Дробові оператори в задачах випромінювання та дифракції електромагнітних хвиль

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова

УДК 537.87:517.954

01.04.03 - радіофізика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дробові оператори в задачах випромінювання та дифракції електромагнітних хвиль

Івахниченко Максим Васильович

Харків - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова Національної академії наук України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Велієв Ельдар Ісмаїл огли, директор Державного науково-дослідного і проектного інституту основної хімії Міністерства промислової політики України (м. Харків).

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, професор Сіренко Юрій Костянтинович, завідувач відділу математичної фізики Інституту радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України (м. Харків);

- доктор фізико-математичних наук, професор Нерух Олександр Георгійович, завідувач кафедри вищої математики Харківського національного університету радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України.

Захист відбудеться "18" червня 2009 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.157.01 Інституту радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України за адресою: вул. Академіка Проскури, 12, Харків, 61085.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України за адресою: вул. Академіка Проскури, 12, Харків, 61085.

Автореферат розісланий "14" травня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Л.А. Рудь.

Анотація

Івахниченко М.В. Дробові оператори в задачах випромінювання та дифракції електромагнітних хвиль. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.03 - радіофізика. - Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України, Харків, 2009.

Дисертаційну роботу присвячено застосуванню дробових операторів в актуальних наукових задачах випромінювання електромагнітних хвиль в ізотропному середовищі та дифракції на двовимірних структурах, зокрема, на стрічці. В роботі розглядаються такі дробові оператори, як дробова похідна, дробовий інтеграл та дробовий ротор. Зображення відбитого поля від межі поділу за допомогою дробового ротора дало можливість описати ефект зміни поляризації в термінах дробового порядку оператора. Межі, що відповідають дробовим розв'язкам, моделюються із застосуванням анізотропних граничних умов, біанізотропного шару або ідеально електрично-магнітно провідної межі.

Граничні умови з дробовою похідною є проміжним випадком між ідеально електрично- та ідеально магнітнопровідною межами. Побудований метод розв'язання задачі дифракції на стрічці із дробовими граничними умовами, заснований на інтегральних рівняннях та ортогональних поліномах, дав змогу дослідити розсіювальні властивості поверхні. Завдяки застосуванню запропонованої узагальненої дробової теореми Гріна, вперше вдалося отримати аналітичний розв'язок задачі дифракції при дробовому порядку Ѕ для усіх значень довжини хвилі. Виявлено "надхвильові" властивості стрічки при дробовому порядку Ѕ, що може служити основою при проектуванні компактних відбивачів.

Ключові слова: біанізотропне середовище, граничні умови з дробовою похідною, дифракція, дробова похідна, дробовий ротор, імпедансні граничні умови, метод інтегральних рівнянь.

Аннотация

Ивахниченко М.В. Дробные операторы в задачах излучения и дифракции электромагнитных волн. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.03 - радиофизика. - Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова НАН Украины, Харьков, 2009.

Диссертационная работа посвящена применению дробных операторов в актуальных научных задачах излучения электромагнитных волн в однородной среде и дифракции на двумерных структурах. В работе представлены новые подходы и модели, основанные на применении таких дробных операторов, как дробная производная, дробный интеграл и дробный ротор.

В работе рассмотрена концепция дробного поля, полученного как результат применения оператора дробного ротора к известному полю - решению уравнений Максвелла. Полученное таким образом дробное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла в той же среде, что и исходное поле, и выступает в роли промежуточного поля между исходным полем и двойственным ему полем. С использованием дробного ротора предложены модели нового дробного источника и соответствующего поля излучения. Этот источник может рассматриваться как промежуточный источник между электрическим и магнитными источниками поля. Проанализирована поляризация дробного поля, полученного в результате применения дробного ротора, в зависимости от дробного порядка.

В задачах отражения установлено, что границы, которые соответствуют "дробным полям", моделируемым с использованием дробного ротора, можно описать с помощью анизотропных импедансных граничних условий или бианизотропного слоя. Получены аналитические выражения, которые связывают дробный порядок как с элементами тензора анизотропного импеданса, так и с параметрами бианизотропного слоя (толщина, киральность и параметр Теллегена). Использование дробного ротора дало возможность описать эффект изменения поляризации отраженного поля посредством дробного порядка оператора.

Граничные условия с использованием дробной производной являются промежуточными между идеально электрически проводящей (ИЭП) и идеально магнитно проводящей (ИМП) границами. В работе рассмотрена задача дифракции на ленте с дробными граничными условиями (ДГУ). Разработан метод решения задачи дифракции, который основан на использовании обобщенной дробной теоремы Грина, полученной в работе, а также ортогональных полиномов Гегенбауэра. Исследованы дифракционные характеристики ленты с ДГУ: диаграмма направленности, поперечники рассеяния и распределение поверхностных токов. Для частных значений дробного порядка показано совпадение с известными решениями для ИЭП и ИМП лент. Взаимное расположение электрического и магнитного поверхностных токов на "дробной" ленте такое же, как и для ленты с импедансными граничными условиями (ИГУ). Проведено качественное и численное сравнение рассеивающих свойств "дробной" ленты и импедансной ленты для разных значений угла падения и длины волны. Из приближения физической оптики выведена аналитическая формула, выражающая значение дробного порядка через значение импеданса. Показаны рамки применимости ДГУ для моделирования импедансной ленты.

Продемонстрированы преимущества предложенного метода: решение задачи дифракции на ленте с ДГУ можно свести к одному интегральному уравнению, тогда как для ленты с ИГУ необходимо решать два интегральных уравнения. Это связано с использованием дробной теоремы Грина. Поиск решения для "дробной" ленты требует меньше численных расчетов в сравнении с известными методами для импедансной ленты. Этот метод также может быть адаптирован для решения задач дифракции на других структурах, например, решетках.

Впервые получено аналитическое решение задачи дифракции на "дробной" ленте с дробным порядком Ѕ для всех значений длины волны. Известные решения для ленты с ИГУ не позволяют получить подобное аналитическое решение. Для "дробной" ленты порядка Ѕ установлены резонансы для поперечника обратного рассеяния по углу падения при больших значениях длины волны по сравнению с шириной ленты, которые отсутствуют при других значениях дробного порядка. Показано, что дробная лента порядка Ѕ имеет "сверхволновые" свойства, т.е. может эффективно отражать электромагнитные волны с длинами волн намного большими, чем поперечные размеры ленты. Подобная граница может служить основой для проектирования компактных "сверхволновых" отражателей. ДГУ порядка Ѕ описывают качественно новую границу, которую можно моделировать с помощью ИГУ со значением импеданса ( - угол падения) либо материалом с эффективными значениями электрической и магнитной проницаемостей, удовлетворяющими соотношению .

Возможности предложенных концепций и моделей делают их перспективными для дальнейшего применения в задачах излучения в различных средах и дифракции на различных структурах.

Ключевые слова: бианизотропная среда, граничные условия с дробной производной, дифракция, дробная производная, дробный ротор, импедансные граничные условия, метод интегральных уравнений.

Annotation

Ivakhnychenko M.V Fractional operators in problems of excitation and diffraction of electromagnetic waves. - Manuscript.

Thesis for candidate's degree in physics and mathematics, 01.04.03 - Radiophysics. Usikov Institute of Radiophysics and Electronics NAS of Ukraine, Kharkiv, 2009.

The thesis is devoted to utilization of the fractional operators to actual scientific problems such as excitation of electromagnetic waves in an isotropic medium and diffraction by two-dimensional structures. Fractional derivative, fractional integral and fractional curl operator are considered. The representation of the field reflected from an interface with the help of the fractional curl operator allowed to describe an effect of polarization changing in terms of the fractional order of the operator. Boundaries corresponding to the fractional solutions are modeled by anisotropic impedance boundary conditions, bianisotropic layer or perfectly electric-magnetic conducting boundary.

The boundary conditions with a fractional derivative are an intermediate case between the perfectly electric conducting and the perfectly magnetic conducting boundaries. The developed method of solving of diffraction problem on a strip with fractional boundary conditions is based on utilization of integral equations and orthogonal polynomials. Scattering properties of the fractional strip are investigated numerically. The usage of the proposed generalized Green's theorem allowed to obtain an analytical solution of diffraction problem for one value of the fractional order equal to Ѕ for all values of the wavelength. Such strip with the fractional order of Ѕ has "superwave" properties, i.e. this strip can reflect waves with the length much bigger than the width of the strip. It can be used to build compact reflectors.

Key words: bi-anisotropic media, diffraction, fractional boundary conditions, fractional curl operator, fractional derivative, impedance boundary conditions, integral equations method.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність. В наш час утворився новий фундаментальний науковий напрямок "Фрактальна радіофізика та фрактальна радіоелектроніка: Проектування фрактальних радіосистем", що пов'язаний із застосуванням теорії фракталів, детермінованого хаосу, скейлінгових ефектів та дробових операторів. Результати, одержані в роботах А.А. Потапова та N. Engheta, відкривають нові широкі перспективи застосування даного напрямку у класичній радіофізиці.

В теперішній час існують недоліки у традиційних фізичних моделях. Іншими словами, опис процесів випромінювання та дифракції електромагнітних хвиль є неповним за допомогою рівнянь класичної математики. Одна з концепцій розширення класичних моделей пов'язана з розгляданням дробових (фракталізованих) операторів в задачах електродинаміки, що була запропонована N. Engheta та була названа "дробова парадигма в електродинаміці". Ця концепція передбачає використання дробового оператора () при розв'язанні різних задач. Оператор розширює відомий лінійний оператор у тому сенсі, що - одиничний оператор і . Якщо оператор та оператор відповідають деяким відомим розв'язкам задачі, то фракталізований оператор нецілого порядку буде описувати нові проміжні розв'язки.

Концепція проміжних станів, одержаних із застосуванням дробових похідних та інтегралів, приводить до різних узагальнень відомих моделей в електродинаміці, таких як:

- проміжні хвилі, наприклад, між плоскою та циліндричною хвилею;

- дробові джерела із степеневою залежністю функції щільності струму: проміжні між двовимірним джерелом - ниткою струму і одновимірним джерелом - "листком" струму;

- дробова функція Гріна, яка у окремих випадках відповідає одновимірній () і двовимірній функціям Гріна ();

- дробова теорема Гріна, яка включає дробові похідні класичної функції Гріна і дробові похідні самої функції на межі області, що розглядається.

Крім дробових похідних та інтегралів також знаходять застосування інші оператори, отримані за допомогою процедури фракталізації відомих широко застосованих в електродинаміці операторів. Так, у 1997 р. N. Engheta ввів у розгляд оператор ротора нецілого порядку ("дробовий ротор"), що фракталізує звичайний оператор ротора для однієї змінної.

Мотивація розгляду дробового ротора пов'язана із можливістю фракталізації принципу подвійності рівнянь Максвелла. Застосування дробового ротора до електромагнітного поля, що задовольняє рівнянням Максвелла у однорідному ізотропному середовищі, приводить до нового електромагнітного поля, що виступає в ролі проміжного між початковим та дуальним полем. Зокрема, за допомогою дробового ротора можна побудувати модель джерела струму, що є проміжним між електричним та магнітним струмами.

В задачах відбивання та дифракції від плоских меж проміжне поле, отримане в результаті застосування дробового ротора до відомого розв'язку задачі, буде відповідати деякій новій межі. В окремому випадку можна отримати межу, що виступає в ролі проміжної між ідеально електрично провідною (ІЕП) та ідеально магнітно провідною (ІМП) межами. Щоб дослідити властивості отриманих таким чином меж, треба розв`язати обернену задачу розсіювання: по відомому відбитому полю визначити характеристики межи. Проміжні розв'язки в задачах дифракції потребують побудови адекватних математичних моделей для опису відповідних меж.

Концепція проміжних станів і дробові похідні приводять до нових дробових граничних умов (ДГУ), що є більш загальними і в окремих випадках відповідають умовам на ІЕП та ІМП поверхнях в залежності від вибору показника дробової похідної. Завдяки специфічним властивостям меж, що описуються за допомогою ДГУ, є актуальним побудувати математичну модель і реалізувати відповідні фізичні структури. ДГУ потребують детального дослідження з фізичної та математичної точок зору.

Розгляд проміжних станів в реальних задачах електродинаміки потребує розробки нового математичного апарату. Моделі, побудовані за допомогою дробових операторів, потребують кількісного та якісного аналізу. Нові радіофізичні підходи, що базуються на застосуванні дробових операторів, є актуальними для розвитку фундаментальних та прикладних наук, розкриваючи нові потенційні можливості для розв'язання задач радіофізики.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетних науково-дослідних робіт ІРЕ ім. О.Я. Усикова НАН України: "Теоретичне та експериментальне дослідження хвильових процесів у системах мікрохвильового діапазону" (номер державної реєстрації 0103U002267, 2004-2006 рр.) і "Розробка на впровадження нових методів обчислювальної радіофізики, теоретичні та експериментальні дослідження трансформації електромагнітних полів гіга- і терагерцового диапазонів в об'єктах і середовищах антропогенного та природного походження" (номер державної реєстрації 0106U011975, 2007-2011 рр.). У цих роботах здобувач є виконавцем.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

- розвиток методу дробових операторів (МДО) для розв'язання задач випромінювання та дифракції електромагнітних хвиль на різноманітних двовимірних структурах;

- кількісний та якісний аналіз розсіювальних властивостей структур, математичні моделі яких базуються на МДО.

Для досягнення цієї мети знадобилося розв'язати низку задач, які пов'язані із побудовою та чисельною реалізацією математичних моделей, що базуються на запропонованому МДО:

- розв'язання задачі випромінювання в нескінченому однорідному середовищі при моделюванні джерел за допомогою дробового ротора та дробового інтеграла;

- розв'язання оберненої задачі розсіювання при моделюванні відбитого поля за допомогою дробового ротора, при цьому знадобилося знайти зв'язок між показником дробового ротора і параметрами розсіювального об'єкту;

- розв'язання двовимірної задачі дифракції на стрічці з ДГУ, при цьому розсіювальні характеристики "дробової стрічки" порівнюються з іншими відомими межами, зокрема, з імпедансною стрічкою.

Для розв'язання задачі дифракції на "дробовій стрічці" знадобилося розробити новий чисельний алгоритм, що дозволив дослідити такі електродинамічні характеристики, як діаграма спрямованості, поперечники розсіяння, щільність розподілення поверхневих струмів.

Об'єктом дослідження є електромагнітні поля, що виникають в задачах випромінювання та дифракції при їх моделюванні за допомогою дробових операторів.

Предмет дослідження - електродинамічні властивості дробових джерел в задачах випромінювання; дифракційні характеристики двовимірних структур, що моделюються за допомогою дробового ротора та дробової похідної.

Методи дослідження. Для розв`язання поставлених задач було використано строгі математичні моделі та наступні методи:

- метод дзеркальних джерел для зображення розв'язку задачі відбивання від межі поділу;

- метод граничних інтегральних рівнянь для розв`язання задачі дифракції;

- метод ортогональних поліномів для розв`язання інтегрального рівняння;

- метод фізичної оптики для розв`язання задачі дифракції в високочастотному наближенні;

- узагальнена теорема Гріна для функцій з дробовою похідною для зображення розсіяного поля в задачі дифракції.

Наукова новизна одержаних результатів полягає як у розвитку нових концепцій і підходів, що базуються на застосуванні дробових операторів, так і в демонстрації нових фізичних ефектів, а також розвитку нових методів і засобів обчислювальної електродинаміки.

Наукова новизна роботи полягає у наступному:

1. Розроблено нові математичні моделі струмів і полів з використанням дробового оператора ротора та встановлено, що вони можуть застосовуватися в задачах відбивання електромагнітних хвиль від меж із анізотропними імпедансними граничними умовами або біанізотропного шару. Отримано аналітичні вирази, що пов'язують дробовий показник як з елементами тензору анізотропного імпедансу, так і з параметрами біанізотропного шару (товщиною, кіральністю і параметром Теллегена).

2. Встановлено, що дробове поле може моделювати хвилю, що проходить крізь кіральний шар, при цьому наведено визначення дробового порядку через кіральність.

3. Вперше розв'язано задачу дифракції на стрічці з ДГУ та розроблено метод розв'язання цієї задачі. Встановлено, що ДГУ можуть застосовуватися для моделювання розсіювання від меж з імпедансними граничними умовами. Наведено аналітичну формулу, що визначає дробовий показник через значення імпедансу.

4. Вперше одержано аналітичний розв'язок задачі дифракції на стрічці з ДГУ для усіх значень довжини хвилі при спеціальному значенні дробового показника Ѕ.

5. Встановлено та надано пояснення резонансів для поперечника зворотного розсіяння для стрічки з ДГУ при значенні дробового порядку Ѕ при великих значеннях довжини хвилі у порівнянні з шириною стрічки, що відсутні для інших значень дробового порядку. Подібна стрічка має "надхвильові" властивості, тобто може ефективно відбивати електромагнітні хвилі з довжиною хвилі набагато більшими, ніж її поперечні розміри.

Практичне значення одержаних результатів. Цінність моделей, одержаних із застосуванням дробового ротора, полягає у практичних рекомендаціях щодо побудови поляризаторів на основі біанізотропних (зокрема, кіральних) матеріалів. Запропоновано фізичну структуру у вигляді шару з анізотропного матеріалу на ідеально провідній поверхні, яка може служити ефективним перетворювачем поляризації. Отримана залежність між заданим значенням дробового порядку і параметрами структури дозволяє керувати поляризацією відбитого поля. Це може знайти застосування при розробці антен із заданими характеристиками.

Запропонований метод розв'язання задачі дифракції, заснований на застосуванні узагальненої дробової теореми Гріна і ортогональних поліномів, потребує менше чисельних розрахунків у порівнянні з відомими методами для імпедансних граничних умов.

Треба відзначити можливість аналітичного роз'вязку задачі дифракції при значенні дробового показника Ѕ для будь-якої довжини хвилі, що дозволяє більш якісно и точно дослідити властивості подібних меж. ДГУ порядку Ѕ описує якісно нову межу, яка може моделюватися імпедансними граничними умовами із значенням імпедансу ( - кут падіння) або шаром із матеріалу з ефективними значеннями діелектричної і магнітної проникності, пов'язаними співвідношенням . Розглянута модель структури, що описується ДГУ при значенні дробового показника Ѕ, має для поперечника зворотного розсіяння резонанси по куту падіння при великих значеннях довжини хвилі у порівнянні з шириною стрічки. Це може служити основою при проектуванні компактних "надхвильових" відбивачів.

Можливості запропонованих концепцій, використаних методів і засобів роблять їх перспективними для подальшого застосування в задачах дифракції на різноманітних структурах. Вони можуть бути застосовані при синтезі фізичних структур із заданими розсіювальними властивостями.

Особистий внесок здобувача. Опубліковані наукові результати отримано як особисто автором [1, 2], так і при його співучасті. У роботах, виконаних у співавторстві, внесок дисертанта полягає в участі в розробці теоретичних підходів розв`язання задач [3-12], повній побудові та верифікації відповідних чисельних алгоритмів [4, 5, 13, 14], участі в аналізі і фізичній інтерпретації одержаних результатів [4, 5, 10-14].

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень за темою дисертації обговорювались на наукових семінарах ІРЕ ім. О. Я. Усикова НАН України з проблеми "Теорія дифракції та дифракційна електроніка"; на семинарі "Интегральные уравнения в электромагнетизме" ім. М. А. Хижняка в Харківському національному университеті радіоелектроніки; III (грудень 2003 р.), IV (грудень 2004 р.) та V (2005 р.) Харківських конференціях молодих вчених "Радиофизика и СВЧ электроника"; міжнародній конференції "Дни дифракции" (Санкт-Петербург, Росія, червень 2007 р.); V (Харків, 2004 р.) міжнародному симпозіумі "Physics and engineering of microwaves, millimeter, and submillimeter waves"; X (Дніпропетровськ, вересень 2004 р.), XI (Харків, червень 2006 р.) та XII (Одеса, червень 2008 р.) міжнародних конференціях "Mathematical methods in electromagnetic theory"; IV (Гебзе, Турція, 2007 р.) та V (Анталія, Турція, 2008 р.) міжнародних конференціях "International workshop on electromagnetic wave scattering (EWS)"; "International conference on telecommunications in modern satellite, cable and broadcasting services (TELSIKS)" (Сербія, 2007 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи відображено в 14 друкованих роботах, з них 5 статей у вітчизняних фахових виданнях та закордонних журналах [1-5] і 9 тез доповідей на різних міжнародних конференціях [6-14].

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається із переліку умовних позначень, вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних джерел і 1 додатку. Її повний обсяг складає 162 сторінок, з них 127 сторінок основного тексту. Дисертація містить 60 рисунків (з них 32 на 11 окремих сторінках). Список використаних джерел на 12 сторінках нараховує 116 найменувань. Додаток займає 6 сторінок.

2. Основний зміст роботи

Перший розділ роботи присвячено аналізу літературних джерел, пов'язаних із застосуванням фракталізованих (дробових) операторів в задачах електродинаміки. Відзначено великий інтерес вітчизняних і закордонних авторів до нового фундаментального напрямку "фрактальна радіофізика", заснованого на використанні теорії дробової розмірності, скейлінгових ефектів і дробових операторів. Продемонстровано основні моделі на базі операторів дробового інтегродиференціювання і дробового ротора, що дозволяють описати більш широкий клас фізичних задач. Один з можливих способів отримання нових, так званих "проміжних", розв'язків заснований на концепції "Фрактальна парадигма в електродинаміці", що була запропонована N. Engheta. Огляд літератури доводить, що результативність радіофізичних досліджень може бути значно підвищено завдяки застосуванню дробових операторів для опису хвильових явищ, включаючи випромінювання та розсіювання різноманітними структурами.

Другий розділ присвячено базовим принципам методу дробових операторів (МДО), а також розгляду дробового ротора в задачах випромінювання.

Під фракталізованим чи дробовим оператором від лінійного оператора мається на увазі оператор із наступними властивостями:

1. при : - початковий оператор;

2. при : - одиничний оператор;

3. .

В роботі в якості лінійного оператора розглядаються такі широко застосовувані в електродинаміці оператори, як похідна, інтеграл і ротор. В результаті фракталізації отримаємо дробові оператори: - дробова похідна (інтеграл), - дробовий ротор. Дробовий порядок вважається .

Метою даного розділу є дослідження фізичних властивостей дробового поля, отриманого в результаті застосування до відомого поля . Якщо є розв'язком рівнянь Максвелла в однорідному ізотропному середовищі з діелектричною проникністю і магнітною проникністю

, , (1)

то після застосування отримаємо нове дробове поле :

, , (2)

дробовий випромінювання дифракція електромагнітний

де , . Залежність від часу вважається .

Мотивація розгляду пов'язана з можливістю отримання нових проміжних ("дробових") розв'язків рівнянь Максвелла (1). Дійсно, з рівнянь (2) виходить, що при дробове поле відповідає початковому полю , а при маємо дуальне поле . Побудоване дробове поле у вигляді (2) при задовольняє рівнянням Максвелла (1) з тими ж параметрами середовища .

N. Engheta запропонував загальну схему одержання фракталізованого оператора від довільного лінійного оператора і навів у явному вигляді вираз для функції однієї змінної. У другому розділі наводяться вирази для функцій двох і трьох змінних, що виражаються у вигляді експонент:



де , - символ Кронекера.

Для розуміння важливіших властивостей дробового поля (2) розглянуто наступні канонічні задачі в електродинаміці:

– поширення плоскої хвилі;

– випромінювання листка струму (одновимірний випадок);

– випромінювання нитки струму (двовимірний випадок);

– випромінювання диполя струму - точкове джерело (тривимірний випадок).

У кожній задачі вважаємо, що початкове поле відоме. Після застосування , отримаємо дробове поле (2), властивості якого досліджуються. При цьому показник , що характеризує дробність розв'язку, буде визначатися фізичними параметрами задачі.

Дію на плоску хвилю, що поширюється в однорідному середовищі, можна трактувати як поворот у фазовій площині на кут . Це відповідає зміні поляризації поля. Поляризація дробового поля залежить від поляризації початкового поля і значення . Якщо поле є лінійно поляризованим, то вектор теж має лінійну поляризацію, але вектор поляризації повернений на кут

.

У випадку, коли початкове поле має еліптичну поляризацію, при цьому вектор поляризації описує еліпс з піввісями ,, тоді при має еліптичну поляризацію, але піввісі еліпсу , повернуті на деякий кут відносно координатних осей. При еліпс має піввісі та .

Розглянемо електричний диполь, що розташований у точці і має щільність розподілення , де - момент диполю. Дробове поле можна описати як поле випромінювання електричного струму, розподіленого із щільністю

.

Магнітний диполь моделюється як кільце електричного струму, тобто магнітний диполь із щільністю магнітного струму можна еквівалентним чином замінити на "кільце" електричного струму, розподіленого із щільністю . Дробове поле можна трактувати як поле, що випромінюється одночасно двома диполями - електричним та магнітним.

Виходячи з отриманих зображень для канонічних джерел, можна показати наступну важливу властивість дробового поля: якщо початкове поле в ізотропному середовищі є полем випромінювання деякого розподілення електричного і магнітного струмів із щільністями і , то дробове поле від відповідає вже новим "дробовим" джерелам :

, . (3)

З виразу (3) бачимо, що дробові струми розподілені у тому ж об'ємі, що і початкові струми. Застосування приводить до перемішування електричних і магнітних властивостей у тому сенсі, що дробове електричне поле є комбінацією початкового електричного і магнітного полів.

В окремому випадку, коли магнітний струм відсутній (), дробові струми (3) являють собою проміжний стан між електричним і магнітним струмами. Дійсно, при є тільки магнітний струм, , , що співпадає за амплітудою та за напрямком з початковим електричним струмом. З іншого боку, дробове поле можна вважати полем, що випромінюється тільки електричним струмом із щільністю . Зазначимо, що цей розподіл електричного струму, що задається функцією дробового ротора , яка в загальному випадку може мати складний вигляд, і комбінація електричного і магнітного струмів (3) еквівалентні у тому сенсі, що вони відповідають однаковим полям випромінювання.

Досліджені у другому розділі фундаментальні властивості дробових полів в задачах випромінювання є теоретичною основою для моделювання полів в задачах відбивання, що розглянуті у наступному розділі.

Третій розділ присвячено "дробовим" розв`язкам двовимірних задач про відбивання від плоских меж поділу, що отримані в результаті застосування дробового ротора. Ідея розглянутого підходу базується на одержанні дробового поля, як результат застосування до відомого розв'язку задачі. Оператор забезпечує виконання рівнянь Максвелла в тому ж середовищі. Дробове поле відповідає розв'язку задачі відбивання від межі з тією ж геометрією, але з новими властивостями. Даний розділ присвячено дослідженню властивостей і побудові фізичних моделей для опису "дробових" меж.

Розглянемо класичну двовимірну задачу про відбивання похило падаючої плоскої хвилі від межі поділу, що розташована в площині і описується граничними умовами (ГУ) з імпедансом

, .(4)

Вважаючи, що нам відомий розв`язок задачі для імпедансної межі (4), розглянемо два способи побудови дробового поля :

(1) застосування до повного поля:

; (5)

(2) застосування тільки до відбитого поля:

, .(6)

Для випадку (5) дробова межа описує проміжний стан між імпедансною межею із значенням () і "дуальною" межею з імпедансом (). Дробову межу можна описати за допомогою ГУ

,

де імпеданс є тензор.

В окремих випадках тензора отримано вирази, що визначають через і . Якщо прийняти , то маємо вирази для дробового імпедансу

,

,

де , - коефіцієнти відбиття.

В загальному випадку значення і не співпадають, що пов'язано з анізотропією дробової межі.

Для випадку можна показати, що має місце співвідношення для поверхневих струмів

, .

Поверхневі струми є паралельними один одному на відміну від ізотропної імпедасної межі, коли струми є перпендикулярними. Подібні межі було розглянуто в роботах I. V. Lindell і A. H. Sihvola для опису ідеально електрично-магнітно провідної (ІЕМП) межі, яка відповідає ГУ з параметром

.

Щоб побудувати модель межі для випадку (6), розглянемо біанізотропний шар () над ІЕП межею (). Біанізотропне середовище описується матеріальними рівняннями

, ,

де , - діелектрична і магнітна проникності, відповідно. Коефіцієнти , мають вигляд

, ,

де - параметр Теллегена, - кіральність.

Для дробової межі коефіцієнт відбиття можна виразити через початкові коефіцієнти ,

,

.

Як було показано у попередньому розділі, застосування дробового ротора приводить до зміни поляризації поля. Також зміна поляризації спостерігається при відбиванні чи проходженні через біанізотропний шар. Дробова межа може моделювати біанізотропний шар, якщо вибрати таким чином, що коефіцієнти ко-поляризації и кросполяризації пов'язані рівняннями

, .

Рівняння для знаходження має вигляд

де , , .

Проведено чисельний аналіз відбиваючих властивостей запропонованої структури, зокрема, наведено залежності дробового порядку і коефіцієнтів відбиття від параметрів шару (рис. 1, 2). Окремо проаналізовано випадки, при яких , що відповідає коефіцієнтам , (рис. 3, 4). Значення , близькі до 1, відповідають , що описує ефект зміни поляризації, коли падаюча плоска хвиля перетворюється в відбиту плоску хвилю з поляризацією, що повернута на відносно падаючої хвилі.

Рис. 1. Дробовий порядок як функція товщини шару для .

Рис. 2. Кросполяризований коефіцієнт відбиття для тих же значень параметрів, що і на рис. 1.



Рис. 3. Дробовий порядок як функція товщини шару для параметра Теллегена і значень , близьких до 0,1.

Рис. 4. Кополяризований коефіцієнт відбиття для тих же значень параметрів, що і на рис. 3.

Аналогічно розглянуто кіральний шар, при цьому дробове поле моделює хвилю, що пройшла крізь шар. Дробовий порядок визначається через кіральність і товщину з наступного рівняння:

.

Показано застосування дробових джерел як дзеркальних джерел в задачах відбиття. Дробові джерела, отримані за допомогою , можуть служити простим способом опису розв'язку задачі відбиття від ІЕМП межі.

Четвертий розділ присвячено розгляду дробової похідної та інтеграла в класичних задачах електродинаміки. За допомогою дробового інтегродиференціювання узагальнено такі фундаментальні поняття електродинаміки, як канонічні джерела поля (що описуються дельта-функцією Дирака), функція Гріна. Також виведено нове співвідношення, що узагальнює теорему Гріна:

де - функція, що задовольняє рівнянню Гельмгольца всередині області, що розглядається. Дробова теорема Гріна визначає зображення функції через значення її дробової похідної на межі області і дробової похідної функції Гріна. Дробова теорема Гріна буде використана у наступному розділі при зображенні розсіяного поля в задачі дифракції.

Наведено приклад дробового джерела струму з функцією розподілу у вигляді дробового інтеграла. Ці дробові джерела визначають проміжний стан між одновимірним розподіленням струму (листок струму) і двовимірним (нитка струму).

Окремий пункт присвячено введенню нових дробових граничних умов (ДГУ) із використанням дробової похідної:

, , .

Дробова похідна береться вздовж нормалі до поверхні . ДГУ є проміжним станом між ІЕП () і ІМП () межами.

У п'ятому розділі розглядається двовимірна задача дифракції електромагнітних хвиль на стрічці з ДГУ

, .(7)

Стрічка шириною розташована в площині і нескінченна вздовж осі . Падаюче поле - E-поляризована плоска хвиля , де - кут падіння, - хвильове число.

В роботі запропоновано новий метод, заснований на застосуванні дробової теореми Гріна, наведеної у попередньому розділі. Розсіяне поле можна записати у вигляді

, (8)

де - невідома функція. В двовимірному випадку дробова функція Гріна в (8) виражається як дробова похідна класичної функції Гріна вільного простору:

. (9)

Застосовуючи перетворення Фур'є, можна отримати систему інтегральних рівнянь (СІР) відносно функції :

(10)

Як окремі випадки, СІР (10) відповідає відомим рівнянням для ІЕП () і ІМП стрічки (). Записуючи функцію у вигляді ряду за поліномами Гегенбауера

,

що задовольняє умові на ребрі

, ,

розв'язання СІР (10) зводиться до розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів .

Треба зазначити, що застосування зображення (8) через дробову функцію Гріна (9) для ДГУ (7) дозволило отримати аналітичний розв'язок задачі дифракції для окремого значення дробового порядку у вигляді . В цьому випадку діаграма спрямованості виражається як

.

На основі побудованого чисельного алгоритму досліджено такі фізичні характеристики "дробової" стрічки, як діаграма спрямованості, поперечник зворотного розсіяння, і наведено відповідні чисельні результати (рис. 5, 6).

Встановлено резонанси для "дробової" стрічки при значенні дробового порядку Ѕ, що відрізняє розв'язок для від розв'язків з іншими значеннями (рис. 5). Показано, що така межа має "надхвильові" властивості, тобто може ефективно відбивати електромагнітні хвилі з довжиною, набагато більшою, ніж поперечні розміри стрічки.

Виходячи з того, що розподіл поверхневих струмів на "дробовій" стрічці є схожим із стрічкою з імпедансними ГУ, проведено якісне і кількісне порівняння розсіювальних характеристик обох стрічок. В результаті цього аналізу

– виведено співвідношення між дробовим порядком і імпедансом;

– показано, що при окремому значенні є точний збіг розв`язків для обох стрічок;

Проведено чисельне порівняння діаграми спрямованості, поперечників розсіяння для різних значень . Таким чином, проаналізовано рамки застосування ДГУ для моделювання імпедансних меж в залежності від початкових параметрів задачі дифракції.

Розв'язок задачі дифракції на стрічці з ДГУ описується за допомогою однієї невідомої функції щільності потенціалу і приводить до розв'язання одного інтегрального рівняння. Тоді як для стрічки з імпедансними ГУ задача зводиться до двох незалежних інтегральних рівнянь відносно двох функцій, що відповідають щільності поверхневих струмів. Таким чином, пошук розв'язку для "дробової" стрічки потребує менше чисельних розрахунків у порівнянні із імпедансною стрічкою.

В додатку наведено порівняльну таблицю методів розв'язання задач дифракції на стрічці з ДГУ і імпедансної стрічки.

Рис. 5. Поперечник зворотного розсіяння як функція кута падіння для значення .



Рис. 6. Поперечник зворотного розсіяння як функція кута падіння для .

Висновки

В дисертаційній роботі розв'язано актуальну наукову задачу радіофізики, пов'язану із розробкою нових моделей і методів, що базуються на використанні дробових операторів, в задачах випромінювання та дифракції електромагнітних хвиль на двовимірних структурах. Це є основою так званого методу дробових операторів, що базується на "фрактальній парадигмі", запропонованій N. Engheta. Моделі, що базуються на застосуванні дробових операторів, відповідають проміжним розв'язкам, тим самим розширюючи класичні моделі.

1. В роботі побудовані нові моделі дробових джерел струму і дробових полів за допомогою дробового ротора та дробового інтеграла. Для цього знадобилося отримати вирази для дробового ротора функцій двох і трьох змінних, що розширюють результаті, отримані N. Engheta для функцій однієї змінної. Дробові джерела струму є проміжним станом між електричним і магнітним струмами.

2. В двовимірних задачах відбиття електромагнітних хвиль від межі поділу розв'язок зображується як результат застосування дробового ротора до відомого розв'язку задачі на імпедансній межі. Новий дробовий розв'язок відповідає новим межам, параметри якої залежать від початкової межі та порядку дробового ротора. Встановлено, что ці межі можна моделювати за допомогою анізотропних імпедансних ГУ або біанізотропного шару. Отримано аналітичні вирази, що пов'язують дробовий порядок як з елементами тензору анізотропного імпедансу, так і з параметрами біанізотропного шару (товщиною, кіральністю і параметром Теллегена). В окремому випадку дробова межа може моделюватися ідеально електрично-магнітно провідною межею, що була введена у розгляд I. V. Lindell. Для побудованої математичної моделі відбитого поля із використанням дробового ротора запропоновано фізичну структуру у вигляді шару із анізотропного матеріалу на ідеально провідній поверхні, що перетворює початкову лінійну поляризацію падаючого поля в довільну (лінійну або еліптичну) поляризацію відбитого поля.

3. В роботі вперше розв'язано двовимірну задачу дифракції на стрічці з ДГУ. Як окремі випадки ДГУ відповідають граничним умовам для ІЕП та ІМП меж. Розроблено новий оригінальний алгоритм, що базується на застосуванні узагальненої дробової теореми Гріна і ортогональних поліномів, який дозволив дослідити такі розсіювальні характеристики стрічки, як діаграма спрямованості, поперечники розсіювання, щільність розподілу поверхневих струмів. Розв'язання задачі дифракції на стрічці з ДГУ зводиться до розв'язання одного інтегрального рівняння, тоді як для стрічки з ІГУ задача дифракції потребує розв'язання двох інтегральних рівнянь. Розроблено алгоритм дискретизації отриманого сингулярного інтегрального рівняння із степеневим ядром. Продемонстровано переваги запропонованого методу, пов'язані зі зменшенням чисельних затрат у порівнянні з відомими методами для подібних імпедансних меж. Цей метод може бути поширений для розв'язання задач дифракції на інших структурах, зокрема, гратках.

Проведено якісне і чисельне порівняння розсіювальних властивостей стрічки з ДГУ і імпедансної стрічки для різноманітних значень довжини хвилі і кутів падіння. З наближення фізичної оптики наведено аналітичну формулу для визначення дробового порядку через імпеданс. Показано рамки застосування ДГУ для моделювання імпедансної стрічки.

4. Вперше одержано аналітичний розв`язок задачі дифракції на стрічці з ДГУ для всіх значень довжини хвилі при окремому значенні дробового порядку, що дорівнює Ѕ. Зазначимо, що відомі методи розв'язку задач дифракції на імпедансних межах не дозволяють отримати подібний аналітичний розв'язок при будь-якому значенні довжини хвилі.

5. Встановлено резонанси для поперечника зворотного розсіювання для стрічки з ДГУ при значенні дробового порядку Ѕ при достатньо великих значеннях довжини хвилі у порівнянні з шириною стрічки, що відсутні для інших значень дробового порядку. Показано, що ця межа має "надхвильові" властивості, тобто може ефективно відбивати електромагнітні хвилі з довжиною, набагато більшою, ніж розміри стрічки.

Застосування дробових операторів в класичній електродинаміці розширює наші уявлення про хвильові процеси и розширює засоби обчислювальної електродинаміки. Запропоновані моделі можуть бути корисними при синтезі розсіювальних структур із заданими властивостями, зокрема, при побудові поляризаторів на основі біанізотропних, кіральних матеріалів. Розглянута модель стрічки з ДГУ може бути корисною при проектуванні компактних відбивачів.

Список праць, опублікованих за темою дисертації

1. Ивахниченко М.В. Метод дробных операторов в задаче излучения нити тока над плоской границей раздела / М.В. Ивахниченко // Радиофизика и электроника: Сборник научных трудов / НАН Украины. Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова. - Харьков, 2006. - Т. 11, №3. - С. 372-376. (Англомовна версія: Ivakhnychenko M.V. Method of fractional operators in the problem of excitation of electric current thread above the plane boundary / M.V. Ivakhnychenko // Telecommunications and radio engineering. - 2008. - Vol. 67, №2. - P. 97-108).

2. Ивахниченко М. В. Поляризационные свойства дробных полей / М.В. Ивахниченко // Радиофизика и электроника: Сборник научных трудов / НАН Украины. Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова. - Харьков, 2007. - Т. 12, №2. - С. 328-334. (Англомовна версія: Ivakhnychenko M. V. Polarization properties of fractional fields / M.V. Ivakhnychenko // Telecommunications and radio engineering. - 2008. - Vol. 67, №7. - P. 567-581).

3. Ivakhnychenko M.V. Fractional operators approach in electromagnetic wave reflection problems / M.V. Ivakhnychenko, E.I. Veliev, T.M. Ahmedov // Journal of electromagnetic waves and applications. - 2007. - Vol. 21, №13. - P. 1787-1802.

4. Veliev E.I. Fractional boundary conditions in plane waves diffraction on a strip / E.I. Veliev, M.V. Ivakhnychenko, T.M. Ahmedov // Progress in electromagnetics research. - 2008. - Vol. 79. - P. 443-462.

5. Ivakhnychenko M.V. Scattering properties of the strip with fractional boundary conditions and comparison with the impedance strip / M.V. Ivakhnychenko, E.I. Veliev, T.M. Ahmedov // Progress in electromagnetics research C. - 2008. - Vol. 2. - P. 189-205.

6. Ivakhnychenko M.V. Fractional curl operator in radiation problems / M.V. Ivakhnychenko, E.I. Veliev // Mathematical methods in electromagnetic theory: 10th international conference, 14-17 Sept. 2004: conf. proc. - Dnieperpetrovsk, Ukraine, 2004. - P. 231-233.

7. Ahmedov T.M. Fractional solutions of Helmholtz equation in scattering problems / T.M. Ahmedov, M.V. Ivakhnychenko, E.I. Veliev // Physics and engineering of microwaves, millimeter, and submillimeter waves: The fifth international Kharkov symposium, 21-26 June 2004: conf. proc. - Kharkiv, Ukraine, 2004. - Vol. 2. - P. 910-912.

8. Ivakhnychenko M.V. Elementary fractional dipoles / M.V. Ivakhnychenko, E.I. Veliev // Mathematical methods in electromagnetic theory: 11th international conference, 26 June - 1 July 2006 : conf. proc. - Kharkiv, Ukraine, 2006. - P. 485-487.

9. Ahmedov T.M. New generalized electromagnetic boundaries: fractional operators approach / T.M. Ahmedov, M.V. Ivakhnychenko, E.I. Veliev // Mathematical methods in electromagnetic theory: 11th international conference, 26 June - 1 July 2006: conf. proc. - Kharkiv, Ukraine, 2006. - P. 434-436.

10. Ahmedov T.M. Fractional operators approach in wave propagation, reflection and radiation problems / T.M. Ahmedov, E.I. Veliev, M.V. Ivakhnychenko // Electromagnetic wave scattering: IVth international workshop, 18-22 Sept. 2006: conf. proc. - Gebze, Turkey, 2006. - P. 33-38.

11. Ivakhnychenko M.V. Fractional boundary conditions in diffraction problems on plane screens / M.V. Ivakhnychenko, E.I. Veliev, Т.М. Ahmedov // Days on diffraction: international conference, May 29 - June 1, 2007: conf. proc. - Saint-Petersburg, Russia, 2007. - P. 88.

12. Ivakhnychenko M.V. Fractional operators approach in reflection and diffraction problems / M.V. Ivakhnychenko, E.I. Veliev // Telecommunications in modern satellite, cable and broadcasting services (TELSIKS): 8th international conference, 26-28 Sept. 2007: conf. proc. - Nis, Serbia, 2007. - P. 254-257.

13. Ivakhnychenko M.V. Fractional boundary conditions in scattering problems / M.V. Ivakhnychenko, T.M. Ahmedov, E.I. Veliev // Mathematical methods in electromagnetic theory: 12th int. conf., 29 June - 2 July 2008: conf. proc. - Odesa, Ukraine, 2008. - P. 226-228.

14. Veliev E.I. Scattering properties of the strip with fractional boundary conditions / E.I. Veliev, M.V. Ivakhnychenko, T.M. Ahmedov // Electromagnetic wave scattering: Vth international workshop, 22-25 Oct. 2008: conf. proc. - Antalya, Turkey, 2008. - P.313-318.

Размещено на Allbest.ru

...