Релятивістські осциляторні моделі з немінімальним включенням взаємодії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.04.02 - теоретична фізика

Релятивістські осциляторні моделі

з немінімальним включенням взаємодії

Куліков Дмитро Олександрович

Дніпропетровськ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної фізики Дніпропетровського національного університету ім. Олеся Гончара Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор,

заслужений діяч науки і техніки України

Тутік Руслан Семенович,

Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара, м. Дніпропетровськ,

професор кафедри теоретичної фізики.

Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, професор, академік НАН України

Шульга Микола Федорович,

Національний Науковий Центр “Харківський фізико-технічний інститут”, м. Харків,

директор інституту теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера.

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Гаврилик Олександр Михайлович,

Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, м. Київ, в.о. завідувача відділу математичних методів в теоретичній фізиці.

Захист дисертації відбудеться “27” листопада 2009 р. о 14 год. 15 хв. на засіданні Спеціалізованої вченої ради Д 08.051.02 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова 10, корп. 11, ауд. 300.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету ім. Олеся Гончара (49050, м. Дніпропетровськ, вул. Казакова, 8).

Автореферат розісланий “ 9 ” жовтня 2009 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради Д 08.051.02,

професор Спиридонова І.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Гармонічний осцилятор посідає особливе місце у квантовій механіці. Рівняння Шредингера з потенціалом гармонічного осцилятора не лише становить академічний інтерес як задача, що має точний розв'язок, але й знаходить численні практичні застосування в різних галузях фізики. Спроби залучити гармонічний осцилятор до задач спектроскопії ядер і адронів зіткнулись з необхідністю врахування релятивістських ефектів, що обумовило актуальність поширення концепції гармонічного осцилятора на випадки релятивістських квантово-механічних рівнянь Дірака, Клейна-Гордона і Даффіна-Кеммера-Петьо.

Однак, на відміну від нерелятивістського рівняння Шредингера, зазначені релятивістські рівняння допускають різні способи введення потенціальної взаємодії. Одним із ще недостатньо вивчених є так званий немінімальний спосіб. Як і стандартний, мінімальний, він реалізується шляхом переходу до узагальненого імпульсу, з тією відмінністю, що узагальнений імпульс набуває матричної структури.

Немінімальне введення взаємодії в рівняння Дірака дозволило отримати точнорозв'язувану модель, яка в нерелятивістському наближенні перетворюється на гармонічний осцилятор. Ця модель, відома під назвою “осцилятор Дірака”, та подібні до неї моделі осциляторів Клейна-Гордона і Даффіна-Кеммера-Петьо останнім часом привернули увагу багатьох дослідників. Інтерес обумовлено можливістю їх використання для опису сильної утримуючої взаємодії між кварками в адронах. Проте на заваді стає нефізичне виродження в спектрах енергій моделей даного типу. Зважаючи на те, що точнорозв'язувані моделі дають змогу проводити аналітичне дослідження властивостей багатьох реальних фізичних систем, актуальною задачею є побудова осциляторних моделей, які б були вільними від зазначеного недоліку.

Крім того, немінімальний спосіб введення взаємодії має й друге призначення: він дозволяє включати взаємодію з аномальним магнітним моментом частинки. Важливим прикладом, що вимагає врахування її внеску, є опис мезонного водню -- атомоподібних зв'язаних станів протона і негативно зарядженого мезона. Точність сучасних експериментальних даних робить актуальною розробку послідовного релятивістського опису цієї задачі. Він передбачає розгляд немінімально введеної взаємодії на фоні лоренц-скалярного і лоренц-векторного потенціалів, що має своєю передумовою побудову релятивістського двочастинкового рівняння для системи ферміон-бозон, яке б допускало не тільки мінімальне, але й немінімальне введення взаємодії.

На розв'язання вказаних вище проблем і спрямована дана дисертація.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводились на кафедрі теоретичної фізики факультету фізики, електроніки та комп'ютерних систем Дніпропетровського національного університету згідно з тематичними планами держбюджетних науково-дослідницьких робіт, затвердженими Міністерством освіти і науки України, в рамках тем: № 1-049-03 “Дослідження спектрів зв'язаних станів малочастинкових квантових систем”, номер держреєстрації № 0103U000539, та № 1-110-06, “Дослідження властивостей кварк-глюонної взаємодії і зв'язаних станів квантової фізики”, номер держреєстрації № 0106U000782.

Мета і задачі дослідження. Метою досліджень, проведених у дисертаційній роботі, є побудова моделей релятивістських квантово-механічних осциляторів з введенням потенціальної взаємодії у мінімальний та немінімальний спосіб, аналіз властивостей спектрів зв'язаних станів побудованих моделей та перевірка їх застосовності у фізиці адронів.

Для досягнення зазначеної мети необхідно було розв'язати наступні задачі:

1. Узагальнити модель осцилятора Даффіна-Кеммера-Петьо з урахуванням існування різних нееквівалентних способів немінімального введення взаємодії.

2. Узагальнити модель осцилятора Клейна-Гордона шляхом додавання взаємодії зі сферично-симетричними лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами.

3. Розробити рекурентні формули для отримання редже-траєкторій зв'язаних станів для дослідження властивостей спектрів рівнянь Клейна-Гордона і Даффіна-Кеммера-Петьо зі сферично-симетричними потенціалами, введеними у мінімальний та немінімальний спосіб.

4. Побудувати релятивістське хвильове рівняння для двочастинкової системи ферміон-бозон з потенціалами взаємодії різної лоренцівської структури.

5. Відшукати точнорозв'язувану модель ферміон-бозонного осцилятора.

6. Перевірити можливість практичного застосування одержаних рівнянь до задач на зв'язані стани у фізиці адронів.

Об'єкт дослідження. Закономірності спектрів зв'язаних станів релятивістських частинок у потенціальних полях та зв'язаних станів двочастинкових систем.

Предмет дослідження. Хвильові функції, власні значення енергії і редже-траєкторії зв'язаних станів квантово-механічних рівнянь, способи включення потенціалів взаємодії.

Методи дослідження. Дослідження проводились як аналітичними, так і чисельними методами. Основними аналітичними методами, що використовувалися у дисертації, є методи теорії диференціальних рівнянь та теорії функцій комплексної змінної. Також застосовувалися методи асимптотичних розкладів та теорії груп. Більшу частину комп'ютерних розрахунків проведено в інтегрованому програмному середовищі Maple; окремі розрахункові програми реалізовано на мові програмування Fortran.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що вперше:

1. Знайдено точний осцилятороподібний розв'язок рівняння Даффіна-Кеммера-Петьо з немінімально введеною взаємодією, який відрізняється від відомих в літературі відсутністю спін-орбітального зв'язку.

2. Одержано прості рекурентні формули для обчислення редже-траєкторій для зв'язаних станів рівнянь Клейна-Гордона і Даффіна-Кеммера-Петьо зі сферично-симетричними лоренцівськими скалярним і векторним потенціалами загального вигляду, доповненими немінімально введеною взаємодією.

3. На основі розширення групи SL(2,C) запропоновано новий метод побудови релятивістських рівнянь для опису двочастинкових квантово-механічних систем. Побудовано рівняння для системи ферміон-бозон, яке містить не тільки лоренц-скалярні та лоренц-векторні потенціали, а ще й лоренц-тензорні, введені у немінімальний спосіб, що дозволяє самоузгоджено описати внесок аномального магнітного моменту ферміона.

4. Знайдено нову точнорозв'язувану модель ферміон-бозонного осцилятора з взаємодією, введеною одночасно у мінімальний та немінімальний спосіб, і встановлено її суперсиметричні властивості.

5. Показано, що як мінімальне, так і немінімальне введення сильної утримуючої взаємодії в моделі кварконіїв однаково добре узгоджуються з існуючими експериментальними даними.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що

1. Запропоновані в дисертаційній роботі моделі релятивістських осциляторів з немінімальним введенням взаємодії та додатковою взаємодією з лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами розширюють клас задач з точними або наближеними аналітичними розв'язками, які можуть бути застосованими як перше наближення при описі реальних малочастинкових квантових систем, а також для тестування різного роду чисельних методів.

2. Розроблена рекурентна схема обчислення редже-траєкторій релятивістських хвильових рівнянь з мінімальним і немінімальним введенням взаємодії розширює можливості аналітичного дослідження спектрів зв'язаних станів квантових систем.

3. Одержане релятивістське хвильове рівняння для двочастинкової системи ферміон-бозон дозволяє самоузгоджено враховувати ефекти, обумовлені спіном та аномальним магнітним моментом ферміона, що має особливе значення при описі властивостей мезонних атомів.

Особистий внесок здобувача. Дисертантом було знайдено точні розв'язки рівнянь Даффіна-Кеммера-Петьо [1,9] і Клейна-Гордона [14], а також розвинуто рекурентну схему для обчислення редже-траєкторій зв'язаних станів цих рівнянь за присутності немінімально введеної взаємодії [6,7,10-12]. В роботах [6,13] автором досліджено відмінності у поведінці редже-траєкторій адронів при введенні утримуючої міжкваркової взаємодії в мінімальний та немінімальний спосіб. У праці [4] на основі розширення групи SL(2,C) дисертантом було побудовано релятивістське рівняння для системи ферміон-бозон. В наступних публікаціях [5,8] автором проведено узагальнення запропонованого рівняння на випадок різних мас ферміона і бозона та встановлено зв'язок з рівняннями, отриманими в рамках інших підходів. Для системи ферміон-бозон з взаємодією осциляторного типу дисертантом було одержано в аналітичній формі спектр енергій і власні хвильові функції [2,3]. В роботі [15] автором побудовано модель атома піонного водню та в її межах розраховано піон-нуклонні довжини розсіяння. Всі аналітичні і комп'ютерні розрахунки виконані дисертантом особисто. Науковим керівником, докт. фіз.-мат. наук проф. Тутіком Р.С. здійснювалась постановка задач, обговорення напрямків досліджень і результатів робіт [1-15]. Канд. фіз.-мат. наук доц. Ярошенко А.П. розробив математичну базу для розширення групи SL(2,C), використаного у роботі [4], і дослідив властивості алгебри Кеммера у роботі [1].

Апробація результатів дисертації. Матеріали дослідження було представлено на: конференціях молодих учених і аспірантів "ІЕФ-2003", "ІЕФ-2009", Інститут електронної фізики НАН України, м. Ужгород; Міжнародних наукових конференціях студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики "ЕВРІКА-2004", "ЕВРІКА-2005", ЛНУ ім. І. Франка, м. Львів; на секції гравітації та теоретичної фізики VIII-XI Міжнародних молодіжних науково-практичних конференцій "Людина і космос", 2006 - 2009 р., Національний центр аерокосмічної освіти молоді України, м. Дніпропетровськ; Міжнародних школах-семінарах "Нова фізика і квантова хромодинаміка у зовнішніх умовах", 2007 р., 2009 р., ДНУ ім. Олеся Гончара, м. Дніпропетровськ.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в 15 наукових працях, з них 7 у реферованих журналах та 8 у матеріалах і тезах доповідей міжнародних конференцій.

Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел із 130 найменувань та двох додатків. Дисертація містить 3 таблиці, 5 рисунків, її повний обсяг -- 110 сторінок. Таблиці займають 2 сторінки, рисунки -- 3 сторінки, список використаних джерел -- 14 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраного напрямку досліджень, сформульовано мету і задачі роботи, вказано на зв'язок досліджень з науковими програмами та темами, розкриваються наукова новизна, практична значимість та достовірність наукових положень і висновків, а також наведено дані про апробацію результатів та публікації за темою дисертації.

Перший розділ містить стислий огляд відомих моделей релятивістських квантово-механічних осциляторів. У підрозділі 1.1. розглянуто модель осцилятора Дірака, яка є базовою для побудови інших моделей. Вузловими для неї в контексті даної роботи є три моменти.

По-перше, осцилятор Дірака отримано з рівняння Дірака для вільного ферміона за допомогою підстановки для імпульсу, яка крім маси, частоти і лінійного за координатою потенціалу включає в себе ще й матрицю Дірака. В літературі подібні “матричні” підстановки для імпульсу дістали назву “немінімального введення взаємодії”.

По-друге, рівняння для осцилятора Дірака має точний розв'язок і переходить після виключення малої компоненти біспінора у рівняння, яке описує звичайний гармонічний осцилятор з додатковим спін-орбітальним зв'язком.

По-третє, спектр енергій осцилятора Дірака містить виродження нескінченної кратності. Відтак, осцилятор Дірака може виступати тільки в якості нульового наближення при описі реальних фізичних систем.

З останнього випливає необхідність розгляду узагальнень моделі осцилятора Дірака (підрозділ 1.2.). У пункті 1.2.1. обговорено відомі узагальнення в межах одночастинкового рівняння Дірака і відзначено, що доповнення немінімально введеної взаємодії лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами знімає виродження спектру енергій осцилятора Дірака. На цій підставі робиться висновок про доцільність вивчення одночасного введення взаємодії у мінімальний та немінімальний спосіб і в рамках інших релятивістських квантово-механічних рівнянь.

Пункт 1.2.2. містить огляд осциляторних моделей, побудованих на основі рівнянь для частинок цілого спіну. Підкреслюється неоднозначність схем введення немінімальної взаємодії в такі рівняння, що робить актуальним аналіз виникаючих відмінностей, а також подальший пошук в межах цих рівнянь точнорозв'язуваних осциляторних моделей.

У пункті 1.2.3. розглянуто моделі двочастинкових осциляторів Дірака і Клейна-Гордона, які вважають перспективними для опису кварконіїв як систем кварк-антикварк, оскільки вони приводять до лінійних редже-траєкторій, наближено відтворюючих експериментальні дані. Обґрунтовано, що додатково до утримуючої частини кварк-антикваркової взаємодії, введеної в цих моделях у немінімальний спосіб, слід ще враховувати кулонівськоподібну взаємодію у формі лоренц-скалярного та лоренц-векторного потенціалів.

У другому розділі досліджується загальна схема немінімального введення осциляторної взаємодії в рівняння Даффіна-Кеммера-Петьо (ДКП) для частинки зі спіном 1,

де в^m - матриці 10Ч10, які утворюють алгебру Кеммера.

У підрозділі 2.1. немінімальна підстановка відомої моделі осцилятора ДКП з матрицею з₀ поширюється на більш загальний випадок з матрицею M, яка аналогічно до випадків моделей осциляторів зі спінами 0 та 1/2 повинна антикомутувати з матрицею імпульсної частини хвильового рівняння, що приводить до обмеження. Показано, що у представленні спіну 1 для алгебри (3) воно має два лінійно незалежних розв'язки: M=b₁з₀+ b₂з₅, внаслідок чого рівняння ДКП (2) з немінімально введеною взаємодією набуває вигляду

Шляхом розкладання хвильової функції за її компонентами рівняння (4) перетворюється на систему рівнянь для стаціонарних станів, яка в нерелятивістському наближенні, після вилучення , дає для спінора квадратичне за координатами та імпульсами рівняння, що підтверджує осциляторний характер отриманої моделі.

Підрозділ 2.2. присвячено знаходженню і аналізу точних розв'язків системи (5). Завдяки сферичній симетрії задачі, ця система зводиться до десяти радіальних рівнянь, які складають дві не зв'язані між собою підсистеми відповідно до двох можливих значень парності (“натуральна” і “ненатуральна” парність). Встановлено, що для станів з ненатуральною парністю точні розв'язки існують тоді і тільки тоді, коли b₁=0 або b₂=0. Ці випадки розглянуто окремо.

А) b₁=1, b₂=0. При такому виборі коефіцієнтів відновлюється відома модель осцилятора ДКП (Y. Nedjadi, R.C. Barrett, J. Phys. A. 1994, V.27, P.4301). Її спектр енергій має вигляд

де l та n -- орбітальне та радіальне квантові числа і перше рівняння визначає енергетичні рівні станів з натуральною парністю, тоді як решта -- станів з ненатуральною парністю;

Б) b₁=0, b₂=1. В цьому випадку одержано нову, альтернативну модель осцилятора ДКП [1], для якої знайдено явні вирази для власних хвильових функцій та здобуто спектр енергій

Порівняння спектрів енергій (6) і (7) двох моделей осцилятора зі спіном 1 показує, що

· модель (А) характеризується нееквідистантним розташуванням енергетичних рівнів для станів з ненатуральною парністю, в той час як спектр енергій альтернативної моделі (Б) є повністю еквідистантним в узгодженні з картиною, спостережуваною для осциляторів зі спінами 0 та 1/2;

· власні значення енергії моделі (Б) відрізняються від відповідних власних значень для осцилятора зі спіном 0 лише на сталу адитивну добавку, тобто у рамках альтернативної моделі частинка зі спіном 1 поводить себе подібно до безспінової, тоді як спектр енергій моделі (А) містить внесок сильного спін-орбітального зв'язку, подібний до того, що виникає в моделі осцилятора Дірака.

Аргументовано, що такі разючі відмінності є наслідком різної лоренцівської структури осциляторної взаємодії в даних моделях. Так, із знайденої коваріантної форми рівняння (4) витікає, що відома модель (А) відповідає взаємодії лоренц-тензорного типу, причому потенціал разом з тензором спіну породжує спін-орбітальний зв'язок; альтернативна ж модель (Б) є прикладом лоренц-векторної взаємодії (з потенціалом V^m) без спін-орбітального зв'язку.

У третьому розділі розглянуто моделі, в яких немінімально введена взаємодія доповнена стандартними лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами. Такі моделі викликають інтерес у зв'язку з можливістю їх застосування до задач спектроскопії адронів. Але у випадку реалістичних потенціалів вони не допускають точних розв'язків, що приводить до необхідності розробки наближених методів.

Оскільки в задачах фізики адронів зручно описувати зв'язані стани в (l,E)-площині, обчислюючи основну і дочірні редже-траєкторії б(E)=hl(E), в дисертаційній роботі було розроблено рекурентну схему для отримання наближених аналітичних виразів для редже-траєкторій. Запропонований підхід є подальшим узагальненням напівкласичної техніки h_розвинення С.С. Степанова і Р.С. Тутіка на випадок немінімально введеної взаємодії.

У підрозділі 3.1. алгоритм отримання редже-траєкторій викладено на прикладі радіального рівняння Клейна-Гордона з центральним потенціалом, який складається з немінімально введеної частини, лоренцівських скаляра і часової (нульової) компоненти чотири-вектора.

За допомогою стандартної заміни робиться перехід до рівняння Ріккаті

розв'язок якого і редже-траєкторії шукаються у вигляді розвинень за степенями сталої Планка:

Нульовим наближенням методу є класична границя, яка визначається правилами переходу, що з фізичної точки зору відповідає тому, що частинка опускається на дно потенціальної ями і рухається вздовж стабільної колової орбіти радіуса з кутовим моментом.

Для знаходження квантових поправок далі виконуються такі дії:

· Потенціали і невідомі функції розкладаються в ряди Тейлора і Лорана, відповідно, за новою змінною -- відхиленням від мінімуму ефективного потенціалу:

так що коефіцієнти виражаються через параметри потенціалів.

· Використовується принцип аргументу, який за допомогою теореми про лишки та з урахуванням розкладів (11) і (13) приводить до умов квантування.

· Після підстановки рядів (11) і (13) у рівняння (10) отримуються шукані рекурентні співвідношення для знаходження поправок до редже-траєкторій та тих коефіцієнтів, що залишились ще невизначеними:

Виведені формули повністю вирішують проблему побудови редже-траєкторій для зв'язаних станів рівняння Клейна-Гордона, дозволяючи обчислювати поправки будь-якого порядку за h.

В якості ілюстрації, метод було застосовано до обчислення редже-траєкторій осцилятора Клейна-Гордона, збуреного кулонівськоподібними потенціалами

Для цих потенціалів, обмежуючись другим порядком за h, за рекурентними формулами (14) було одержано наближений аналітичний вираз для редже-траєкторій. Показано, що за відсутності кулонівськоподібної взаємодії знайдений вираз відтворює точний розв'язок для осцилятора Клейна-Гордона.

У підрозділі 3.2. метод поширено на випадок рівняння ДКП з немінімально введеною взаємодією та сферично-симетричними лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами. Увагу приділено станам зі спіном 1 і натуральною парністю, бо для них орбітальний кутовий момент має визначене значення l=j, отже, розгляд редже-траєкторій як залежності б(E)=hl(E) є припустимим. Рівняння ДКП для даного випадку зводиться до радіального рівняння

що, так само, як і рівняння Клейна-Гордона (9), перетворюється на рівняння типу Ріккаті. Тому подальша побудова редже-траєкторій в загальних рисах співпадає з описаною у попередньому підрозділі -- це стосується як розкладів (11), так і способу переходу до класичної границі та використання принципу аргументу. Єдина відмінність полягає в тому, що крім розкладів потенціалів у ряди Тейлора (13) слід ще зробити аналогічний розклад і для величини.

Результатом є знайдені рекурентні формули для поправок -розвинень для редже-траєкторій зв'язаних станів рівняння ДКП. Отримана схема має просту алгебраїчну структуру, схожу з відповідними формулами (14) для рівняння Клейна-Гордона.

Підрозділ 3.3. демонструє приклад застосування розробленої техніки до опису спектрів кварконіїв -- кварк-антикваркових зв'язаних станів. За вихідний пункт обрано двочастинкову потенціальну модель (G.A. Grunfeld, M.C. Rocca, Proc. Int. Conf. ”Relativistic aspects of nuclear physics” - Rio de Janeiro 1997, P.379), яка описується рівнянням для осцилятора Клейна-Гордона. Здійснено узагальнення цієї моделі шляхом додавання до немінімально введеної утримуючої взаємодії кулонівськоподібних потенціалів, що приводить до задачі про збурений осцилятор.

За формулою (16) для збуреного осцилятора було розраховано редже-траєкторії чармонія і с-мезонів. Одержані маси чармонія представлено в табл.1., де вони порівнюються з обчисленими за рівнянням Клейна-Гордона з мінімальним введенням взаємодії, а також з передбаченнями згаданої вище роботи Grunfeld et al. та напіврелятивістської моделі (S.F. Radford, W.W. Repko, Phys. Rev. D. 2007, V.75, P.074031). Оптимальні значення параметрів моделей (15) та (18) визначались шляхом мінімізації за існуючими експериментальними даними і для чармонія дорівнюють відповідно m=2.092ГеВ, л=0.1210ГеВ², a=1.687, b=0.051 та m=1.895ГеВ, л=0.0424ГеВ², a=1.666, b=0.093. Найкращий опис редже-траєкторій с-мезонів в моделях (15) і (18) відбувався при значеннях параметрів m=0.385ГеВ, л=0.148ГеВ², a=0.95, b=0.55 i m=0.356ГеВ, л=0.153ГеВ², a=2.05, b=1.30.

Таблиця 1.

Стан	JPC	Маси чармонія (у МеВ)
		Експеримент	Немін.в. (15)	Мін.в. (18)	Grunfeld et al.	Radford et al.
J/ш	1--	3096.916±0.011	3096.9	3096.9	3000	3096.9
чc2(1P)	2++	3556.20±0.09	3556.4	3556.6	3363	3556.2
ш(2S)	1--	3686.293±0.034	3685.6	3686.6	3691	3686.1
чc2(2P)	2++	3925±7	3952.8	3950.7	3991	3992.3
ш(3S)	1--	4039±1	4041.9	4043.6	4271	4102.0
ш(4S)	1--	4421±4	4334.7	4315.0	4781	4446.8

Узагальнюючи одержані результати, зроблено наступні висновки:

· додавання кулонівськоподібного збурення дозволяє значно підвищити рівень узгодження з експериментальними даними як у випадку чармонія, так і у випадку с-мезонів;

· рівень узгодження є практично однаковим для моделей з мінімальним та немінімальним введенням утримуючої взаємодії.

Для прояснення відмінності між наслідками введення утримуючого потенціалу в мінімальний і немінімальний способи було досліджено поведінку редже-траєкторій в області високих енергій. Встановлено, що немінімальне (мінімальне) введення потенціалу виду лr приводить до редже-траєкторій асимптотично лінійних (нелінійних) за квадратом енергії.

Четвертий розділ присвячено розробці релятивістського опису для двочастинкових систем типу ферміон-бозон. Актуальність їх дослідження диктується, зокрема, питанням про вплив на властивості мезонного водню такого фактору як аномальний магнітний момент протона.

Розділ починається з огляду існуючих підходів до релятивістської задачі двох тіл. Відмічено перспективність побудови двочастинкових хвильових рівнянь на основі розширення простору Мінковського. Однак отримані в літературі рівняння містять взаємодію з лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами і не враховують внесок аномального магнітного моменту, який, за аналогією до випадку рівняння Дірака, повинен відповідати лоренц-тензорному потенціалу.

Для того, щоб зробити можливим розгляд потенціалів довільної лоренцівської структури, в підрозділі 4.1. пропонується новий підхід до опису двочастинкових систем, заснований на розширенні простору Мінковського до простору з групою симетрії Sp(4,C). Його підґрунтям є взаємно-однозначна відповідність між чотири-імпульсами в просторі Мінковського і ермітовими спін-тензорами другого рангу групи SL(2,C)=Sp(2,C). Показано, що для наступної за Sp(2,C) симплектичної групи Sp(4,C) аналогічний спін-тензор розкладається на чотири чотири-імпульси. При цьому другі співмножники в матричних добутках повторюють структуру спін-тензора імпульсів групи SL(2,C), що дає змогу застосувати одержаний спін-тензор імпульсів групи Sp(4,C) до побудови хвильових рівнянь для двочастинкових систем. модель ферміон бозон осцилятор

У підрозділі 4.2. побудовано хвильове рівняння для системи, яка складається з ферміона зі спіном 1/2 і бозона зі спіном 0. Для системи без взаємодії це рівняння, записане в термінах вейлівських спінорів групи Sp(4,C), має вигляд. Зменшення числа незалежних компонент введених чотири-імпульсів до необхідного для опису двочастинкової системи здійснено за допомогою додаткових умов. Вони обираються таким чином, щоб після зведення рівняння (20) до рівняння другого степеня, останнє не містило матричних доданків, як це має місце при зведенні звичайного рівняння Дірака до форми рівняння Клейна-Гордона.

Після введення зв'язку з чотири-імпульсами окремих частинок зазначені додаткові умови зводяться до одного рівняння в'язі, яке вилучає нефізичний ступень вільності, пов'язаний з “відносним часом” частинок.

Розглянуто редукцію до одночастинкових рівнянь Дірака і Клейна-Гордона і показано, що хвильове рівняння (20), доповнене додатковою умовою (22), описує дві системи, які відрізняються одна від одної тільки перестановкою мас частинок.

Введення потенціальної взаємодії між частинками реалізовано за допомогою комбінації мінімальної і немінімальної підстановок. У результаті одержано рівняння для системи ферміон-бозон з лоренцівськими скалярними, векторними і тензорними потенціалами.

За присутності взаємодії виникає питання про сумісність хвильового рівняння і додаткової умови. З'ясовано, що для забезпечення сумісності достатньо щоб

· введені потенціали залежали від відносної координати тільки через її поперечну щодо повного чотири-імпульсу частину;

· форма потенціалів була обмежена співвідношеннями, згідно до яких додаткова умова зберігає свій первинний вигляд (22) за присутності взаємодії.

З фізичної точки зору вказані обмеження необхідні для вилучення залежності від змінної відносного часу в такий самий спосіб, як для системи без взаємодії.

У підрозділі 4.3. одержане хвильове рівняння (23) порівнюється з іншими двочастинковими рівняннями, які описують систему ферміон-бозон. Показано, що для відтворення з (23) рівняння Кроліковські слід обрати часоподібні вирази для лоренц-векторних потенціалів. З іншого боку, рівняння, отримані в межах релятивістської квантової механіки з в'язями, відтворюються з (23) при виборі "електромагнітноподібних" виразів для потенціалів, де E -- повна енергія системи, A -- функція, що у випадку точкових зарядів частинок має форму кулонівського потенціалу.

Однак, запропоноване рівняння (23), на відміну від інших підходів, дозволяє розглядати ще й лоренц-тензорні потенціали, введені у немінімальний спосіб. Як важливий фізичний приклад, що вимагає їх залучення, розглянуто опис електромагнітної взаємодії між протилежно зарядженими бозоном і ферміоном з аномальним магнітним моментом. З'ясовано, що для цієї задачі лоренц-тензорні потенціали, які враховують внесок аномального магнітного моменту ферміона k₁ і задовольняють умовам сумісності хвильового рівняння і додаткової умови, мають вигляд.

Знайдено зручну для використання форму хвильового рівняння (23) з потенціалами (24) і (25), записану в системі відліку центра інерції у вигляді рівняння типу Дірака, яке зведено до системи радіальних рівнянь. В останніх формулах використано такі позначення: -- оператор спіну, -- квантове число, що описує стани з .

Для перевірки коректності отриманого рівняння (26) досліджено його поведінку при переході до напіврелятивістського наближення. Здійснюючи розклад за оберненими степенями швидкості світла, одержано рівняння брейтівського типу, справедливе з точністю до доданків порядку 1/c². Виявилось, що це рівняння містить усi ведучi релятивiстськi поправки: добавку до кiнетичної енергiї, внесок спiн-орбiтальної взаємодiї та дарвiнiвський доданок, -- у такiй самiй формi, в якiй вони входять до відомого "полiпшеного кулонiвського потенцiалу" в квантовiй електродинамiцi. Разом з тим показано, що згадане вище рівняння Кроліковські не відтворює релятивiстських поправок квантової електродинамiки.

У підрозділі 4.4. розвинутий формалізм застосовується для побудови релятивістської потенціальної моделі атома піонного водню -- зв'язаного стану протона і р^--мезона. Інтерес до цієї задачі обумовлено оновленням експериментальних даних щодо зсуву і ширини розпаду 1s-стану в піонному водні, що дає змогу розрахувати з великою точністю значення порогових параметрів сильної взаємодії -- піон-нуклонних довжин розсіяння.

Запропонована модель описується рівнянням (26), в яке для моделювання сильної взаємодії додатково введено лоренц-скалярні потенціали, виражені через потенціальну функцію, внаслідок чого доданок замінюється на.

За відсутності сильної взаємодії чисельним розв'язуванням радіальних рівнянь було обчислено електромагнітну енергію зв'язку 1s-стану піонного водню. Розрахунок здійснювався з електростатичним потенціалом у вигляді A, де A_ext -- поправка, спричинена неточковим характером розподілів зарядів протона і р^--мезона (використано гауссові розподіли), A_vac -- поправка на поляризацію вакууму (згладжений потенціал Улінга). Знайдено, що відповідні поправки до нерелятивістської електромагнітної енергії зв'язку 1s-стану дорівнюють 0.106±0.003?еВ (де враховано похибки експериментальних значень зарядових радіусів частинок) та -3.245?еВ і відрізняються менш ніж на 0.01?еВ від наведених у літературі. Крім того, розраховано поправку, обумовлену релятивістською віддачею та спіном і аномальним магнітним моментом протона, яка в стандартному підході, заснованому на рівнянні Клейна-Гордона, додається "руками". Одержане її значення 0.047?еВ співпадає з обчисленим в квантовій електродинаміці.

Далі було включено сильну взаємодію у формі лоренц-скалярного оптичного потенціалу зі скінченним радіусом дії r₀ (у розрахунках прийнято 0.5?фм1.5?фм). При чисельному розв'язуванні радіальних рівнянь комплексне значення параметра U₀ -- "глибини" потенціалу сильної взаємодії обиралось шляхом мінімізації за експериментальними даними щодо зсуву і ширини квазістаціонарного рівня 1s-стану в піонному водні. Після цього, розв'язуючи радіальні рівняння зі знайденим U₀ і пороговим значенням енергії, було розраховано піон-нуклонні довжини розсіяння.

Таблиця 2.

Канал розсіяння	Довжина розсіяння (у )
	Дана робота	Schrцder et al.	Oades et al.	Ericson et al.
	0.0860±0.0006	0.0883±0.0008	0.0859±0.0006	0.0870±0.0005
	-0.1223±0.0019	-0.128±0.006	-0.1243±0.0015	-0.125±0.004

Отримані для цих довжин розсіяння результати (у одиницях , де -- маса р^--мезона) представлено у табл. 2., де також наведено результати моделей на основі рівняння Клейна-Гордона (H.-Ch. Schrцder et al., Eur. Phys. J. C. 2001, V.21, P.473), релятивізованого рівняння Шредингера (G.C. Oades et al., Nucl. Phys. A. 2007, V.794, P.73) та нерелятивістського підходу (T.E.O. Ericson et al., Phys. Lett. B. 2004, V.594, P.76).

На відміну від інших потенціальних моделей, побудована релятивістська модель дає змогу оцінити вплив на піон-нуклонні довжини розсіяння таких чинників, як лоренцівська структура потенціалу сильної взаємодії, та внесок спіну і аномального магнітного моменту протона. Встановлено, що більш чутливою до вибору лоренцівської структури потенціалу є величина . При віднесенні потенціалу сильної взаємодії до лоренц-вектора замість лоренц-скаляра, вона зменшується на 0.0005. Виявлено, що внесок аномального магнітного момента протона у довжини розсіяння є нехтовно малим: для він складає приблизно .

У п'ятому розділі запропоноване релятивістське рівняння для системи ферміон-бозон використовується для дослідження особливостей осциляторної взаємодії в цій системі.

У підрозділі 5.1. побудовано модель ферміон-бозонного осцилятора з лоренц-векторним потенціалом та введеним у немінімальний спосіб лоренц-тензорним потенціалом вигляду, де л,н -- сталі зв'язку, w_m, p_m -- повний і відносний чотири-імпульси.

У підрозділі 5.2. хвильове рівняння (23) з цими потенціалами було зведено до системи рівнянь для радіальних функцій, яка перетворюється на одне рівняння осциляторного типу.

Знайдено точний розв'язок рівняння та спектр енергій ферміон-бозонного осцилятора.

Аналіз отриманого спектру (підрозділ 5.3.) показує, що він суттєво відрізняється від спектру нерелятивістського гармонічного осцилятора внаслідок наявності сильного спін-орбітального зв'язку, в який дають внесок як лоренц-векторний, так і лоренц-тензорний потенціали.

Вивчено часткові випадки моделі, коли одна з двох сталих зв'язку л або н дорівнює нулю.

А) л=0 (випадок немінімально введеної взаємодії). Встановлено, що модель ферміон-бозонного осцилятора з л=0 характеризується таким самим розташуванням енергетичних рівнів, що і модель осцилятора Дірака. Більш того, вона переходить в осцилятор Дірака у граничному випадку "важкого бозона".

Б) н=0 (випадок мінімально введеної взаємодії). Показано, що при н=0 дана модель переходить в осциляторну модель, побудовану Сазджаном в рамках релятивістської квантової механіки з в'язями (H. Sazdjian, Phys. Rev. D. 1986, V.33, P.3435).

Однак Сазджаном розглядався тільки випадок л>0, для якого спектр енергій містить пари вироджених станів протилежної парності і нескінченне виродження основних станів зі значеннямя орбітального моменту . В даній дисертації знайдено, що другий випадок, л<0, теж має точний розв'язок з якісно відмінним спектром енергії. На відміну від випадку л>0, отриманий спектр не містить нескінченного виродження основних станів. Разом з тим, він теж включає в себе вироджені дублети, які складаються зі станів з однаковим j і протилежною парністю, тобто виконується симетрія Мак Дауелла для баріонних редже-траєкторій. На цій підставі було запропоновано розглядати модель осцилятора з н=0 і л<0 як спрощену кварк-дікваркову модель для баріонів (підрозділ 5.5.). Розраховані в її межах основні редже-траєкторії нуклонних резонансів є нелінійними і якісно відтворюють експериментальні дані.

У підрозділі 5.4. розкривається суперсиметричний характер ферміон-бозонного осцилятора з н=0, який пояснює відмінність його спектрів у випадках л>0 і л<0. Знайдено вирази для суперзарядів та супергамільтоініана задачі, які утворюють супералгебру sl(1|1).

При цьому співпадає з гамільтоніаном що стоїть у рівнянні (29) для ферміон-бозонного осцилятора, а отримується з при заміні к>-к, тобто при переході від станів з до станів з . Але відомо, що спектри двох суперпартнерів повинні бути тотожними за винятком можливо тільки найнижчого рівня з нульовим власним значенням енергії. Це як раз і означає, що стани ферміон-бозонного осцилятора з однаковим j і протилежною парністю () є виродженими. Причому випадок л>0 відповідає точній суперсиметрії, що проявляється у нескінченному виродженні основних станів з , а випадок л<0 -- спонтанно порушеній суперсиметрії, для якої основні стани мають ненульове власне значення енергії і нескінченного виродження не виникає.

Додатки. Додаток А містить опис процедури отримання рівняння Клейна-Гордона з немінімальним введенням взаємодії, що досліджувалось в розділі 3. У Додаток Б винесено програму для розрахунку коефіцієнтів h-розвинень для редже-траєкторій цього рівняння.

ВИСНОВКИ

Основні результати проведених в дисертаційній роботі досліджень можна сформулювати наступним чином:

1. Здійснено узагальнення схеми немінімального введення взаємодії в рівняння ДКП для частинки зі спіном 1. Знайдено новий точний розв'язок рівняння ДКП з немінімально введеною осциляторною взаємодією, який відрізняється від відомих в літературі відсутністю спін-орбітального зв'язку.

2. Розроблено рекурентну схему обчислення редже-траєкторій для зв'язаних станів рівнянь Клейна-Гордона і ДКП зі сферично-симетричними лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами загального вигляду, доповненими немінімально введеною взаємодією. Встановлено, що немінімальне введення утримуючого потенціалу осциляторного типу приводить до лінійної асимптотичної поведінки редже-траєкторій кварконіїв в області високих енергій.

3. Побудовано модель збуреного осцилятора Клейна-Гордона, як релятивістське узагальнення корнельського потенціалу, і одержано наближений аналітичний вираз для її редже-траєкторій. Показано, що при застосуванні рівняння Клейна-Гордона до опису спектру кварконіїв мінімальне і немінімальне введення утримуючих потенціалів однаково добре узгоджуються з існуючими експериментальними даними про маси як чармонія, так і легких -мезонів.

4. Запропоновано новий підхід до побудови релятивістських рівнянь для опису двочастинкових квантово-механічних систем. На відміну від інших підходів, він враховує симплектичну симетрію простору Мінковського і використовує її розширення до симетрії з групою Sp(4,C).

5. На основі розширення групи SL(2,C) до групи Sp(4,C) побудовано нове релятивістське рівняння для системи ферміон-бозон, яке містить поряд зі стандартними лоренц-скалярними і лоренц-векторними потенціалами ще й лоренц-тензорні потенціали, введені у немінімальний спосіб, що дозволяє врахувати внесок, обумовлений аномальним магнітним моментом ферміона.

6. Запропоновано нову потенціальну модель атома піонного водню, в якій рівняння для системи ферміон-бозон самоузгоджено описує відносний рух протона і р^--мезона, з урахуванням релятивістської двочастинкової кінематики, спіну й аномального магнітного моменту протона. Обчислено релятивістські поправки до електромагнітної енергії зв'язку піонного водню. Виходячи з експериментальних даних щодо зсуву і ширини 1s-рівня в піонному водні, розраховано піон-нуклонні довжини розсіяння, які добре узгоджуються з передбаченнями інших авторів.

7. Побудовано нову модель ферміон-бозонного осцилятора, яка має точний розв'язок і узагальнює відому модель шляхом введення осциляторної взаємодії одночасно у мінімальний та немінімальний спосіб. Показано, що характер виродження її спектру енергій визначається суперсиметричними властивостями рівняння.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Kulikov D.A., Tutik R.S., Yaroshenko A.P. An alternative model for the Duffin-Kemmer-Petiau oscillator // Mod. Phys. Lett. A. ? 2005. ? Vol. 20, №. 1. ? P. 43-49.

[2] Kulikov D.A., Tutik R.S. Oscillator model for the relativistic fermion-boson system // Phys. Lett. A. ? 2008. ? Vol. 372, №. 48. ? P. 7105-7108.

[3] Куліков Д.О., Тутік Р.С. Додатковий розв'язок у моделі Сазджана //Вісник Дніпропетровського університету. серія Фізика. Радіоелектроніка. Вип. 15. Вид-во ДНУ. 2008. - С. 162-166.

[4] Kulikov D.A., Tutik R.S., Yaroshenko A.P. Relativistic two-body equation based on the extension of the SL(2,C) group // Phys. Lett. B. ? 2007. ? Vol. 644, №. 4. ? P. 311-314.

[5] Kulikov D.A., Tutik R.S. A new approach to the relativistic treatment of the fermion-boson system, based on the extension of the SL(2,C) group // Mod. Phys. Lett. A. ? 2008. ? Vol. 23, №. 22. ? P. 1829-1840.

[6] Куліков Д.О., Тутік Р.С. Редже-траєкторії для рівняння Клейна-Гордона з немінімальною взаємодією // Вісник Дніпропетровського університету. серія Фізика. Радіоелектроніка. Вип. 11. Вид-во ДНУ. 2004 - С. 68-74.

[7] Куліков Д.О., Тутік Р.С. Редже-траєкторії для зв'язаних станів рівняння Даффіна-Кеммера // Вісник Дніпропетровського університету. серія Фізика. Радіоелектроніка. Вип. 14. Вид-во ДНУ. 2007 - С. 53-56.

[8] Kulikov D.A., Tutik R.S. Relativistic wave equation for one spin-1/2 and one spin-0 particle // Proceedings of Int. Conference “New Physics and QCD at external conditions”. - Dniepropetrovsk - 2007. - P. 148-151.

[9] Куліков Д.О., Тутік Р.С. Альтернативна модель для осцилятора Даффіна-Кеммера // Збірник тез доповідей Міжнародної конференції молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики “Еврика -2004”. -Львів. - 2004. - С.23.

[10] Куліков Д.О., Тутік Р.С. Напівкласичний підхід для редже-траекторій релятивістських квантово-механічних рівнянь // Збірник тез доповідей та програма конференції молодих учених і аспірантів ІЕФ НАН України.- Ужгород. - 2003. - С.85.

[11] Куліков Д.О., Тутік Р.С. Спектр зв'язаних станів рівнянь Дірака та Клейна-Гордона із немінімальним введенням взаємодії // Збірник тез доповідей Міжнародної конференції молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики “Еврика -2005”. -Львів. - 2005. - С.14-15.

[12] Куліков Д.О., Тутік Р.С. Спектр зв'язаних станів рівняння Даффіна-Кеммера з немінімальною взаємодією // Збірник тез доповідей VIII Міжнародної молодіжної науково-практичної конференції "Людина і космос". - Дніпропетровськ: НЦАОМУ. - 2006. - С.63.

[13] Куліков Д.О., Тутік Р.С. Лоренцівська структура утримуючої взаємодії в кварк-дікварковій моделі // Збірник тез доповідей IX Міжнародної молодіжної науково-практичної конференції "Людина і космос". - Дніпропетровськ: НЦАОМУ. - 2007. - С.65.

[14] Куліков Д.О., Тутік Р.С. Узагальнений осцилятор Клейна-Гордона // Збірник тез доповідей IX Міжнародної молодіжної науково-практичної конференції "Людина і космос". - Дніпропетровськ: НЦАОМУ. - 2008. - С.58.

[15] Куліков Д.О., Тутік Р.С. Релятивістське двочастинкове рівняння для піонного водню // Збірник тез доповідей XI Міжнародної молодіжної науково-практичної конференції "Людина і космос". - Дніпропетровськ: НЦАОМУ. - 2009. - С.47.

АНОТАЦІЯ

Куліков Д.О. Релятивістські осциляторні моделі з немінімальним включенням взаємодії. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 -- теоретична фізика. -- Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара, Дніпропетровськ, 2009.

У дисертаційній роботі досліджено немінімальне введення взаємодії в релятивістські одно та двочастинкові квантово-механічні рівняння у випадках, коли вони додатково містять взаємодію з лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами та приводять до осциляторних моделей. Знайдено нові точні розв'язки: розв'язок альтернативної моделі осцилятора Даффіна-Кеммера-Петьо та розв'язок для ферміон-бозонного осцилятора, що містить одночасно взаємодію, введену у мінімальний і немінімальний спосіб. Для рівнянь Клейна-Гордона і Даффіна-Кеммера-Петьо з немінімально введеною взаємодією і сферично-симетричними лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами загального вигляду розроблено рекурентну схему обчислення редже-траєкторій для зв'язаних станів. Для системи ферміон-бозон, виходячи з розширення групи SL(2,C), побудовано нове релятивістське квантово-механічне рівняння, яке на відміну від стандартних містить введені у немінімальний спосіб лоренц-тензорні потенціали, що описують внесок аномального магнітного моменту ферміона. Запропоновані моделі застосовуються до вивчення властивостей спектрів зв'язаних станів у фізиці адронів та теорії мезонних атомів.

Ключові слова: немінімальне введення взаємодії, зв'язані стани, релятивістські квантово-механічні осцилятори, рівняння Клейна-Гордона, рівняння Даффіна-Кеммера-Петьо, редже-траєкторії, система ферміон-бозон.

SUMMARY

Kulikov D.A. Relativistic oscillator models with non-minimally introduced interaction. -- Manuscript.

Thesis for the scientific degree of candidate in physics and mathematics on speciality 01.04.02 -- Theoretical physics. -- Oles Honchar Dniepropetrovsk National University, Dniepropetrovsk, 2009.

The non-minimal introduction of interaction in relativistic one and two-body quantum-mechanical equations is investigated in the cases when they additionally contain the interaction with Lorentz-scalar and Lorentz-vector potentials and result in oscillator models. New exact solutions are found, namely, the solution for an alternative model of the Duffin-Kemmer-Petiau oscillator and the one for the fermion-boson oscillator which includes the interaction introduced in both minimal and non-minimal way. For the Klein-Gordon and Duffin-Kemmer-Petiau equations with the non-minimally introduced interaction and spherically symmetric Lorentz-scalar and Lorentz-vector potentials of an arbitrary form the recursion scheme for calculating the bound-state Regge trajectories is elaborated. Based on the extention of the SL(2,C) group, the new relativistic quantum-mechanical equation for a fermion-boson system is constructed. Contrary to the standard ones, this equation includes the Lorentz-tensor potentials that describe the contribution of the fermion anomalous magnetic moment. The proposed models are applied to study the properties of bound-state spectra in the hadronic physics and in the theory of mesonic atoms.

Key words: non-minimal introduction of interaction, bound states, relativistic quantum-mechanical oscillators, Klein-Gordon equation, Duffin-Kemmer-Petiau equation, Regge trajectories, fermion-boson system.

АННОТАЦИЯ

Куликов Д.А. Релятивистские осцилляторные модели с неминимальным включением взаимодействия. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 -- теоретическая физика. -- Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара, Днепропетровск, 2009.

В диссертационной работе исследовано неминимальное введение взаимодействия в релятивистские одно и двухчастичные квантово-механические уравнения в случаях, когда они дополнительно содержат взаимодействие с лоренц-скалярным и лоренц-векторным потенциалами и приводят к осцилляторным моделям.

Найдены новые точные решения релятивистских уравнений с неминимальным введением взаимодействия. А именно, решение для модели осциллятора Даффина-Кеммера-Петио, которая является альтернативной к известной модели осциллятора со спином 1 и отличается от нее отсутствием спин-орбитальной связи; решение для модели фермион-бозонного осциллятора, дополнительно включающей взаимодействие, введенное неминимальным образом. Установлены суперсимметрические свойства фермион-бозонного осциллятора, которые объясняют характер вырождения его спектра энергии в отсутствие неминимально введенного взаимодействия.

Для уравнений Клейна-Гордона и Даффина-Кеммера-Петио с неминимально введенным взаимодействием и сферически симметричными лоренц-скалярным и лоренц-векторным потенциалами общего вида, не допускающими точных решений, разработана рекуррентная схема вычисления редже-траекторий для связанных состояний. Расчеты по этой схеме сводятся к чисто алгебраической процедуре, что дает возможность вычислять поправки к редже-траекториям, в принципе, любого порядка как в численном, так и в аналитическом виде. Полученные выражения для редже-траекторий применены к исследованию целесообразности использования неминимального способа для включения удерживающего взаимодействия в моделях кваркониев. Установлено, что по крайней мере в случае моделей, основанных на уравнении Клейна-Гордона, минимальное и неминимальное введение удерживающего взаимодействия одинаково хорошо согласуется с существующими экспериментальными данными о спектрах масс кваркониев.

...