тематикою роботи та методи досліджень.

У підрозділі 1.1, присвяченому висвітленню особливостей утворення часових дисипативних структур на прикладі класів існуючих моделей оптично-бістабільних систем, проаналізовано умови встановлення стійкого імпульсного періодичного випромінювання, та контролю хаотичного режиму випромінювання в лазерних системах, що описуються моделями Лоренца-Хакена та Статца-де Марса твердотільних лазерів.

Підрозділ 1.2 стосується фрактального аналізу складних статистичних систем; наведено методи мультифрактального аналізу та фрактальних розмінностей дивного атрактора динамічної системи; проаналізовано властивості неадитивних статистичних систем із самоподібним фазовим простором.

У підрозділі 1.3 подано методи дослідження розподілених стохастичних систем; проаналізовано особливості поведінки стохастичних систем із внутрішнім мультиплікативним шумом та ентропійний механізм фазових переходів. З розглянутих літературних джерел зроблено висновок про незавершеність теоретичних досліджень з умов переходу до когерентної поведінки складних динамічних і стохастичних систем, а також складних статистичних систем з самоподібним фазовим простором. На підставі зроблених висновків визначені задачі дослідження.

Другий розділ “Часові дисипативні структури” присвячено дослідженню умов виникнення часових дисипативних структур та дослідженню хаотичного режиму в динамічних системах. В якості моделі була обрана система Лоренца-Хакена, яка самоузгодженим чином описує поведінку параметра порядку з, спряженого поля h та керуючого параметра S [1]:

(1)

що самоузгодженим чином описує поведінку параметра порядку , спряженого поля h та керуючого параметра S (в теорії оптично-бістабільних систем вони пов`язуються з амплітудою електричного поля, поляризацією та різницею заселеності атомних рівнів); r - параметр зовнішньої накачки, , _h, _S - часи релаксації відповідних мод; показано, що у випадку однієї повільної моди (параметра порядку) із нелінійною залежністю часу релаксації параметра порядку від його величини у вигляді

, (2)

де та - позитивні константи (коефіцієнт дисипації та амплітуда насичення, відповідно), фазовий перехід у такій системі є перервним.

У підрозділі 2.2 досліджуються умови формування часових дисипативних структур в системі (1) за умови швидкої зміни спряженого поля h. В цьому випадку система (1) набуває вигляду

(3)

де введено узагальнену силу зовнішнього навантаження, дія якої може індукувати зміну топології атрактора у фазовому просторі S,; _S/_h. Дослідження такої системи досягається визначенням стійкості стаціонарних станів за Ляпуновим, враховуючи x(t)e^(+i)t, де x = {S,?}, задає стійкість стаціонарного стану (S₀,₀), - частоту коливань в його околі; та знаходженням умов виникнення граничного циклу за показником Флоке, стійкість циклу задається нерівністю

(-S₀)(-2₀-2)<-_c(+)

де

(d/d-1+S₀)_c^-1

d/d

(1/2)d²/d²

₀/_c

_c|₌₀

Розглядається два типи моделі сили . Перший ґрунтується на використанні універсальних де-формацій за теорією катастроф: =-dV/d, де потенціал V задається катастрофою “складки” V=A+(1/3)C³. Вплив такої нелінійності приводить до того, що фазовий перехід має місце лише в глобально нестійкій системі (C<0), а стійка фаза формується в бістабільній області: r(r_c,r^c), що показано на рис.1. Тут S₁ та S₂ - нестійкі стаціонарні стани (сідла), F_S, F_U - стійкий та нестійкий фокус, відповідно.

Проведений аналіз показав, що в такій системі не існує дисипативної структури типу граничного циклу, а при зміні стійкості фокуса фазовий портрет характеризується наявністю стаціонарної точки - центру (див. рис.1). Другий тип моделі функції ґрунтується на врахуванні нелінійної залежності часу релаксації параметра порядку у формі (2). Тоді зовнішня сила задається виразом =-/(1+[/]²). Фазова діаграма в координатах (,r), що розділяє області різної поведінки системи, представлена на рис.2. Встановлено, що область 1 відповідає наявності стійкого фокуса (впорядко-вана фаза) та сідла (невпорядкована фаза); в області 2 реалізується невпорядкована фаза (вузол); в області 3 спостерігається гістерезисна поведінка параметра порядку, де впорядкованій фазі відповідає нестійкий фокус, а невпорядкованій - вузол; в області 4 формується стійкий граничний цикл; у вузькій області 5 стійкий граничний цикл трансформується у стійкий та нестійкий граничні цикли. Проведено порівняння одержаних результатів з утворення дисипативних структур в оптично бістабільних системах з результатами дослідження квазікласичної моделі Статца-де Марса [2]:

(4)

_I , , _|| - релаксаційні швидкості зміни амплітуди електричного поля I, недіагональних елементів матриці густини та різниці заселеності атомних рівнів N; _r і ₀ - частота коливань в ідеальному резонаторі та частота переходів між двома енергетичними рівнями; A - параметр зовнішньої накачки. Складова aI²-bI визначає дію модулятора, де a і b - інтенсивності поглинання і генерації, відповідно; /(1+I) - дію фільтра з параметром поглинання . Досліджено особливості утворення часових дисипативних структур у такій моделі при зміні інтенсивностей a і b та параметра поглинання. Показано, що достатньою умовою для утворення режиму стійких періодичних пульсацій є введення фільтру до резонатору. Відповідна область існування періодичних пульсацій в моделі Статца-де Марса обмежена поверхнею на рис.3. Встановлено, що при ненульовому значенні параметра поглинання збільшення інтенсивності накачування A призводить до звуження даної області. Достовірність одержаних результатів підтверджується залеж-ністю частоти осциляцій від пара-метра накачування (рис.4), з якого видно, що частота зростає в обме-женому інтервалі значень інтенсив-ності накачування для розглянутих моделей, що узгоджується з відо-мими експериментальними даними поведінки твердотільних лазерів [2].

Підрозділ 2.3 стосується дослідження характеру зміни пове-дінки системи (1) враховуючи нелінійну залежність часу релакса-ції параметра порядку у вигляді (2) за умови, що всі три моди є повільними. В такому разі дослідження зміни поведінки систе-ми проводилося за допомогою визначення старшого показника Ляпунова (₀, - початковий та поточний час, відповідно), який визначає збігання/розбігання траєкторій у фазовому просторі (,h,S), ||u|| - норма вектору u={,h,S}; спектрального аналізу кореляційної функції C(t-t`)=(t)(t`), ентропії Колмогорова-Сіная h та одновимірного відображення Пуанкаре S_n+1=f(S_n). Фазова діаграма та відповідні фазові портрети показано на рис.5. З аналізу фазової діаграми випливає, що область I характеризується наявністю однієї нерухомої точки - вузла на фазовому портреті. Штрихова пряма r=+1 визначає точку біфуркації народження нових розв'язків.

При значеннях параметрів з області II на фазовому портреті реалізується два додаткових стійких фокуси, а вузол стає сідлом. Суцільна крива на рис.5 обмежує область III існування стійких граничних циклів і визначає точки біфуркації Андронова-Хопфа (фокуси стають нестійкими). Фазовий портрет системи в області III приведено на рис.5а. Рухаючись з області III в область IV стійкість фокусів знову змінюється і на фазовому портреті реалізується два зовнішніх стійких і два внутрішніх нестійких граничних цикли (рис.5б). Штрих-пунктирна крива визначає точки біфуркації подвоєння періоду. Фазовий портрет системи в області V показано на рис.5в. Область VI відповідає наявності зовнішнього стійкого граничного циклу з двома внутрішніми нестійкими граничними циклами. При попаданні в область VII, рухаючись від світлих до темних ділянок поведінка системи стає нерегулярною за рахунок послідовних біфуркацій подвоєння періоду. Найбільш складна поведінка системи реалізується при значеннях параметрів з темних ділянок області VII. Старший показник Ляпунова приймає позитивні значення, фазовий портрет представлено на рис.5г.

При переході з області II в область VII поведінка системи стрибкоподібно стає нерегулярною, що свідчить про перехід до хаосу через реалізацію стохастичного шару. Для фазового портрету з рис.5г за допомогою ентропії Колмогорова-Сіная розраховано час, через який в системі наступає змішування: t_mixh^-1=5.7175; знайдено експоненціальне спадання автокореляційної функції та за методом швидкого перетворення Фур'є побудовано спектральну густину Встановлено, що спектр не містить яскраво виражених піків, а залежність на малих часах має Лоренцівську форму, що є характерним для хаотичного руху. Показано, що хаотичний атрактор на рис.5г є дивним і утворює монофрактал із фрактальними розмірностями від D2.01 до D2.05.

Третій розділ “Мультифрактальний спектр розмірностей фазового простору систем з неадитивною статистикою” присвячено фрактальному аналізу класу складних систем узагальненої статистики Цалліса, з негладким фазовим простором, що представляє мультифрактал. Метою розділу є встановлення зв'язку між статистичними функціями та мультифрактальними характеристиками фазового простору складних систем.

У підрозділі 3.1 запропоновано загальний теоретичний підхід для дослідження складних систем с ієрархічною структурою фазового простору, який є мультифракталом. Типовим прикладом таких систем є спінове скло. Розглядаючи рівняння руху знерозміреного об'єму фазового простору =/(2ћ)^6N ( - повний об'єм фазового простору, ћ - стала Дірака-Планка, N - кількість частинок) у вигляді d/dt=w()dS/dt, де w() - статистична вага, S - ентропія, одержуємо зв'язок S(W)=w()d, де враховано S(W=1)=0. За умови гладкого фазового простору маємо w()= і, відповідно, S=lnW. Для складних систем із фрактальною розмірністю фазового простору D<6N зв'язок між статистичною вагою та може бути прийнятий у вигляді w()=^d, де d=D/6N - характерна фрактальна розмірність фазового простору. У такому разі ентропія складної системи визначається логарифмом Цалліса [3]

S(W)=(1/d)ln_2(1/d)(W), ln(x)=(x¹1)/(1),(5)

хаотичний атрактор фазовий синергетичний

а відповідний статистичний опис ґрунтується на узагальненій статистиці Цалліса, яка у випадку d1 зводиться до статистики Больцмана. Таким чином складні системи, фазовий простір яких є монофракталом, описуються неадитивною статистикою. Перехід від монофрактального до мультифрактального фазового простору може бути досягнено заміною єдиної фрактальної розмірності d монотонно зростаючою функцією (1q<), де q - мультифрактальний показник. Статистична вага одержується з теорії мультифракталів та набуває вигляду

w_q()^(q), (q)=qd(q)-f(d(q)),(6)

d(q) - спектр фрактальних розмінностей, f(d) - функція мультифрактального спектру.

Доведено, що для знаходження зв'язку між мультифрактальними характеристиками та статистичними функціями, що характеризуються фізичною температурою, необхідною умовою є опис систем ескортним розподілом

P(_i)P^1/(q)(_i)/P^1/(q)(_i)

_i - енергія i-го стану, P(_i)exp_1/(q)(-_i) це стандартній розподіл Цалліса з параметром неадитивності 1/(q), деформована експонента є оберненою функцією до логарифму (5) . У такому разі розподіл з фізичною температурою T має вигляд:

P(_i)exp_(q)[-(1/(q))(_i-E_q)/T], exp(x)=(1+(-1)x)^1/(-1),(7)

де екстремальне значення внутрішньої енергії E_q, розраховане при =E_q та степеневому розподілу густини імовірності у континуальному випадку ()^cN, визначається формулою рівнорозподілу

E_q=c(q)NT.(8)

Таким чином величина c(q) набуває сенсу теплоємності. Відповідна вільна енергія визначається співвідношенням F_q=E_q-TS_q, а ентропія S_q=1/(q)ln_2-1/(q)(W_q).

У підрозділі 3.2 на основі виявлених особливостей поведінки функції маси (q) наведено результати дослідження фрактальних властивостей статистичного ансамблю з наперед заданим спектром фрактальних розмінностей. Згідно (8) (q) обмежена значеннями: (q=1)=0, (q)1. В якості моделі функції (q) було вибрано гіперболічний тангенс (q)=th(q-1) та його узагальнення

(9)

деформованими експонентами Цалліса у вигляді (7) або Каніадакіса , які задають повний набір деформацій та дозволяють визначити відповідний набір функцій мультифрактального спектру. Одержані залежності показника маси (q), його оберненого значення та функції мультифрактального спектру f(d) подано на рис.6. Встановлено, що зростання показника (q) уповільнюється при деформації за Каніадакісом та прискорюється при деформації за Цаллісом (див. рис.6а). Відповідна залежність має злам у точці q=q₀, де q₀=(+1)/ визначає критичне значення параметра q, вище якого для статистичної ваги маємо w()= , а відповідний фазовий простір є гладким, і тому S=lnW. У випадку q1 маємо w()=1, а фазовий простір визначається єдиним станом з нульовою ентропією. Відповідні асимптотики показника маси в статистиці Цалліса та Каніадакіса набувають вигляду:

(10)

(11)

Спектр розмінностей фазового простору, зображений на рис.6б, суттєво обмежується граничними значеннями параметра деформації : та (верхня пунктирна ти нижня штрихова лінії). При значеннях d=d₀ , коли функція мультифрактального спектру приймає нульові значення, фазовий простір являє монофрактал, розмірності d₀. При значеннях d0 весь фазовий простір заповнений монофракталами d=0 кількість яких N=. При d1 фазовий простір складається з набору монофракталів об'єму і відповідний мультифрактал теж має об'єм . Асимптотична поведінка функції мультифрактального спектра дається виразами:

(12)

(13)

для деформації Цалліса та Каніадакіса, відповідно. Таким чином, в рамках даного формалізму вдається описати фрактальні характеристики фазового простору та статистичні властивості складних систем за моделлю функції показника маси.

Четвертий розділ “Фазові переходи та утворення просторових структур у стохастичних системах реакційно-дифузійного типу” присвячено дослідженню процесів упорядкування та структуроутворення у розподілених стохастичних системах.

У підрозділі 4.1 обґрунтовується вибір узагальненої моделі бістабільної стохастичної системи реакційно-дифузійного типу із внутрішніми флуктуаціями, що підпорядковуються флуктуаційно-дисипаційній теоремі. Виходячи з рівняння неперервності для поля концентрації (r,t) з дифузійним потоком j=-D_ef(), де D_ef() - концентраційно залежний коефіцієнт дифузії; у розгляд уводиться складова f(;), що описує квазіхімічні реакції. Відповідне детерміністичне рівняння еволюції поля концентрації приймає вигляд

_t=[D_ef()]+f(;)

Використання функціоналу Ляпунова

F=dr{1/2[D_ef()]²-f(`;)D<sub>ef</sub>(`)d`}

дозволяє ефективно перейти від детерміністичної динаміки до стохастичної з доданком, що відповідає флуктуаційно-дисипаційній теоремі. В результаті, узагальнена модель набирає вигляду:

.(14)

Тут (r,t) є гаусівським квазібілим шумом, для якого: (r,t)=0, (r,t)(r`,t`)2²(r-r`)(t-t`), ² - інтенсивність. Статистичні властивості системи (14) визначаються густиною ймовірності реалізації в момент часу t в точці r. В рамках числення Стратоновича рівняння еволюції густини ймовірності P[]=P має стандартний вигляд рівняння Фоккера-Планка [4]:

.(15)

Подальше аналітичне дослідження ґрунтується на функціоналі стаціонарного розподілу

P_st[]=Nexp(-U_ef[]/²), U_ef[]=F[]-²/2drlnD_ef(),(16)

який одержується точно і визначається функціоналом Ляпунова (типу вільної енергії F) та ентропійним внеском S_ef=drln[D_ef()]^-1. Загальний клас моделей розглядається у підрозділі 4.2, де на підґрунті узагальненого кінетичного рівняння для складних статистичних систем з неадитивною статистикою Цалліса та самоподібним фазовим простором у дифузійному наближенні одержано вираз для ефективного коефіцієнту дифузії

D_ef()=(₀/2)(1-),(17)

з коефіцієнтом неоднорідності ₀>0, заданим параметром неадитивної статистики Цалліса, та показниками і спадання коефіцієнту дифузії в околі станів з =0 і =1. Реакційну складову прийнято у вигляді f(;)=(-1/2)-(-1/2)³, що характеризує три стаціонарні стани: 1/2 та 1/2. В рамках поданої моделі проведено аналіз стійкості однорідного стану =1/2 за структурним фактором S(k,t)=y_k(t)y_-k(t), де y_k(t) - просторовий Фур'є-образ процесу y(r,t)=(r,t)-1/2. Одержане рівняння еволюції структурного фактора має вигляд

_tS(k,t)=2(-²k²+)S(k,t)+2²/(18)

з перенормованими параметрами =(1/2)₀(1/4), =(2²)/(₀(1/4)⁺¹). З (18) випливає, що внутрішній мультиплікативний шум приводе до нестійкості стану =1/2 на ранніх стадіях, такий стан є стійким при <²k²-. Умови формування структур та їх властивості у стаціонарному режимі описується у підрозділі 4.3. Тут на основі розв'язання варіаційної задачі P_st[]/=0 одержуються розв'язки відповідного рівняння екстремумів стаціонарного функціоналу розподілу у вигляді

=-[1/D_ef(){(1/2)(/D_ef())²D_ef()+f()+()²D_ef()}]|_=st.(19)

Рівняння (19) дає найбільш імовірні стаціонарні стани _е, які визначають положення екстремумів функції U_ef(). В околі цих станів можуть реалізуватися структури _st. Розглядаючи симетричний відносно =1/2 ефективний коефіціент дифузії (17) (=) одержано залежності _е(²) (див. рис.7а). Показано, що до критичного значення ²=_b² в системі реалізуються три стаціонарних значення концентрації. У випадку ²>_b² стаціонарна густина ймовірності P_st() має один екстремум в точці _е=1/2. Отже, при збільшенні інтенсивності шуму стаціонарна густина ймовірності стає унімодальною при біфуркаційному значенні ²=_b². Дослідження можливих стаціонарних структур досягається на основі розв'язків рівняння (19) в околі стану _е=1/2. Для дослідження розв'язків на стійкість в лінійному наближенні при ()²=0 одержано рівняння

=Ak_l²(-_e), k_l²=(-)/²(20)

з коефіцієнтом A=+1 при ²>_b² і A=-1 при ²<_b², яке показує, що до критичних значень інтенсивності шуму формуються періодичні стаціонарні структури в околі стану _е=1/2, що відповідає максимуму функції U_ef(). З (20) випливає, що у стаціонарному випадку збільшення інтенсивності шуму зменшує значення k_l, тоді як на ранніх стадіях k_l збільшується. Для підтвердження отриманих результатів в стаціонарному випадку проводилось чисельне моделювання на двовимірній квадратній гратниці. Одержаний сферично усереднений структурний фактор S(k,t) зображено на рис.7б, з якого видно, що збільшення інтенсивності шуму приводить до зменшення значення резонансного хвильового вектору k_l.

У підрозділі 4.4 проводиться дослідження індукованих шумом фазових переходів у даній системі в рамках наближення середнього поля Вейса. Його використання дозволяє покласти ()²(-)² у F[]. Параметр порядку визначається з розв'язку рівняння

=P_st(;)d()

самоузгодженим чином, де стаціонарний розподіл

P_st(;)exp(-U_ef(;)/²)

задається потенціалом

Uef(;)=1/2[D_ef()]²(-)²-²/2lnD_ef()-f(`;)D<sub>ef</sub>(`)d`}

Отже, враховуючи, що в системі існує симетрія відносно значення =1/2, параметр дозволяє встановити фазовий перехід з невпорядкованого стану (=1/2) до впорядкованого (1/2). Границя фазового переходу задається умовою K₂d()|_=1/2=1. Характер фазового переходу визначається з аналізу кумулянта четвертого порядку K₄d³()|_=1/2. У разі K₄>0 маємо фазовий перехід першого роду, при K₄<0 - другого. Відповідна фазова діаграма представлена на рис.8: суцільні криві визначають точки фазового переходу другого роду: K₂=1, K₄<0 (див. вставки справа); пунктирні обмежують ділянки некритичного переходу (K₂1). Встановлено, що зростання параметра неоднорідності розширює інтервал =(_m, ₀) некритичного фазового переходу (пор. криві 1 та 2 на рис.8). Область впорядкування при цьому збільшується, а точка переходу зміщується до великих значень інтенсивності шуму ². Характер поведінки параметра порядку від ² показано на вставці на рис.8.

Встановлено, що у випадку перетинання суцільної кривої діаграми параметр порядку критично спадає до нуля, перехід через пунктирну ділянку залежності (²) не забезпечує його критичного спадання (криві 1 та 2 на вставці на рис.8). Існування некритичного фазового переходу пояснюється конкуренцією між шумовим вкладом, що характеризується ефективним коефіцієнтом дифузії D_ef() та локальною динамікою f(), які входять до U_ef(;). При ~1 суттєвий внесок складових lnD_ef() і f() призводить до фазового переходу другого роду. При значеннях <<1 критичність переходу забезпечується силою f(). У випадку основний внесок дається складовою [D_ef()]²()², яка визначає некритичність спадання параметра порядку.

Для підтвердження результатів по фазовим переходам, отриманим в теорії середнього поля, проводився чисельний експеримент. Результати моделювання параметра порядку та узагальненої сприйнятливості ²=²-² наведено на рис.9: при значеннях параметрів, що відповідають суцільній кривій на рис.8 параметр порядку критично спадає до нуля, а в точці переходу сприйнятливість має ярко виражений пік, що характеризує критичний фазовий перехід (див. рис.9а). На рис.9б при значеннях параметрів, що відповідають пунктирній ділянці залежності (²) характер спадання параметра порядку не є критичним (узагальнена сприйнятливість не має піку) - отже такий перехід не є критичним.

Основні результати і висновки

1. Встановлено, що для формування дисипативної структури типу граничного циклу в двокомпонентних динамічних системах, побудованих на основі моделей Лоренца-Хакена та Статца-де Марса, достатньою умовою є нелінійна залежність часу релаксації параметра порядку від його величини. Застосування узагальненого підходу аналізу нелінійних двокомпонентних динамічних систем до квазікласичних моделей твердотільних лазерів дозволило з'ясувати, що введення модулятора, який задає додаткову міжфотонну взаємодію, в резонатор пригнічує процеси формування когерентного випромінювання в оптично-бістабільних системах.

2. Показано, що в трикомпонентній модифікованій моделі Лоренца-Хакена при зміні параметрів накачування і дисипації реалізуються часові дисипативні структури, відбувається їх анігіляція, можливий перехід в хаотичний режим двома різними способами: через біфуркацію подвоєння періоду та реалізацію стохастичного шару. Проведений детальний аналіз хаотичного режиму показав, що в даній системі реалізується хаотичний дивний атрактор, який утворює монофракталb у фазовому просторі з розмірностями від 2.01 до 2.05.

3. При дослідженні складних статистичних систем з мультифрактальним фазовим простором в рамках неадитивної статистики з'ясовано, що термодинамічні функції, такі як вільна енергія, ентропія і внутрішня енергія, задаються спектром мультифрактальних розмірностей. При цьому повний набір спектру розмінностей при , в рамках деформацій Цалліса обмежений лінійною залежностями параметра статистики, тоді як при деформації Каніадакиса спектр розмірностей не обмежений. Встановлено, що функція мультифрактального спектру для складних статистичних систем, з неадитивною статистикою, є монотонно зростаючою. Весь можливий набір функції мультифрактального спектру обмежений лінійними залежностями, що відповідають значенню параметра деформації при процедурі Цалліса і межі при деформації Каніадакиса.

4. Використовуючи узагальнений кінетичний підхід, заснований на застосуванні нелінійного кінетичного рівняння для складних систем, отриманий залежний від поля ефективний коефіцієнт дифузії у степеневій формі. Встановлено, що внутрішній мультиплікативний шум в узагальненій системі реакційно-дифузійного типу з отриманим коефіцієнтом дифузії приводить до дестабілізації змішаних станів на ранніх стадіях еволюції, тоді як в стаціонарному випадку відповідні флуктуації здатні підтримувати просторові структури. Період таких структур визначається керуючим параметром, інтенсивністю шуму, і показником, визначаючим швидкість спаду коефіцієнта дифузії поблизу “чистих” станів. З'ясовано, що збільшення інтенсивності внутрішнього мультиплікативного шуму приводить до фазового переходу типу “порядок-безпорядок”. Показано, що критичний характер такого переходу визначається конкуренцією між флуктуаційною складовою та детерміністичною силою, пов'язаною з локальною динамікою системи.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Kharchenko V.O. Entropy-driven phase transitions with influence of the field-dependent diffusion coefficient / V.O. Kharchenko // Physica A. - 2009. - V.388. - P.268-276.

2. Харченко В.О. Самоорганізація системи твердотільного лазера в граничний цикл / В.О. Харченко // Журн. Фіз. Досл. - 2008. - Т.12 - С.2001-1(8).

3. Olemskoi A.I. Multifractal spectrum of phase space related to generalized thermostatistics / A.I. Olemskoi, V.O. Kharchenko, V.N. Borisyuk // Physica A. - 2008. - V.387. - P.1895-1906.

4. Belokolos E.D. Dynamical regimes reconstruction in three-component bistable system with dispersive relaxation time / E.D. Belokolos, V.O. Kharchenko // Functional materials. - 2008. - V.15, N4. - P.496-504.

5. Белоколос Е.Д. Фазовые переходы в системе реакционно-диффузионного типа с полевозависимым коэффициентом диффузии под влиянием внутреннего мультипликативного шума / Е.Д. Белоколос, В.О. Харченко // Металлофизика и новейшие технологии. - 2008. - Т.30, №.11. - С.1547-1559.

6. Олемской А.И. Теория самоорганизуемой модуляции / А.И. Олемской, Д.О. Харченко, В.О. Харченко // Вісник СумДУ. - 2007. - №1. - C.75-85 (Серія “Фізика, математика, механіка”).

7. Olemskoi A.I. Self-organization of an Unstable System by the Hopf Bifurcation Scenario / A.I. Olemskoi, I.A. Shuda, V.O. Kharchenko // Ukr. Journ. of Phys. - 2006. - V.51, N3. - P.311-320.

8. Olemskoi A.I. Multifractal spectrum of the phase space related to generalized thermostatistics / A.I. Olemskoi V.O. Kharchenko. // Міжнародна конференція молодих вчених з теоретичної та експериментальної фізики “Еврика - 2006”. - Львів: ЛНУ ім. І.Франко, 2006. - С.С6.

9. Харченко В.О. Умови формування стійкого періодичного випромінювання в системі твердотільного лазера В-класу / В.О. Харченко // Міжнародна конференція молодих вчених з фізики напівпровідників “ Лашкарьовські читання - 2007”. - Київ: Інститут фізики напівпровідників ім. В.Є. Лашкарьова НАН України, 2007. - С.17-18.

10. Харченко В.О. Кінетика формування дисипативних структур при фазовому переході / В.О. Харченко // Міжнародна конференція молодих вчених з теоретичної та експериментальної фізики “Еврика - 2007”. - Львів: ЛНУ ім. І.Франко, 2007. - С.А6.

11. Харченко В.О. Условия возникновения диссипативных структур в системе лазера / В.О. Харченко // Міжнародна конференція молодих вчених та аспірантів “ІЕФ - 2007”. - Ужгород: Інститут експериментальної фізики НАН України, 2007. - С.199.

12. Харченко В.О. Хаос в узагальненій системі Лоренця / В.О. Харченко // Міжнародна конференція молодих вчених з теоретичної та експериментальної фізики “Еврика - 2008”. - Львів: ЛНУ ім. І.Франко, 2008. - С.А27.

13. Харченко В.О. Фазовые переходы в системе с диффузионным потоком / В.О. Харченко // Международная конференция “Современные проблемы физики металлов”. - Киев: Институт металлофизики НАН Уркаины, 2008. - С.187.

Цитована література

1. Хакен Г. Синергетика / Г. Хакен. - М.: Мир, 1980. - 404с.

2. Ханин Я.И. Основы динамики лазеров / Я.И. Ханин. - М.: Наука, Физматлит, 1999. - 368с.

3. Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics / C. Tsallis // J. Stat. Phys. - 1988. - V.52. - P.479-487.

4. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках / К.В. Гардинер. - М.: Мир, 1986. - 527с.

Анотація

Харченко В.О. Особливості формування впорядкованих структур у складних динамічних та статистичних системах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Інститут прикладної фізики НАН України, м.Суми, 2009.

Дисертацію присвячено дослідженню умов формування дисипативних структур, переходу до хаотичного режиму в складних динамічних системах, аналізу мультифрактальних властивостей складних статистичних систем та виявленню умов структуроутворення в розподілених стохастичних системах.

Встановлено, що в моделях напівкласичних оптично-бістабільних систем достатньою умовою стійкого періодичного випромінювання є наявність нелінійного пропускного фільтру. Показано, що перехід до хаотичного режиму відбувається або за сценарієм подвоєння періоду, або внаслідок реалізації стохастичного шару. Доведено, що хаотичний дивний атрактор є монофракталом із фрактальною розмірністю D ? 2.03 ± 0.02. Для складних статистичних систем з самоподібним фазовим простором знайдено зв'язок між їх термодинамічними характеристиками та мультифрактальними функціями. Проведений аналіз розподілених стохастичних систем з залежним від поля кінетичним коефіцієнтом показав, що внутрішній шум дестабілізує невпорядкований стан на ранніх стадіях, в стаціонарному випадку - стабілізує. Досліджено властивості відповідних просторових структур. Зростання інтенсивності шуму приводить до фазових переходів другого роду та некритичних переходів.

Ключові слова: фазовий простір, дисипативна структура, дивний атрактор, фрактальна розмірність, шум, параметр порядку, фазовий перехід.

Аннотация

Харченко В.О. Особенности формирования упорядоченных структур в сложных динамических и статистических системах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Институт прикладной физики НАН Украины, г.Сумы, 2009.

Диссертация посвящена исследованию сложных динамических систем с целью изучить условия формирования диссипативных структур; выяснить условия перехода к хаотическому режиму; установить основные динамические и фрактальные характеристики странного аттрактора; проанализировать мульти-фрактальные свойства сложных статистических систем с самоподобным фазовым пространством; а также исследовать возможность образования пространственных структур в стохастических пространственно-распределенных бинарных системах реакционно-диффузионного типа, установить роль внутренних флуктуаций и особенности индуцированных шумом фазовых переходов в ней.

При исследовании двухкомпонентной системы на основе синергетической модели Лоренца-Хакена, модифицированной нелинейной зависимостью времени релаксации параметра порядка и введением внешней силы, моделируемой потенциалом катастрофы “складки”, определена область параметров существо-вания временной диссипативной структуры. Установлено, что в полуклассичес-ких моделях оптически-бистабильных систем для формирования устойчивого периодического излучения достаточным является введение в резонатор нелиней-ного фильтра. При исследовании трехкомпонентной деформированной модели Лоренца-Хакена выяснено, что переход к хаотическому режиму поведения возможен за счет бифуркации удвоения периода или реализации стохастического слоя. Установлено, что реализуемый в такой системе странный хаотический аттрактор является монофракталом с фрактальной размерностью D ? 2.03 ± 0.02.

При рассмотрении сложных статистических систем с самоподобным фазовым пространством определена связь термодинамических характеристик системы с мультифрактальными функциями, выяснено, что параметры обобщенной статистики определяются мультифрактальным спектром фазового пространства. На основе обобщенного статистического подхода установлены области изменения параметров обобщенной статистики и мультифрактального спектра фазового пространства сложных систем.

...